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第3章 非稳态导热

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传热学-第三章 非稳态热传导

传热学-第三章 非稳态热传导
(0, ) m ( ) 2 sin 1 F e 0 0 1 sin 1 cos 1
( x, ) x cos(1 ) m ( )
2 1 0
2 1 0
与时间无关
28
考察热量的传递
Q0 cV (t0 t )
Q0 --非稳态导热所能传递的最大热量
第三章
非稳态导热
1
§3-1 非稳态导热的基本概念
1 非稳态导热的定义 . 2 非稳态导热的分类
t f (r , )
周期性非稳态导热 (定义及特点)
瞬态非稳态导热 (定义及特点)
2
着重讨论瞬态非稳态导热
3 温度分布：

t
1
4 3
2
1
t
0
0
3
4 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段)
6
7 毕渥数
本章以第三类边界条件为重点。 (1) 问题的分析 如图所示，存在两个换热环节： a 流体与物体表面的对流换热环节 rh 1 h b 物体内部的导热 (2) 毕渥数的定义：
tf
h

t

tf h
0
r

t
x

tf
h
r h Bi rh 1 h
0
7
x
（微细热电偶、薄膜热电阻）
当 4 时， 1.83% hA 0 Vc
工程上认为=4 Vc / hA时 导热体已达到热平衡状态
第三章 非稳态导热
17
3 瞬态热流量：
Φ ( ) hA(t ( ) t ) hA hA 0 e
hA Vc
W
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：

11-2 传热学第三章-导热四学时-3非稳态导热

11-2 传热学第三章-导热四学时-3非稳态导热
度，最终达到热平衡。
物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。
下面用实例介绍这两类非稳态导热的特点。
§3-1 非稳态导热的基本概念
（1）周期性非稳态导热过程简介
室内墙 面温度
墙内各 处温度 最高值
★ 夏季室外空气温度以一天 24小时为周期变化；
★ 室外墙面温度也以24小时为 周期变化，但比室外空气温 度变化滞后一个相位、振幅 有所减小；
(
t n
)w
h(tw
t
f
)
★ 解的唯一性定理：
本章所介绍的各种分析法都被认为是满足特定问题的唯一解。
§3-1 非稳态导热的基本概念
5.第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响
在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征 与边界条件参数的关系。
t
已知：平板厚2δ、平板导热系数λ、
初温t0，将其突然置于温度为
第三章 非稳态导热
2
§3-1 非稳态导热的基本概念
2.非稳态导热的分类及其特点
非稳态导热分为周期性和非周期性（瞬态导热）两大类。
周期性非稳态导热：物体温度按一定的周期发生变化；
非周期性非稳态导热（非稳态 稳态）：
物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过 程）；在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温
(3)求解方法：分析解法、近似分析法、数值解法。
分析解法： 分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换； 近似分析法： 集中参数法、积分法； 数值解法： 有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、
分子动力学模拟。
§3-1 非稳态导热的基本概念
4.导热微分方程解的唯一性定律
非稳态导热问题的求解实质：在规定的初始条件及边界条 件下求解导热微分方程式。

传热学第3章-非稳态导热分析解法

传热学第3章-非稳态导热分析解法

传热学第3章-⾮稳态导热分析解法第三章⾮稳态导热分析解法1、重点内容：①⾮稳态导热的基本概念及特点；②集总参数法的基本原理及应⽤；③⼀维及⼆维⾮稳态导热问题。

2、掌握内容：①确定瞬时温度场的⽅法；②确定在⼀时间间隔内物体所传导热量的计算⽅法。

3、了解内容：⽆限⼤物体⾮稳态导热的基本特点。

许多⼯程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某⼀极限值所需的时间。

如：机器启动、变动⼯况时，急剧的温度变化会使部件因热应⼒⽽破坏。

因此，应确定其内部的瞬时温度场。

钢制⼯件的热处理是⼀个典型的⾮稳态导热过程，掌握⼯件中温度变化的速率是控制⼯件热处理质量的重要因素；⾦属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中⼼温度。

§3—1 ⾮稳态导热的基本概念⼀、⾮稳态导热1、定义：物体的温度随时间⽽变化的导热过程称⾮稳态导热。

2、分类：根据物体内温度随时间⽽变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间⽽作周期性变化1）物体的温度随时间⽽趋于恒定值如图3-1所⽰，设⼀平壁，初值温度t 0，令其左侧的表⾯温度突然升⾼到1t 并保持不变，⽽右侧仍与温度为0t 的空⽓接触，试分析物体的温度场的变化过程。

⾸先，物体与⾼温表⾯靠近部分的温度很快上升，⽽其余部分仍保持原来的t 0 。

如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩⼤，到某⼀时间后，右侧表⾯温度也逐渐升⾼，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。

最后，当时间达到⼀定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。

由此可见，上述⾮稳态导热过程中，存在着右侧⾯参与换热与不参与换热的两个不同阶段。

（1）第⼀阶段（右侧⾯不参与换热）温度分布显现出部分为⾮稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较⼤，此阶段称⾮正规状况阶段。

传热学 第三章 非稳态导热

传热学 第三章 非稳态导热

解：首先需要求出平壁 的热扩散率
a
0.185
0.65 106 m 2 / s
c 1500 0.839 1000
Fo
a 2
0.65 106 6 3600 0.25 2
0.22
非稳态导热的导热微分方程式：
c t ( t ) ( t ) ( t ) x x y y z z
求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法
分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法：集总参数法、积分法、瑞利-里兹法 数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力学模拟
非稳态导热正规状况阶段
x,
0
1
2 sin 1 sin 1 cos 1
cos
1
x
e 12 Fo
Bi h
平壁中心x=0时
m
2 sin 1
a Fo 2
e 12Fo f Bi, Fo
0 1 sin 1 cos 1
m
0 m 0
cos
1
x
f
Bi, x
只取决于毕渥数与几何位置，与时间无关----特点3
传热学
第3章 非稳态导热 Transient/Unsteady Conduction
概述
自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f()
例如：冶金、热处理与热加工：工件被加热或冷却
锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况 自然环境温度 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度
非稳态导热：周期性和非周期性（瞬态导热）
假设：厚度为2，导热系数、热扩散率为常数，无
内热源，初始温度与两侧流体相同，为t0。两侧流体温 度突然降低为tf，并保持不变，平壁表面与流体间对流 换热表面传热系数h为常数。

第三章 非稳态导热详解

第三章 非稳态导热详解

第一节 非稳态导热的基本概念
3、非稳态导热的基本特点
①. t ， 0这意味着任何非稳态导热过程必然伴随着加热 或冷却过程。
②.在非稳态导热过程中，热量传递方向上的不同位置的导热
量是不同的。
.
③.非稳态导热过程数学描写：
t
(
2t x 2
2t y2
2t z2
)
c
t(x, y,z,0) t0
第三章 非 稳 态 导 热
第一节 非稳态导热的基本概念 第二节 集中参数法 第三节 典型一维物体非稳态导热 第四节 半无限大物体非稳态导热 第五节 其它形状物体的瞬态导热
第一节 非稳态导热的基本概念
一、分类 物体的温度随时间而变化的导热过程叫非稳态导
热。根据物体的温度随时间而变化的特征可分为两类： 非稳态周非导期周热性期非性稳 非态稳导态热导热（又称为瞬态导热）
1.举例说明其
由tf1/升至tf1//所需时间 tw1
tw1/
ta
ta/
tb
tw1// ta//
tb//
tb/
tc
tc//
tc/ tw2/
tw2
tw2//
0 a b
c 0
第一节 非稳态导热的基本概念
二、非周期性非稳态导热（瞬态导热）
1.举例说明其过程特点：
qB
4>.墙内外表面热流密度的变化： a.内墙表面开始时，因温差大，q1
第一节 非稳态导热的基本概念
二、非周期性非稳态导热（瞬态导热）
1.举例说明其过程特点： 3>.墙内各处温度的变化：
t
tf1//
a bc
a.开始，因为tf1的上升→内墙表 面温度直线上升，靠近内墙的 墙体温度上升，而此时，a、b、

传热学第3章非稳态导热

传热学第3章非稳态导热
•* - 30 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
§3-4 半无限大的物体
半无限大物体的概念
• 第一类边界条件： • 第二类边界条件： • 第三类边界条件：
•* - 31 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
问题的解：
•
误差函数 无量纲变量
• 第一类边界：
• 第二类边界：
• ● 非周期性（瞬态导热）：物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定。
• 3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级
•* - 2 -
•第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
着重讨论瞬态非稳态导热
• 4、温度分布：
•t
• 开始的一段时间，物体内部温度变化一层
层逐渐深入到内部，温度变化速度不一样，反映 到吸热量上，吸热量不一样。
• 此时x处的温度可认为完全不变，因而可以把
视为惰性时间。
•
当
时x处的温度可以认为等于t0。
•对于有限大的实际物体，半无限大物体的概念只适用于物体的非稳态导热的 初始阶段，那在惰性时间以内。
•* - 35 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
即任一点的热流通量： 令 即得边界面上的热流通量
• 第三类边界：
•* - 32 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
• 误差函数：
• 无量纲 坐标
• 说明：(1) 无量纲温度仅与无量纲坐标 有关
•
(2) 一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的时间无论 x 有多么
大，
•
该处总能感受到温度的化。？
•
(3) 但解释Fo, a 时，仍说热量是以一定速度传播的，这是因为，

3第三章 非稳态导热


Bi
n
2.一维非稳态导热的分析解
（2）总传热量
设从初始时刻至某一时刻τ所传递的热量为Q，则有：
分离变量积分并代入初始条件得：
hA
=e cV
0
思考：上述结果是对物体被冷却 的情况导出的，如果要用于被加 热的场合，该怎么办？
6.集总参数系统的分析解
hA hV cV A
A2 cV 2
h(V / A) a (V / A)2
BiV FoV
Bi hl l＝ 物体内部导热热阻 1 h 物体表面对流换热热阻
• 在某厂生产的测温元件说明书上，标明该元件的 时间常数为1s。你怎么看待这个值？
cV
c hA
——根据定义式，时间常数中物性参数ρ、c、V、A可 以看作是常数，但表面传热系数h却是与具体过程 有关的量。
——说明书上的标明的时间常数需要具体分析，不能 盲目相信。
【内容小结】
• 集总参数系统的分析 • 时间常数的导出和意义 • 时间常数对测温系统的指导
一个集总参数系统，其体积
为V、表面积为A、密度为、 比热为c、初始温度为t0，突 然放入温度为tf (设t0> tf )、 对流换热系数为h的环境中，
求系统温度变化。
A h, tf
ΔE
Qc
ρ, c, V, t0
——表面对流换热对其过程有着重要影响，如何处理？
4. 微分方程
-
t n
ht
t
f
集总参数系统内部没有温差， 不能用第三类边界条件。
不断减小，在其它各截面上，其
截面温度开始升高之前通过该截
面的热流量是零，温度开始升高
A
之后，热流量才开始增加。
BC D 3

传热学第三章


内能减小=物体向环境对流换热
7
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院
传 热 学
定义过余温度： θ=t-t∞
dt cV Ah (t t ) d
cV
dt Ah d
初始条件：
d
τ=0， θ =θ0=t0-t∞

微分方程分离变量，并积分：


0
hA cV
Fo>0.2，正规状况阶段
非稳态导热过程中传递热量
从τ=0 至热平衡
Q0 cV (t 0 t )
19
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院
传 热 学
从τ=0 至τ时刻
Q c V t 0 t ( x, )dV 1 Q0 cV (t 0 t ) V 1 1 V (t 0 t ) (t t ) dV V t0 t
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院 6
传 热 学
1. 导热微分方程式建立
例：测量变化着的温度的热电偶
t0 t
t t0 0
t f ( ) ?
t 2t 2t 2t ( 2 2 2) 导热微分方程： c x y z c
11
传 热 学
4. BiV及FoV物理意义
Biv hl

1 h
l
内部面积导热热阻 表面面积对流换热热阻
无量纲 热阻 无量纲 时间
从边界上开始发生热扰 动时刻起 a 到所计算时刻为止的时 间间隔 Fov 2 2 边界上发生有限大小的 热扰动穿过一定 l l a 厚度的固体层扩散到 2的面积上所需时间 l
FoV越大，热扰动越深入地传播到物体内部， 物体内各点的温度越接近周围介质的温度

第三章-非稳态导热


工程上认为= 4τc时导热
体已达到热平衡状态
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换
cV 热条件好（hA大），那么单位时间所
hA
传递的热量大、导热体的温度变化快， 时间常数小。
时间常数反映了物体对周围环境温度变化响 应的快慢，时间常数小的响应快，时间常数 大的响应慢，其主要影响因素为物体的热容 量和物体表面的对流换热条件。
非稳态导热的不同时刻物体的温度分布
2.两个阶段
非正规状况阶段(初始状况阶段)
在=3时刻之前的阶段，物体内的温度
分布受初始温度分布的影响较大。
正规状况阶段
在 = 3时刻之后，初始温度分布的影
响已经消失，物体内的温度分布主要 受边界条件的影响.
3.热量变化
与稳态导热的另一区别：由于有温 度变化要积聚或消耗热量，同一时刻 流过不同界面的热流量是不同的。
( x, ) e a 2 [ A cos( x ) B sin( x )]
( x, ) e a 2 [ A cos( x) B sin( x)] （a）
常数A、B和β可由边界条件确定。
0, t0-t 0
(1)
x 0, x 0
(2)
x , - x h
(3)
BiV FoV
0
BiV 越小表明内部导热热阻越小或外部热阻越
大，从而内部温度就越均匀，集总参数法
的误差就越小。 对热电偶测温情况，一
般使BiV=0.001量级或最小。
BiV 0.1M
为判定系统是否为集总参数系 统 ，M为形状修正系数。
厚度为2的大平板 V A＝ M 1 直径为2r的长圆柱体 V A＝ r 2 M 0.5
当几何形状及边界条件都比较简单时可获得分 析解。

第三章_非稳态导热问题的分析解


ρ C pV
初始条件为 令θ =
dT = q vV − σ XS (T 4 − T w4 ) dτ
（a） （b）
T = T0 τ = 0，
qv L σ XT 03 L aτ T V 4 +θw ， Fo = 2 ， M o = ，N = ，其中， L = 为 4 T0 λ S σ XT 0 L
dθ + M o (θ 4 − N 4 ) = 0 dFo
薄壁物体的温度响应在非稳态导热过程中如果物体内的温度始终是均匀一致的如导热系数很高的薄壁物体或者说当一个物体与周围环境进行热交换时若认为物体内部的温度分布并不重要而只是关心物体的总体温度随着时间的变化如用热电偶测量气流的温度我们常常只关心整个热电偶结点的温度随时间的变化而对于结点内部的温度分布并不重要
∞
r
r
∞
0
0
Bi =
αL λ
L
（3—2）
其中，α 是对流换热系数； L 是物体的特性尺寸，对于平板，即是厚度，对于圆柱体和球， 即是半径； λ 是物体的导热系数。实际上，Biot 数是物体的导热热阻（ 换热热阻（
λ
）与表面的对流
1
α
）的比。一般情况下，当 Bi < 0.1 时，导热物体可近似为薄壁。
−
（e）
θ = C 1e
αS τ ρ C pV
（f）
取（d）的特解为 θ = 1 ，所以方程（d）的一般解为
θ = 1 + C 1e
−
αS τ ρ C pV
（g）
根据初始条件（c） ，求得 C1 = −1 ，因此，终解即热电偶结点的温度变化规律为
3
θ = 1 − exp( −
θ
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e(
1
)
2
a 2
cos[(
1
)
x

]
m
2sin( 1 )
e(
1
)2
a 2
0 1 sin( 1 ) cos(1 )

(x, m
)

cos[( 1
)
x

]
(x, ) m (x, )
0
0 m
华北电力大学
梁秀俊
高等传热学
三、正规状况阶段的实用计算方法
0
t0 t
高等传热学
对于厚度为2δ1的大平壁，数学描述为
对于厚度为2δ2的大平壁，数学描述为
华北电力大学
梁秀俊
1证明 2证明
高等传热学
满足导热微分方程 满足初始条件
3证明
满足边界条件
华北电力大学
梁秀俊
高等传热学
3-3 半无限大物体的非稳态导热
一、半无限大物体概述
y
所谓半无限大物体，几何上是
rVc
hA
d d


Af
cos

0 0 t0 t f
华北电力大学
梁秀俊
高等传热学
解为：



0

1

Af
2
2 r

exp


r
随时间按指数规律衰减

Af
1

பைடு நூலகம்

2
2 r
cos arctan
随时间周期性变化
华北电力大学
梁秀俊
高等传热学
三、环境温度线性变化 t f t0 b
该问题的数学描述为（能量方程）
rcV
dt
d
hA(t
tf
)

0
令
rVc d b hA d
t t0
积分得
0 0
随时间按指数规律衰减
随时间线性变化


b
rVc
hA
exp
t

0
a
2t x2
t
(
x,0)

t0
x 0
t(0, ) tw
t tw
x t(x, ) t0
华北电力大学
a 2

x 2
0, 0
x 0, 0, 0
x , 0, 0
x
傅里叶数—无量纲时间
毕渥数—表示内部导热热阻与表 面对流换热热阻相对大小 无量纲距离
华北电力大学
梁秀俊
高等传热学
二、非稳态导热的正规（正常）状况阶段
计算表明，当傅里叶数Fo0.2（0.5）后，对于 公式只取级数的第一项计算和完整计算误差很小。
(x, ) 0

1
2sin( 1 ) sin( 1 ) cos(1 )
侧介质温度为 t并保持不变
2δ
的流体中，两侧表面与介质
之间的表面传热系数为h。
华北电力大学
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高等传热学
2、数学描述
由于平板温度场对称，因此只取平板的一半进行研究， 以平板的中心为坐标原点建立坐标系，如图所示。
t 2t a
x2
0, t t 0
x 0, t x 0
0
m ( ) 0
m ( )

四、无限长圆柱 过程类似 图线类似
无限大平板无量纲过 华北电力大学 余温度曲线
梁秀俊
四、乘积解
高等传热学
在二维和三维非稳态导热问题中，几种典型几何 形状物体的非稳态导热问题可以利用一维非稳态导 热分析解的组合求得。无限长方柱体、短圆柱体及 短方柱体就是这类典型几何形状的例子。
华北电力大学
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高等传热学
矩形截面的无限长方柱体是由两个无限大平壁垂 直相交而成；短圆柱是由一个无限长圆柱和一个无 限大平壁垂直相交而成 ；短方柱体（或称垂直六面 体）是由三个无限大平壁垂直相交而成；
华北电力大学
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无量纲过高等余传温热学度乘积解
对于无限长方柱体
x, y, x, y,
高等传热学
(x, ) (x, ) m ( ) ;
0
m ( ) 0
m ( ) f (Bi, Fo) 0
无限大平板中心无量纲过余温度曲线
华北电力大学
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高等传热学
(x, ) (x, ) m ( ) ; (x, ) f (Bi, x )
热电偶时间常数
热惰性级别 时间常数（秒）
Ⅰ
90~180
Ⅱ
30~90
Ⅲ
10~30
Ⅳ
≤10
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高等传热学
练习 一厨师在炒鸡肉丝时要品尝一下咸淡，于是他从
100℃的 热炒锅中取出一鸡肉丝，用口吹了一会， 待其降至65℃时再放入口中。试估算厨师需要吹多 长时间？出锅时鸡肉丝可视为平均直径为2mm的圆 条，厨师口中吹出的气流温度为30℃，其与鸡肉丝 之间的表面传热系数为100W/(m2·K), 鸡肉丝的密 度为810kg/m3，比热容为3350J/(kg·K)，导热系 数1.1W/(m·K)。
0
0
0
对于短圆柱体
x,r, x, r,


0
0
0
对于短方柱体
x, y,z, x, y, z,
0
0
0
0
华北电力大学
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高等传热学
华北电力大学
梁秀俊
令Θ (x, y, ) t t
1、导热数学描述及求解
任意形状的固体在第 三类边界条件下的换热， 且满足集总体的概念。其 体积为V，表面积为A，具 有均匀的初始温度t0。环境 流体温度恒为t∞，t0>t∞。物 性参数为常量。
华北电力大学
流体温度t∞ 表面换热系数h
体积为V 表面积为A
物性r, , c
初始温度t0
梁秀俊
高等传热学
能量守恒方程式
rcV
dt
d

qr
r dA

A
V qV dV
如果表面对流换热，且导热体内无内热源时，
rcV
dt
d
hA(t
t)
令： t t — 过余温度
rVc d hA 0
d
分离变量得
1 d hA d

rVc
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高等传热学
从0到任意时刻 积分
指如图所示的那样的物体，其
特点是从x=0的界面开始可以 0
x
向x正的方向及其它两个坐标
(y,z)方向无限延伸。半无限大 z
物体是非稳态导热的特有概念。
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高等传热学
二、相似性变换法求解给定壁温问题
一个半无限大物体, 初始温度均匀为t0 ，在 =0
时刻，在x=0的一 侧表面温度突然升高到tw ，并保 持不变，现在要确定物体内部温度随时间的变化。
t t0
x t(x, ) t0
1.采用近似拟合公式
见相关文献 2.线算图法-海斯勒图
对于无限大平板按如下公式和图计算。
(x, ) (x, ) m ( )
0
m ( ) 0
f (Bi, x ) f (Bi, Fo)

m 平板中心的过余温度
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高等传热学
0

Aexp( 12Fo) f
和（2）之间。
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3-1 集总热容分析
一、 集总体的概念
Bi0
内部导热热阻远小于表面换热 热阻的非稳态导热体称为集总体， 任意时刻导热体内部各点温度接近 均匀，这样导热体的温度只随时间 变化，而不随空间变化，故又称之 为零维问题。
华北电力大学
梁秀俊
高等传热学
二、环境温度为定值
Q f (x, y, z, )
华北电力大学
初始温度均匀为t0， 左侧突然升温至t1.
如果平壁左侧有 恒定的热流q加热， 平壁内温度如何 变化？
梁秀俊
高等传热学
无限大平板内的温度分布如图所示，试分析
（1）如果大平板为稳态无内热源导热，
导热系数随温度如何变化？
t
（2）如果大平板为常物性无内热源导热, 则该大平板是加热过程还是冷却过程？

a
(V / A)2
称为傅立叶数
同样FoV是特征尺度l用V/A表示的傅里叶数。
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量，即散热量

Q0

Φ( )d
0
rVc(t0 t)
hA
rVc0 (1 e rVc ) J
华北电力大学
梁秀俊
高等传热学
2.符合集总体的判别条件
热系数 h （Bi=h / ），
对流换热热阻趋于0。平壁的表 面温度几乎从冷却过程一开始， 就立刻降到流体温度 t 。
华北电力大学
梁秀俊
高等传热学
(2) 当Bi0时，意味着物体的导 热系数很大、导热热阻 0
（Bi=h/ ）。任何时间物体内
的温度分布都趋于均匀一致。
(3) 当0<Bi<时，情况介于（1）
1 d hA

d
0
rVc 0

t t
hA
e rVc
0 t0 t
上式中右端的指数可作如下变化