2016-2017年高二理科数学综合测试卷(含答案)
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yyyyB、A 、2016-2017高二理科数学综合测试卷（1）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．已知集合{}{}2230,22A x x xB x x=--≥=-≤<，则A B=( ) A．[]2,1--B．[)1,2-C．[]1,1-D．[)1,22．()()3211+-ii=（）A．1i+B．1i-C．1i-+D．1i--3．设函数()(),f xg x的定义域都为R，且()f x是奇函数，()g x是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．()()f xg x是偶函数B．()()f xg x是奇函数C．()()f xg x是奇函数D．()()f xg x是奇函数4．已知F为双曲线()22:30C x my m m-=>的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A B．3C D．3m5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．18B．38C．58D．786．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数()f x，则()y f x=在[]0,π的图像大致为（）7．执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1，2，3，则输出的M =（ ） A ．203 B ．72 C ．165 D ．1588．设0,,0,,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且1sin tan cos βαβ+=,则（ ） A ．32παβ-=B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=9.不等式组1,24x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D,有下面四个命题：()1:,,22p x y D x y ∀∈+≥-；()2:,,22p x y D x y ∃∈+≥ ；()3:,,23p x y D x y ∀∈+≤；()4,:,,21p x y D x y ∃∈+≤-；其中的真命题是（ ）A ．23,p pB ．12,p pC ． 14,p pD ．13,p p10.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若4FP FQ =,则QF = （ ） A ．72 B ．3 C ． 52D ．2 11．已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ． (),2-∞-D ．(),1-∞-12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）A ．62B ．6C ．42D ．4二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。
13.8()()x y x y -+的展开式中27x y 的系数为 .(用数字填写答案) 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 15.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 . 16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.（1）证明：2n n a a λ+-=；（2）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s . (i)利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX . 附：150≈12.2.若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544.19. (本小题满分12分)如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥. (Ⅰ) 证明：1AC AB =；（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o160CBB ∠=，ABBC ，求二面角111A A B C --的余弦值.20. (本小题满分12分) 已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>3，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 23，O 为坐标原点. （1）求E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.21. (本小题满分12分)设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值。
23. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若0,0a b >>，且11a b+=. （1）求33a b +的最小值；（2）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.参考答案一、选择题1．A 解析：{}()(){}{}223031013A x x x x x x x x x =--≥=-+≥=≤-≥或，又{}22B x x =-≤<，A B =[]2,1--，故选A2．D 解析：()()()()()()3222111211211i i i i i i i i i ⋅===---++++--，故选D 3．C 解析：()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则()()f x g x 是奇函数，排除A()f x 是奇函数，()f x 是偶函数，()g x 是偶函数，则()()f x g x 是偶函数，排除B ()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则()()f x g x 是奇函数，C 正确()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()f x g x 是奇函数，则()()f x g x 是偶函数，排除D ，故选C4．A 解析：双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴长b A5．D 解析：周六没有同学的方法数为1，周日没有同学的方法数为1，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为4422728P -==，故选D 6．C 解析：由已知1,sin ,cos OP PM x OM x ===，又()1122f x OP OM MP ⋅=，所以()1sin cos sin 22f x x x x ==，故选C 7．D 解析：当2n =时，33,2,22M a b ===；当3n =时，838,,323M a b ===；当4n =时，15815,,838M a b ===；此时运算终止，158M =，故选D8．C 解析: 由1sin tan cos βαβ+=得sin 1sin sin cos cos cos sin cos cos αβαβααβαβ+=∴=+ 即()sin cos αβα-=,所以()sin sin 2παβα⎛⎫-=-⎪⎝⎭,由已知0,,0,,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以,02222ππππαβα-<-<<-<,sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,所以,222ππαβααβ-=--=,故选C9．B 解析:令()()()()222x y m x y n x y m n x m n y +=++-=++-,所以122m n m n +=⎧⎨-=⎩,解得4313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以()()4122033x y x y x y +=+--≥,因而可以判断12,p p 为真,故选B10．B 解析:由已知2,2,P F x x =-=又4FP FQ =,则()442Q x -=-,1Q x ∴=,过Q 作QD 垂直于l ，垂足为D ，所以3QF QD ==，故选B11．C 解析：当0a =时， ()231f x x =-+有两个零点，不满足条件当0a ≠时，()22'363f x ax x ax x a ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，令()2'030f x ax x a ⎛⎫=⇒-= ⎪⎝⎭，解得20x x a ==或，当0a <时，()3231f x ax x =-+在2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()0,+∞递增，2,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，2241=f a a ⎛⎫-+⎪⎝⎭为极小值，()01=f 为极大值，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，只需22410,a 2=f a a ⎛⎫-+><- ⎪⎝⎭即为，当0a >时，()3231f x ax x =-+在()22,0,0,a a ⎛⎫⎛⎫-∞+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和递增，递减，()01=f 为极大值，2241=f a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭为极小值，不可能有满足条件的极值，故选C12．B 解析：几何体为如图所示的一个三棱锥P ABC -，底面ABC 为等腰三角形，,A 4,AB BC C == 顶点B 到AC 的距离为4，面PAC ABC ⊥面，且三角形PAC 为以A 为直角的等腰直角三角形，所以棱PB 最长，长度为6，故选BP二、填空题13．20- 解析：888()()()()x y x y x x y y x y -+=+-+，故展开式中22x y 的系数为128882820C C -=-=-14．A 解析：乙没去过C 城市，甲没去过B 城市，但去过的城市比乙多，所以甲去过A ，C ，三人都去过同一个城市，一定是A ，所以填A15．2π解析：1()2AO AB AC =+，如图所示，O 为BC 中点，即BC 为圆O 的直径，所以AB 与AC 的夹角为2π。
