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⾼斯公式⾼斯公式（Gauss Formula ）(⼀) ⾼斯公式：1st 导论：格林公式表达了平⾯闭区域D 上的⼆重积分与D的边界曲线的曲线积分的关系，⽽gauss formula 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲线上的曲⾯积分之间的关系。
2nd 定理1：设空间闭区域Ω是由分⽚光滑的闭曲⾯组成，函数∑(,,)P x y z ，，(,,)Q x y z (,,)R x y z 在上具有⼀阶连续偏导数，则： ∑()(P Q R dv Pd )ydz Qdxdz Rdxdy x y z Ω∑++=++∫∫∫∫∫或者： ……gauss formula ()(cos cos co P Q R dv P Q R dS x y z αβγΩ∑++=++∫∫∫∫∫ s )这⾥，是整个边界区域的外侧，∑(cos ,cos ,cos )αβγ是上点∑(,,)x y z 处的法向量的⽅向余弦。
(⼆) 沿任意闭区曲⾯的曲⾯积分等于0的条件：A. ⼆维单连通区域：对空间区域G ，如果G 内任意闭曲⾯所围成的闭曲⾯总是属于G ，则称空间区域G 是⼆维单连通区域。
B. 设G 是空间⽽为单连通区域，，，(,,)P x y z (,,)Q x y z (,,)R x y z 在G 内具有⼀阶连续偏导数，则曲⾯积分：(P Q R dv x y z )Ω++∫∫∫在G 上与所取曲⾯∑⽆关，⽽只取决于∑的边界曲线（或者沿G 内任⼀闭曲⾯的曲⾯积分为0）的充要条件是：0P Q R x y z++=；、(三)通量与散度总结：⼀般地，设某向量场由：(,,)(,,)(,,)(,,)x y z P x y z Q i j x y A z R x y z =++u r k r r r给出，其中 PQR 具有⼀阶连续偏导数，∑是场内的⼀⽚有向曲⾯，是上⼀点n r ∑(,,)x y z 处的单位法向量，则A n dS ∑∫∫u r r 叫做向量场A u r 通过曲⾯指定侧的通量（或者流量），⽽∑P Q R x y ++z 称作向量场A u r 的散度：P Q R x v zdi A y ++=u r GAUSS FORMULA 可以写成：()(nP Q R dv Pdydz Qdxdz Rdxdy x y z div AdS A dS Ω∑Ω∑++=++==∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫r u r u r )其中是空间闭区域的边界曲⾯，⽽∑Ωcos cos cos n A P Q R αβγ=++r表⽰向量A u r 在曲⾯外侧法向量上的投影。
高等数学公式空间解析几何和向量代数：。
代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。
与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(2222222212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u AB AB j z z y y x x M Md zyx z y xzy xzyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x u u KK K KK K K K K K K K K K K K KK KK K K K K K K ⋅×==⋅×=×=⋅==×=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=−+−+−== （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,,22211};,,{,1302),,(},,,{0)()()(1222222222222222222220000002220000000000=+−=−+=+=++⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===−=−=−+++++==++=+++==−+−+−cz b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x ptz z nty y mtx x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d czb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A K K多元函数微分法及应用z y z x y x y x y x y x F F yzF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx xudu y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zu dy y u dx x u du dy y z dx x zdz −=∂∂−=∂∂=⋅−∂∂−∂∂=−==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==Δ+Δ=≈Δ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ， 隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuFv u G F J v u y x G v u y x F vu v u ∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx yx x z x z z y z y −=−=−=−+−+−==⎪⎩⎪⎨⎧====−′+−′+−′′−=′−=′−⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线KK ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。
高数下公式总结高数下公式总结高等数学下册公式总结1、N维空间中两点之间的距离公式：p(x1,x2,...,xn),Q(y1,y2,...,yn)的距离PQ(x1y1)2(x2y2)2...(xnyn)22、多元函数zf(x,y)求偏导时，对谁求偏导，就意味着其它的变量都临时看作常量。
比如，就可以了。
z表示对x求偏导，计算时把y当作常量，只对x求导x2z2z3、二阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关，即。
xyyx4、多元函数zf(x,y)的全微分公式：dzzzdxdy。
xy5、复合函数zf(u,v),u(t),v(t)，其导数公式：dzzduzdv。
dtudtvdtFXdy,Fy分别表示对x,y6、隐函数F(x,y)=0的求导公式：，其中FxdXFy求偏导数。
方程组的情形：{F(x,y,u,v)0的各个偏导数是：G(x,y,u,v)0FFxvGGuv，xxFFuvGGuvFFuxGGuux，yFFuvGGuvFFyvGGyvFFuvGGuv，v。
yFFuvGGuvFFyuGGuy7、曲线的参数方程是：x(t),y(t),z(t)，则该曲线过点M(x0,y0,z0)的法平面方程是：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0切线方程是：(xx0)(yy0)(zz0)。
(t0)(t0)(t0)8、曲面方程F(x,y,z)＝0在点M(x0,y0,z0)处的法线方程是：(xx0)(yy0)(zz0)，FxFyFz(xx0)Fy(yy0)Fz(zz0)0。
切平面方程是：Fx9、求多元函数z=f(x,y)极值步骤：第一步：求出函数对x,y的偏导数，并求出各个偏导数为零时的对应的x,y的值其次步：求出fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)C 第三步：推断AC-B2的符号，若AC-B2大于零，则存在极值，且当A 小于零是极大值，当A大于零是微小值；若AC-B2小于零则无极值；若AC-B2等于零则无法推断10、二重积分的性质：（1）（2）(3)kf(x,y)dkf(x,y)dDD[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)dDDDDD1D2f(x,y)df(x,y)df(x,y)d(4)若f(x,y)g(x,y)，则（5）f(x,y)dg(x,y)dDDds，其中s为积分区域D的面积D（6）mf(x,y)M，则ms（7）积分中值定理：f(x,y)dMsDf(x,y)dsf(,)，其中(,)是区域D中的点DdP2(y)11、双重积分总可以化简为二次积分（先对y，后对x的积分或先对x，后对y的积分形式）bP2(x)f(x,y)ddxDaP1(x)f(x,y)dydycP1(y)f(x,y)dx，有的积分可以随便选择积分次序，但是做题的简单性会消失不同，这时选择积分次序就比较重要，主要依据通过积分区域和被积函数来确定12、双重积分转化为二次积分进行运算时，对谁积分，就把另外的变量都看成常量，可以根据求一元函数定积分的方法进行求解，包括凑微分、换元、分步等方法13、曲线、曲面积分：（1）对弧长的曲线积分的计算方法：设函数f（x,y）在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为x(t)y(t)，(t)，则Lf(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt（2）格林公式：(DQP)dxdyPdxQdyxyLL14、向量的加法与数乘运算：a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2)，则有ka(kx1,ky1,kz1)，xyzab(x1x2,y1y2,z1z2)，若ab，则111x2y2z215、向量的模、数量积、向量积：若a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2)，则向量a的模长222ax1y1z1；数量积（向量之间可以交换挨次，其结果是一个数值）ab＝bax1x2y1y2z1z2＝baabcosa,b，其中a,b表示向量b,a的夹角，且若ab，则有ab＝0；向量积（向量之间不行以交换挨次，其结果仍是一个向量）ijkabx1y1z1(y1z2y2z1)i(x2z1x1z2)j(x1y2x2y1)k，其中i,j,k是x 轴、x2y2z2y轴、z轴的方向向量16、常数项无穷级数unu1u2u3...un...，令snu1u2u3...un称为无n1穷级数的部分和，若limsns，则称改级数收敛，否则称其为发散的。
文章编号：!""#$%&’(（#""(）"($"")*$"(非光滑函数的格林公式、高斯公式和斯托克斯公式李日光，欧苡（广西师范学院数学与计算机科学系，广西南宁)("""!）摘要：利用富比尼定理建立了非光滑函数的格林公式、高斯公式和斯托克斯公式+关键词：富比尼定理；非光滑函数；格林公式中图分类号：,!&#+#文献标识码：-在牛顿—莱布尼兹公式!!"#$（%）.%&#（%）’!"中，只须要求#$（%）在［"，!］上可积，格林公式"(（#)#%*#+#,）.%.,&$-+.%.).,是牛—莱公式在二元情况下的推广，是否能只要求#)#%、#+#,在(内可积呢？本文利用实变函数的知识对此作了肯定的回答/定理!若函数+（%，,），)（%，,）在闭区域(上连续，且#)#%，#+#,在(上黎曼可积，则有"(（#)#%*#+#,）.%.,&$-+.%.).,，（!）这里-为区域(的边界曲线，并取正方向/证明先假设穿过区域(内部且平行于坐标轴的直线和-至多交于两点，即区域(既是/型区域又是0型区域（图!）/设(&｛（%，,）’!!（%）%,%!#（%），"%%%!｝或(&｛（%，,）’!!（,）%%%!#（,），"%,%#｝，这里,&!!（%）和,&!#（%）分别为曲线012和032的方程，而%&$!（,）和%&$#（,）则分别是曲线103和123的方程/由于#)#%，#+#,在(上黎曼可积，从而勒贝格可积，由富比尼定理（文［!］，1!(&，定理’）可得"(#+#,.%.,&!!".%!!#（%）!!（%）#+#,.,&!!"+（%，!#（%））.%*!!"+（%，!!（%））.%&!032+（%，,）.%*!012+（%，,）.%&*!230+（%，,）.%*!012+（%，,）.%&*$-+（%，,）.%同理可以证得"(#)#%.%.,&&$-)（%，,）.,将上述两个结果相减即得（!）/收稿日期：#""(4"*4!2作者简介：李日光（!2’’*），男（壮族），广西隆安人，副教授，硕士，主要从事常微分方程研究/万方数据当!是一般情形时的证明和普通的数学分析教科书的证明相同，略"更进一步，我们讨论虽然!#!$，!%!&不存在，但右偏导数!’#!$，!’%!&（或左偏导数）在!上存在且黎曼可积的情形，例如多元凸函数就属于这种情形"定理!若函数%（$，&），#（$，&）在闭区域!上连续，右偏导数!’#!$，!’%!&在!上存在且黎曼可积，则有"!（!’#!$(!’%!&）"$"&)#*%"$’#"$，（!）这里*为区域!的边界曲线，并取正方向"证明和定理#的证明相同，其中第#个等号要用到富比尼定理，第!个等号要用到文［!］$%&命题’的结论"注对左偏导数，亦有同样结论"对高斯公式和斯托克斯公式，也有类似的结论"定理(设空间区域+由分片光滑的双侧封闭曲面,围成"若函数%，#，-在+上连续，且一阶偏导数!%!$，!#!&，!-!.在+上黎曼可积，则$+（!%!$’!#!&’!-!.）"$"&".)%,%"&".’#"."$’-"$"&，其中,取外侧"证明和定理#类似，略"定理)设空间区域+由分片光滑的双侧封闭曲面,围成"若函数%，#，-在+上连续，一阶右偏导数!’%!$，!’#!&，!’-!.在+上存在且黎曼可积，则$+（!’%!$’!#!&’!-!.）"$"&".)%,%"&".’#"."$’-"$"&"把右偏导数改为左偏导数，也有类似结论"定理&设光滑曲面,的边界*是按段光滑的连续曲线"若函数%、#、-在,（连同*）上可微，一阶偏导数在,（连同*）上黎曼可积，则",（!-!&(!#!.）"&".’（!%!.(!-!$）"."$’（!#!$(!%!&）"$"&)#*%"$’#"&’-".，其中,的侧与*的方向按右手法则确定"证明和数学分析教科书中的证明基本相同，例如可参看文［(］"只须把其中的格林公式改为定理#，%、#、-的可微性是由于证明中用到了复合函数求导的链式法则"例设%)$（$!’&!）#(，（$，&）&（*，*）*，（$，&）)（*，*{），#)&（$!’&!）#(，（$，&）&（*，*）*，（$，&）)（*，*{），则!%!&)!#!$)(!(・$&（$!’&!）)(，（$，&）&（*，*）*，（$，&）)（*，*{）"可验证%，#在含原点的闭区域!内连续，而!%!&，!#!$在原点不连续，显然有"!（!#!$(!%!&）"$"&)*，・%&・第(期李日光，欧苡：非光滑函数的格林公式、高斯公式和斯托克斯公式万方数据式中左边是收敛的反常二重积分!设"为#内任一条封闭曲线（含原点），"!为绕原点一周的圆!"!$%&’"#$!，(&’$%&!，（’!!!("）!则有""))%*+)(&""!))%*+)(&#("’,’("#$!$%&!*’($%&!"#$!’(*)!&’，故$#!（%+%%,%)%(）)%)(&""))%*+)(&’，公式（!）成立，其中#!为#内以"为边界的闭区域!参考文献：［!］程其襄，等+实变函数与泛函分析基础［,］+北京：高等教育出版社，!-.*+［(］方初宝+数学分析选讲［,］+南宁：广西人民出版社，!-./+［*］华东师范大学数学系+数学分析（第三版）［,］+北京：高等教育出版社，(’’!+0122&’$3#14567，075$$’$3#145677&)89#:2$’$3#14567#;<#&$4##9=35&"9%#&$!"#$%&’()&，*+,$（>2?9+#;,79=2479%"$7&)@#4?59218"%2&"2，057&A B%C27"=21$@#662A 2，<7&&%&A 057&A B%D*’’’!，@=%&7）-./01(20：E&9=%$?7?21，F22$97G6%$=0122&’$;#14567，075$$’$;#145677&)$9#:2$’$;#14567#;&#&H $4##9=;5&"9%#&$F%9=9=2=26?#;9=235G%&%C=2#124+3456718/：35G%&%C=2#124；&#&$4##9=;5&"9%#&$；0122&’$;#14567［责任编辑：班秀和］・.D ・广西师范学院学报（自然科学版）第(’卷万方数据。
高斯公式和格林公式的关系
格林公式表达了平面闭区域上二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而高斯公式表达了空间比区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.
其实格林公式就是二重积分与曲线积分之间的转换，而高斯公式就是三重积分与曲面积分的转换；
而斯托克公式是格林公式的推广，把曲面积分与沿曲面边界的曲线积分联系起来.注意斯托克公式中，若边界L在xoy面上，则有dz=0.即得到了格林公式。
格林公式是一重积分和二重积分相互联系在一起。
高斯公式是二重积分和三重积分相互联系在一起。
这几个公式，逐步深入。
格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的应用讲解学习Green公式、Stokes公式、Gauss公式在专业学科中的应用摘要格林（Green）公式，斯托克斯（Stokes）公式和高斯（Gauss）公式是多元函数积分学中的三个基本公式，它们分别建立了曲线积分与二重积分、曲面积分与三重积分、曲线积分和曲面积分的联系。
它们建立了向量的散度与通量、旋度与环量之间的关系，除了在数学上应用于计算多元函数积分，在其他领域也有很多重要的应用。
本文将主要从这三个公式与物理学之间的联系展开介绍它们的其他应用，其中包括应用于GPS面积测量仪，确定外部扰动重力场，应用于保守场以及推证阿基米德定律和高斯定理等，帮助人们加深对格林公式、斯托克斯公式和高斯公式的理解，从而能够更准确地应用此三个公式。
关键词：格林公式斯托克斯公式高斯公式散度旋度应用目录一、引言 (1)二、格林（Green）公式的应用 (1)（一）格林公式的定义 (1)1、单连通区域的概念 (1)2、区域的边界曲线的正向规定 (1)3、陈述 (1)(二)格林公式的物理原型 (1)1、物理原型 (2)2、计算方法 (2)（三）格林公式与GPS面积测量仪 (3)1.应用曲线积分计算平面区域面积 (3)2.GPS面积测量仪的数学原理 (4)3.实验结果 (5)4.进一步讨论 (5)（四）应用格林积分直接以地面边值确定外部扰动重力场 61.扰动重力位的地面边值问题 (6)2.地面边值问题的格林公式表示 (6)三、Stokes公式的应用 (8)（一）Stokes公式简介 (8)（二）环量与环量密度 (9)（三）环量的应用 (9)1.开尔文定理 (9)2.开尔文定理的推论 (10)3.升力 (10)（四）旋度 (11)（五）旋度的应用 (12)1. 平面矢量场的旋度 (12)2.环流量是区域S 内有无漩涡的量度 (12)3.旋度是矢量场某点漩涡强度的量度 (13)4.空间矢量场的旋度 (13)四、Gauss公式的应用 (16)1、数学中的高斯公式 (16)2、保守场的推导 (17)3、高斯公式在电场中的运用 (17)4、高斯定理在万有引力场中的应用 (19)5.高斯公式推证阿基米德浮力定律 (21)6.高斯公式推证静电场中的高斯定理 (22)7.高斯公式与散度 (24)五、结语 (25)六、参考文献 (26)一、引言格林（Green）公式，斯托克斯（Stokes）公和高斯（Gauss）公式是多元函数积分学中的三个基本公式，它们分别建立了曲线积分与二重积分、曲面积分与三重积分、曲线积分和曲面积分的联系。
