第五讲同余的概念和性质
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。
《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。
“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。
“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。
“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。
“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。
慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。
只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。
今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。
你会解答下面的问题吗？
我国古代的读书人，从上学之日起，就日诵不辍，一般在几年内就能识记几千个汉字，熟记几百篇文章，写出的诗文也是字斟句酌，琅琅上口，成为满腹经纶的文人。
为什么在现代化教学的今天，我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生，竟提起作文就头疼，写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差，中学语文毕业生语文水平低，……十几年上课总时数是9160课时，语文是2749课
时，恰好是30%，十年的时间，二千七百多课时，用来学本国语文，却是大多数不过关，岂非咄咄怪事!”寻根究底，其主要原因就是腹中无物。
特别是写议论文，初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证，也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题，但真正动起笔来就犯难了。
知道“是这样”，就是讲不出“为什么”。
根本原因还是无“米”下“锅”。
于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来，抄人家的名言警句，抄人家的事例，不参考作文书就很难写出像样的文章。
所以，词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。
要解决这个问题，不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫，必须认识到“死记硬背”的重要性，让学生积累足够的“米”。
问题1：今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几？
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。
”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。
清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。
可见，“教师”一说是比较晚的事了。
如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。
辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教
员”。
这个问题并不难答.因为，一个星期有7天，而15÷7=2…1，即15＝7×2+1，所以“六·一”儿童节是星期一。
问题2：1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几？
这个问题也难不倒我们.因为，1993年有365天，而365=7×52+1，所以1994年的元旦应该是星期六。
问题1、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题.这样就产生了“同余”的概念.如问题1、2中的15与365除以7后，余数都是1，那么我们就说15与365对于模7同余。
同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：
a≡b（modm）. （*）
上式可读作：
a同余于b，模m。
同余式（*）意味着（我们假设a≥b）：
a-b=mk，k是整数，即m｜（a-b）.
例如：①15≡365（mod7），因为365-15=350=7×50。
②56≡20（mod9），因为56-20=36＝9×4。
③90≡0（mod10），因为90-0＝90=10×9。
由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a≡0（modm）。
例如，表示a是一个偶数，可以写
a≡0（mod 2）
表示b是一个奇数，可以写
b≡1（mod 2）
补充定义：若m（a-b），就说a、b对模m不同余，用式子表示是：
a b（modm）
我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质（其中a、b、c、d是整数，而m 是自然数）。
性质1：a≡a（mod m），（反身性）
这个性质很显然.因为a-a=0=m·0。
性质2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod m），（对称性）。
性质3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（传递性）。
性质4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（可加减性）。
性质5：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。
性质6：若a≡b（mod m），那么a n≡b n（mod m），（其中n为自然数）。
性质7：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。
注意同余式性质7的条件（c，m）＝1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。
例如6≡10（mod 4），而35（mod 4），因为（2，4）≠1。
请你自己举些例子验证上面的性质。
同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。
例1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？
解：∵288-214=74=37×2。
∵74-20=54，而3754，
∴7420（mod37）。
例2 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。
分析若先求乘积，再求余数，计算量太大.利用同余的性质可以使“大数化小”，减少计算量。
解：∵418≡2（mod13），
814≡8（mod13），1616≡4（mod13），
∴根据同余的性质5可得：
418×814×1616≡2×8×4≡64≡12（mod13）。
答：乘积418×814×1616除以13余数是12。
例3 求14389除以7的余数。
分析同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。
解法1：∵143≡3（mod7）
∵89＝64+16+8+1
而32≡2（mod 7），
34≡4（mod7），
38≡16≡2（mod 7），
316≡4（mod 7），
332≡16≡2（mod 7），
364≡4（mod 7）。
∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5（mod 7），∴14389≡5（mod 7）。
答：14389除以7的余数是5。
解法2：证得14389≡389（mod 7）后，
36≡32×34≡2×4≡1（mod 7），
∴384≡（36）14≡1（mod 7）。
∴389≡384·34·3≡1×4×3≡5（mod 7）。
例4 四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？分析与解答经观察试验我们可以发现，每经过4次互换，四盏灯的颜色排列重复一次，而1小时=60分钟=120×30秒，所以这道题实质是求120除以4的余数，因为120≡0（mod 4），所以开灯1小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。
十位，…上的数码，再设M=a0＋a1＋…＋an，求证：N≡M（mod 9）。
分析首先把整数N改写成关于10的幂的形式，然后利用10≡1（mod 9）。
又∵1≡1（mod 9），
10≡1（mod 9），
102≡1（mod 9），
10n≡1（mod 9），
上面这些同余式两边分别同乘以a0、a1、a2、…、a n，再相加得：
a0＋a1×10+a2×102+…+a n×10n
≡a0＋a1＋a2＋…＋a n（mod 9），
这道例题证明了十进制数的一个特有的性质：
任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
例如，求1827496被9除的余数，只要先求（1+8＋2＋7＋4＋9＋6），再求和被9除的余数。
再观察一下上面求和式.我们可以发现，和不一定要求出.因为和式中1＋8，2+7，9被9除都余0，求余数时可不予考虑.这样只需求4＋6被9除的余数.因此，1827496被9除余数是1。
有人时常利用十进制数的这个特性检验几个数相加、相减、相乘的结果对不对，这种检查方法叫：弃九法。
弃九法最经常地是用于乘法.我们来看一个例子。
用弃九法检验乘式5483×9117≡49888511是否正确？
因为5483≡5＋4＋8＋3≡11≡2（mod 9），
9117≡9＋1＋1＋7≡0（mod 9），
所以5483×9117≡2×0≡0（mod 9）。
但是49888511≡4+9＋8+8+8＋5+1+1
≡8（mod9），
所以5483×9117≠49888511，即乘积不正确。
要注意的是弃九法只能知道原题错误或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如，9875≡9＋8+7+5≡2（mod 9），
4873≡4＋8＋7＋3≡4（mod 9），
32475689≡3+2+4+7＋5+6+8+9
≡8（mod 9），
这时，9875×4873≡2×4≡32475689（mod 9）。
但观察个位数字立刻可以判定9875×4873≠32475689.因为末位数字5和3相乘不可能等于9。
弃九法也可以用来检验除法和乘方的结果。
例6 用弃九法检验下面的计算是否正确：
23372458÷7312＝3544。
解：把除式转化为：
3544×7312＝23372458。
∵3544≡3＋5＋4＋4≡7（mod 9），
7312≡7＋3＋1＋2≡4（mod 9），
∴3544×7312≡7×4≡1（mod 9），
但23372458≡2＋3＋3＋8≡7（mod 9）。
而17（mod 9）
∴3544×7312≠23372458，
即23372458÷7312≠3544。
例7 求自然数2100＋3101＋4102的个位数字。
分析求自然数的个位数字即是求这个自然数除以10的余数问题。
解：∵2100≡24×25≡625≡6（mod 10），
3101≡34×25·31≡125·31≡3（mod 10），
4102≡（22）100·42≡6·6≡6（mod 10），
∴2100＋3101＋4102≡6＋3＋6≡5（mod 10），
即自然数2100＋3101＋4102的个位数字是5.
习题五
1.验证对于任意整数a、b，式子a≡b（mod1）成立，并说出它的含义。
2.已知自然数a、b、c，其中c≥3，a除以c余1，b除以c余2，则ab除以c余多少？
3.1993年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几？
4.求33335555＋55553333被7除的余数。
5.所有自然数如下图排列.问300位于哪个字母下面？
6.数，被13除余多少？（提示：先试除，可知13|111111，而1993≡1（mod 6））。
7.用弃九法检验下面运算是否正确：
①845×372=315340；
②12345×67891=838114385；
③1144192613÷28997＝39459。
8.求1993100的个位数字.。
