关于R-半拓扑空间的一些探究

Pure Mathematics 理论数学, 2016, 6(6), 459-463Published Online November 2016 in Hans. /journal/pm /10.12677/pm.2016.66062文章引用: 靳敏倩，朱培勇. 关于R-半拓扑空间的一些探究[J]. 理论数学, 2016, 6(6): 459-463.Some Research on R-Semi-Topology SpaceMinqian Jin, Peiyong ZhuSchool of Mathematical Sciences, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu SichuanReceived: Oct. 30th , 2016; accepted: Nov. 14th , 2016; published: Nov. 23rd, 2016Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY)./licenses/by/4.0/AbstractFirstly, we explore the properties of point set on R-semi-topology space and then discuss the comparative theory of R-semi-topology. Finally separation properties of the R-semi-topology space are studied. Some theoretical results are obtained respectively in the above three aspects.KeywordsR-Semi-Topology, R-Semi-Topology Base, Comparison of R-Semi-Topology关于R-半拓扑空间的一些探究靳敏倩，朱培勇电子科技大学数学科学学院，四川 成都收稿日期：2016年10月30日；录用日期：2016年11月14日；发布日期：2016年11月23日摘 要本文首先对R-半拓扑空间中点集的性质进行研究，然后对R-半拓扑的比较进行讨论，最后研究R-半拓扑空间的分离性质，并且在上述三个方面都分别获得了一些理论结果。

Open Access靳敏倩，朱培勇关键词R-半拓扑，R-半拓扑基，R-半拓扑的比较1. 引言与预备知识2002年，匈牙利数学家A. Csaszar 在文献[1]中引入了广义拓扑概念，他定义：集合X 的一个子集族λ称为是一个广义拓扑，如果空集φλ∈并且对于任何族λ⊂G 有λ∈ G 。

不难看出：广义拓扑实际上是一个半拓扑。

2015年，文献[2]把广义拓扑称为上半拓扑，进而引入下半拓扑的概念，使得点集拓扑的一些性质得到了很好的推广。

最近，文献[3]和文献[4]利用文献[2]的研究方法，将任意一个拓扑进行重新剖分为两个半拓扑，即左半拓扑与右半拓扑，并且分别记这两个半拓扑为L-半拓扑与R-半拓扑。

同时，这两文献又从另一个角度推广了拓扑的概念，分别得到了L-半拓扑空间和R-半拓扑空间的一些研究结果。

本文主要在文献[4]的基础上，对R-半拓扑空间进行研究，主要讨论R-半拓扑空间的点集性质、R-半拓扑基与R-半拓扑的比较。

定义1.1 [4]：设X 是一个非空集合，λ是X 的一些子集构成的集族，如果下列条件被满足： (O1) φλ∈；(O2) 若12,G G λ∈，则12G G λ∩∈。

则称λ为集合X 上的一个R-半拓扑，并且称有序偶(),X λ为一个R-半拓扑空间，λ中的每一个集合都称为R-半拓扑空间(),X λ的R-开集。

本文在不混淆的情况下，通常用X 简记(),X λ。

定义1.2 [4]：设(),X λ为R-半拓扑空间，x X ∈，U X ⊂，如果G λ∃∈，使得x G U ∈⊂，则称U 为点x 的一个R-邻域。

点x 的邻域全体称为点x 的R-邻域系，记作()x ，并称(){}|x x X =∈ 为由拓扑λ导出的X 的R-邻域系。

定义1.3 [4]：设(),X λ为R-半拓扑空间，A X ⊂，x A ∈，如果()U x ∃∈ 使得U A ⊂，则称点x 为点集A 的R-内点。

点集A 的R-内点的全体称为A 的R-内部，记为0R A 或R int A 。

此外，本文中所有没定义的关于R-半拓扑空间的相关概念(例如子空间等)、术语和记号，如果没有特殊声明，都来自于文献[5]。

2. 关于R-半拓扑空间的一些性质根据文献[5]在一般拓扑空间中，有结论：A 为开集的充要条件是0A A =。

但在R-半拓扑空间中该结论不成立。

命题2.1：设X 是R-半拓扑空间，A X ⊂，若A 为开集，则0A A =。

反之，结论不成立。

证明：(1) 因为A 为开集，对x A ∀∈，G A λ∃=∈，使得x G A ∈⊂，由R-内点的定义可知0x A ∈，所以0A A ⊂；又显然有0A A ⊂，故0A A =。

(2) 反之，可取{},,,X a b c d =，{}{}{}{}{},,,,,,a a c d a d λφ=，则(),X λ是R-半拓扑空间。

又取{},,Aa c d X =⊂，则对∀x A ∈，G λ∃∈，使得x G A ∈⊂。

由R-内点的定义，有0x A ∈。

因此0A A ⊂；又0A A ⊂，所以有0A A =。

但A λ∉，因此A 不是开集。

下面是与拓扑空间类似的两个结果：命题2.2：设X 是R-半拓扑空间，A Y X ⊂⊂，如果Y 是X 的开子集，则A 开于Y 当且仅当A 开于X 。

证明：(必要性) 设A 开于Y ，存在X 中开集G 使得A G Y =∩，又因Y 是X 的开子集，则G Y λ∩∈，因此A 是X 中开集。

(充分性) 设A 开于X ，则A Y ∩开于Y 。

而A Y A ∩=，因此，A 开于Y 。

靳敏倩，朱培勇命题2.3：设X 是一个R -半拓扑空间，A Y X ⊂⊂，则()()()int int int X Y X A A Y =∩。

证明：对于()int X x A ∀∈，因()U x ∃∈ 使得x U A ∈⊂并且A Y ⊂，则()Y V U Y x ∃=∩∈ 使得x V U A ∈⊂⊂，故()int Y x A ∈。

又因()W x ∈ 且U Y ⊂，则()int X x Y ∈。

所以，()()int int Y X x A Y ∈∩。

反过来，对于()()int int Y X x A Y ∀∈∩，则存在()Y U x ∈ 使得x U A ∈⊂并且存在()V x ∈ 使得x V Y ∈⊂。

对于()Y U x ∈ ，又存在()W x ∈ 使得U W Y =∩，则存在()O V W x =∩∈ 使得()()O V Y W V W Y V U A =∩∩=∩∩=∩⊂。

因此，()int X x A ∈。

从而，()()()int int int X Y X A A Y =∩。

3. 关于R-半拓扑的比较定义3.1：设1λ，2λ是X 上的两个R -半拓扑，如果12λλ⊂，则称1λ是比2λ更粗的R -半拓扑，或称2λ是比1λ更细的R -半拓扑。

命题3.1：设1λ，2λ是X 上的两个R -半拓扑，1λ 和2λ 分别是关于1λ与2λ的全体闭集构成的集族，则1λ是比2λ更粗的R -半拓扑当且仅当12λλ⊂ 。

证明：(必要性) 1F λ∀∈ ，有1X F λ−∈，因12λλ⊂，则2X F λ−∈，故()2X X F F λ−−=∈ ，从而，12λλ⊂ 。

(充分性) 对于1G λ∀∈，有1X G λ−∈ ，因12λλ⊂ ，则2X G λ−∈ 。

故()2X X G G λ−−=∈，因此，12λλ⊂，1λ是比2λ更粗的R -半拓扑。

众所周知，在一般拓扑学中有定理[5]：如果1T ，2T 是X 上的两个拓扑，则12⊂T T 当且仅当x X ∀∈，有()()12x x ⊂ 。

下面证明：这定理在R -半拓扑空间中不成立：命题3.2：:设1λ，2λ是X 上的两个R -半拓扑，若12λλ⊂，则x X ∀∈，有()()12x x ⊂ 。

反之，结论不真。

证明：(1) 设12λλ⊂，对于x X ∀∈，()1U x ∀∈ ，1G λ∃∈，使得x G U ∈⊂。

因为12λλ⊂，则2G λ∈并且x G U ∈⊂，故()2U x ∈ ，所以()()12x x ⊂ 。

(2) 反之，可取{},X a b =，{}{}{}{}1,,,a b a b λφ=，，{}{}{}2,,a b λφ=，则1λ，2λ是X 上的两个R-半拓扑，由R-邻域的定义，有(){}{}{}()12,,a a a b a ==，(){}{}{}()12,,a b a b b ==因此，对于x X ∀∈，有()()12x x ⊂ 。

但是，12λλ⊄。

4. R-半拓扑基定义4.1：设(),X λ是R-半拓扑空间，λ⊂ ，如果G λ∀∈，存在{}|B λλ∈Λ⊂ ，使得G B λλ∈Λ= ，则称 为R-半拓扑λ的一个基，也称 为X 的一个R-半拓扑基。

命题4.1：设(),X λ是R-半拓扑空间， 为R-半拓扑λ的一个基当且仅当G λ∀∈，x G ∀∈，B ∃∈ 使得x B G ∈⊂。

证明：(必要性) 设 为R-半拓扑λ的一个基，即G λ∀∈，存在{}|B λλ∈Λ⊂ ，使得G B λλ∈Λ= ，故x G ∀∈，0λ∃∈Λ，使得0x B G λ∈⊂。

(充分性) G λ∀∈，若G φ=，则G B φ∃=⊂ ，使G G B = ；若G φ≠，因为x G ∀∈，x B ∃∈ ，使得x x B G ∈⊂。

故x x G B ∈Λ= 。

由R-半拓扑基的定义知： 为λ的一个基。

在一般拓扑空间中，有如下结论：设(),X λ是拓扑空间， 为λ的一个基，则 满足下面两个条件：(1)X = ；(2) 12,B B ∀∈ ，靳敏倩，朱培勇12x B B ∀∈∩，B ∃∈ 使得12x B B B ∈⊂∩。

但在R-半拓扑空间中，上述条件（1)X = 不一定成立。

例如：可取{},,,X a b c d =，则{}{}{}{}{}{},,,,,,a b c a c b c λφ=，，{}{}{}{},,a b c = ，但X ≠ 。

5. R-半拓扑空间的分离性质现在，类比一般拓扑空间的分离性质引入R-半拓扑空间的分离性质：定义5.1：设(),X λ是一个R-半拓扑空间，且X 中的任意一点都有包含它的邻域存在。