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长方体和正方体的表面积与体积容积今天咱们来一起认识长方体和正方体的表面积、体积还有容积呀。
先来说说长方体吧。
长方体就像咱们平时见到的盒子，比如说装鞋的盒子。
长方体有六个面呢，每个面的大小还不太一样。
那它的表面积就是这六个面的面积加起来。
咱们想象一下，要给这个鞋盒子包一层漂亮的纸，那这张纸的大小就是这个长方体鞋盒子的表面积啦。
比如说鞋盒子长是30厘米，宽是20厘米，高是10厘米。
那前面和后面这两个面的面积就是长乘高，30×10 = 300平方厘米，而且前面和后面的面积是一样的，所以这两个面的总面积就是300×2 = 600平方厘米。
再看上面和下面这两个面，面积是长乘宽，30×20 = 600平方厘米，这两个面的总面积就是600×2 = 1200平方厘米。
还有左右两个面，宽乘高，20×10 = 200平方厘米，这两个面的总面积就是200×2 = 400平方厘米。
最后把这六个面的面积加起来，600+1200+400 = 2200平方厘米，这就是这个鞋盒子的表面积啦。
长方体的体积呢，就像是这个鞋盒子能装多少东西。
计算长方体体积就是长乘宽乘高。
还是这个鞋盒子，30×20×10 = 6000立方厘米，这就是它的体积。
就好像这个鞋盒子里能装6000个小方块一样的东西呢。
再来说正方体。
正方体就比较特殊啦，它的六个面都是一模一样的正方形。
比如说魔方，魔方就是正方体。
正方体的表面积就很好算啦，因为每个面都一样。
假如正方体的棱长是5厘米，那一个面的面积就是棱长乘棱长，5×5 = 25平方厘米，六个面就是25×6 = 150平方厘米，这就是魔方的表面积啦。
正方体的体积就是棱长乘棱长乘棱长，5×5×5 = 125立方厘米，这就是魔方这个正方体的体积。
那容积又是啥呢？容积啊，就好比一个盒子里面能装多少液体之类的东西。
计算长方体体积与表面积的公式及应用长方体是我们生活中常见的一种几何体，其形状简单，但在实际应用中却有着广泛的用途。
在数学中，我们常常需要计算长方体的体积和表面积，这些计算公式不仅在数学课堂中有用，更在我们的日常生活中发挥着重要作用。
一、长方体的体积公式及应用长方体的体积是指其所占据的空间大小，计算长方体的体积可以用公式：体积= 长 ×宽 ×高。
其中，长、宽、高分别代表长方体的三个边长。
以一个实际问题为例，假设我们要计算一个长方体水箱的容积。
已知水箱的长为3米，宽为2米，高为1.5米。
根据体积公式，我们可以得到水箱的容积为3 × 2 × 1.5 = 9立方米。
这个容积的数值告诉我们，这个水箱最多可以容纳9立方米的水。
除了水箱容积的计算，长方体的体积公式还可以应用于其他实际问题，比如计算一个长方体盒子的容积，或者计算一个长方体房间的体积。
通过计算长方体的体积，我们可以更好地理解和利用空间。
二、长方体的表面积公式及应用长方体的表面积是指其所有表面的总面积，计算长方体的表面积可以用公式：表面积 = 2 × (长 ×宽 + 长 ×高 + 宽 ×高)。
其中，长、宽、高同样代表长方体的三个边长。
以一个实际问题为例，假设我们要计算一个长方体包装盒的表面积。
已知包装盒的长为10厘米，宽为5厘米，高为8厘米。
根据表面积公式，我们可以得到包装盒的表面积为2 × (10 × 5 + 10 × 8 + 5 × 8) = 260平方厘米。
这个表面积的数值告诉我们，这个包装盒的所有表面总共有260平方厘米的面积。
除了包装盒表面积的计算，长方体的表面积公式还可以应用于其他实际问题，比如计算一个长方体房间的墙壁面积，或者计算一个长方体游泳池的内部表面积。
通过计算长方体的表面积，我们可以更好地了解和利用空间的表面。
长方体和正方体的表面积与体积（复习课）教学目标：知识与技能：1．正确区分立体图形的表面积与体积的概念，并能熟练地掌握长方体和正方体的表面积与体积的计算方法和计算公式。
2．会解决有关长方体和正方体的表面积与体积计算的实际问题。
过程与方法：通过探究、观察、小组合作、比较等方法，进一步培养和提高灵活运用公式的能力和不同的解题思路。
情感与价值观：通过小组合作讨论、交流等学习方式，增强合作意识，提高解题能力，理解数学来源于生活，又应用于生活。
教学重点：熟练地掌握长方体和正方体的表面积与体积的计算方法和计算公式，并会解决有关长方体和正方体的表面积与体积计算的实际问题。
教学难点：会结合不同的实际生活问题灵活地运用公式来解答，并能讲清解题的思路。
（一）导入新知：师：出示一个粉笔盒问：看到这个粉笔盒你想提什么数学问题？（学生可能会说：做一个粉笔盒要用多少材料？一个粉笔盒可装多少粉笔？一只箱子可装多少盒粉笔？把它放在桌子上占地多少？）师：同学们考虑得非常全面。
在生产粉笔盒的的过程中，有些问题就用到了长方体和正方体的知识。
这节课我们就来复习有关长正方体的知识。
（二）知识梳理：1、自主回忆师：应该复习哪些方面呢？（生说师写：特征、表面积和体积的意义、计算方法、区别等）围绕上面的四个方面进行讨论，然后用自己喜欢的方法整理出来。
2、交流评价谁先来说说你已经知道了哪些知识？长方体有6个面，一般是长方形，相对的两个面的面积相等；有12条棱，相对的棱的长度相等；有8个顶点。
S=2(ab+ah+bh) V=abh正方体有6个面都是正方形，且面积相等；有12条棱，棱长都相等；有8个顶点。
S=6a2V=a3长方体表面积和体积的单位也不同。
3、归纳总结长方体和正方体有什么联系？（正方体是一种特殊的长方体。
它们的体积都可以用底面积乘高来计算。
）（三）解决问题：师：同学们对我们以前学过的知识掌握的非常好，刚才同学们提出了几个问题？我们来逐一解决：1、做一个粉笔盒子要用多少纸？（接缝处忽略不计）师：求做一个粉笔盒子要用多少纸就是求什么？（长方体的表面积）在计算之前，你必须要知道什么条件？（粉笔盒的长、宽、高）那我们就动手量一量吧，最好取整厘米数。
新人教版五年级下册《第3章长方体和正方体体积》小学数学-有答案-单元测试卷（3）一、你能认真填写的．（每空1分，共38分．）1. 长方体有________个面，________条棱，________个顶点。
2. 物体所占________的大小叫做物体的体积。
3. 一个正方体表面积是54平方分米，他的每个面的面积是________平方分米，棱长是________分米。
4. 一个长方体的形状如图：它的底面面积是________m2；它的左右每个面的面积是________m2；它的表面积是________m2；它的体积是________m3．5. 把棱长3cm的正方体切成棱长1cm的小正方体，可以切________块。
6. 填上合适的单位名称。
一个文具盒的体积大小约有140________；货车的油箱的容积是50________数学书的封面的面积大约是300________；一个热水瓶的容积约是2________．7. 3.08m2=________dm2870cm3=________dm36.47L=________ml=________ dm3489ml=________cm3=________ dm3．8. 一个正方体的棱长扩大到它的4倍，面积扩大到它的________倍，体积扩大到它的________倍。
9. 一个正方体的棱长之和是72分米，它的表面积是________，体积是________．10. 把80升的水倒入一个棱长为4dm的正方形容器里，水的高度是________dm．11. 填表。
二、请你判断．（对的打“√”，错的打“×”，共5分）正方体的6个面都是正方形，长方体的6个面都是长方形。
________．（判断对错）把一块正方体橡皮泥捏成一个长方体后，虽然它的形状变了，但是它所占有的空间大小不变。
________．（判断对错）棱长是6分米的正方体的体积和表面积相等。
________．（判断对错）冰箱的体积就是冰箱的容积。
体积和表面积、容积的区别
表面积实际问题解决技巧：
①抓典型特征
含有“求布料、贴纸、玻璃、瓷砖、铁皮、涂料的多少”等关键词，一定是求表面积的问题。
②判读面的个数。
首先找题中是否含有：“无盖、上下面不贴等关键词，如果无盖，就是计算五个面的总面积，上下面不贴就是求前后、左右四个面的面积。
其次根据问题的实际情况判断，如游泳池和鱼缸就不算上面，衣柜和洗衣机罩就不算底面等，即求5个面的总面积。
烟囱给长（高）的数值，一般左右（或上下）是空的，就是求四个面的总面
积。
表面积典型实际问题：
类型一：计算长方体的五个面的总面积。
（无底或无盖）
计算公式：S长=a×b+ 2×a×+2×b×h
技巧：记住求6个面长方体表面积的计算公式，当少算上面的面积或下面的面积时，就把2个长乘宽的面，只算一个。
正方体就只算5个正方形的面。
类型二：计算长方体的四个面的总面积。
（无上下底）
类型三：拼接或截断计算变化之后的物体的表面积。
计算方法：拼接：原来的总面积-重叠处减少的总面积。
截断：原来的总面积+增加的面积。
类型四：凹凸问题
1.凹陷问题
计算方法：在顶点处凹陷，各个面平移后，原来的表面积不变。
在面的中间处凹陷，原来的表面积+凹陷处立体图形周围四个面的面积。
计算技巧：凸起时计算表面积，要把原来几个物体的表面积之和去掉两个重合面的面积。
类型五：折叠问题
解题技巧：
①折叠问题求长方体的表面积，可不需折叠后再求长方体的表面积。
②折叠问题求长方体的表面积，如果未指定面，则表面积和长方体的长、宽、高数值的顺序无关。
③可设定长、宽、高的数值顺序，再进行计算。
（1）.一块长方形铁皮，长40cm,宽30cm,像下图这样从4个角各剪掉一个边长为5厘米的正方形，然后做成盒子，这个盒子的表面积是多少平方厘米？
解题技巧：
方法一：
盒子的长=长-2×正方形的边长
盒子的宽=宽-2×正方形的边长
盒子的高=正方形的边长
盒子的表面积=盒子的长×盒子的宽+盒子的长×盒子的高×2+盒子的宽×盒子的宽×2
方法二：盒子的表面积=长方形的面积-正方形的面积×4
（2）小明从一个长方体纸盒上撕下两个相邻的面（展开后如图，单位：厘米），这个纸盒的面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米。
6
前右
53
解题技巧：本题尽管未给出长方体的另6个面，但根据本题的条件，立起来的长度为高，数值为6，标注“前”字的面中的“5”为长方体的长，标注“右”字的面中的“3”为长方体的宽。
（3）.学校大门前有5级台阶，每级台阶长6米，宽0.4米，高0.2米。
给这些台阶上铺地砖，至少需要铺多少平方米地砖？
解题技巧：台阶铺瓷砖之处为盒子的长×盒子的宽×4+盒子的长×盒子的高×5
体积实际问题解决技巧：
①抓典型特征
A含有“立方米，立方分米，立方厘米，体积是多少，能截多少块木块，能装沙子多少吨，能装
砂石多少方、铸造、锻造、水面升高、水面下降”等关键词，一定是求体积的问题。
B
含有“最大容积是多少升、可乘水多少，能装多少水，能装多少沙子，能装汽油多少升、净含量是多少”，一般就是求容积的问题。
体积典型实际问题：
1.直接计算体积.
（1）已知长、宽、高求长方体体积或已知正方体的棱长，求正方体的体积：
①早在夏朝，中国人就已经掌握了存储冰块的技术,一块棱长30cm 的正方体冰块，它的体积是多少立方厘米?
②一个长方体的无盖水族箱，长是6m,宽是60cm,高是1.5m，它的体积是多少?
③建筑工地要挖一个长50m、宽30m、深50cm的长方体土坑，一共要挖出多少方的土?（在工程上，1m3的土、沙、石等均简称“1方”。
）
④红星村要修一条长1800m，宽12m的公路，要先铺10cm厚的三合土，再铺6cm后的沙石。
需要三合土、沙石各多少立方米？
⑤花园小区为居民新安装了50个休息的凳子，凳面的长、宽、高分别是100cm、45cm、4.5cm.凳腿的长、宽、高分别是45cm、5cm、35cm.这些凳子一共至少用了混凝土多少方?
⑥长方体木块被平均分为4段，求每块木头的表面积是多少平方分米？
2. 计算体积实际问题的变式练习.
（1）求小正方体拼成的正方体或长方体的体积： ①每个小正方形棱长为1
②.把2块棱长为1.5dm ?
（2）已知长方体的底面正方形的边长，或底面积和高，或底面周长，求正方体或长方体的体积：
①已知底面正方形的边长和长方体的长：一个长方体纸盒，长7m ，横截面是一个正方形，边长为5分米。
这个长方体纸盒表面积是多少？
②已知横截面的边长和长方体的长：有一根长0.5米的方木料，横截面的边长为2厘米，这根方木，平放时占地面积有多大？体积是多少？
③已知横截面的面积和长方体的长：家具厂订购500根方木，每根方木横截面的面积是2.4dm 2,长是3m 。
这些木料一共是多少方?
④已知增加的横截面的总面积和长方体的长：一个底面是正方形的长方体木料，长是5米，把它截成4段，表面积增加36平方米，求长方体的体积？
4.8dm
2dm
1dm
⑤已知底面正方形的周长和长方体的长：一个长方体底面为周长12厘米的正方形，高为3分米，它的体积是多少？
（2）已知正方体的棱长和（或体积）和长方体的长、宽、高中的两个，求长方体的另一个数据及长方体的体积：
①一个长方体和一个正方体的楼长总和相等。
已知正方体的棱长为7dm，长方体的宽、高分别为5dm.4dm,那么长方体的长是多少分米? 它们的体积相等吗?
②把一个棱长8dm铁块铸成一个长10dm，宽4dm的长方体，铸成的这个长方体铁块的高是多少分米？
（2）与体积有关的其他问题：
①已知长方体的体积，长和宽，求长方体的高：
学校运来7.6m3的沙子，铺在一个长5m.宽38dm的沙坑里，可以铺多厚？
②大体积分成小体积，求块数：
A儿童节前，全市的小学生代表用楼长3cm的正方体塑料排插积术在广场中央搭起了一面长6m、高2.7m、厚6cm的奥运心愿墙。
这面墙一共用了多少块积木?
B一个长6dm，宽4dm，高5dm的长方体盒子，最多能放多少块棱长为2dm的正方体木块？
③体积和物体尺寸大小的比较：
容积计算典型实际问题
（1）直接计算规则物体的容积：
①A一个无盖玻璃鱼缸的形状是正方体，棱长是6 dm。
此容器最大容积是多少升?
B一个木盒从外面和里面测量尺寸如下图，计算这个长方体的容积。
②2块棱长是3dm的正方体木块刚好能够放是进一个长方体纸箱内，纸箱的容积是多少?
③A某健身馆计划新建一个游泳池，该游泳池的长是25m，宽12m，深1.4m. 如果游泳池全装满水，能装多少升水？
B一长方体游冰池,长30米,宽10米,深1.6米,池的四壁和地面用瓷砖砌,如果雨季用来储水,最多可乘多少水？
C5某辆汽车的油箱是长方体，长０.８米，宽０.５米，高０.３米，这个油箱最多能装汽油多少升？如果每１００升汽油能行驶７.５千米，这箱汽油最多能行驶多少千米？
④.一种牛奶的包装盒如图，它的净含量是否存在虚假?为什么?
2.计算不规则物体的体积。
①.一个长方体水箱，长8分米，宽5分米，水深4分米。
把一个铁球浸没在水中，水面升高到6分米。
这个铁球的体积是多少立方分米？
牛奶
净含量
780ml
10cm
12cm
6.5cm
②A一个长5分米，宽2分米，高4分米的长方体水缸里注入了15厘米深的水。
将一块石头放入水中后，水位上升到18厘米，这些石头的体积是多少dm3？
B一个正方体玻璃容器棱长2dm，向容器中到入6L水，再把一块石头放入水中。
这时量得容器内水深17 cm。
石头的体积是多少立方厘米？
C.珊瑚石的体积是多少？
③下面中，大球的体积是多少？小球的体积是多少？。
