03-1 弦的横向振动解析

§8.1弦的横振动问题一、引言二、方程的导出三、定解条件1.定解条件的必要性2.初始条件3.边界条件4.定解问题四、例题一、引言(展示)数学物理方程主要指从物理问题中导出的偏微分方程。

解决任何物理问题通常分三步：第一，把物理问题化为数学问题，即利用相应的物理规律导出方程并确定定解条件(初始条件和边界条件)；第二，求解数学问题，即求满足方程及定解条件的解；第三，给得出的结果以物理解释。

本章以弦振动问题为例，说明处理任何物理问题的过程与方法。

导出物理问题的偏微分方程的步骤是：首先把物理对象作适当简化，并确定表征该物理过程的物理量u，再从所研究的体系中划出任意的一小部分，根据相应的物理规律，分析邻近部分与这小部分的相互作用以及这种相互作用在短时间内如何影响物理量u，然后把这种相互作用与影响用数学式子表达出来，经过整理就得到该物理问题的偏微分方程——数学物理方程。

返回页首二、方程的导出(展示1234)在弦的横振动中，如果弦比较细，就可以抽象为一维问题来处理，又设弦是完全柔软的，即任意点处的张力总是沿着弦在该点的切线方向，这样分析力的作用就比较方便。

这根完全柔软的细弦，平衡时沿着一条直线绷紧，取这条直线为x轴，并以坐标x标志弦上各点。

设弦在同一平面内作微小横振动，表征这一振动过程的物理量是弦上x点在t时刻沿垂直于x方向的位移u(x，t)。

在弦上任取一小段x1x2(图8。

1)，设在t时刻成为弧长。

由于弦作微小振动，在精确到一阶无穷小时，可以认为在振动过程中，弦长没有发生变化，即(8.1-1)根据H o o k e定律，张力与伸长成正比，由于弦长不随时间变化，弦上各点的张力T亦不随时间变化。

设弦的线密度为，在垂直于x方向上作用于单位弦长上的外力为，则段弦的横向运动方程为(8.1-2)式中和分别表示在M1点M2点的弦的张力，和分别为在这两点的切线与x轴的夹角。

根据弦作微小振动的假定，有(8.1-3)(8.1-4)因此，有(8.1-5)将上式代入(8.1-2)式,可得由于x1、x2的任意性，被积函数为零，得出一般的弦的横振动方程(8.1-6)讨论：1）如果弦作完全横振动，则在纵向合力应为零，即(8.1-7)即张力与x无关。

一、初二物理声现象实验易错压轴题（难）1．王伟同学研究了均匀拉紧的琴弦发音频率与弦长的关系，并记录了实测的数据（如下表所示）．分析表格中频率和弦长两行数据可知，均匀拉紧的琴弦发音频率随着弦长变长而________（选填“变大”、“不变”或“变小”）；且通过计算可知，琴弦发音频率与弦长的乘积的大小________（选填“是”或“否”）变化的．估算出他有意留出的空格中应该填写的数据①应该是________，②应该是________．【答案】变小否35l495【解析】【分析】【详解】分析表格中频率和弦长两行数据可知，均匀拉紧的琴弦发音频率随着弦长变长而变小；通过计算可知，琴弦发音频率与弦长的乘积都是264L，不发生变化；空格中应该填写的数据①应该是：26434405LL=，②应该是：264495815LL=2．在学习吉他演奏的过程中，小明发现琴弦发出声音的音调高低是受各种因素影响的，他决定对此进行研究，经过和同学们讨论，提出了以下猜想：猜想一：琴弦发出声音的音调高低，可能与琴弦的横截面积有关；猜想二：琴弦发出声音的音调高低，可能与琴弦的长短有关；猜想三：琴弦发出声音的音调高低，可能与琴弦的材料有关．为了验证上述猜想是否正确，他们找来下表的几种规格的琴弦进行实验：（1）为了验证猜想一，应选用编号为___、___的琴弦进行实验；（2）选用编号A、C的两根琴弦进行实验，是为了验证猜想_______；（3）如果小明还想验证猜想三，则他可以选择编号为_______、_______的琴弦进行实验，此时表中所缺的数据应该填_______．【答案】A B 二 C D 0.76【解析】（1）根据控制变量法的思路，为了验证猜想一，应选择长度和材料相同，而横截面积不同的琴弦，所以应选用编号为A和B的琴弦进行实验；（2）选用编号A、C的两根琴弦进行实验，材料和横截面积相同，而长度不同，所以是为了验证猜想二；（3）验证猜想三，同样根据控制变量法的思路，应保证横截面积和长度相同，而材料不同的琴弦进行实验，所以则他可以选择编号为C和D的琴弦进行实验；则此时表中所缺的数据应该填入和C的横截面积相同，即0.76mm2．点睛：关键是实验中控制变量法的应用，当一个结果受多个因素的影响时都使用此方法进行实验，实验时让一个因素变化，而其它因素都控制相等或相同即控制变量．3．噪声是一种严重的环境污染，小明想比较几种材料（毛衣、报纸、棉花、泡沫塑料）的隔音性能，来选择一种隔音性能好的材料做耳罩的填充物，实验器材除了待检测的材料外，还有：音叉、机械闹钟、鞋盒，完成下面各题：（1）本实验中适合做声源的是________ ．（2）小明将声源放入鞋盒内，在其四周塞满待测材料，再盖上盒盖，他设想了两种实验比较方案，你认为最佳的是________ ．A．让人站在距鞋盒一定距离外，比较所听见声音的响度B．让人一边听声音，一边向后退，直至听不见声音为止，比较此处距鞋盒的距离（3）下面的表格是为了上述两种实验方案而设计的，其中与方案B对应的是________ ．（4）待测材料隔声性能由好到差的排列顺序为________ ．【答案】机械闹钟B表二棉花泡沫毛衣报纸【解析】【分析】【详解】（1）发声体需要持续发声，所以音叉不合适，应该选择机械闹钟；（2）比较响度依靠感觉，不够准确；听不见声音的距离比较准确而且容易进行比较，隔音性能好，响度越小，听不见声音的距离就越小；隔音性能差，响度越大，听不见声音的距离就越大，因此选B．（3）表二比较的是距离，所以其中与方案B对应的是表二．（4）隔音性能好，响度越小，听不见声音的距离就越小；隔音性能差，响度越大，听不见声音的距离就越大．距离由短到长依次是棉花泡沫毛衣报纸，因此隔声性能由好到差应该是棉花泡沫毛衣报纸．4．观察表，试写出三个与声音传播速度有关的结论．可初步得出的结论有：（1）由第一第二列可得：_____．（2）由第三第四列可得：_____．（3）由第五第六列可得：_____．【答案】同种介质中，声音传播的速度与介质温度有关不同介质中，声音传播的速度不同，一般固体中最快，液体中次之，空气中最慢声音传播的速度与频率无关【解析】【详解】（1）由表中第一第二列可以看出，同样是在空气中，温度不同，声速也会不同，故可得出：同种介质中，声音传播的速度与介质温度有关；（2）由表中第三第四列可以看出，不同介质中，声速不同，且固体中最快，液体中次之，空气中最慢；（3）由表中第五第六列可以看出，频率不同，但声速相同，说明，声音传播的速度与频率无关．5．小兰在观察提琴、吉他、二胡等弦乐器的弦振动时，猜测：既使在弦张紧程度相同的条件下，发声的音调还可能与弦的粗细、长短及弦的材料有关，于是想通过实验来探究一下自已的猜想是否正确，下表是小兰在实验时控制的琴弦条件．（1）如果小兰想探究弦发声的音调与弦的材料关系，你认为她应该选用编号为________琴弦（只填字母代号）；（2）探究过程通常采用下列一些步骤：A ．实验研究； B ．分析归纳； C ．提出问题（或猜想）； D ．得出结论等．你认为小兰要完成本探究的全过程所采用的合理顺序应该是：________（只填字母代号）．【答案】D、E C、A、B、D【解析】(1)探究弦发声的音调与弦的材料关系，应控制长度、横截面积一定，材料不同，故应选D、E． (2控制变量法探究的步骤：提出问题，实验研究，分析归纳，得出结论．故顺序为CABD ．点睛：（1）弦发声的音调可能与弦的材料、长度、粗细有关．（2）研究音调的影响因素时，一定要采取控制变量法．6．现在大多数房屋的门窗玻璃是“双层中空(接近真空)”的，能起到“隔音保温”的作用．小明在敲玻璃时，感觉双层玻璃与单层玻璃的振动情况不一样，产生了探究“受敲击时，双层玻璃和单层玻璃的振动强弱情况”的想法．为此，进行了以下实验：①如图所示，将单层玻璃板固定在有一定倾角的斜面底端，把玻璃球A靠在玻璃板的右侧，把橡胶球B悬挂在支架上靠在玻璃板的左侧．②把橡胶球B向左拉开一定的高度，放手后让其撞击玻璃板，玻璃球A被弹开，在下表中记下玻璃球没斜面向上滚动的距离，共做3次．③换成双层玻璃板重复②的实验．⑴实验时，把橡胶球B向左拉开“一定的高度”，目的是为了保证橡胶球B与玻璃撞击时的________能保持不变；⑵受到橡胶球B的撞击后，玻璃板振动的强弱是通过__________来反映的；⑶分析表中的实验数据，可以得出的结论是__________；⑷中空双层玻璃具有“隔音和保温”作用，是因为①隔音：___________；②保暖：___________．【答案】速度玻璃球滚动的距离大小单层玻璃比双层玻璃的振动幅度大真空不能传播声音真空传导热量的能力比玻璃差【解析】解答：(1)根据控制变量法应保持橡胶球B与玻璃撞击时的动能相同，由于是同一个橡胶球，则应保持橡胶球B向左拉开“一定的高度”，从同一高度落下；(2)当玻璃板受到橡胶球的敲击时，玻璃板振动的强弱是通过玻璃球被弹开的距离来反映的，这是转换的研究方法；(3)同样的撞击下，单层玻璃后的玻璃球比双层玻璃后的玻璃球运动的距离远；所以结论是：受敲击时，单层玻璃比双层玻璃的振动强；(4)两层玻璃之间接近真空，中空双层玻璃具有“隔音和保温”作用，①由于声音的传播是需要介质的，而真空不能传声，所以这种窗户能起到较好的隔音效果；②由于真空传导热量的能力比玻璃差，所以这种窗户能起到较好的保温效果。

弦的横振动方程弦的横振动方程物理问题：有一个完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧，而后以某种方法激发，使弦在同一个平面上作小振动，列出弦的横振动方程。

取弦的平衡位置为x轴，令其端点坐标为x = 0和x = l。

设u(x, t)是坐标为x的弦上一点在t时刻的横向位移，在线上隔离出长为dx的一小段弦元，弦元的弦长足够小，以至于可以把它看成是质点。

弦是完全柔软的：该质点只在弦的切线方向受到两端随时间与位置变化的力T(x, t)的作用，这个张力是切向应力。

我们忽略了法向应力和重力作用。

我们将T沿着水平方向与竖直方向分解，由于做横振动的弦在水平方向上没有运动，所以方程为小振动：x + dx与x两点间任意时刻横向位移之差u(x + dx, t) - u(x, t)与dx 相比是一个小量，也就是相邻两点位移之差比起两点之间的距离来讲是一个小量，即这个式子也是切线的斜率，所以所以，由水平方向的运动方程可以得到在x + dx和x处的拉力是相同的，即弦中各点张力与空间无关。

对于竖直方向上（位移u的方向上）的运动方程，我们有这里用了中值定理与极限。

最终我们导出了弦振动的方程：其中ρ是弦的线密度（单位长度的质量）。

进一步的，我们定义有通过考察量纲，我们可以发现a就是弦的振动传播速率。

其实在小振动近似（准确到一级项u / x）下，弦元的伸长是一个二阶无穷小量，我们将其忽略，所以弦元长度不随时间变化，张力T也不随时间变化。

当振动受到重力或者粘滞阻力，这些力一般沿着位移u的方向。

设单位长度受到的外力为f，我们的公式为因此，最终方程为新出现的非齐次项为单位质量所受外力。

第28卷 第3期 应 用 力 学 学 报 V ol.28 No.3 2011年6月 CHINESE JOURNAL OF APPLIED MECHANICS Jun. 2011基金项目：福州大学科研启动基金（826230）；福州大学科技发展基金（826807） 来稿日期: 2010-11-26 修回日期: 2011-03-03 第一作者简介：余小刚，男，1985年生，福州大学机械工程及自动化学院，研究生；研究方向——非线性振动与振动控制。

E-mail: wzhangfz@文章编号：1000-4939(2011) 03-0270-05轮带系统横向振动的行波消去法余小刚 张 伟（福州大学 350002 福州）摘要：考虑作动器中张紧轮质量的影响，研究轴向运动弦线和作动器所组成的耦合系统的横向振动控制。

此系统被作动器分成受控和未控两部分,在频域内利用Green 函数法求解出系统的响应，采用行波消去法设计出控制律。

在初始条件和激励作用下，利用Durbin 拉氏变换数值反演法将受控系统的振动响应转化到时域内，并利用Matlab 进行数值仿真。

算例结果表明：在脉冲激励和正弦激励作用下，系统振动在3秒内分别减小到0和未受控制时的1/5，验证了控制律的有效性。

关键词：轴向运动弦线；横向振动；行波消去法；作动器；Green 函数法 中图分类号：O321 文献标识码：A1 引 言轴向运动弦线是工程应用中非常普遍的承受轴向拉力的结构构件，广泛应用于军事、航空航天、土木、机械等领域，但在许多高速运转的机械装置中，振动却限制了它的有效应用。

因此，引进控制手段抑制轴向运动弦线的振动是非常必要的[1]。

文献[2]在轴向运动弦线的右边界处利用行波消去法设计出了控制律以抑制弦线的横向振动；文献[3]设计出了一个用于控制弦线纵向振动的鲁棒自适应控制器，该控制器加载在轴向运动弦线的右边界，且与弦线的振动相耦合；文献[4]在考虑了作动器与弦线振动相耦合的情况下利用行波消去法对轴向运动弦线的横向振动进行了抑制；文献[5]利用Lagrangian 应力二阶元件讨论了轴向运动弦线的大幅度横向振动问题，提出了一种基于速度负反馈的线性边界控制器，并利用Lyapunov 直接法证明了该控制器能够使轴向运动弦线达到指数稳定；文献[6]通过在轴向运动弦线非线性模型的自由末端加载一速度负反馈控制器来使弦线的振动达到指数稳定，并利用Lyapunov 直接法对其进行了证明。

简谐运动一、弹簧振子及其位移—时间图象┄┄┄┄┄┄┄┄①1．弹簧振子(1)均衡地点：振子本来静止时的地点。

(2)机械振动：振子在均衡地点邻近的来去运动，是一种机械振动，简称振动。

(3)振子模型：以下图，假如小球与杆之间的摩擦能够忽视，且弹簧的质量与小球对比也能够忽视，则该装置为弹簧振子。

(4)振动特色：振动是一种来去运动，拥有周期性和来去性。

2．弹簧振子的位移—时间图象(1)成立坐标系：以小球的均衡地点为坐标原点，沿振动方向成立坐标轴。

规定小球在均衡地点右边时，位移为正，在均衡地点左侧时，位移为负。

(2)绘制图象：用频闪照相的方法来显示振子在不一样时辰的地点，以横坐标轴代表时间t ，纵坐标轴代表位移x，绘制出的图象就是x- t 图象，是一条正弦函数曲线。

(3)图象的物理意义：反应了振动物体相对均衡地点的位移随时间的变化规律。

[ 注意 ]对振动位移的理解1．振动位移的大小为均衡地点到振子所在地点的距离，方向由均衡地点指向振子所在地点。

2．x- t图象中，时间轴上方向移为正、时间轴下方向移为负，位移大小为图线到时间轴的距离。

①[ 判一判 ]1．均衡地点即速度为零时的地点( ×)2．振子的位移－ 5 cm 小于 1 cm( ×)3．弹簧振子运动的轨迹是一条正弦( 或余弦 ) 曲线 ( ×)4．振子运动的行程越大发生的位移也越大( ×)二、简谐运动及其图象的应用┄┄┄┄┄┄┄┄②1．简谐运动的定义：假如质点的位移与时间的关系遵照正弦函数的规律，即它的振动图象 ( x- t图象 ) 是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。

2．简谐运动的特色：简谐运动是最简单、最基本的振动，其振动过程对于均衡地点对称，是一种来去运动。

3．图象的应用：医院里的心电图仪、地震仪中绘制地震曲线的装置。

[说明]1．只需质点的位移随时间按正( 余) 弦规律变化，这个质点的运动就是简谐运动。

2．简谐运动的图象不是振动质点的轨迹。

高考物理新力学知识点之机械振动与机械波知识点总复习附解析(5)一、选择题1．如右图甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O点为平衡位置，在a、b两点之间做简谐运动，其振动图象如图乙所示．由振动图象可以得知( )A．振子的振动周期等于t1B．在t＝0时刻，振子的位置在a点C．在t＝t1时刻，振子的速度为零D．从t1到t2，振子正从O点向b点运动2．沿x轴正向传播的一列简谐横波在t=0时刻的波形如图所示，M为介质中的一个质点，该波的传播速度为40m/s，则t=s时A．质点M对平衡位置的位移一定为负值B．质点M的速度方向与对平衡位置的位移方向相同C．质点M的加速度方向与速度方向一定相同D．质点M的加速度方向与对平衡位置的位移方向相同3．一洗衣机在正常工作时非常平稳，当切断电源后，发现洗衣机先是振动越来越剧烈，然后振动再逐渐减弱，对这一现象，下列说法正确的是（）①正常工作时，洗衣机波轮的运转频率比洗衣机的固有频率大；②正常工作时，洗衣机波轮的运转频率比洗衣机的固有频率小；③正常工作时，洗衣机波轮的运转频率等于洗衣机的固有频率；④当洗衣机振动最剧烈时，波轮的运转频率恰好等于洗衣机的固有频率．A．①B．③C．①④D．②④4．在天花板O点处通过细长轻绳栓一小球构成单摆，在O点正下方A点有一个能挡住摆线的钉子，OA的距离是单摆摆长的一半，如图所示。

现将单摆向左方拉开一个小角度θ（θ＜5°），然后无初速度地释放，关于单摆以后的运动，下列说法正确的是（）A ．摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小B ．摆球在平衡位置右侧上升的最大高度大于在平衡位置左侧上 升的最大高度C ．摆球在平衡位置左、右两侧走过的最大弧长相等D ．摆球向左经过最低点的速度大于向右经过最低点的速度5．如图所示，质量为m 的物块放置在质量为M 的木板上，木板与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐振动，周期为T ，振动过程中m 、M 之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k 、物块和木板之间滑动摩擦因数为μ，A ．若t 时刻和()t t +∆时刻物块受到的摩擦力大小相等，方向相反，则t ∆一定等于2T 的整数倍B ．若2Tt ∆=，则在t 时刻和()t t +∆时刻弹簧的长度一定相同 C ．研究木板的运动，弹簧弹力充当了木板做简谐运动的回复力D ．当整体离开平衡位置的位移为x 时，物块与木板间的摩擦力大小等于mkx m M+ 6．关于下列四幅图的说法中，正确的是（ ）A ．图甲中C 摆开始振动后，A 、B 、D 三个摆中B 摆的振幅最大 B ．图乙为两列水波产生的干涉图样，这两列水波的频率可以不同C ．图丙是波的衍射现象，左图的衍射更明显D ．图丁是声波的多普勒效应，该现象说明，当观察者与声源相互靠近时，他听到的声音频率变低了7．图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图．a 、b 两质点的横坐标分别为x=2m 和x=6m ，图乙为质点b 从该时刻开始计时的振动图象．下列说法正确的是（ ）A．该波沿+x方向传播，波速为1m/sB．质点a经4s振动的路程为4mC．此时刻质点a的速度沿-y方向D．质点a在t =2 s时速度最大8．下图表示一简谐横波波源的振动图象．根据图象可确定该波的（）A．波长，波速B．周期，振幅C．波长，振幅D．周期，波速9．如图是观察水面波衍射的实验装置，AC 和 BD 是两块挡板，AB 是一个孔，O 是波源。

第三章 弹性体的振动§3.1 弦的振动3.1.1 用动力学基本定律建立弦振动基本方程在前二章里，对弹性体动力学的一般规律、基本原理和基本方程作了介绍。

但不同的弹性体有其本身的力学特性，采用不同的简化假设，建立的基本方程是不相同的。

因而，它们的解法也不完全一样。

除了共同的动力学特性外，还有一些独特的特性，必须分别加以讨论。

弹性体按其构型可分为：（1）一维构型，它的截面尺寸比长度小得多。

它有两类，一类是弦、杆、轴；一类是各种梁。

（2）二维构型，它的厚度比其它尺寸小得多。

它有膜、平面应力板、弯曲板与壳等。

（3）三维构型，三向尺寸相当。

它是各类实体结构。

最简单的弹性体动力学问题是弦的横向振动（图3.1）。

受常张力作用的弦是一种一维弹性体。

从弦上取出一个微分长度来分析，当它发生横向位移，由于张力作用产生有恢复力，它等于x T dx ),(t x w e df dx xw T df xe 22∂∂=（3.1）图3.1 弦的横向振动设弦的长度密度为，则在振动时的惯性力是m dx t w mdf y 22∂∂−= （3.2）·1·根据动力学的基本定律，弦横向振动的基本方程是02222=+∂∂−∂∂f t w mx w T x（3.3）其中是作用在弦上的横向分布载荷。

),(t x f3.1.2 用能量变分原理建立弦振动基本方程弦横向振动有三种能量： （1）弦的位能i U dx xw x w T U x Li ∂∂∂∂=∫210（3.4）（2）弦的动能Tdx tw t w m T L∂∂∂∂=∫210（3.5）（3）弦的外力功e W LLLxLe w fwdx w xw T fwdx W 0000||τ+=∂∂+=∫∫（3.6）其中τ=∂∂xwT x是张力的垂直分量。

弦的哈密尔登作用量为 dt W U T L e i t)(0+−=∫由哈密尔登作用量原理给出0}|]2121[{00=++∂∂∂∂−∂∂∂∂=∫∫∫dt w dx fw xw x w T t w t w mLdt Lx Lt t τδδ （3.7）上式给出能量泛函的极值条件。