利用姿态约束的并联机器人运动学标定方法

并联机器人的运动学分析一、引言机器人技术作为现代工业生产的重要组成部分，已经在汽车制造、电子设备组装、医疗器械等领域发挥着重要作用。

而在机器人技术中，并联机器人以其独特的结构和运动方式备受关注。

本文将对并联机器人的运动学进行深入分析，探讨其工作原理及应用前景。

二、并联机器人的运动学模型并联机器人由多个执行机构组成，这些执行机构通过联接杆件与运动基座相连，使机器人具有多自由度运动能力。

为了对并联机器人的运动学进行建模，我们需要确定每个执行机构的运动关系。

其中，分析最为常用的是基于四杆机构的并联机器人。

1. 四杆机构的运动学模型四杆机构是一种由两个连杆和两个摇杆组成的机构，通过这些部件的相对运动实现机构的运动。

在并联机器人中，常见的四杆机构包括平行型、等长型等。

以平行型四杆机构为例，我们可以将其简化为平面结构，并通过设定适当的坐标系进行建模。

在平行型四杆机构中，设两个连杆为L1和L2，两个摇杆为L3和L4。

定义坐标系，以机构的连杆转轴为原点，建立运动坐标系OXYZ。

假设L3的转角为θ3，L4的转角为θ4，连杆L1和L2的长度分别为L1和L2，则可以通过几何关系得到机构的运动学方程。

2. 并联机器人的运动学模型并联机器人由多个四杆机构组成，各个四杆机构之间通过杆件连接，使得整个机器人能够实现更复杂的运动。

以三自由度的并联机器人为例，每个四杆机构的连杆长度、摇杆转角都有一定的自由度限制。

通过对每个四杆机构的运动学模型进行分析，可以得到整个并联机器人的运动学方程。

三、并联机器人的动力学分析除了运动学分析，动力学分析也是对并联机器人进行研究的重要方向。

动力学分析包括对并联机器人在运动过程中的力矩、加速度等动力学参数的研究，是实现机器人精确控制和安全运行的基础。

1. 动力学模型的建立在并联机器人的动力学分析中，我们通常采用拉格朗日方法建立动力学数学模型。

通过拉格朗日方程可以建立机器人运动学和动力学之间的联系，从而实现对机器人运动过程中各个关节力矩的估算。

并联机床运动学自标定方法研究机床运动学自标定方法是现代制造技术中重要的研究领域之一、并联机床作为一种特殊的机床结构，其运动学参数标定更加复杂。

本文将对并联机床运动学自标定方法进行研究，并进行详细介绍。

首先，我们需要了解并联机床的基本结构和运动学模型。

并联机床由多个平行连杆组成，每个连杆由旋转副连接，形成一个闭链运动系统。

在运动学模型中，需要确定每个连杆的长度和连接角度，以及工作台的位置和姿态。

这些参数决定了机床的运动学特性。

然而，并联机床的运动学参数往往无法直接测量，因此需要通过自标定方法来求解。

自标定方法的核心思想是通过机床的运动状态和姿态数据，在已知的参考点或者已知位置的情况下，通过数学模型和优化算法，反推机床自身的运动学参数。

目前，关于并联机床运动学自标定方法的研究有很多，下面将介绍几种常见的方法。

第一种方法是基于传感器数据的自标定方法。

该方法通过传感器测量机床的运动状态和姿态数据，如位置、速度、加速度等，然后将这些数据作为参数输入到数学模型中，通过优化算法求解机床的运动学参数。

该方法的优点是适用范围广，可以用于各种类型的并联机床。

缺点是需要准确的传感器测量数据，对传感器的要求较高。

第二种方法是基于机器视觉的自标定方法。

该方法利用摄像头或其他视觉传感器获取机床的运动状态和姿态数据，然后通过图像处理和计算机视觉算法，提取特征点或轮廓线，进而求解机床的运动学参数。

该方法的优点是非接触性，适用于各种环境和工况下的机床标定。

缺点是对图像处理和计算机视觉算法的要求较高。

第三种方法是基于强化学习的自标定方法。

该方法利用强化学习算法，在已知的参考点或已知位置下，通过多次尝试和优化，不断调整机床的参数，使得机床的运动状态和姿态数据与真实值尽可能接近。

该方法的优点是自动化程度高，对机床本身的要求较低。

缺点是求解时间较长，需要大量的试验数据。

总结来说，并联机床运动学自标定方法是一项复杂且具有挑战性的任务。

研究人员可以根据具体情况和需求选择合适的自标定方法，同时结合机床的特点和性能进行优化和改进。

第27卷 第1期 邢 台 职 业 技 术 学 院 学 报 V ol.27 No.1 2010年2月 Journal of Xingtai Polytechnic College Feb. 2010———————————— 收稿日期：2009—12—16 作者简介：赵晓东（1975—），黑龙江海伦人，邢台职业技术学院学生工作处，讲师。

31并联机器人运动学标定方法综述赵晓东（邢台职业技术学院，河北 邢台054035）摘 要：运动精度限制了并联机器人的应用，而运动学标定是提高并联机器人运动精度的有效手段。

并联机器人的运动学标定方法有三种：传统标定方法、自标定方法和第三类标定方法。

这三种标定方法各有特色，在应用这些方法对并联机器人进行运动学标定时需要充分考虑具体机构的特点。

关键词：并联机器人；运动学标定；精度中图分类号：TP242.3 文献标识码：A 文章编号：1008—6129（2010）01—0031—02并联机器人运动学标定的基本原理就是利用运动学参数的实测信息构造误差函数，以误差函数最小化为目标函数进而辨识出机构的运动学参数。

并联机器人的运动学标定可分为系统建模、误差测量、参数辨识和误差补偿四步骤。

[1]一般的方法是对动平台的位姿进行测量，然后利用并联机构的运动学反解构造误差函数进而辨识出机构的运动学参数。

这种标定方法是最为有效的标定方法。

[2]目前，有关并联机器人运动学标定方法的文献有很多，综观这些文献可以看出，并联机床的运动学标定方法可以分为三大类：传统标定方法、自标定方法和第三类标定方法。

一、并联机器人运动学标定的传统标定方法 第一类标定方法是传统标定方法(Classical Calibration)，这种方法与传统的串联机器人运动学标定方法类似，都是利用外部精密仪器对并联机构动平台的位置或姿态或位姿(位置和姿态)进行测量，因此称为传统标定方法。

如Zhuang 利用电子经纬仪对Steawart 并联机构进行了标定；Nahvi 等用LVDT 传感器完成了一台3自由度并联机器人的运动学标定；Maurine 用激光位移传感器标定了Delta-4型并联机器人；基于部分位姿信息，Ota 利用双球杆仪对一台并联机构进行了运动学标定。

并联Delta算法演示请参考以下范本：正文：1、引言本文档演示了并联Delta的算法及其应用。

并联Delta是一种多关节，由多个执行器组成，具有高度灵活性和精确性。

本文将介绍Delta的运动学模型、逆运动学求解算法以及实际应用案例。

2、Delta的运动学模型2.1 结构Delta由三个并联的杆臂组成，每个杆臂上装有一根长度可调的连杆。

三个杆臂通过球形关节连接到一个固定的基座上，形成一个三角形结构。

2.2 坐标系与关节角度Delta采用笛卡尔坐标系描述的位姿。

每个杆臂的长度、连杆的最大伸缩范围以及杆臂和基座之间的相对位置等参数需要提前进行标定。

2.3 运动学正解Delta的运动学正解是指根据给定的关节角度，计算末端执行器的位姿。

运动学正解可以很容易地通过正向计算得到，即将给定的关节角度代入的运动学模型方程求解。

3、Delta的逆运动学求解算法3.1 雅各比转置法逆运动学问题是指根据给定的末端执行器的位姿，计算相应的关节角度。

Delta的逆运动学问题可以通过雅各比转置法来求解。

该方法利用的雅各比矩阵进行迭代计算，直到得到满足位姿要求的关节角度。

3.2 优化算法除了雅各比转置法外，还有一些优化算法可以用于求解Delta 的逆运动学问题。

这些算法可以根据不同的需求选择不同的目标函数，通过优化算法来求解关节角度。

4、应用案例4.1 窗户玻璃安装Delta可以应用于窗户玻璃的自动安装。

通过对玻璃的尺寸和位置进行扫描，计算出关节角度，从而实现自动安装。

4.2 高精度拧紧螺栓Delta的高精度定位和灵活性使其适用于拧紧螺栓的应用。

通过计算出螺栓的位置和角度，Delta可以精确地控制拧紧力度。

附录：本文档涉及附件：1、Delta运动学模型方程2、Delta逆运动学求解算法代码示例法律名词及注释：1、并联：指多个执行器或传动系统同时起作用的机构或装置。

2、运动学：研究物体运动的力学学科。

3、逆运动学：已知末端位置，求解各个关节的位置和角度。

并联机器人运动控制算法设计随着工业自动化技术的不断发展，机器人的应用日益广泛，其中并联机器人作为一种特殊的机器人系统，由于其高刚度、高精度等优点，被广泛应用于航空、制造等行业。

而机器人的运动控制算法是其运动特性的基础，对于并联机器人运动控制的设计和实现显得尤为重要。

本文将从并联机器人的运动特性入手，探讨并联机器人运动控制算法的设计思路和实现方法。

一、并联机器人运动特性并联机器人是由多个臂与关节构成的机器人系统，相较于其他机器人系统，其最大的特点是具有高刚度、高精度和高负载能力。

同时，由于并联机器人的多个臂和关节可以动态运行，其在操作区域和约束方面也具有一定的优势。

对于并联机器人的运动特性来说，它的运动控制可以归纳为二级框架控制。

其中第一层控制是关节运动控制，第二层控制是末端位置、速度和力的控制。

在此基础上，就能够实现并联机器人的准确的动态运动。

二、并联机器人运动控制算法设计思路对于并联机器人运动控制算法的设计思路，其主要目的在于实现机器人的精确控制，保证机器人运动的平稳和准确。

基于这一目的，其设计思路可以归纳为以下几点：1. 路径规划算法：路径规划是指机器人在执行任务时，需要经过的路径规划。

对于并联机器人来说，路径规划的精度和可靠性是非常重要的。

在路径规划的过程中，需要考虑到机器人的运动特性和被操作物体的几何结构，以及系统的动态特性和约束条件等因素。

2. 运动学控制算法：运动学控制算法是指通过对机器人系统的连杆和关节运动学建模，并对其位置、姿态、速度、加速度、平稳性等特性进行精确控制。

在运动学控制算法中，需要对机器人的静态和动态特性进行建模和仿真，并将其控制参数化。

3. 动力学控制算法：动力学控制算法是指通过对机器人系统的动力学特性建模，控制系统的输入和输出以实现机器人控制和应用。

在动力学控制算法中，需要对机器人系统的动力学特性进行建模和参数化，并在多种控制算法之间进行选择，实现动力学控制的最佳效果。

Vol. 46 No. 1Feb. 2020第46卷第1期2020年2月空间控制技术与应用Aerospace Control and Application DOI ： 10.3969/j. issn. 1674-1579.2020.01.007一种含较接动平台姿态类并联机器人的运动学标定杨斌，李耀贵摘要：面向航空制造业大型零部件精确装配的重大需求，研究一种含狡接动平台姿态类并联机器人(4-PRS&H(R))的精度提升问题.首先，基于零件-部件-整机的装配思路，从零件加工设计与 部件装配工艺来保证物理样件具有一定的基础精度，并借助区间理论，预估几何误差源对物理样机 末端姿态精度的影响程度，其次，在精度预估的基础上，简化基于激光跟踪仪的误差参数辨识模型，然后结合物理样机实际装配精度和其结构的特殊性对测点进行规划，随后针对4 - P R S & H ( R )并联机器人开展运动学标定实验，激光跟踪仪检测结果表明，该机器人在运动学标定后沿a 、0和y 三个 转动方向的最大姿态偏差分别由0. 195。

、0. 520。

和2.089°降低至0.026。

、0.044。

和0.519。

，且姿态 偏差整体波动平稳，以此验证所述运动学标定方法的正确性和有效性.关键词：较接动平台；姿态类并联机器人；精度预估；测点规划；运动学标定中图分类号：TH 122 文献标志码：A 文章编号：1674-1579(2020)01-0043-08Kinematic Calibration of a Posture Adjustment Parallel RobotWith Articulated Traveling PlateY ANG Bin , LI yaoguiAbstract : To meet the increasing requirements for the precise assembly of the large component in avia ­tion manufacturing industry , this paper into an accuracy improvement issue of a one-translational andthree-rotational parallel mechanism with articulated traveling plate featuring the 4-PRS&H ( R ) topology. Firstly , based on the part-component-mechanism assembly idea , the physical prototype is guaranteed tohave a certain basic accuracy via the part 1 s fabrication design and comp o n ent's assembly technology. Moreover , the interval theory is used to predict the influence of the geometric error source on the terminalattitude accuracy of the physical prototype. Secondly , with the help of accuracy prediction , the parameteridentification model based on the laser tracker is simplified , and then the measurement points are planned according to the actual assembly accuracy of the physical prototype and the particularity of 让s structure.Finally , the kinematic calibration experiments are carried out aiming at the 4-PRS&H( R ) physical proto ・ type. The experiment result shows that three angular max deviation decrease from 0. 195° , 0. 520° and2. 089°to 0. 026° ,0. 044°and 0.519°within the prescribed workspace respectively and the overall devia ­tion is more stable. The correctness and validity of the kinematic calibration method are verified.Keywords : articulated traveling plate ； parallel mechanisms ； accuracy prediction ； measurement pointplanned ； Kinematic calibration收稿日期:2019-11・10；录用日期:2020-01 -22.Manuscript received Nov. 10 .2019 ； accepted Jan. 22 ,2020.广东省教育厅科研项目：面向洁具行业的机器人集成应用关键技术研究资助项目(2017KTSCX203 )；广东省教育厅科研项目：丁业机器人力控 作业控制算法的研究资助项目(2O18KTSCX275).Research on Key Technology of Robot Integrated Application for Sanitary Ware Industry ( 2017KTSCX203 ) ; Research on Force Control Algorithm of Indus ­trial Robot(2018KTSCX275).广东理工学院，广东 526100. Guangdong Polytechnic College , Guangdong 526100 , China.•44•空间控制技术与应用第46卷0引言面向航空业精确装配的服役环境，自主研发姿态调整能力强、精度高的对接设备，是推进我国航空制造业高质量发展的基础'.姿态类并联机构为先进对接设备提供了潜在的解决方案，故而精度成为制约其付诸工程应用的关键因素•一般而言，精度问题可通过合理设计物理样机装配工艺和对样机开展运动学标定加以改善3).从提升姿态类并联机构精度的角度出发，具体可分两步开展：1)合理设计零件公差和装配工艺使物理样机具备一定的基础制造精度，2)借助运动学标定，对控制系统名义值几何误差补偿，进一步提升物理样机末端姿态精度41.研究几何误差项单独作用下对姿态类并联机构末端的影响规律，识别影响程度较大的几何误差源，用于指导零部件公差设计和样机装配工艺，提高物理样机基础精度•常用的精度分析方法有：灵敏度系数法、区间分析法通过合理设计零部件公差和装配工艺可使物理样机具有一定的基础精度.但物理样机控制系统的初始值与实际值不一致，还是会导致样机末端位姿误差，此时则需要借助运动学标定来进一步提高样机的末端精度"⑷.本文以一种独特的含较接动平台四自由度姿态调整并联机器人4-PRSH(R)为对象，基于零件-部件-整机的装配思路，通过约束零件加工公差与优化部件装配工艺来保障物理样件的基础精度，并借助区间分析法，识别对物理样机末端姿态误差影响较大的几何误差，并简化几何误差参数辨识模型.随后针对4-PRSH(R)物理样机开展运动学标定实验，通过对比运动学标定前、后末端姿态欧拉角与理论姿态欧拉角的最大偏差值，验证所述运动学标定方法的有效性.1运动学分析如图1所示,4-PRS&H(R)并联机器人虚拟样机由覆接动平台、静平台以及连接两者的四条相同PRS支链组成，支链绕中心轴环形间隔90。

第42卷　第12期2008年12月 西　安　交　通　大　学　学　报J OU RNAL O F XI′AN J IAO TON G U N IV ERSIT YVol.42　№12Dec.2008利用姿态约束的并联机器人运动学标定方法任晓栋1,2,冯祖仁1,2,苏承平1,2(1.西安交通大学系统工程研究所,710049,西安;2.西安交通大学机械制造系统工程国家重点实验室,710049,西安)摘要:为了提高并联机器人运动精度,提出了一种利用姿态约束的运动学标定方法.借助一个双轴倾角仪,建立了机器人末端2个姿态角恒定约束,根据这种约束构造了相应的辨识模型和标定算法.标定算法得益于倾角仪重复精度和分辨率高于位置精度的特点,不受其位置精度和量程的限制,同时可避免施加机械约束给并联机器人主动关节带来特殊要求.仿真计算表明,在杆长测量精度为2μm、倾角仪重复精度为01001°的条件下,经过标定后并联机器人的位置精度可达011mm,姿态精度可达0101°.关键词:姿态约束;运动学标定;并联机器人中图分类号:TP24212　文献标志码:A　文章编号:02532987X(2008)1221445205Method for Kinematic C alibration of Parallel Robots UsingOrientation ConstraintREN Xiaodong1,2,FEN G Zuren1,2,SU Chengping1,2(1.Systems Engineering Institute,Xi′an Jiaotong University,Xi′an710049,China;2.State Key Laboratory ofManufacturing Systems Engineering,Xi′an Jiaotong University,Xi′an710049,China)Abstract:A new calibration met hod using orientation constraint is p resented to improve t he accu2 racy of parallel robot s.Wit h t he use of a commercial biaxial inclinometer,two attit ude angles of t he end2effecter are kept constant at different measurement configurations.The corresponding calibration algorit hm is built t hrough t he orientation constraint.Instead of positioning accuracy, repeatability and resolution of t he inclinometer are used to const ruct t he orientation const raint, and t he measurement range of t he inclinometer has no effect on t he calibration met hod.Moreo2 ver,t he act uators of t he parallel robot s do not need to operate in passive mod because t he orienta2 tion const raint is not const ructed by t he mechanical locking device.Simulation result s show t hat t he po sition accuracy and t he orientation accuracy reach0.1mm and0101°,respectively,wit h measurement p recision on leg lengt hs of2μm and repeatability on inclinometer of01001°.K eyw ords:orientation const raint;kinematic calibration;parallel robot s 精度是评价并联机器人工作性能的一项重要指标.运动学标定通过准确辨识机器人的机构参数来修正控制器中的模型参数,能够在不增加并联机器人制造成本的条件下,有效提高运动精度.现有的并联机器人运动学标定方法可以分为外部标定法和自标定法2大类.外部标定法需要借助外部传感器直接或者间接地检测末端位姿信息全集[1]或者子集[224].这类方法原理简单,但要获取高精度的位姿信息非常困难,通常需要借助代价昂贵的检测设备.自标定方法则无需检测末端位姿信息,通常根据机器人内部冗余传感器的输出[5]或者利用由机械装置产生的运动约束来构造相应的辨识模型[627],但缺点是内部传感器的安装无法适用于已经建造的机构,而施加机械约束通常需要机器人的主收稿日期:2008204221.　作者简介:任晓栋(1979-),男,博士生;冯祖仁(联系人),男,教授,博士生导师.　基金项目:国家重点基础研究发展规划资助项目(2007CB311006);国家高技术研究发展计划资助项目(2006AA04Z222).动关节能够以被动模式工作.尽管如此,自标定方法的测量简单、代价小、易于实现在线精度补偿等优点,仍吸引了众多学者在这一领域不断深入研究和拓展[829].本文在基于运动约束的标定方法研究基础上,利用双轴倾角仪建立了并联机器人末端2个姿态角恒定约束.据此约束,构造了相应的辨识模型和标定算法,分析了测量精度对标定结果的影响,并进行了仿真验证.1　标定方法描述111　原理概述利用姿态约束的并联机器人运动学标定方法,其基本思想是:在选择的各测量位形处,借助安装在机器人运动平台上的双轴倾角仪,使运动平台坐标系相对于固定平台坐标系x轴、y轴的旋转角保持不变.根据这一不变约束,利用最小二乘原理建立机构参数辨识模型,并采用非线性优化方法求解.值得一提的是,本文方法中的双轴倾角仪,并非是用来进行精确倾角测量的,而是作为指示器来判别不同测量位形下运动平台的2个姿态角是否保持恒定.文献[3]曾提出利用2个倾角仪直接测量并联机器人运动平台相对于大地水平面的倾斜角,并根据测量值与模型计算值之间的残差来建立辨识模型.这种方法为了获得良好的标定效果,要求倾角仪在具有较高位置精度的同时还应具有较大的量程.对于一般商用倾角仪,检测精度越高,则测量范围越小,即位置精度高与量程大不可兼得.本文提出的标定方法,影响标定结果的不是倾角仪的位置精度,而是重复精度和分辨率,且标定结果不受测量范围的影响.此外,由于姿态角恒定约束并不依靠机械锁定装置来实现,因此并联机器人的末端自由度不受损失,也不要求主动关节能够以被动模式工作.112　可辨识的机构参数在不失一般性的情况下,本文以自行设计开发的6自由度并联机器人X J2H EXAS为例,来分析利用姿态约束的运动学标定方法.X J2H EXAS如图1所示,它采用Stewart平台结构,由6根可伸缩的驱动杆以并行方式通过虎克铰关节连接活动的上平台和固定的下平台.依据通用的简化运动学模型, Stewart平台式并联机器人的机构参数通常指的是,上平台虎克铰(或球铰)关节的中心点在运动平台坐标系下的坐标、下平台虎克铰关节中心点在固定平台坐标系下的坐标及6根伸缩杆的固定杆长偏差,共计42个参数.图1　并联机器人X J2H EXAS及其坐标系由于各种标定方法建立的辨识模型有所不同,所以并非所有的机构参数都具有可辨识性.本文方法从实际物理意义出发分析了机构参数的可辨识性,即假设运动平台坐标系和固定平台坐标系发生平移和旋转变换,以新生成的运动平台坐标系相对于新的固定平台坐标系能否使2个姿态角保持恒定来确定可以辨识的机构参数并建立适当的运动平台坐标系和固定平台坐标系.本文坐标系如图1所示,构建方式描述如下.(1)运动平台坐标系:以M1点为原点,x M轴经过M2点,x M y M平面由M1、M2、M6点确定.(2)固定平台坐标系:以B1点为原点,x B y B平面垂直于重力方向,B2点在x B y B平面内的投影点与B1点连线构成x B轴.根据构建的运动平台坐标系{M1}和固定平台坐标系{B1},机构参数x M1、y M1、z M1、y M2、z M2、z M6、x B1、y B1、z B1、y B2为0,所以可辨识的机构参数为32个.113　标定算法令x=(x y zαβγ)T表示运动平台的位姿向量,其中x、y、z为运动平台坐标系原点在固定平台坐标系中的位置坐标,α、β、γ分别为运动平台坐标系绕固定平台坐标系x B、y B、z B轴旋转的角度.设并联机器人运动学正解的一般形式为x=F(l,η)(1)式中:l是杆长伸缩值向量;η是机构参数向量.将α和β作为建立不变约束的2个姿态角,则有α=fα(l,η)β=fβ(l,η)(2) 将所选择的测量位形分为s组,每组t个,其中s,t∈N且s,t≥2.对于每组位形,建立如下约束6441西　安　交　通　大　学　学　报 第42卷　αi ,j =αi ,j +1βi ,j =βi ,j +1(3)式中:i =1,2,…,s;j =1,2,…,t -1.在每个位形处通过测量可以得到杆长伸缩向量.构造残差向量C =[C Tα1…C Tαs C Tβ1…C Tβs]T(4)式中C αi=C1αiC 2αi…C t-1αi=αi ,2-αi ,1αi ,3-αi ,2…αi ,t -αi,t-1C βi=C 1βiC 2βi…C t-1βi=βi ,2-βi ,1βi ,3-βi ,2…βi ,t -βi ,t-1 对于真实的机构参数向量ηr ,有‖C ‖=0(5) 然而,由于机构参数误差的存在,式(5)通常并不成立,因此需考虑用非线性最小二乘技术求解真实的机构参数.定义代价函数C cost =‖C ‖=∑si =1∑tj =2[(αi ,j-αi ,j -1)2+(βi ,j -βi ,j -1)2](6)这样,可将机构参数辨识问题归结为调节η使得C cost 最小的非线性最小二乘优化问题,再采用Lev 2enberg 2Marquardt 算法求解.114　测量精度的影响考虑杆长测量精度和倾角仪重复精度对标定结果的影响,姿态约束应为f α(l i ,j +ΔL i ,j ,η)+Δαi ,j =f α(l i ,j +1+ΔL i ,j +1,η)f β(l i ,j +ΔL i ,j ,η)+Δβi ,j =f β(l i ,j +1+ΔL i ,j +1,η)(7)式中:ΔL i ,j 、ΔL i ,j +1为杆长伸缩值的测量误差;Δαi ,j 、Δβi ,j 表示倾角仪重复精度.令ηn 为机构参数名义值向量,Δη为机构参数真实值与名义值之间的差值向量,并将f α和f β分别在(l i ,j ,ηn )、(l i ,j +1,ηn )处做一阶近似,则有下述式(8),式中的5f α5l 、5f α5η、5f β5l 、5f β5η分别为姿态角α和β对杆长向量和机构参数向量的导数,可以通过数值方法求解.由式(8)可以看出,在同组的相邻2个测量位形之间,姿态倾角的差异由3个因素造成,即杆长伸缩f α(l i ,j +1,ηn )-f α(l i ,j ,ηn )=5f α(l i ,j ,ηn )5lTΔL i ,j-5f α(l i ,j +1,ηn )5lTΔL i ,j +1+5f α(l i ,j ,ηn )5ηT-5f α(l i ,j +1,ηn )5ηTΔη+Δαi ,jf β(l i ,j +1,ηn )-f β(l i ,j ,ηn )=5f β(l i ,j ,ηn )5l T ΔL i ,j -5f β(l i ,j +1,ηn )5l TΔL i ,j +1+5f β(l i ,j ,ηn )5ηT -5f β(l i ,j +1,ηn )5ηTΔη+Δβi ,j(8)值的测量误差、倾角仪重复性误差和机构参数偏差.可以从2个方面来考虑减小这2种测量误差的影响:提高杆长测量精度和倾角仪重复精度;优化选取测量位形,目的是减小测量误差的放大倍数.115　测量步骤利用姿态约束标定方法无需获得并联机器人末端位姿信息,仅需检测各测量位形下的杆长变化量,其完整的测量步骤如下所述.(1)将双轴倾角仪安装在运动平台上,移动运动平台至某一测量位形处,调节位姿,使倾角仪读数为0,再利用安装在主动关节上的传感器精确测量6个杆长的变化量.(2)重复步骤(1),直至获得所需的同组位形.(3)在倾角仪和运动平台之间加装斜块,改变倾角仪的安装姿态.(4)重复步骤(1)～步骤(3),直至获得满足要求的测量位形.在上述测量步骤中,不断改变倾角仪的安装姿态是为了增加测量位形之间的差异,减小辨识雅可比矩阵的条件数,从而获得更好的标定结果.2　仿真结果以并联机器人X J 2H EXAS 的设计参数作为机构参数的名义值,在其上叠加随机分布于区间[-5mm ,5mm ]的误差作为机构参数的真实值,名义值和真实值如表1和表2所示.在标定前,由机构参数误差导致的并联机器人末端位置误差为9mm ,姿态误差为018°.211　不考虑噪声的标定结果若不考虑杆长测量噪声和倾角仪重复精度的影响,选择40个测量位形,并采用本文方法进行标定,结果是:机构参数的辨识精度为10-10m ,辨识出的机构参数与真实值的偏差如表3所示.7441　第12期 任晓栋,等:利用姿态约束的并联机器人运动学标定方法 表1　Stewart平台机构参数名义值m伸缩杆编号123456x Mi010000017687018255014412013275-010568y Mi010000010000010984017642017642010984z Mi010000010000010000010000010000010000x Bi010000011504016283015531-014027-014779y Bi010000010000018278019580019580018278z Bi010000010000010000010000010000010000Δli112000112000112000112000112000112000 表2　Stewart平台机构参数真实值m 伸缩杆编号123456x Mi 010000017637018295014436013233-010587y Mi010000010000010993017672017612010964z Mi010000010000010020010050-010*********x Bi010000011543016233015506-014068-014761y Bi010000010000018256019599019549018251z Bi010*********-010050010030010049010040Δli112037111981112050111963112026111969仿真计算中将40个测量位形分为10组,每组中的4个测量位形满足式(3)约束.这些测量位形的构造如下:位置参数均匀分布在并联机器人的工作空间内,α和β姿态角在±20°范围内等间隔分布,γ在同样的范围内均匀分布.标定方法中用到的杆长测量值,由机构参数真实值和各测量位形下的位姿参数通过运动学逆解计算获得.212　考虑噪声的标定结果为更好地模拟真实的标定环境,需要考虑杆长测量噪声和倾角仪重复精度对标定结果的影响.假设杆长的测量精度εL为2μm、20μm,杆长测量噪声是以零均值、幅值为εL/2的均匀分布的随机噪声来模拟;倾角仪的重复精度εR为0101°、01001°,重复精度对标定方法的影响是以零均值、幅值为εR/2的均匀分布的随机噪声来模拟.分别选取40、60、80个测量值来研究测量位形数目变化对标定结果的影响.与211节类似,将这些位形分为10、15、20组,每组中的4个测量位形满足式(3)约束.在并联机器人工作空间中随机选择200个位形来测试标定结果,这些位形在标定过程中没有使用过.图2给出了经本文方法标定后机器人位置误差、姿态误差的无穷范数最大值.从图2可以看出,提高杆长测量精度和倾角仪重复精度可有效改善标定结图2　经标定后并联机器人的位姿误差表3　无噪声条件下Stewart平台机构参数辨识结果与真实值的偏差m 伸缩杆编号123456x Mi010000-316×10-11-117×10-10-113×10-10-616×10-11-117×10-10y Mi010*********113×10-10111×10-10-311×10-11117×10-10z Mi010*********611×10-10312×10-10-214×10-10010000x Bi010000-316×10-11315×10-10-317×10-10-218×10-10-314×10-10y Bi010*********711×10-10211×10-10-919×10-11-817×10-11z Bi010000-616×10-12-719×10-10110×10-11-213×10-11118×10-10Δli-118×10-11-512×10-11-816×10-11-515×10-11-111×10-11-214×10-10果.当选用80个测量位形,εR=01001°且εL=2μm 时,经过标定后并联机器人的位置误差可减小至011mm,姿态误差可减小至0101°.此外,测量位形的增加也可以在一定程度上改善标定结果,但是效果有限.图3给出了假定倾角仪位置精度和重复精度均为01001°且杆长测量精度为20μm,本文方法与文献[3]方法的标定结果,可以看出两者较为接近.然而,考虑到实际测量中倾角仪的重复精度要高于位置精度,则本文方法的标定结果优于文献[3]方法.8441西　安　交　通　大　学　学　报 第42卷　图3　相同条件下2种标定方法结果比较3　结　论为寻求一种代价小、简单有效的方式以提高并联机器人运动精度,提出了利用双轴倾角仪来建立机器人末端2个姿态角的恒定约束,并据此约束构造辨识模型的标定方法.倾角仪无需进行精确的角度测量,所以影响标定结果的是其重复精度和分辨率,标定方法也不受倾角仪测量范围的限制.由于避免了使用机械锁定装置来建立约束,因此本文方法对机器人主动关节没有特殊要求,亦即适用于各类并联机构,同时仿真计算验证了所提方法的有效性.进一步的研究将主要针对测量位形的优化选取及快速有效的伺服调节.参考文献:[1]　RENAUD P,ANDREFF N,MARQU ET F.Vision2based kinematic calibration of H4parallel 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