第3讲行程问题

第三讲行程问题（一）一、知识梳理1．行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。

解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。

2．解题关键及规律：同时同地相背而行：路程=速度和×时间。

同时相向而行：路程=速度和×时间。

同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追击时间=路程÷速度差。

同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×时间。

二、方法归纳行程问题分为追及问题与相遇问题：相遇问题：速度和×相遇时间=总路程（同时出发）甲的路程+乙的路程=总路程追及问题：速度差×追击时间=相距路程甲的速度×甲追乙的时间－乙的速度×甲追乙的时间=相距路程路程差＝相遇时间×速度差路程和＝相遇时间×速度和相遇时间＝路程差÷速度差相遇时间＝路程和÷速度和速度差＝路程差÷相遇时间速度和＝路程和÷相遇时间三、课堂精讲例1 A、B两地相距1250千米，两辆汽车相对开出。

若甲车每小时行65千米，则乙车每小时行（）千米，两汽车经10小时正好相遇。

【规律方法】根据速度和×相遇时间=总路程的数量关系解决问题。

可以用方程，也可以用算术方法。

【搭配课堂训练题】【难度分级】 A1．甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。

甲车从A地、乙车从B地同时出发相向而行。

两车相遇后4.5小时甲车到达B地，A、B两地相距多少千米？2．一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两地相对开出，经过3.5小时相遇，已知客车每小时比货车快3千米，甲乙两地相距416.5千米，客车每小时行多少千米?例2一汽车下午2点30分从A地开出，每小时行50千米，经1.5小时后另一辆汽车以相同的速度从B地开出，下午6时相遇，A、B两地相距（）千米。

第三讲行程问题（综合问题）【知识提纲】：我们把讨论有关物体运动的速度，时间，路程问题的应用题称为行程应用题。

主指一个物体的运动和两个或几个物体的运动两大类，两个或儿个物体的运动又可以分为相遇问题和追及问题两类。

苏步青老爷爷是我国著名的数学家，他曾遇到一位外国数学家,这位数学家出了一道行程问题的题目让他做，有意思的是题目中还有一条活泼可爱好动的小狗,同学们想知道吗？那就让我们一起来看一下吧。

狗跑的时间与甲,乙两人走的时间相同【典型例题1】甲、乙两人同时从两地出发,相向而行,距离100千米。

甲每小时行6千米，乙每小时行4千米。

甲带着一只狗，狗每小时行10千米。

这只狗同甲一道出发，向乙跑去，碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边跑，碰到甲后又往乙那边跑(直到两人相遇。

这只狗共跑了多少千米?【思路解析】：由于狗从甲跑向乙，遇乙后又掉头跑向甲，遇甲又跑向乙......直至甲、乙两人相遇。

狗跑的路程来来回回比较复杂，很难用分段的方法算出狗跑的路程。

通过比较，发现狗跑的时间正好就是甲、乙两人相遇的时间，用这个时间和狗跑的速度相乘就得到狗跑的路程。

解：100÷(6+4)= 100÷10=10(小时）10x10=100(千米)答:狗一共跑了100千米。

路程差除以速度差得出相遇时间或追及时间【典型例题2】小玲每分钟行100米，小明每分钟行80米，两人同时从学校和少年宫出发相向而行，在离中点120米处相遇。

学校与少年宫相距多远?【思路解析】：两人离中点120米处相遇，因小玲速度比小明快，所以相遇时小玲行全程的一半多120米，小明行全程的一半少120米。

因此相同的时间里，小玲比小明多行了120x2=240(米)，又因小玲比小明每分钟多100-80=20(米)，从而求出小玲、小明两人相遇时小玲比小明多行240米所用的时间，即240÷20=12(分)，最后用两人的（速度和）×（相遇时间）=两地距离。

第三讲复杂的行程问题（二）一、【基础过关】1、王老师开车回家，原计划按40千米/小时的速度行驶，行驶到路程的一半时才发现之前的速度只有30千米/小时，在后一半路程中，速度必须达到才能准时回到家。

2、王老师开车去学校，前一半时间车速为每小时40千米，后一半时间车速变为每小时60千米，那么他的平均速度是。

3、甲乙两人从相距440米的两地相向而行，甲每分钟行60米，乙每分钟行50米，分钟后两人第一次相距110米。

4、甲、乙、丙、丁4人在河中先后从同一地方同速同向游泳，现在甲距起点78米，乙距起点27米，丙距起点23米，丁距起点16米。

那么当甲、乙、丙、丁各自继续游米时，甲距起点的距离刚好为乙、丙、丁3人距起点的距离之和。

5、一辆轿车用每小时50千米的速度从甲地到乙地，比原计划提前1小时到达；若以每小时20千米的速度从甲地开往乙地，则比原计划迟到2小时。

那么甲、乙两地相距千米。

二、【例题精讲】【例1】有甲乙丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走60米。

现在甲从A地，乙、丙两人从B地同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇。

那么，A、B两地之间的距离是多少米？【课堂练习1】有甲乙丙3人，甲每分钟走120米，乙每分钟走100米，丙每分钟走60米。

现在甲从A 地，乙、丙两人从B地同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇10分钟后，甲又与丙相遇。

那么，A、B两地之间的距离是多少米？【例2】甲乙丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为60千米/时和48千米/时。

有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6时、7时、8时先后与甲、乙、丙三两车相遇。

求丙车的速度。

【课堂练习2】甲乙丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为80千米/时和60千米/时。

有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后4时、5时、8时先后与甲、乙、丙三两车相遇。

求丙车的速度。

三、【课后作业】1、列车通过250米的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。

4升5~3第三讲：行程问题之(火车过桥、错车与超车)第三讲：行程问题之（火车过桥、错车与超车）一、导入 28分钟过桥五个人要过桥,爸爸过桥需时1分钟,妈妈过桥需时2分钟,儿子过桥需时4分钟,妹妹过桥需时8分钟,爷爷过桥需时16分钟,由于天色已黑,他们必须持灯过桥,但桥每次只能承受2人的重量,而他们又只有一盏灯.最后他们花了28分钟来过桥,他们是如何过桥的呢? 1、爸爸妈妈先过去用时2分 2、爸爸回来用时1分 3、妹妹爷爷过去用时16分 4、妈妈回来用时2分 5、爸爸儿子过去用时4分6、爸爸回来用时1分 7、爸爸妈妈过去用时2分二、专题要点过桥问题基本公式（1）火车过桥：过一座桥，1、火车通过人所走的路程就是火车的长度。

2、火车通过桥所走的路程就是火车的长度加上桥长。

过两座桥，火车以同样的速度通过两座桥时，通过比较他们的路程差与时间差，可以求出火车行驶的速度。

（2）错车的路程=相遇路程=两列火车长度之和；错车时间=错车路程÷速度和三、典型例题及变式练习火车过桥之过一座桥例1.一列火车长400米，通过路旁一位站着的工人需要20秒，求火车的速度？400÷20=20（米）答：火车的速度是20米/秒换个角度想一想火车通过铁路工人所走的路程时多少米？1、一列火车长148米，以每分钟300米的速度通过一座长752米的大桥，那么从车头上桥到车尾离桥共要多长时间？2、一列火车长172米，以每秒钟20米的速度通过一座长728米的大桥，那么从车头上桥到车尾离桥共要多长时间？挑战思维3、一列货车车头及车身共41节，每节车身及车头长都是30米，节与节间隔1米，这列货车以每分钟1千米的速度穿过山洞，恰好用了2分钟，这个山洞长多少米？过桥问题之过两座桥1、一列火车通过240米的桥需80秒,用同样的速度通过180米的隧道要76秒。

求这列火车的速度及车长？火车的速度：（240-180）÷（80-76）=15米/秒火车车长：15×80-240=960（米）答：求这列火车的速度是15米/秒，车长是960米？赛点透析车头及车身共41节，共40个间隔，“车身”长多少米？火车通过山洞的总路程减去车身的长度就是山洞长。

【小学五年级奥数讲义】行程问题（三）一、专题简析：很多稍复杂的应用题，运用算术方法解答有一定困难，列方程解答就比较容易。

列方程解答行程问题的优点是可以使未知道的数直接参加运算，列方程时能充分利用我们熟悉的数量关系。

因此，对于一些较复杂的行程问题，我们可以用题中已知的条件和所设的未知数，根据自己最熟悉的等量关系列出方程，方便解题。

二、精讲精练：例 1 A 、B两地相距 259 千米，甲车从 A 地开往 B 地，每小时行 38 千米；半小时后，乙车从 B 地开往 A 地，每小时行 42 千米。

乙车开出几小时后和甲车相遇？练习一1、甲、乙两地相距658 千米，客车从甲地开出，每小时行58 千米。

1 小时后，货车从乙地开出，每小时行62 千米。

货车开出几小时后与客车相遇？2、小军和小明分别从相距1860 米的两处相向出发，小军出发 5 分钟后小明才出发。

已知小军每分钟行120 米，小明骑车每分钟行300 米。

求小军出发几分钟后与小明相遇？例 2一辆汽车从甲地开往乙地，平均每小时行20 千米。

到乙地后又以每小时30 千米的速度返回甲地，往返一次共用7.5 小时。

求甲、乙两地间的路程。

练习二1、汽车从甲地开往乙地送货。

去时每小时行 30 千米，返回时每小时行40 千米，往返一次共用 8 小时 45 分。

求甲、乙两地间的路程。

2、一架飞机所带的燃料最多可用9 小时，飞机去时顺风，每小时可飞1500 千米；返回时逆风，每小时可飞 1200 千米。

这架飞机最多飞多少千米就要往回飞？例3 东、西两地相距5400 米，甲、乙二人从东地、丙从西地同时出发，相向而行。

甲每分钟行 55 米，乙每分钟行 60 米，丙每分钟行 70 米。

多少分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点处？练习三1、A、B、C三地在一条直线上，如图所示：A、B 两地相距 2 千米，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时向 C地行走，甲每分钟走 35 米，乙每分钟走 45 米。

六年级下册奥数第3讲~变速行程问题知识点二：设数法解变速行程举例：下图是一个正六边形，已知一个蚂蚁在每边上的爬行速度，求绕一圈的平均速度。

例2、一只虫子沿正方形ABCD的四条边爬行，已知其在AB上的速度是每分钟90厘米，BC上的速度是每分钟120厘米，CD上的速度是每分钟60厘米，DA上的速度是每分钟80厘米。

蚂蚁由A点开始，如果顺时针爬行一周，平均速度是多少？如果顺时针爬行了一周半，平均速度又是多少？练2、一只虫子沿正方形ABCD爬行，已知其在AB上的速度是每分钟90厘米，BC上的速度是每分钟120厘米，CD上的速度是每分钟60厘米，DA上的速度是每分钟80厘米。

蚂蚁由A点开始，逆时针爬行2周半，平均速度是多少？知识点三：设分段法解变速行程当题目中没有告诉我们路程时，我们只要通过设数的形式进行解题就可以了，当然设数法求平均速度的问题还有另外一种类型，1、张老师开车回家，此时距离家有120千米，前半程用速30千米/时速度行驶，临时家里有事需要尽快到达，要想3小时到达，那么后半段的速度是__________。

2、有甲乙两艘船在海上相向行驶，甲船单独行驶完全程需要6小时，乙船单独行驶完全程需要4小时，甲乙同时出发_______小时相遇。

例3、胖胖开车去外婆家，原计划按照60千米/时的速度行驶，行驶到路程的一半时发现之前的速度只有50千米/时，那么在后一半路程中，速度必须达到多少才能准时到外婆家？练3、李老师开车去图书馆，前一半路程车速为每小时40千米，平均速度是每小时48千米，那么他后一半路程的车速是多少？知识点四：与正反比相关的变速行程举例：小红帽去外婆家，小红帽有天按照往常的速度去2000米处的外婆家，结果在最后500米处发现了大灰狼，小红帽加快速度跑步，结果比平时提前了3分钟到达外婆家，请问，如果小红帽一开始就以跑步的速度，那么可以提前几分钟到达外婆家。

板书总结：与正反比相关的变速行程1、路程相同，速度与时间成反比；2、去相同，比不同3、找不变量，路程和相同，速度和相同，时间也相同3、乐乐和静静、赛跑，这天他们选定了跑道进行比赛，已知乐乐和静静、的速度比为5:4，乐乐比静静、早2秒到终点，乐乐跑完全程需要多久？4、客货两车同时从甲、乙两地相对开出，相遇时客货两车所行的路程比是5:4，相遇后货车每小时比相遇前每小时多走27千米，客车仍按原速前进，结果两车同时到达对方的出发站。

第3讲 行程问题【例1】 甲，乙两人从相距20千米的两地出发相向而行，一只小狗与甲同时出发向乙奔去，遇到乙后立即掉头向甲跑去，遇到甲后又立即掉头向乙跑去…直到甲乙两人相遇为止．已知甲的速度是6千米/小时，乙的速度是4千米/小时，小狗的速度是13千米/小时，在这一过程中，小狗共跑了（ ）千米．A ．18B ．20C ．24D ．26【例2】 如图长方形ABCD 中，AB ：BC=5：4，位于A 点的第一只蚂蚁按A→B→C→D→A 方向爬行，位于C 点的第二只蚂蚁按C→B→A→D→C 的方向同时出发，分别沿长方形的边爬行，如果两只蚂蚁第一次在B 点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在（ ）边上．A ．DAB ．BCC ．CD D ．AB【例3】 两列对开的列车相遇，第一列车的车速为10米/秒，第二列车的车速为12.5米/秒，第二列车上的旅客发现第一列车从旁边开过的时间用了6秒，则第一列车车长为（ ）米．A ．60B ．75C ．80D ．135【例4】 如图，沿着边长为90米的正方形，按A→B→C→D→A…方向，甲从A 以63米/分的速度，乙从B 以72米/分的速度同时行走，当乙第一次追上甲时是在正方形的某个顶点处，则这个顶点是（）A．顶点A B．顶点B C．顶点C D．顶点D 【例5】铁路线旁边有一条沿铁路方向的公路，公路上一辆汽车正以每小时40千米的速度行驶，这时一列长375米的火车以每小时67千米的速度从后面开过来，问：火车从车头到车尾经过汽车旁边需要（）秒．A．65 B．60 C．55 D．50【例6】一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相向开出，相遇后辆车继续行驶，当摩托车到达甲城，汽车到达乙城后，立即返回，第二次相遇时汽车距甲城120千米，汽车与摩托车的速度比是2：3．则甲乙两城相距多少千米．（）A．100（km）B．150（km）C．155（km）D．135（km）【例7】体育场的环形跑道长400米，小刚和小华在跑道的同一起跑线上，同时向相反方向起跑，小刚每分钟跑152米，小华每分钟跑148米．分钟后他们第3次相遇．【例8】两辆汽车同时从东、西两站相对开出，第一次在离东站60千米处相遇，两车又以原来的速度前进，各车到站后立即返回，又在离中点30千米处相遇，两站相距千米．【例9】王明回家，距家门300米，妹妹和小狗一齐向他奔来，王明和妹妹的速度都是每分钟50米，小狗的速度是每分钟200米，小狗遇到王明后用同样的速度不停往返于王明与妹妹之间．当王明与妹妹相距10米时，小狗一共跑了米．【例10】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．甲车每小时行45千米，乙车每小时行36千米．相遇以后继续以原来的速度前进，各自到达目的地后又立即返回，这样不断地往返行驶．已知途中第二次相遇地点与第三次相遇地点相距60千米．则A、B两地相距千米．【教师备选】【备选1】甲、乙两人沿长方形道路ABCD匀速相对而行，开始时甲在A处，乙在C 处，同时出发．第一次相遇时甲走了50米，第二次相遇时，乙再走20米就回到C处，这条道路的周长是米．【备选2】在一个圆形跑道上，小明与小华分别从一条直径的两端同时出发，相向而行，第一次相遇时，小华走了80米．相遇后，两人继续向前行走，在小明走一圈差55米时，与小华再次相遇，这个圆形跑道的周长是米．【备选3】甲乙二人分别从A、B两地同时出发，在A、B两地两地之间往返跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑7米．若果他们第三次相遇与第四次相遇点的距离是150米，那么A、B之间的距离为米．【备选4】东西两村相距4200米，甲从东村、乙和丙从西村同时出发，甲与乙、丙相向而行，甲与乙相遇后1分钟甲与丙相遇，甲每分钟走110米，乙每分钟走100米，丙每分钟走米．【备选5】大、小两汽车同时从甲站开往乙站，小汽车每小时比大汽车多行12千米，小汽车行驶6.5小时到达乙站后，没有停止，即从原路返回，在距离乙站43.5千米的地方和大汽车相遇，甲、乙两站相距多少千米？【备选6】甲，乙，丙三人都要从A地到B地，A，B两地相距42千米，甲骑摩托车，一次只能带一个人，摩托车每小时行36千米，人步行每小时行4千米，如果采用摩托车和步行相结合的办法，三人同时从A地出发，全部到达B地，最快要多长时间？【备选7】甲、乙两人从A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶．已知他们的速度比为2：5，在离两地中点10.5千米处相遇．A、B两地相距多少千米？若相遇后乙再经过21分钟到达A地，那么自行车、摩托车的速度分别为多少？【备选8】灰太狼与喜羊羊进行10000米自行车赛跑，灰太狼的速度是喜羊羊的速度的5倍．它们同时从“森林公园”出发，在转弯处，由于用力过猛，灰太狼的自行车链条断了，于是灰太狼下车修理，当灰太狼修好自行车继续前行时，发现喜羊羊已经领先自己5000米，灰太狼奋起直追，但是当喜羊羊到达终点时，灰太狼还是落后100米．那么在灰太狼修理自行车期间，喜羊羊跑了多少米？【备选9】游客在9时15分由码头划出一条小船，他欲在不迟于12时回到码头，河水的流速为每小时1.4千米，小船在静水中的速度为每小时3千米，他每划30分钟就休息15分钟，中途不改变方向，并在某次休息后立即往回划．他最多能划离码头多少千米？几时回到码头？（假定休息时船在原地抛锚不动）【备选10】A地位于河流的上游，B地位于河流的下游．每天早上，甲船从A地、乙船从B地同时出发相向而行，从12月1号开始，两船都装上了新的发动机，在静水中的速度变为原来的1.5倍，这时两船的相遇地点与平时相比变化了1千米．由于天气原因，今天（12月6号）的水速变为平时的2倍．试问：今天两船的相遇地点与12月2号相比，将变化多少千米？。

第三讲 行程问题三知识点拨要注意：出发的时间、地点和行驶方向、速度的变化等等.例题与方法例1 客车和货车同时从A 、B 两地相对开出。

客车每小时行驶50千米，货车的速度是客车的80%，相遇后客车继续行3.2小时到达B 地。

A 、B 两地相距多少千米？例2 甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发相向而行，相遇点距中点320米。

已知甲的速度是乙的速度的56 ，甲每分钟行800米。

求A 、B 两地的路程。

例3 从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是1：2：3，某人走这三段路所用的时间之比是4：5：6。

已知他上坡时的速度为每小时2.5千米，路程全长为20千米。

此人从甲地走到乙地需多长时间？例4 从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是2：3：5，小亮走这三段路所用的时间之比是6：5：4。

已知小亮走平炉时的速度为每小时4.5千米，他从甲地走到乙地共用了5小时。

问：甲、乙两地相距多少千米？例5 甲、乙两人分别从A 、B 两地出发，相向而行，出发时他们的速度比是3：2。

他们第一次相遇后，甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%。

这样，当几B 地时，乙离A 地还有14千米。

那么A 、B 两地间的距离是多少千米？例6 甲、乙两人步行的速度比是13：11，他们分别由A 、B 两地同时出发相向而行，0.5小时后相遇。

如果他们同向而行，那么甲追上乙需要几小时？例7 甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，一辆汽车一次只能坐一个班的学生。

为了尽快到达机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班步行，同时出发。

甲班学生在中途下车步行去机场，汽车立即返回接途中步行的乙班同学。

已知凉拌学生步行的速度相同，汽车的速度是步行的7倍，汽车应在距机场多少千米处返回接乙班同学，才能使两班同学同时到达机场（学生上下车及汽车换向时间不计算）？例8 红星小学有80名学生租了一辆40座的车去还边观看日出。

未乘上车的学生步行，和汽车同时出发，由汽车往返接送。

第三讲行程问题-火车过桥与错车超车问题【例题1】★一列列车长150米,每秒钟行19米。

问全车通过420米的大桥，需要多少时间？【分析与解】如图，列车过桥所行距离为：车长＋桥长。

（420＋150）÷19=30（秒）答：列车通过这座大桥需要30秒钟。

【练习1-1】★一列车通过530米的隧道要40秒钟，以同样的速度通过380米的大桥要用30秒钟。

求这列车的速度及车长。

【分析与解】列车过隧道比过桥多行（530－380）米，多用（40－30）秒。

列车的速度是：（530－380）÷（40－30）=15（米/秒）列车的长度是：15×40－530=70（米）答：列车每秒行15米，列车长70米。

【练习1-2】★★火车通过长为102米的铁桥用了24秒，如果火车的速度加快1倍，它通过长为222米的隧道只用了18秒。

求火车原来的速度和它的长度。

【考点分析】如果火车仍用原速，那么通过隧道要用36秒。

【分析与解】列车原来的速度是（222－102）÷（18×2－24）=10（米/秒）火车长为10×24-102=138（米）火车过桥是一种特殊的行程问题。

需要注意从车头至桥起，到车尾离桥止，火车所行距离等于桥长加上车长。

列车过桥问题的基本数量关系为：车速×过桥时间=车长+桥长。

火车过桥问题：（1）解题思路：先车速归一，再用公式“桥长之差÷时间之差=归一后的车速”，即=V tS⨯差差，（2）画示意图，分析求解。

列车所行路程为车头到车头或车尾到车尾的距离，而不是车头到车尾的距离。

（3）与追及问题的区另：追及问题所用公式=V tS⨯差差，要求时间归一。

关于S=Vt公式的拓展初步探讨(1)S=vt =(2) S=v t =(3) S=v t =(4) S=vt=S vt⨯⨯=⇒⨯⨯和和差差差差行程问题：路程速度时间相遇问题：路程和速度和时间（时间归一，能求路程和）追及问题：路程差速度差时间（时间归一，能求路程差）火车过桥：路程差车速度时间差（速⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩度归一，求出车速）类型一：火车过桥好题精练火车过桥问题答：列车原来每秒行10米，车长为138米。