专项训练:错位相减法
目录
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14.(2009山东卷文) (3)
3
3
3
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(4)
(4)
(4)
22.(2013山东数学理) (4)
23.(2014四川) (4)
24.(2014江西理17) (4)
25.(2014安徽卷文18) (4)
26.(2014全国1文17) (4)
27.(2014四川文19) (4)
28.(2015山东理18) (5)
29.(2015天津理18) (5)
30.(2015湖北,理18) (5)
31.(2015山东文19) (5)
32.(2015天津文18) (5)
33.(2015浙江文17) (5)
专项训练错位相减法答案 (5)
1.(2003北京理16)
已知数列{}n a 是等差数列且12a =,12312a a a ++=
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)令()n
b a x x R =?∈ 数列{}b 的前n 项和的公式 在等差数列{}n a 中,11a =,前n 项和n S 满足条件
242
,1,2,1
n n S n n S n +==+,
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)记(0)n a
n n b
a p p =>,求数列{}
b 的前n 项和n T ?
设{}n a 为等比数列,11a =,23a =.
(1)求最小的自然数n ,使2007n a ≥; (2)求和:2123
21232n n
n T a a a a =
-+--
. 9.(2007福建文21)
数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,*
12()n n a S n +=∈N .
(1)求数列{}n a 的通项n a ; (2)求数列{}n na 的前n 项和n T .
10.(2007安徽理21)
某国采用养老储备金制度.公民在就业的一年就交纳养老储备金,数目为1a ,以后每年交纳的数目均比上一年增加()0d d >,因此,历年所交纳的储务金数目12,,
a a 是一个公差为d 的等差数列,与此同时,国家给予优惠
的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是说,如果固定年利率为()0r r >,那么,在n 年末,一年所交
纳的储备金就变为()
1
11n a r -+,二年所交纳的储备金就变为()
2
21,
n a r -+,以n T 表示到n 年末所累计的储备金
总额.
(1)写出n T 与1(2)n T n -≥的递推关系式;
(2)求证:n n n T A B =+,其中{}
A 是一个等比数列,{}
B 是一个等差数列.
等比数列{}的前n 项和为, 已知对任意的,点,均在函数且均为常数)的图像上.
(1)求r 的值;
(2)当2b =时,记,求数列的前项和 15.(2009江西卷文) 数列的通项,其前n 项和为. (1) 求; (2) 求数列{}的前n 项和. 已知{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,{}n b 是等比数列,且1a =1=2b ,44+=27a b ,44=10S b -.
n a n S n N +∈(,)n n S (0x
y b r b =+>1,,b b r ≠1
()4n n
n b n N a ++=∈{}n b n n T {}n a 2
2
2(cos
sin )33
n n n a n ππ=-n S n S 3,n
n n
S b =
n b n T
(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;
(2)记1121=+++n n n n T a b a b a b -,+n N ∈,证明+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈.
19.2012年江西省理
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424S S =,221n n a a =+.
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)设数列{}n b 前n 项和为n T ,且 12
n n n
a T λ++=(λ为常数).令2n n c
b =*
()n N ∈.求数列{}n c 的前n 项和n R .
23.(2014四川)
设等差数列{}n a 的公差为d ,点(,)n n a b 在函数()2x
f x =的图象上(*n N ∈).
(1)若12a =-,点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上,求数列{}n a 的前n 项和n S ; (2)若11a =,函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2
-
,求数列{}n n a
b 的前n 项和
n T .
24.(2014江西理17)
已知首项都是1的两个数列(),满足
.
(1)令,求数列的通项公式;
(2)若13n n b -=,求数列的前n 项和 25.(2014安徽卷文18)
数列{}n a 满足111,(1)(1),n n a na n a n n n N +
+==+++∈
（1） 证明:数列{}n
a n 是等差数列; （2） 设3n
n b =求数列{}n b 的前n 项和n S
26.(2014全国1文17)
已知{}n a 是递增的等差数列,2a ,4a 是方程2
560x x -+=的根?
(1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列2n n a ??
?
???
的前n 项和. 27.(2014四川文19)
设等差数列{}n a 的公差为d ,点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上(*
n N ∈).
(1)证明:数列{}n b 是等比数列;
(2)若11a =,函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2
-,求数列2
{}n n
a b 的前n 项和n S . 28.(2015山东理18)
设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n n S =+. (1)求{}n a 的通项公式;
(2)若数列{}n b 满足3log n n n a b a =,求{}n b 的前n 项和n T .
29.(2015天津理18)
已知数列{}n a 满足212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，,且
233445,,a a a a a a +++成等差数列.
(1)求q 的值和{}n a 的通项公式;
(2)设*2221
log ,n
n n a b n N a -=∈,求数列{}n b 的前n 项和.
30.(2015湖北,理18)
设等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公比为q .已知11b a =,22b =,q d =,10100S =. (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;
(2)当1d >时,记n n n a
c b =,求数列{}n c 的前n 项和n T .
31.(2015山东文19)
已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列,数列11n n a a +???????
的前n 项和为
21n
n +. (1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)设()12n a
n n b a =+?,求数列{}n b 的前n 项和n T .
32.(2015天津文18)
已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,{}n b 是等差数列,且112331,2a b b b a ==+=,5237a b -=. (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式;
(2)设*,n n n c a b n N =?,求数列{}n c 的前n 项和. 33.(2015浙江文17)
已知数列{}n a 和{}n b 满足,*
1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈ *1231111
1(n N )23n n b b b b b n
++
+++=-∈. (1)求n a 与n b ;
(2)记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,求n T .
专项训练 错位相减法 答案
1、 (1)2n a n =,(2)当1x ≠时,1
22(1)2(1)1n n n x x nx S x x +-=---,当
1x =时,(1)n S n n =+
2、 解:(1)若公比1q =,则30120110130,20,10S a S a S a ===,代入条件,不成立,故1
q ≠,根据等比数列求
和公式,易得
10301020102(1)(21)(1)(1)0q q q --+-+-=, 解得2
1=
q ,因而 111
2n n n a a q -==
(2)由(1)得.2,2112
11)
21
1(21n n n n n n n nS S -=-=--= 则数列}{n nS 的前n 项和 ),2
2221()21(2n n n
n T +++-+++=
前两式相减,得
122)212121()21(212+++++-+++=n n n n n T
4.解:(1):当;2,111===S a n 时
故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列.
设{b n }的通项公式为.4
1
,4,,11=∴==q d b qd b q 则
故.4
2
}{,4121111---=?-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即
(2),4)12(422411
---=-==n n n
n n n n b a c 两式相减得
5.解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,由
2421
n n S n S n +=
+得:12
13a a a +=,所以22a =,即211d a a =-=,又1
211122()42212n n n n n n a nd a n S a nd a n a a n S a a n ++?+++===
+++?=2(1)
1n n a n a +++,所以n a n =? (2)由n a n n b a p =,得n
n b np =?所以23123(1)n n n T p p p n p np -=++++-+,
当1p =时,1
2
n n T +=;
当1p ≠时,
234123(1)n n n pT p p p n p np +=++++-+,
即11,12(1),11n n
n n p T p p np p p ++?
=??
=?-?-≠?-?? 122
11)
211(214)1(++---+=n n n n n 即 .22212)1(1-+++=-n n n
n n n T 6.(1)21
12333...3,3n n n a a a a -+++=
验证1n =时也满足上式,*
1().3
n n a n N =∈
(2) 3n
n b n =?, 111333244
n n n n S ++=?-?+?
7.解:(1)设{}n a 的公差为d ,{}n b 的公比为q ,则依意有0q >且4
2
12211413d q d q ?++=??++=??，
，
解得2d =,2q =.所以1(1)21n a n d n =+-=-,
112n n n b q --==.
(2)1
23
62n n n S -+=-
. 8.解:(1)由已知条件得1
12113n n n a a a --??
== ?
??
,
因为67320073<<,所以,使2007n a ≥成立的最小自然数8n =.
(2)因为223211234213333
n n n
T -=-
+-+-,…………① 2234212112342123333333
n n n n n
T --=-+-++-,…………② +①②得:2232124111121333333n n n n
T -=-+-+--
222211233383134313
n n
n n n n ---=-=+,所以22223924163n n n n T +--=. 9.解:(1)12n n a S +=,12n n n S S S +∴-=, 13n n
S
S +∴=.又111S a ==,
∴数列{}n S 是首项为1,公比为3的等比数列,1*
3()n n S n -=∈N .
当2n ≥时,2
1223(2)n n n a S n --==≥,
(2)12323n n T a a a na =++++,
当1n =时,11T =;
当2n ≥时,0
1
21436323n n T n -=+++
+,…………①
12133436323n n T n -=+++
+,………………………②
-①②得:12212242(333)23n n n T n ---=-++++
+-
11(12)3n n -=-+-.
1113(2)22n n T n n -??
∴=+- ???
≥.
又
111T a ==也满足上式,1*113()22n n T n n -??
∴=
+-∈ ???
N . 10.解:(1)我们有1(1)(2)n n n T T r a n -=++≥. (2)11T a =,对2n ≥反复使用上述关系式,得 1
2121(1)
(1)(1)n n n n a r a r a r a ---=++++
+++,
① 在①式两端同乘1r +,得
12121(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n r T a r a r a r a r --+=++++
++++
②
②-①,得1
21(1)[(1)(1)(1)]n
n n n n rT a r d r r r a --=++++++
++-
1[(1)1](1)n n n d
r r a r a r
=
+--++-. 即1122(1)n
n a r d a r d d T r n r r r ++=+--.
如果记12(1)n
n a r d A r r +=+,12n a r d d B n r r
+=--,
则n n n T A B =+.
其中{}n A 是以12(1)a r d r r ++为首项,以1(0)r r +>为公比的等比数列;{}n B 是以12a r d d r r
+--为首项,d
r -为
公差的等差数列. 11.解:(1)122n
n n a a +=+,
11122
n n
n n a a +-=+,
11n n b b +=+,则n b 为等差数列,11b =,n b n =,12n n a n -=.
(2)01
211222(1)22n n n S n n --=++
+-+ 12.(1) 121
n n n a a a +=+,∴ 111
111222n n n n a a a a ++==+?, ∴ 11111(1)2n n a a +-=-,又123
a =,∴111
12a -=, ∴数列1
{1}n a -是以为12首项,12为公比的等比数列.
(2)由(1)知1111111222n n n a -+-=?=,即1112
n n a =+,∴2n n n n n a =+. 设23123
222n T =+++…2n n +, ①
则23112222n T =++…1122n n n n
+-++,② 由①-②得
2111222n T =++ (111)
11(1)1122112222212
n n n n n n n n n +++-+-=-=---, ∴11222n n n n T -=--.又123+++ (1)
2
n n n ++=.
∴数列{}n
n
a 的前n 项和 22(1)4222222n n n n n n n n n S +++++=-+
==. 13.(1)由已知有
利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()
(2)由(1)知,
=
而,又是一个典型的错位相减法模型, 易得 =
14.解:因为对任意的,点,均在函数且均为常数)的图像上.所以得
,
当时,, 当时,,
又因为{}为等比数列, 所以, 公比为, 所以
(2)当b=2时,, 则 1112n n n a a n n +=++11
2
n n n b b +∴-={}n b 1122
n n b -=-*
n N ∈122
n n n
a n -=-∴n S 11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2
n n
k k k k
k -===-∑∑1(2)(1)n k k n n ==+∑112n
k k k
-=∑111242
2n
k n k k n --=+=-∑∴n S (1)n n +12
42n n -++-n N +∈(,)n n S (0x
y b r b =+>1,,b b r ≠n n S b r =+1n =11a S b r ==+2n ≥1
111()(1)n
n n n n n n n a S S b r b
r b b b b ----=-=+-+=-=-n a 1r =-b 1
(1)n n a b b -=-1
1(1)2n n n a b b --=-=11
111
4422n n n n n n n b a -++++=
==?2
341
2341
222
2n n n T ++=
++++
相减,得 所以
15.解: (1) 由于,故
, 故 ()
(2) 两式相减得 故 16.解:(1)由已知,当n≥1时,
2(1)12n +-=,
而 12,a =所以数列{n a }的通项公式为21
2n n a -=?
(2)由21
2n n n b na n -==?知
35211222322n n S n -=?+?+?+
+? ①
从而
2
3
5
7
2121222322n n S n +?=?+?+?++? ②
①-②得
2
3
5
2121(12)22222n n n S n -+-?=++++-? ?
即 211
[(31)22]9
n n S n +=
-+ 17.解:(1)通项公式为2n a n =- (2)12
n n n S -=
18.解:(1)设等差数列的公差为d ,等比数列的公比为q , 由1a =1=2b ,得3
44423286a d b q s d =+==+，，? 由条件44+=27a b ,44=10S b -得方程组
3
3
23227
86210d q d q ?++=??+-=??,解得 3 2d q =??=? ∴+
312n n n a n b n N =-=∈，，
(2)证明:由(1)得,231212222n
n n n n T a a a a --=+++?+ ①; ∴2
3
4
+1
12122222n n n n n T a a a a --=+++?+ ②;
由②-①得,
234512
12111112
222222n n n n T +++=+++++-1131133
22222
n n n n n n T ++++=--=-222cos sin cos 333
n n n πππ-=1331185(94)2222
k k k -+=+++=1,3236(1)(13),316(34)
,36n n n k n n S n k n n n k ?--=-??
+-?==-??
+?=??
*
k N ∈394
,424n n n n
S n b n +==
??2321813.3322
n n n n T -+=
--?
()()23423412+232323+2322=2+4+3222+2412=2+4+3=2+412+62=2+4+612
12
=2+1012
n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b b a b -=-?+?+?+??+?-?+++??--?
--?-----∴
+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈
19.解:(1)92n a n =
-;(2)1242
n n n T -+=- 20.解:(1)∵n n S kc k =-,∴当1n >时,1
1()n n n n n a S S k c c --=-=-?
则6
5
6()a k c c =-,3
2
3()a k c c =-,65
363238a c c c a c c
-===-?∴c =2?
∵2=4a ,即21
()4k c c -=,解得k =2?∴2n
n a =(1n >)?
当n =1时,112a S ==,综上所述*
2()n n a n N =∈? (2)∵2n
n na n =,1
2(1)2n n T n +=+-?
21.解:(1)41n a n =-;(2)1
2n n b -=,(45)25n
n T n =-+,n ∈N ﹡?
22.解:(1)设等差数列
{}n a 的首项为1a ,公差为d ,
由424S S =,221n n a a =+得11114684(21)22(1)1a d a d a n a n d +=+??
+-=+-+?,
解得,11a =,2d =,因此
21n a n =-*
()n N ∈ (2)由意知:
1
2n n n
T λ-=- 所以2n ≥时,
112
1
22n n n n n n n b T T ----=-=-+ 故,1221221
(1)()24n n n n n c b n ---===-
*
()n N ∈ 所以01231
11111
0()1()2()3()(1)()44444n n R n -=?+?+?+?+???+-?,
则12311111110()1()2()(2)()(1)()4
44444n n
n R n n -=?+?+?+???+-?+-? 两式相减得1231311111()()()()(1)()4
44444n n
n R n -=+++???+--? 11()
1
44(1)()1414n n
n -=---
整理得1131(4)94n n n R -+=-,所以以数列数列的前n 项和1131
(4)94
n n n R -+=-
23.解:(1)726722a d
b -+==,可得2d =,所以(3)n S n n =-;
(2)切线方程为2222ln 2()a
y b x a -=-,令0y =,得22a =,所以,2n
n n a n b ==,则
2
n n n a n
b =,用错位相减法得122
2n n
n +--.[来源:学&科&网]
24.
所以(1)3 1.n n S n =-?+
考点:等差数列定义,错位相减求和 25. 26.
考点:1.一元二次方程的解法;2.等差数列的基本量计算;3.数列的求和 27.
28.(答案)(1)13,1,3,1,n n n a n -=?=?>?
; (2)13631243n n
n T +=+?. 所以111
3
T b ==
当1n > 时,
所以()()01231132313n n T n --=+?+?++-
两式相减,得
所以1363
1243
n n
n T +=
+? 经检验,1n = 时也适合,
综上可得:1363
1243
n n
n T +=+? (考点定位)1?数列前n 项和n S 与通项n a 的关系;2?特殊数列的求和问.
(名师点睛)本考查了数列的基本概念与运算,意在考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力,思维的严密性和运算的准确性,在利用n S 与通项n a 的关系求n a 的过程中,一定要注意1n = 的情况,错位相减不法虽然思路成熟但也对学生的运算能力提出了较高的要求.
29.【答案】(1) 12
22,2,.
n n n n a n -??=???
为奇数,
为偶数; (2) 1242n n n S -+=-.
(2) 由(1)得
22121log 2n n n n a n
b a --=
=,设数列{}n b 的前n 项和为n S ,则
01211111
1232222
n n S n -=?+?+?++?,
两式相减得
2311
111111*********
2222212
n n n n n n n n n n S --
=+++++-=-=---, 整理得1
2
42
n n n S -+=-
所以数列{}n b 的前n 项和为1
2
4,*2n n n N -+-
∈. 【考点定位】等差数列定义?等比数列及前n 项和公式?错位相减法求和.
【名师点睛】本题主要考查等差?等比数列定义与性质,求和公式以及错位相减法求和的问题,通过等差数列定义?等比数列性质,分n 为奇偶数讨论求通项公式,并用错位相减法基本思想求和.是中档题.
30.【答案】(Ⅰ)1
21,2.n n n a n b -=-???=??或11(279),
9
29().9n n n a n b -?=+????=???
;(Ⅱ)12362n n -+-.
2345
11357921
2222222
n n n T -=++++++. ② ①-②可得2211112123
23222222n n n n n n T --+=++++-=-,
故n T 123
62
n n -+=-.
【考点定位】等差数列?等比数列通项公式,错位相减法求数列的前n 项和. 【名师点睛】错位相减法适合于一个由等差数列}{n a 及一个等比数列}{n b 对应项之积组成的数列.考生在解决这
类问题时,都知道利用错位相减法求解,也都能写出此题的解题过程,但由于步骤繁琐?计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等.两边乘公比后,对应项的幂指数会发生变化,应将相同幂指数的项对齐,这样有一个式子前面空出一项,另外一个式子后面就会多了一项,两项相减,除第一项和最后一项外,剩下的1-n 项是一个等比数列.
31.【答案】(1)2 1.n a n =- (2) 1
4(31)4.9
n n n T ++-?=
【解析】
(1)设数列{}n a 的公差为d ,
令1,n =得
1211
3a a =,所以123a a =. 令2,n =得1223112
5
a a a a +=,所以2315a a =.
解得11,2a d ==,所以2 1.n a n =-
(2)由(1)知24224,n n n b n n -=?=?所以121424......4,n n T n =?+?++? 所以23141424......(1)44,n n n T n n +=?+?++-?+? 两式相减,得121344......44n n n T n +-=+++-?
所以1
13144(31)44.999
n n n n n T ++-+-?=?+=
【考点定位】1.等差数列的通项公式;2.数列的求和?“错位相减法”.
【名师点睛】本题考查了等差数列的通项公式?等比数列的求和?“错位相减法”等,解答本题的关键,首先是注意运用从一般到特殊的处理方法,准确确定等差数列的通项公式;其次就是能对所得数学式子准确地变形,本题易错点在于错位相减后求和时,弄错数列的项数,或忘记从3n T -化简到n T .
本题是一道能力题,属于中等题.在考查等差数列?等比数列等基础知识的同时,考查考生的计算能力.本题是教科书及教辅材料常见题型,能使考生心理更稳定,利于正常发挥.
32.【答案】(1)12,n n a n -*=∈N ,21,n b n n *=-∈N ;(2)()2323n
n S n =-+
【解析】
(1)列出关于q 与d 的方程组,通过解方程组求出q ,d ,即可确定通项;(2)用错位相减法求和.
试题解析:(1)设{}n a 的公比为q ,{}n b 的公差为d ,由题意0q > ,由已知,有24232,
310,
q d q d ?-=?-=? 消去d 得
42280,q q --= 解得2,2q d == ,所以{}n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N , {}n b 的通项公式为
21,n b n n *=-∈N .
(2)由(1)有()1
212
n n c n -=- ,设{}n c 的前n 项和为n S ,则
两式相减得()()23
12222122323,n n n n S n n -=++++--?=--?-
所以()2323n
n S n =-+ .
【考点定位】本题主要考查等差?等比数列的通项公式及错位相减法求和,考查基本运算能力. 【名师点睛】近几年高考试题中求数列通项的题目频频出现,尤其对等差?等比数列的通项考查较多,解决此类 问题要重视方程思想的应用.错位相减法求和也是高考考查频率较高的一类方法,从历年考试情况来看,这类问题,运算失误较多,应引起考生重视.
33.【答案】(1)2;n
n n a b n ==;(2)1
*(1)2
2()n n T n n N +=-+∈
【解析】
(1)根据数列递推关系式,确定数列的特点,得到数列的通项公式;(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式,利用错位相减法进行数列求和.
试题解析:(1)由112,2n n a a a +==,得2n
n a =. 当1n =时,121b b =-,故22b =. 当2n ≥时,
11n n n b b b n +=-,整理得11
n n b n b n
++=
, 所以n b n =.
(2)由(1)知,2n
n n a b n =? 所以2
3
222322n n T n =+?+?+
+?
所以2
3
11222222(1)22n n n n n n T T T n n ++-=-=++++-?=--
所以1
(1)2
2n n T n +=-+.
【考点定位】1.等差等比数列的通项公式;2.数列的递推关系式;3.错位相减法求和.
【名师点睛】本题主要考查等差数列?等比数列的通项公式以及数列的求和.根据数列递推关系式推理得到数列的性质和特点,以此得到数列的通项公式,利用错位相减法计算新组合的数列的求和问题.本题属于中等题,主要考查学生基本的运算能力.
— 1. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =,122+=n n a a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足 *12 12 1 1,2 n n n b b b n N a a a +++ =-∈ ，求{}n b 的前n 项和n T 2. （2012年天津市文13分） 已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记1122=++ +n n n T a b a b a b ，+n N ∈，证明1+18=n n n T a b --+(2)n N n >∈，。 … 【答案】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由1a =1=2b ，得3 44423286a d b q s d =+==+，，。
由条件44+=27a b ，44=10S b -得方程组 3 3 23227 86210 d q d q ?++=??+-=??，解得 3 2d q =??=?。 ∴+ 312n n n a n b n N =-=∈，，。 (Ⅱ)证明：由（1）得，()23225282132n n T n =?+?+?+-?+ ①； ∴()234+12225282132n n T n =?+?+?+?+- ②； 由②－①得， ： ()()234+1122232323+2332n n n T n =-?-?+?+?-+??+ ()()()()()()+12341+1+1+1+11=4+323222+2412111=4+323=4+32+1232142 =8+3=+8 n n n n n n n n n n n n a b ----?+++??---? --?----- ∴1+18=n n n T a b --+ (2)n N n >∈，。 3.（2012年天津市理13分）已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记1121=++ +n n n n T a b a b a b -，+n N ∈，证明:+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈. 【答案】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由1a =1=2b ，得3 44423286a d b q s d =+==+，，。 & 由条件44+=27a b ，44=10S b -得方程组 3 3 23227 86210 d q d q ?++=??+-=??，解得 3 2d q =??=?。 ∴+ 312n n n a n b n N =-=∈，，。 (Ⅱ)证明：由（1）得，231212222n n n n n T a a a a --=+++?+ ①；[
错位相减法求和专项 错位相减法求和适用于{a n`b n }型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意： ①项的对应需正确； ②相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项； ③若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1 1. 已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅰ）设，是数列的前项和，求． [解析]考察专题：2.1，2.2，3.1，6.1；难度：一般 [答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点， 则设，， Ⅰ，Ⅰ， 又点均在函数的图象上， Ⅰ． Ⅰ当时，， 又，适合上式， Ⅰ．．．．．．．．．．．．（7分）
（Ⅰ）由（Ⅰ）知，， Ⅰ， Ⅰ， 上面两式相减得： ． 整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分） 2.已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且 ． （1）求数列的通项公式； （2）的值. [答案]查看解析 [解析] （1）当n = 1时，解出a1 = 3, 又4S n = a n2 + 2a n－3① 当时4s n－1 = + 2a n-1－3② ①－②, 即，
Ⅰ , （）， 是以3为首项，2为公差的等差数列，6分 ． （2）③ 又④ ④－③ = 12分 3.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分）设函数，数列前项和，，数列，满足. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅰ）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明：. [答案] (Ⅰ) 由，得 是以为公比的等比数列，故.
（Ⅰ）由 得 ， …， 记…+， 用错位相减法可求得： . （注：此题用到了不等式：进行放大. ）4.已知等差数列中，；是与的等比中项． （Ⅰ）求数列的通项公式： （Ⅰ）若．求数列的前项和 [解析]（Ⅰ）因为数列是等差数列，是与的等比中项．所以，又因为，设公差为，则， 所以，解得或， 当时, ，； 当时，. 所以或.（6分)
错位相减法万能公式 一、公式推导： 差比数列1()n n c an b q -=+，则其前n 项和()n n S An B q C =++,其中：,,11 a b A A B C B q q -===---，证明如下：221()(2)(3)[(1)]()(1)n n n S a b a b q a b q n a b q an b q --=++++++???+-+++ 231()(2)(3)[(1)]()(2)n n n qS a b q a b q a b q n a b q an b q -= ++++++???+-+++ (2)(1)-得： 121(1)(1)()()()()()1()()11n n n n n n q q q S a b a q q q an b q a b a an b q q a a an b q b q q ----=-+-++???+++=-+-++-=+-----
11()111 n n a a b b a q q S n q q q q ----=+----.
二、习题精练： 1.（2017山东理数）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式； （Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T . 2. （2016山东理数）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+ （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）另1 (1).(2)n n n n n a c b ++=+求数列{}n c 的前n 项和T n . 3. 设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知2n S =3n +3.
错位相减法求和 如：{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 例1． 已知数列)0()12(,,5,3,112≠--a a n a a n ，求前n 项和。 例2 求和S n = n n n n 2 12232252321132-+-++++- 例3：求数列a,2a 2,3a 3,4a 4,…,na n , …(a 为常数)的前n 项和。 例4设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且 1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==．求数列n n a b ?????? 的前n 项和n S ．
例5.设数列{a n }满足a 1+3a 2+32a 3+…+3 n-1a n ＝ 3n ,n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项; (2)设n n a n b = ,求数列{b n }的前n 项和S n . 分组求和 所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 例1：S n =-1+3-5+7-…+(-1)n (2n-1) 例2已知数列{}n a 的前五项是111111,2,3,4,5,392781243 （1）写出该数列的一个通项公式； (2)求该数列的前n 项和n S . 例3 求下面数列的前n 项和： 1147(3n 2)＋，＋，＋，…，＋－，…11121a a a n -
例4 求数列:1223 131311,,31311,311,1n +++++++ 的前n 项的和. 例5求2222121234(1)n S n -=-+-+ +-（n N +∈） 例6、求和:??? ? ??+++???? ??++???? ?? +n n y x y x y x 11122 ()1,1,0≠≠≠y x x 例7 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
错位相减法求和专项．}{a分别是等差数列和等比数列，在应用过{ab}型数列，其中错位相减法求和适用于nn`nn 程中要注意： 项的对应需正确； 相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项； 若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1 数列的前项已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，1. 均在函数，点的图象上．和为 ）求数列Ⅰ（的通项公式； 是数列的前项和，求．（Ⅱ）设， [解析]考察专题：，，，；难度：一般 [答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，
，，则设 ∴，∴， 又点均在函数的图象上， ∴． 时，，当∴ 又，适合上式，∴．．．．．．．．．．．．（7分） ，）知，Ⅰ）由（Ⅱ （． ∴， ∴， 上面两式相减得：
． 整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分） 是数列的前n2.项和，且已知数列的各项均为正数， ． ）求数列的通项公式；1 （ ）的值.（2][答案查看解析 时，解出an = 1 = 3,] [解析（1）当12－①34S又= a + 2a nnn = + 2a－4s3 ②当时n-1n1－ 即，, －①② , ∴． （），
是以3为首项，2为公差的等差数列，6分 ． ）2③ （ 又④ ③④－ = 12分 设函数，19,12分）（2013年四川成都市高新区高三4月月考，3. ，数列前数列.项和，满足， ）求数列的通项公式；（Ⅰ
，证明：的前，数列.项和为（Ⅱ）设数列的前项和为 ，得由Ⅰ[答案] () 为公比的等比数列，故.是以 ）由（Ⅱ得， …， …+，记
用错位相减法可求得： （注：此题用到了不等式：进行放大. . ） 与的等比中项．4.已知等差数列是中，； ）求数列的通项公式：（Ⅰ 项和Ⅱ）若的前．求数列 （ 的等比中项．所以，是（[解析]Ⅰ）因为数列与是等差数列，
1.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =,122+=n n a a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足 *12 12 1 1,2 n n n b b b n N a a a ++ + =-∈ ，求{}n b 的前n 项和n T 2. （2012年天津市文13分） 已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记1122=++ +n n n T a b a b a b ，+n N ∈，证明1+18=n n n T a b --+(2)n N n >∈，。 【答案】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由1a =1=2b ，得3 44423286a d b q s d =+==+，，。 由条件44+=27a b ，44=10S b -得方程组
3 3 23227 86210 d q d q ?++=??+-=??，解得 3 2d q =??=?。 ∴+ 312n n n a n b n N =-=∈，，。 (Ⅱ)证明：由（1）得，()23225282132n n T n =?+?+?+-?+ ①； ∴()234+12225282132n n T n =?+?+?+?+- ②； 由②－①得， ()()234+1122232323+2332n n n T n =-?-?+?+?-+??+ ()()()()()()+12341+1+1+1+11=4+323222+2412111=4+323=4+32+1232142 =8+3=+8 n n n n n n n n n n n n a b ----?+++??---? --?----- ∴1+18=n n n T a b --+ (2)n N n >∈，。 3.（2012年天津市理13分）已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ， 44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记1121=++ +n n n n T a b a b a b -，+n N ∈，证明:+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈. 【答案】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由1a =1=2b ，得3 44423286a d b q s d =+==+，，。 由条件44+=27a b ，44=10S b -得方程组 3 3 23227 86210 d q d q ?++=??+-=??，解得 3 2d q =??=?。 ∴+ 312n n n a n b n N =-=∈，，。 (Ⅱ)证明：由（1）得，231212222n n n n n T a a a a --=+++?+ ①；[ ∴234+1 12122222n n n n n T a a a a --=+++?+ ②； 由②－①得，
例1. 设数列{}n a 的前n 项和n s ，数列{}n s 的前n 项和为{}n T ，满足 2*2,n n T S n n N =-∈． （1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式． 例2. 已知数列{}n a 的前n 项和212 n S n kn =-+（其中k N +∈），且n S 的最大值为8。 （1）确定常数k ，并求n a ；（2）求数列92{ }2n n a -的前n 项和n T 。 例 3. 已知数列{}n a 的前n 项和n n S kc k =-（其中c ，k 为常数），且 263=4=8a a a ， （1）求n a ；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T 。 例8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =22n n +，n ∈N ﹡，数列{b n }满足a n =4log 2b n ＋3，n ∈N ﹡. （ （1）求a n ，b n ；（2）求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 1.已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若312S =，且1232,,1a a a +成等比数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记3 n n n a b = 的前n 项和为n T ，求n T . 2.在数列}{n a 中，41 , 4111==+n n a a a 已知，*)(log 324 1N n a b n n ∈=+. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求证：数列}{n b 是等差数列； （3）设数列n n n n b a c c ?=满足}{，求{}n c 的前n 项和n S . @ 3．已知数列{}n b 前n 项和n n S n 2 1232-=.数列{}n a 满足 )2(3 4+-=n b n a )(*∈N n ，数列{}n c 满足n n n b a c =。
专题五 数列 误区三：通项遗漏导致错位相减法求和错误 一、易错提醒 数列求和问题是高考的重点,而错位相减法求和又是数列求和中的重点： 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n 项和即可用此法来求,如等比数列的前n 项和就是用此法推导的.笔者通过多年高三教学发现,高三学生都知道什么样的数列求和,可用错位相减法,但每次考试时,又有相等一部分学生在利用错位相减法求和时,出现运算错误.这一点应引起高三备考学生注意.在应用错位相减法求和时要注意以下问题： (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形． (2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式,特别要注意出现项数遗漏的情况．学=科网 (3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 等比数列求和问题是高考的重点,求解等比数列求和问题“1q =”该不该考虑？,许多同学在解题不关心或不清楚,致使答案错误,到底那个题该考虑？那个题不考虑？认真审题,弄清题意是关键. 二、典例精析 【例1】【2017届福建闽侯县三中高三上期中数学】已知数列}{n a 满足)2,(1221≥∈-+=*-n N n a a n n n 且 51=a . （1）求32,a a 的值； （2）若数列}2{ n n a λ +为等差数列,请求出实数λ； （3）求数列}{n a 的通项公式及前n 项和为n S 【分析】（1）根据)2,(1221≥∈-+=*-n N n a a n n n 由51=a 可得2,a 进而可得3a ；（2）由}2 {n n a λ +为等差数列,得 )2 (2222 2331λ λλ+=+++a a a ,进而解得=1λ-；（3）由（2）得112n n a n -=+,进而可得12)1(++=n n n a ,利用分组求和及错位相减求和可得数列}{n a 的通项公式及前n 项和为n S . 【解析】（1）∵1221-+=-n n n a a ,51=a ,1312222 12=?-+=a a a ,331223323=?-+=a a a .（2）
1 / 2 例1. 设数列{}n a 的前n 项和n s ，数列{}n s 的前n 项和为{}n T ，满足 2*2,n n T S n n N =-∈． （1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式． 例2. 已知数列{}n a 的前n 项和212 n S n kn =-+（其中k N +∈），且n S 的最大值为8。 （1）确定常数k ，并求n a ；（2）求数列92{ }2n n a -的前n 项和n T 。 例 3. 已知数列{}n a 的前n 项和n n S kc k =-（其中c ，k 为常数），且 263=4=8a a a ， （1）求n a ；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T 。 例8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =22n n +，n ∈N ﹡，数列{b n }满足a n =4log 2b n ＋3，n ∈N ﹡. （1）求a n ，b n ；（2）求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 1.已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若312S =，且1232,,1a a a +成等比数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记3n n n a b = 的前n 项和为n T ，求n T . 2.在数列}{n a 中，41 , 4111==+n n a a a 已知，*)(log 324 1N n a b n n ∈=+. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求证：数列}{n b 是等差数列； （3）设数列n n n n b a c c ?=满足}{，求{}n c 的前n 项和n S . 3．已知数列{}n b 前n 项和n n S n 2 123 2-=.数列{}n a 满足 )2(3 4+-=n b n a )(*∈N n ，数列{}n c 满足n n n b a c =。 （1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；
数列求和之错位相减法专项练习 一、解答题 1.已知正项数列{a a}是递增的等差数列，且a2?a4=6，a6=4． (1)求数列{a a}的通项公式； }的前n项和． (2)求数列{a a 2a?1 2.在数列{a a}中，前n项和为a a，a a+a a=a,a1=a1,a a=a a? a a?1(a≥2)． (1)设a a=a a?1，求证：{a a}为等比数列． (2)求{(a+1)a a}的前n项和a a． 3.设数列{a a}的前n项和为a a，且a a=2(a a?1) (1)求数列{a a}的通项公式； (2)若a a=a(a a?1)，求数列{a a}的前n项和a a．
4.已知等差数列{a a}的公差是1，且a1，a3，a9成等比数列． ~ (1)求数列{a a}的通项公式； }的前n项和a a． (2)求数列{a a 2a a 5.已知{a a}是公差不为零的等差数列，满足a2+a4+a5=19，且a2是a1与a5的 等比中项，a a为{a a}的前n项和． (1)求a a及a a； (2)若a a=a a ?3a a，求数列{a a}的前n项和． +1 6.已知数列{a a}是首项为1的等差数列，数列{a a}是首项a1=1的等比数列，且 a a>0，又a3+a5=21，a5+a3=13．(Ⅰ)求数列{a a}和{a a}的通项公 式； (Ⅱ)求数列{2a a a a}的前n项和a a． 7.已知数列{a a}的前n项和a a=3a2+8a，{a a}是等差数列，且a a=a a+ a a+1.
(1)求数列{a a }的通项公式； (2)令a a = (a a +1)(a a +2) a a +1 ，求数列{a a }的前n 项和． 8. 已知等比数列{a a }的前n 项和为a a ，且a a +1=2a a +1(a ∈a ?)． (1)求数列{a a }的通项公式； " (2)若数列{a a }满足a a =3a a ?1，求数列{a a a a }的前n 项和a a ． 9. 各项均为正数的数列{a a }满足a 1=1，a a +12?a a 2 =2(a ∈a +).(1)求数列 {a a }的通项公式; (2)求数列{ a a 22a }的前n 项和a a ． 10. 已知数列{a a }的前n 项和为a a ，且满足3a a =2a a +1． (1)求数列{a a }的通项公式；
错位相减法求和作业练习 1、{2}.n n n ?求数列前项和 2、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令211n n b a = -（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T . 3、已知等差数列{}n a 的前3项和为6，前8项和为-4 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1*(4)(0,)n n n b a q q n N -=-≠∈，求数列{}n b 的前n 项和n S 4、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n = 211 n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
5、已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为' ()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1 1n n n b a a += ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m 6、(){213}.n n n -?求数列前项和 7、已知数列{n a }满足：}{,2)32()12(3121n n n b n a n a a 数列+?-=-+++ 的前n 项和 n n n n W n b a n n S 项和的前求数列}{.222?-+=.
特定数列求和法一错位相减法 在高中所学的数列求合的方法有很多，比如倒序相加法、公式法、数学归 纳法、裂项相消法、错位相减法等等，在此处我们就只着重讲解一种特定数列求 和的方法一一错位相减法。那到底什么是错位相减法呢？现在咱们来回忆当初学 习等比数列时老师是怎么一步步推导出等比数列的求和公式的，下面是推导过 程： 数列a n 是由第一项为a i ，且公比为q 的等比数列，它的前n 项和是 由已知有 通过上述推导过程老师运用了一种特殊的推导方法将本来很复杂的运算简 化了，从而得到等比数列的求和公式， 这种方法叫错位相减法，那我们是不是遇 到复杂的运算就都可以用这种方法呢？答案当然不是，我们仔细观察这推导过 程，就会发现其实错位相减法是用来计算一个等比数列乘以一个等差数列而成的 复杂数列的。可以归纳数学模型如下： S n a i a i q a i q 2 a i q n i ，求S n 的通项公式。 两端同乘以 q ，有 i 时, i 时, 于是 S n a i a i q a i q 2 ... qs n aiq 2 aiq 3 a i q n ... (1 q)s n a i n a i q 由①可得 由③可得 S n s n S n n a i (q i)或者 na i i)
已知数列4是以a i 为首项，d 为公差的等差数列，数列 0是以b i 为首 项，q(q 1)为公比的等比数列，数列C n a n b n ，求数列C n 的前n 项和. 解 由已知可知 许许多多的高考试题以及课后习题证明了不是所有的数列题目都会很直接 地写明所求数列是一个等比数列乘以一个等差数列的形式， 通过对最近几年高考 中的数列题的分析总结出了以下几种错位相减法求和类型： 所求数列中的等差数列是已知 这第一种类型的题顾名思义是所求的复杂数列中直接给出其中一个是等差 数列，则只要证明或者求出另一个是等比数列， 那么就可以用错位相减法来求解 该题，同时如果另一个不能被证明是等比数列就不能用错位相减法来求解， 得另 找他法了 ■ 例1.(2013湖南文)设S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知: a 1 0,2a n a 1 S 1 S n , n N (1)求a 1，并求数列｛a n ｝的通项公式 (2)求数列｛na n ｝的前n 项和. 两端同乘以q 可得 qC n a1?q :a 1b 2 a 2 b 2q a ? b 3 asdq 83 匕4 .. . ...a n 1 b n 1 q a n b n q a n 1b n a n b n q 由①-②得 (1 q)C n a 1 b 1 d(b 2 b 3 ...b n 1 b n ) a n b n q 化简得 C n Cd d(b 2 b 3 ... b n 1 b n ) a n b n q / (q C n a i b 1 a 2b 2 a 3b 3 ■■- i q
例1.设数列{}n a 的前n 项和n s ，数列{}n s 的前n 项和为{}n T ，满足 2*2,n n T S n n N =-∈． （1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式． 例 2.已知数列{}n a 的前n 项和212 n S n kn =-+（其中k N +∈），且n S 的最大值为8。 （1）确定常数k ，并求n a ；（2）求数列92{ }2n n a -的前n 项和n T 。 例 3.已知数列{}n a 的前n 项和n n S kc k =-（其中c ，k 为常数），且 263=4=8a a a ， （1）求n a ；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T 。 例8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =22n n +，n ∈N ﹡，数列{b n }满足a n =4log 2b n ＋3，n ∈N ﹡. （1）求a n ，b n ；（2）求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 1.已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若312S =，且1232,,1a a a +成等比数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记3n n n a b = 的前n 项和为n T ，求n T . 2.在数列}{n a 中，41 , 4111==+n n a a a 已知，*)(log 324 1N n a b n n ∈=+. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求证：数列}{n b 是等差数列； （3）设数列n n n n b a c c ?=满足}{，求{}n c 的前n 项和n S . 3．已知数列{}n b 前n 项和n n S n 2 123 2-=.数列{}n a 满足 )2(3 4+-=n b n a )(*∈N n ，数列{}n c 满足n n n b a c =。 （1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；
特定数列求和法—错位相减法 在高中所学的数列求合的方法有很多，比如倒序相加法、公式法、数学归纳法、裂项相消法、错位相减法等等，在此处我们就只着重讲解一种特定数列求和的方法——错位相减法。那到底什么是错位相减法呢？现在咱们来回忆当初学习等比数列时老师是怎么一步步推导出等比数列的求和公式的，下面是推导过程： 数列{}n a 是由第一项为1a ，且公比为q 的等比数列，它的前n 项和是 111121...n n a a q a q a q s -=++++ ，求 n s 的通项公式。 解 由已知有 111121...n n a a q a q a q s -=++++， ○ 1 两端同乘以q ，有 ○ 1-○2得 当1q =时，由○ 1可得 当1q ≠时，由○ 3可得 于是 1(1)n s na q == 或者 11(1)1n n a a q s q q -=≠- 通过上述推导过程老师运用了一种特殊的推导方法将本来很复杂的运算简化了，从而得到等比数列的求和公式，这种方法叫错位相减法，那我们是不是遇到复杂的运算就都可以用这种方法呢？答案当然不是，我们仔细观察这推导过程，就会发现其实错位相减法是用来计算一个等比数列乘以一个等差数列而成的复杂数列的。可以归纳数学模型如下： 已知数列{}n a 是以1a 为首项，d 为公差的等差数列，数列{}n b 是以1b 为首项，(1)q q ≠为公比的等比数列，数列n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和. 解 由已知可知 两端同乘以q 可得 = 11223311...n n n n n qc a b q a b q a b q a b q a b q --=+++++
1 数列求和之错位相减法 用“错位相减法”求和的数列特征：即如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项乘积构成的，那么这个数列的前n 项和则采用“错位 相减法” 求和 高考数列用错位相减的几个步骤: 第一步：判断通项公式是否满足一下关系式： 第二步：写出求和的展开式： 第三步：在第二步的基础上等式两边同时乘上该等比数列的公比q 第四步：①——②化简得:n s 例题1：[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根． (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列???? ?? a n 2n 的前n 项和． 例题2：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1；数列{b n }满足b n －1－b n ＝b n b n －1(n ≥2，n ∈N *)，b 1＝1. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列???? ?? a n b n 的前n 项和T n . 课后练习： 已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝5，且{a n －1}是等比数列 (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)若b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n 。 （15年天津）已知 {}n a 是各项均为正数的等比数列,{} n b 是等差数列,且 112331,2a b b b a ==+=,5237a b -=. （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）设c n =n a b n 求数列{}n c 的前n 项和. 已知等比数列{}n a 的公比1q >， 2是1a 和4a 的一个等比中项，2a 和3a 的等差中项为6，若数列{}n b 满足2log n n b a =（n ∈*N ）． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ． （全国）已知数列{}n a 的首项32 1=a ，121+=+n n n a a a ，Λ3,2,1=n （1）证明：数列??? ?? ?-11n a 是等比数列； （2）求数列? ?? ???n a n 的前n 项和n S 。 121122=+++=+++n n n n S c c c a b a b a b L L ……① 升高一次右边式子每一项的指数=n qS ……② c n n n n q B An b a c ++==).（即形如：n n n b a c =
数列求和之错位相减法、倒序相加法 1、错位相减法适用于c n =a n ×b n ，其中a n {}是等差数列，b n {}是等比数列。 步骤：此时可把式子 的两边同乘以公比 q (q 10且 q 11)，得到 ，两式错位相减整理即可求出 S n . 2、倒序相加法适用于数列首尾项的和为定值。 【例1】已知数列2 1 1,3,5,,(21)(0)n a a n a a --≠L ，求前n 项和. 【例2】已知 a n { } 是一个公差大于0的等差数列，且满足 a 3a 6 =55,a 2+a 7=16 （Ⅰ）求数列 a n {}的通项公式： （Ⅱ）若数列 a n { } 和数列 b n { } 满足等式:2 n n n a b =，求数列 b n {} 的前n 项和S n . 【例3】求和：22 2 2 sin 1sin 2sin 3sin 89++++o o o o L L
【例4】已知函数()()R x x f x ∈+= 2 41，点()111,y x P ，()222,y x P 是函数()x f 图像上 的两个点，且线段21P P 的中点P 的横坐标为2 1． （Ⅰ）求证：点P 的纵坐标是定值； （Ⅱ）若数列{}n a 的通项公式为()m n N m m n f a n ,,2,1,Λ=∈?? ? ??=，求数列{}n a 的前m 项的和m S ； 【变式训练】 1、已知数列26a --，14a --，2-，0,2a ，24a ，...，（-8+2n ）3 n a -求前n 项和. 2、若数列 {}n a 的通项公式为23n a n =+，数列 b n { } 满足等式:2n n n b a =，求数列 b n { } 的 前n 项和S n
v1.0 可编辑可修改 数列求和之错位相减法 用“错位相减法”求和的数列特征：即如果一个数列的各项是由一个等差数 列和一个等比数列的对应项乘积构成的，那么这个数列的前n 项和则采用 “错位相减法” 求和 高考数列用错位相减的几个步骤: 第一步：判断通项公式是否满足一下关系式： 第二步：写出求和的展开式： 第三步：在第二步的基础上等式两边同时乘上该等比数列的公比q 第四步：①——②化简得:n s 例题1：[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根． (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列???? ?? a n 2n 的前 n 项和． 例题2：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1；数列{b n }满足b n －1－ b n ＝b n b n －1(n ≥2，n ∈N *)，b 1＝1. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列???? ?? a n b n 的前 n 项和T n . 课后练习： 已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝5，且{a n －1}是等比数列 (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)若b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n 。 （15年天津）已知n a 是各项均为正数的等比数列,n b 是等差数列,且 112331,2a b b b a ,52 37a b . （I ）求n a 和n b 的通项公式； （II ）设c n =n a b n 求数列n c 的前n 项和. 已知等比数列{}n a 的公比1q >， 2是1a 和4a 的一个等比中项，2a 和3a 的等差中项为6，若数 列{}n b 满足2log n n b a =（n ∈* N ）． 121122=+++=+++n n n n S c c c a b a b a b ……① 升高一次右边式子每一项的指数=n qS ……② c n n n n q B An b a c ++==).（即形如：n n n b a c =
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 错位相减法求和专项 错位相减法求和适用于{a n`b n }型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意： ①项的对应需正确； ②相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项； ③若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1 1. 已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，是数列的前项和，求． [解析]考察专题：2.1，2.2，3.1，6.1；难度：一般 [答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点， 则设，， ∴，∴， 又点均在函数的图象上，
∴． ∴当时，，又，适合上式，∴．．．．．．．．．．．．（7分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， ∴， ∴，上面两式相减得： ． 整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分） 2.已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且 ． （1）求数列的通项公式； （2）的值. [答案]查看解析
[解析] （1）当n = 1时，解出a1 = 3, 又4S n = a n2 + 2a n－3① 当时4s n－1 = + 2a n-1－3 ② ①－②, 即， ∴, （）， 是以3为首项，2为公差的等差数列，6分 ． （2）③ 又④ ④－③ = 12分 3.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分）设函数 ，数列前项和，，数列，满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明： . [答案] (Ⅰ) 由，得 是以为公比的等比数列，故. 得 （Ⅱ）由 ， …， 记…+， 用错位相减法可求得： . （注：此题用到了不等式：进行放大. ）4.已知等差数列中，；是与的等比中项． （Ⅰ）求数列的通项公式： （Ⅱ）若．求数列的前项和 [解析]（Ⅰ）因为数列是等差数列，是与的等比中项．所以，又因为，设公差为，则，
错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式.形如An=BnCn,其中Bn为等差数列,Cn为等比数列；分别列出Sn,再把所有式子同时乘以等比数列的公比,即kSn；然后错一位,两式相减即可. 目录 简介 举例 错位相减法解题 编辑本段简介 错位相减较常用在数列的通项表现为一个等差数列与一个等比数列的乘积,如an=(2n-1)*2^(n-1),其中2n-1部分可以理解为等差数列,2^(n-1)部分可以理解为等比数列. 编辑本段举例 例如：求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）当x=1时,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n^2；当x不等于1时,Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n；两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-1)]-(2n-1)*x^n；化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2 编辑本段错位相减法解题 错位相减法是求和的一种解题方法.在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用.这是例子（格式问题,在a后面的数字和n都是指数形式）：S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan （1）在（1）的左右两边同时乘上a.得到等式（2）如下：aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 （2）用（1）—（2）,得到等式（3）如下：（1-a）S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 （3）（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式.（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到S 的通用公式了.例子:求和Sn=3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x的n-1次方（x不等于0）当x=1时,Sn=1+3+5+…..+(2n－1)=n^2;; 当x不等于1时,Sn=3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x 的n-1次方所以xSn=x+3x^2+5x^3+7x四次方……..+(2n-1)·x的n次方所以两式相减的(1－x)Sn=1+2x(1+x+x^2+x^3+...+x的n-2次方)－(2n-1)·x的n次方.化简得：Sn=(2n-1)·x地n+1次方－(2n+1)·x的n次方+(1+x)/(1-x)平方Cn=(2n+1)*2^n Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n 2Sn=3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1) 两式相减得-Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1) =6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1) =6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和) =(1-2n)*2^(n+1)-2 所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2 错位相减法这个在求等比数列求和公式时就用了Sn= 1/2+1/4+1/8+.+1/2^n 两边同时乘以1/2 1/2Sn= 1/4+1/8+.+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同,这样写看的更清楚些）两式相减1/2Sn=1/2-1/2^(n+1) Sn=1-1/2^n