八年级数学培优——平行四边形教学提纲

八年级数学培优——平行四边形

第20讲平行四边形

考点•方法•破译

⒈理解并掌握平行四边形的定义、性质、和判定方法，并运用它们进行计算与证明.

⒉理解三角形中位线定理并会应用.

⒊了解平行四边形是中心对称图形.

经典•考题•赏析

【例1】已知:如图在□ ABCD中,过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA的延长线AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F．

⑴观察图形并找出一对全等三角形：△≌△，请加以证明；

⑵在⑴中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形

经过怎样的变换得到？

【变式题组】

01．如图，在□ ABCD中，∠BAD＝32°．分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF，延长AB交边EC于点上，点H在E、C两点之间，连接AE、AF．⑴求证：△ABE≌△FDA；

⑵当AE⊥AF时，求∠EBH的度数．

02．如图，已知在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：四边形GEHF是平行四边形．

03．如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使CD＝BC．点E在边AC 上，以CD、CE为邻边作□CDFE．过点C作CG∥AB交EF于点G，连接BG、DE．

⑴∠ACB与∠DCG有怎样的数量关系？请说明理由；

⑵求证：△BCG≌△DCE．

【例2】如图，□ABCD的周长为20，BE⊥

AD，BF⊥CD，BE＝2，BF＝3.则□ABCD的面积

为．

【变式题组】

01．如图，□ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，∠EBF＝60°,AE＝3,DF＝2.求EC 的长．

02．在□ABCD中，M是AD的中点,N是DC的中点，BM＝1,BN=2，∠MBN＝60°

求BC的长．

03．平行四边形ABCD 中,AD ＝a ,CD ＝b ,过点B 分别作AD 边上的高H a 和CD

边上的高H b ,已知H a ≥a , H b ≥b ,对角线AC ＝20厘米,求平行四边形ABCD 的面积.

【例3】

如图:在平面直角坐标系中,有A （0,1）,B （－1,0）,C （1,0）

三点.

⑴若点D 与A 、B 、C 三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D 的坐标；

⑵选择⑴中符合条件的一点D ，求直线BD 的解析式． 【变式题组】

01．如图，直线l 1:y ＝－x 2

3

＋3与y 轴交于点A ，与直线l 2交于x 轴上同一点

B ，直线l 2交y 轴于点

C ，且点C 与点A 关于x 轴对称． ⑴求直线l 2的解析式 ；

⑵设D （0，－1），平行于y 轴的直线x ＝t 分别交直线l 1和l 2于点E 、F ．是否存在t 的值，使得以A 、D 、E 、F 为顶点的四

边形是平行四边形，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．

02．如图，在直角坐标系中，A （1，0），B （3，0），P 是y 轴上一动点，在

直线y ＝

2

1

x 上是否存在点Q ，使A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出对应的Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．

03．若一次函数y ＝2x －1和反比例函数y ＝

x

k

2的图象都经过点（1，1）． ⑴求反比例函数的解析式；

⑵已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A 的坐标； ⑶利用⑵的结果，若点B 的坐标为（2，0），且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．

【例4】如图1.在四边形ABCD 中,AB ＝CD ,E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M 、N ,则∠BME ＝∠CNE （不需证明）

(温馨提示:在图1中，连接BD,取BD的中点H,连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME＝∠CNE．)

问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O,AB＝CD,E、F 分别是BC、AD的中点，连接EF,分别交DC、AB于M、N，判断∆OMN的形状，请直接写出结论．

问题二:如图3，在∆ABC中，AC>AB,D点在AC上，AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G,若∠EFC＝60°,连接GD,判断∆AGD的形状并证明.

【解法指导】出现中点，联想到三角形中位线是常规思路，因为三角形中位线不仅能进行线段的替换，也可通过平行进行角的转移．

【变式题组】

R

P

D

C

B

A

E

F

01．如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，

E、F分别是 AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不

动时，那么下列结论成立的是（ )

A、线段EF的长逐渐增大

B、线段EF的长逐渐减小

C、线段EF的长不变

D、线段EF的长与点P的位置有关

02．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平分线，BD⊥AD于D,AB＝12,AC＝22,则MD的长为（）.

A.3

B.4

C.5

D.6

【例5】如图1，在△ABC中，∠C＝90°,点M在BC上，且BM＝AC,点N 在AC上，且AN＝MC,AM与BN相交于点P,求证：∠BPM＝45°.

【解法指导】题中相等线段关联性不强，能否把相等的线段（或角）通过改变位置，将分散的条件集中，从而构造全等三角形解决问题．