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京改版七年级下册数学第七章观察、猜想与证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、一同学在n天假期中观察：（1）下了7次雨，在上午或下午（2）当下午下雨时，上午是晴天（3）一共有5个下午是晴天（4）一共有6个上午是晴天则n最小为（）A.7B.9C.10D.112、当n是正整数时，n（n+1）+1一定是（）A.奇数B.偶数C.素数D.合数3、近几年来，在欧美等国家流行一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：①9×9的九宫格子中，分成9个3×3的小九宫格，用1，2，3，…，9这9个数字填满整个格子，且每个格子只能填一个数；②每一行与每一列以及每个小九宫格里分别都有1，2，3，…9的所有数字.根据图中已填入的数字，可以判断A处填入的数字是（）A.9B.8C.2D.14、在下列各式：①a-b=b-a ；②(a-b)2=(b-a)2；③(a-b)2=-(b-a)2；④(a-b)3=(b-a)3；⑤(a+b)(a-b)=(-a-b)(-a+b) 中，正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个5、七年级（1）班的四位同学参加数学知识竞赛活动，分别获得第一、二、三、四名，大家猜测谁得第几名时，明明说：“甲得第一，乙得第二”；文文说：“甲得第二，丁得第四”；凡凡说：“丙得第二，丁得第三”.名次公布后，他们每人只猜对一半，那么甲、乙、丙、丁的名次顺序为（）A.甲、乙、丙、丁B.甲、丙、乙、丁C.甲、丁、乙、丙D.甲、丙、丁、乙6、下列命题正确的是（）A.若分式的值为0，则x的值为±2．B.一个正数的算术平方根一定比这个数小．C.若，则．D.若，则一元二次方程有实数根．7、甲，乙，丙三位先生是同一家公司的职员，他们的夫人，M，N，P也都是这家公司的职员，知情者介绍说：“M的丈夫是乙的好友，并在三位先生中最年轻；丙的年龄比P的丈夫大”．根据该知情者提供的信息，我们可以推出三对夫妇分别是（）A.甲﹣M，乙﹣N，丙﹣PB.甲﹣M，乙﹣P，丙﹣NC.甲﹣N，乙﹣P，丙﹣MD.甲﹣P，乙﹣N，丙﹣M8、绍兴一中新来了三位年轻老师，蔡老师、朱老师、孙老师，他们每人分别教生物、物理、英语、政治、历史和数学六科中的两科课程．其中，三个人有以下关系：①物理老师和政治老师是邻居；②蔡老师在三人中年龄最小；③孙老师、生物老师和政治老师三人经常一起从学校回家；④生物老师比数学老师年龄要大些；⑤在双休日，英语老师、数学老师和蔡老师三人经常一起打排球．根据以上条件，可以推出朱老师可能教（）A.历史和生物B.物理和数学C.英语和生物D.政治和数学9、在期中考试中，同学甲、乙、丙、丁分别获得第一、第二、第三、第四名．在期末考试中，他们又是班上的前四名．如果他们当中只有一位的排名与期中考试中的排名相同，那么排名情况有（）种可能．A.5B.6C.7D.810、下列命题：①三角形三条高相交于一点；②斜边与一直角边分别相等的两个直角三角形全等；③两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；④有两边及其中一边上的高分别相等的两个三角形全等；⑤三角形三边的垂直平分线相交于一点，且这点与三角形三个顶点的距离相等.其中真命题的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个11、下列关于0的说法中正确的是（）A.0是最小的有理数B.0的倒数是0C.相反数是它自身的只有0 D.绝对值等于自身的数只有012、老师在一张纸条上写了甲乙丙丁四个人中的一个人的名字，然后握在手里让这四个人猜一猜是谁的名字．甲说：是丙的名字．乙说：不是我的名字．丙说：不是我的名字．丁说：是甲的名字．老师说：只有一个人猜对．那么，若老师说的是正确的，我们可判断纸条上的名字是（）A.甲B.丙C.乙D.丁13、某校七（1）班还有10位同学没有办理图书借阅证，班主任先派3位同学去图书馆办理，以后每隔3分钟去1位同学赶到图书馆．若图书馆办理一位同学的图书借阅证只需2分钟，则下列结论中错误的是（）A.第4位同学到后共需5分钟办理完毕B.第5位同学到后等了2分钟进行了办理C.第6位同学到后立即办理D.全部办理完毕共耗时23分钟14、5个选手P，Q，R，S，T举行一场赛跑．P胜Q，P胜R，Q胜S，并且T在P之后，Q之前跑完全程．谁不可能得第三名（）A.P与QB.P与RC.P与SD.P与T15、100人共有2000元人民币，其中任意10人的钱数的和不超过380元．那么一个人最多有（）元．A. 216B.218C.238D.236二、填空题(共10题，共计30分)16、在A、B、C三个盒子里分别放一些小球，小球数依次为a0， b， c，记为G0=（a， b， c）．游戏规则如下：若三个盒子中的小球数不完全相同，则从小球数最多的一个盒子中拿出两个，给另外两个盒子各放一个（若有两个盒子中的小球数相同，且都多于第三个盒子中的小球数，则从这两个盒子序在前的盒子中取小球），记为一次操作．若三个盒子中的小球数都相同，游戏结束，n次操作后的小球数记为Gn =（an， bn， cn）．（1）若G=（5，8，11），则第________ 次操作后游戏结束；（2）小明发现：若G=（2，6，10），则游戏永远无法结束，那么G2014=________17、给出下列命题及函数y=x，y=x2， y= 的图象（如图所示），①如果>a>a2，那么a<1；②如果a2>a> ，那么a>1；③如果a2> >a，那么a<-1．则真命题的序号是________．18、在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为a0， b， c，记为G=（a， b， c）．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．n次操作后的糖果数记为G0=（a，b 0， c）．（1）若G=（4，7，10），则第________次操作后游戏结束（2）小明发现：若G0=（4，8，18），则游戏永远无法结束，那么G2015=________19、如果3个鹅蛋能换9个鸡蛋，2个鸡蛋能换4个鸽子蛋，那么5个鹅蛋能换30个鸽子蛋（________）.20、地铁某换乘站设有编号为，，，，的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号，，，，，疏散乘客时间120 220 160 140 200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是________．21、黑板上写有1，，，…共有100个数字，每次操作，先从黑板上的数选取2个数a，b，然后删去a，b，并在黑板上写上数a+b+ab，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是________22、小明的妈妈制作了30个粽子，准备给小丽若干个，小明打电话给小丽，小丽却说：“我在外地旅游，三天后再来拿，你先把粽子放在冰箱里冷冻，…要几个粽子么，可能要1个，也可能要30个，也有可能要1个到30任意个数”，小明的妈妈拿出了5个袋子，要求小明把这30个粽子放到5个袋子中，并密封好放在冰箱里冷冻，当小丽来拿时，不管小丽要1到30个中的几个粽子，不解冻不拆封，拿5袋粽子中的若干袋即可，小明该在5个袋子中各放几个呢？请你帮帮小明，在下面五个方框中填上装粽子的数目．________ ________ ________ ________ ________23、在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为a0， b， c，记为G=（a， b， c）．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．n次操作后的糖果数记为G0=（a，b 0， c）．（1）若G=（4，7，10），则第________ 次操作后游戏结束；（2）小明发现：若G=（4，8，18），则游戏永远无法结束，那么G2015=________24、一个数的绝对值等于它本身，这个数是________，比其相反数小的数是________，一个数的倒数等于它本身这个数是________.25、对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x），即当 n 为非负整数时，若＜，则（x）=n，如（0.46）=0，（3.67）=4．则下列结论正确的有________(填所有正确的序号)．①（1.493）=1②（2x）=2(x)③若，则实数x的取值范围是9≤x<11④当x≥ 0，m 为非负整数时，有（m+2013x）=m+(2013x)⑤（x+y）=(x)+(y)三、解答题(共6题，共计25分)26、某次体育比赛共有n(n≥3)名选手参加，每两名选手都比赛一局.现知无平局出现，而且每名选手都未能击败历有对手.求证：其中必存在3名选手甲、乙和丙，使得甲胜乙、乙胜丙、丙胜甲.27、推理判断题七年级五个班的班长因为参加校学生干部培训会而没有观看年级的乒乓球比赛．年级组长让他们每人猜一猜其中两个班的比赛名次．这五个班长各自猜测的结果如表所示：年级组长说，每班的名次都至少被他们中的一人说对了，请你根据以上信息将一班～五班的正确名次填写在表中最后一行．28、160人站成一行，自1起至160依次报数.然后，所有报奇数的离开.留下的再从1起报数，报奇数者又离开.这样继续下去.最后留下一个人.问这个人第一次报的数是多少?29、完成下面的推理过程.如图，AB∥CD，BE、CF分别是∠ABC和∠BCD的平分线.求证：∠E=∠F证明：∵AB∥CD（已知）∴∠ABC=∠BCD（）∵BE、CF分别是∠ABC和∠BCD的平分线（已知）∴∠CBE= ∠ABC，∠BCF= ∠BCD（）∴∠CBE=∠BCF（）∴BE∥CF（）∴∠E=∠F( )30、按逻辑填写步骤和理由：如图，a∥b，点A在直线a上，点B、C在直线b 上，且，点D在线段上，连接，且平分．请证明：．证明：∵ （已知）∴ （▲）∵ （平角的定义）∴∵ 平分（已知）∴ ▲（▲）∴ （▲）∵ ∥ （已知）∴ （▲）∴ （▲）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、A3、D4、B5、B6、D7、B8、C9、D10、C11、C12、C13、C14、C15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、21、22、23、24、25、三、解答题(共6题，共计25分)26、28、29、30、。
§11.1直线方程 (1)A组1. 设直线的方向向量为非零向量，判断下列命题是否正确：（1）直线与向量所在直线平行或重合。
（）对（2）若，则直线与轴垂直。
（）错（3）所有与向量平行的非零向量都是直线的方向向量。
（）对（4）若果向量的坐标都不为零，则直线的方程可以化为点方向式方程。
（）对2. 若直线经过点，则直线的一个方向向量。
3. 已知直线的方程为，点在直线上，则实数。
4. 过点，方向向量是的直线的点方向式方程为______。
5. 过点(3,1)，与向量平行的直线的点方向式方程为_____。
B组填空题6．直线过点，方向向量为，则的点方向式方程为。
7. 过点，且与平行的直线的点方向式方程为。
8. 直线的一个方向向量为（），则____1_____。
9. 过点P(3,4)且与直线平行的点方向式方程为_______。
10．设，点，且，则直线的点方向式方程为。
11．若直线过点和，则的点方向式方程为__________________。
12．若点在点与点所确定的直线上，则___________。
选择题13．过点，且平行于轴的直线方程为（ D ）(A) (B) (C) (D)14．过点，且与直线有相同方向向量的直线方程为（ B ）(A ) (B)(C) (D)OO解答题15．根据条件求直线方程，并在直角坐标系内画出直线。
（1）过点，方向向量是（2）过点，方向向量是。
答案：（1）；（2）16. 设，。
（1）写出直线的点方向式方程，再化为的形式。
（2）求经过点且平行于直线的直线的点方向式方程，再化为的形式。
（3）求经过点且垂直于直线的直线的点方向式方程，再化为的形式。
答案：（1）直线的点方向式方程为，即；（2）直线的点方向式方程为，即（3）直线的点方向式方程为，即C 组17．设的顶点，，。
（1）求边上中线所在直线的方程；（先写出点方向式方程，再化为的形式）（2）求边上高所在的直线方程。
（先写出点方向式方程，再化为的形式）解： (1)(2).§11.1直线方程(2)A组1. 设直线的法向量为非零向量，判断下列命题是否正确：（1）若，则直线与轴垂直。
数学练习册第7版参考答案数学练习册第7版参考答案数学是一门重要的学科，无论在学校还是在日常生活中，我们都需要运用数学知识解决问题。
而数学练习册则是帮助我们巩固和提高数学能力的重要工具。
然而，很多时候我们在做练习时会遇到一些难题，没有答案的情况下很难知道自己是否正确。
因此，数学练习册的参考答案对于我们来说是非常重要的。
数学练习册第7版是一本经典的教材，它涵盖了数学的各个方面，包括代数、几何、概率等等。
在这本练习册中，我们可以找到大量的习题，这些习题既有简单的基础题目，也有复杂的挑战题目。
通过不断地练习，我们可以提高自己的数学能力，培养逻辑思维和问题解决的能力。
然而，数学练习册中的题目并不总是容易的。
有时候我们会遇到一些困难的题目，无论是理解题目的意思还是找到解题的方法都会感到困惑。
这时候，参考答案就成为了我们的救星。
通过对比自己的答案和参考答案，我们可以找出错误并纠正。
同时，参考答案还可以给我们提供解题思路和方法，帮助我们理解和掌握数学的知识点。
然而，参考答案并不是万能的。
我们在使用参考答案时需要注意以下几点。
首先，我们应该在自己尝试解题后再去查看参考答案，这样可以保持思考能力的锻炼。
其次，我们应该理解答案给出的解题思路和方法，而不仅仅是死记硬背答案。
这样可以帮助我们在以后的学习中更好地运用数学知识。
最后，我们要避免完全依赖参考答案。
数学是一门需要思考和实践的学科，只有通过自己的努力和实践才能真正掌握数学的知识。
除了参考答案，我们还可以通过其他途径提高自己的数学能力。
比如，可以参加数学竞赛或者加入数学学习小组。
在这些活动中，我们可以与其他同学交流讨论，互相学习和提高。
同时，我们还可以通过阅读数学相关的书籍和文章来扩展自己的数学知识。
总之，数学练习册第7版参考答案对于我们提高数学能力和解决问题都是非常重要的。
通过参考答案，我们可以找到错误、理解解题思路和方法。
然而，我们在使用参考答案时也要注意适度，保持思考能力的锻炼。
七年级数学下册《第七章 二次根式》练习题及答案1.下列各式，是二次根式的是（ ） A.3 B.39 C.1+x D.22--x2.下列各式中，不一定是二次根式的为（ ） A.a B.12+b C.0 D.2)(b a +3.在实数范围内，要使代数式2-x 有意义，则x 的取值范围是（ ）A.x ≥2B.x ＞2C.x ≠2D.x ＜24.若式子12-+a a 有意义，则实数a 的取值范围是（ ） A.a ≥-2 B.a ≠1 C.a ＞1 D.a ≥-2且a ≠15.当x 为____________时，代数式5232+x 有意义. 6.要使xx -+-3112有意义，则符合条件的x 的整数值为_____________. 7.已知（x-y ＋3）2＋y x +2＝0，则x ＋y 的值为（ ）A.0B.-1C.1D.58.若62121--+-=x x y ，则xy 的值为（ ） A.-2 B.2 C.-3 D.39.当a ＝_________时，代数式1+a ＋1取到最小值，这个最小值是___________.10.计算:（1）（9）2；（2）-（3）2；（3）2323⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-；（4）（2a ）2.11.已知4422-=-+a b a ，求ab 的值.12.在式子2x （x ＞0），2，1+y （y ＝-2），x 2-（x ＞0），33，12+x ，x ＋y 中，二次根式有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个13.若式子2112+++x x 有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A.x ＞-2 B.x ≥-2且x ≠2 C.x ≥-2 D.x ＞-2且x ≠214.计算:-（5）2＝____________.15.使式子13-x 有意义的x 的取值范围是_____________.16.若y ＝22332+-+-x x ，则2x ＋y ＝____________.17.已知x ，y 为实数，y ＝319922-+-+-x x x ，则x-6y 的值为____________. 18.函数y ＝52--x x 的自变量x 的取值范围是（ ） A.x ≠5 B.x ＞2且x ≠5 C.x ≥2 D.x ≥2且x ≠519.若二次根式5-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围为___________.20.若|1001-a|＋1002-a ＝a ，则a-10012＝__________.21.观察下表中的式子，写出第n （n 为正整数）个式子（用含n 的代数式表示），并回答，这个式子一定是二次根式吗？为什么？ 第1个第2个 第3个 第4个 … 112- 222- 332-442- …参考答案1.A2.A3.A4.D5.答案 全体实数解析 因为3x 2＋2＞0，所以无论x 为何值时，被开方数都是正数，故答案为全体实数.6.答案 1，2解析 要使xx -+-3112有意义，则2x-1≥0，且3-x ＞0，解得21≤x ＜3，所以符合条件的整数为1，2.7.C 8.C9.答案 -21；1 解析 ∵12+a ≥0，∴12+a 的最小值为0， ∴12+a ＋1的最小值为1.取最小值时，a ＝-21. 10.解析 （1）（9）2＝9.（2）-（3）2＝-3.（3）63293232=⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-.（4）（2a ）2＝a 2. 11.解析 ∵a 2-4a ＋4＋2-b ＝（a-2）2＋2-b ＝0∴a-2＝0，b-2＝0，即a ＝b ＝2，∴ab ＝2.12.B 13.C14.答案 -5 解析 原式＝-515.答案 x ≥31 解析 根据题意可得被开方数3x-1≥0，解得x ≥31. 16.答案 5解析 根据题意可得⎩⎨⎧≥-≥-023032x x ，解得x ＝23，所以y ＝2，所以2x ＋y ＝2×23＋2＝5. 17.答案 -2解析 由题意得⎪⎩⎪⎨⎧≠-≥-≥-03090922x x x ，解得x ＝-3，∴y ＝61331-=--, ∴x-6y ＝-3-6×（-61）＝-3＋1＝-2.故答案为-2.18.D19.答案 x ≥5解析 要使二次根式5-x 在实数范围内有意义，则x-5≥0，∴x ≥5.20.答案 1002解析 由题意得a-1002≥0，∴a ≥1002.由|1001-a|＋1002-a ＝a ，得-1001＋a ＋1002-a ＝a ，∴1002-a ＝1001， ∴a-1002＝10012，∴a-10012＝1002.21.解析第n 个式子是n n -2，一定是二次根式.理由: ∵n 为正整数，∴n 2≥n ，即n n -2的被开方数是非负数， ∴n n -2一定是二次根式.。
上海市进才中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心16．若非零不共线的向量,a br r 满足||||a b b +=r r r ，则（ ）．A ．|2||2|a a b >+r r r B ．|2||2|a a b <+r r r C ．|2||2|b a b >+r r r D ．|2||2|b a b <+r r r（1）当π12q=时，求四边形ABCD（2）若要在景区内铺设一条由线段时，观光道路的总长l最长，并求出【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用三角函数的性质解决点的问题，并代入向量的坐标表示，第三问的关键两个函数的最值同时取得，从而转化为求函数BP PF ×uuu r uuu r的最小值.21．(1)(1，1，1，1)，(1-，1-，1，1)，(1-，1，1-，1)，(1-，1，1，1)-(2)证明见解析(3)证明见解析.【分析】（1）由n 维信号向量的定义可写出4个两两垂直的4维信号向量；（2）假设存在6个两两垂直的6维信号向量123446,,,,,y y y y y y u u r uu r uu r uu r uu r uu r，根据题意不妨设()()121,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1y y ==---u u r uu r ，利用130y y ×=r r ，可得3y r有3个分量为1-，进而可得3y r的前3个分量中有r 个1-，则后3个分量中有3r -个1-，*N r Î，由题意可得()()()()2317710y y r r r r ×=×-+-+-+×-=uu r uu r，可证结论；（3）任取,{12,}i j k ÎL ，，，计算内积ijx x ×ur uu r，2222123kS x x x x =++++ur uu r u u r uu r L ，设12,,,k x x x ur uur uu r L 的第k 个分量之和为i c ，利用2222222221232024123m S c c c c c c c c k m =++++³++++=L L ，可得结论.【详解】（1）依题意，可写出4个两两垂直的4维信号向量为：(1,1,1,1），(1,1,1,1)--，(1,1,1,1)--，(1,1,1,1)--．（2）假设存在6个两两垂直的6维信号向量123446,,,,,y y y y y y u u r uu r uu r uu r uu r uu r，因为将这6个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，所以不妨设()()121,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1y y ==---u u r uu r，。
校本作业(36) 7. 4.1 (2) 二项分布的综合问题参考答案1.设X~3(40, 〃)，且E(X)=16,则〃等于( )A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4答案D解析VE(X)=16, Λ40p= 16, Λp=0.4.2.设随机变量X的分布列为P(X=A)=c{∣}G>r,y0』,2,…，〃，旦乐X) = 24,则0(%)的值为( )A.∣B. 8C. 12D. 16答案B解析由题意可知X~B},|),2所以铲= E(X)=24,所以〃=36,2,2、 2 1所以O(X)="∙Q X(1-1J=36X Q X1=8.3.已知随机变量x+y=8,若x~3(io,o.6),则E(r), o(r)分别是()A. 6 和2.4B. 2 和2.4C. 2 和5.6D. 6 和5.6答案B解析因为x+y=8,所以y=8-x.所以E(K)=8-E(X) = 8-10X0.6=2,D(K) = (-1)2D(X) =10×0.6×0.4=2.4.4.某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是：，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记X为遇到红灯的次数，若y=3x+5,则y的标准差为()A.,∖∕6B. 3C.√3D. 2答案A解析因为该同学经过每个路口时，是否遇到红灯互不影响，所以可看成3重伯努利试验，即X~B(3, 9,则X 的方差D(X) = 3×∣×θ-∣)=∣,2所以y 的方差Q(V)=32∙Q(X)=9X Q=6,所以丫的标准差为√丽=&.5.(多选)设随机变量。
~8(2, p),〃)，若P(Ql)g,贝∣J()A.p=∣B. E(ς)=∣7C. D⑺=1D.?(〃22)=力答案ABD解析•・• P(ζ=O) + P(f≥l)=l,5 ] 1 2 1 2 2AC?(1-p)2+^= 1, *.p=y .*.E(<^) = 2×^=^,。
§7.8无穷等比数列各项的和（1）A组：1．首项为2，公比为的等比数列的各项和 6 。
2．首项为1，公比为的等比数列的所有偶数项的各项和。
3．若数列是以为公比的无穷等比数列，前项和为。
那么“存在”的充要条件是。
4．循环小数化为分数是______________B组一、填空题1．无穷数列各项和为____________.2．循环小数化为分数是______；3．若无穷等比数列的各项和为，且，则公比的取值范围为__________.4．若，则数列的各项和为 4 。
5．若首项为1，公比为的等比数列的前项和为，则_____.6．设数列是公比为的等比数列，前项和为。
若，则此数列的首项的取值范围是____(0,7)∪(7,14)____________二、选择题7．若一个无穷等比数列满足，且每一项都等于它以后各项和的倍，则的取值范围可以是( C )（A）（B）（C）或（D）8．无穷等比数列的前项和为，为其各项和，且，则公比为（ D ）（A）（B）（C）（D）三、解答题9．求极限：（1）（2）解：（1）；（2）10．一个无穷等比数列各项的和等于，且各项的平方和为，那么它的首项是多少？解：设无穷等比数列的首项为，公比为，则，，得，所以.11．若无穷等比数列的各项和存在，求的取值范围.解：时成立，无穷等比数列的各项和存在即公比满足，综上，.C组：1．数列的首项，前项的和为，若是公比为的等比数列，求数列的所有项之和.解：由题意：，当时，，所以.易知从第2项起成等比数列，公比。
所以各项的和.2．如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P3、P4、…..，Pn，…,记纸板Pn的面积为，求（）P2P1P3P4§7.8无穷等比数列各项的和（2）A组：1．无穷等比数列各项的和等于_______________2．无穷等比数列各项的平方和等于____2_____3．计算：____3________4．循环小数化为分数是______________5．若，则；4 B组：一、填空题1．若无穷等比数列各项的和为，则_________.22．计算：_________________.3．一个无穷等比数列的各项和为，首项，公比为负数，则的取值范围为________.4．等比数列中，若，且，则公比。
§7.8无穷等比数列各项的和（1）A组：1．首项为2，公比为的等比数列的各项和 6 。
2．首项为1，公比为的等比数列的所有偶数项的各项和。
3．若数列是以为公比的无穷等比数列，前项和为。
那么“存在”的充要条件是。
4．循环小数化为分数是______________B组一、填空题1．无穷数列各项和为____________.2．循环小数化为分数是______；3．若无穷等比数列的各项和为，且，则公比的取值范围为__________.4．若，则数列的各项和为 4 。
5．若首项为1，公比为的等比数列的前项和为，则_____.6．设数列是公比为的等比数列，前项和为。
若，则此数列的首项的取值范围是____(0,7)∪(7,14)____________二、选择题7．若一个无穷等比数列满足，且每一项都等于它以后各项和的倍，则的取值范围可以是( C )（A）（B）（C）或（D）8．无穷等比数列的前项和为，为其各项和，且，则公比为（ D ）（A）（B）（C）（D）三、解答题9．求极限：（1）（2）解：（1）；（2）10．一个无穷等比数列各项的和等于，且各项的平方和为，那么它的首项是多少？解：设无穷等比数列的首项为，公比为，则，，得，所以.11．若无穷等比数列的各项和存在，求的取值范围.解：时成立，无穷等比数列的各项和存在即公比满足，综上，.C组：1．数列的首项，前项的和为，若是公比为的等比数列，求数列的所有项之和.解：由题意：，当时，，所以.易知从第2项起成等比数列，公比。
所以各项的和.2．如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P3、P4、…..，Pn，…,记纸板Pn的面积为，求（）P2P1P3P4§7.8无穷等比数列各项的和（2）A组：1．无穷等比数列各项的和等于_______________2．无穷等比数列各项的平方和等于____2_____3．计算：____3________4．循环小数化为分数是______________5．若，则；4 B组：一、填空题1．若无穷等比数列各项的和为，则_________.22．计算：_________________.3．一个无穷等比数列的各项和为，首项，公比为负数，则的取值范围为________.4．等比数列中，若，且，则公比。
2021年上海市浦东新区进才中学自主招生数学试卷一、解答题1．一个小正方形，外面有4个全等的长方形，拼成一个大正方形．问：可以得到什么结论？2．点A在y＝（x＞0）上，点B、C在y＝（x＞0）上，AB∥y轴，AC∥x轴，且＝，求BC的长．二、选择题3．有一个解集为﹣2＜x＜2，它可能是下面哪个不等式组的解集？（a，b均为实数）（）A．B．C．D．4．小明每走5米，顺时针转20°，则（）A．小明不会回到原点B．小明会回到原点，路程小于80mC．小明会回到原点，路程恰为90mD．小明会回到原点，路程大于120m三、解答题5．以P（8，8）为直角顶点的直角三角形的两直角边分别与y轴，x轴交于A、B两点，求OA+OB的值．6．一列数7，72，73，…，72021，尾数是3的有几个？7．一列数，第一个数为3，若前一位乘以2为一位数，则下一位为此数；若前一位乘以2为两位数，则取其尾数，求前100位的和．8．5个数x1，x2，x3，x4，x5，平均数为2，方差为，问：3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的方差为多少？9．如图，A（1，0）、B（0，2），有正方形ABB1C，延长B1C与x轴交于A1，以A1B1为边作正方形，以此类推，边长为A2010B2010的正方形（即第2010个）的面积为多少？10．抛物线y＝（x+1）2﹣4与x轴交于点A、B（A在B左侧），与y轴交于点C，M为第三象限抛物线上一点，问：四边形AMCB的面积最大时，M的坐标是？11．如图，小正方形面积为20，大正方形面积为100，求sinθ•cosθ．12．已知实数：x1，x2，…，x n（n＞1），x12+x22+…+x n2＝a，求（x1﹣x2）2+（x1﹣x3）2+…+（x1﹣x n）2+（x2﹣x3）2+…+（x2﹣x n）2+…+（x n﹣1﹣x n）2的最大值．13．若x2﹣2m在﹣1≤x≤2的最小值为﹣2，求m的值．2021年上海市浦东新区进才中学自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、解答题1．【分析】根据正方形的面积公式得到大正方形的面积为（a+b）2，小正方形的面积为（a ﹣b）2，利用面积相等推导出（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．【解答】解：∵大正方形的面积为（a+b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，4个全等的长方形面积和为4ab，∴得到结论：大正方形面积减去四个长方形面积＝小正方形的面积，即：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．【点评】本题考查全等图形，正方形的面积，完全平方公式的几何意义；熟练掌握正方形的面积公式是解题的关键．2．【分析】设A（a，），则B（a，），C（3a，），根据＝，即可得出＝，求得a的值，即可求得B、C的坐标，根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B、C在y＝（x＞0）上，∴设A（a，），∵AB∥y轴，AC∥x轴，∴B（a，），C（3a，），∴AB＝﹣＝，AC＝3a﹣a＝2a，又∵＝，∴＝，∴a＝，∴B（，2），C（，），∴BC＝＝．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求得B、C点的坐标是解题的关键．二、选择题3．【分析】根据不等式的解集﹣2＜x＜2，推出﹣x＜1和x＜1．然后从选项中找出有可能的不等式组．【解答】解：∵﹣2＜x＜2，∴x＞﹣2且x＜2，∴﹣x＜1且x＜1，即解集为﹣2＜x＜2的不等式组是，而只有D的形式和的形式相同，∴只有D解集有可能为﹣2＜x＜2．故选：D．【点评】此题考查学生逆向思维，由解来判断不等式，是一道好题；用到的知识点为：大小小大中间找；大大小小无解．4．【分析】先根据已知和多边形的外角和求出组成的多边形的边数，再逐个求出即可．【解答】解：根据题意可知：组成的多边形的边数360°÷20°＝18，小明走的路程总和是18×5m＝90（m），所以小明会回到原点，路程恰为90m．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角和和外角和定理，能熟记多边形的外角和等于360°是解此题的关键．三、解答题5．【分析】作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，求出∠NPB＝∠MPA，证明△PAM≌△PBN，推出AM＝BN，OM＝ON即可．【解答】解：作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，则四边形PNOM是正方形，∴PN＝PM＝ON＝OM＝8，∠PMA＝∠PNB＝90°，∠NPM＝∠APB＝90°，∴∠NPB＝∠MPA，在△PNB和△PMA中，，∴△PAM≌△PBN（ASA），则AM＝BN，OM＝ON，∴OA+OB＝OM+ON＝16．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质的应用，解题的关键是证明△PAM≌△PBN，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．6．【分析】分别计算出7，72，73，…，的值，找到循环规律，可根据规律进行解答．【解答】解：∵7＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，…每四次，尾数会按照7，9，3，1进行循环；2021÷4＝505…1，∴尾数是3的有505个．【点评】本题主要考查幂的尾数特征，正确计算出各个次幂的值，找到循环规律是解题关键．7．【分析】先按照规律依次写出这个多位数，发现循环规律，再算出循环部分有多少组，再分开头两位数，中间循环部分和末尾两个数字，求和即可．【解答】解：当第一个数为3时，仍按如上操作得到一个多位数36248624862486…，观察发现，这个多位数前100位中前两个为36，接着均是2486循环出现，∵（100﹣2）÷4＝24……2，∴这个多位数开头两个为36，中间有24组2486，最后两个数为24，∴这个多位数前100位的所有数字之和为：（3+6）+（2+4+8+6）×24+（2+4）＝9+480+6＝495．故前100位的和是495．【点评】本题考查了应用类问题，有理数的乘除法在数字的循环规律问题中的应用，依照规则发现循环规律是解题的关键．8．【分析】因为数据x1，x2，…，x n的方差为s2，则新数据ax1+b，ax2+b，…，ax n+b的方差为a2s2，问题得以解决．【解答】解：因为数据x1，x2，…，x n的方差为s2，则新数据ax1+b，ax2+b，…，ax n+b的方差为a2s2，所以数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是，则3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的方差是＝3，故答客为：3．【点评】本题考查了平均数、方差的计算，关键是孰悉计算公式，属于基础题．9．【分析】先求出正方形ABCB1的边长和面积，再求出第一个正方形A1B1B2C1的面积，得出规律，根据规律即可求出第2010个正方形的面积．【解答】解：如图，∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2），∴OA＝1，OB＝2，∵∠AOB＝90°，∴AB＝AC＝，∠OBA+∠OAB＝90°，∵四边形ABCB1是正方形，＝5，∴S正方形ABCB1∴∠ACA1＝90°，∴∠C1A1A2＝∠CAA1，∴△ACA1∽△A1C1A2∽△BOA，∴，∴AA1＝，∴A1C＝∴B1A1＝，∴正方形A1B1B2C1的面积＝（）2＝5×，…，∴第n个正方形的面积为5×（）2，∴第2010个正方形的面积为5×．【点评】本题考查了正方形的性质以及坐标与图形性质；通过求出正方形ABCD和正方形A1B1C1C的面积得出规律是解决问题的关键．10．【分析】利用抛物线的解析式求得点A，B，C的坐标，过点M作MN⊥x轴于点N，这＝S△AMN+S梯形MNOC+S△OBC，设点M的坐标为M（m，m2+2m﹣3），则ON 样，S四边形AMCB＝﹣m，MN＝﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣2m+3，AN＝OA﹣ON＝3+m，用m的代数式表示四边形AMCB的面积，利用配方法可求m＝﹣时，四边形AMCB的面积最大，M的坐标可得．【解答】解：过点M作MN⊥x轴于点N，如图，令y＝0，则（x+1）2﹣4＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1．∵抛物线y＝（x+1）2﹣4与x轴交于点A、B（A在B左侧），∴A（﹣3，0），B（1，0）．∴OA＝3，OB＝1．令x＝0，则y＝﹣3．∴C（0，﹣3）．∴OC＝3．y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3．∵M为第三象限抛物线上一点，∴设M（m，m2+2m﹣3），则ON＝﹣m，MN＝﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣2m+3．∴AN＝OA﹣ON＝3+m．＝S△AMN+S梯形MNOC+S△OBC∴S四边形AMCB＝×AN×MN+（MN+OC）×ON+×OB×OC＝++＝﹣m2﹣m+6＝+．∴当m＝﹣时，四边形AMCB的面积最大．∵当m＝﹣时，m2+2m﹣3＝﹣，∴M（）．∴四边形AMCB的面积最大时，M的坐标是（）．【点评】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点，二次函数的性质，配方法，抛物线上点的坐标的特征，二次函数的极值．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．11．【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为10，小正方形的边长为2，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．【解答】解：∵小正方形面积为20，大正方形面积为100，∴小正方形的边长是2，大正方形的边长是10，即AB＝10，CD＝2，∴AC＝10cosθ，BC＝10sinθ，∵CD＝AC﹣AD＝AC﹣BC＝2，∴10cosθ﹣10sinθ＝2，∴cosθ﹣sinθ＝，∴（sinθ﹣cosθ）2＝，sinsin2θ﹣2sinθ•cosθ+cos2θ＝，1﹣2sinθ•cosθ＝，∴sinθ•cosθ＝．【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角形函数的定义，利用三角函数的定义表示直角三角形的边解题的关键．12．【分析】由完全平方公式对原式进行变形，再根据完全平方式的非负性可得出结论．【解答】解：原式＝（n﹣1）（x12+x22+…+x n2）﹣（2x1x2+2x1x3+…+2x n﹣1x n）＝n（x12+x22+…+x n2）﹣（x1+x2+…+x n）2≤n（x12+x22+…+x n2）＝na．等号成立的条件x1+x2+…+x n＝0，∴所求式子的最大值为na．【点评】本题主要考查完全平方公式的应用，不等式的基本性质等内容，由完全平方公式得到（x1+x2+…+x n）2＝x12+x22+…+x n2+2x1x2+2x1x3+…+2x n﹣1x n，以此对所求式子进行变形是解题关键．13．【分析】先设设y＝x2﹣2m，再根据函数的性质判断函数在顶点处取得最小值，从而求出m的值．【解答】解：设y＝x2﹣2m，∵1＞0，∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，∵x2﹣2m在﹣1≤x≤2的最小值为﹣2，∴二次函数y＝x2﹣2m在顶点处取得最小值，即﹣2m＝﹣2，∴m＝1．【点评】本题考查二次函数求最值，关键是根据二次函数的性质以及自变量的取值范围求函数的最值．。
§7.8 无穷等比数列各项的和（1）A 组：1．首项为2，公比为32的等比数列的各项和=S 6 。
2．首项为1，公比为21-的等比数列的所有偶数项的各项和=S 32- 。
3．若数列}{n a 是以q 为公比的无穷等比数列，前n 项和为n S 。
那么“∞→n lim n S 存在”的充要条件是∈q 。
4．循环小数∙2.0化为分数是____92__________B 组一、填空题1．无穷数列 ,003.0,03.0,3.0各项和为____________.31 2．循环小数∙∙321.0化为分数是____49561__； 3．若无穷等比数列}{n a 的各项和为3，且101<<a ，则公比q 的取值范围为__________.132<<q 4．若13221-+=n n n a ，则数列}{n a 的各项和为 4 。
5．若首项为1，公比为)10(<<q q 的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=+∞→1l i mnn n S S _____.q -216．设数列}{n a 是公比为q 的等比数列，前n 项和为n S 。
若7lim =∞→n n S ，则此数列的首项1a 的取值范围是____(0,7)∪(7,14)____________二、选择题7．若一个无穷等比数列q 满足1||<q ，且每一项都等于它以后各项和的k 倍，则k 的取值范围可以是( C )（A ）0≥k （B ）2-≤k （C ）2-<k 或0>k （D ）02<<-k 8．无穷等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，S 为其各项和，且n n a S S +=，则公比q 为（ D ） （A ）31- （B ）21- （C ）31 （D ）21三、解答题9．求极限：（1）n n n n 3131313121)1(2121211lim221132++++⋅-++-+---∞→ （2）]727172717271[lim 212432n n n -++-+--∞→解：（1）34；（2）48510．一个无穷等比数列各项的和等于9，且各项的平方和为281，那么它的首项是多少？解：设无穷等比数列的首项为1a ，公比为q ，则911=-q a ，2811221=-q a ，得31=q ，所以61=a . 11．若无穷等比数列 ,)2(,)2(,)2(,13322x x x x x x ---的各项和存在，求x 的取值范围.解：2,0==x x 时成立，无穷等比数列的各项和存在即公比)2(x x -满足1)2(1<-<-x x ，综上，)21,21(+-∈x .C 组：1．数列}{n a 的首项61=a ，前n 项的和为n S ，若 ,,,,,321n S S S S 是公比为)1||(<q q 的等比数列，求数列}{n n S a 的所有项之和S .解：由题意：16-⋅=n n q S ，当2≥n 时，21)1(6--⋅-=-=n n n n q q S S a ，所以32)1(36-⋅-=n n n q q S a .易知}{n n S a 从第2项起成等比数列，公比)1,0(2∈q 。
所以各项的和qq q q q q S +=+-=--+=136136361)1(36362. 2．如图P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形P 2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P 3、P 4、…..，P n ，…,记纸板P n 的面积为n S ，求∞→n lim n S （3π ）§7.8 无穷等比数列各项的和（2）A 组：1．无穷等比数列 ，，，，422121211--各项的和等于____32___________ 2．无穷等比数列 ，，，，4221221各项的平方和等于____2_____3．计算：=++++--∞→)3234321lim 112n n n （____3________4．循环小数∙∙81.0化为分数是______112________5．若31143lim =+-∞→n n a n ，则=++++-∞→)1111(lim 12n n aa a ；4B 组：一、填空题1．若无穷等比数列 ,)(log ,)(log ,log 38288x x x 各项的和为21，则=x _________.2 2．计算：=+++++-∞→)525152515251(lim 212432n n n _________________.2473．一个无穷等比数列的各项和为S ，首项21=a ，公比q 为负数，则S 的取值范围 为________.21<<S4．等比数列}{n a 中，若21=a ，且4)(lim 321=++++∞→n n a a a a ，则公比=q 21。
5．计算：=++++-∞→)22242221(lim 1n n n n n n _________________.1二、选择题6．数列 ,541,21,431,1,321,2,211,4⨯⨯⨯⨯各项的和为（ ）A（A ）9 （B ）21（C ）10 （D ）不能确定7．如果一个无穷等比数列的第一项是个自然数，公比是一个自然数的倒数，此数列的各项和是3，那么这个数列的前两项的和是( )A（A ）38 （B ）2 （C ）32 （D ）31三、解答题8．一个无穷等比数列的各项和为12，前4项和为25.11，求首项及公比.解：⎪⎩⎪⎨⎧==2161q a 或⎪⎩⎪⎨⎧-==21181q a9．若数列}{n a 满足)(2*21N n a a a n n n ∈+-=+，且1091=a ，令)1(lg n n ab -=，试求无穷数列}1{n b 所有项的和.解：由题意：21)1(1--=-n n a a ，易知10<<n a ，所以)1(lg 2)1(lg 1--=-n n a a ，即12-=n n b b .故1112)1lg(2---=-⋅=n n n a b ，则}1{n b 为首项为1-，公比为21的等比数列。
所以各项的和为2-. 10．一个无穷等比数列}{n a 的公比1||<q ，它的前两项和为21，所有奇数项的和比所有偶数项的和大2，求这无穷等比数列的各项和.解：由题意：原数列的所有奇数项与所有偶数项分别组成一个等比数列，此时公比为2q ，且102<<q ，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=+21121222121q a qa a a ，解方程组得21,11-==q a （其中23,11-=-=q a 舍去），所以各项的和32=S .C 组1．已知实数数列}{n a 相邻两项1,+n n a a 是方程0)31(2=+-n n x b x 的两个根，且21=a 。
（1）证明nn a a 2+为定值；（2）求数列}{n a 的通项公式； （3）求 ++++=n b b b S 21的值。
解：（1）据题意，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+++n n n n n n a a b a a )(3111。
由⇒=⋅+n n n a a )(31113121)(+++=⋅n n n a a 。
∴312=+nn a a 为定值。
（2）∵3121=⋅a a 且21=a ，∴612=a 。
∴13161213112)()(2---⋅=⋅=n n n n a a 。
也可表示为⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅=--)()()()(21316131221为偶数为奇数n n a n n n 。
（3）292131121311322122)(2)(2)()()(316131=-=-+=-++++=+++++++=--+a a a a a a a a a a S n n n2．设数列}{n a 的前n 项的和为n S ，是否存在这样的实数k ，当)1(1≠+=k ka S n n 时，有1lim =∞→n n S ？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由. 解：1=n 时，k a ka a -=⇒+=111111。
由n n n n n na k ka ka S ka S 111111-=⇒⎩⎨⎧+=+=+++（因为1≠k ）. ①若0=k ，则⎩⎨⎧≥==)2(0)1(1n n a n ，显然1lim =∞→n n S ，故0=k 满足题设条件;②若0≠k ，则1)1(11---=n n k k k a ，由nn n n k k k k k k ka S )1(1)1(1111--=--+=+=-, 由1|1|1lim <-⇒=∞→k k S n n ，解得21<k 且0≠k . 综上所叙述，满足条件的实数k 存在，)21,(∞-∈k .§7.8 无穷等比数列各项的和（3）A 组：1．判断正误：（1）若等比数列}{n a 的各项和存在，则}{n a 一定是递减数列。
（ 错 ） （2）等差数列的前n 项和n S 的极限一定不存在。
（ 错） （3）等比数列}{n a 的各项和S 大于它的前n 项和n S 。
（ 错 ）2．等比数列}{n a 的首项11-=a ，212=a ，前n 项的和为n S ，则=∞→n n S lim _______.32-3．设等比数列}{n a 的公比21-=q ，且32)(lim 21=+++∞→n n a a a ，则=1a __1______B 组：一、填空题1．若数列152-⋅=n n a ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧na 1的各项和为=S 85 。
2．设等比数列}{n a 的公比21-=q ，且38)(lim 1231=+++-∞→n n a a a ，则=1a ________.23．若数列{}n a 是首项为1，公比为23-a 的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是24．一个球自高为6米的地方自由下落，每次着地后回弹高度为原来的31，到球停在地面上为止，球经过的路程总和为___________米.125．已知点)2,0(n A ，)2,0(n B -，)0,24(nC +，其中n 为正整数，设n S 表示ABC ∆外接圆的面积，则=∞→n n S lim _____________.π46.已知两点O （0,0），Q （a ,b ）,点P 1是线段OQ 的中点，点P 2是线段QP 1的中点，P 3是线段P 1P 2的中点，┅，2+n P 是线段n P 1+n P 的中点，则点n P 的极限位置应是 __________ ∵点n P 的位置是()16842,16842 -+-+-+-+b b b b a a a a ∴点n P 的极限位置应是(32,32b a ) 二、选择题7．已知R a ∈，无穷等比数列}{n a 的前n 项和n n a S --=2，则}{n a 的各项和为 ( ) （A ）1； （B ）21； （C ）21-； （D ）与a 有关的一个数值。
