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C
0
1
x1
0
1
x1
A
1
x1
A点对应平衡局势( X * , Y * ) = ([0 1]T ,[0 1]T ), 即两人同去看球，相 应得失值(U * , V * ) = ( X * AY * , X * BY * ) = (4,1), 丈夫得到最大满足。 1 4T 4 1T ] ,[ ] ), 即两人均以一定 B点对应平衡局势( X * , Y * ) = ([ 5 5 5 5 4 4 的概率选择，相应得失值(U * , V * ) = ( , ), 满意度得到均衡， 5 5 但却都降低了。 C点对应平衡局势( X * , Y * ) = ([1 0]T ,[1 0]T ), 即两人去看芭蕾，相 应得失值(U * , V * ) = ( X * AY * , X * BY * ) = (1, 4), 妻子得到最大满足。
0 < y1 ≤ 1 y1 = 0
y1
1
0
1
x1
0 ≤ x1 ≤ 1,
1
x1
9
y1
5 6 7 8 9
A1 < 0 A2 = 0 A1 > 0 A2 > 0
x1 = 0, 0 < y1 ≤ 1
1
0
0 ≤ x1 ≤ 1, y1 = 0
A 0 ≤ y1 < 2 A2 A1 0 ≤ x1 ≤ 1, y1 = A1 A2 < y1 ≤ 1 x1 = 1, A1 A2 < y1 ≤ 1 x1 = 0, A1 A2 0 ≤ x1 ≤ 1, y1 = A1 A x1 = 1, 0 ≤ y1 < 2 A1 x1 = 0, x1 = 1, 0 ≤ y1 ≤ 1
A + B = 0时，双矩阵对策即化为矩阵对策。
2
二 、非合作双矩阵对策
1.解的概念与存在性定理 平衡局势：
* * 设 X * ∈ S 1* , Y * ∈ S 2 ， , 若 对 任 何 X ∈ S1* 和 任 何 Y ∈ S 2
有
X T AY * ≤ X * AY * X * BY ≤ X * BY *
Ι 的 混 合 策 略 集 S 1* = { X = ( x1 L L x m ) | ∑ x i = 1, x i ≥ 0}
i =1 n m
Π 的 混 合 策 略 集 S = {Y = ( y1 LL y n ) | ∑ y i = 1, y i ≥ 0}
* 2 i =1
1
在矩阵对策中，由于Ι的得就是Π的失，二人 处于完全竞争的非合作状态。而在双矩阵对策中， 由于Ι的得并不一定等于Π的失，二人可以同时得， 故二人之间可能合作，从而得到更多的利益。
b b12 y1 T * * 11 X * BY = x 1 x − 1 1 b21 b 22 1 − y1
* * = (b11 − b12 − b21 + b22 ) x1 − (b22 − b21 ) y1 + b22 + (b12 − b22 ) x1
0
图示
1
0
1 2
1
x1
y1
1 1
B1 = 0 B2 > 0 B1 = 0 B2 < 0 B1 > 0 B2 = 0
x1
y1
3
4
y1 = 1 0 ≤ x1 ≤ 1
1
0
y1 = 1, 0 ≤ x1 ≤ 1 0 ≤ y1 ≤ 1, x1 = 0
y1
1
x1
1
0
1
x1
11
y1
5 6 7 8 9
B1 < 0 B2 = 0 B1 > 0 B2 > 0 B1 < 0 B2 < 0 B1 > 0 B2 < 0 B1 < 0 B2 > 0
T
y1
若( X * , Y * )是均衡局势，由平衡局势的定义，X *和Y *应 分别是X T AY *在S1*上和X * BY 在S 2*上的极大点。
5
而
* a11 a12 y1 X AY = [ x1 1 − x1 ] * − 1 y a21 a22 1 T * * * = (a11 − a12 − a21 + a22 ) y1 − (a22 − a12 ) x1 + a22 + (a21 − a22 ) y1
0 ≤ y1 ≤ 1,
x1 = 0
1
0
y1 = 0, 0 ≤ x1 ≤ 1 B 0 ≤ x1 < 2 B B1 0 ≤ y1 ≤ 1, x1 = 2 B1 B2 < y1 ≤ 1 y1 = 1, B1 B2 < x1 ≤ 1 y1 = 0, B1 B 0 ≤ y1 ≤ 1, x1 = 2 B1B y1 = 1, 0 ≤ x1 < 2 B1 y1 = 0, y1 = 1, 0 ≤ x1 ≤ 1
A2 4 = A1 5
B2 1 = B1 5
妻 子 的解： 1 5 1 0 ≤ y1 ≤ 1, x1 = 5 1 y1 = 1, < x1 ≤ 1 5 y1 = 0, 0 ≤ x1 <
4 < y1 ≤ 1 5 4 0 ≤ x1 ≤ 1, y1 = 5
15
y1
4 5
y1
1 1
4 5 1 5
y1
1
B 1 5
★与矩阵对策不同，双矩阵对策的不同的解对应不同的值。
T T T T
16
例2：（囚犯两难推理）两名囚犯I和II因涉嫌抢劫被捕。警 方 因证据不足先将二人分关二室，并宣布：若二人均 不坦白，则只能因藏有枪支而被判刑1年；若有一人 坦白而另一个不坦白，则坦白者无罪释放，不坦白者 被判刑10年；若二人都坦白了，则同判9年。此二人 确系抢劫犯，请分析他们的抉择。
T T
T
则 称 ( X * , Y * )为 双 矩 阵 对 策 G 的 平 衡 局 势 。 平 衡 局 势 （ X * , Y *） 对 应 的 二 局 中 人 的 期 望 收 益 ( X * AY * , X * BY * ) 就 是 G的 值 ， 记 为 (U * , V * )。
T T
3
定理1：任何双矩阵对策至少存在一个平衡局势。 （ X * , Y *） 为 双 矩 阵 对 策 G的 一 个 平 衡 局 势 的 定理2： 充 要 条 件 是 存 在 数 p * 和 q *使 [ X * Y * p * q * ]T 是下述问题的一个解： max （ X T AY + X T BY − p − q） AY ≤ pE n T X B ≤ qE m s .t . T T Em X = En Y = 1 X ,Y ≥ 0 其 中 E m , E n 为 分 量 为1的 向 量 。
其策略为α1 (看芭蕾)、α 2 (看足球)，相应混合策略( x1 1 − x1 )； 妻子为局中人II，其策略为β1 (看芭蕾)、β（ 2 看足球），相应 混合策略( y1 1- y1 ).设得失矩阵为：
II I
(1, 4) (0, 0) (0, 0) (4,1)
矩阵中位于第i行j列的括号即( aij , bij )
记
B1 = b11 − b12 − b21 + b22 B2 = b22 − b21
T
* 则使X * BY 达到极大的y1 应满足
0, 当B1 x1* − B2 < 0 * y1 = [0,1]中任意值, 当B1 x1* − B2 = 0 当B1 x1* − B2 > 0 1,
（2）
7
4
2. 2×2双矩阵对策的解法
a a b b 当A和B均为2×2阶时， A = 11 12 , B = 11 12 , a21 a22 b21 b22 相应的双矩阵对策可表示为: II
I
1 − y1 x1 (a11 , b11 ) (a12 , b12 ) (a , b ) (a , b ) (0 ≤ x1 ≤ 1, 0 ≤ y1 ≤ 1) 1 − x1 21 21 22 22
14
1 0 4 0 A= , B = 0 1 0 4 A1 = 1 − 0 − 0 + 4 = 5, A2 = 4 − 0 = 4, B1 = 4 − 0 − 0 + 1 = 5, B2 = 1 − 0 = 1,
丈 夫 的解： x1 = 0, 0 ≤ y1 < x1 = 1, 4 5
根据式(1)和式(2)，可在以x1和y1为横、纵轴的坐标系中确 定出对局中人I来说可能成为平衡局势的点(不妨称为I的解)
* (x1 ,y1 )的轨迹和对于局中人II来说可能成为平衡局势的点(不妨 * * * 称为II的解)(x1 ,y1 )的轨迹。二轨迹的公共点即(x1 ,y1 )，由此便
可得到平衡局势。将这一分析的结果各分为9种情形(即A1和A 2、 B1和B2取各种符号时的9种条件)，如下表所示：
解
将此问题看做如下的双矩阵对策问题：
II 坦白 (−9, −9) (0, −10) 不坦白 (−10, 0) (−1, −1) 坦白 不坦白
I
0 −9 −9 − 10 A= , B = 0 −1 −10 − 1 A1 = −9 − 0 − (−10) + (−1) = 0, A2 = −1 − 0 = −1 B1 = −9 − (−10) − 0 + (−1) = 0, B2 = −1 − 0 = −1
18
三 、合作的双矩阵对策
1.合作思路——采用联合随机策略 在非合作的夫妇之争的例子中，若夫妇希望在得失值 （4,1）和（1,4）中权衡，即协商选择概率α ，及期 望得失值：
