一元一次方程实际问题归纳

分析：螺钉、螺母的数量列表如下：
工作效率 人数
总量=工作效率×人数
螺钉 1200
x
1200x
螺母 2000
22-x 2000（22-x）
新知探究 例1 某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000 个螺母，一个螺钉需要配两个螺母，为了使每天生产的螺钉和螺 母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
解：设用xm³钢材做A部件，用（6-x）m³钢材做B部件，根据题意得：
3×40x=240（6-x）
解得x=4 检验：x=4是原方程的解且符合实际意义
6-x=6-4=2，40×4=160
答：应用4m³钢材做A部件，2m³钢材做B部件，恰好配成这种仪器160套．
变式1.一套仪器由2个A部件和3个B部件构成，用1m3钢材可做40 个A部件或240个B部件，现要用10m3钢材制作这种仪器，应用多 少钢材做A部件、B部件，恰好配成这种仪器多少套？
的解
解：设用xm³钢材做A部件，用（10-x）m³钢材做B部件，根据题意得：
3×20x=2×120（10-x）
解得x=8 检验：x=8是原方程的解且符合实际意义
10-x=10-8=2，20×8÷2=80
答：应用8m³钢材做A部件，2m³钢材做B部件，恰好配成这种仪器80套．
课堂小结
1.建立一元一次方程解决实际问题有哪些步骤？
新知归纳 问题3：上述利用一元一次方程解决实际问题经历了哪些步骤？ 体现怎样的问题解决流程？
①分析题中涉及的已知量、未知量，量与量之间的关系． ②分析确定需要求的未知量． ③找等量关系，列方程． ④根据列出来的方程，求出方程的解． ⑤检验解方程是否正确，方程的解是否符合实际意义． ⑥确定实际问题的答案．

练习8、已知：商店中某个玩具的进价为40元，标价为60元； 若按标价出售该玩具，则所得的利润及利润率分别是多少？ 若顾客在及店主还价时，店主要保住15%的利润率，则店主出售这个玩具的售价底线是多少元？ 若店主为吸引顾客，把这个玩具的标价提高10%后，再贴出打8.8折的告示，则这个玩具的实际售价是多少元？ 若店主设法将进价降低10%，标价不变，而贴出打8.8折的告示，则出售这个玩具的利润及利润率分别是多少？
例3、为了把2013年沈阳全运会举办成一届绿色全运会，实验中学和潞河中学的同学积极参加绿化工程的劳动。两校共绿化了4415平方米的土地，潞河中学绿化的面积比实验中学绿化面积的2倍少13平方米，这两所中学分别绿化了多少面积？
例4、出租汽车4千米起价10元，行驶4千米以后，每千米收费1.2元（不足1千米按1千米计算）。张天和张智要到离学校15千米的博物馆为同学们联系参观事宜。为了尽快到达博物馆，他们想坐出租车，如果他们只有22元，则，他们乘出租车能直接到达博物馆吗？
解：设该市每户每月用水标准量为x立方米。 ∵1.2×9=10.8（元） 10.8<16.2 ∴张大爷家的用水量超出了标准用水量，即x<9 根据题意得 1.2x+(9-x)×3=16.2 解这个方程，得 x=6 答：该市每户每月的标准用水量是6立方米。
例2 ：小丽的爸爸前年存了年利率为2.25%的二年期定储蓄，今年到期后，扣除利息的20%作为利息税，所得利息正好为小丽买了一只价值36元的计算器，问小丽爸爸前年存了多少元钱？
例3 5年定期储蓄的年利率为2.88%，若存入5年定期的本金是1000元，请计算存款到期时，应得的本利和是多少？
例4、王利到银行存入5年定期的储蓄若干元，到期后一共缴了72元的利息税，若这种储蓄的年利率为2.4%，求王利当初存入银行多少元？

光明 14 9 5 23 依题意,得
蓝天 14 9 5 23
10x＋1×4＝24
雄鹰 远大
14 14
7 7 21 7 7 21
解得：
x＝2
所以，胜一场积2分.
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
问题1：用式子表示总积分与胜、负场数 之间的关系.
若一个队胜m场，则负(14 – m)场，
某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件 衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这 两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
￥60元
￥60元
下面是小明同学的估算过程，你认为正确吗？
设盈利25%的衣服的进价为x元（因为是盈利，所以x＜60），则这件衣服赚25%x 元 , 即利润为25%x
光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23
负一场积1分
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
某次篮球联赛积分榜如下：
队名
比赛 场次
胜负积 场场分
问题3：你能进一步算 出胜一场积多少分吗？
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24 设：胜一场积 x 分，
价
(2)另一件衣服的售价也是60元，它的利润
率是 － 25%，它的进价又是多少元？
x 25% 25%x 60
进 利润 利润 售
价率
价
y -25% -25%y 60
现在我们来通过计算，检验你的判断是否正确吧！
解：设盈利25%的衣服的进价为x元
进价＋利润＝售价 x+0.25x=60
由此得x=48

热身运动
某文艺团体为“希望工程” 募捐义演， 1、成人票卖出600张，学生 票卖出300张，共得票款多少 元？ 2、 成人票款共得6400元，学 生票款共得2500元，成人票 和学生票共卖出多少张？
启迪思维
如果本次义演，共售出 1000张票，筹得票款6950 元，假如你作为经理，能 得出成人票与学生票各售 出多少张吗？ 上面的问题中包 含哪些等量关系？
7．(10分)甲、乙两个清洁队共同参与了垃圾场的清运工作，甲
队单独工作2天完成了总工作量的，这时增加了乙队，两队共同工
作了1天全部完成．那么乙队单独完成全部工作需要多少天？
解：2天
一、选择题(每小题4分，共20分) 8．在一次美化校园的活动中，先安排32人去拔草 ，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔 草的人数是植树人数的2倍，问支援拔草和植树的人 分别有多少？若设支援拔草的有x人，则下列方程中 正确的是( B ) A．32＋x＝2× 18 B．32＋x＝2(38－x) C．52－x＝2(18＋x) D．52－x＝2× 18
现用5立方米木料制作饭桌，则可制成多少张饭
桌？
解：设用x立方米木料制作桌面，(5－x)立方 米木料制作桌腿，则4×50x＝300(5－x) 解得x＝3， 所以可制成桌子50×3＝150(张)
用一元一次方程解决工程问题 4．(4分)一项工作，甲单独完成要12小时，乙单独 完成要24小时，则甲工作1小时可完成这件工作的 ____，乙工作1小时可完成这件工作的____，甲、乙 8 小时可完成这件工作． 合作____ 5．(4分)一件工程，甲队单独做要8天完成，乙队单
40x×3=(6-x) ×240
解方程，得
6-x=2
X=(6-x) ×2

初一数学上册一元一次方程的应用12种经典题型汇总题型1：增长率问题某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%,由于国际油价上涨,这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%.求这个月的石油价格相对上个月的增长率？解:设这个月的石油价格相对上个月的增长率为x.根据题意,得(1+x)x(1-5%)=1+14%解得x=0.2=20%答:这个月的石油价格相对上个月的增长率20%题型2：配套问题某服装厂要做一批某种型号的学生校服,已知某种布料每3m长可做2件上衣或3条裤子,一件上衣和一条裤子为一套,计划用600m长的这种布料做学生校服,应分别用多少米布料做上衣和裤子,才能恰好配套?解:设用x m布料做上衣,则用(600-x)m布料做裤子,则上衣共做2x/3件，裤子共做(600-x）条因为一件上衣配一条裤子,所以2x/3=600-x.解得x=360.所以600-360=240(m)答:应用360m布料做上衣,240m布料做裤子.题型3：销售问题某商品的进价是2000元,标价为3000元,商店将以利润率为5%的售价打折出售此商品,则该商店打几折出售此商品?解:设利润率为5%时售价为x元.根据题意（x-2000）/2000·100%=5%解得x=2100.所以2100/3000=7/10答:该商店打7折出售此商品.题型4：储蓄问题李明以两种方式储蓄了500元钱,一种方式储蓄的年利率是5%,另一种是4%,一年后共得利息23元5角,求两种储蓄各存了多少元钱？解:设年利率是5%的储蓄存了x元,则年利率是4%的储蓄存了(500-x)元.根据题意,得x·5%·1+(500-x)·4%·1=23.5解得x=350所以500-x=500-350=150答:年利率是5%和4%的储蓄分别存了350元和150元.题型5：等积变形问题用直径为4cm的圆钢,铸造3个直径为2cm,高为16cm的圆柱形零件,求需要截取多长的圆钢.解:设需要截取x cm长的圆钢.根据题意,得4·π·（4/2）^2=3·π·（2/2）^2·16解得x=12答:需要截取12cm长的圆钢。

1、列方程解应用问题的过程中，大致包含哪些步骤？
人数和为22人
螺母总产量是
螺钉的2倍
二、应用与探究
解：设应安排x名工人生产螺钉，(22－x)名 工人生产螺母.
依题意得： 2 000(22－x)＝2×1 200x . 解方程，得：5(22－x)＝6x，
110－5x＝6x，
x＝10. 22－x＝12. 答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生 产螺母.
五、课后作业
1. 教科书习题3.4 第2、3、4、5题；
二、应用与探究
问题4：以上问题还有其他的解决方法吗？
解：设应安排 x名工人生产螺母，(22－x)名 工人生产螺钉.
依题意得： 2×1200(22－x)＝2 000x .
三、小试牛刀
问题5：工地48人挖土运土，每人每天平均挖土
用1 m3钢材可以做40个A部件或240个B部件.
5方或运土3方，怎样安排，使挖的土刚好运走 2 000(22－x)
问题2：通过列方程解应用问题的过程中，大致包含哪些步骤？
？ 依题意得： 2 000(22－x)＝2×1 200x .
依题意得： 2 000(22－x)＝2×1 200x .
2、配套问题的关键是？
用1 m3钢材可以做40个A部件或240个B部件. 设：设适当的未知数，并表示未知量；
人数
单人产量
总产量
1个螺钉需要配 2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
实际问题与一元一次方程配套 问题
ห้องสมุดไป่ตู้
一、课题引入
问题1：某服装厂加工车间有工人54人，每人每天 可以加工上衣8件或裤子10条，应怎样分配人数， 才能使每天生产的上衣和裤子配套？

一元一次方程应用题
一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，可表示为ax+b=0，其中a和b为已知数，x为未知数。

一元一次方程应用题常见的类型包括：
1. 购买商品问题：如某商品的价格为x元，现有b元，求买几件商品后还剩a元。

2. 时间、速度、距离问题：如A车以每小时x公里的速度行驶，经过b小时后行驶了a公里，求A车的速度。

3. 水混合问题：如已知某种酒精溶液中酒精的浓度为x%，现加入b 升水后酒精的浓度为a%，求原溶液中酒精的浓度。

4. 利润问题：如一件商品的进价为b元，售价为x元，求多少件商品时能够获利a元。

这些应用题主要通过建立一元一次方程来求解，需要根据题目中给出的已知条件和未知量，写出方程并解出未知数的值。

03 实际问题中的一元一次方 程应用
行程问题中的一元一次方程
匀速运动问题
通过速度、时间和距离的 关系，建立一元一次方程 求解。
追及问题
根据两物体的相对速度和 时间，建立一元一次方程 求解追及时间或距离。
相遇问题
根据两物体相向而行的速 度和时间，建立一元一次 方程求解相遇时间或距离。
工程问题中的一元一次方程
一元一次方程的概念
一元一次方程的定义
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1 的方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的解
使一元一次方程左右两边相等的未知数的值 叫做一元一次方程的解。
一元一次方程的标准形式
ax+b=0（a、b为常数，a≠0）。
解一元一次方程的方法
移项、合并同类项、系数化为1等步骤求解 一元一次方程。
解的唯一性
唯一性定理
01
一元一次方程的解是唯一的。
证明方法
02
反证法。假设方程有两个不同的解，通过代入和比较，可以得
到矛盾，从而证明解的唯一性。
实际意义
03
在实际问题中，一元一次方程的解往往代表某个具体的数量或
结果，因此解的唯一性非常重要。
解的合理性
解的合理性定义
解必须满足方程的所有条件，并且符合实际问题的背景和意义。
检验方法
将解代入原方程进行验证，同时考虑解是否符合实际问题的约束条件。
不合理解的处理
如果解不合理，需要检查方程的建立过程是否正确，或者考虑是否存在其他因素导致解的不合理。例如，在 实际问题中，解可能是负数或分数，但根据问题的背景，这些解可能不符合实际情况。
05 实际问题与一元一次方程 的综合应用
实际问题中的多元一次方程组转化为一元一次方程

【初一数学上册一元一次方程实际问题归纳】一元一次方程是初中数学学习的重要内容之一，它不仅是数学知识的重要组成部分，也是理解和解决实际问题的有力工具。

在初一数学上册中，我们学习了一元一次方程，并通过实际问题的归纳，来更深入地理解这一概念。

在本文中，我将从简单到复杂的角度，逐步展开对一元一次方程实际问题的归纳，并结合个人观点和理解进行阐述。

一、小明买苹果问题1. 问题描述：小明买了苹果，每斤3元，他花了15元钱，请问他买了多少斤苹果？2. 解题过程：设小明买了x斤苹果，根据题意可得出方程3x=15。

3. 解答：通过解方程得知，小明买了5斤苹果。

这个问题很简单，但它展示了一元一次方程在实际问题中的应用。

通过建立方程和解方程的过程，我们可以轻松地得出结果，解决实际问题。

二、甲乙两地的距离问题1. 问题描述：甲地到乙地有320公里，甲地比乙地离原点远80公里，求甲地到原点的距离。

2. 解题过程：设甲地到原点的距离为x公里，根据题意可得出方程x+80=320。

3. 解答：通过解方程得知，甲地到原点的距离为240公里。

这个问题稍微复杂一些，但同样可以通过一元一次方程来解决。

通过建立方程和解方程的过程，我们可以清晰地得出结果，解决实际问题。

三、小明和小红的芳龄问题1. 问题描述：小明比小红大5岁，两年后小明的芳龄是小红的两倍，求他们现在的芳龄。

2. 解题过程：设小红的芳龄为x岁，根据题意可得出方程(x+5+2)*2=x+2。

3. 解答：通过解方程得知，小红现在的芳龄为7岁，小明现在的芳龄为12岁。

这个问题更加复杂，但依然可以通过一元一次方程来解决。

通过建立方程和解方程的过程，我们可以准确地得出结果，解决实际问题。

总结回顾：通过以上实际问题的归纳，我们可以看到一元一次方程在解决实际问题中的重要作用。

通过建立方程和解方程的过程，我们可以清晰地得出结果，解决各种复杂的实际问题。

在学习初一数学上册一元一次方程时，我们应该注重实际问题的应用，这样可以更好地理解和掌握这一知识点。

精心整理2019年－9月利润打折问题（1）、原价100元的商品打8折后价格为 元；（2）、原价100元的商品提价40%后的价格为 元；（3）、进价100元的商品以150元卖出，利润是 元，利润率是 ；（4）、原价X 元的商品打8折后价格为 元；（5（6（73 4是多少元？513.少？51. A.26元2. 某种商品若按标价的8折出售可获利20%，若按原标价出售，则可获利（ ）．A ．25%B ．40%C ．50%D ．13. 两件商品都卖84元，其中一件亏本20%，另一件赢利40%，则两件商品卖后（ ）．A ．赢利16.8元B ．亏本3元C ．赢利3元D ．不赢不亏4. 某商品的标价为220元，九折卖出后盈利10%，则该商品的进价为______元．精心整理2019年－9月5. 一种商品进价为50元，为赚取20%的利润，该商品的标价为________元．6．一件商品按成本价提高20%后标价，后来又以标价的9折优惠卖出，结果每件仍获利20元，这件商品的成本是多少元？6.商品的进价是1530元，按商品标价的9折出售利润率是15%，则此商品的标价是多少？7．某种商品的零售价为每件900元，为了适应市场竟争，商店按零售价的九折降价并让利40元销售，仍可获利10%。

则进价为每件多少元？8. 为了节能减排，某电力公司按以下规定收取每月的电费：用电不超过140度，按每度0.43元收费；如果超过140度，那么超过部分按每度0.57月份应交电费多少元？1.价是多少？2.某商品的进价为310元，按标价的83.某商品的进价为200元，原价为3004.某种衣服因换季打折销售，每件衣服如果按标价的51205.25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总7.760元，则此电脑的定价为多少元？8.24元，则原价为多少元？12.10%，若商品标价33元，那么该商品进价为多少元？9.某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折出售将赚20元，问这种商品的定价是多少？10.某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售，将赔25元，而按定价的九折出售，将赚20元，这种商品的定价为多少元？11.某同学在A 、B 两家超市发现她看中的随身听的单价相同，书包的单价也相同，随身听与书包的单价和是452元，且随身听的单价是书包的单价的4倍少8元。

1. 审：审题，分析题目中数量关系； 2. 设：设适当未知数，并表示未知量； 3. 列：依据题目中数量关系列方程； 4. 解：解这个方程； 5. 答：检验并答话.
第3页
二、应用与探究
问题2：应用回顾步骤处理以下问题. 例1 某车间有22名工人，每人天天能够生产 1 200个螺钉或2 000个螺母. 1个螺钉需要配 2个螺 母，为使天天生产螺钉和螺母刚好配套，应安排 生产螺钉和螺母工人各多少名？
1
40 × x × 4 ＝
4x 40
1 40
× x＋2× 8 ＝
8(x 2) 40
工作量之和等 于总工作量1
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二、应用与探究
解：设安排 x 人先做4 h. 依题意得： 4x ＋ 8( x＋2)＝1
40 40 解方程，得：4x＋8(x＋2)＝40，
4x＋8x＋16＝40， 12x＝24， x＝2. 答：应先安排 2人做4 h.
110－5x＝6x，
x＝10. 22－x＝12. 答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生 产螺母.
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二、应用与探究
问题3：以上问题还有其它处理方法吗？ 比如： 解：设应安排 x名工人生产螺母，(22－x)名 工人生产螺钉. 依题意得： 2×1200(22－x)＝2 000x .
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二、应用与探究
问题4：应用回顾步骤处理以下问题. 例2 整理一批图书，由一个人做要40 h 完成. 现计划由一部分人先做4 h，然后增加 2人与他们 一起做8 h，完成这项工作. 假设这些人工作效率 相同，详细应该安排多少人工作？
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二、应用与探究
列表分析：
人均效率 人数 时间 工作量
前一部 分工作
后一部 分工作

第三章一元一次方程3.4 实际问题与一元一次方程第1课时产品配套问题和工程问题学习目标：1. 理解配套问题、工程问题的背景.2. 分清有关数量关系，能正确找出作为列方程依据的主要等量关系.3. 掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.重点：掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.难点：能够准确找出实际问题中的等量关系，并建立模型解决问题.一、要点探究探究点1：产品配套问题填一填：1.某厂欲制作一些方桌和椅子，1张方桌与4把椅子刚好配成一套，为了使桌椅刚好配套，商家应制作椅子的数量是桌子数量的___ 倍. 方桌与椅子的数量之比是.2.一个油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片相配套．某车间有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片或者长方形铁片80片．设安排x名工人生产圆形铁片，可使圆形铁片和长方形铁片刚好配套，请填写下表：等量关系：（1）每小时生产的圆形铁片=_____×每小时生产的长方形铁片.（2）生产的套数相等.方法总结：生产调配问题通常从调配后各量之间的倍、分关系寻找相等关系，建立方程.解决配套问题的思路：1.利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据；2.利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据.例1 如图，足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，求白皮、黑皮各多少块？（提示：一块白皮（六边形）中，有三边与黑皮（五边形）相连，因此白皮边数是黑皮边数的2倍）针对训练部分工人生产螺栓，其他部分工人生产螺母，恰好每天生产的螺栓螺母：按1：3配套．若2.一套仪器由一个A部件和三个B部件构成. 用1立方米钢材可做40个A部件或240个B 部件. 现要用6立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，才能恰好配成这种仪器？共配成多少套？探究点2：工程问题填一填一件工作，甲独做需要6天完成，乙独做需要5天完成.(1)若把工作总量设为1，则甲的工作效率（甲一天完成的工作量）是，乙的工作效率是.(2）甲做x天完成的工作量是，乙做x天完成的工作量是，甲乙合做x天完成的工作量是 .议一议工程问题中，涉及哪些量？它们之间有什么数量关系？（1）工程问题中，涉及的量有工作量、_________________________________________;（2）请写出这些量之间存在的数量关系：_____________________________________________________________________________.例2加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10天就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务．问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？【提示：可运用表格列出题中存在的各种量.】想一想：若要求二人在8天内完成任务，乙先加工几天后，甲加入合作加工，恰好能如期完成任务？要点归纳：解决工程问题的基本思路：1. 三个基本量：工作量、工作效率、工作时间. 它们之间的关系是：工作量 = 工作效率×工作时间；合作的工作效率 =工作效率之和. 2. 相等关系：工作总量=各部分工作量之和=合作的工作效率×工作时间. 3. 通常在没有具体数值的情况下，把工作总量看作“1”. 针对训练一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天. 如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？二、课堂小结用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：实际问题一元一次方程的解(x =a )设未知数，列方程检验1. 某人一天能加工甲种零件50个或加工乙种零件20个，1个甲种零件与2个乙种零件配成一套，30天制作最多的成套产品，若设x天制作甲种零件，则可列方程为.2.一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果两人合做8天后，余下的工作再由甲独做x天完成，那么所列方程为.3.某家具厂生产一种方桌，1立方米的木材可做50个桌面或300条桌腿，现有10立方米的木材，怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面、桌腿刚好配套，共可生产多少张方桌？(一张方桌有1个桌面，4条桌腿)4.一项工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做. 剩下的部分需要几小时完成？5. 一个道路工程，甲队单独施工9天完成，乙队单独做24天完成．现在甲、乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，问乙队还需几天才能完成？参考答案课堂探究一、要点探究解：设足球上黑皮有x块，则白皮为(32-x)块，五边形的边数共有5x条，六边形边数有6(32-x)条．依题意,得2×5x=6（32-x）,解得x=12，则32-x=20.答：白皮20块，黑皮12块.【针对训练】1. 12x×3＝18×(30−x)2.解：设应用 x 立方米钢材做 A 部件，则应用(6－x)立方米做 B 部件.根据题意，列方程：3×40x = (6－x)×240.解得x = 4.则6－x = 2.共配成仪器：4×40=160 (套). 答：应用 4 立方米钢材做 A 部件， 2 立方米钢材做 B 部件，共配成仪器 160 套.填一填（1议一议（1）工作效率、工作时间（2）工作量=工作效率×工作时间例2 解：解：设乙需工作x天后甲再继续加工才可正好按期完成任务，则甲做了（12-x）天.依题意，得11(12) 1.2010x x-+=解得x=8. 答：乙需工作8天后甲再继续加工才可正好按期完成任务.想一想：解：设甲加工y天，两人如期完成任务，则在甲加入之前，乙先工作了(8-y)天.依题意，得18 1.2010y +=解得y =4. 答：乙需加工4天后,甲加入合作加工才可正好按期完任务.【针对训练】解：设要 x 天可以铺好这条管线，由题意得：11 1.1224x x +=解方程，得x = 8. 答：要8天可以铺好这条管线. 当堂检测1. 2×50x = 20(30－x)2.88++1182418x= 3. 解：设用 x 立方米的木材做桌面，则用 (10－x) 立方米的木材做桌腿.根据题意，得 4×50x = 300(10－x)，解得x =6，所以 10－x = 4，可做方桌为50×6=300(张). 答：用6立方米的木材做桌面，4立方米的木材做桌腿，才能使桌面、桌腿刚好配套，可做)+ 1.12xx =13+(3+) 1.24x =解得x = 13. 答：乙队还需13天才能完成．第三章 一元一次方程3.4 实际问题与一元一次方程第2课时 销售中的盈亏学习目标：1. 理解商品销售中的相关概念及数量关系.2. 根据商品销售中的数量关系列一元一次方程解决与打折销售有关的实际 问题，并掌握解此类问题的一般思路. 重点：掌握商品销售中成本（进价）、售价（卖价）、标价（原价）、利润、利润率、折扣等量之间的数量关系，知道销售中的盈亏取决于售价与成本之差.难点：能够通过自主分析，建立一元一次方程模型解决同类型问题，并掌握解此类问题 的一般思路.一、要点探究探究点：销售中的盈亏 合作探究：连一连：正确理解销售问题中的几个重要概念进价 也称成交价，是商店销售商品时的销售价格.标价 商店销售商品时所赚的钱. 售价 商店购进商品时的价格.利润 商店销售商品时标出的价格，也称定价. 填一填1. 商品原价200元，九折出售，卖价是 元.2. 商品进价是150元，售价是180元，则利润是 元，利润率是_____.3. 某商品原来每件零售价是a 元，现在每件降价10%，降价后每件零售价是 元.4. 某种品牌的彩电降价20%以后，每台售价为a 元，则该品牌彩电每台原价应为 元.5. 某商品按定价的八折出售，售价是12.8元，则原定售价是 元. 想一想：以上问题中有哪些量?你能说出它们之间的关系吗？要点归纳：销售问题中的常用数量关系：●售价、进价、利润的关系：商品利润= 商品售价－商品进价； ●进价、利润、利润率的关系：利润率=％商品进价商品利润100 ；●标价、折扣数、商品售价的关系：商品售价=标价×10折扣数； ●商品售价、进价、利润率的关系：商品售价=商品进价×（1+利润率）. 议一议：销售中存在盈亏，说一说销售盈亏中存在哪几种可能情况,并分别说明在该种情况下，售价与进价的大小.（1）盈利：售价 进价（填“＞”、“＜”或“=”），此时，利润 0（填“＞”“＜”或“=”）；（2）亏损：售价 进价（填“＞”、“＜”或“=”），此时，利润 0（填“＞”“＜”或“=”）；（3）不盈不亏：售价 进价（填“＞”、“＜”或“=”），此时，利润 0（填“＞”、 “＜”或“=”）.例1 一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?要点归纳：销售的盈亏取决于总售价与总成本之间的关系：总售价 ＞ 总成本时，盈利；总售价＜总成本时，亏损；总售价＝总成本时，不盈不亏.针对训练1.某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元. 其中一台盈利20%，另一台亏损20%.这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？2.某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%.请通过计算说明这次交易中的盈亏情况.例2某商品的零售价是900元，为适应竞争，商店按零售价打9折（即原价的90%），并再让利40元销售，仍可获利10%，求该商品的进价．方法归纳：利用一元一次方程解决销售问题时，熟练、准确地运用销售问题中常用的等量关系是解题的关键.针对训练1.某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍获利10%，则该商品的标价为元.2.我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品在2005年涨价30%后，2007降价70%至a元，则这种药品在2005年涨价前价格为元.二、课堂小结●售价、进价、利润的关系：商品利润= 商品售价－商品进价●进价、利润、利润率的关系：利润率=％商品进价商品利润100 ●标价、折扣数、商品售价的关系：商品售价=标价×10折扣数●商品售价、进价、利润率的关系：商品售价=商品进价×（1+利润率）1.某种商品的进价为每件a 元，零售价为每件90元，若商品按八五折出售，仍可获利10%，则下列方程正确的是（ ）A ．85%a=10%×90B ．90×85%×10%=aC ．85%(90-a)=10%D ．(1+10%)a=90×85%2.两件商品都卖120元，其中一件赢利25%，另一件亏本20%，则两件商品卖出后（ ） A ．赢利16元 B ．亏本16元 C ．赢利6元 D ．亏本6元3.某种商品因换季准备打折出售，如果按原定价的七五折出售，将赔25元，而按原定价的九折出售，将赚20元，则这种商品的原价是（ ） A ．500元 B ．400元 C ．300元 D ．200元4.某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售， 但又要保证利润率不低于5%，那么商店最多可打几折出售此商品？5.据了解个体商店销售中售价只要高出进价的20% 便可盈利，但老板们常以高出进价50%~100% 标价，假若你准备买一双标价为600元的运动鞋，应在什么范围内还价？参考答案课堂探究一、要点探究连一连：进价也称成交价，是商店销售商品时的销售价格.标价商店销售商品时所赚的钱.售价商店购进商品时的价格.利润商店销售商品时标出的价格，也称定价.填一填：1.1802. 30 20%3.0.9a4.1.25a5.16议一议：(1)＞＞（2）＜＜（3）= =解：设盈利25%的那件衣服的进价是x元，根据进价与得润的和等于售价列得方程：x+0.25x=60，解得x=48，类似地，设另一件亏损衣服的进价为y元，它的商品利润是-25%y元，列方程y+（-25%y）=60，解得y=80．那么这两件衣服的进价是x+y=128元，而两件衣服的售价为120元，120-128=-8元，所以这两件衣服亏损8元．【针对训练】1.解：设盈利20%的钢琴的成本为x元，x（1+20%）=960，解得x=800.设亏本20%的钢琴的成本为y元，y（1-20%）=960，解得y=1200.所以960×2-（800+1200）=-80，所以亏损80元．这次琴行亏本80元.2. 解：根据题意得：64-64÷（1+60%）+64-64÷（1-20%）=64-40+64-80=8（元）．所以这次交易盈利8元.设盈利60%的计算器的成本为x 元，x （1+60%）=64，解得x=40.设亏本20%的计算器的成本为y 元，y （1-20%）=64，解得y=80.所以64×2-（40+80）=8（元），所以这次交易盈利8元．解：设该商品的进价为每件 x 元，依题意，得 900×0.9－40＝10% x ＋x ， 解得x ＝700.答：该商品的进价为700元．【针对训练】1.2722.5 2.10039a 当堂检测1. D2.D3.C4.解：设商店最多可以打x 折出售此商品，根据题意，得15001000(15).10x ⨯=+％ 解得x = 7. 答:商店最多可以打7折出售此商品.5. 解：答：应在360元~480元内还价.。

设火车速度为xm/s
过桥问题
尾 1000m 头
尾
头
60s
1000m
40s 尾 头 尾 头
40s
思考：
题中涉及到哪些数量关系和相等关系？ ① 火车长度不变 ② 火车行驶的路程=火车的速度×时间
过桥问题
例4 已知某铁路桥长1000米，今有一列火车从桥上通过，测 得火车从开始上桥到完全过桥共用1分钟，整列火车完全在桥 上的时间是40秒，求火车的速度和长度？
思考：
题中涉及到哪些数量关系和相等关系？ ① 通讯员行驶xh的路程－学生行驶xh的路程=学生18 分钟走的路程 ② 通讯员行驶的路程=通讯员的速度×时间 ③ 学生行驶的路程=学生的速度×时间
追及问题
例3 一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5km/h的速度 行进，走了18min的时候，学校要将一个紧急通知传给队 长．通讯员从学校出发，骑自行车以14km/h的速度按原路追 上去，通讯员用多长时间可以追上学生队伍？
思考：
解：（2）设两车行驶了yh后相遇． 根据题意，得 25 （2）题中涉及到哪些数量关系和相等关系？ 48 y 72 y 72g 480 60 ① 慢车行驶 yh 的路程 + 快车行驶 yh 的路程 48 y 72 y 480 + 快车行驶 30 解方程得 25min的路程=总路程 y 3.75 ② 慢车行驶的路程=慢车的速度×时间 ③ 快车行驶的路程 =快车的速度×时间 答：两车开出后 3.75h后相遇．
归纳总结：
解决过桥问题，应尽可能的利用数形结 合的思想，画出示意图． 相等关系： 火车长度不变 火车速度不变
小试身手：
甲乙两站相距480km，一列慢车从甲站开出，每小时行 驶90km，一列快车从乙站开出，每小时行驶140km． （1）若慢车先开1h后，快车再开出，两车相向而行， 则快车开出多少小时后两车相遇？ （2）若两车同时开出，且同向而行，快车在慢车的后 面，则多少小时后追上慢车？ （3）若慢车先开出1h，快车再开出，两车同向而行， 快车在慢车后面，则快车开出多少小时后追上慢车？

一、概述1. 介绍一元一次方程的定义和基本形式2. 引出本文将要讨论的内容二、一元一次方程的八种类型1. 类型一：简单应用题1）例题：小明买了一些苹果，一共花了20元，每个苹果2元，问他买了多少个苹果？2）解法：设苹果的数量为x，根据题意可列出方程2x=20，解得x=10。

2. 类型二：两个未知数的应用题1）例题：甲乙两地相距180公里，相对而行，甲地的时速是每小时30公里，问几小时能相遇？2）解法：设相遇时间为t小时，甲地行驶的距离为30t，乙地行驶的距离为180-30t，根据题意可列出方程30t+30t=180，解得t=3。

3. 类型三：含有括号的应用题1）例题：一个数比8大，乘以3再减去2的结果是20，问这个数是多少？2）解法：设这个数为x，根据题意可列出方程3(x-8)-2=20，解得x=18。

4. 类型四：含有分数的应用题1）例题：某数的1/3等于它的2/5减去3，问这个数是多少？2）解法：设这个数为x，根据题意可列出方程1/3=2/5-3，解得x=-9。

5. 类型五：含有小数的应用题1）例题：一块钢铁的重量是另一块的3/5，如果重量相差5.2公斤，问两块钢铁的重量各是多少？2）解法：设较重的钢铁重量为x，根据题意可列出方程x-x*3/5=5.2，解得x=13。

6. 类型六：含有分母的应用题1）例题：一个数加上15的4/5等于这个数的3/4，问这个数是多少？2）解法：设这个数为x，根据题意可列出方程x+15=3x/4，解得x=60。

7. 类型七：字母表示未知数的应用题1）例题：甲乙两个数的和是50，甲是乙的2倍，问甲乙两个数各是多少？2）解法：设甲的数为x，乙的数为y，根据题意可列出方程x+y=50和x=2y，解得x=40，y=10。

8. 类型八：几何问题转化为一元一次方程1）例题：一个三角形的底边长度是两腿长度的和的2倍，底边长8米，腿长是多少？2）解法：设腿长为x，根据题意可列出方程2x+x=8，解得x=4。

用一元一次方程解决实际问题知识点归纳知识框架用一元一次方程解决实际问题步骤：1、设未知数2、找等量关系3、列一元一次方程4、解一元一次方程5、检验，求解的结果是否符合实际意义，此步骤是正确求解的重要环节。

例题例1 333，共做了多少张桌子？例2 某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一局部人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．•每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．假设此车间一共获利1440元，•求这一天有几个工人加工甲种零件．例3 某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，某种旅游鞋每双进价为60元，八折出售后，商家所获利润率为40%。

问这种鞋的标价是多少元？优惠价是多少？例4 某地区居民生活用电根本价格为每千瓦时0.40元，假设每月用电量超过a千瓦那么超过局部按根本电价的70%收费．〔1〕某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a．〔2〕假设该用户九月份的平均电费为0.36元，那么九月份共用电多少千瓦？•应交电费是多少元？例5 某汽车对运送一批货物，每辆汽车装4吨还剩下8吨未装，每辆汽车装4.5吨就恰好装完，该车队运送货物的汽车共有多少辆？例6 假设A 、B 两站间的路程为500km, 甲速20km/h,乙速为30km/h ，〔1〕甲乙两车分别从A 、B 两地同时出发,相向而行，几小时后两车相遇？(2)快车先开出30分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇〔3〕甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发,相向而行，问经过多少小时他们相距100km ？ 〔4〕甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发,同向而行，问经过多少小时他们相距100km ？例7 运动场跑道400m,小红跑步的速度是爷爷的35倍,他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发,5分钟后小红第一次追上了爷爷.你知道他们的跑步速度吗？〔1〕几分钟后小红与爷爷第二次相遇？〔2〕如果小红追上爷爷后立即转身沿相反方向跑，几分钟后小红又一次与爷爷相遇？例8 某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，假设在市场上直接销售，每吨利润为1000元，•经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是： 如果对蔬菜进展精加工，每天可加工16吨，如果进展精加工，每天可加工6吨，•但两种加工方式不能同时进展，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进展粗加工．方案二：尽可能多地对蔬菜进展粗加工，没来得及进展加工的蔬菜，•在市场上直接销售．方案三：将局部蔬菜进展精加工，其余蔬菜进展粗加工，并恰好15天完成．你认为哪种方案获利最多？为什么？练习1．某同学在暑假里给同学寄了2封信和一些明信片，一共花了元，每封信的邮费为元，每张明信片的邮费为元。

1.掌握商品销售中的进价、售价、利润、利润率、打折等概 念.(重点) 2.能用一元一次方程解决商品销售问题.(重点、难点)
一件商品的进价是100元，现以标价125元的价格出售，这
一买卖的利润是几元？利润率是多少？若为尽快售出商品，按
标价打八折出售，这时售价为多少元？
利润=_1_2_5_-_1_0_0_=25,利润率= 125 100 ×100%=25%,售价1ຫໍສະໝຸດ 0=125× 8 =100.
10
【归纳】(1)利润=售价_-_进价. (2)当售价_>_进价时，盈利；当售价_<_进价时，亏损；
当售价=进价时，不赔不赚.
(3)商品的利润率=
商品的利润 商品的进价
100%
售价 进价 商品的进价
100%.
(4)商品的售价=标价× n(n为打折数).
10
(打“√”或“×”) (1)一件商品打8折，就是比原价少了80%.( × ) (2)进价5元的笔记本，售价6元，利润是1元.( √ ) (3)一种原价50元的书包，降价10%后的售价是40元.( × ) (4)两件售价均为30元的商品，一件盈利5元，另一件亏损5元， 则两件商品总体来说不赔不赚.( √ )
知识点 经营问题中的一元一次方程 【例】一家服装店将某种服装成本提高40%后标价，又以八折 优惠卖出，结果每件仍可获利15元，这种服装每件的成本是多 少元？ 【思路点拨】设每件的成本是x元→提高40%后的标价→八折 后的售价→相等关系：售价=成本+利润→列方程→求解作答
【自主解答】设此服装每件的成本是x元， 根据题意，得0.8(1+40%)x=x+15. 解得x=125. 答：这种服装每件的成本是125元.
【总结提升】正确理解销售问题中的几个重要概念 1.进价：商店购进商品时的价格. 2.标价：商店销售商品时标出的价格，也称定价. 3.售价：也称成交价，是商店销售商品时的销售价格. 4.利润：商店销售商品时所赚的钱.

解：设乙车间原有 x 人，则甲车间原有(x＋100)人， 由题意得，x＋100＋50＝3(x－50)， 解方程，得 x＝150． 故甲车间原有人数为：150＋100＝250． 答：乙车间原有 150 人，甲车间原有 250 人．
13．如图，宽为 50 cm 的长方形图案由 10 个相同的小长方 形拼成，求其中一个小长方形的面积．
解决这类问题的关键是先通过对实际问题进行分析，找出相 等关系，再设未知数列方程求解．
本节课，主要对这几种类型的题目进行复习巩固，进一步 提高同学们分析和解决问题的能力．
类型一、配套问题与工程问题 1．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身 25 个，或制盒
底 40 个，一个盒身与两个盒底配成一套．现在有 36 张白铁皮， 用多少张制盒身，多少张制盒底，可使盒身与盒底正好配套？
（1）现有两种购买方案： ①分两次购买，第一次购买 240 件，第二次购买 460 件； ②一次性购买 700 件． 问哪种购买方案费用较省？省多少元？说明理由． （2）若该客户分两次购买该商品共 700 件（第二次多于第一 次），共付费1 860元，则第一次、第二次分别购买该商品多少件？
解：（1）购买方案②费用较省，理由如下： 购买方案①所需费用为： 3×240＋2.5×460＝720＋1 150＝1 870（元）； 购买方案②所需费用为：2×700＝1 400（元）． 因为1 870＞1 400，1 870－1 400＝470（元）， 所以购买方案②费用较省，省470元．
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类型三、比赛积分问题与行程问题
5．某市今年公务员录用考试是这样统计成绩的：综合成绩＝笔试
成绩×60%＋面试成绩×40%．王小明的笔试成绩是 82 分，他的竞争
对手的笔试成绩是 86 分，王小明要使自己的综合成绩追平竞争对手，