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第二章有限元分析基础有限元分析是一种常用的工程计算方法，在工程学科中被广泛应用。
本章将介绍有限元分析的基本概念和基础知识。
有限元分析是一种数值分析方法，用于求解复杂的物理问题。
它的基本思想是将一个连续的物体或结构离散化为有限数量的基本单元，通过在每个单元上进行计算，最终得到整个物体或结构的行为。
这些基本单元通过节点连接在一起，形成了一个有限元网格。
通过在每个节点上求解方程，可以得到整个物体或结构的应力、变形等相关信息。
在有限元分析中，有三个重要的步骤：建模、离散和求解。
建模是指将实际物体或结构转化为数学模型的过程。
在建模过程中，需要确定物体或结构的几何形状、边界条件和力学性质等。
离散是指将物体或结构划分为有限数量的基本单元。
常用的基本单元有三角形、四边形和六面体等。
离散过程中需要确定每个基本单元的几何属性和材料性质等。
求解是指在离散的基础上，通过求解节点上的方程，得到物体或结构的应力、变形等结果。
求解过程中，需要确定节点的位移和应变等参数。
有限元分析的基本假设是在每个基本单元内，应力和应变满足线性关系。
这意味着在小变形和小位移的情况下，有限元分析是有效的。
此外，为了提高计算精度，通常会增加更多的基本单元。
但是，增加基本单元数量会增加计算复杂度和计算时间。
因此，在实际应用中，需要根据问题的复杂程度和计算资源的限制进行权衡。
有限元分析广泛应用于各个领域，例如结构力学、热传导、电磁场、流体力学等。
在结构力学中，有限元分析可以用于求解静力学和动力学问题。
在热传导中，有限元分析可以用于求解温度分布和热流问题。
在电磁场中，有限元分析可以用于求解电荷和电场分布等。
在流体力学中，有限元分析可以用于求解流速和压力分布等。
总之，有限元分析是一种重要的工程计算方法，可以用于求解各种物理问题。
通过建模、离散和求解等步骤，可以得到物体或结构的应力、变形等结果。
有限元分析在工程学科中有着广泛的应用前景，对于工程设计和优化起着重要作用。
第2章有限元法基础第1节有限单法的形成一、有限元法的形成在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。
其中的第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。
例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。
我们把这类问题，称为离散系统。
尽管离散系统是可解的，但是求解这类复杂的离散系统，要依靠计算机技术；第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。
例如弹性力学问题、热传导问题和电磁场问题等。
由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为连续系统。
尽管已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确解答。
对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答。
为解决这个困难，工程师们和数学家们提出了许多近似方法。
在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结果，即有限元法。
有限元法的形成可以追溯到二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。
从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。
1956年M.J.Turner，R.W.Clough，H.C.Martin，L.J.Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。
他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。
1954—1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。
1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（finite element）这一术语。
数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法、变分原理和加权余量法。
有限元分析基础的心得体会有限元分析是一种广泛应用于工程领域的数值分析方法，它通过将复杂的连续体问题转化为离散的网格问题，利用数值计算的手段求解出结构的应力、变形等物理量。
在我学习有限元分析的过程中，我深感其重要性和应用的广泛性，同时也有一些心得体会。
首先，深入理解基本原理是学习有限元分析的关键。
有限元分析涉及到许多数值计算和结构力学的理论知识，我发现只有对这些基本原理进行深入理解，才能更好地应用有限元分析方法去解决实际工程问题。
掌握有限元分析的数学模型，了解其假设和适用范围，能够更好地选择合适的网格划分和边界条件，并对分析结果进行正确的解释。
其次，熟练掌握有限元分析软件是必要的。
有限元分析软件作为一种工具，能够帮助我们快速建立结构模型、进行网格划分和求解。
熟练使用有限元分析软件不仅可以提高工作效率，还可以减少人为操作失误，得到更准确的分析结果。
在使用有限元分析软件的过程中，我发现学习软件的使用手册、参加培训课程和进行实际的案例分析对于掌握软件的功能和特点非常有帮助。
此外，建立合适的模型是有限元分析的关键。
在实际工程问题中，模型的准确性和合理性对于有限元分析的结果至关重要。
首先，需要对结构进行合理的简化和假设，以减少网格数量和计算复杂度。
其次，需要根据结构的特点选择合适的网格划分方法，以保证网格在结构中的分布均匀且能够充分考虑应力集中区域。
最后，根据实际工程问题的需要，确定边界条件和加载方式，确保分析结果符合实际情况。
最后，有限元分析需要结合实际工程问题进行应用。
虽然有限元分析是一种理论和计算方法，但其最终目的是为了解决实际工程问题。
在实际工程中，需要针对不同的材料性质、加载条件和约束要求，对结构进行合理的建模和分析。
对于复杂的工程问题，可以通过改变边界条件、加载方式和结构尺寸等参数，进行敏感性分析和优化设计，以找到最优的解决方案。
总结来说，学习有限元分析需要深入理解基本原理、熟练掌握分析软件、建立合适的模型和结合实际工程问题进行应用。
有限元基本要求
有限元分析是一种重要的工程分析方法，它可以模拟复杂的结构和物理现象。
在学习有限元分析之前，需要掌握以下基本要求：
1. 数学基础：有限元分析涉及到大量的数学知识，如线性代数、微积分、偏微分方程等。
因此，需要有扎实的数学基础。
2. 机械力学基础：有限元分析主要用于工程结构力学问题的求解，因此需要了解基本的机械力学知识，如静力学、动力学、材料力学等。
3. 编程基础：有限元分析通常需要使用计算机进行求解，因此需要有一定的编程基础。
常用的有限元软件如ANSYS、ABAQUS等也需要掌握。
4. 有限元方法基础：需要了解有限元方法的基本原理、离散化方法、单元类型、形函数等基本概念。
5. 实践能力：通过实践应用，掌握有限元分析方法的具体操作和应用技巧，能够有效地解决实际工程问题。
以上是学习有限元分析的基本要求，只有掌握了这些基本知识和技能，才能在实践中灵活应用、解决复杂的工程问题。
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2 有限元法的基本原理2.1有限元简介有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。
由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。
并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。
在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。
如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。
线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。
非线性问题与线弹性问题的区别：1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；2）非线性问题不能采用叠加原理；3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。
有限元求解非线性问题可分为以下三类：1）材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。
由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。
在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。
当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。
研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。
1.什么是等参数单元？（教材）坐标变换和单元内的场函数采用相同数目的节点参数及相同的插值函数，这种变换方法是等参数变换，这种变换方式能满足坐标变换的相容性，采用等参数变换的单元称之为等参数单元。
2.等参数单元的特点、基本条件、划分单元应注意的问题（教材习题）3.应用等参数单元时为什么要采用高斯积分，高斯积分点的数目如何确定？（教材习题）4.薄板弯曲问题的基本假设是什么？（其他参考书）（1）板弯曲钱垂直于中面的法线，在板弯曲后保持为直线，并垂直于弯曲后的中面。
（2）板面各水平层之间相互挤压（3）薄板受垂直于中面的载荷时可以为中间层各点设有平行于板面的位移.5.位移插值必须满足的三个条件：（教材）（1）位移插值函数应能满足单元的刚体位移（2）位移插值函数应能反映常量应变——常应变准则（3）位移插值函数应能保证单元内及相邻单元间位移的连续性——变形协调准则6.什么是轴对称问题？（其他参考书）：轴对称物体的形变及应力分布不一定是轴对称的，只有当约束和载荷都对称于旋转轴时，轴对称物体的变形及应力分布才是轴对称的。
我们把满足上述条件的系统应力分析问题称为轴对称问题。
（教材）：如果弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外力，都是绕某一轴对称的，则弹性体的应力、应变和位移也就对称于这一轴，这种问题称为轴对称问题。
7.刚度矩阵性质(总刚)：（1）对称性，关于正对角线对称（2）稀疏性，矩阵中有大量的零元素（3）带状分布，矩阵中非零元素在主对角线两侧呈带状分布10.形函数的性质。
(教材)（1）单元内任一点的三个形函数之和恒等于1，即Ni+Nj+Nm=1.(2)在节点i:Ni=1,Nj=0,Nm=0在节点j:Ni=0,Nj=1,Nm=0在节点m:Ni=0,Nj=0,Nm=111. 有限元法的特点（其他参考书）（1）概念清楚，容易理解（2）适应性强，应用范围广。
（3）有限元法采用矩阵形式表达，便于编制计算机程序，可以充分利用数字计算机的优势。
有限元分析基础第一章有限元法概述在机械设计中，人们常常运用材料力学、结构力学等理论知识分析机械零构件的强度、刚度和稳定性问题。
但对一些复杂的零构件，这种分析常常就必须对其受力状态和边界条件进行简化。
否则力学分析将无法进行。
但这种简化的处理常常导致计算结果与实际相差甚远，有时甚至失去了分析的意义。
所以过去设计经验和类比占有较大比重。
因为这个原因，人们也常常在设计中选择较大的安全系数。
如此也就造成所设计的机械结构整体尺寸和重量偏大，而局部薄弱环节强度和刚度又不足的设计缺陷。
近年来，数值计算机在工程分析上的成功运用，产生了一门全新、高效的工程计算分析学科——有限元分析方法。
该方法彻底改变了传统工程分析中的做法。
使计算精度和计算领域大大改善。
§1.1 有限元方法的发展历史、现状和将来一，历史有限元法的起源应追溯到上世纪40年代（20世纪40年代）。
1943年R.Courant从数学的角度提出了有限元法的基本观点。
50年代中期在对飞机结构的分析中，诞生了结构分析的矩阵方法。
1960年R.W.Clough在分析弹性力学平面问题时引入了“Finite Element Method”这一术语，从而标志着有限元法的思想在力学分析中的广泛推广。
60、70年代计算机技术的发展，极大地促进了有限元法的发展。
具体表现在：1）由弹性力学的平面问题扩展到空间、板壳问题。
2）由静力平衡问题——稳定性和动力学分析问题。
3）由弹性问题——弹塑性、粘弹性等问题。
二，现状现在有限元分析法的应用领域已经由开始时的固体力学，扩展到流体力学、传热学和电磁力学等多个传统的领域。
已经形成了一种非常成熟的数值分析计算方法。
大型的商业化有限元分析软件也是层出不穷，如：SAP系列的代表SAP2000（Structure Analysis Program）美国安世软件公司的ANSYS大型综合有限元分析软件美国航天航空局的NASTRAN系列软件除此以外，还有MASTER、ALGO、ABIQUES、ADINA、COSMOS等。
三，将来有限元的发展方向最终将和CAD的发展相结合。
运用“四个化”可以概括其今后的发展趋势。
那就是：可视化、集成化、自动化和网络化。
§1.2 有限元法的特点机械零构件的受力分析方法总体说来分为解析法和数值法两大类。
如大家学过的材料力学、结构力学等就是经典的解析力学分析方法。
在这些解析力学方法中，弹性力学的分析方法在数学理论上是最为严谨的一种分析方法。
其解题思路是：从静力、几何和物理三个方面综合考虑，建立描述弹性体的平衡、应力、应变和位移三者之间的微分方程，然后考虑边界条件，从而求出微分方程的解析解。
其最大的有点就是，严密精确。
缺点就是微分方程的求解困难，很多情况下，无法求解。
数值方法是一种近似的计算方法。
具体又分为“有限差分法”和“有限元法”。
“有限差分法”是将得到的微分方程离散成近似的差分方程。
通过对一系列离散的差分方程求解，得到最终的力学问题近似解。
其优点就是：计算简单收敛性好。
缺点是：计算程序无法标准化，在不能获得整个问题的微分方程时，该方法不能运用。
由于其是将微分方程转为差分方程，所以它是一种数学近似。
“有限元法”的基本思想就是“先分后合”或者“化整为零，又积零为整”。
与有限差分不同，它是在力学模型上进行近似处理，也就是（分块近似）。
具体做法：把连续体模型转为由有限个单元组成的离散体模型，离散体模型之间通过一些节点联系。
对于每一个离散体个体选择简单的函数近似表示其中的物理变化规律（如位移等），运用力学方程推导单元的平衡方程组，然后集合所有的方程组形成表征整体结构的方程组，引入边界条件，求取最后问题的解。
优点：概念清晰、易于学习理解，适用性强，便于电算化。
缺点：计算精度受单元划分的影响较大。
§1.3 有限元分析的一般过程为了能够了解有限元分析的全貌，我们就一个简单的例子，来分析一下有限元分析的三个过程：结构离散化、单元分析、整体分析。
一，结构离散化在该阶段中，要完成把连续结构的力学模型转变为离散的力学模型。
处理的好坏，直接影响到最后分析结果的正确与否、计算的精度和计算的效率。
根据模型的传力特性和分析的目标，正确选择单元类型。
通常单元分为：一维单元、二维单元和三维单元。
所谓一维单元就是指所求物理量仅随一个坐标变量而变化的单元。
如桁架、平面刚架和空间刚架单元。
一维单元：杆单元、梁单元。
二维单元：三角形单元、四边形单元（平面类问题）三维单元：四面体单元、六面体单元等（空间问题）计算精度和计算效率：取决于单元划分的形状、大小和分布状况。
通常单元愈多、愈密集，计算精度愈高，但计算效率愈低。
有限元分析工作就是要在精度和效率两者之间做到有机的统一。
二，单元分析进行单元分析的目的是为了到处表征单元力学特性的“单元刚度矩阵”。
一般说来该过程有三种方法：1，直接法。
2，虚功原理法（变分法）。
3，加权余数法。
直接法概念浅显，易于理解物理含义。
变分法需要泛函的数学知识，其推导过程具有严谨的数学概念。
加权余数法适用于泛函不存在的应用范围。
本教材将运用虚功原理方程结合弹性力学和材料力学中的知识来推求几种常见单元的单刚计算公式。
现在先看一个简单的阶梯轴的轴向拉伸问题例：如图所示的变截面直杆，受拉力P，运用有限元方法分析其变形。
由于杆的两个端点节点1、2是单元上的点，所以它们应该满足上述方程。
节点1，x 1=0，∴u 1=a 0+a 1×0=a 0节点2，x 2=l ，∴u 2=a 0+a 1×l a 1=(u 2-u 1)/l 将求出的结果带入方程并整理，就得：[][]{}eN u u N N u lxu l x x l u l u u u δ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=2121211211式中：N 1、N 2是形函数 [N]形函数矩阵{δ}e 节点位移向量 由位移与应变的关系知道：dxdudx u du u =-+=ε 将上面推出的位移表达式代入，可得：[]{}{}{}[]{}eee eB l l l l x lx dx d N dx d dx du dx u du u δδδδε=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-===-+=11 上式中的[B]称为应变矩阵或几何矩阵。
运用材料力学中的虎克定律，可以将应变和应力联系起来。
单向应力状态的虎克定律为[]{}[]{}ee S u u l E lEB E E δδεσ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-===21 ×× 其中[S]称为应力矩阵。
利用虚功方程可以建立力与位移之间的关系，也就是单刚方程。
在后面我们将会推导出它的一般形式如下：{}[]{}e e e K F δ=式中：{F}e 为单元节点力向量，对我们这个例子应为[U 1 U 2]T 。
[K]e 为单元刚度矩阵。
后面将推导出它的计算公式为[][][][]dV B D B K vT e⎰=[D]矩阵是弹性矩阵。
对于一维单元来说，就是E 。
所以我们这儿讨论的例题：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎰111111110l EA Adx l l E l l K l e求得单刚矩阵，也就完成了单元分析。
总结单刚矩阵推导的步骤，应该分为四步：1） 假定单元内位移变化的近似规律，即选择位移模式。
2） 运用几何关系，推求位移与应变的关系。
3） 应用物理规律，把应变与应力联系起来。
4） 运用虚功方程的力与位移关系，求出单刚矩阵。
单元分析是整个有限元分析的核心。
不同的单元因为其力学特性不同，而具有不同的单元刚度矩阵，我们这本教材就是要学习几种常用单元矩阵的推导和计算。
了解各种单元的力学特性，为以后选择单元类型打好基础。
三，整体分析1， 由各单元刚度矩阵组集成整个结构的总刚度矩阵。
[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111111l EA K []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111222l EA K 整个结构有三个节点，首先将单元刚度矩阵扩充为3X3的矩阵，移动各元素使之与单刚矩阵中的元素位置相对应，如下：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000011011111l EA K []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=110110000221l EA K 然后直接相加。
[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+--=222222221111110110l EA l EA l EA l EA l EA l EAl EA l EA K 2， 把各单元的节点力向量组集成总的节点载荷向量。
⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=00P R3， 根据边界条件，修改总刚度矩阵，获得总刚方程组。
边界条件修改之前的总刚方程：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧32122222222111111011000u u u l EA l EA l EA l EA l EA l EA l EA l EA P 修改以后（采用置“0，1”法）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧32122111111100011000u u u l EA l EA l EA l EA l EA P 4， 求解方程组，得出总的节点位移向量。
解得的解是：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧022*******EA Pl EA Pl EA Pl u u u 有了节点位移，再回代到前面单元推导过程中的公式×和××，就可以求得每个单元的应变和应力了。
从这个简单的例子，我们了解了有限元法求解力学问题三大步骤中的内容，想必很多同学会说，这样复杂，如果运用材料力学的知识，我还来得快些。
但是大家不要忘记，有限元的计算很多都是编程完成，而且现在很多的商业软件都已经完成了很多的工作。
我们学习有限元主要是了解它的原理，并对常见单元的力学特性有所了解，这样对于以后运用有限元起到帮助作用。
所以下面章节的内容，就是围绕这个主题展开。
要达到这个目的，我们还必须学习必要的弹性力学知识。
对弹性力学知识的学习，也对我们以后把握问题的本质有帮助。
第二章平面问题平面问题在力学研究的课题中属弹性力学的范畴。
该类问题不仅本身具有典型性，而且在机械零构件的分析中，也是应用得非常广泛。
所以这类问题也称之为经典的力学问题。
我们知道，实际的机械零构件都是具有三维空间尺寸的物体，理应作为三维对象处理，但是当物体的几何形状和受力状态处于某些特定的情况下，近似地简化为平面问题，不仅可以大大简化计算的工作量，而且其精度也完全能够满足所要求。
如：直齿圆柱齿轮可在垂直与孔轴线的截平面内作平面应力分析就足以了解整个齿轮的受力状态；大坝的横断面可作平面应变分析来了解整个大坝受力情况等。
