应用题——利用线段图解决及倍差倍问题

《运用线段图解决和差倍问题》教学设计广州市天河区华景小学尤学武范美容林慕燕马伟豪教学内容：运用线段图解决和差倍问题教材分析：和差倍应用题是中年级数学课本后面的思考题，安排得比较分散，如果按教材出现一题讲解一题，就题说题的话，学生只会被动接受，缺乏自主探究的过程，感悟不了“和差倍”这种典型问题的结构特点，掌握不了这类问题的解题方法，我们认为采用适当归类、集中教学的方式组织学生学习，将会起到事半功倍的作用。

因此，本节课在学生已有的对两数倍数关系的理解基础上，把小学中年级关于“和差倍”问题的思考题归类教学，掌握“和差倍”问题的解题方法，并让学生学会用画线段图的方法帮助自己理解数量关系，为学生在高年段学习应用题打下方法基础。

学情分析：和差倍问题思考题的文字叙述比较抽象，数量关系比较复杂，中年级小学生的思维又处于具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，对于一些抽象问题理解起来困难较大。

如果教师一味的从字面去分析题意，用语言来表述数量关系，虽然老师讲的口干舌燥，学生却难以理解掌握，事倍功半。

即使是学生理解了，也只是局限于会做某个题目而已。

线段图在小学数学应用题教学特别是和差倍问题中起到了奇妙的作用，它可以帮助学生轻松、愉快的学会分析和解答复杂关系的和差倍应用题，既培养了学生的能力，又促进了学生思维的发展，所以运用线段图解决和差倍问题是行之有效的教学方法。

教学目标：1、掌握简单的和倍、差倍、和差应用题的解题方法并能正确解答。

2、学会借助线段图理解和差倍应用题的数量关系，掌握画线段图的分析数量关系的方法。

3、通过数与形有机地结合，让学生经历从抽象的文字到直观的再创造，能调动学生思维的积极性，提高他们分析和解决问题的能力。

教学重点：借助线段图理解和倍、差倍、和差应用题的结构特点和数量关系，并能正确解答。

教学难点：理解和倍、差倍、和差应用题的数量关系。

教学过程：一、复习铺垫，情景引入1、情景导入：为了迎接亚运会的到来，园林工人叔叔要用黄菊花和白菊花装饰一个花圃，在装饰的过程中，他们遇到了一些数学问题，你们能帮帮他们吗？（设计意图：结合亚运的元素，对学生进行爱我广州的教育，提高学生的学习兴趣，体现数学的应用价值。

典型应用题（二）：和倍差问题和差问题【例1】某粮店购进大米和面粉共24吨，已知大米比面粉多6吨。

这个粮店购进大米和面粉各多少吨？思路引导大米和面粉共24吨，大米比面粉多6吨，如果给面粉添上6吨，总质量为（24＋6）吨，正好是大米质量的2倍，可以用除法求出大米的质量。

同样的道理，把大米质量减去6吨，这时的总质量为（24－6）吨，正好是面粉质量的2倍。

正确解答：解法一：大米：（24＋6）÷2＝15（吨）面粉：24－15＝9（吨）解法二：面粉：（24－6）÷2＝9（吨）大米：24－9＝15（吨）答：这个粮店购进大米15吨，面粉9吨。

解答和差问题的关键：首先找出两个数的和是多少，然后找出这两个数的差是多少，再用两数和加上两数差等于大数的2倍，可求出大数，或者用两数和减去两数差等于小数的2倍，可求出小数。

如果以上两数和或两数差没有直接给出，必须根据已知条件先求出来。

【变式1】甲、乙两班共有学生98人，从甲班调出4人到乙班后，两班人数相等。

两班原来各有多少人？和倍问题【例2】甲班和乙班共有图书160本。

甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？思路引导设：乙班的图书本数为1倍数，则甲班图书为3倍数，那么甲班和乙班图书本数的和是4倍数。

4倍数的数量是160本，可以求出1倍数，即乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数。

下图表示它们的关系：正确解答：160÷（3＋1）＝40（本）乙班40×3＝120（本）或160－40＝120（本）甲班答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。

为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。

【变式2】南京长江大桥是长江上第一座由我国自行设计和建造的双层式铁路、公路两用桥，它的主桥比南昌八一大桥主桥长得多，这两座桥主桥共长5630米。

两座大桥的主桥各长多少米？差倍问题【例3】甲班的图书本数比乙班80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？思路引导如图：把乙班的图书本数看作1倍数，则甲班的图书本数是3倍数，那么甲班的图书本数比乙班多2倍数。

⼩学应⽤题和倍差倍问题练习详细讲解⼩学应⽤题和倍差倍问题和倍问题是已知两个数的和与两个数间的倍数关系,求这两个数分别是多少的应⽤题。

要想顺利地解答和倍应⽤题,最好的⽅法就是根据题意,画出线段图,使数量关系⼀⽬了然,从⽽正确列式解答。

解答和倍问题,关键是找出两数的和以及与其对应的倍数和,从⽽先求出1倍数,再求出⼏倍数,数量关系是:两数和÷(倍数+1)=⼩数(1倍数)⼩数×倍数=⼤数(⼏倍数)两数和⼀⼩数=⼤数已知两个数量的差,与这两个数量之间的倍数关系,求这两个数量各是多少的应⽤题叫差倍问题解答差倍问题与解答和倍问题常⽤的分析⽅法类似,都是要在已知的条件中确定⼀个数为标准数(即1倍数),再根据其他的数与这个较⼩数(1倍数)的倍数关系,确定两数的差相当于这样的多少倍(份)即⼏倍数,就可以求出1倍数(较⼩数),再算出其他各数。

因此,我们仍然可以根据已知条件和问题画线段图使数量关系⼀⽇了然,差倍问题的数量关系式是:两数差÷(倍数-1)=⼩数(1倍数)⼩数×倍数=⼤数(⼏倍数)或较⼩数+差=较⼤数。

例题精讲例1有两个仓库共存货物360吨,已知甲仓库所存货物是⼄仓库的2倍,甲、⼄两个仓库各存货物多少吨分析:根据题中“甲仓库所存货物是⼄仓库的2倍”这⼀条件,确定⼄仓库所存货物量为标准数(即1倍数),那么甲仓库所存货物就是2倍数,甲、⼄两仓库的倍数和就是(2+1);正好是两仓库所存货物总数即360吨,就可求出1倍数的存货量,⽤线段图表⽰为解:(1)甲、⼄两个仓库共存货物是⼄仓库的多少倍2+1=32)⼄仓库存货物多少吨360÷3=120(吨)(3)甲仓库存货物多少吨120×2=240(吨)或36 240(吨)综合算式：甲仓库:360÷(2+1)×2=240(吨)或360-360÷(2+1)=240(吨)⼄仓库:360÷(2+1)=120(吨答:甲仓库存货物240吨,⼄仓库存货物120吨。

小学奥数趣味学习《差倍问题》典型例题及解答已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

数量关系：两个数的差÷（几倍－1）=较小的数较小的数×几倍=较大的数解题思路和方法：简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例题1：莉莉的科技书比故事书多16本，科技书是故事书3倍，莉莉有科技书（）本。

A、8B、12C、16D、24解：1、解决差倍问题，可以画线段图解决，也可以直接套用公式解决。

2、把故事书的本数看作1倍数，科技书的本数就是3倍数，科技书比故事书多16本，所以根据差倍公式两个数的差÷（几倍－1）=较小的数，可以求出故事书有16÷2=8本。

3、根据差倍公式较小的数×几倍=较大的数，可以求出科技书有8×3=24本。

例题2：甲桶油是乙桶油4倍，如果从甲桶倒出15千克给乙桶，两桶油的重量就相等了，则原来甲桶有油 ____ 千克，乙桶有油 ____ 千克。

解：1、根据题意，从甲桶倒出15千克给乙桶，两桶油的重量就相等了，说明原来甲桶油比乙桶油多15×2=30（千克）。

2、根据差倍公式两个数的差÷（几倍-1）=较小的数，可以求出乙桶有油30÷（4-1）=10（千克）。

3、根据差倍公式较小的数×几倍=较大的数，可以求出甲桶原有油10×4=40（千克）。

例题3：每件成品需要5个甲零件，2个乙零件。

开始时，甲零件的数量是乙零件数量的2倍，加工了30个成品之后甲零件和乙零件的数量一样多，那么还可以加工 _____ 个成品。

解：1、加工一个成品，甲零件比乙零件多用5-2=3（个），加工30个成品，甲零件比乙零件多用3×30=90（个）。

根据“加工了30个成品之后甲零件和乙零件的数量一样多”说明原来甲零件比乙零件多90个。

2、把乙原来的零件数看成1倍，甲就是这样的2倍，甲比乙多1倍，对应90个，求出乙原来有90÷（2-1）=90（个）3、那么甲原来有90×2=180（个）零件。

差倍应用题与和倍应用题相似的是差倍应用题。

它的“基本数学格式”是：已知大、小二数之“差”，又知大数是小数的几倍，求大、小二数各是多少。

上面的问题中，有“差”、有“倍数”，所以叫做差倍应用题。

“差”是小数(即“1倍”数)的(倍数-1)倍，所以，小数=差÷(倍数-1)。

上式称为差倍公式。

由此得到大数=小数+差，或大数=小数×倍数。

例如，大、小数之差是152，大数是小数的5倍，则小数=152÷(5-1)=38，大数=38＋152=190或38×5＝190。

例1王师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的零件多128个，且是徒弟的3倍。

师徒二人一天各生产多少个零件？分析：师徒二人一天生产的零件的“差”是128个。

小数(即“1倍”数)是徒弟一天生产的零件数，“倍数”为3。

由差倍公式可以求解。

解：徒弟一天生产零件128÷(3-1)=64(个)，师傅一天生产零件128＋64＝192(个)或64×3＝192(个)。

答：徒弟、师傅一天分别生产零件64个和192个。

例2两根电线的长相差30米，长的那根的长是短的那根的长的4倍。

这两根电线各长多少米？解：“差”＝30，倍数=4，由差倍公式得短的电线长：30÷(4-1)＝10(米)，长的电线长：10＋30＝40(米)或10×4＝40(米)。

答：短的电线长10米，长的电线长40米。

陆先生刚理发完，便要求理发师降他的头发“中分”理发师说做不到，为什么？解差倍应用题的关键是确定“1倍”数是谁，“差”是什么。

上两例中，“1倍”数及“差”都极明显地直接给出。

下面讲两个稍有变化，不直接给出“差”和“1倍”数的例子。

例3小云比小雨少20本书，后来小云丢了5本书，小雨新买了11本书，这时小雨的书比小云的书多2倍。

问：原来两人各有多少本书？分析与解：“小雨的书比小云的书多2倍”，即小雨的书是小云的书的3倍。

这个“倍数”是变化后的，所以“1倍”数应是小云变化后的书(见下图)。

解差倍问题的“金钥匙”——线段图作者：李云霞来源：《数学小灵通·3-4年级》2015年第02期已知两个数的差与两个数的倍数关系，求两个数各是多少，这类问题就是差倍问题。

解答这类问题时，如果我们能画出线段图分析，就能迅速找到解题的“金钥匙”。

例1.有大小两个鱼缸，原有鱼数相等。

如果从小鱼缸里拿出5尾鱼放到大鱼缸里，大鱼缸里的鱼数是小鱼缸里鱼数的3倍，大、小鱼缸原来各有多少尾鱼？我是这样解的。

从“这时大鱼缸里的鱼数是小鱼缸里鱼数的3倍”，很容易求出大、小鱼缸里鱼数的倍数差为3-1=2倍，但是与2倍相对应的两缸鱼数的差是多少呢？我们画出线段图就能看得很清楚。

从线段图上可以清楚地看出：大小两个鱼缸，原有鱼数相等，如果从小鱼缸里拿出5尾鱼放到大鱼缸里，大鱼缸里的鱼数就比小鱼缸里的鱼数多了两个5尾，即多了5+5=10（尾），而这1 0尾鱼正好与“大、小鱼缸里鱼数的倍数差2倍”相对应，这样就可以求出1倍数是10÷2=5（尾），进而求出大、小鱼缸原来各有鱼5×2=10（尾）。

综合算式为：（5+5）÷（3-1）×2=10（尾）。

例2.男、女学生参加劳动，如果少去1名男生，男女生人数相等；如果少去1名女生，男生人数是女生人数的2倍，男、女学生各有多少人？我是这样解的。

这道题是数量关系比较复杂而隐蔽的差倍问题，我们可以画出线段图从中寻求解题思路。

从线段图上可以清楚地看出：如果少去1名男生，男女生人数相等，可见男生比女生多1人；少去1名女生，男生比女生多1+1=2（人）；与2人相对应的倍数差是2-1=1倍，这说明1倍数正好是2人，所以女生有2+1=3（人），男生有2+1+1=4（人）。

综合算式为：女生有（1 +1）÷（2-1）+1 =3（人），男生有3+1=4（人）。

用线段图解决简单的和倍差倍问题一、内容概括本讲为三年级较易接受且重要思维训练内容，本讲通过线段图来掌握和差倍问题，线段图是小学阶段数学中重要内容.掌握线段图对小学数学的学习，和数学的理解有着十分重要的意义 .二、知识导航1 .和倍问题，顾名思义就是两个数的和以及这两个数的倍数关系，求这两个数分别是多少的应用题，它是常见的典型应用题之一.要想顺利地解答和倍问题，最好的方法就是根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确迅速地列出算式.小数：大数：数量关系式可以这样表示：两数和÷〔倍数+1〕＝一倍量两数和—小数＝大数2 .差倍问题就是两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数.解答差倍问题的关键是找出两个数的差，以及与差相对应的倍数差，从而求出一倍数，再求出其它的数.解题时，我们一般也是先借助线段图帮助自己分析题目的数量关系.小数：大数：数量关系可以这样表示：两数差÷〔倍数-1〕＝一倍量两数差+小数＝大数课前热身1 .7的四倍是〔〕，48是〔〕的6倍，57是3的〔〕倍.2 .泡泡有91颗黑色的巧克力豆，是白色巧克力豆的7倍，问泡泡的白色巧克力豆有多少颗？3. 二班有图书60本，一班的图书本书是二班的的3倍，求一班有图书多少本？4. 哥哥种了72棵树，哥哥种的数是弟弟的3倍，问兄弟两人共种多少棵树？三、例题精讲根底局部例题1. 小华和爷爷今年共72岁，爷爷的年纪是小华的8倍，问小华和爷爷各多少岁？【练习1】1. 泡泡和小新一共做了300道计算题，泡泡做的题目数量是小新的2倍，泡泡和小新各做了多少道计算题？2. 一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米例题2. 小白兔和小灰兔共有50个萝卜，小灰兔的比小白兔的2倍多2个，小白兔和小灰兔各有多少个萝卜？【练习2】新东方小学三年级共有328人，男生人数是女生人数的2倍还多7人，求男生和女生各有多少人？例题3. 小猴子聪聪和明明共有28个桃子，聪聪的桃子比明明的2倍少2个，聪聪和明明各有几个桃子？【练习3】数学兴趣小组共有成员30人，其中女生比男生的2倍少3人，问男生女生各有多少人？例题4. 李爷爷家养的鸭子比鸡多18只，鸭子的只数是鸡的3倍，你知道李爷爷家养的鸭和鸡各有多少只吗？【练习4】本？小新的课外书比迈斯多30本，小新的课外书是迈斯的4倍.问小新和迈斯各有课外书多少例题5. 新东方学校买来的白色粉笔比彩色粉笔多15箱，白色粉笔的箱数比彩色粉笔的4倍少3箱.新东方买来的白色粉笔和彩色粉笔各有多少箱？【练习5】妈妈的年龄比泡泡大24岁，今年妈妈的年龄比泡泡的3倍少2岁，问妈妈和泡泡今年各多少岁？例题6. 新东方学校买来的白色粉笔比彩色粉笔多15箱，白色粉笔的箱数比彩色粉笔的4倍还多3箱.新东方买来的白色粉笔和彩色粉笔各有多少箱？【练习6】爸爸的年龄比小新大30岁，今年爸爸的年龄比小新的3倍还多2岁，问爸爸和小新今年各多少岁？四、拓展局部例题7. 果园里有桃树、梨树、苹果树共392棵，桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？作业填空题1 )小红和妈妈的年龄加在一起是40岁,妈妈年龄是小红年龄的4倍,小红有〔〕岁,妈妈有〔〕岁.2 )生产队养公鸡、母鸡共404只,其中公鸡是母鸡的3倍,公鸡养了〔〕只,母鸡养了〔〕只.3 )小明买大单和小单线共25本,其中大单线的本数比小单线的本数的2倍多4本,大单线的本数有〔本,小单线的本数有〔〕本.4 )师傅和徒弟共生产零件190个,师傅生产的个数比徒弟的3倍少10个;师、徒各生产〔〕个.两个数的和是84，大数是小数的6倍，求这两个数3. 甲乙两个生产队人收桔子1000千克，甲队收的是乙队的3倍，甲、乙两队各收了桔子多少千克？4. 大村有两个粮仓共存粮食300吨.甲仓存粮比乙仓的2倍还多57吨，两个粮仓各存粮多少吨？5. 书店运来一批书，其中科技书和文艺书390本，科技书比文艺书的3倍少10本，科技书、文艺书各多少倍？6. 足球是排球的3倍，足球比排球多18只.足球和排球各多少只？7. 参加科技小组的人数，今年比去年多41人，今年人数比去年的3倍少3人.今年有多少人参加？8.山坡上有一群羊，其中有绵羊和山羊.绵羊比山羊的3倍多55只，绵羊比山羊多345只，两种羊各有多少只？。