2018年高中数学北师大版必修三：第3章 7 习题课应用案巩固提升案含解析

[A 基础达标]1．任何一种算法都离不开的基本结构为( )A ．逻辑结构B ．选择结构C ．顺序结构D ．以上都不对解析：选C.任何一种算法都离不开顺序结构．2．如图所示的程序框图中，其中不含有的程序框是( )A ．终端框B ．输入、输出框C ．判断框D ．处理框答案：C3．下列算法中可以用选择结构表示的是( )A ．求点到直线的距离B ．已知梯形的两底及高求面积C ．解一元二次方程D ．求两个数的积解析：选C.C 选项中需要判断判别式与零的大小关系，所以用到选择结构．4．如图所示的是一个算法的程序框图，已知a 1＝3，输出的b ＝7，则a 2等于()A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选C.由题意知，该算法是计算a 1＋a 22的值，所以3＋a 22＝7，即a 2＝11. 5．如图所示的程序框图中，若输入的分别为a ＝20.9，b ＝(－0.9)2，c ＝log 0.91.3，则输出的数为( )A ．20.9B ．(－0.9)2C ．log 0.91.3D ．不确定解析：选A.由程序框图，可知输出的数是a ，b ，c 三者当中最大的数．因为a ＝20.9>1，b ＝(－0.9)2∈(0，1)，c ＝log 0.91.3<0，所以a 最大，所以输出的数是20.9，故选A.6．图1是计算图2中阴影部分面积的一个程序框图，则图1中①处应填________．解析：正方形的面积为S 1＝a 2，扇形的面积为S 2＝14πa 2，则阴影部分的面积为S ＝S 1－S 2＝a 2－π4a 2＝4－π4a 2.因此①处应填入S ＝4－π4a 2. 答案：S ＝4－π4a 2 7．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥2，2－x ，x <2.如图表示的是给定x 的值，求其对应的函数值y 的程序框图．①处应填写________；②处应填写________．解析：由框图可知只要满足①中的条件则对应的函数解析式为y ＝2－x ，故此处应填写x <2，则②处应填写y ＝log 2x .答案：x ＜2 y ＝log 2x第7题图第8题图8．如图所示的程序框图运行后输出结果为12，则输入的x值为________．解析：程序框图表示的是求分段函数y＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x≥14，2x，x≤0，log12x，0＜x＜14的函数值，由⎩⎨⎧x2＝12x≥14得，x＝22；由⎩⎪⎨⎪⎧2x＝12x≤0得，x＝－1；又⎩⎪⎨⎪⎧log12x＝120＜x＜14无解，故x＝－1或22.答案：－1或229．已知函数f(x)＝x2－3x－2，求f(3)＋f(－5)的值，设计一个算法并画出算法的程序框图．解：自然语言算法如下：1．求f(3)的值．2．求f(－5)的值．3．将前两步的结果相加，存入y.4．输出y的值．程序框图如图所示．。

[A 基础达标]1．为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )A ．50B ．40C ．25D ．20解析：选C.根据系统抽样的特点，可知分段间隔为1 00040＝25. 2．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000户，其中农民家庭1 800户，工人家庭100户，知识分子家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，以调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法有( )①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样．A ．②③B ．①③C ．③D ．①②③解析：选D.由于各类家庭有明显差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从三类家庭中抽出若干户．又由于农民家庭户数较多，那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样；而工人、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样．故整个抽样过程要用到①②③三种抽样方法．3．从2 004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先利用简单随机抽样从2 004人中剔除4人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会( )A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等D ．无法确定解析：选C.系统抽样是等可能的，每人入样的机率均为502 004. 4．总体容量为524，若采用系统抽样，当抽样的间距为下列哪一个数时，不需要剔除个体( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B.由于只有524÷4没有余数，故选B.5．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选B.法一：分段间隔为84042＝20.设在1，2，…，20中抽取的号码为x 0，在[481，720]之间抽取的号码记为20k ＋x 0，则481≤20k ＋x 0≤720，k ∈N *，所以24120≤k ＋x 020≤36. 因为x 020∈⎣⎡⎦⎤120，1， 所以k ＝24，25，26， (35)所以k 值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12.法二：使用系统抽样的方法，从840人中抽取42人，即每20人中抽取1人，所以在区间[481，720]抽取的人数为720－48020＝12. 6．为了了解1 203名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，现采用选取的号码间隔一样的系统抽样方法来确定所选取样本，则抽样间隔k ＝________．解析：由于1 20340不是整数，所以从1 203名学生中随机剔除3名，则抽样间隔k ＝1 20040＝30.答案：307．某高三(1)班有学生56人，学生编号依次为01，02，03，…，56.现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知编号为06，34，48的同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号应该是________．解析：由于系统抽样的样本中个体编号是等距的，且间距为564＝14，所以样本编号应为06，20，34，48.答案：208．为了了解学生对某网络游戏的态度，高三(11)班计划在全班60人中展开调查．根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号：01，02，03，…，60.已知抽取的学生中最小的两个编号为03，09，则抽取的学生中最大的编号为________．解析：由最小的两个编号为03，09可知，抽样距为k ＝9－3＝6，而总体容量N ＝60，所以样本容量n ＝N k＝10，即抽取10名同学，最大的编号为第10组抽取的个体的编号，故最大编号为3＋9×6＝57.答案：579．某批产品共有1 564件，产品按出厂顺序编号，号码从1到1564，检测员要从中抽取15件产品做检测，请你给出一个系统抽样方案．解：(1)先从1 564件产品中，用简单随机抽样的方法抽出4件产品，将其剔除．(2)将余下的1 560件产品编号：1，2，3，…，1 560.(3)取k ＝1 56015＝104，将总体均分为15组，每组含104个个体． (4)从第一组，即1号到104号利用简单随机抽样法抽取一个编号s .(5)按编号把s ，104＋s ，208＋s ，…，1 456＋s 共15个编号选出，这15个编号所对应的产品组成样本．10．下面给出某村委会调查本村各户收入情况做的抽样，阅读并回答问题．本村人口数：1 200，户数300，每户平均人口数4人；应抽户数：30；抽样间隔：1 20030＝40； 确定随机数字：从标有1～30的号码中随机抽取一张，为12.确定第一样本户：编号12的户为第一样本户；确定第二样本户：12＋40＝52，52号为第二样本户；…(1)该村委会采用了何种抽样方法？(2)抽样过程存在哪些问题？试修改；(3)何处是用简单随机抽样？解：(1)系统抽样．(2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样．抽样间隔30030＝10，其他步骤相应改为确定随机数字：从标有1～10的号码中随机抽取一张，为2.(假设)确定第一样本户：编号02的住户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12，12号为第二样本户．(3)确定随机数字：从标有1～30的号码中随机抽取一张，为12.[B 能力提升]11．为了检测125个电子元件的质量，欲利用系统抽样的方法从中抽取容量为1Δ(Δ中的数字被墨水污染，无法分辨)的样本进行检测，若在抽样时首先利用简单随机抽样剔除了5个个体，则Δ中的数字有( )A ．1种可能B ．2种可能C ．3种可能D ．4种可能解析：选C.由于125－5＝120＝10×12＝15×8，故有3种可能，分别为0，2，5.12．已知某种型号的产品共有N 件，且40＜N ＜50，现需要利用系统抽样抽取样本进行质量检测，若样本容量为7，则不需要剔除；若样本容量为8，则需要剔除1个个体，则N ＝________．解析：因为样本容量为7时，不需要剔除，所以总体的容量N 为7的倍数，又40＜N ＜50，所以N ＝42或49.若N ＝42，因为42除以8的余数为2，所以当样本容量为8时，需要剔除2个个体，不符合题意；若N ＝49，因为49除以8的余数为1，所以当样本容量为8时，需要剔除1个个体，满足题意，故N＝49.答案：4913．为了调查某路口一个月的车流量情况，交警采用系统抽样的方法，样本距为7，从每周中随机抽取一天，他正好抽取的是星期日，经过调查后做出报告．你认为交警这样的抽样方法有什么问题？应当怎样改进？如果是调查一年的车流量情况呢？解：交警所统计的数据以及由此所推断出来的结论，只能代表星期日的交通流量．由于星期日是休息时间，很多人不上班，不能代表其他几天的情况．改进方法可以将所要调查的时间段的每一天先随机地编号，再用系统抽样方法来抽样，或者使用简单随机抽样来抽样亦可．如果是调查一年的交通流量，使用简单随机抽样法显然已不合适，比较简单可行的方法是把样本距改为8.14．(选做题)一个总体中的1 000个个体编号为0，1，2，…，999，并依次将其均分为10个小组，组号为0，1，2，…，9，要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数．(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围．解：(1)由题意知此系统抽样的间隔是100，根据x＝24和题意得，24＋33×1＝57，第1组抽取的号码是157；由24＋33×2＝90，则在第2组抽取的号码是290，…故依次是24，157，290，323，456，589，622，755，888，921.(2)由x＋33×0＝87得x＝87，由x＋33×1＝87得x＝54，由x＋33×2＝87，得x＝21，由x＋33×3＝187得x＝88…，依次求得x值可能为21，22，23，54，55，56，87，88，89，90.。

章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列赋值语句正确的是( ) A ．a ＋b ＝5 B ．5＝a C ．a ＝2b ＝2D ．a ＝a ＋1解析：选D.赋值语句的一般格式是变量名＝表达式，赋值号左右两边不能互换，赋值号左边只能是变量，而不能是表达式．2．如果以下程序运行后输出的结果是132，那么在程序中While 后面的①处应填( ) i ＝12 S ＝1 Do S ＝S *i i ＝i －1 Loop While ① 输出S . A ．i >11 B ．i ≥11 C ．i ≤10D ．i <11解析：选B.当循环终止条件为真时，继续循环，否则停止执行循环体．由于输出的是132，故应选B.3．已知函数y ＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，x ＋1，x <0，输入自变量x 的值，输出对应的函数值．设计程序框图时，需用到的基本逻辑结构是( )A ．顺序结构B ．选择结构C ．顺序结构、选择结构D ．顺序结构、循环结构 答案：C4．计算下列各式中的S 的值，能设计算法求解的是( ) ①S ＝1＋2＋3＋…＋100；②S ＝1＋2＋3＋…； ③S ＝1＋2＋3＋…＋n (n ≥2且n ∈Z )．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③解析：选B.因为算法步骤具有“有限性”特点，故②不可用算法求解． 5．算法步骤如下： 1．m ＝a .2．若b <m ，则m ＝b . 3．若c <m ，则m ＝c . 4．若d <m ，则m ＝d . 5．输出m .则输出的m 表示( ) A ．a ，b ，c ，d 中的最大值 B ．a ，b ，c ，d 中的最小值 C ．将a ，b ，c ，d 由小到大排列 D ．将a ，b ，c ，d 由大到小排列解析：选B.按步骤进行阅读，看每一步完成了一个怎样的任务.1.确定的值为a .2.若b <m ，则m 的值为b …可知取较小的数，即输出的m 为a ，b ，c ，d 中的最小值．故选B.6．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B.初值为a ＝3，k ＝0，进入循环体后a ＝32，k ＝1；a ＝34，k ＝2；a ＝38，k ＝3；a ＝316，k ＝4，此时a <14，退出循环，则输出k ＝4.故选B. 7．下列算法运行后输出的结果为( ) i ＝1 Do i ＝i ＋2S ＝3＋2*i i ＝i ＋1 Loop While i <8 输出S . A ．17 B ．19 C ．21D ．23解析：选C.这是用Do Loop 语句编写的算法，按Do Loop 语句的程序运行可知最后一次执行循环体时S ＝3＋2×(7＋2)＝21.8．For I ＝2 To 100 step 2 输出I Next上面程序最后输出的是( ) A ．2＋4＋6＋8＋…＋100的和 B ．100C ．2，4，6，…，100，D ．2＋3＋…＋100的和 答案：B9．执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的n 为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选 B.初始值，a ＝1，n ＝1，|a －1.414|＝0.414≥0.005，执行第一次循环，a ＝1＋11＋a ＝32，n ＝2；|a －1.414|＝0.086≥0.005，执行第二次循环，a ＝1＋11＋a ＝75，n ＝3；|a －1.414|＝0.014≥0.005，执行第三次循环，a ＝1＋11＋a ＝1712，n ＝4； |a －1.414|≈0.002 7<0.005，跳出循环，输出n ＝4.10．执行如图所示的程序框图后，若输出结果为－1，则输入x 的值不可能是( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2解析：选D.当x ≥0时，y ＝－1，故A 、B 正确．当x <0时，y ＝x 3＝－1，则x ＝－1.故选D.11．执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤34，78B.⎝⎛⎦⎤23，78C.⎝⎛⎦⎤45，89D.⎝⎛⎦⎤56，910解析：选A.根据程序框图，第一次循环，S ＝12，n ＝2；第二次循环，S ＝12＋122＝34，n＝3；第三次循环，S ＝34＋123＝78，n ＝4.而输出的n 值为4，因此当执行了n ＝3时，P 取最大值，此时P ＝78，执行n ＝2时，P 取最小值，此时P ＝34，故P 的取值范围是⎝⎛⎦⎤34，78. 12．下列程序执行后输出的结果是( ) i ＝11 S ＝1 Do S ＝S *i i ＝i －1 Loop While i ≥9输出 S A ．990 B ．110 C ．7 920D ．11解析：选A.i ＝11，S ＝11，i ＝10；i ＝10，S ＝110，i ＝9；i ＝9，S ＝990，i ＝8；i ＝8，i <9，S ＝990.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．下面给出的是条件语句编写的算法，该算法的功能是________． 输入n ；If n 能被2整除 Then 输出“偶数” Else输出“奇数” End If解析：该算法语句反映的是整数n 能否被2整除问题，若能被2整除，则n 是偶数，否则为奇数，因此，此算法功能是判断一个整数n 是奇数还是偶数．答案：判断一个整数n 是奇数还是偶数14．在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法框图根据条件是否成立有不同的流向，则处理这种过程的结构是________．解析：由选择结构的定义可知，在选择结构中需对某些条件作出判断，判断的结果影响着算法流向．答案：选择结构15．已知a ＝⎝⎛⎭⎫－12－23，b ＝log 1312，c ＝(－3)23，则执行如图的程序框图后输出的结果等于________．(填a ，b ，c 即可)解析：根据指数函数和对数函数以及幂函数的性质可知，a ＝⎝⎛⎭⎫－12－23，b ＝log 112，c ＝(－3)23，(－3)23＝323，因为⎝⎛⎭⎫－12－23＝(－2)23＝223<323， 因为log 1312＝log 32<1，因此可知(－3)23是最大值． 答案：c16．如图所示，程序框图的输出结果是________．解析：当输入x ＝1，y ＝1，执行z ＝x ＋y 及z ≤50，x ＝y ，y ＝z 后， x ，y ，z 的值依次对应如下： x ＝1，y ＝1，z ＝2； x ＝1，y ＝2，z ＝3； x ＝2，y ＝3，z ＝5； x ＝3，y ＝5，z ＝8； x ＝5，y ＝8，z ＝13； x ＝8，y ＝13，z ＝21； x ＝13，y ＝21，z ＝34； x ＝21，y ＝34，z ＝55.由于55≤50不成立，故输出55. 答案：55三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)执行如图所示的程序框图，求输出的点C 的坐标．解：从上到下执行该程序框图第一步，过点A (1，－1)且与直线2x －y ＋4＝0垂直的直线方程是x ＋2y ＋1＝0. 第二步，直线2x －y ＋4＝0与直线x ＋2y ＋1＝0的交点坐标是B (－95，25)．第三步，点A (1，－1)关于点B (－95，25)对称的点C 的坐标是(－235，95)．第四步，输出点C 的坐标(－235，95)． 18．(本小题满分12分)学习优秀的条件如下： (1)五门课的成绩总分不小于500分；(2)三门主课每门的成绩都不小于100分，其他两门成绩都不小于90分． 输入某学生的五门成绩，问他是否够优秀条件？画出程序框图． 解：程序框图如图所示：19．(本小题满分12分)试用基本语句描述求函数y ＝－x 2－2x ＋3在x ∈(－∞，n ]上的最大值的算法，并画出算法框图．解：算法语句如下：输入n；a＝－1b＝－2c＝3If n>－1Thent＝4*a*c－b2max＝t/(4*a)Elsey＝－n2－2*n＋3max＝yEnd If输出max.算法框图如图所示：20．(本小题满分12分)你知道“完全立方数”吗？如果一个数是另一个整数的完全立方(也就是三次乘方)，那么我们就称这个数为完全立方数．请设计一个程序，逐个输出[0，1 000]内的完全立方数．解：For i＝0 To 10S ＝i 3If S ≤1 000 Then输出S Next21．(本小题满分12分)如图所示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一动点P ，点P 沿边线由B →C →D →A (B 为起点，A 为终点)运动．若设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y ，试写出程序，根据输入的x 值，输出相应的y 值．解：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤4，8，4<x ≤8，2（12－x ），8<x ≤12.程序框图如图．程序如下： 输入xIf x ≥0 And x ≤4 Then y ＝2*x ElseIf x ≤8 Theny ＝8 Elsey ＝2*(12－x )End IfEnd If输出y22．(本小题满分12分)已知某算法的程序框图如图所示，若将输出的(x，y)值依次记为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，…(1)若程序运行中输出的一个数组是(9，t)，求t的值；(2)程序结束时，共输出(x，y)的组数为多少；(3)写出程序框图的程序语句．解：(1)开始时，x＝1时，y＝0；接着x＝3，y＝－2；然后x＝9，y＝－4，所以t＝－4.(2)当n＝1时，输出一对，当n＝3时，又输出一对，…，当n＝2 015 时，输出最后一对，共输出(x，y)的组数为1 008.(3)程序框图的程序语句如下：x＝1y＝0n＝1Do输入(x，y)n＝n＋2x＝3*xy＝y－2Loop While n>2 016。

[A基础达标]1．读下面的算法语句，输出的结果是()I＝1S＝0DoS＝2*S＋1I＝I＋1Loop While I≤4输出S.A．2B．10C．15 D．20解析：选C.当I＝1时，S＝0×2＋1＝1；当I＝2时，S＝1×2＋1＝3；当I＝3时，S＝3×2＋1＝7；当I＝4时，S＝7×2＋1＝15.故选C.2．下面给出的四个算法框图中满足Do Loop语句的是()解析：选D.当执行Do Loop语句时，先执行一次循环体，若符合条件，继续执行循环体，当不符合条件时，跳出循环，执行Do Loop语句后的语句．3．读下面用Do Loop语句描述的算法语句：输入N；i＝1S＝1Do S＝S*ii＝i＋1输出S.如果输入N的值为6，那么输出的结果为()A．6B．720C．120 D．i解析：选B.由Do Loop语句知，S＝1×2×3×4×5×6＝720.4．已知下列语句：i＝1Doi＝i＋1Loop While i*i<100i＝i－1输出i.最后输出的结果是()A．i－1 B．100C．10 D．9解析：选D.由循环语句及赋值语句可知，当i*i≥100时跳出循环体，此时i＝10，故最后输出结果为9.5．下列程序中循环语句的循环终止条件是()m＝1Dom＝m＋3Loop While m<10输出m.A．m＝10 B．m<10C．m>10 D．m≥10解析：选D.当m<10不成立，即m≥10时，循环终止，执行Do Loop语句后的语句．6．下面是求1×2×3×4×5×6×7×8×9×10的一个算法语句，将其补充完整．a＝10b＝1Dob＝a*b________输出b .解析：a 的初始值为10，故循环体中的值应该递减，即a 从10减小到1，循环体的条件应为a >0，也可以为a ≥1.答案：a ＝a －1 a >0(或a ≥1) 7．阅读下列算法语句： i ＝1 S ＝0 Do S ＝S ＋i i ＝i ＋1 Loop While i ≤100 输出S .则S 的表达式为________．解析：这是一个Do Loop 语句，终止条件是i >100，循环体是累加，即是从1累加到100. 答案：1＋2＋3＋…＋100 8．阅读下面的算法语句： b ＝1For k ＝1 To 5 b ＝b *k If b ≥15 Then 退出For 循环 End If Next 输出b .在上述语句中，k 循环共执行________次，输出的结果为________．解析：本题主要考查For 循环语句，首先观察循环的条件If b ≥15 Then 退出循环，可知b 的最终值为24，k 从1到4，所以，k 的最终值为4，这时b ＝24.答案：4 249．用Do Loop 语句描述求满足条件1＋12＋13＋…＋1n >10的最小自然数n 的算法，并画出算法框图．解：算法框图如图所示，相应的算法语句如下：S＝0i＝1DoS＝S＋1ii＝i＋1Loop While S≤10i＝i－1输出i.10．若要输出1～100之间的所有偶数，应使用For循环还是Do Loop循环？请写出具体过程．解：选用For循环，因为已经给出具体的范围，也就是说，可以明确循环次数，所以，比较适合For循环语句．具体过程如下：For i＝1 To 100If i Mod 2＝0Then输出iEnd IfNext[B能力提升]11．有程序段如下：For i＝1To 3For j＝1To 5输出i*jNextNext其中“输出i*j”执行的次数为()A．3B．5C．15 D．8解析：选C.本题是两个循环语句，注意外循环从1到3，内循环从1到5，内循环是在外循环的基础上的循环，所以内循环执行次数为15次．12．设计一个计算1×3×5×7×9的算法，下面给出了算法语句的一部分，则在横线①上应填入下面数据中的()S＝1i＝3DoS＝S*ii＝i＋2Loop While i<__①__输出S.A．8 B．9C．10 D．12解析：选C.由算法知i的取值为3，5，7，9，…，又只需计算1×3×5×7×9，因此只要保证所填数大于9，小于等于11即可，故选C.13．执行下面算法语句，输出的结果是________．A＝1B＝1DoA＝A＋BB＝A＋BLoop While B<15C＝A＋B输出C.解析：循环结构中的循环体的作用是将前两个数相加，得到后一个数；如果没有循环条件的限制，程序中的循环结构将连同初始值，依次给A、B赋值为1、1，2、3，5、8，13、21，…，其中第一、三、五，…个数为A的值，第二、四、六，…个数为B的值；可见，当B＝21时，循环结束，此时A＝13，所以，C＝A＋B＝34.答案：3414．(选做题)用分期付款的方式购买价格为1 150元的冰箱，如果购买时先付150元，以后每月付50元，加上欠款的利息，若一个月后付第一个月的分期付款，月利率为1%，那么购买冰箱的钱全部付清后，实际共付出多少元？画出程序框图，写出程序．解：购买时付款150元，余款1 000元分20次付清，每次付款数组成一系列数．a1＝50＋(1 150－150)×1%＝60，a2＝50＋(1 150－150－50)×1%＝59.5，…，a n＝50＋[1 150－150－(n－1)×50]×1%＝60－12(n－1)(n＝1，2，…，20)．所以a20＝60－12×19＝50.5.总和S＝150＋60＋59.5＋…＋50.5＝1 255(元)．程序框图如图．程序：a＝150m＝60S＝0S＝S＋ai＝1DoS＝S＋mm＝m－0.5i＝i＋1Loop While i≤20输出S。

章末综合检测(三)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时，可使x2≤0”是不可能事件；③“明天天津市要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：选C.①④正确．2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A．至少有1个黑球与都是红球B．至少有1个黑球与都是黑球C．至少有1个黑球与至少有1个红球D．恰有1个黑球与恰有2个黑球解析：选D.A中的两个事件是对立事件，不符合要求；B中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D中是互斥而不对立的两个事件．故选D.3．某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表：A．0.4 B．0.5C．0.6 D．0.7解析：选B.由表格可知，男婴出生的频率依次约为0.49，0.54，0.50，0.50，故这一地区男婴出生的概率约为0.5.故选B.4．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710B.58C.38D.310解析：选B.记“至少需要等待15秒才出现绿灯”为事件A ，则P (A )＝2540＝58.5．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A.13B.12C.23D.56解析：选C.从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，共有6种选法．红色和紫色的花不在同一花坛的有4种选法，根据古典概型的概率计算公式，所求的概率为46＝23.故选C.6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A.因为两位同学参加兴趣小组的所有的结果有9个，其中这两位同学参加同一兴趣小组的结果有3个，所以由古典概型的概率计算公式得所求概率为39＝13.7．任取一个三位正整数N ，则对数log 2N 是一个正整数的概率是( ) A.1225 B.3899 C.1300D.1450解析：选C.三位正整数有100～999，共900个，而满足log 2N 为正整数的N 有27，28，29，共3个，故所求事件的概率为3900＝1300.8．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45解析：选C.设|AC |＝x cm ，0＜x ＜12，则|CB |＝(12－x ) cm ，要使矩形面积大于20 cm 2，只要x (12－x )＞20，则x 2－12x ＋20＜0，2＜x ＜10，所以所求概率为P ＝10－212＝23，故选C.9．小明通过做游戏的方式来确定周末的活动，他随机往单位圆内投掷一颗弹珠(大小忽略)，若弹珠到圆心的距离大于12，则周末去逛公园；若弹珠到圆心的距离小于14，则去踢足球；否则，在家看书．则小明周末不在家看书的概率为( )A.12 B.16 C.1316D.512解析：选C.由题意画出示意图，如图所示．表示小明在家看书的区域如图中阴影部分所示，则他在家看书的概率为π（12）2－π（14）2π＝316，因此他不在家看书的概率为1－316＝1316，故选C.10．小莉与小明一起用A ，B 两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)玩游戏，以小莉掷的A 立方体朝上的数字为x ，小明掷的B 立方体朝上的数字为y ，来确定点P (x ，y )，那么他们各掷一次所确定的点P (x ，y )落在已知抛物线y ＝－x 2＋4x 上的概率为( )A.16B.19C.112D.118解析：选C.根据题意，两人各掷立方体一次，每人都有6种可能性，则(x ，y )的情况有36种，即P 点有36种可能，而y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，即(x －2)2＋y ＝4，易得在抛物线上的点有(2，4)，(1，3)，(3，3)共3个，因此满足条件的概率为336＝112.11．如果从不包括大、小王的一堆扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心牌(事件A )的概率为14，取到方片牌(事件B )的概率是13，则取到红色牌(事件C )的概率和取到黑色牌(事件D )的概率分别是( )A.712，512B.512，712C.12，12D.34，23解析：选A.因为C ＝A ＋B ，且A ，B 不会同时发生，即A ，B 是互斥事件，所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝14＋13＝712.又C ，D 是互斥事件，且C ＋D 是必然事件， 所以C ，D 互为对立事件， 则P (D )＝1－P (C )＝1－712＝512.12．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A.110B.310C.35D.910解析：选D.记3个红球分别为a 1，a 2，a 3，2个白球分别为b 1，b 2.从3个红球、2个白球中任取3个，则所包含的基本事件有{a 1，a 2，a 3}，{a 1，a 2，b 1}，{a 1，a 2，b 2}，{a 1，a 3，b 1}，{a 1，a 3，b 2}，{a 2，a 3，b 1}，{a 2，a 3，b 2}，{a 1，b 1，b 2}，{a 2，b 1，b 2}，{a 3，b 1，b 2}，共10个．由于每个基本事件发生的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用A 表示“所取的3个球中至少有1个白球”，则其对立事件A －表示“所取的3个球中没有白球”，则事件A －包含的基本事件有1个：{a 1，a 2，a 3}．所以P (A －)＝110.故P (A )＝1－P (A －)＝1－110＝910.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高分别为：(单位：cm)162，148，154，165，168，172，175，162，171，170，150，151，152，160，163，175，164，179，149，172.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级任抽一名同学身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率为________．(用分数表示)解析：样本中有8人身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间，所以估计该校高二年级任抽一名同学身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率为820＝25.答案：2514．在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，则AM >AC 的概率是________． 解析：设CA ＝CB ＝m (m >0)，则AB ＝2m ，P (AM >AC )＝AB －AC AB ＝2m －m 2m ＝1－22.答案：1－2215．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________． 解析：甲，乙，丙站成一排有(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共6种．甲，乙相邻而站有(甲，乙，丙)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共4种． 所以甲，乙两人相邻而站的概率为46＝23.答案：2316．袋中含有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是910，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为________．解析：因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种情况，没有得到白球的概率为110，设白球个数为x ，则黑球个数为5－x ，那么，可知白球有3个，黑球有2个，因此可知从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为310.答案：310三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，计算下列事件的概率．(1)所得的三位数大于400； (2)所得的三位数是偶数．解：1，5，6三个数字可以排成156，165，516，561，615，651，共6个不同的三位数．(1)大于400的三位数的个数为4，所以P ＝46＝23.(2)三位数为偶数的有156，516，共2个， 所以相应的概率为P ＝26＝13.18．(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率．解：将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道乙类题依次编号为5，6.任取2道题，基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．(1)用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个，所以P (A )＝615＝25. (2)用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有{1，5}，{1，6}，{2，5}，{2，6}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，共8个，所以P (B )＝815.19．(本小题满分12分)某河流上的一座水力发电站，每年6月份的发电量y (单位：万千瓦时)与该河上游在6月份的降雨量x (单位：mm)有关．据统计，当x ＝70时，y ＝460；x 每增加10，y 增加5.已知近20年x 的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.(1)完成如下的频率分布表：近20年6月份降雨量频率分布表(2)过530万千瓦时的概率．解：(1)在所给数据中，降雨量为110 mm 的有3个，为160 mm 的有7个，为200 mm 的有3个．故近20年6月份降雨量频率分布表为：(2)由已知可得y ＝0.5x ＋425，记“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”为事件A ， 则P (A )＝P (y <490或y >530) ＝P (x <130或x >210)＝P (x ＝70)＋P (x ＝110)＋P (x ＝220) ＝0.05＋0.15＋0.1 ＝0.3.因此估计今年6月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为0.3.20．(本小题满分12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)(1)(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人， 故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3}，共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的基本事件有：{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个． 因此A 1被选中且B 1未被选中的概率为P ＝215.21．(本小题满分12分)求解下列各题：(1)在区间[0，4]上随机取两个整数m ，n ，求关于x 的一元二次方程x 2－nx ＋m ＝0有实数根的概率P (A )；(2)在区间[0，4]上随机取两个数m ，n ，求关于x 的一元二次方程x 2－nx ＋m ＝0有实数根的概率P (B )．解：方程x 2－nx ＋m ＝0有实数根， 则Δ＝n －4m ≥0，(1)由于m ，n ∈[0，4]，且m ，n 是整数， 因此列举可得m ，n 可能的取值共有25组．又满足n －4m ≥0的m ，n 的取值有⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0n ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0n ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0n ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0n ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0n ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝4，共6组．因此，原方程有实数根的概率为P (A )＝625.(2)由于⎩⎪⎨⎪⎧0≤m ≤40≤n ≤4对应的区域(如图中正方形区域所示)面积为16，而n －4m ≥0(m ，n ∈[0，4])表示的区域(如图中阴影部分所示)面积为12×1×4＝2.因此，原方程有实数根的概率为P (B )＝S 阴影S 正方形＝18.22．(本小题满分12分)城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求，为此，某市公交公司在某站台60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示(单位：min)：(1)求这15(2)估计这60名乘客中候车时间少于10 min 的人数；(3)若从上表第三、四组的6人中选2人做进一步调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．解：(1)115×(2.5×2＋7.5×6＋12.5×4＋17.5×2＋22.5×1)＝115×157.5＝10.5，故这15名乘客的平均候车时间为10.5 min.(2)由频率估计概率，可知侯车时间少于10 min 的概率为2＋615＝815，故这60名乘客中候车时间少于10 min 的人数约为60×815＝32.(3)记第三组的4名乘客为a 1，a 2，a 3，a 4，第四组的2名乘客为b 1，b 2.从6人中选2人的所有可能情况为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，a 4)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 4，b 1)，(a 4，b 2)，(b 1，b 2)，共15种，其中2人恰好来自不同组的情况为(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 4，b 1)，(a 4，b 2)，共8种，故所求概率为815.。

[A 基础达标]1．给出事件A 与B 的关系示意图，如图所示，则( )A ．A ⊆B B ．A ⊇BC ．A 与B 互斥D ．A 与B 对立解析：选C.显然事件A 与B 不能同时发生，但又不一定非要发生一个，有可能都不发生，故A 与B 不是互为对立事件．2．口袋内装有一些形状大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( )A ．0.42B ．0.28C ．0.3D ．0.7解析：选C.摸出红球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3.3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，从中取出2粒都是白子的概率是1235，则从中取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17B.1235C.1735D.1解析：选C.设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“从中取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.即从中取出2粒恰好是同一色的概率为1735.4．从1，2，3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( ) A ．①B ．②④C ．③D ．①③解析：选C.从1～9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数和一个偶数，故选C.5．若事件A 和B 是互斥事件，且P (A )＝0.1，则P (B )的取值范围是( ) A ．[0，0.9] B ．[0.1，0.9] C ．(0，0.9]D ．[0，1]解析：选A.由于事件A 和B 是互斥事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.1＋P (B )，又0≤P (A ＋B )≤1，所以0≤0.1＋P (B )≤1， 所以0≤P (B )≤0.9.故选A.6．某产品分一、二、三级，其中一、二级是正品，若生产中出现正品的概率是0.98，二级品的概率是0.21，则出现一级品与三级品的概率分别是________．解析：出现一级品的概率为0.98－0.21＝0.77；出现三级品的概率为1－0.98＝0.02. 答案：0.77，0.027．同时抛掷两枚骰子，没有5点且没有6点的概率为49，则至少有一个5点或6点的概率是________．解析：记“没有5点且没有6点”的事件为A ，则P (A )＝49，“至少有一个5点或6点”的事件为B .分析题意可知A 与B 是对立事件，则P (B )＝1－P (A )＝1－49＝59.故至少有一个5点或6点的概率为59.答案：598．某商店月收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示：________．解析：记这个商店月收入在[1 000，1 500)，[1 500，2 000)，[2 000，2 500)，[2 500，3 000)范围内的事件分别为A ，B ，C ，D ，因为事件A ，B ，C ，D 互斥，且P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝0.67，所以P (B ＋C ＋D )＝0.67－P (A )＝0.55. 答案：0.559．近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．解：(1)设“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量为m 吨，厨余垃圾总量为n 吨，则m ＝400，n ＝400＋100＋100＝600.所以厨余垃圾投放正确的概率约为m n ＝400600＝23.(2)设“生活垃圾投放错误”为事件A ，则事件A －表示“生活垃圾投放正确”，从而P (A －)＝400＋240＋601 000＝0.7，所以P (A )＝1－P (A －)＝1－0.7＝0.3.10．三个臭皮匠顶上一个诸葛亮，能顶得上吗？在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个臭皮匠A 、B 、C 能答对题目的概率P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，诸葛亮D 能答对题目的概率P (D )＝23，如果将三个臭皮匠A 、B 、C 组成一组与诸葛亮D 比赛，答对题目多者为胜方，问哪方胜？解：如果三个臭皮匠A 、B 、C 能答对的题目彼此互斥(他们能答对的题目不重复)，则P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝4760>P (D )＝23，故三个臭皮匠方为胜方，即三个臭皮匠能顶上一个诸葛亮；如果三个臭皮匠A 、B 、C 能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶上一个诸葛亮．[B 能力提升]11．据某医疗机构调查，某地区居民血型分布为：O 型50%，A 型15%，B 型30%，AB 型5%.现有一血型为A 的病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为( )A ．65%B ．45%C ．20%D ．15%解析：选A.50%＋15%＝65%.12．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．则当天商店不进货的概率为________．解析：商店不进货即日销售量少于2件，显然“日销售量为1件”与“日销售量为0件”不可能同时发生，彼此互斥，分别计算两事件发生的频率，将其视作概率，利用概率加法公式可解．记“当天商品销售量为0件”为事件A ，“当天商品销售量为1件”为事件B ，“当天商店不进货”为事件C ，则P (C )＝P (A )＋P (B )＝120＋520＝310.答案：31013．甲射击一次，中靶的概率是p 1，乙射击一次，中靶的概率是p 2，已知1p 1，1p 2是方程x 2－5x ＋6＝0的根，且p 1满足方程x 2－x ＋14＝0，则甲射击一次， 不中靶的概率为________；乙射击一次，不中靶的概率为________．解析：由p 1满足方程x 2－x ＋14＝0知，p 21－p 1＋14＝0，解得p 1＝12.因为1p 1，1p 2是方程x 2－5x ＋6＝0的根，所以1p 1·1p 2＝6，解得p 2＝13.因此甲射击一次，不中靶的概率为1－12＝12，乙射击一次，不中靶的概率为1－13＝23.答案：12 2314．(选做题)袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少．解：从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则P (A )＝13，P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝512，P (B ＋C ＋D )＝P (B )＋P (C )＋P (D ) ＝1－P (A )＝1－13＝23.解⎩⎪⎨⎪⎧P （B ）＋P （C ）＝512，P （C ）＋P （D ）＝512，P （B ）＋P （C ）＋P （D ）＝23，得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14，即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别为14、16、14.。

一、本章知识网络二、要点归纳1．本章涉及的概念比较多，要真正理解它们的实质，搞清它们的区别与联系．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，要进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别． 2．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定事件彼此是否互斥，然后分别求出各事件发生的概率，再求和．求较复杂的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P (A )(事件A 与事件A 互为对立事件)求解．3．对于古典概型概率的计算，关键要分清基本事件的总数n 与事件A 包含的基本事件的个数m ，再利用公式P (A )＝mn 求出概率．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序，做到不重不漏．4．对于几何概型事件概率的计算，关键是求得事件A 所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式求解． 三、题型探究题型一 随机事件的概率 1．有关事件的概念熟练掌握事件的有关概念是解决概念辨析题的关键，下表是对事件有关概念的总结：(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验．(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率．(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值．(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小．(5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1.例1对一批U盘进行抽检，结果如下表：(1)(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2000个U盘，至少需进货多少个U盘？解(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2000，因为x是正整数，所以x≥2041，即至少需进货2041个U盘．跟踪训练1某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：(1)(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？解 (1)由题意得，击中靶心的频率分别为0.8,0.95，0.88，0.92,0.89,0.91，当射击次数越来越多时，击中靶心的频率在0.9附近摆动，故概率约为0.9. (2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次)．(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定． (4)不一定．题型二 古典概型及其应用古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特点，即有限性和等可能性．另外，在求古典概型问题的概率时，往往需要我们将所有基本事件一一列举出来，以便确定基本事件总数及事件所包含的基本事件数．这就是我们常说的列举法．在列举时应注意按一定的规律、标准，不重不漏．例2 海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A ，B (2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本包含三个地区的个体数量分别是 50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以这6件样品中来自A ，B ，C 三个地区的数量分别为1,3,2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2，则从这6件样品中抽取的2件商品构成的所有基本事件为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D “抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有： {B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P(D)＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.跟踪训练2甲、乙、丙3个盒中分别装有大小相等、形状相同的卡片若干张．甲盒中装有2张卡片，分别写有字母A和B；乙盒中装有3张卡片，分别写有字母C，D和E；丙盒中装有2张卡片，分别写有字母H和I.现要从3个盒中各随机取出1张卡片，求：(1)取出的3张卡片中恰好有1张、2张、3张写有元音字母的概率各是多少？(2)取出的3张卡片上全是辅音字母的概率．解根据题意画出如图所示的树形图．由树形图可以得到，所有可能出现的基本事件有12个，它们出现的可能性相等．(1)只有1个元音字母的结果有5个，所以P(1个元音字母)＝512；有2个元音字母的结果有4个，所以P(2个元音字母)＝412＝1 3；有3个元音字母的结果有1个，所以P(3个元音字母)＝112. (2)全是辅音字母的结果有2个，所以P(3个辅音字母)＝212＝1 6.题型三互斥事件与对立事件1．对互斥事件与对立事件的概念的理解(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．(2)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，则两事件是互斥的，此时A∪B的概率就可用概率加法公式来求，即为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；如果事件A∩B≠∅，则可考虑利用古典概型的定义来解决，不能直接利用概率加法公式．(3)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，A∪B＝U，则两事件是对立的，此时A∪B就是必然事件，可由P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1来求解P(A)或P(B)．2．互斥事件概率的求法(1)若A 1，A 2，…，A n 互斥，则P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．(2)利用这一公式求概率的步骤：①要确定这些事件彼此互斥；②先求出这些事件分别发生的概率，再求和．值得注意的是：①是公式的使用条件，如不符合，是不能运用互斥事件的概率加法公式的． 3．对立事件概率的求法P (Ω)＝P (A ＋A )＝P (A )＋P (A )＝1，由公式可得P (A )＝1－P (A )(这里A 是A 的对立事件，Ω为必然事件)．4．互斥事件的概率加法公式是解决概率问题的重要公式，它能把复杂的概率问题转化为较为简单的概率或转化为其对立事件的概率求解．例3 某人在如图所示的直角边长为4m 的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X (单位：株)之间的关系如下表所示：(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量：(2)解 (1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：51×2＋48×4＋45×6＋42×315＝102＋192＋270＋12615＝69015＝46.(2)由(1)，知P (Y ＝51)＝215，P (Y ＝48)＝415.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48kg 的概率为P (Y ≥48)＝P (Y ＝51)＋P (Y ＝48)＝215＋415＝25. 跟踪训练3 黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：互相输血．小明是B 型血，若小明因病需要输血，问： (1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解 (1)记“血型为A 型、B 型、AB 型、O 型”分别为事件A ′，B ′，C ′，D ′. 由已知，得P (A ′)＝0.28，P (B ′)＝0.29，P (C ′)＝0.08，P (D ′)＝0.35. 因为B 型、O 型血可以输给B 型血的人， 所以“可以输给B 型血的人”为事件B ′＋D ′. 根据互斥事件的概率加法公式，有P (B ′＋D ′)＝P (B ′)＋P (D ′)＝0.29＋0.35＝0.64. 故任找一个人，其血可以输给小明的概率是0.64.(2)方法一 由于A 型、AB 型血不能输给B 型血的人，故“不能输给B 型血的人”为事件A ′＋C ′.根据互斥事件的概率加法公式，有P (A ′＋C ′)＝P (A ′)＋P (C ′)＝0.28＋0.08＝0.36. 故任找一个人，其血不能输给小明的概率是0.36.方法二 由(1)，知不能输血给B 型血的人的概率为1－P (B ′＋D ′)＝1－0.64＝0.36. 故任找一个人，其血不能输给小明的概率是0.36. 题型四 几何概型及其应用若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性两个特点，则此试验为几何概型．由于其结果的无限性，概率就不能应用P (A )＝mn 求解，故需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．几何概型同古典概型一样，是概率中最具代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置．例4 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4s 内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4s 为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2s 的概率是________．答案 34解析 设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，则0≤x ≤4,0≤y ≤4，而事件A “它们第一次闪亮的时刻相差不超过2s ”，即|x －y |≤2，其表示的区域为如图所示的阴影部分．由几何概型概率公式，得P (A )＝42－2×⎝⎛⎭⎫12×2×242＝34.跟踪训练4 如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为________．答案113解析 设阴影小正方形边长为x ，则在直角三角形中有22＋(x ＋2)2＝(13)2，解得x ＝1或x ＝－5(舍)，∴阴影部分面积为1，∴飞镖落在阴影部分的概率为113.1.两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．若事件A 1，A 2，A 3，…，A n 彼此互斥，则P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )． 2．关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题： (1)试验结果是否有限且是等可能的？ (2)试验的基本事件有多少个？(3)事件A 是什么，它包含多少个基本事件？ 只有回答好了这三方面的问题，解题才不会出错．3．几何概型的试验中，事件A 的概率P (A )只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关．求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．。

[A 基础达标]1．在下列各选项中，不是算法应具有的特征是( ) A ．确定性 B ．可行性C ．有穷性D ．拥有足够的情报答案：D2．下列所给问题中，不能设计一个算法求解的是( ) A ．用二分法求方程x 2－3＝0的近似解(精确度0.01)B ．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5＝0x －y ＋3＝0C ．求半径为2的球的体积D ．求S ＝2＋4＋6＋…的值解析：选D.对于D ，S ＝2＋4＋6＋…，不知道需要多少步完成，所以不能设计一个算法求解．3．使用配方法解方程x 2－4x ＋3＝0的算法的正确步骤是( )①配方得(x －2)2＝1；②移项得x 2－4x ＝－3；③解得x ＝1或x ＝3；④开方得x －2＝±1. A ．①②③④ B ．②①④③ C ．②③④①D ．④③②①解析：选B.使用配方法的步骤应按移项、配方、开方、得解的顺序进行． 4．已知下面解决问题的算法： 1．输入x ；2．若x ≤1，则执行y ＝2x －3，否则y ＝x 2－3x ＋3； 3．输出y .当输入值x 与输出值y 相等时，输入的值为( ) A ．1 B ．3 C ．1或3D ．－1或－3解析：选 B.由已知算法可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x ≤1，x 2－3x ＋3，x >1.当x ＝y 时，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，2x －3＝x 或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x 2－3x ＋3＝x ，解得x ＝3.5．阅读下面的算法：1．输入两个实数a ，b .2．若a ＜b ，则交换a ，b 的值，否则执行第3步． 3．输出a .这个算法输出的是( ) A ．a ，b 中的较大数 B ．a ，b 中的较小数 C ．原来的a 的值D ．原来的b 的值解析：选A.第二步中，若a ＜b ，则交换a ，b 的值，那么a 是a ，b 中的较大数；否则a ＜b 不成立，即a ≥b ，那么a 也是a ，b 中的较大数．6．给出如下算法： 1．输入x 的值．2．若x ≥0，则y ＝x ，否则执行第3步． 3．y ＝x 2. 4．输出y 的值．若输出的y 值为9，则x ＝________．解析：根据题意可知，此为求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，x 2，x ＜0函数值的算法，当x ≥0时，x ＝9；当x ＜0时，x 2＝9，所以x ＝－3.答案：9或－37．下面给出一个问题的算法： 1．输入a .2．若a ≥4，则执行第3步；否则，执行第4步． 3．输出2a －1； 4．输出a 2－2a ＋3.则这个算法解决的问题是________，当输入的a ＝________时，输出的数值最小． 解析：这个算法解决的问题是求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥4，x 2－2x ＋3，x ＜4的函数值的问题．当x ≥4时， f (x )＝2x －1≥7；当x <4时， f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2. 所以f (x )min ＝2，此时x ＝1.所以当输入的a 的值为1时，输出的数值最小．答案：求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥4，x 2－2x ＋3，x ＜4的函数值 18．已知平面直角坐标系中的点A (－1，0)，B (3，2)，求直线AB 的方程的一个算法如下，请将其补充完整．1．根据题意设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b .2．将A (－1，0)，B (3，2)代入第1步所设的方程，得到－k ＋b ＝0①；3k ＋b ＝2②. 3．______________________．4．把第3步所得结果代入第1步所设的方程，得到y ＝12x ＋12.5．将第4步所得结果整理，得到方程x －2y ＋1＝0.解析：第2步列出了关于k ，b 的方程组，第3步解方程组确定k ，b . 答案：由第2步中①②得到k ＝12，b ＝129．已知某梯形的底边长AB ＝a ，CD ＝b ，高为h ，写出一个求这个梯形面积S 的算法． 解：算法如下：1．输入梯形的底边长a 和b ，以及高h . 2．计算a ＋b 的值． 3．计算(a ＋b )×h 的值． 4．计算S ＝（a ＋b ）×h2的值．5．输出结果S .10．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x >0，0，x ＝0，x ＋1，x <0，写出给定自变量x ，求函数值的算法．解：算法如下： 1．输入x .2．若x >0，则令y ＝－x ＋1后执行第5步，否则执行第3步． 3．若x ＝0，则令y ＝0后执行第5步，否则执行第4步． 4．令y ＝x ＋1. 5．输出y 的值．[B 能力提升]11．对于求18的正因数，给出下面的两种算法： 算法1：1．1是18的正因数，将1列出． 2．2是18的正因数，将2列出． 3．3是18的正因数，将3列出． 4．4不是18的正因数，将4剔除． …18．18是18的正因数，将18列出． 算法2： 1．18＝2×9. 2．18＝2×32.3．列出所有的正因数1，2，3，32，2×3，2×32. 则这两个算法( ) A ．都正确B ．算法1正确，算法2不正确C ．算法1不正确，算法2正确D ．都不正确解析：选A.算法1是用1～18的整数逐一验证，得出的正因数；算法2利用因数分解得到18的正因数；两种算法都正确．故选A.12．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜6分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开10分钟；⑤煮面条3分钟．以上各道工序，除了④之外，一次只能进行一道工序．小明要将面条煮好，最少要用的分钟数为( )A ．13B ．14C ．15D ．23解析：选C.①洗锅盛水2分钟、④用锅把水烧开10分钟(同时②洗菜6分钟、③准备面条及佐料2分钟)、⑤煮面条3分钟，共计15分钟．13．设计一个算法，求解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝12， ①3x －3y －z ＝16， ②x －y －z ＝－2. ③解：用加减消元法解这个方程组，其算法步骤是： 1．①＋②得2x －y ＝14.④2．②－③得x －y ＝9.⑤ 3．④－⑤得x ＝5.4．将x ＝5代入⑤得y ＝－4. 5．将x ＝5，y ＝－4代入①得z ＝11. 6．得到方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4，z ＝11.14．(选做题)从古印度的汉诺塔传说中演变了一个汉诺塔游戏：(1)有三根杆子A ，B ，C ，A 杆上有三个碟子(大小不等，自上到下，由小到大)，如图； (2)每次移动一个碟子，小的只能叠在大的上面； (3)把所有碟子从A 杆移到C 杆上． 试设计一个算法，完成上述游戏． 解：1.将A 杆最上面碟子移到C 杆． 2．将A 杆最上面碟子移到B 杆． 3．将C 杆上的碟子移到B 杆． 4．将A 杆上的碟子移到C 杆． 5．将B 杆最上面碟子移到A 杆． 6．将B 杆上的碟子移到C 杆． 7．将A 杆上的碟子移到C 杆．。

[A 基础达标]1．下列是古典概型的是( )(1)从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小； (2)同时掷两颗骰子，点数和为7的概率； (3)近三天中有一天降雨的概率；(4)10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率． A ．(1)(2)(3)(4) B ．(1)(2)(4) C ．(2)(3)(4)D ．(1)(3)(4)解析：选B.(1)(2)(4)为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而(3)不适合等可能性，故不为古典概型．2.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为( )A.12B.13C.38D.58解析：选B.该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为26＝13.3．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当选的概率为( ) A.25 B.210 C.310D.35解析：选C.从五个人中选取三人有10种不同结果：(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，而甲、乙都当选的结果有3种，故所求的概率为310.4．从1，2，3，4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：选A.从1，2，3，4这四个数字中，任取两个不同的数字，可构成12个两位数：12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，其中大于30的有：31，32，34，41，42，43共6个，所以所得两位数大于30的概率为P ＝612＝12. 5．宇航员小陈从探险的星球上带回绿、蓝、紫3块不同的岩石，儿子想要紫色的岩石，他和儿子开玩笑说，他从袋中每次随机摸出2块岩石，有放回地摸取三次，如果三次恰有两次摸到紫色岩石就把它送给儿子，则儿子能得到紫色岩石的概率为( )A.23B.16C.2027D.49解析：选D.小陈每次从袋中随机摸取2块岩石，有(绿，蓝)，(绿，紫)，(蓝，紫)三种不同的摸法，分别记为A ，B ，C ，他有放回地摸取三次有(AAA )，(AAB )，(ABA )，(BAA )，(AAC )，(ACA )，(CAA )，(BBB )，(ABB )，(BAB )，(BBA )，(BBC )，(BCB )，(CBB )，(CCC )，(CCB )，(CBC )，(BCC )，(CCA )，(ACC )，(CAC )，(ABC )，(ACB )，(BCA )，(BAC )，(CAB )，(CBA )，共27种不同的摸法，恰有两次摸到紫色的有12种不同的摸法，所以儿子得到紫色岩石的概率P ＝1227＝49.故选D. 6．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆x 2＋y 2＝9内的概率为________．解析：掷骰子共有36种可能情况，而落在x 2＋y 2＝9内的情况有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4种，故所求概率P ＝436＝19.答案：197．甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b ，且a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a －b |≤1，则称“甲、乙心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________．解析：数字a ，b 的所有取法有36种，满足|a －b |≤1的取法有16种，所以其概率为P ＝1636＝49. 答案：498．某城市有8个商场A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 和市中心O 排成如图所示的格局，其中每个小方格为正方形，某人从网格中随机地选择一条最短路径，欲从商场A 前往商场H ，则他经过市中心O 的概率为________．解析：此人从商场A 前往商场H 的所有最短路径有A →B →C →E →H ，A →B →O →E →H ，A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H ，A →D →F →G →H ，共6条，其中经过市中心O 的有4条，所以所求概率为23.答案：239．现共有6家企业参与某项工程的竞标，其中A 企业来自辽宁省，B 、C 两家企业来自福建省，D 、E 、F 三家企业来自河南省，此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．(1)列举所有企业的中标情况；(2)在中标的企业中，至少有一家来自福建省的概率是多少？解：(1)从这6家企业中选出2家的选法有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共有15种，以上就是中标情况．(2)在中标的企业中，至少有一家来自福建省的选法有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种．则“在中标的企业中，至少有一家来自福建省”的概率为915＝35.10．现有编号分别为1，2，3，4，5的五道不同的政治题和编号分别为6，7，8，9的四道不同的历史题．甲同学从这九道题中一次性随机抽取两道题，每道题被抽到的概率是相等的，用符号(x ，y )表示事件“抽到的两道题的编号分别为x ，y ，且x <y ”．(1)问有多少个基本事件？请列举出来；(2)求甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率． 解：(1)共包括36个等可能的基本事件，列举如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(3，9)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，(8，9)．(2)记“甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11”为事件A ， 由第一问可知事件A 共包含15个基本事件，列举如下：(2，9)，(3，8)，(3，9)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，所以P (A )＝1536＝512.即甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率为512.[B 能力提升]11．已知A ＝{1，2，3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0，a ∈A ，b ∈A }，则A ∩B ＝B 的概率是( )A.29B.13C.89D ．1解析：选C.因为a ∈A ，b ∈A ，所以可用列表法得到构成的基本事件总数为9(如下表所示)．因为A 3}． 当B ＝∅时，a 2－4b <0，满足条件的a ，b 为a ＝1，b ＝1，2，3；a ＝2，b ＝2，3；a ＝3，b ＝3.当B ＝{1}时，满足条件的a ，b 为a ＝2，b ＝1. 当B ＝{2}，{3}时，没有满足条件的a ，b . 当B ＝{1，2}时，满足条件的a ，b 为a ＝3，b ＝2.当B ＝{2，3}，{1，3}时，没有满足条件的a ，b . 综上，符合条件的结果有8种． 所以A ∩B ＝B 的概率P ＝89.12．盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别．现由10人依次摸出1个球，设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为P 1，第10个人摸出黑球的概率是P 10，则( )A ．P 10＝110P 1B ．P 10＝19P 1C ．P 10＝0D ．P 10＝P 1解析：选D.摸球与抽签是一样的，虽然摸球的顺序有先后，但只需不让后人知道先摸的人摸出的结果，那么各个摸球者摸到黑球的概率是相等的，并不因摸球的顺序不同而影响到其公平性．所以P 10＝P 1.13．设a 是从集合{1，2，3，4}中随机取出的一个数，b 是从集合{1，2，3}中随机取出的一个数，构成一个基本事件(a ，b )．记“这些基本事件中，满足log b a ≥1”为事件E ，则E 发生的概率是________．解析：事件发生包含的事件是分别从两个集合中取两个数字，共有12种结果，满足条件的事件是满足log b a ≥1，可以列举出所有的事件，当b ＝2时，a ＝2，3，4，当b ＝3时，a ＝3，4，共有3＋2＝5个，所以根据古典概型的概率公式得到概率是512.答案：51214．(选做题)田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A 、B 、C ，田忌的三匹马分别为a 、b 、c ；三匹马各比赛一次，胜两场者获胜．若这六匹马比赛优、劣程度可以用以下不等式表示：A >a >B >b >C >c .(1)正常情况下，求田忌获胜的概率；(2)为了得到更大的获胜机会，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马A ，于是田忌采用了最恰当的应对策略，求这时田忌获胜的概率．解：(1)比赛配对的基本事件共有6个，它们是：(Aa ，Bb ，Cc )，(Aa ，Bc ，Cb )，(Ab ，Ba ，Cc )，(Ab ，Bc ，Ca )，(Ac ，Ba ，Cb )，(Ac ，Bb ，Ca )．经分析：仅有配对为(Ac ，Ba ，Cb )时，田忌获胜，且获胜的概率为16.(2)田忌的策略是首场安排劣马c 出赛，基本事件有2个：(Ac ，Ba ，Cb )，(Ac ，Bb ，Ca )，配对为(Ac ，Ba ，Cb )时，田忌获胜且获胜的概率为12.故正常情况下，田忌获胜的概率为16，获得信息后，田忌获胜的概率为12.。

[A 基础达标]1．下列抽取样本的方式是简单随机抽样的有( ) ①从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；②箱子里有100支铅笔，今从中选取10支进行检验．在抽样操作时，从中任意拿出一支检测后再放回箱子里；③从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选A.①不满足总体的个体数有限；②不满足不放回抽取的特点；③不满足逐个抽取的特点．2．把样本容量为20的数据分组，分组区间与频数如下：10～20，2；20～30，3；30～40，4；40～50，5；50～60，4；60～70，2.则在区间10～50上的数据的频率是( )A ．0.05B ．0.25C ．0.5D ．0.7解析：选D.由题知，在区间10～50上的数据的频数是2＋3＋4＋5＝14，故其频率为1420＝0.7.3．某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 满足2b ＝a ＋c ，则二车间生产的产品数为( )A ．800B ．1 000C ．1 200D ．1 500解析：选C.因为2b ＝a ＋c ，所以二车间抽取的产品数占抽取产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为3 600×13＝1 200.4.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，x －1、x －2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s 1、s 2分别表示甲、 乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有( )A ．x －1＞x －2，s 1＜s 2B ．x －1＝x －2，s 1＝s 2 C ．x －1＝x －2，s 1＜s 2 D ．x －1＝x －2，s 1＞s 2解析：选C.因为x －1＝15，x －2＝15，s 21＝373，s 22＝533，所以x －1＝x －2，s 1＜s 2.5．一组数据的方差为s 2，平均数为x －，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得的一组新数据的方差和平均数为( )A ．12s 2，12x －B ．2s 2，2x －C ．4s 2，2x －D ．s 2，x －解析：选C.将一组数据的每一个数都乘以a ，则新数据组的方差为原来数据组方差的a 2倍，平均数为原来数据组的a 倍，故答案选C.6．在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________、________．解析：甲组数据为：28，31，39，42，45，55，57，58，66，中位数为45.乙组数据为：29，34，35，42，46，48，53，55，67，中位数为46.答案：45 467．从某地区1 500位中年人中随机抽取100人，其是否常用微信的情况如下表所示：解析：设1 500位中年人中女性与男性不常用微信的人数分别为x ，y ，由x 15 00＝22100，得x ＝330；同理可得y ＝270.于是x －y ＝330－270＝60(人)． 答案：608．5 000辆汽车经过某一雷达测速区，其速度频率分布直方图如图所示，则时速超过70 km/h 的汽车数量为________．解析：由时速的频率分布直方图可知，时速超过70 km/h 的汽车的频率为图中70到80的矩形的面积，所以时速超过70 km/h 的汽车的频率为0.010×(80－70)＝0.1.因为共有5 000辆汽车，所以时速超过70 km/h 的汽车数量为5 000×0.1＝500. 答案：5009．甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7； 乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5. (1)分别计算两组数据的平均数； (2)分别计算两组数据的方差；(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击水平谁更好一些． 解：(1) x －甲＝110(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，x －乙＝110(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7.(2)由方差公式s 2＝1n [(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]可求得s 2甲＝3.0，s 2乙＝1.2. (3)由x －甲＝x －乙，说明甲、乙两名战士的平均水平相当；又因为s 2甲＞s 2乙，说明甲战士射击情况波动大，因此乙战士比甲战士射击情况稳定．10．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．解：(1)设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a 、b 、c ，则有x ·40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ·10%＋3xc4x ＝10%.解得b ＝50%，c ＝10%. 故a ＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%. (2)游泳组中，抽取的青年人人数为200×34×40%＝60；抽取的中年人人数为200×34×50%＝75；抽取的老年人人数为200×34×10%＝15.[B 能力提升]11．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为x －，方差为s 2，则( )A ．x －＝5，s 2＜2 B ．x －＝5，s 2＞2 C ．x －＞5，s 2＜2D ．x －＞5，s 2＞2解析：选A.设18(x 1＋x 2＋…＋x 8)＝5，所以19(x 1＋x 2＋…＋x 8＋5)＝5，所以x －＝5，由方差定义及意义可知加新数据5后，样本数据取值的稳定性比原来强，所以s 2＜2，故选A.12．在某大学数学专业的160名学生中开展一项社会调查，先将学生随机编号为001，002，003，…，160，采用系统抽样的方法抽取样本，已知抽取的学生中最小的两个编号为007，023，那么抽取的学生中最大编号应该是( )A ．150B ．151C ．142D ．143解析：选B.由最小的两个编号为007，023可知，抽样间距为16，因此抽取人数的比例为116，即抽取10名学生，故抽取的学生中最大编号为7＋9×16＝151. 13．一个总体中的80个个体编号为0，1，2，…，79，并依次将其分为8个组，组号为0，1，…，7，要用系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本．即规定先在第0组随机抽取一个号码，记为i ，依次错位地得到后面各组的号码，即第k 组中抽取个位数字为i ＋k (当i ＋k ＜10时)或i ＋k －10(当i ＋k ≥10时)的号码．当i ＝6时，所抽到的8个号码是________．解析：由题意得，在第1组抽取的号码的个位数字是6＋1＝7，故应选17；在第2组抽取的号码的个位数字是6＋2＝8，故应选28，依次类推，应选39，40，51，62，73.答案：6，17，28，39，40，51，62，7314．(选做题)从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，据测量知被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组；第一组155～160；第二组160～165；…；第八组190～195，如图所示的是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组人数与第八组人数的和是第七组人数的2倍．(1)估计这所学校高三年级全体男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人数；(2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图．解：(1)由频率分布直方图得前五组频率和为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，后三组频率和为1－0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9(人)，这所学校高三年级全体男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为800×0.18＝144(人)．(2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2(人)，设第六组人数为m，则第七组人数为9－2－m＝7－m.又m＋2＝2×(7－m)，所以m＝4，所以第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08，0.06，相应的f iΔx i分别为0.016，0.012，画图如图所示．。