2013届高三数学直线与圆的位置关系复习学案文苏教版

高三数学直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系二. 本周教学目标：1. 掌握直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识，能够从代数特征（解或讨论方程组）或几何性质去考虑2. 会运用半径长、半径、弦心距构成的直角三角形减少运算量三. 本周知识要点：1. 研究圆与直线的位置关系最常用的方法：①判别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。

直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种，若22BA CBb Aa d +++=，则0<∆⇔⇔>相离r d ；0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d2. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 ①条公切线外离421⇔⇔+>r r d ②条公切线外切321⇔⇔+=r r d③条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ④条公切线内切121⇔⇔-=r r d ⑤无公切线内含⇔⇔-<<210r r d3. 直线和圆相切：这类问题主要是求圆的切线方程求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。

①过圆上一点的切线方程：圆),(00222y x P r y x 的以=+为切点的切线方程是200r y y x x =+。

当点00(,)P x y 在圆外时，200r y y x x =+表示切点弦的方程。

一般地，曲线)(00022y x P F Ey Dx Cy Ax ，的以点=++-+为切点的切线方程是：0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 。

当点00(,)P x y 在圆外时，0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 表示切点弦的方程。

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系知识梳理1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d＜r Δ＞0相切d＝r Δ＝0相离d＞r Δ＜02.圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离d＞r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|＜d＜r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)无解1．对直线与圆位置关系的理解(1)直线y＝k x＋1与圆x2＋y2＝1恒有公共点．(√)(2)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(×)(3)(2013·浙江卷改编)直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于2 5.(×)2．对圆与圆位置关系的理解(4)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×)(5)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)3．关于圆的切线与公共弦(6)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(√)(7)两个相交圆的方程相减消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(√)(8)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．(√)[感悟·提升]1．两个防范一是应用圆的性质求圆的弦长，注意弦长的一半、弦心距和圆的半径构成一个直角三角形，有的同学往往漏掉了2倍，如(3)；二是在判断两圆位置关系时，考虑要全面，防止漏解，如(4)、(5)，(4)应为两圆外切与内切，(5)应为两圆相交、内切、内含．2．两个重要结论一是两圆的位置关系与公切线的条数：①内含时：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．二是当两圆相交时，把两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得两圆公共弦所在直线的方程.考点一直线与圆的位置关系【例1】(1)(2013·陕西卷改编)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．(2)(2012·江西卷)过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．解析(1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圆心O到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b2＝1a 2＋b2＜1.故直线与圆O 相交．(2)法一 如图所示，|OP |＝|OA |sin ∠OP A＝2，易得P 为CD 中点，故P (2，2)．法二 设P (x ，y )，由法一可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，x ＋y －22＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，故P (2，2)．答案 (1)相交 (2)(2，2)规律方法 判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．【训练1】 (1)“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的________条件．(2)(2014·郑州模拟)直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 取值范围是________．解析 (1)若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.但当a ＝3时，直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8一定相切，故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件．(2)当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m ＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d ＝|m |1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝1，解得m ＝233，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1＜m ＜233. 答案 (1)充分不必要 (2)⎝⎛⎭⎪⎫1，233 考点二 圆与圆的位置关系【例2】 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解 两圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ， 解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离5，故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. (3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0， ∴公共弦长为2(11)2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤|4＋3×3－23|42＋322＝27. 规律方法 (1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．【训练2】(1)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是________．(2)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝________.解析(1)圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径为r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径r2＝2，故两圆的圆心距|O1O2|＝5，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r1＜|O1O2|＜r1＋r2，故两圆相交．(2)依题意，可设圆心坐标为(a，a)、半径为r，其中r＝a＞0，因此圆的方程是(x －a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝2×102－4×17＝8.答案(1)相交(2)8考点三有关圆的弦长问题【例3】已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程．审题路线(1)画图⇒从图中寻找弦心距与弦的一半、半径的关系⇒求弦心距⇒由点到直线的距离公式可求直线的斜率k⇒注意考虑斜率k的特殊情况⇒得到所求直线方程．(2)设出直线l的方程⇒直线与圆方程联立方程组⇒消去y⇒写出根与系数的关系⇒代入弦长公式求k⇒注意考虑k的特殊情况⇒得到所求直线l的方程．解法一如图所示，AB＝43，D是AB的中点，CD⊥AB，AD＝23，圆x2＋y2＋4x－12y＋24＝0可化为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，圆心C(－2,6)，半径r＝4，故AC＝4，在Rt△ACD中，可得CD＝2.当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线l 的方程为y －5＝k x ，即k x －y ＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式，得|－2k －6＋5|k 2＋(－1)2＝2，解得k ＝34.此时直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0； 当直线l 的斜率不存在时，方程为x ＝0. 则y 2－12y ＋24＝0，∴y 1＝6＋23，y 2＝6－23， ∴|y 2－y 1|＝43，故x ＝0满足题意； ∴所求直线的方程为3x －4y ＋20＝0或x ＝0.法二 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线的方程为y －5＝k x ，即y ＝k x ＋5，联立直线与圆的方程，得⎩⎨⎧y ＝k x ＋5，x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.消去y ，得(1＋k 2)x 2＋(4－2k )x －11＝0.① 设方程①的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k －41＋k 2，x 1x 2＝－111＋k 2.②由弦长公式，得1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝ 4 3.将②式代入，解得k ＝34， 此时直线的方程为3x －4y ＋20＝0.当k 不存在时也满足题意，此时直线方程为x ＝0， ∴所求直线的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0.规律方法 (1)若能求出直线与圆的两交点A ，B 的坐标，则弦长l ＝|AB |.(2)利用勾股定理：若弦心距为d ，圆的半径为r ，则由图可知，弦长|AB |＝2r 2－d 2.(3)利用弦长公式：|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(方程联立，消去y (或x )，再利用根与系数的关系可得)．【训练3】 设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．解析 ∵l 与圆相交所得弦的长为2，1m 2＋n 2＝4－1，∴m 2＋n 2＝13≥2|mn |，∴|mn |≤16.l 与x 轴交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，与y 轴交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1n ，∴S △AOB ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1n ＝12·1|mn |≥12×6＝3. 答案 31．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形． 3．圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2－d 2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2].答题模板9——与圆有关的探索问题【典例】(12分)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问在圆C上是否存在两点A、B 关于直线y＝k x－1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由．[规范解答]圆C的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C(1，－2)．假设在圆C上存在两点A，B满足条件，则圆心C(1，－2)在直线y＝k x－1上，即k＝－1.(2分)于是可知，k AB＝1.设l AB：y＝x＋b，代入圆C的方程，整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，则Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)＞0，即b2＋6b－9＜0.解得－3－32＜b＜－3＋3 2.(6分)设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－b－1，x1x2＝12＋2b－2.2b由题意知OA⊥OB，则有x1x2＋y1y2＝0，(8分)也就是x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0.∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0.∴b 2＋4b －4－b 2－b ＋b 2＝0，化简得b 2＋3b －4＝0.(10分) 解得b ＝－4或b ＝1，均满足Δ＞0，(11分)即直线AB 的方程为x －y －4＝0，或x －y ＋1＝0.(12分)[反思感悟] 本题是与圆有关的探索类问题，要注意充分利用圆的几何性质解题，解题的关键有两点：(1)假设存在两点A 、B 关于直线对称，则直线过圆心．(2)若以AB 为直径的圆过原点，则OA ⊥OB .转化为OA →·OB→＝0.答题模板 第一步：假设符合要求的结论存在.第二步：从条件出发(即假设)利用直线与圆的关系求解.第三步：确定符合要求的结论存在或不存在.第四步：给出明确结果.第五步：反思回顾，查看关键点，易错点及答题规范.【自主体验】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝k x －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，如图，直线y ＝k x －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需保证圆心C 到y ＝k x －2的距离不大于2即可．圆心C (4,0)到直线y ＝k x －2的距离d ＝|4k －2|(－1)2＋k2＝|4k －2|1＋k 2，由题意知|4k －2|1＋k 2≤2，整理得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.故k max ＝43.答案 43基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是________．解析 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 2＋y 2＝1，消去y ，整理得x 2＋x ＝0，因为Δ＝12－4×1×0＝1＞0，所以直线与圆相交．又圆x 2＋y 2＝1的圆心坐标为(0,0)，且0≠0＋1，所以直线不过圆心．法二 圆x 2＋y 2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径长为1，则圆心到直线y ＝x ＋1距离d ＝12＝22. 又0＜22＜1所以直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交但直线不过圆心． 答案 相交2．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为________． 解析 两圆圆心分别为(－2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交． 答案 相交3．过点A (2,4)向圆x 2＋y 2＝4所引切线的方程为________．解析 显然x ＝2为所求切线之一；另设直线方程为y －4＝k (x －2)，即k x －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝34，即3x －4y ＋10＝0. 答案 x ＝2或3x －4y ＋10＝04．(2013·安徽卷改编)直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为________．解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，则圆心(1,2)到直线x ＋2y －5＋5＝0的距离d ＝|1＋4－5＋5|5＝1，∴直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为2(5)2－12＝4. 答案 45．(2014·威海期末考试)若直线y ＝k x 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为________．解析 因为直线y ＝k x 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则y ＝k x 与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以解得k ＝12，b ＝－4.答案 k ＝12，b ＝－46．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.答案 [－3,1]7．过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________．解析 由题意得，当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，从而直线方程y －1＝－1－120－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0.答案 2x －4y ＋3＝08．(2014·盐城二模)两圆相交于两点(1,3)和(m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，且m 、c 均为实数，则m ＋c ＝________.解析 根据两圆相交的性质可知，两点(1,3)和(m ，－1)的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，1在直线x －y ＋c ＝0上，并且过两点的直线与x －y ＋c ＝0垂直，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋m 2－1＋c ＝0，3－(－1)1－m×1＝－1，∴m ＝5，c ＝－2，∴m ＋c ＝3. 答案 3二、解答题9．求过两圆x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程．解 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1， ①x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0， ②①－②得2x －y ＝0代入①得x ＝－15或－1，∴两圆两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)． 过两交点圆中，以⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小． ∴该圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－65，半径为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＋222＝255， 圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45. 10．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2， 解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧ |CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·安徽宣城六校联考)已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①若点P 在圆O 上，则直线l 与圆O 相切；②若点P 在圆O 外，则直线l 与圆O 相离；③若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交；④无论点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切，其中正确的结论是________． 解析 根据点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20，若点P 在圆O 上，则x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；若点P 在圆O 外，则x 20＋y 20＞r 2，d ＜r ，相交；若点P 在圆O 内，则x 20＋y 20＜r 2，d ＞r ，相离，故只有①正确．答案 ①2．(2014·长沙模拟)若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆所作的切线长的最小值是________．解析 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，所以圆心为(－1,2)，半径为 2.因为圆关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，所以圆心在直线2ax ＋by ＋6＝0上，所以－2a ＋2b ＋6＝0，即b ＝a －3，点(a ，b )到圆心的距离为d ＝(a ＋1)2＋(b －2)2＝(a ＋1)2＋(a －3－2)2＝2a 2－8a ＋26＝2(a －2)2＋18.所以当a ＝2时，d 有最小值18＝32，此时切线长最小，为(32)2－(2)2＝16＝4.答案 43．(2013·湖北卷)已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1(0<θ<π2)．设圆O上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________.解析 圆O 的圆心(0,0)到直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1的距离d ＝1.而圆的半径r ＝5，且r －d ＝5－1＞1，∴圆O 上在直线l 的两侧各有两点到直线l 的距离等于1. 答案 4二、解答题4．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．(1)若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程；(2)求四边形QAMB 面积的最小值； (3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程．解 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1， ∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0， ∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1.(2)∵MA ⊥AQ ，∴S四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ，∴|MP |＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2232＝13.在Rt△MBQ中，|MB|2＝|MP||MQ|，即1＝13|MQ|，∴|MQ|＝3，∴x2＋(y－2)2＝9.设Q(x,0)，则x2＋22＝9，∴x＝±5，∴Q(±5，0)，∴MQ的方程为2x＋5y－25＝0或2x－5y＋25＝0.。

第45课 直线与圆的位置关系(2)1. 能利用直线与圆的方程及其相关性质，解决直线与圆的简单综合问题.2. 掌握处理直线与圆的综合性问题的基本方法.3. 领悟并基本掌握“等价转化”“数形结合”等数学思想方法，会选择并掌握合理简捷的运算途径.1. 阅读：必修2第115～117页.2. 解悟：①进一步熟悉直线方程与圆的方程及其相互关系；②过圆上一点作圆的切线，有几条？能否写出圆的切线方程？若是过圆外一点呢？③研究直线与圆的位置关系，一般有哪些方法？④定点、定值问题有哪些基本方法？3. 践习：在教材空白处，完成必修2第128页复习题第12、14题，第129页复习题第26题.基础诊断1. 由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为7 .解析：由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，当直线上的点到圆心的距离最小，即圆心到直线的距离最小时，切线长也最小.因为圆心到直线的距离为|3＋1|2＝22，所以切线长最小为（22）2－1＝7.2. 过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为 1或177Ｗ.解析：将圆的方程化为标准方程得(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心为(1，1)，半径为r ＝1.又因为弦长为2，所以圆心到直线l 的距离d ＝1－⎝⎛⎭⎫222＝22.因为直线l 的斜率存在，设为k ，所以直线l ：y ＋2＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，所以|2k －3|k 2＋1＝22，解得k ＝1或k ＝177，故直线l 的斜率为1或177.3. 已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝⎛⎭⎫0<θ<π2，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则实数k ＝ 4 Ｗ.解析：因为圆O ：x 2＋y 2＝5，所以圆心O(0，0)，半径r ＝ 5.因为圆心O 到直线l 的距离d ＝1cos 2θ＋sin 2θ＝1<5，且r －d ＝5－1>1，所以圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为4，即k ＝4.4. 已知曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，点A(－2，0)，B(3，a)，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是 (－∞，－524)∪(524，＋∞) . 解析：由题意知过点A 的圆的切线方程的斜率存在，则设切线方程为y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，则圆心到切线的距离d ＝|3k|k 2＋1＝1，解得k ＝±24，所以过点A 的圆的切线方程为y ＝±24(x ＋2).当x ＝3时，y ＝±524，所以所求的a 的取值范围为(－∞，－524)∪(524，＋∞). 范例导航考向❶ 直线与圆相交的弦的问题例1 已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P(2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点.(1) 当直线l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2) 当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程； (3) 当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长.解析：(1) 因为圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C(1，0)，直线l 经过两点P ，C ， 所以直线l 的斜率为k ＝2－02－1＝2，所以直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2) 当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y－6＝0.(3) 当直线l 的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l 的方程为y －2＝x －2，即x －y ＝0， 则圆心C(1，0)到直线l 的距离为12.又圆的半径为3，所以弦AB ＝34.已知圆x 2＋y 2＝8内一点P(－1，2)，过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A ，B 两点.(1) 若α＝3π4，则AB ＝30 ；(2) 若弦AB 被点P 平分时，则直线l 的方程为 x －2y ＋5＝0 Ｗ.解析：(1) 因为α＝3π4，所以k AB ＝－1，所以直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y－1＝0，所以圆心O(0，0)到AB 的距离d ＝|0＋0－1|2＝22，则AB ＝28－12＝30. 解析：(2) 因为弦AB 被点P 平分，所以OP ⊥AB.又因为k OP ＝－2，所以k AB ＝12，所以直线l ：y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.考向❷ 定点、定值问题例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－3，4)，B(9，0)，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC ＝BD.(1) 若AC ＝4，求直线CD 的方程；(2) 求证：△OCD 的外接圆恒过定点.(异于原点O)解析：(1) 因为A(－3，4)， 所以OA ＝（－3）2＋42＝5.因为AC ＝4，所以OC ＝1，所以C ⎝⎛⎭⎫－35，45. 由BD ＝4，得D(5，0)，所以直线CD 的斜率为0－455－⎝⎛⎭⎫－35＝－17， 所以直线CD 的方程为y ＝－17(x －5)，即x ＋7y －5＝0.(2) 设C(－3m ，4m)(0<m ≤1)，则OC ＝5m ， 则AC ＝OA －OC ＝5－5m.因为AC ＝BD ，所以OD ＝OB －BD ＝5m ＋4， 所以点D 的坐标为(5m ＋4，0).又设△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则有⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，9m 2＋16m 2－3mD ＋4mE ＋F ＝0，（5m ＋4）2＋（5m ＋4）D ＋F ＝0，解得D ＝－(5m ＋4)，F ＝0，E ＝－10m －3，所以△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2－(5m ＋4)x －(10m ＋3)y ＝0， 整理得x 2＋y 2－4x －3y －5m(x ＋2y)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －3y ＝0，x ＋2y ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1， 所以△OCD 的外接圆恒过定点(2，－1).已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点.(1) 求证：△OAB 的面积为定值；(2) 设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程. 解析：(1) 由题意知圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t2， 化简得x 2－2tx ＋y 2－4ty ＝0.当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t ，0)； 当x ＝0时，y ＝0或4t ，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t ， 所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×|2t |×⎪⎪⎪⎪4t ＝4， 所以△OAB 的面积为定值. (2) 因为OM ＝ON ，CM ＝CN ， 所以OC 垂直平分MN . 因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12，所以k OC ＝12＝2t t ＝2t2，所以t ＝±2.当t ＝2时，圆心C (2，1)，半径r ＝OC ＝5， 此时点C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝55<5， 所以圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点；当t ＝－2时，圆心C (－2，－1)，半径r ＝OC ＝5， 此时点C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＝955>5，所以圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交，所以t ＝－2不符题意. 综上，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝ 5. 考向❸ 隐圆问题例3 如图，已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A(－5，0)，直线l ：3x －4y ＝0.(1) 求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；(2) 在直线OA 上(O 为坐标原点)，是否存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C 上任意一点P ，都有PBPA 为一常数.若存在，求出所有满足条件的点B 的坐标；若不存在，请说明理由.解析：(1) 由题意可设所求直线方程为4x ＋3y －b ＝0. 因为直线与圆相切， 所以|－b|42＋32＝3，得b ＝±15，所以所求直线方程为4x ＋3y ＋15＝0或4x ＋3y －15＝0. (2) 方法一：假设存在这样的点B(t ，0). 当点P 为圆C 与x 轴的左交点(－3，0)时， PB PA ＝|t ＋3|2； 当点P 为圆C 与x 轴的右交点(3，0)时， PB PA ＝|t －3|8. 依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得t ＝－5(舍去)或t ＝－95.下面证明点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任意一点P ，都有PBPA 为一常数. 设P(x ，y)，则y 2＝9－x 2，所以PB 2PA 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋952＋y 2（x ＋5）2＋y 2＝x 2＋185x ＋9－x 2＋8125x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝1825（5x ＋17）2（5x ＋17）＝925，所以PB PA ＝35为常数.方法二：假设存在这样的点B(t ，0)，使得PBPA 为常数λ，则PB 2＝λ2PA 2，设P(x ，y)，所以(x －t)2＋y 2＝λ2[(x ＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－x 2代入，得x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)，即2(5λ2＋t)x ＋34λ2－t 2－9＝0对x ∈[－3，3]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0，解得⎩⎨⎧λ＝35，t ＝－95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－5(舍去)， 故存在点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任意一点P ，都有PB PA ＝35.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(0，3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1) 若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2) 若圆C 上存在点M ，使得MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解析：(1) 由题意知，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在.设过点A(0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3. 由题意得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2) 因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以设圆心C(a ，2a －4)，所以圆C 的方程为(x －a)2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M(x ，y)，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2， 化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0， 即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上. 由题意得点M(x ，y)也在圆C 上， 所以圆C 与圆D 有公共点，则2－1≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3. 整理，得－8≤5a 2－12a ≤0. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125， 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125. 自测反馈1. 过点(2，3)且与圆(x －3)2＋y 2＝1相切的直线方程为 x ＝2或4x ＋3y －17＝0 Ｗ. 解析：当切线的斜率不存在时，切线的方程为x ＝2，满足题意；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k ，则切线的方程为y －3＝k(x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0，由圆心(3，0)到切线的距离等于半径得|k ＋3|k 2＋1＝1，所以k ＝－43，切线方程为4x ＋3y －17＝0.综上，所求切线方程为x ＝2或4x ＋3y －17＝0.2. 若直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则实数k ＝ 1 .解析：由题意得圆C ：(x －1)2＋y 2＝4，因为直线l 过点M(0，1)，且被圆C 截得的弦最短，所以直线l 与直线CM 垂直，又k CM ＝－1，所以k ＝1.3. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a)2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是 －1 .解析：圆(x －1)2＋(y －a)2＝16的圆心坐标为C(1，a)，半径r ＝4，直线ax ＋y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －a)2＝16相交于A 、B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则圆心C 到直线ax ＋y －2＝0的距离为22，所以d ＝|a ＋a －2|a 2＋1＝22，解得a ＝－1.4. 在平面直角坐标系xOy 中，A(－12，0)，B(0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上.若PA →·PB →≤20，则点P 横坐标的取值范围是 [－52，1] .解析：设点P 坐标为(x ，y)，则PA →＝(－12－x ，－y)，PB →＝(－x ，6－y)，则PA →·PB →＝x 2＋y 2＋12x －6y ≤20.又因为x 2＋y 2＝50，所以PA →·PB →－20＝x 2＋y 2＋12x －6y －20＝50＋12x －6y －20≤0，即2x －y ＋5≤0，则点P 表示的轨迹在直线2x －y ＋5＝0的上方.又因为点P 在圆x 2＋y 2＝50上，由图易知，点P 的横坐标的取值范围是[x C ，x D ].由题意得x C ＝－52，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋5＝0，x 2＋y 2＝50，消去y 得x 2＋4x －5＝0，解得x 1＝－5，x 2＝1，即x D ＝1，所以点P 的横坐标的取值范围是[－52，1].1. 研究直线与圆的问题时，一般采用两种方法：一是利用几何特征转化为代数问题求解；二是利用方程组求解，前者是常用方法.2. 题中所给某些条件中往往隐含着重要的几何关系或几何性质，要注意挖掘和运用.3. 你还有哪些体悟，写下来：。

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第14讲直线、圆的位置关系一．课标要求：1．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；2．探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；3．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；4．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；5．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。

二．命题走向本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系（特别是弦长问题），此类问题难度属于中等，一般以选择题的形式出现，有时在解析几何中也会出现大题，多考察其几何图形的性质或方程知识。

预测2013年对本讲的考察是：（1）一个选择题或一个填空题，解答题多与其它知识联合考察；（2）热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，注重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向；（3）本讲的内容考察了学生的理解能力、逻辑思维能力、运算能力。

三．要点精讲1．直线l1与直线l2的的平行与垂直（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：①l1//l2⇔k1=k2；②l1⊥l2⇔k1k2=－1。

（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零。

①l 1//l 2⇔212121C C B B A A ≠=； ②l 1⊥l 2⇔ A 1A 2+B 1B 2=0；③l 1与l 2相交⇔2121B B A A ≠； ④l 1与l 2重合⇔212121C C B B A A ==； 注意：若A 2或B 2中含有字母，应注意讨论字母=0与≠0的情况。

两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。

2． 距离（1）两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-=特别地：x //AB 轴，则=AB ||21x x -、y //AB 轴，则=AB ||21y y -。

１．直线与圆的位置关系（半径为r，圆心到直线的距离为d）相离相切相交图形量化方程观点Δ错误!0Δ＝0Δ错误!0几何观点d错误!r d错误!r d＜r２．圆与圆的位置关系（两圆半径为r１，r２，d＝|O１O２|）相离外切相交内切内含图形量的关系d＞r１＋r２d＝r１＋r２|r１—r２|＜d＜r１＋r２d＝|r１—r２|d＜|r１—r２|[小题体验]１．（２0１9·徐州调研）已知圆x２＋y２＝r２与圆x２＋y２＋6x—8y—１１＝0相内切，则正数r的值为________．解析：圆x２＋y２＋6x—8y—１１＝0的标准方程为（x＋３）２＋（y—４）２＝３6，圆心为（—３,４），半径为6，圆x２＋y２＝r２的圆心为（0,0），半径为r，则圆心距d＝错误!＝５．若两圆内切，则|r—6|＝５，得r—6＝５或r—6＝—５，即r＝１１或１．答案：１或１１２．直线l：３x—y—6＝0与圆x２＋y２—２x—４y＝0相交于A，B两点，则AB＝________.解析：由x２＋y２—２x—４y＝0，得（x—１）２＋（y—２）２＝５，所以该圆的圆心坐标为（１,２），半径r＝错误!，又圆心（１,２）到直线３x—y—6＝0的距离为d＝错误!＝错误!，由错误!２＝r２—d２，得AB２＝４错误!＝１0，即AB＝错误!.答案：错误!３．若直线x—y＋１＝0与圆（x—a）２＋y２＝２有公共点，则实数a的取值范围为________．解析：由题意可得，圆的圆心为（a,0），半径为错误!，所以错误!≤错误!，即|a＋１|≤２，解得—３≤a≤１．答案：[—３,１]４．若圆x２＋y２＝４与圆x２＋y２—２mx＋m２—１＝0相外切，则实数m＝________.解析：将圆x２＋y２—２mx＋m２—１＝0化成标准方程，得（x—m）２＋y２＝１，圆心为（m,0），半径r１＝１，圆x２＋y２＝４的圆心为（0,0），半径r２＝２．由两圆相外切，得|m|＝r１＋r２＝３，解得m＝±３．答案：±３１．对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在的情形．２．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．[小题纠偏]１．过点（２,３）与圆（x—１）２＋y２＝１相切的直线的方程为________．解析：１若切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y＝k（x—２）＋３，由圆心（１,0）到切线的距离为半径１，得k＝错误!，所以切线方程为４x—３y＋１＝0，２若切线的斜率不存在，则切线方程为x＝２，也是圆的切线，所以直线方程为４x—３y＋１＝0或x＝２．答案：x＝２或４x—３y＋１＝0２．若圆x２＋y２＝１与圆（x＋４）２＋（y—a）２＝２５相切，则常数a＝________.答案：±２错误!或0错误!错误![题组练透]１．（易错题）（２0１8·苏北四市调研）直线（a＋１）x＋（a—１）y＋２a＝0（a∈R）与圆x２＋y ２—２x＋２y—7＝0的位置关系是________．解析：法一：x２＋y２—２x＋２y—7＝0化为圆的标准方程为（x—１）２＋（y＋１）２＝9，故圆心坐标为（１，—１），半径r＝３，圆心到直线的距离d＝错误!＝错误!.再根据r２—d２＝9—错误!＝错误!，而7a２—４a＋7＝0的判别式Δ＝１6—１96＝—１80＜0，故有r２＞d２，即d＜r，故直线与圆相交．法二：由（a＋１）x＋（a—１）y＋２a＝0（a∈R）整理得x—y＋a（x＋y＋２）＝0，则由错误!解得x＝—１，y＝—１，即直线（a＋１）x＋（a—１）y＋２a＝0（a∈R）过定点（—１，—１），又（—１）２＋（—１）２—２×（—１）＋２×（—１）—7＝—５＜0，则点（—１，—１）在圆x２＋y２—２x＋２y—7＝0的内部，故直线（a＋１）x＋（a—１）y＋２a＝0（a∈R）与圆x２＋y２—２x＋２y—7＝0相交．答案：相交２．（２0１9·南京学情调研）在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y—２＝0与圆心为C的圆（x—１）２＋（y—a）２＝１6相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值是________．解析：因为△ABC为直角三角形，所以BC＝AC＝r＝４，所以圆心C到直线AB的距离为２错误!，从而有错误!＝２错误!，解得a＝—１．答案：—１３．（２0１8·苏州高三暑假测试）已知点A（１,0）和点B（0,１），若圆x２＋y２—４x—２y＋t＝0上仅有两个不同的点P，使得△PAB的面积为错误!，则实数t的取值范围是________．解析：由题可得AB＝错误!，若△PAB的面积为错误!，则点P到直线AB的距离为错误!，圆x２＋y２—４x—２y＋t＝0的标准方程为（x—２）２＋（y—１）２＝５—t，圆心到直线AB的距离为错误!，所以错误!—错误!＜错误!＜错误!＋错误!，解得错误!＜t＜错误!.答案：错误![谨记通法]判断直线与圆的位置关系的两种方法（１）几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．（２）代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大，能用几何法，尽量不用代数法．错误!错误![锁定考向]与圆有关的切线及弦长问题，是近年来高考的一个热点，常见的命题角度有：（１）求圆的切线方程（切线长）；（２）求弦长；（３）由弦长或切线问题求参数．[题点全练]角度一：求圆的切线方程（切线长）１．已知圆的方程为x２＋y２＝１，则在y轴上截距为错误!的切线方程为________________．解析：在y轴上截距为错误!且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y＝kx＋错误!，则错误!＝１，所以k＝±１，故所求切线方程为y＝x＋错误!或y＝—x＋错误!.答案：y＝x＋错误!或y＝—x＋错误!角度二：求弦长２．若a２＋b２＝２c２（c≠0），则直线ax＋by＋c＝0被圆x２＋y２＝１所截得的弦长为________．解析：因为圆心（0,0）到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝错误!＝错误!＝错误!，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于错误!＝错误!，所以弦长为错误!.答案：错误!角度三：由弦长或切线问题求参数３．（２0１8·苏州期末）在平面直角坐标系xOy中，已知过点M（１，１）的直线l与圆（x＋１）２＋（y—２）２＝５相切，且与直线ax＋y—１＝0垂直，则实数a＝________.解析：因为点M在圆上，所以切线方程为（１＋１）（x＋１）＋（１—２）（y—２）＝５，即２x—y—１＝0，所以２a—１＝0，即a＝错误!.答案：错误!４．已知圆C：（x—１）２＋（y—２）２＝２截y轴所得线段与截直线y＝２x＋b所得线段的长度相等，则b＝________.解析：记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，由圆心C到y轴的距离为１，CA＝CB＝错误!可知，圆心C（１,２）到直线２x—y＋b＝0的距离也等于１才符合题意，于是错误!＝１，解得b＝±错误!.答案：±错误![通法在握]１．圆的切线方程的２种求法（１）代数法：设切线方程为y—y0＝k（x—x0），与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.（２）几何法：设切线方程为y—y0＝k（x—x0），利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.[提醒] 若点M（x0，y0）在圆x２＋y２＝r２上，则过M点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r２.２．弦长的２种求法（１）代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．（２）几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝２错误!.[演练冲关]１．（２0１9·启东检测）已知点P是直线y＝x上一个动点，过点P作圆（x＋２）２＋（y—２）２＝１的切线，切点为T，则线段PT长度的最小值为________．解析：圆心C（—２,２），半径r＝１，则切线长PT＝错误!.要使PT最小，只需PC最小即可，此时CP垂直于直线y＝x，则C到直线x—y＝0的距离d＝错误!＝错误!＝２错误!，此时PT＝错误!＝错误!，故线段PT长度的最小值为错误!.答案：错误!２．过原点且与直线错误!x—错误!y＋１＝0平行的直线l被圆x２＋（y—错误!）２＝7所截得的弦长为________．解析：由题意可得l的方程为错误!x—y＝0，因为圆心（0，错误!）到l的距离d＝错误!＝１，所以所求弦长l＝２错误!＝２错误!＝２错误!.答案：２错误!３．已知点A（１，a），圆x２＋y２＝４．（１）若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；（２）若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求a的值及切线方程．解：（１）由于过点A的圆的切线只有一条，则点A在圆上，故１２＋a２＝４，得a＝±错误!.当a＝错误!，即A（１，错误!）时，切线的斜率为—错误!，故切线方程为y—错误!＝—错误!（x—１），即x＋错误!y—４＝0，当a＝—错误!，即A（１，—错误!）时，切线的斜率为错误!，故切线的方程为y＋错误!＝错误!（x—１），即x—错误!y—４＝0．所以a＝错误!时，切线方程为x＋错误!y—４＝0，a＝—错误!时，切线方程为x—错误!y—４＝0．（２）设直线方程为x＋y＝b，由于直线过点A，所以１＋a＝b，所以直线方程为x＋y＝１＋a，即x＋y—a—１＝0．又直线与圆相切，所以d＝错误!＝２，所以a＝±２错误!—１．所以切线方程为x＋y＋２错误!＝0或x＋y—２错误!＝0．错误!错误![典例引领]１．（２0１9·常州调研）若圆O：x２＋y２＝１0与圆M：（x—a）２＋y２＝90（a＞0）相交于A，B 两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．解析：由题意得，O（0,0），r１＝错误!，M（a,0），r２＝３错误!，∴２错误!＜|a|＜４错误!.∵OA⊥MA，∴在Rt△AOM中，根据勾股定理，得OM２＝OA２＋MA２，即a２＝（错误!）２＋（３错误!）２＝１00，∴a＝１0或a＝—１0（不合题意，舍去），则线段AB的长度为错误!＝错误!＝6．答案：6２．（２0１8·南京、盐城、连云港、徐州二模）已知圆O：x２＋y２＝１，动圆M：（x—a）２＋（y—a ＋４）２＝１．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为________．解析：由题意得圆心M（a，a—４）在直线x—y—４＝0上运动，所以动圆M是圆心在直线x—y—４＝0上，半径为１的圆．又因为圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使∠APB＝60°，所以OP＝２，即点P也在x２＋y２＝４上，于是２—１≤错误!≤２＋１，即１≤错误!≤３，解得２—错误!≤a≤２＋错误!，故实数a的取值范围是错误!.答案：错误![由题悟法]圆与圆位置关系问题的解题策略（１）处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．（２）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．[即时应用]１．已知圆x２＋y２＝9与圆x２＋y２—４x＋２y—３＝0相交于A，B两点，则线段AB的长为________．解析：由题意，两圆的公共弦为２x—y—３＝0，∵圆x２＋y２＝9的圆心坐标为（0,0），半径为３，∴圆心到直线的距离d＝错误!，∴线段AB的长为２错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１9·镇江模拟）若圆C１：x２＋y２＝１与圆C２：x２＋y２—6x—8y＋m＝0外切，则m＝________.解析：圆C１的圆心为C１（0,0），半径r１＝１，因为圆C２的方程可化为（x—３）２＋（y—４）２＝２５—m，所以圆C２的圆心为C２（３,４），半径r２＝错误!（m＜２５）．从而C１C２＝错误!＝５．由两圆外切，得C１C２＝r１＋r２，即１＋错误!＝５，解得m＝9．答案：9一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１8·扬州期末）已知直线l：x＋错误!y—２＝0与圆C：x２＋y２＝４交于A，B两点，则弦AB的长为________．解析：圆心C（0,0）到直线l的距离d＝错误!＝１，所以AB＝２错误!＝２错误!，故弦AB的长为２错误!.答案：２错误!２．（２0１9·南京调研）在平面直角坐标系xOy中，直线x＋２y＝0与圆（x—３）２＋（y—１）２＝２５相交于A，B两点，则线段AB的长为________．解析：圆（x—３）２＋（y—１）２＝２５的圆心坐标为（３,１），半径为５．∵圆心（３,１）到直线x＋２y＝0的距离d＝错误!＝错误!，∴线段AB的长为２错误!＝２错误!＝４错误!.答案：４错误!３．设圆（x—３）２＋（y＋５）２＝r２（r＞0）上有且仅有两个点到直线４x—３y—２＝0的距离等于２，则圆半径r的取值范围为________．解析：∵圆（x—３）２＋（y＋５）２＝r２（r＞0）的圆心坐标为（３，—５），半径为r，∴圆心（３，—５）到直线４x—３y—２＝0的距离d＝错误!＝５，∵圆（x—３）２＋（y＋５）２＝r２（r＞0）上有且仅有两个点到直线４x—３y—２＝0的距离等于２，∴|r—５|＜２，解得３＜r＜7．答案：（３,7）４．（２0１8·苏锡常镇调研）若直线３x＋４y—m＝0与圆x２＋y２＋２x—４y＋４＝0始终有公共点，则实数m的取值范围是________．解析：圆的标准方程为（x＋１）２＋（y—２）２＝１，故圆心到直线的距离d＝错误!≤１．即|m—５|≤５，解得0≤m≤１0．答案：[0,１0]５．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x２＋y２—6x＋５＝0的圆心为C，点A，B在圆C上，且AB＝２错误!，则S△ABC＝________.解析：圆C：x２＋y２—6x＋５＝0化为标准方程得（x—３）２＋y２＝４，圆心为（３,0），半径为２．∵点A，B在圆C上，且AB＝２错误!，∴圆心（３,0）到直线AB的距离为错误!＝１，∴S△ABC＝错误!×２错误!×１＝错误!.答案：错误!6．若圆x２＋y２＋mx—错误!＝0与直线y＝—１相切，其圆心在y轴的左侧，则m＝________.解析：圆的标准方程为错误!２＋y２＝错误!２，圆心到直线y＝—１的距离错误!＝|0—（—１）|，解得m＝±错误!，因为圆心在y轴的左侧，所以m＝错误!.答案：错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１9·苏北四市调研）在平面直角坐标系xOy中，若点A到原点的距离为２，到直线错误!x ＋y—２＝0的距离为１，则满足条件的点A的个数为________．解析：如图，作出直线错误!x＋y—２＝0，作出以原点为圆心，以２为半径的圆，∵原点O到直线错误!x＋y—２＝0的距离为１，∴在直线错误!x＋y—２＝0的右上方有一点满足到原点的距离为２，到直线错误!x＋y—２＝0的距离为１，过原点作直线错误!x＋y—２＝0的平行线，交圆于两点，则两交点满足到原点的距离为２，到直线错误!x＋y—２＝0的距离为１．故满足条件的点A共３个．答案：３２．（２0１8·苏州调研）两圆交于点A（１,３）和B（m,１），两圆的圆心都在直线x—y＋错误!＝0上，则m＋c＝________.解析：由题意可知线段AB的中点错误!在直线x—y＋错误!＝0上，代入得m＋c＝３．答案：３３．（２0１8·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调）在平面直角坐标系xOy中，过点P（—２,0）的直线与圆x２＋y２＝１相切于点T，与圆（x—a）２＋（y—错误!）２＝３相交于点R，S，且PT＝RS，则正数a的值为________．解析：因为PT与圆x２＋y２＝１相切于点T，所以在Rt△OPT中，OT＝１，OP＝２，∠OTP＝错误!，从而∠OPT＝错误!，PT＝错误!，故直线PT的方程为x±错误!y＋２＝0，因为直线PT截圆（x—a）２＋（y—错误!）２＝３得弦长RS＝错误!，设圆心到直线的距离为d，则d＝错误!，又错误!＝２错误!，即d＝错误!，即|a±３＋２|＝３，解得a＝—8或a＝—２或a＝４，因为a＞0，所以a＝４．答案：４４．（２0１8·无锡模拟）已知圆C：（x—２）２＋y２＝４，线段EF在直线l：y＝x＋１上运动，点P 为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得错误!·错误!≤0，则线段EF长度的最大值是________．解析：由错误!·错误!≤0得∠APB≥90°，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，∠APB才是最大的角，不妨设切线为PM，PN，当∠APB≥90°时，∠MPN≥90°，sin∠MPC＝错误!≥sin ４５°＝错误!，所以PC≤２错误!.另当过点P，C的直线与直线l：y＝x＋１垂直时，PC min ＝错误!，以C为圆心，CP＝２错误!为半径作圆交直线l于E，F两点，这时的线段长即为线段EF长度的最大值，所以EF max＝２错误!＝错误!.答案：错误!５．（２0１9·镇江调研）若圆O：x２＋y２＝５与圆O１：（x—m）２＋y２＝２0（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．解析：如图，因为圆O１与圆O在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，所以O１A⊥OA. 又因为OA＝错误!，O１A＝２错误!，所以OO１＝５．又A，B关于OO１对称，所以AB为Rt△OAO１斜边上高的２倍．由错误!·OA·O１A＝错误!OO１·AC，得AC＝２．所以AB＝４．答案：４6．（２0１8·淮阴期末）圆C１：x２＋y２＋２ax＋a２—４＝0和圆C２：x２＋y２—２by＋b２—１＝0相内切，若a，b∈R，且ab≠0，则错误!＋错误!的最小值为________．解析：由题意，两圆的标准方程分别为（x＋a）２＋y２＝４，x２＋（y—b）２＝１，∴圆心分别为（—a,0），（0，b），半径分别为２和１．∵两圆相内切，∴错误!＝１，∴a２＋b２＝１，∴错误!＋错误!＝错误!（a２＋b２）＝５＋错误!＋错误!≥５＋４＝9，当且仅当错误!＝错误!，即a２＝错误!，b２＝错误!时等号成立．故错误!＋错误!的最小值为9．答案：97．（２0１8·苏北四市期末）已知A，B是圆C１：x２＋y２＝１上的动点，AB＝错误!，P是圆C２：（x—３）２＋（y—４）２＝１上的动点，则|错误!＋错误!|的取值范围为________．解析：如图，因为A，B是圆C１：x２＋y２＝１上的动点，AB＝错误!，所以线段AB的中点H在圆O：x２＋y２＝错误!上，且|错误!＋错误!|＝２|错误!|.因为点P是圆C２：（x—３）２＋（y—４）２＝１上的动点，所以５—错误!≤|错误!|≤５＋错误!，即错误!≤|错误!|≤错误!，所以7≤２|错误!|≤１３，从而|错误!＋错误!|的取值范围为[7,１３]．答案：[7,１３]8．（２0１9·淮安模拟）已知圆O：x２＋y２＝１．若直线y＝错误!x＋２上总存在点P，使得过点P 的圆O的两条切线互相垂直，则实数k的最小值为________．解析：圆O的圆心为O（0,0），半径r＝１．设两个切点分别为A，B，则由题意可得四边形PAOB 为正方形，故有PO＝错误!r＝错误!，∴圆心O到直线y＝错误!x＋２的距离小于或等于PO＝错误!，即错误!≤错误!，即１＋k≥２，解得k≥１，∴实数k的最小值为１．答案：１9．已知圆C经过点A（２，—１），和直线x＋y＝１相切，且圆心在直线y＝—２x上．（１）求圆C的方程；（２）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为２，求直线l的方程．解：（１）设圆心的坐标为C（a，—２a），则错误!＝错误!.化简，得a２—２a＋１＝0，解得a＝１．所以C（１，—２），半径r＝|AC|＝错误!＝错误!.所以圆C的方程为（x—１）２＋（y＋２）２＝２．（２）１当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为２，满足条件．２当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得错误!＝１，解得k＝—错误!，所以直线l的方程为y＝—错误!x.综上所述，直线l的方程为x＝0或３x＋４y＝0．１0．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x２＋y２—４x＝0及点A（—１，0），B（１,２）．（１）若直线l∥AB，与圆C相交于M，N两点，MN＝AB，求直线l的方程；（２）在圆C上是否存在点P，使得PA２＋PB２＝１２？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由．解：（１）圆C的标准方程为（x—２）２＋y２＝４，所以圆心C（２,0），半径为２．因为l∥AB，A（—１,0），B（１,２），所以直线l的斜率为错误!＝１，设直线l的方程为x—y＋m＝0，则圆心C到直线l的距离为d＝错误!.因为MN＝AB＝错误!＝２错误!，而CM２＝d２＋错误!２，所以４＝错误!＋２，解得m＝0或m＝—４，故直线l的方程为x—y＝0或x—y—４＝0．（２）假设圆C上存在点P，设P（x，y），则（x—２）２＋y２＝４，PA２＋PB２＝（x＋１）２＋（y—0）２＋（x—１）２＋（y—２）２＝１２，即x２＋y２—２y—３＝0，即x２＋（y—１）２＝４．因为|２—２|＜错误!＜２＋２，所以圆（x—２）２＋y２＝４与圆x２＋（y—１）２＝４相交，所以点P的个数为２．三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１9·苏州调研）过曲线y＝２|x—a|＋x—a上的点P向圆O：x２＋y２＝１作两条切线PA，PB，切点为A，B，且∠APB＝60°，若这样的点P有且只有两个，则实数a的取值范围是________．解析：根据题意，若经过点P作圆O：x２＋y２＝１的两条切线，切点为A，B，且∠APB＝60°，则∠OPA＝３0°，所以PO＝２AO＝２，故点P的轨迹方程为x２＋y２＝４．y＝２|x—a|＋x—a＝错误!当x≤a时，曲线为x＋y—a＝0，当x≥a时，曲线为３x—y—３a＝0．故当a＜0时，若这样的点P有且只有两个，必有错误!＜２，即—错误!＜２，解得a＞—错误!，即—错误!＜a＜0；当a＝0时，曲线为y＝２|x|＋x＝错误!符合题意；当a＞0时，若这样的点P有且只有两个，必有错误!＜２，解得a＜２错误!，即0＜a＜２错误!，综上，实数a的取值范围是错误!.答案：错误!２．（２0１8·苏锡常镇调研）在平面直角坐标系xOy中，过点M（１,0）的直线l与圆x２＋y２＝５交于A，B两点，其中点A在第一象限，且错误!＝２错误!，则直线l的方程为__________．解析：法一：易知直线l的斜率存在，设l：y＝k（x—１）．由错误!＝２错误!，可设BM＝２t，MA＝t，如图，过原点O作OH⊥l于点H，则BH＝错误!.设OH＝d，在Rt△OBH中，d２＋错误!２＝r２＝５，在Rt△OMH中，d２＋错误!２＝OM２＝１，解得d２＝错误!.所以d２＝错误!＝错误!，解得k＝１或k＝—１，因为点A在第一象限，错误!＝２错误!，由图知k＝１，所以直线l的方程为y＝x—１，即x—y—１＝0．法二：设A（x１，y１），B（x２，y２），所以错误!＝（x１—１，y１），错误!＝（１—x２，—y２）．因为错误!＝２错误!，所以错误!即错误!又x错误!＋y错误!＝５，所以（２x１—３）２＋４y错误!＝５，联立错误!解得x１＝２，代入可得y１＝±１，又点A在第一象限，故A（２,１），所以直线l的方程为y＝x—１，即x—y—１＝0．答案：x—y—１＝0３．已知圆C１：（x＋１）２＋y２＝１和圆C２：（x—４）２＋y２＝４．（１）过点C１作圆C２的切线，求该切线方程；（２）过圆心C１作倾斜角为θ的直线l交圆C２于A，B两点，且A为C１B的中点，求sin θ；（３）过点P（m,１）引圆C２的两条割线l１和l２.直线l１和l２被圆C２截得的弦的中点分别为M，N，试问过点P，M，N，C２的圆是否过定点（异于点C２）？若过定点，求出该定点；若不过定点，说明理由．解：（１）显然切线的斜率存在，设切线方程为y＝k（x＋１），由题意得错误!＝２，解得k＝±错误!，所以所求直线方程为y＝±错误!（x＋１），即２x±错误!y＋２＝0．（２）设直线l的方程为y＝k（x＋１），则圆心C２到直线l的距离d＝错误!，设AB的中点为R，则AR＝错误!＝错误!AB＝错误!C１R＝错误!错误!，解得d２＝错误!.在Rt△C１RC２中，sin θ＝错误!＝错误!＝错误!.（３）依题意，过点P，M，N，C２的圆即为以PC２为直径的圆，所以（x—４）（x—m）＋（y—１）（y—0）＝0，即x２—（m＋４）x＋４m＋y２—y＝0，整理成关于实数m的等式（４—x）m＋x２—４x＋y２—y＝0恒成立，则错误!所以错误!或错误!（舍去）．即存在定点（４,１）．命题点一直线与方程、两条直线的位置关系１．（２0１7·北京高考）已知x≥0，y≥0，且x＋y＝１，则x２＋y２的取值范围是________．解析：依题意，x２＋y２可视为原点到线段x＋y—１＝0（x≥0，y≥0）上的点的距离的平方，如图所示，故（x２＋y２）min＝错误!２＝错误!，（x２＋y２）max＝|OA|２＝|OB|２＝１，故x２＋y２∈错误!.答案：错误!２．（２0１５·山东高考改编）一条光线从点（—２，—３）射出，经y轴反射后与圆（x＋３）２＋（y—２）２＝１相切，则反射光线所在直线的斜率为________．解析：由已知，得点（—２，—３）关于y轴的对称点为（２，—３），由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点（２，—３）．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋３＝k（x—２），即kx—y—２k—３＝0．由反射光线与圆相切，则有d＝错误!＝１，解得k＝—错误!或k＝—错误!.答案：—错误!或—错误!３．（２0１6·上海高考）已知平行直线l１：２x＋y—１＝0，l２：２x＋y＋１＝0，则l１与l２的距离是________．解析：由两平行线间的距离公式得d＝错误!＝错误!.答案：错误!命题点二圆的方程、直线与圆的位置关系１．（２0１7·江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，A（—１２,0），B（0,6），点P在圆O：x２＋y２＝５0上．若错误!·错误!≤２0，则点P的横坐标的取值范围是________．解析：设P（x，y），则错误!·错误!＝（—１２—x，—y）·（—x,6—y）＝x（x＋１２）＋y（y—6）≤２0．又x２＋y２＝５0，所以２x—y＋５≤0，所以点P在直线２x—y＋５＝0的上方（包括直线上）．又点P在圆x２＋y２＝５0上，由错误!解得x＝—５或x＝１，结合图象，可得—５错误!≤x≤１，故点P的横坐标的取值范围是[—５错误!，１]．答案：[—５错误!，１]２．（２0１8·全国卷Ⅲ改编）直线x＋y＋２＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x—２）２＋y２＝２上，则△ABP面积的取值范围是________．解析：设圆（x—２）２＋y２＝２的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋２＝0的距离为d，则圆心C（２,0），r＝错误!，所以圆心C到直线x＋y＋２＝0的距离为错误!＝２错误!，可得d max＝２错误!＋r＝３错误!，d min＝２错误!—r＝错误!.由已知条件可得|AB|＝２错误!，所以△ABP面积的最大值为错误!×|AB|×d max＝6，△ABP面积的最小值为错误!×|AB|×d min＝２．综上，△ABP面积的取值范围是[２,6]．答案：[２,6]３．（２0１8·北京高考改编）在平面直角坐标系中，记d为点P（cos θ，sin θ）到直线x—my—２＝0的距离，当θ，m变化时，d的最大值为________．解析：由题知点P（cos θ，sin θ）是单位圆x２＋y２＝１上的动点，所以点P到直线x—my—２＝0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离．又直线x—my—２＝0恒过点（２,0），所以当m变化时，圆心（0,0）到直线x—my—２＝0的距离错误!的最大值为２，所以点P到直线x—my—２＝0的距离的最大值为３，即d的最大值为３．答案：３４．（２0１8·全国卷Ⅰ）直线y＝x＋１与圆x２＋y２＋２y—３＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：由x２＋y２＋２y—３＝0，得x２＋（y＋１）２＝４．∴圆心C（0，—１），半径r＝２．圆心C（0，—１）到直线x—y＋１＝0的距离d＝错误!＝错误!，∴|AB|＝２错误!＝２错误!＝２错误!.答案：２错误!５．（２0１7·全国卷Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y＝x２＋mx—２与x轴交于A，B两点，点C 的坐标为（0,１），当m变化时，解答下列问题：（１）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（２）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．解：（１）不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：设A（x１,0），B（x２,0），则x１，x２满足x２＋mx—２＝0，所以x１x２＝—２．又C的坐标为（0,１），故AC的斜率与BC的斜率之积为错误!·错误!＝—错误!，所以不能出现AC⊥BC的情况．（２）证明：由（１）知BC的中点坐标为错误!，可得BC的中垂线方程为y—错误!＝x２错误!.由（１）可得x１＋x２＝—m，所以AB的中垂线方程为x＝—错误!.联立错误!可得错误!所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为错误!，半径r＝错误!.故圆在y轴上截得的弦长为２错误!＝３，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．6．（２0１6·江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x２＋y２—１２x—１４y＋60＝0及其上一点A（２,４）．（１）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；（２）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；（３）设点T（t,0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得错误!＋错误!＝错误!，求实数t的取值范围．解：圆M的标准方程为（x—6）２＋（y—7）２＝２５，所以圆心M（6,7），半径为５．（１）由圆心N在直线x＝6上，可设N（6，y0）．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0＜y0＜7，圆N的半径为y0，从而7—y0＝５＋y0，解得y0＝１．因此，圆N的标准方程为（x—6）２＋（y—１）２＝１．（２）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为错误!＝２．设直线l的方程为y＝２x＋m，即２x—y＋m＝0，则圆心M到直线l的距离d＝错误!＝错误!.因为BC＝OA＝错误!＝２错误!，而MC２＝d２＋错误!２，所以２５＝错误!＋５，解得m＝５或m＝—１５．故直线l的方程为２x—y＋５＝0或２x—y—１５＝0．（３）设P（x１，y１），Q（x２，y２）．因为A（２,４），T（t,0），错误!＋错误!＝错误!，所以错误!１因为点Q在圆M上，所以（x２—6）２＋（y２—7）２＝２５．２将１代入２，得（x１—t—４）２＋（y１—３）２＝２５．于是点P（x１，y１）既在圆M上，又在圆[x—（t＋４）]２＋（y—３）２＝２５上，从而圆（x—6）２＋（y—7）２＝２５与圆[x—（t＋４）]２＋（y—３）２＝２５有公共点，所以５—５≤错误!≤５＋５，解得２—２错误!≤t≤２＋２错误!.因此，实数t的取值范围是[２—２错误!，２＋２错误!]．。

2.2.2 直线与圆的位置关系教学目标：1．在学生能够应用平面几何知识判断直线与圆的位置关系的基础上,转化为应用坐标方法判断直线与圆的位置关系．进一步理解坐标思想研究几何问题的方法．认识方程组解的意义．2．理解直线与圆的位置的种类；能通过方程组的解和点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系．能够解决直线和圆相关的问题．3．通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．教材分析及教材内容的定位：本节内容是在学习了直线方程、圆的方程等一系列基础知识之后来研究直线与圆之间的位置关系．涉及到两大数学思想：数形结合、方程思想，这是培养学生数学思想的良好题材．另外为学生后续学习直线与圆锥曲线的位置关系提供了方法和基础．教学重点：直线与圆的位置关系的判断方法．直线与圆相关问题．教学难点：用坐标法判定直线与圆的位置关系．教学方法：导学点拨法、电脑、投影．教学过程：一、问题情境1．复习与基础练习．（1）直线kx－y＋1＋2k＝0过定点？（2）圆心为点(2，3)，半径为3的圆的标准方程？一般方程？（3）点(－2，1)与此圆的位置关系？学生自主思考，踊跃回答，教师参与分析，点明方法：解方程组、坐标法．2．问题：问题1 初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？教师通过幻灯片展示直线与圆的位置关系，学生回答．问题2 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？通过图形展示，教师引导学生总结出方法：判断交点个数，联系到方程的公共解，从而总结出解方程组的方法判定直线与圆之间的位置关系． 二、学生活动1．思考画图并讨论，说出自己的看法；2．在教师的引导下，观察图形，利用类比的方法，归纳出直线与圆的位置关系的种类；3．在教师的引导下动手做题．三、建构数学方法1：直线与圆的位置关系的判定方法：几何法．直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0；圆(x －a )2＋(y －b )＝r 2．利用圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系判断： d ＞r ——相离 d ＝r ——相切 d ＜r ——相交注：师生互动，共同总结判定方法，体会逻辑思维的严密性．方法2：利用直线与圆的公共点的个数进行判断：代数法设方程组2220()()Ax By C x a y b r ++=⎧⎨-+-=⎩的解的个数为n ，则有 △＞0⇒ n ＝2⇒相交；△＝0⇒ n ＝1⇒相切；△＜0⇒ n ＝0⇒相离．例题补充（让学生讲出解题思路，教师点评）2．练习．（1）直线x－y－2＝0被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为．（2）若过点(－2，1)作圆(x－3) 2＋(y－1) 2＝r2的切线有且只有一条，则r＝．（3）若直线(m＋1)x＋y＋1＝0与圆(x－1) 2＋y2＝1相切，则实数的m值为．（4）已知直线x－y＋b=0与圆x2＋y2＝25相离，求b的取值范围．（5）求以C(1、3）为圆心，并和直线3x－4y－6＝0相切的圆的方程．（6）已知⊙C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，与直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．①证明：不论m取何实数，直线l与⊙C恒有两个交点；②求直线被⊙C所截弦长最小时，l的方程．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．直线与圆位置关系；2．判断直线与圆的位置关系的方法：（1）代数法；（2）几何法．3．数学思想：数形结合和分类讨论的思想．。