2020年5月浙江省宁波市普通高中2020届高三高考适应性考试(二模)数学试题及答案

浙江省宁波市镇海中学2020届高三第二学期5月模拟考试数学学科注意事项：1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生必须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；2．本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

满分150分, 考试时间120分钟。

参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 柱体的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )锥体的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =13Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的表面积公式 台体的体积公式S = 4πR 2 1()11223V h S S S S =++球的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积, V =43πR 3h 表示台体的高 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．已知全集=R U ,集合{}0|>=x x A ，{}10|<<=x x B ，则()=B A C U ( ▲ ) A ．{}1|<x x B ． {}10|<<x x C ．{}0|≤x x D ．R 2．已知i 是虚数单位，复数2z i =−，则(12)z i ⋅+的共轭复数为( ▲ ) A ．2i + B ．43i + C ．43i − D ．43i −− 3．已知直线,,a b m ,其中,a b 在平面α内．则“,m a m b ⊥⊥”是“m α⊥”的( ▲ )A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ▲ ) A ． 3π B ．83π C ． 103π D ． 113π 5．记()()()77017211x a a x a x −=+++++，则0126a a a a +++的值为( ▲ )A ． 1B ． 2C ． 129D ． 21886．已知不等式组210,2,10,x y x x y −+≥⎧⎪≤⎨⎪+−≥⎩表示的平面区域为D ，若函数|1|y x m =−+的图象上存在区域D 上的点，则实数m 的取值范围是( ▲ )A ． [2,1]−B ． 1[2,]2−C ． 1[0,]2D ． 3[1,]2−7．甲、乙、丙、丁四个人到A ，B ，C 三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A 景点的方案有( ▲ ) A ． 18种 B ． 12种 C ． 36种 D ． 24种8．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的右焦点为F ,椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是( ▲ )2552.[,].[,1).[,31].[31,1)2332A B C D −−9．已知函数()()1ln 1,1{21,1x x x f x x −−>=+≤，则方程()()()3204f f x f x ⎡⎤−+=⎢⎥⎣⎦的实根个数为( ▲ )A ． 3B ． 4C ． 5D ． 610．已知直三棱柱111ABC A B C −的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱1AA , 1BB , 1CC 分别交于三点M , N , Q ,若MNQ ∆为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为( ▲ )A ． 2B ． 4C ． 22D ． 23第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题, 多空题每小题6分，单空题每小题4分, 共36分．11．双曲线:C 2214x y −=的渐近线方程为___▲__，设双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>经过点(4,1),且与C 具有相同渐近线,则C 的方程为 ▲ ． 12． 设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++−=．{}n a 的通项n a = ▲ ，数列的21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭前n 项和是 ▲ ．MA BCQD13．随机变量X 的分布列如下：X －10 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝ ▲ ，方差的最大值是 ▲ ．14． 函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0,π0)A ωϕ>>−<<的部分图像如图所示，则ϕ= ▲ ，为了得到()cos g x A x ω=的图像，需将函数()y f x =的图象最少向左平移 ▲ 个单位． 15．若实数,x y 满足114422xy xy ，则22xy S的取值范围是 ▲ ．16．已知24y x =抛物线，焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于,A B 两点，则2AF BF−的最小值为 ▲ ． 17．如图，在四边形ABCD 中， 1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则()·PQ AB DC −的值为 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题, 共74分。

51宁波市2020学年第二学期高考适应性考试高三数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．9.答案：A由图可知，若0a ≥，则[()]0f f x =得()1f x =，此时仅有2个零点，不符； 若0a <，则()1f x =或()f x a =，而()f x a =恰有1根，故()1f x =恰有2个根，则214a <，得20a −<<．10．答案：C由题得2211243k k k k x x x x −−+=++，累加得()22022202212202122...32022x x x x x +=++++⨯故()212202120221 (160672)x x x x +++=+−，2022x 为偶数 当2022177x +=时，122021...x x x +++最小为69．数列()75k x k k =≤，()7676,k x k k =≥为偶数，()7976,k x k k =−≥为奇数符合要求．二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分. 11.5,1− 12.6,8π13. 8,8 14. 222,22−− 15. 1050 16．2717．65216．根据几何意义，结合等和线性质，最大值为37222+=17．设00,b A x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则00,22x c bx B a −⎛⎫⎪⎝⎭，根据OB a k b =−，得20a x c =，故,,2b OA a OB AB ===2a b b a +−=−解得e =三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．解：（Ⅰ）由BA C BA B A B A B A B A B A sin cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin 1tan tan 1⋅=⋅⋅+⋅=⋅⋅+=+又B C b c sin sin 22=，得21cos =A ，故3π=A --------------6分 （Ⅱ）由已知可得{a +b +c =10a 2=b 2+c 2−bc -------8分消去a ，可得010020203=+−−c b bc得bc c b bc 40)(201003≥+=+（当且仅当c b =时取等号） 解得10≥bc （舍）或310≤bc -------12分 故9100≤bc ，则ABC ∆面积的最大值为3925. --------------14分19．解：（Ⅰ）由题得CD ⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，则CD BF ⊥-----2分 又BF AC ⊥， ----------4分故BF ⊥平面DCF ，从而DF FB ⊥． -------6分（Ⅱ）设2CD =，以F 为原点，FA 为x 轴正半轴，FB 为y 轴正半轴，53建立如图所示空间直角坐标系，则()1,0,0A，()B ，()1,0,2D −，()1,0,4E故()FB =，()1,0,2FD =−，则平面BDF 的一个法向量为()2,0,1n = -----10分又()1,BE =，设BE 与平面BDF 所成角的为θ，则3sin 55BE nBE nθ⋅===⋅ 即BE 与平面BDF 所成角的正弦值为35．-----------15分 20．解（Ⅰ）由11=a 及)(*1N n a a S n nn ∈=+λ，得λ12=a ，113+=λa又}{n a 为等差数列，解得21,1==λd ，则n a n = --------------6分 （Ⅱ）由n a n)21()21(−=−，得])21(1[31n n T −−−= ---------8分由1|2|≤−n pT 恒成立，可得3])21(1[3131≤−−−≤⇒≤≤n n p pT 恒成立 由23)21(143≤−−≤n ，得0<p ，有32334331≤⋅−≤⋅−≤p p 则可得实数p 的取值范围为]4,6[−−．-----------15分 21.解：（Ⅰ）由题得11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故21114m +=，243m =，54椭圆C 的方程为22314x y +=． -----------------5分（Ⅱ）设()1,0F c −，()2,0F c =，则221m c =+()111111121121111133266BOF G OF G OBBOF AOF AOBS S SSSS S cy cy c y y =++=++=−++−()1223c y y =−，()2122133ABOS S c y y ==− -----------9分 则112212245,33S y y S y y −⎡⎤=∈⎢⎥−⎣⎦，得1212,2y y ⎡⎤∈−−⎢⎥⎣⎦设:l x ty c =+，联立椭圆方程222:1x C y m+=，得()222210t m y tcy ++−=由韦达定理得12222tc y y t m −+=+，12221y y t m −=+，-----------12分 则()21212211252,22y y y yy y y y +⎡⎤+=−∈−−⎢⎥⎣⎦22224102t c t m ≤≤+，()22289m t m −≤对t 恒成立， 故2890m −≤，1m <≤-----------------15分 22.解：（Ⅰ） 11,a x a a f xx axx a x0x 且xa -----------1分①0a ，0fx，f x 单调递增；-----------2分②1a ，1110x f xx a x，f x 单调递减；-----------4分③10a ，01a a a ，,1a x a a 时0,fxf x 单调递减；55,1a xa 时0,fx f x 单调递增. -----------------6分（Ⅱ）设22ln1ln ln 1a x a xx g x e f x e a x a a a，0x .则0a .若0lim 1ln 0x g x a a ，则由图象的连续性知，必存在区间0,使得0g x 与题意矛盾,则0lim 1ln 0x g x a a，所以01a .220axa g xa e x x a，.2420axa gx a e x a，所以g x 单调递增.①若1a ，20lim 1=0x g x a ，0g x恒成立.所以0lim 1ln 0x g xg xa a ，符合.② 若01a ，20lim 10x g x a ，x时g x 且g x 单调递增.则存在唯一00,x ，使得00g x ，且00,xx 时0g x，g x 单调递减；0,+x x 时0g x ，g x 单调递增.所以20minln ln 1a x g x g x e a x aa由22000a x a g x a e x a可得201ax e a x a且200ln ln a x x aa所以33400min0011+ln ln 1=+ln ln 1g xa x a a a a x a a a a a a x a a x a3440012.ln ln 1=2ln ln 1a x aa a a a a a a a a a x a323=1ln 110a a a a a a a a（由不等式ln 1xx 可得）所以01a 时符合. 综上0,1a. -----------------15分。

2020年浙江省宁波市“十校”高三下学期5月适应性考试数学试题一、单选题1．若双曲线22:1y C x m-=0y +=，则实数m =（ ）A ．12B ．2C ．4D ．142．某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形,PA ⊥底面ABCD ，1,AB =π1,(0)2PA AC ABC θθ⋅=∠=<≤，则四棱锥P ABCD -的体积V 的取值范围是（ ）A ．1[)63B ．1]126C ．1,]63D ．1[)1264．已知2a ≤，5b ≤，则2a b -的最大值是( ) A ．14B ．10C ．12D ．75．设集合{}2|45A y y x x ==-+，集合{}2|10B x x =-=，则AB =（ ）A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1,5-D ．∅6．设10a <<，则随机变量ξ的分布列为：设()y E ξξ=-，则当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内增大时：（ ） A ．()E ξ递减，()2E y 递增B ．()E ξ递减，()2E y 递减C ．()E ξ递增，()2E y 先递减再递增D ．()E ξ递减，()2E y 先递增再递减7．已知()()501221x x a a x +-=++2626a x a x ++．则024a a a ++=（ ）A ．123B ．91C ．152-D ．120-8．函数()2f x x lnx 1=--的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．以下四个命题中，正确的个数是（ ） ①命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若是周期函数，则不是三角函数”；②命题“存在”的否定是“对于任意”；③在中，“”是“”成立的充要条件；④若函数在上有零点，则一定有.A ．B ．C ．D ． 10．对于函数()f x ，若对于任意的123,,x x x R∈，()()()123,,f x f x f x 为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构成三角形的函数”．已知函数()1x x e t f x e +=+是“可构成三角形的函数”，则实数t的取值范围是（ ） A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,1C ．[]1,2D ．0,二、双空题11．若实数,x y 满足约束条件1010570x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，则该不等式组表示的平面区域的面积为________，目标函数32z x y =-的最小值为________.12．已知复数z 满足()1i 3i z +=-（其中i 为虚数单位），则z 的值为______，z =______.13．点()10，关于直线y x =对称的点C 的坐标是__________，以C 圆心，半径为1的圆标准方程为__________．14．在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若2222cos 20a c b bc A c +-+-=，()cos 1cos c A b C =-，且23C π=，则c =________；ABC 的面积S =________．三、填空题15．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有__________种.（用数字作答）16．已知点1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，A 为直线43x a=与双曲线C 的一个交点，若点A 在以12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为________． 17．已知向量,a b 的夹角为3π，且3a =，+=a b b =__________.四、解答题18．已知函数()()2cos 02f x x ππφφ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭的图象过点(0.（1）求函数()f x 的解析式，并求出()f x 的最大值、最小值及对应的x 的值； （2）求()f x 的单调递增区间. 19．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝1n n +a n ＋12n n +. （1）设b n ＝na n，求数列{b n }的通项公式； （2）求数列{a n }的前n 项和S n .20．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各个侧面均是边长为2的正方形，O 为BC 1与B 1C 的交点，D 为AC 的中点．求证：（1）AB 1∥平面BC 1D ； （2）BD ⊥平面ACC 1A 1．21．以椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的中心O圆”，设椭圆C 的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，且满足2AB =，2OAB OFB S S =△△. （1）求椭圆C 及其“准圆"的方程；（2）若过点(P 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，当0OM ON ⋅=时，试求直线l交“准圆”所得的弦长；（3）射线()0y x =≥与椭圆C 的“准圆”交于点P ，若过点P 的直线1l ，2l 与椭圆C 都只有一个公共点，且与椭圆C 的“准圆”分别交于R ，T 两点，试问弦RT 是否为”准圆”的直径?若是，请给出证明：若不是，请说明理由.22．求垂直于直线2x+6y ＋1=0且与曲线y = x 3＋3x －5相切的直线方程.参考答案1．B先判断出0m >，再求出渐近线方程（含m ），结合已知的渐近线的方程可求m 的值.因为双曲线的方程为221y x m-=，故0m >，所以双曲线的渐近线为y ==2m =,故选B.本题考查双曲线的渐近线的求法，一般地，若双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则其双曲线渐近线的方程可通过把标准方程中的1变为零（类似地，对()222210,0y x a b a b-=>>也适用）. 2．C由三视图可知该几何体为一平行六面体，侧面是边长分别为3、4的矩形，高即为底面边长3，所以33V == 故本题正确答案为C ．点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．3．A试题分析：由已知，四边形ABCD 的面积S=sin θ，由余弦定理可求得AC PA ==13V =66V ∴==，所以，当cosθ=0，即θ=2π时，四棱锥V-ABCD 的体积V 的最小值是6，当cosθ=0，即θ=0时，四棱锥V-ABCD 的体积V 的最小值是13，∵0＜θ≤2π∴P-ABCD 的体积V 的取值范围是1)3考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 4．C利用绝对值的三角不等式即可得解.解：因为2a ≤，210b ≤，所以2212a b a b -≤+≤. 故选：C.本题考查绝对值的三角不等式的应用，属于中档题. 5．B分析：求出A 中函数245y x x =-+的值域确定出A ，求出B 中方程的解确定出B ，再求A 与B 的交集即可.详解：由()22245441211y x x x x x =-+=-++=-+≥，得[1A =+∞，），由方程210x -=解得：1x =或1-，即{}11B ，=-，则{}1A B ⋂=，故选B.点睛：本题主要考查了交集及其运算，认清集合的本质和熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 6．B根据题意，求得随机变量2y 的分布列，结合12a b +=，求得()E ξ，()2E y ，再讨论其单调性即可.根据题意可得12a b +=()E ξ()2121a b a a a =+=+-=-.则当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内增大时，()E ξ=1a -单调递减； 又()y E ξξ=-，故2y 的分布列如下所示：故()2E y ()()223111122a a a a ⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭令()f a =()2E y2215124a a a ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，故当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f a 单调递减，即()2E y 单调递减. 故选：B .本题考查随机变量的数学期望的求解，涉及其单调性，属综合基础题. 7．C由二项式定理及利用赋值法即令1x =和1=-，两式相加可得0246a a a a +++，结合最高次系数6a 的值即可得结果.()()52012221x x a a x a x +-=++ 34563456a x a x a x a x ++++中，取1x =，得0123a a a a +++ 4563a a a +++=， 取1x =-，得0123456243a a a a a a a -+-+-+=-， 所以()02462240a a a a +++=-， 即0246120a a a a +++=-， 又632a =，则024152a a a ++=-，故选C ．本题主要考查了二项式定理及利用赋值法求二项式展开式的系数，属于中档题. 8．A利用特殊值法，排除B,C.D 推出结果即可．令21x e=，则2222y 11211e e ==+-+， 令1x e=，则22y 2e1111e e===+-， 显然222e11e <+，故排除B 、C ，当x e =时，2y 0e=>，排除D ，故选A.本题考查函数的的图形的判断，考查分析问题解决问题的能力． 9．B试题分析：对于①命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若不是周期函数，则不是三角函数”，①错；对于②,命题“存在”的否定是“对于任意x ∈R,x 2−x ≤0” ,②错；对于③，在中，当时，由正弦定理a sinA=b sinB有a >b ，由大边对大角有A >B ,当A >B 时,得a >b ，由正弦定理有，所以“”是“A >B ”成立的充要条件, ③正确；对于④，举例函数f(x)=(x −2016)2，在上有零点x =2016，但f(2015)⋅f(2017)=1>0不符合.故只有1个正确.考点：1.四种命题的形式；2.特称命题的否定形式；3.充分条件与必要条件的判断；4.函数零点存在定理.【易错点晴】本题分为4个小题,都是对平时练习中易错的知识点进行考查,属于基础题.在①中,注意命题的否定与否命题的区别；在②中,是对特称命题的否定,已知p:∃x ∈M,p(x),否定¬p:∀x ∈M,¬p(x)；在③中,注意正弦定理和大边对大角、大角对大边的运用；对于④,是考查零点存在定理,要说明这个命题是错误的,只需举出一个反例即可. 10．A试题分析：由已知得123()0,()()()f x f x f x f x >+>，∴min max 2()()f x f x >，。

2020届浙江省宁波市高三下学期第二次高考适应性考试（二模考试）数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1.已知全集{}2,1,0,1,2,3U =--,集合{}1,0,1A =-,{}1,1,2B =-,则()() U U A B =（）A. {}1,1-B. {}2,3-C. 1,0,1,2D. {}2,0,2,3-【答案】D【解析】首先分别求出 U A , U B ,再求()() U U A B 即可.【详解】 {2,2,3}U A =-, {2,0,3}U B =-,()() {2,0,2,3}U U A B =-.故选：D2.已知复数z 是纯虚数,满足()12z i a i -=+（i 为虚数单位）,则实数a 的值是（ ）A. 1B. 1-C. 2D. 2-【答案】C【解析】由题意设(z bi b R =∈且)0b ≠,转化条件得2b bi a i +=+,进而可得2b ab =⎧⎨=⎩,即可得解.【详解】设(z bi b R =∈且)0b ≠,则()()112z i bi i b bi a i -=-=+=+,所以2b ab =⎧⎨=⎩,解得2a =.故选：C.3.已知实数,x y 满足约束条件1435x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值是（ ）A. 6B. 152C. 172 D. 253【答案】C【解析】由题意画出可行域,转化目标函数为3y x z =-+,数形结合即可得解.【详解】由题意画出可行域,如图阴影部分所示：目标函数3z x y =+可转化为3y x z =-+,上下平移直线3y x z =-+, 数形结合可知,当直线3y x z =-+过点A 时,z 取得最大值, 由435x y y x +=⎧⎨=-⎩可得点97,44A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以max 97173442z =⨯+=. 故选：C.4.已知ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别是,,a b c ,则“2222a b c +=”是“ABC 为等边三角形”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】举反例分析充分性,再直接推理必要性再判断即可.【详解】当523,4,2a b c ===时,满足ABC 三边关系与2222a b c +=,但ABC 不等边三角。

浙江省宁波市五校（奉化中学、宁波中学、北仑中学等）2020届高三适应性考试数学试题参考公式：若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 柱体的体积公式V Sh =若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次 锥体的体积公式13V Sh =独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()C (1)(0,1,2,,)k kn k n n P k p p k n -=-=球的表面积公式24S R =π台体的体积公式121()3V S S h =+球的体积公式343V R =π其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示 其中R 表示球的半径台体的高第Ⅰ卷 （选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集}1,0,1{-=U ，集合},1,0{},0,1{=-=B A 则=)(B A C U （ ） A.}0{ B.}0,1{- C.}1,1{- D.}1,0{2.若nxx )1(-展开式的各项二项式系数和为512，则展开式中的常数项（ ） A.84 B.84- C.56 D.56- 3.若,a b ∈R ，则“11>>b a 且”是“1>ab 且2≥+b a ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件4.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-= ,0),1(log ,0,22)(212x x x x x x f 若当]1,[+∈a a x 时，不等式)2()(x a f a x f -≥+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.)2,(--∞B.]2,(--∞C.),2(+∞-D.),2[+∞-5.已知某函数的部分图象如图所示，则此函数的解析式可能是（其中e 为自然对数的底）（ ）A.x e e x f x x sin 11)(⋅+-=B.x e e x f x xsin 11)(⋅+-=C.x e e x f x x cos 11)(⋅+-=D.x e e x f x xcos 11)(⋅+-=6.已知非零实数c b a ,,的绝对值全不相等，那么满足“abc c b a =++”的c b a ,,（ ） A.仅有一组 B.仅有二组 C.仅有三组 D.有无穷多组7.已知}{n a 是等比数列，13=a ，那么其前5项和5S 的取值范围是（ ）A.），，∞+--∞1[]3(B.），，∞+--∞5[]3(C.），∞+1[D.），∞+5[8.一个袋子中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现从袋子里随机等可能取出小球.当有放回依次取出2个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出2个小球时，记取出的红球数为2ξ.则（ ） A.)()(21ξξE E < ，)()(21ξξD D < B.)()(21ξξE E = ，)()(21ξξD D > C.)()(21ξξE E =，)()(21ξξD D < D.)()(21ξξE E > ，)()(21ξξD D >9.设函数2532)(++-=x x x f x，若曲线x y cos =上存在点),(00y x ，使得00))((y y f f =，则实数a 的取值范围是（ ） A. ]23,513[--B. ]25,23[-C.]314,23[-D.]314,25[10.已知点F 为抛物线)0(22>=p py x 的焦点，经过点F 且倾斜角α为钝角的直线与抛物线交于B A ,两点，O OAB (∆为坐标原点)的面积为α3cos -，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点M ，则=||FM （ ）A.1B.2C.2D.4第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，共36分。

2020届浙江省宁波市高考数学二模试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|x 2<1}，B ={x|2x −1<0}，则A ∩B =( )A. {x|x <12} B. {x|−1<x <1} C. {x|0<x <12}D. {x|−1<x <12}2. 圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线的渐近线截得的弦长为，则圆C 的方程为( )A. x 2+(y −1)2=1B. x 2+(y −)2=3C. x 2+(y −)2=D. x 2+(y −2)2=43. 已知z 为纯虚数，且(2+i)z =1+ai 3(i 为虚数单位)，则复数a +z 在复平面内对应的点所在的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 已知m ，n 是直线，α，β是平面，以下命题正确的是( )A. 若α⊥β，α∩β=m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥βB. 若α//β，m ⊄α，n//m ，则n//βC. 若m 上有两个点到α的距离相等，则m//αD. 若α∩β=m ，n//m ；且n ⊄α，n ⊄β，则n//α且n//β5. 已知函数f(x)={13x 3−x 2−3x +2,x ≤5−log 3(x +4),x >5，则函数y =f(f(x))的零点个数为( )A. 6B. 7C. 9D. 106. 1+C 271+C 272+C 2727除以3所得余数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 37. 若一个几何体的三视图都是三角形，则这个几何体可能是( )A. 圆锥B. 四棱锥C. 三棱锥D. 三棱台8. 如图，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −13a⃗ +34b ⃗B. 512a⃗−34b⃗C. 34a⃗−13b⃗D. −34a⃗+512b⃗9.已知数列{a n}，满足a n+1=a n+a4(n∈N∗)，且a5=4，则a1=()A. −2B. −4C. −6D. −910.以下函数中满足f(x+1)>f(x)+1的是()A. f(x)=lnxB. f(x)=e xC. f(x)=e x−xD. f(x)=e x+x二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11.现有五种不同的颜色要对如图形中的四个部分进行着色，要有有公共边的两块不能用同一种颜色，共有______ 种不同的着色方案．(用数字作答)．12.设变量x，y满足条件{x+y≤1x−y≤1x≥0，则z=2x−y的最小值为______．13.设向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(1,−2)，则|a⃗+2b⃗ |=______．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14.函数y=(12)x2−2x−3的单调增区间为(1)函数y=(14)x−22−x+3的单调增区间为(2)．15.已知多项式(x+1)6(3x2+1)2=a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9+a10x10，则a0=(1)；a2=(2)．16.已知随机变量X的分布列如表，且E(X)≥4P(X=1)，则a+b=，E(X)的取值范围为．X0123P 13a b1617.定义在R上的函数f(x)(x∈R)既是奇函数又是周期函数，若f(x)(x∈R)的最小正周期是π，且x∈[0,π2)时f(x)=sinx，则f(11π3)=(1)，方程f(x)=0的解集为(2)．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=2，cosB=−3．5(1)若b=4，求sin A的值；(2)若△ABC的面积S△ABC=4，求b、c的值．19.已知：在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=CD=BC=2AD，AD//BC，∠BCD=90°(Ⅰ)求证：BC⊥PC；(Ⅱ)求直线PA与平面PBC所成的正弦值．20.设正项数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n=λa n−λ，且a1+1,a2+5,a3是等差数列{b n}的前4三项。

2020届浙江省宁波市高三下学期高考适应性考试(二模)数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{}1,0,1A =-，{}1,1,2B =-，则()() UUA B =U 痧（ ）A ．{}1,1-B ．{}2,3-C ．{}1,0,1,2-D ．{}2,0,2,3-2．已知复数z 是纯虚数，满足()12z i a i -=+（i 为虚数单位），则实数a 的值是（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．已知实数,x y 满足约束条件1435x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =+的最大值是（ ）A ．6B ．152C ．172D ．2534．已知ABC V 中角A 、B 、C 所对的边分别是,,a b c ，则“2222a b c +=”是“ABC V 为等边三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知随机变量X 的分布列是（ ）其中26a b a ≤≤，则()E X 的取值范围是（ ） A ．4,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．21,93⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．15,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．14,39⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．函数21cos 21x x y x +=⋅-的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．设,a b ∈R ，无穷数列{}n a 满足：1a a =，211n n n a a ba +=-+-，*n ∈N ，则下列说法中不正确的是（ ）A ．1b =时，对任意实数a ，数列{}n a 单调递减B ．1b =-时，存在实数a ，使得数列{}n a 为常数列C ．4b =-时，存在实数a ，使得{}n a 不是单调数列D ．0b =时，对任意实数a ，都有201820202a >-8．若正实数x 、y 满足x -=x 的取值范围是（ ）A ．[]4,20B ．[]16,20C ．(]2,10D ．(2,9．点M 在椭圆()222210x y a b a b+=>>上，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点，与y 轴相交于,P Q ，若MPQ V 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．,22⎛ ⎝⎭D ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭10．在四面体S ABC -中，点P 在线段SA 上运动（不含端点）.设PA 与平面PBC 所成角为1θ，PB 与平面SAC 所成角为2θ，PC 与平面ABC 所成角为3θ，则（ ） A ．213θθθ<< B ．231θθθ<<C ．312θθθ<<D ．321θθθ<<11．()5121ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则实数a =______，该展开式中常数项为______.12．一个四面体的三视图如图所示（单位cm ），则该四面体体积（单位cm 3）为______，外接球的表面积（单位cm 2）为______.13．已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图像关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，关于直线4πx =-对称，最小正周期,2T ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则T =______，()f x 的单调递减区间是______.14．已知过抛物线()21:20C y px p =>焦点F 的直线与抛物线交于,A B两点，其中(4,A ，双曲线()22222:10,0y x C a b a b-=>>过点,A B ，则p 的值是______，双曲线2C 的渐近线方程是______.15．某会议有来自6个学校的代表参加，每个学校有3名代表.会议要选出来自3个不同学校的3人构成主席团，不同的选取方法数为______.16．函数()123,013log ,132x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()22g x x x =-，若()()y g f x t =-恰有3个零点，则实数t 的取值范围是______.17．已知矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，动点M 、N 分别在射线CB 、CD 上运动，且满足22111CM CN+=.对角线AC 交MN 于点P ，设AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，则x y +的最大值是______.18．已知ABC V 中角A 、B 、C 所对的边分别是,,a b c ,且)2cos cos cos a A c B b C =+.(1)求A 的值；(2)若1a =且sin cos B C +=求ABC V 的面积.19．已知三棱柱111ABC A B C -中，M 、N 分别是1CC 与1A B 的中点，1ABA △为等边三角形，1CA CA =，112A A A M BC ==.（Ⅰ）求证：//MN 平面ABC ； （Ⅱ）（i ）求证：BC ⊥平面11ABB A ； （ii ）求二面角A MN B --的正弦值.20．已知正项数列{}n a 的首项11a =,其前n 项和为n S ,且n a 与1n a +的等比中项是数列{}n b 满足：122...2nn n a b b b a ++++=. (1)求23,a a ,并求数列{}n a 的通项公式； (2)记n c =*n ∈N ,证明：12...21n c c c ⎛+++< ⎝. 21．已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的焦点12F F的距离为过2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于,A B 两点，且1AB =. （Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）若存在实数t ，使得经过相异两点()24,P t t h +和()22,Q t t h ++的直线交椭圆Γ所得弦的中点恰为点Q ，求实数h 的取值范围.22．已知实数0a ≠，函数()ln ||1f x ax =+. （Ⅰ）证明：对任意()0,a ∈+∞，()532f x a ≤-恒成立； （Ⅱ）如果对任意()0,x ∈+∞均有()x af x x a-≤+，求a 的取值范围.参考答案1．D 【解析】 【分析】首先分别求出 U A ð， U B ð，再求()() U UA B U 痧即可.【详解】{2,2,3}U A =-ð， {2,0,3}U B =-ð，()() {2,0,2,3}U UA B =-U 痧.故选：D 【点睛】本题主要考查集合的补集和并集的运算，属于简单题. 2．C 【解析】 【分析】由题意设(z bi b R =∈且)0b ≠，转化条件得2b bi a i +=+，进而可得2b a b =⎧⎨=⎩，即可得解.【详解】设(z bi b R =∈且)0b ≠，则()()112z i bi i b bi a i -=-=+=+，所以2b ab =⎧⎨=⎩，解得2a =.故选：C. 【点睛】本题考查了纯虚数的概念、复数的运算与复数相等的条件，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】由题意画出可行域，转化目标函数为3y x z =-+，数形结合即可得解. 【详解】由题意画出可行域，如图阴影部分所示：目标函数3z x y =+可转化为3y x z =-+，上下平移直线3y x z =-+， 数形结合可知，当直线3y x z =-+过点A 时，z 取得最大值，由435x y y x +=⎧⎨=-⎩可得点97,44A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以max 97173442z =⨯+=. 故选：C. 【点睛】本题考查了简单的线性规划，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】举反例分析充分性,再直接推理必要性再判断即可. 【详解】当3,4,a b c ===,满足ABC V 三边关系与2222a b c +=,但ABC V 不为等边三角形.当ABC V 为等边三角形时, 2222a b c +=成立.故“2222a b c +=”是“ABC V 为等边三角形”的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的判定,需要根据题意推导或者举出反例证明充分性与必要性.属于基础题. 5．B 【解析】 【分析】由题意结合离散型随机变量分布列的性质可得1130026a b a b a b a⎧++=⎪⎪⎪≥⎨⎪≥⎪≤≤⎪⎩，进而可得2192b ≤≤，由离散型随机变量期望公式即可得解. 【详解】由题意可得1130026a b a b a b a⎧++=⎪⎪⎪≥⎨⎪≥⎪≤≤⎪⎩，解得2192b ≤≤，所以()1222102,33393E X a b b b b ⎡⎤=-+⨯+=-+=-∈-⎢⎥⎣⎦. 故选：B. 【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的性质与期望公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 6．A 【解析】 【分析】令()()21cos 021x x f x y x x +==⋅≠-，由()()f x f x -=-可排除B 、D ；由当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，可排除C ；即可得解.【详解】令()()21cos 021x x f x y x x +==⋅≠-，则()()()1121212cos cos cos 1211212xx x x x xf x x x x f x --+++-=-⋅=⋅=⋅=----， 所以函数()f x 为奇函数，可排除B 、D ；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，21021xx +>-，所以()0f x >，故排除C.故选：A. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了函数奇偶性与三角函数性质的应用，属于基础题. 7．D 【解析】 【分析】当1b =时，由2110n n n a a a +-=--<可判断A ；当1b =-时，由21n n n a a a =---可得1n a =-，即1a =-时，数列{}n a 为常数列，可判断B ；当0a =、4b =-时，由213a a a <<可判断C ；若0b =，可得210n na a +<-≤，进而可得()20182018222202021a a a <-=---，即可判断D ；即可得解. 【详解】对于A ，当1b =时，211n n n a a a +=-+-，则2110n n n a a a +-=--<即1n n a a +<，所以对于任意实数a ，数列{}n a 单调递减，故A 正确；对于B ，当1b =-时，211n n n a a a +=---，若1n n a a +=，则21n n n a a a =---即1n a =-，当1a =-即11a =-时，数列{}n a 为常数列，故B 正确；对于C ，当0a =、4b =-时，2141n n n a a a +=---，10a =，21a =-， 32a =，213a a a <<，故数列{}n a 不是单调数列，故C 正确；对于D ，当0b =时，211n n a a +=--，所以210n n a a +<-≤，所以241n n a a +>，241n n a a +-<-，所以()201820182242220202019201821a aaaa <-<-<⋅⋅⋅<-=---，当21a =时，201822018202022a <-<-，故D 错误.故选：D. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题. 8．C 【解析】 【分析】因为正实数x 、y 满足x -有意义，可得20x y -≥.利用换元法，令t =0t >)，将x -=22420x x --=，结合方程的根的特征，即可求得答案.【详解】Q 正实数x 、y 满足x -=Q 有意义，则20x y -≥——①令t =0t >)，将t 代入①可得：22t x ≤，结合0t >解得：0t <≤将x -= 整理可得：2442x x y x y π-+=-故：22420x x --=——②将t =225420t xt x x -+-=这是一个关于t 的一元二次方程，则方程有两个正根(含相等)()()222121620201205x x x t t x x ⎧∆=--≥⎪⎨=->⎪⎩解得：210x <≤ 故(]2,10x ∈ 故选：C 【点睛】本题解题关键是利用还原法，将所给等式转化一元二次方程，利用一元二次方程知识求解变量的范围，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 9．A 【解析】 【分析】因为圆M 与x 轴相切于焦点F ，不妨设(,)M c y ，则(因为相切，则圆心与F 的连线必垂直于x 轴)，根据题意画出大致图象，根据几何关系求得PN ，NQ ，根据PMQ ∠为钝角，则45PMN QMN ︒∠=∠>，结合已知，即可求得椭圆离心率的取值范围.【详解】Q 圆M 与x 轴相切于焦点F ，∴不妨设(,)M c y ，则(因为相切，则圆心与F 的连线必垂直于x 轴)根据题意画出大致图象：M 在椭圆上，则2b y a=或()2222b y a b c a =-=+∴圆的半径为2b a过M 作MN y ⊥轴与N ，则,PN NQ MN c ==PN NQ ∴==Q PMQ ∠为钝角，则45PMN QMN ︒∠=∠>即PN NQ MN c =>=∴c >，即4222b c c a ->得()222222ac c a ->，即2222222a c c e c -+>可得：22140e e -+> 即：42410e e -+> 即：()22230e -->即：221)e e -<<<故：22e <02e ∴<<e ⎛∴∈ ⎝⎭选故：A. 【点睛】本题主要考查了求椭圆离心率范围问题，解题关键是掌握椭圆离心率定义，要注意椭圆的离心率范围是：01e <<，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10．D 【解析】 【分析】不妨设()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,1C ，()1,1,1S ，AP AS λ=u u u r u u u r，01λ<<，然后算出1sin n PA n PA θ⋅==⋅r u u u rr u u u r，2sin θ=，3sin θ=即可. 【详解】不妨设()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,1C ，()1,1,1S ，AP AS λ=u u u r u u u r，01λ<<所以()()0,1,10,,AP AS λλλλ===u u u r u u u r，所以()1,,P λλ所以()()()0,,,1,1,,1,,1PA PB PC λλλλλλ=--=---=---u u u r u u u r u u u r设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r则有00n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，即()()()()1010x y z x y z λλλλ-+-+-=⎧⎪⎨-+-+-=⎪⎩，即()12y zx y λ=⎧⎪⎨=-⎪⎩所以可取()12,1,1n λ=-r所以1sin n PA n PA θ⋅==⋅r u u u r r u u u r ，同理可得2sin θ=，3sin θ=因为()22244333370λλλλλλ++--+=+>>所以123sin sin sin θθθ>>，故123θθθ>>， 故选：D 【点睛】对于选择题，特殊化处理是解答本题的关键. 11．1 10 【解析】 【分析】 由()5121ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为2求出1a =，然后写出()521x -的展开式的通项即可算出答案. 【详解】 因为()5121ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为2 所以令()5121ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭中的1x =可得12a +=，所以1a = 因为()521x -的展开式的通项为()()()5551552112,0,1,2,3,4,5rrrrrr r r T C x C x r ---+=-=-=所以()5121x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为()44511210C ⨯⨯-⨯=故答案为：1，10 【点睛】本题考查的是二项式定理的相关知识，属于基础题. 12．6 34π 【解析】 【分析】根据三视图画出原图，由此计算出几何体的体积，并计算出外接球的表面积. 【详解】根据三视图可知，该几何体为如图所示四面体1A BCD -，将其放置在长方体1111ABCD A B C D -中，所以几何体的体积为11114336332BCD S AA ∆⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=.四面体1A BCD -的外接球即长方体1111ABCD A B C D -的外接球，外接球的直径为1AC ==22114342AC AC πππ⎛⎫⨯=⨯= ⎪⎝⎭. 故答案为：（1）6；（2）34π.【点睛】本小题主要考查由三视图求几何体的体积，考查几何体外接球表面积的求法，属于基础题. 13．23π()225,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】根据()f x 的对称性和T 的范围，求得,,T ωϕ，根据三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调递减区间. 【详解】由于()f x 的最小正周期,2T ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，0>ω，所以2,242πππωω⎛⎫∈⇒<< ⎪⎝⎭. 由于()f x 图像关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，关于直线4πx =-对称，所以11224,,42k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧+=⎪⎪∈⎨⎪-+=+⎪⎩， 两式相加得()1122,,22k k k k Z πϕπ=++∈，由于02πϕ<<，02ϕπ<<，所以224ππϕϕ=⇒=.则11141,44k k k Z ππωπω=⇒=-∈+，结合24ω<<可得3ω=，所以()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期为23T π=. 由3232242k x k πππππ+≤+≤+，解得225312312k k x ππππ+≤≤+，所以()f x 的减区间为()225,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：（1）23π；（2）()225,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本小题主要考查根据三角函数的对称性、周期性求参数，考查三角函数单调区间的求法，考查运算求解能力，属于中档题. 14．4y = 【解析】 【分析】根据A 点坐标求得p ，由此求得抛物线方程，进而求得B 点坐标，将,A B 坐标代入双曲线的方程，由此求得,a b ，进而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】由于A 在抛物线1C 上，所以(2244p p =⋅⇒=.所以抛物线方程为28y x =，其焦点坐标为()2,0，所以直线AB的方程为())02242y x x =-=--.由)228y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解得114x y =⎧⎪⎨=⎪⎩221x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩(1,B -. 将,A B 坐标代入双曲线2C 的方程得222232161811a b a b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2a b ==，所以双曲线的渐近线方程为525a y x x xb =±=±=±.故答案为：（1）4；（2）y = 【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查双曲线的方程的求法，考查双曲线的渐近线方程，属于中档题. 15．540 【解析】 【分析】根据分步计数原理以及组合数的计算，求得不同的选取方法数. 【详解】第一步：从6个学校中选出3个学校，方法数有3620C =；第二步，从选出的3个学校中各选取1个代表，方法数有33327⨯⨯=； 根据分步计数原理可知，总的方法数有2027540⨯=种. 故答案为：540. 【点睛】本小题主要考查分步计数原理，考查组合数的计算，属于基础题. 16．[]1,10 【解析】 【分析】设()m f x =，则()g m t =.由()f x 图像知，要使得恰有三个零点，则方程()g m t =存在两个实根12,m m ，满足113m ≤<，23m =或者113m ≤<，221m -≤<，结合()g x 的性质，得110t ≤≤. 【详解】画出()f x 的图像如下图所示. 设()m f x =，则()g m t =.由()f x 图像知，要使得恰有三个零点，则方程()g m t =存在两个实根12,m m ，满足“113m ≤<，23m =”或者“113m ≤<，221m -≤<”.由于()()2221g x x x x x =-=-，所以()g x 在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上递减，在1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增，两个零点为1210,2x x ==，最小值为1148g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于()()()210,11,315g g g -===.所以实数t 的取值范围是110t ≤≤，即[]1,10 故答案为：[]1,10 【点睛】本小题主要考查函数零点问题的研究，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 17．85【解析】 【分析】由条件可知2222CM CN CM CN +=⋅，故MN CM CN =⋅，则点C 到MN 的距离为1，即1CP ≥，故4AP ≤，则852AP x y +=≤.【详解】 由于22111CM CN+=，所以2222CM CN CM CN +=⋅， 所以222MNCM CN =⋅，所以MN CM CN =⋅，所以点C 到MN 的距离为1，所以1CP ≥，而5AC ==，所以4AP ≤，设CAB α∠=，则34sin ,cos 55αα==， 所以sin ,cos x AB y AD AP AP αα⋅⋅==，则15x y AP ==. 则21185555AP x y AP AP +=+=≤. 故答案为：85【点睛】本小题主要考查向量在几何计算中的运用，属于中档题.18．(1)6A π= (2)ABC S =V 【解析】 【分析】(1)根据正弦定理边化角,再利用三角恒等变换以及三角函数值求解A 即可.(2)利用6A π=与内角和的关系,将sin cos 2B C +=化简成关于角C 的表达式,再利用三角恒等变换结合三角形内角的范围求解即可. 【详解】(1)由)2cos cos cos a A c B b C =+,)2sin cos sin cos sin cos A A C B B C =+故()2sin cos A A B C =+即2sin cos A A A =,∵sin 0A ≠,∴cos A =,而()0,A π∈,∴6A π=.(2)由sin cos B C +=6A π=得sin cos 6C C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭,3cos 2C C +=32C π⎛⎫+=⎪⎝⎭,5(0,)6C π∈,∴536C ππ+=,2C π=,3B π=. 故sin sin b a B A =,即sin 21sin 2a Bb A===又2C π=,故1122ABC S =⨯=V . 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理进行边角互化求解角度的问题,同时也考查了三角恒等变换在解三角形中的运用.属于中档题.19．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（i ）见解析（ii【解析】 【分析】（Ⅰ）由//MP BC 推出//MP 平面ABC ，由//PN AB 推出//NP 平面ABC ，则平面//PMN 平面ABC ，由MN ⊂平面PMN 即可得证；（Ⅱ）（i ）勾股定理证明AB BC ⊥、1A B BC ⊥，即可推出BC ⊥平面1ABA ；（ii ）建立空间直角坐标系，求出平面AMN ，平面BMN 的法向量代入121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅u r u u ru r u u r u r u u r 即可求得两向量夹角的余弦值，再求出正弦值即可. 【详解】（Ⅰ）取1BB 中点P ，连接MP ，则//MP BC ，因为BC ⊂平面ABC ，MP ⊄平面ABC ，所以//MP 平面ABC ，因为N 、P 分别11,A B BB 的中点，所以11//PN A B ，又11//A B AB ，所以//PN AB ， 因为AB Ì平面ABC ，PN ⊄平面ABC ，故//NP 平面ABC ， 因为NP MP P ⋂=，NP ⊂平面PMN ，MP ⊂平面PMN ， 于是平面//PMN 平面ABC ，又MN ⊂平面PMN ，所以//MN 平面ABC . （Ⅱ）（i ）不妨设1BC =，则112A A A M ==.依题意111CA CA C A ==，故1A M 为等腰11ACC △底边上的中线，则11A M CC ⊥.于是11AC AC ===因为222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，同理22211A B BC A C +=，则1A B BC ⊥，又1AB A B B ⋂=，AB Ì平面1ABA ，1A B ⊂平面1ABA ， 所以BC ⊥平面1ABA .（ii ）方法一：因为BC ⊥平面1ABA ，AN ⊂平面1ABA ，所以AN BC ⊥， 因为1ABA △为等边三角形且N 为1A B 的中点，所以1AN BA ⊥， 又1BC BA B =I ,BC ⊂平面1A BC ，1BA ⊂平面1A BC ，所以AN ⊥平面1A BC ，因为AN ⊂平面AMN ，故平面AMN ⊥平面1A BC .设1A C AM Q =I ，则QN 为平面AMN 与平面1A BC 的交线.过B 作BH QN ⊥于点H ，则BH ⊥平面AMN .又过B 作BG MN ⊥于点G ，则MN ⊥平面BGH ，BGH ∠即为二面角A MN B --的平面角.在BMN △中，BM MN ==1BN =，则BG =；在BQN △中，BH BN ==所以sin 35BH BGH BG ∠===，即二面角A MN B --.方法二：以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0B，()A -，1,22N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,1M，1,22NM ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭u u u u r，()2,AM =u u u ur ，()1,0,1BM =u u u u r . 设平面AMN 的法向量()1111,,n x y z =u r ，平面BMN 的法向量()2222,,n x y z =u u r.由11111111102220x y z n NM n AM x z ⎧⎧-+=⊥⎪⎪⇒⎨⎨⊥⎪⎩⎪+=⎩u v u u u u v u v u u u u v，可取()1n =u r ；由222222210220n NM x y z n BM x z ⎧⎧⊥-+=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⎪⎩⎪+=⎩u u v u u u u v u u v u u u u v，可取21,1n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u r .于是121212cos ,n n n n n n ⋅===⋅u r u u ru r u u r u r u u r 所以二面角A MN B --35=.【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的判定及证明，二面角的求法，空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题.20．(1)22a =,33a =,()*n a n n =∈N . (2)见解析【解析】 【分析】(1)由题可得12n n n S a a +=,再根据通项与前n 项和的关系求得递推公式22n n a a +-=,再根据12,a a 的值求解通项即可.(2)根据通项与前n 项和的关系求出{}n b 的通项公式,再代入可得n c =再利用裂项放缩法或者利用数学归纳法证明即可. 【详解】(1)依题意,12n n n S a a +=由1122a a a =,()12232a a a a +=得22a =,33a =.于是有12n n n S a a +=,1122n n n S a a +++=,两式相减可得()1122n n n n a a a a +++=-. 约去正项1n a +可得22n n a a +-=.又11a =,22a =,所以{}n a 是以1为首项,1为公差的等差数列. 故()*n a n n =∈N . (2)依题意()12211 (22222)n n n a n b b b a n n ++++===-++, 当2n ≥时,12111 (21)n b b b n -+++=-+, 两式相减即得()()1111212n b n n n n =-=++++. 另外113126a b a ==亦符合上式,所以()()112n b n n =++()*n ∈N.n c ===证一：22n c <==所以12...21...21n c c c ⎡⎤⎛⎛+++<+++=-⎢⎥ ⎝⎝⎣⎦. 证二：（1）1n =时命题成立.（2）假设n k =时命题成立,即12...21k c c c ⎛+++< ⎝那么1211...212121k k k c c c c c ++⎛⎛⎛++++-<+- ⎝⎝⎝22==0=<即当1n k =+时命题也成立.综合（1）（2）对任意*n N ∈命题均成立. 【点睛】本题主要考查了根据数列通项与前n 项和的关系求得递推公式与通项公式的方法,同时也考查了数列不等式的问题,包括裂项放缩以及数学归纳法的应用.属于难题.21．（Ⅰ）2214x y +=（Ⅱ）1h ≤<【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意得到2222213b a a b c ⎧=⎪⎨⎪-==⎩，解得答案.（Ⅱ）计算直线l 的方程22t y x h t =+-，联立方程得到()2221h t t -<+，利用点差法得到()11t h t+=-+，故1h ≥，0t <，变换得到()()2120h t h +-<，解得答案. 【详解】（Ⅰ）根据题意：2c =221ba =，即2222213b aa b c ⎧=⎪⎨⎪-==⎩，解得2a =，故1b =，椭圆Γ的方程为2214x y +=.（Ⅱ）过P 、Q 两点的直线l 的斜率为2222t t t t -=-，直线l 的方程22t y x h t =+-，代入2214x y +=可得()222240x tx h t ⎡⎤++--=⎣⎦，整理可得()()()2222214410tx t h t x h t ⎡⎤++-+--=⎢⎥⎣⎦， 依题意()()()2222221616110th t t h t ⎡⎤∆=--+-->⎢⎥⎣⎦，即()2221h t t -<+.① 若设直线l 交椭圆Γ于点()11,x y ，()22,x y ，则依题意有()212222221t h t x x t t --+==++，经整理可得()211t h t +=-+，0t ≠，即()11t h t+=-+.②由题意1t ≠，故由②可知()(]()1,22,h -+∈-∞-+∞U ，再结合①可知： 若0t >，3h <-，则()()()222222223331h t t t t t ->--=+>+>+，不成立；故1h ≥，0t <，将②代入①消去2t ，可得()()()22111h t h t ++<-+， 再次将②代入①，可得()()()2111h h t h t +-<-+，即()()2120h t h +-<.又1h ≥，0t <，故解得1h ≤<【点睛】本题考查了椭圆方程，求参数范围，意在考查学生的计算能力和应用能力，利用点差法是解题的关键.22．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）(]0,1 【解析】 【分析】（Ⅰ）求导得到函数()()()23max 4ln 41ln 43ln 1f x f aa a ==-=+-，故只需证5ln 43ln 132a a +-≤-，设()33ln 3ln 42a a a ϕ=-++，求导得到()max 3ln 42a ϕ=-，得到证明.（Ⅱ）对任意()0,x ∈+∞有意义，0a >，令1x =可得111ln 1aa a a-+≤++， 所以01a <≤，再证明对任意(]0,1a ∈，任意()0,x ∈+∞，不等式恒成立，考虑关于a 的函数()()1ln x am a xa a x a-=+--+，根据其单调性得到()11ln 01x n x x x -=+-≤+，计算函数单调性得到证明. 【详解】（Ⅰ）易知()f x 的定义域为()0,+?，若()0,a ∈+∞，则()()ln 1f x ax =+， ()112f x x a ⎫'==⎪⎭， 则()f x 在()20,4a单调增，在()24,a +∞单调减，所以()()()23max 4ln 41ln 43ln 1f x f a a a ==-=+-.要证()532f x a ≤-恒成立，只需证5ln 43ln 132a a +-≤-. 令()33ln 3ln 42a a a ϕ=-++，()0,a ∈+∞.()131a aϕ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，函数在()0,1上单调递增，在()1,+?上单调递减，故()()max 31ln 42a ϕϕ==-，由于3ln 402-<， ∴()0a ϕ≤，即()532f x a ≤-恒成立.（Ⅱ）()x a f x x a -≤+，即1ln ||x aax a x a-+≤++.（*） 1°（*）对任意()0,x ∈+∞有意义，当x →+∞时，1ln ||ax +→+∞，∴0a >； 2°若（*）对任意()0,x ∈+∞恒成立，则01a <≤. 特别地，在（*）中令1x =可得111ln 1aa a a-+≤++，故122ln 01a a a +--≤+. 注意到()122ln 1h a a a a =+--+在()0,a ∈+∞单调增，且()10h =，所以()0h a ≤当且仅当01a <≤.3°下面证明：对任意(]0,1a ∈，任意()0,x ∈+∞，不等式（*）恒成立. 首先，将正实数x 给定，考虑关于a 的函数()()1ln x am a xa a x a-=+--+， 注意到()()122ln xm a xa a x a =+-+在(]0,1a ∈单调增， 故()()111ln 1x m a m x x -≤=+-+. 下面只需说明：()11ln 01x n x x x -=+≤+对于()0,x ∈+∞恒成立即可. 显然()10n =，故只需说明()n x 在()0,1单调增，在()1,x ∈+∞单调减.()()())()222221112121x x n x x x x x ++'==++当1x >)()533122222211121x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+++>+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()0n x '<；当01x <<时，())5312222222222112121x x x x x x x x x +=+++>++>++=+，故()0n x '>.因此()n x 在()0,1单调增，在()1,x ∈+∞单调减. 综上可知，实数a 的取值范围是(]0,1. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，证明不等式，意在考查学生的计算能力和应用能力 ，先算后证是解题的关键.。