北京市东城区高一上期末数学试卷有答案-推荐

北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 设P={x|x<4}，Q={x|－2<x<2}，则A. P ⊆QB. Q ⊆PC. P ⊆R QD. Q ⊆RP2. 下列函数在区间[0，π]上是减函数的是A. y=sin xB. y=cos xC. y=tan xD. y=23. 已知a=log3+log 3，b=21log9，c=log2，则a ，b ，c 的大小关系是 A. b<a<cB. c<a<bC. a<b<cD. c<b<a4. 已知α为第二象限角，sin α=53，则cos α= A. －43 B. －54 C. 54 D. 435. 要得到函数y=cos （2x+1）的图象，只需将函数y=cos2x 的图象A. 向左平移1个单位B. 向右平移1个单位C. 向左平移21个单位D. 向右平移21个单位 6. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，f （x ）=2x －x ，则f （1）=A. －3B. －1C. 1D. 37. 函数f （x ）=xcosx 在区间[0，2π]上的零点个数为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 函数y=a －a （a>0，a ≠1）的图象可能是9. 如图所示，单位圆中弧的长为x ，f （x ）表示孤与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，则函数y=f（x ）的图象是10. 定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）－f （－x ）=0，且对任意x ，x ∈[0，+∞）（x ≠x ），都有0)()(1212<--x x x f x f ，则A. f （3）<f （－2）<f （1）B. f （1）<f （－2）<f （3）C. f （－2）<f （1）<f （3）D. f （3）<f （1）<f （－2）二、填空题共6小题，每小题3分，共18分。

2015-2016学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项并填在答题卡中．1．已知集合A={0，1，2}，B={2，3}，则集合A∪B=（）A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{2} D．{0，1，3}2．若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tanα的值为（）A．B．C．﹣2 D．3．正弦函数f（x）=sinx图象的一条对称轴是（）A．x=0 B．C．D．x=π4．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=x2+1 C．f（x）=lnx D．f（x）=cosx5．函数f（x）=的大致图象是（）A．B．C．D．6．2003年至2015年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（）A．f（x）=ax2+bx+c B．f（x）=ae x+b C．f（x）=e ax+b D．f（x）=alnx+b7．若角α与角β的终边关于y轴对称，则（）A．α+β=π+kπ（k∈Z） B．α+β=π+2kπ（k∈Z）C．D．8．已知函数，若存在实数a，使得f（a）+g（x）=0，则x的取值范围为（）A．[﹣1，5] B．（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，5]二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在相应题目横线上．9．函数y=log2（2x+1）定义域．10．sin80°cos20°﹣cos80°sin20°的值为．11．已知函数，则f（x）的最大值为．12．若a=log43，则4a﹣4﹣a= ．13．已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b= ．14．设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（1）T={f（x）|x∈S}；（2）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2）．那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下4对集合：①S={0，1，2}，T={2，3}；②S=N，T=N*；③S={x|﹣1＜x＜3}，T={x|﹣8＜x＜10}；④S={x|0＜x＜1}，T=R．其中，“保序同构”的集合对的序号是（写出所有“保序同构”的集合对的序号）．三、解答题：本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知集合A={0，1}，B={x|x2﹣ax=0}，且A∪B=A，求实数a的值．16．设θ为第二象限角，若．求（Ⅰ）tanθ的值；（Ⅱ）的值．17．已知函数．（Ⅰ）证明：f（x）是奇函数；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．18．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 5 ﹣5 0（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．19．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间为192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，求该食品在33℃的保鲜时间．20．若实数x，y，m满足|x﹣m|＞|y﹣m|，则称x比y远离m．（Ⅰ）比较log20.6与20.6哪一个远离0；（Ⅱ）已知函数f（x）的定义域，任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中远离0的那个值，写出函数f（x）的解析式以及f（x）的三条基本性质（结论不要求证明）．2015-2016学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项并填在答题卡中．1．已知集合A={0，1，2}，B={2，3}，则集合A∪B=（）A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{2} D．{0，1，3}【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】根据并集的运算性质计算即可．【解答】解：∵集合A={0，1，2}，B={2，3}，则集合A∪B={0，1，2，3}，故选：B．【点评】本题考查了集合的并集的运算，是一道基础题．2．若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tanα的值为（）A．B．C．﹣2 D．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由三角函数的定义，求出值即可【解答】解：∵角α的终边经过点P（1，﹣2），∴tanα=﹣2．故选：C．【点评】本题考查三角函数的定义，利用公式求值是关键．3．正弦函数f（x）=sinx图象的一条对称轴是（）A．x=0 B．C．D．x=π【考点】正弦函数的图象．【专题】方程思想；定义法；三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的对称性进行求解即可．【解答】解：f（x）=sinx图象的一条对称轴为+kπ，k∈Z，∴当k=0时，函数的对称轴为，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的对称性，根据三角函数的对称轴是解决本题的关键．4．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=x2+1 C．f（x）=lnx D．f（x）=cosx【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性与零点，即可得出结论．【解答】解：对于A，是奇函数；对于B，是偶函数，不存在零点；对于C，非奇非偶函数；对于D，既是偶函数又存在零点．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性与零点，考查学生的计算能力，比较基础．5．函数f（x）=的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象；幂函数图象及其与指数的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】筛选法：利用幂函数的性质及函数的定义域进行筛选即可得到答案．【解答】解：因为﹣＜0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，排除选项B、C；又f（x）的定义域为（0，+∞），故排除选项D，故选A．【点评】本题考查幂函数的图象及性质，属基础题，筛选法是解决选择题的常用技巧，要掌握．6．2003年至2015年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（）A．f（x）=ax2+bx+c B．f（x）=ae x+b C．f（x）=e ax+b D．f（x）=alnx+b【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】由图象可得：这13年间电影放映场次逐年变化规律的是随着x的增大，f（x）逐渐增大，图象逐渐上升．根据函数的单调性与图象的特征即可判断出结论．【解答】解：由图象可得：这13年间电影放映场次逐年变化规律的是随着x的增大，f（x）逐渐增大，图象逐渐上升．对于A．f（x）=ax2+bx+c，取a＞0，＜0，可得满足条件的函数；对于B．取a＞0，b＞0，可得满足条件的函数；对于C．取a＞0，b＞0，可得满足条件的函数；对于D．a＞0时，为“上凸函数”，不符合图象的特征；a＜0时，为单调递减函数，不符合图象的特征．故选：D．【点评】本题考查了函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．若角α与角β的终边关于y轴对称，则（）A．α+β=π+kπ（k∈Z） B．α+β=π+2kπ（k∈Z）C．D．【考点】终边相同的角．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】根据角α与角β的终边关于y轴对称，即可确定α与β的关系．【解答】解：∵π﹣α是与α关于y轴对称的一个角，∴β与π﹣α的终边相同，即β=2kπ+（π﹣α）∴α+β=α+2kπ+（π﹣α）=（2k+1）π，故答案为：α+β=（2k+1）π或α=﹣β+（2k+1）π，k∈z，故选：B．【点评】本题主要考查角的对称之间的关系，根据终边相同的关系是解决本题的关键，比较基础．8．已知函数，若存在实数a，使得f（a）+g（x）=0，则x的取值范围为（）A．[﹣1，5] B．（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，5]【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由分段函数的定义分别求各部分的函数值的取值范围，从而得到函数f（x）的值域，从而化为最值问题即可．【解答】解：当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x2+2x∈[﹣1，+∞）；当x∈[0，+∞）时，f（x）=ln（x+1）∈[0，+∞）．所以f（x）∈[﹣1，+∞），所以只要g（x）∈（﹣∞，1]即可，即（x﹣2）2﹣8∈（﹣∞，1]，可得（x﹣2）2≤9，解得x∈[﹣1，5]．故选：A．【点评】本题考查了分段函数的应用及配方法求最值的应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在相应题目横线上．9．函数y=log2（2x+1）定义域．【考点】对数函数的定义域．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接由对数式的真数大于0求解不等式得答案．【解答】解：由2x+1＞0，得x＞﹣．∴函数y=log2（2x+1）定义域为．故答案为：．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础题．10．sin80°cos20°﹣cos80°sin20°的值为．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】解：sin80°cos20°﹣cos80°sin20°=sin（80°﹣20°）=sin60°=．故答案为：．【点评】本题主要考查了两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，属于基础题．11．已知函数，则f（x）的最大值为 2 ．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和的正弦公式，正弦函数的值域，求得函数的最大值．【解答】解：∵函数=2sin（x+），∴f（x）的最大值为2，故答案为：2．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的值域，属于基础题．12．若a=log43，则4a﹣4﹣a= ．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】由a=log43，可得4a==3，4﹣a=．即可得出．【解答】解：∵a=l og43，∴4a==3，4﹣a=．则4a﹣4﹣a=3﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了指数与对数的运算性质．考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b= ．【考点】指数型复合函数的性质及应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案．【解答】解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1， =0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以，解得b=﹣2，a=，综上a+b=，故答案为：【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题．14．设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（1）T={f（x）|x∈S}；（2）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2）．那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下4对集合：①S={0，1，2}，T={2，3}；②S=N，T=N*；③S={x|﹣1＜x＜3}，T={x|﹣8＜x＜10}；④S={x|0＜x＜1}，T=R．其中，“保序同构”的集合对的序号是②③④（写出所有“保序同构”的集合对的序号）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用：两个集合“保序同构”的定义，能够找出存在一个从S到T的函数y=f（x）即可判断出结论．【解答】解：①由于不存在一个从S到T的函数y=f（x），因此不是“保序同构”的集合对．②令f（x）=x+1，x∈S=N，f（x）∈T；③取f（x）=x﹣，x∈S，f（x）∈T，“保序同构”的集合对；④取f（x）=tan，x∈S，f（x）∈T．综上可得：“保序同构”的集合对的序号是②③④．故答案为：②③④．【点评】本题考查了两个集合“保序同构”的定义、函数的解析式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知集合A={0，1}，B={x|x2﹣ax=0}，且A∪B=A，求实数a的值．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】先求出集合B中的元素，根据并集的运算，求出a的值即可．【解答】解：∵B={x|x2﹣ax=0}，∴B={x|x=0或x=a}，由A∪B=A，得B={0}或{0，1}．当B={0}时，方程x2﹣ax=0有两个相等实数根0，∴a=0．当B={0，1}时，方程x2﹣ax=0有两个实数根0，1，∴a=1．【点评】本题考查了集合的并集的定义，考查分类讨论思想，是一道基础题．16．设θ为第二象限角，若．求（Ⅰ）tanθ的值；（Ⅱ）的值．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）由已知利用特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式即可计算求值．（Ⅱ）由已知利用同角三角函数关系式可求cosθ，sinθ的值，利用诱导公式，二倍角公式化简所求后即可计算求值．【解答】（本题满分9分）解：（Ⅰ）∵，∴．∴解得…（Ⅱ）∵θ为第二象限角，，∴cosθ=﹣=﹣，sinθ==，…∴…【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式，同角三角函数关系式，诱导公式，二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17．已知函数．（Ⅰ）证明：f（x）是奇函数；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）可看出f（x）的定义域为{x|x≠0}，并可求出f（﹣x）=﹣f（x），从而得出f（x）是奇函数；（Ⅱ）根据增函数的定义，设任意的x1＞x2＞0，然后作差，通分，提取公因式，从而得到，证明f（x1）＞f（x2）便可得出f（x）在（0，+∞）上是增函数．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x≠0}；；∴f（x）是奇函数；（Ⅱ）设x1＞x2＞0，则：=；∵x1＞x2＞0；∴x1x2＞0，x1﹣x2＞0，x1x2+1＞0；∴；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．【点评】考查奇函数的定义及判断方法和过程，增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x1），f（x2），作差后是分式的一般要通分，一般提取公因式x1﹣x2．18．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 5 ﹣5 0（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．从而可补全数据，解得函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可得解．【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 5 0 ﹣5 0且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．19．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间为192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，求该食品在33℃的保鲜时间．【考点】函数的值．【专题】应用题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据题意，列出方程，求出，再计算x=33时的y值即可．【解答】解：由题意知，，所以e22k•e b=48，所以，解得；所以当x=33时，．答：该食品在33℃的保鲜时间为24小时．【点评】本题考查了指数函数模型的应用问题，也考查了指数运算的应用问题，是基础题目．20．若实数x，y，m满足|x﹣m|＞|y﹣m|，则称x比y远离m．（Ⅰ）比较log20.6与20.6哪一个远离0；（Ⅱ）已知函数f（x）的定义域，任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中远离0的那个值，写出函数f（x）的解析式以及f（x）的三条基本性质（结论不要求证明）．【考点】不等式比较大小；对数的运算性质．【专题】数形结合；转化思想；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（I）利用，即可得出．（Ⅱ），可得f（x）的性质：奇偶性，周期性，单调性，最值，进而得出．【解答】解：（Ⅰ）．∵，∴，∴，∴20.6比log20.6远离0．（Ⅱ）f（x）的性质：①f（x）既不是奇函数也不是偶函数；②f（x）是周期函数，最小正周期T=2π；③f（x）在区间，单调递增，f（x）在区间，，（k∈Z）单调递减；④当x=2kπ或时，f（x）有最大值1，当x=2kπ+π或时，f（x）有最小值﹣1．【点评】本题考查了新定义“x比y远离m”、对数函数的单调性、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M={x∈R|x2+2x=0}，N={2，0}，则M∩N=（）A．{0} B．{2} C．∅D．{﹣2，0，2}2．若一个扇形的弧长是3，半径是2，则该扇形的圆心角为（）A．B．C．6 D．73．设x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．34．二次函数f（x）=ax2+bx+1的最小值为f（1）=0，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．35．设点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与．其中可作为该平面其他向量基底的是（）A．①②B．①③C．①④D．③④6．已知函数f（x）=|x﹣1|，则与y=f（x）相等的函数是（）A．g（x）=x﹣1 B．C．D．5，则（）7．已知，，c=log3A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b8．已知函数，若g（x）=f（x）﹣m为奇函数，则实数m的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．39．某商场在2017年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000元．设购买某商品的实际折扣率=，某人欲购买标价为2700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为（ ） A ．55% B ．65% C ．75% D ．80%10．将函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则g （x ）图象的一条对称轴的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．11．若函数y=f （x ）的定义域为{x|﹣2≤x ≤3，且x ≠2}，值域为{y|﹣1≤y ≤2，且y ≠0}，则y=f （x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．关于x 的方程（a ＞0，且a ≠1）解的个数是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．不确定的二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．13．函数的定义域为 ．14．已知角α为第四象限角，且，则sin α= ；tan （π﹣α）= ．15．已知9a =3，lnx=a ，则x= ．16．已知向量||=2，||=3，|+|=，那么|﹣|= ．17．已知，且满足，则sin αcos α= ；sin α﹣cos α= ．18．已知函数若存在x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使f （x 1）=f （x 2）成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共4个小题，40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．已知全集U=R，集合A={x∈R|2x﹣3≥0}，B={x|1＜x＜2}，C={x∈N|1≤x＜a}．（Ⅰ）求A∪B；（Ⅱ）若C中恰有五个元素，求整数a的值；（Ⅲ）若A∩C=∅，求实数a的取值范围．20．已知函数与g（x）=cos（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到h（x）的图象，若h （x）的最小正周期为π，求ω的值和h（x）的单调递增区间．21．已知函数f（x）=kx2+2x为奇函数，函数g（x）=a f（x）﹣1（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）求g（x）在[﹣1，2]上的最小值．22．已知函数f（x），定义（Ⅰ）写出函数F（2x﹣1）的解析式；（Ⅱ）若F（|x﹣a|）+F（2x﹣1）=0，求实数a的值；（Ⅲ）当时，求h（x）=cosx•F（x+sinx）的零点个数和值域．北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M={x∈R|x2+2x=0}，N={2，0}，则M∩N=（）A．{0} B．{2} C．∅D．{﹣2，0，2}【考点】交集及其运算．【分析】由题意求出集合M，由交集的运算求出M∩N．【解答】解：由题意知，M={x∈R|x2+2x=0}={﹣2，0}，又N={2，0}，则M∩N={0}，故选A．2．若一个扇形的弧长是3，半径是2，则该扇形的圆心角为（）A．B．C．6 D．7【考点】弧长公式．【分析】由已知利用弧长公式即可计算得解．【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，由已知可得：l=3，r=2，则由l=rα，可得：α==．故选：B．3．设x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．3【考点】平面向量的坐标运算．【分析】由⊥，求出x=3，从而=（3，3），由此能求出||．【解答】解：∵x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），⊥，∴=﹣3+x=0，解得x=3，∴=（3，3），∴||==3．故选：C．4．二次函数f（x）=ax2+bx+1的最小值为f（1）=0，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质即可求出a，b的值，问题得以解决．【解答】解：二次函数f（x）=ax2+bx+1的最小值为f（1）=0，∴=1，且a＞0，∴b=﹣2a，∴f（1）=a+b+1=0，解得a=1，b=﹣2，∴a﹣b=3，故选：D5．设点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与．其中可作为该平面其他向量基底的是（）A．①②B．①③C．①④D．③④【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】要向量组可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底，这两个向量必不共线（平行），画出图形，利用图象分析向量之间是否共线后，可得答案．【解答】解：如下图所示：①与不共线，故①可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；②与共线，故②不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；③与不共线，故③可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；④与共线，故④不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；故选：B．6．已知函数f（x）=|x﹣1|，则与y=f（x）相等的函数是（）A．g（x）=x﹣1 B．C．D．【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相等函数．【解答】解：对于A，函数g（x）=x﹣1（x∈R），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的对应关系不同，不是相等函数；对于B，函数h（x）==|x﹣1|（x≠1），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的定义域不同，不是相等函数；对于C，函数s（x）==x﹣1（x≥1），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的定义域不同，对应关系不同，不是相等函数；对于D，函数t（x）==|x﹣1|（x∈R），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数．故选：D．7．已知，，c=log35，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数的运算性质及其对数函数的单调性即可得出．【解答】解： =，1＜=log34＜log35=c，∴c＞b＞a．故选：A．8．已知函数，若g（x）=f（x）﹣m为奇函数，则实数m的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【考点】函数奇偶性的判断．【分析】由函数的奇偶性易得g（﹣x）+g（x）=0，即2+﹣m+2﹣﹣m=0，解m的方程可得．【解答】解：∵函数，g（x）=f（x）﹣m为奇函数，∴g（﹣x）+g（x）=0，即2+﹣m+2﹣﹣m=0，∴m=2．故选C．9．某商场在2017年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000元．设购买某商品的实际折扣率=，某人欲购买标价为2700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为（）A．55% B．65% C．75% D．80%【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】由已知中的折扣办法，将2700代入计算实际付款额可得实际折扣率．【解答】解：当购买标价为2700元的商品时，产品的八折后价格为：2700×0.8=2160，故实际付款：2160﹣400=1760，故购买某商品的实际折扣率为：≈65%，故选：B10．将函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数=cosx的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g（x）=cos（x+）的图象，令x+=kπ，求得x=kπ﹣，k∈Z，则g（x）图象的一条对称轴的方程为x=，故选：D．11．若函数y=f（x）的定义域为{x|﹣2≤x≤3，且x≠2}，值域为{y|﹣1≤y≤2，且y≠0}，则y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的定义域和值域以及与函数图象之间的关系分别进行判断即可．【解答】解：A．当x=3时，y=0，∴A错误．B．函数的定义域和值域都满足条件，∴B正确．C．由函数的图象可知，在图象中出现了有2个函数值y和x对应的图象，∴C错误．D．函数值域中有两个值不存在，∴函数的值域不满足条件，∴D错误．故选：B．12．关于x的方程（a＞0，且a≠1）解的个数是（）A．2 B．1 C．0 D．不确定的【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意a x=﹣x2+2x+a，﹣x2+2x+a＞0，令f（x）=a x，g（x）=﹣x2+2x+a，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：由题意a x=﹣x2+2x+a，﹣x2+2x+a＞0．令f（x）=a x，g（x）=﹣x2+2x+a，（1）当a＞1时，f（x）=a x在（﹣∞，+∞）上单调递增，且f（0）=1，f（1）=a，g（x）=﹣x2+2x+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，在[0，1]上，f（x）＜g（x），∵g（x）在x＜0及x＞1时分别有一个零点，而f（x）恒大于零，∴f（x）与g（x）的图象在x＜0及x＞1时分别有一个交点，∴方程有两个解；（2）当a＜1时，f（x）=a x在（﹣∞，+∞）上单调递减，且f（0）=1，f（1）=a，g（x）=﹣x2+2x+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，f（0）＞g（0），f（1）＜g（1），∴在（0，1）上f（x）与g（x）有一个交点，又g（x）在x＞1时有一个零点，而f（x）恒大于零，∴f（x）与g（x）的图象在x＞1时还有一个交点，∴方程有两个解．综上所述，方程有两个解．故选：A．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．13．函数的定义域为（﹣∞，3] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，列出不等式求出解集即可．【解答】解：函数，∴3﹣x≥0，解得x≤3，∴函数y的定义域是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]14．已知角α为第四象限角，且，则sinα= ﹣；tan（π﹣α）= 2．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得sinα和tan（π﹣α）的值．【解答】解：∵角α为第四象限角，且，则sinα=﹣=﹣，tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣=2，故答案为：﹣；2．15．已知9a=3，lnx=a，则x= ．【考点】对数的运算性质．【分析】由指数的运算性质化简等式右边，等式两边化为同底数的对数后可得x的值．【解答】解：由9a=3，∴32a=3，∴2a=1，∴a=，∴lnx==ln，∴x=故答案为：16．已知向量||=2，||=3，|+|=，那么|﹣|= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先由已知求出两个向量的数量积，然后求出|﹣|的平方，再开方求值．【解答】解：||=2，||=3，|+|=，所以|+|2=||2+||2+2=7，所以=﹣3，所以|﹣|2==4+9+6=19，那么|﹣|=；故答案为：．17．已知，且满足，则sinαcosα= ；sinα﹣cosα= ﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，直接由条件求得sinαcosα的值，可得α∈（π，），再根据sinα﹣cosα=﹣，计算求得结果．【解答】解：∵，且满足，∴+==8，∴sinαcosα=，∴sinα＜0，cosα＜0，且sinα＜cosα．∴sinα﹣cosα=﹣=﹣=﹣=﹣，故答案为：；﹣．18．已知函数若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．【考点】分段函数的应用．【分析】当x≥0时，2x﹣1≥0，故若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则当x＜0时，存在不小于0的函数值，进而得到答案．【解答】解：当x≥0时，2x﹣1≥0，当x＜0时，若a=0，则f（x）=2恒成立，满足条件；若a＞0，则f（x）＜2﹣3a，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则2﹣3a＞0，即a∈（0，）；若a＞0，则f（x）＜2﹣3a，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则2﹣3a＞0，即a∈（0，）；若a＜0，则f（x）＞2﹣3a，满足条件，综上可得：a∈（﹣∞，）；故答案为：（﹣∞，）三、解答题：本大题共4个小题，40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．已知全集U=R，集合A={x∈R|2x﹣3≥0}，B={x|1＜x＜2}，C={x∈N|1≤x＜a}．（Ⅰ）求A∪B；（Ⅱ）若C中恰有五个元素，求整数a的值；（Ⅲ）若A∩C=∅，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（Ⅰ）根据交集的定义计算即可，（Ⅱ）根据集合的元素特征，即可求出，（Ⅲ）根据交集的定义即可求出【解答】解：（Ⅰ）集合A={x∈R|2x﹣3≥0}=[，+∞），B={x|1＜x＜2}=（1，2），∴A∪B=（1，+∞），（Ⅱ）∵C={x∈N|1≤x＜a}，C中恰有五个元素，则整数a的值为6，（Ⅲ）∵C={x∈N|1≤x＜a}=[1，a），A∩C=∅，∴1≤a≤220．已知函数与g（x）=cos（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到h（x）的图象，若h （x）的最小正周期为π，求ω的值和h（x）的单调递增区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象；余弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）根据f（）=g（），求得φ的值．（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到h（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性求得h（x）的增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵函数与g（x）=cos（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴sin﹣=cos（+φ），即 cos（+φ）=0，∴+φ=，∴φ=．（Ⅱ）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到h（x）=sin（ωx）﹣的图象，若h（x）的最小正周期为=π，∴ω=2，h（x）=sin（2x）﹣．令2kπ﹣≤2x≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得h（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．21．已知函数f（x）=kx2+2x为奇函数，函数g（x）=a f（x）﹣1（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）求g（x）在[﹣1，2]上的最小值．【考点】函数奇偶性的判断；函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）函数f（x）=kx2+2x为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），即kx2﹣2x=﹣kx2﹣2x，即可求实数k的值；（Ⅱ）g（x）=a2x﹣1，分类讨论，求g（x）在[﹣1，2]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=kx2+2x为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即kx2﹣2x=﹣kx2﹣2x，∴k=0；（Ⅱ）g（x）=a2x﹣1，0＜a＜1，函数g（x）在[﹣1，2]上单调递减，x=2时g（x）在[﹣1，2]上的最小值为a4﹣1；a＞1，函数g（x）在[﹣1，2]上单调递增，x=﹣1时g（x）在[﹣1，2]上的最小值为a﹣2﹣1．22．已知函数f（x），定义（Ⅰ）写出函数F（2x﹣1）的解析式；（Ⅱ）若F（|x﹣a|）+F（2x﹣1）=0，求实数a的值；（Ⅲ）当时，求h（x）=cosx•F（x+sinx）的零点个数和值域．【考点】分段函数的应用；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（Ⅰ）由新定义，讨论2x﹣1＞x，2x﹣1=x，2x﹣1＜x，解不等式即可得到所求函数F （2x﹣1）；（Ⅱ）讨论x＞1，x=1，x＜1，由F（2x﹣1），求得F（|x﹣a|），运用恒成立思想，即可得到a的值；（Ⅲ）由h（x）=0可得cosx=0或F（x+sinx）=0，结合新定义和三角函数的图象与性质，可得零点个数；由x+sinx＞x，x+sinx=x，x+sinx＜x，化简h（x），分别求得值域，即可得到所求h（x）在时的值域．【解答】解：（Ⅰ）定义，当2x﹣1＞x，可得x＞1，则F（2x﹣1）=1；当2x﹣1=x，可得x=1，则F（2x﹣1）=0；当2x﹣1＜x，可得x＜1，则F（2x﹣1）=﹣1；可得F（2x﹣1）=；（Ⅱ）当x＞1时，F（2x﹣1）=1，F（|x﹣a|）=﹣1，即有|x﹣a|＜x恒成立，即为a2≤2ax在x＞1恒成立，即有a2≤2a，解得0≤a≤2；当x=1时，F（2x﹣1）=0，F（|x﹣a|）=0，可得|1﹣a|=1，解得a=0或2；当x＜1时，F（2x﹣1）=﹣1，F（|x﹣a|）=1，即有|x﹣a|＞x恒成立，即为a2≥2ax在x＜1恒成立，即有a2≥2a，解得a≥2或a≤0；则a的值为0或2；（Ⅲ）当时，h（x）=cosx•F（x+sinx）=0，可得cosx=0或F（x+sinx）=0，即有x=；x+sinx=x，即sinx=0，解得x=π，则h（x）的零点个数为2；当x+sinx＞x，即≤x＜π时，h（x）=cosx∈（﹣1，]；当x+sinx=x，即x=π时，h（x）=0；当x+sinx＜x，即π＜x≤时，h（x）=﹣cosx∈[，1）．综上可得，h（x）的值域为（﹣1，1）．。

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．如图，以AB 为直径在正方形ABCD 内部作半圆O ，P 为半圆上与,A B 不重合的一动点，下面关于PA PB PD ++的说法正确的是A.无最大值，但有最小值B.既有最大值，又有最小值C.有最大值，但无最小值D.既无最大值，又无最小值2．函数()tan (0)f x x ωω=>的图象的相邻两支截直线1y =所得的线段长为4π，则()12f π的值是 （ ）A.0 3C.1 33．函数y=2-x 2112x +-⎛⎫⎪⎝⎭的单调递减区间是( ) A.(-∞,1)B.［1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-1,+∞)4．已知()()()23f x m x m x m =-++，()42x g x =-，若对任意x ∈R ,()0f x <或()0g x <，则m 的取值范围是A.7,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.7,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知函数()()22log 2,2021,0x x f x x x x ⎧+-<≤=⎨-+>⎩，若函数2()[(())](1)(())g x f f x a f f x a =-++(R)a ∈恰有8个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）A.(0,1)B.[0,1)C.1(0,)4D.(0,2) 6．在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球个数是1.5，全年比赛失球个数的标准差是1.1；二队每场比赛平均失球个数是2.1，全年比赛失球个数的标准差是0.4.则下列说法错误的是（）A.平均来说一队比二队防守技术好B.二队很少失球C.一队有时表现差，有时表现又非常好D.二队比一队技术水平更不稳定7．下列几何体中是棱柱的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个8．已知偶函数()f x 的定义域为R ，当[)0,x ∈+∞时，()1a x f x x -=+，若()112f -=，则()11f x -<的解集为（） A.13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．函数2lg(1)y ax x =+是奇函数，则a 的值为（）A.1B.1-C.0D.±110．已知指数函数()xf x a =，将函数()f x 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数()g x 的图象，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数()f x 的图象重合，则a 的值是（） A.32 B.23 C.33 D.311．函数()222cos x xe ef x x x--=+部分图象大致为（） A. B.C. D.12．已知log ,ln ,ln 3a e b c ππ===，那么（）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b a c <<二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知12max{,,,}n x x x ⋅⋅⋅表示12,,,n x x x ⋅⋅⋅这n 个数中最大的数．能够说明“对任意,,,a b c d R ∈,都有max{,}max{,}max{,,,}a b c d a b c d +≥”是假命题的一组整数a b c d ,,,的值依次可以为_____14．函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><一段图象如图所示.则()f x 的解析式为______15．已知()221,1,1x x f x x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩在[](),2x t t t R ∈+∈上的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m -的最小值为__________16．函数()2log 030x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦__________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．如图，欲在山林一侧建矩形苗圃，苗圃左侧为林地，三面通道各宽2m ，苗圃与通道之间由栅栏隔开（1）若苗圃面积25000m ，求栅栏总长的最小值；（2）若苗圃带通道占地总面积为25000m ，求苗圃面积的最大值18．已知圆C 的方程为：2222242x y mx my m +-+=-（1）求圆C 的圆心所在直线方程一般式；（2）若直线:40l x y -+=被圆C 截得弦长为22，试求实数m 的值；（3）已知定点(2,2)P ，且点,A B 是圆C 上两动点，当APB ∠可取得最大值为90︒时，求满足条件的实数m 的值19．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+0,0,||2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭，在一个周期内的图象如下图所示.（1）求函数的解析式；（2）设0πx <<，且方程()f x m =有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围和这两个根的和.20．某校食堂需定期购买大米.已知该食堂每天需用大米0.6吨，每吨大米的价格为6000元，大米的保管费用z(单位：元)与购买天数x(单位：天)的关系为()()*z 9x x 1x N =+∈，每次购买大米需支付其他固定费用900元 ()1该食堂多少天购买一次大米，才能使平均每天所支付的总费用最少？()2若提供粮食的公司规定：当一次性购买大米不少于21吨时，其价格可享受8折优惠(即原价的80%)，该食堂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由21．已知函数21()3sin cos sin 2f x x x x =+-. （1）求()f x 的对称中心的坐标；（2）若,123A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1()3f A =，求5cos 26A π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 22．函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的一段图象如下图所示.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，得到y g x 的图象.求直线6y =()()y f x g x =+的图象在30,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内所有交点的横坐标之和.参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、D【解析】设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，则D （-1，2），P （cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）()()22cos ,2sin 1cos ,2sin PA PB PD PO PD θθθθ++=+=--+---()13cos ,3sin θθ=---()()2213cos 3sin 106cos PA PB PD θθθ∴++=--+-=+∵cosθ∈（-1，1），∴PA PB PD ++∈（4，16）.故选D.点睛：本题考查了向量的加法及向量模的计算，利用建系的方法，引入三角函数来解决使得思路清晰，计算简便，遇见正方形，圆，等边三角形，直角三角形等特殊图形常用建系的方法.2、D【解析】由正切函数的性质，可以得到函数()f x 的周期，进而可以求出()f x 解析式，然后求出12f π⎛⎫ ⎪⎝⎭即可 【详解】由题意知函数()f x 的周期为4π，则4ππω=，所以4ω=，则4tan tan 312123f πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭故选D. 【点睛】本题考查了正切函数的性质，属于基础题3、A【解析】令t ＝-x 2+2x ﹣1，则y 12t⎛⎫= ⎪⎝⎭，故本题即求函数t 的增区间，再结合二次函数的性质可得函数 t 的增区间【详解】令t ＝-x 2+2x ﹣1，则y 12t⎛⎫= ⎪⎝⎭，故本题即求函数t 的增区间， 由二次函数的性质可得函数t 的增区间为（-∞，1），所以函数的单调递减区间为(-∞,1).故答案为A【点睛】本题主要考查指数函数和二次函数的单调性，考查复合函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4、C【解析】先判断函数g （x ）的取值范围，然后根据()0f x <或()0g x <成立求得m 的取值范围.【详解】∵g （x ）＝4x ﹣2，当x<12时,() 0g x <恒成立， 当x ≥12时，g （x ）≥0， 又∵∀x ∈R ，f （x ）＜0或g （x ）＜0， ∴f （x ）＝m （x ﹣2m ）（x +m +3）＜0在x ≥12时恒成立， 即m （x ﹣2m ）（x +m +3）＜0在x ≥12时恒成立， 则二次函数y ＝m （x ﹣2m ）（x +m +3）图象开口只能向下，且与x 轴交点都在（12，0）的左侧， ∴0132122m m m ＜＜＜⎧⎪⎪⎪--⎨⎪⎪⎪⎩， 即07214m m m ⎧⎪⎪⎪-⎨⎪⎪⎪⎩＜＞＜， 解得72-＜m ＜0， ∴实数m 的取值范围是：（72-，0） 故选C 【点睛】本题主要考查指数函数和二次函数的图象和性质，根据条件确定f （x ）＝m （x ﹣2m ）（x +m +3）＜0在x ≥12时恒成立是解决本题的关键，综合性较强，难度较大5、A【解析】利用十字相乘法进行因式分解，然后利用换元法()t f x =，作出()f x 的图象，利用数形结合判断根的个数即可.【详解】由[]2()(())(1)(())0g x f f x a f f x a =-++=，得()()()()10f f x f f x a ⎡⎤⎡⎤--=⎣⎦⎣⎦，解得()()1f f x =或()()f f x a =，作出()f x 的图象如图，则若()1f x =，则0x =或2x =，设()t f x =，由()()1f f x =得()1f t =，此时0=t 或2t =，当0=t 时，()0f x t ==，有两根，当2t =时，()2f x t ==，有一个根，则必须有()()f f x a =，1a ≠有5个根，设()t f x =，由()()ff x a =得()f t a =， 若0a =，由()0f t a ==，得1t =-或1t =，()1f x =-有一个根，()1f x =有两个根，此时有3个根，不满足题意；若1a >，由()f t a =，得2t >，()f x t =有一个根，不满足条件.若0a <，由()f t a =，得21t -<<-，()f x t =有一个根，不满足条件；若01a <<，由()f t a =，得110t -<<或201t <<或312t <<，当110t -<<，()1f x t =有一个根，当201t <<时，()2f x t =有3个根，当312t <<时，()3f x t =有一个根，此时共有5个根，满足题意.所以实数a 的取值范围为()0,1.故选：A.【点睛】方法点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题第II 卷（非选择题6、B【解析】利用平均数和标准差的定义及意义即可求解.【详解】对于A ，因为一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1，所以平均说来一队比二队防守技术好，故A 正确；对于B ，因为二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，所以二队经常失球，故B 错误；对于C ，因为一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，所以一队有时表现很差，有时表现又非常好，故C 正确；对于D ，因为一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，所以二队比一队技术水平更稳定，故D 正确;故选：B.7、C【解析】根据棱柱的定义进行判断即可【详解】棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，观察图形满足棱柱概念的几何体有：①③⑤，共三个故选：C【点睛】本题主要考查棱柱的概念，属于简单题.8、D【解析】先由条件求出参数a ，得到()f x 在[)0,∞+上的单调性，结合112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭和函数为偶函数进行求解即可.【详解】因为()f x 为偶函数，所以()()1111112a f f --===+，解得2a =. ()23111x f x x x -==-+++在[)0,∞+上单调递减，且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 因为()1112f x f ⎛⎫-<=⎪⎝⎭，所以112x ->，解得32x >或12x <. 故选：D9、D 【解析】根据奇函数的定义可得()()0g x g x -+=，代入表达式利用对数的运算即可求解.【详解】函数()lg(y g x ax ==+是奇函数，则()()0g x g x -+=，即(()222lg(lg lg 10ax ax x a x +-=+-=， 从而可得210a -=，解得1a =±.当1a =±时，||0ax x ax >+≥，即定义域为R ，所以1a =±时，lg(y ax =是奇函数故选：D【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，需掌握函数奇偶性的定义，同时本题也考查了对数的运算，属于基础题. 10、D【解析】根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数a 的等式，进而可求得实数a 的值.【详解】由题意可得()3x g x a =，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，得到函数()23x f x a -=，又因为()xf x a =，所以，23x x a a -=，整理可得23a =，因为0a >且1a ≠，解得a =故选：D.11、A 【解析】根据函数的解析式可判断函数为奇函数，再根据函数的零点个数可得正确的选项.【详解】因为()()()()2222cos 22cos x x x xe e e ef x f x x x x x -----===-+-+-，所以()f x 为奇函数， 图象关于原点对称，故排除B ；令()2022cos x x e e f x x x--==+，即x xe e -=，解得0x =，即()0f x =只有一个零点，故排除C ，D 故选：A 12、B【解析】先利用指数函数单调性判断b ，c 和1大小关系，再判断a 与1的关系，即得结果. 【详解】因为ln y x =在()0,∞+单调递增，3e π>>，故ln ln3ln 1e π>>=，即1b c >>， 而log log 1a e πππ=<=，故a c b <<. 故选：B.二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13、1,2,1,2--（答案不唯一）【解析】首先利用新定义，再列举命题为假命题的一组数值，再根据定义，验证命题是假命题. 【详解】设1,2a b =-=-，1,2c d ==， 则{}{}max 1,2max 1,2121--+=-+=， 而{}max 1,2,1,22--=，12<，故命题为假命题，故a b c d ,,,依次可以为1,2,1,2-- 故答案为：1,2,1,2--（答案不唯一） 14、()23sin 510f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【解析】由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而得到函数的解析式 【详解】由函数的图象的顶点的纵坐标可得A 3=，再由函数的周期性可得32ππ4π4ω4⋅=-，2ω5∴= 再由五点法作图可得2πφ054⨯+=，πφ10∴=- 故函数的解析式为()2πf x 3sin x 510⎛⎫=-⎪⎝⎭，故答案为()2πf x 3sin x 510⎛⎫=-⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查函数()y Asin ωx φ=+的部分图象求解析式，由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于中档题 15、158【解析】如图：()()22322? 2135 2422521?2? 2t t t M t t t ⎧-++≤-⎪⎪⎪=-<≤-⎨⎪⎪+->-⎪⎩22 00? 0 1 1? 1? t t t m t t t ⎧-+≤⎪=<≤⎨⎪->⎩则当0t ≤时，52t +≥520t ≤≤时，()22221233min M m t t t t t -=+-+-=++ 当34t =-时，原式158= 点睛：本题主要考查了分段函数求最值问题，在定义域为动区间的情况下进行分类讨论，先求出最大值与最小值的情况，然后计算，本题的关键是要注意数形结合，结合图形来研究最值问题，本题有一定的难度 16、19【解析】先求1()4f 的值，再求14f f⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值. 【详解】由题得211()=log 244f =-， 所以211(2)349f f f -⎡⎤⎛⎫=-==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为19【点睛】本题主要考查指数对数运算和分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17、（1）200米 （2）4608平方米【解析】(1)设苗圃的两边长分别为a ，b ，依题意列出已知和所求，由基本不等式直接可得； (2)根据题意列出已知，利用基本不等式将条件化为不等式，然后解不等式可得. 【小问1详解】设苗圃的两边长分别为a ，b （如图），则5000ab =，222200a b ab +≥=，当且仅当5000,2,ab a b =⎧⎨=⎩即50,100a b =⎧⎨=⎩时取“=”， 故栅栏总长的最小值为200米 【小问2详解】()()2450004249920a b ab a b ++=⇒++-=，而422842a b ab ab +≥=4249920ab ab +≤， ab t =，则24249920t t +-≤， 因式分解为(5224820t t +-≤，解得522482t -≤≤482ab ≤，4608ab ≤，当且仅当2,2b a ab =⎧⎪=4896a b =⎧⎨=⎩时取“=”，故苗圃面积的最大值为4608平方米 18、（1）0x y +=； （2）1m =-或3m =-；（3）m =【解析】（1）配方得圆的标准方程，可得圆心坐标满足x my m=⎧⎨=-⎩，消去m 可得圆心所在直线方程；（2）由弦长、半径结合勾股定理求出圆心到直线的距离，再由点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，两者相等可解得m ；（3）根据题意判断出四边形PACB 是正方形，进而求得CP =m 【小问1详解】由已知圆C 的方程为：()()224x m y m -++=，所以圆心为x my m =⎧⎨=-⎩，所以圆心在直线方程为0x y +=. 【小问2详解】（2）由已知r =2，又弦长为所以圆心到直线距离d ==所以d ==解得1m =-或3m =-. 【小问3详解】由APB ∠可取得最大值为90︒可知点P 为圆外一点，所以0m ≠，当PA 、PB 为圆的两条切线时，∠APB 取最大值.又,,CA PA CB PB CA CB ⊥⊥=，所以四边形PACB 为正方形，由r =2得到||CP =，即P 到圆心C 的距离d '==m =.19、（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（2）21m -<<或12m <<；当(2,1)∈-m 时，两根之和43π；当(1,2)m ∈）时，两根之和3π. 【解析】（1）观察图象可得：2A =，根据(0)1f =求出ϕ，再根据11()012f π=可得=2ω．可得解;（2）如图所示，()2sin(2)16f πππ=+=．作出直线y m =．方程()f x m =有两个不同的实数根转化为：函数()2sin(2)6f x x π=+．与函数y m =图象交点的个数．利用图象的对称性质即可得出 【详解】（1）观察图象可得：2A =， 因为f(0)=1,所以12sin 1,sin ,||,226ππϕϕϕϕ=∴=<∴=.因为1111()0,2sin()012126f ππωπ=∴⋅+=， 由图象结合五点法可知，11(0)12π，对应于函数y=sinx 的点(2,0)π， 所以112,2126πωππω⋅+=∴=()2sin(2)6πf x x ∴=+（2）如图所示，()2sin(2)16f πππ=+=作出直线y m =方程()f x m =有两个不同的实数根转化为：函数()2sin(2)6f x x π=+ 与函数y m =图象交点的个数可知：当21m -<<时，此时两个函数图象有两个交点，关于直线23x π=对称，两根和为43π 当12m <<时，此时两个函数图象有两个交点，关于直线6x π=对称，两根和为3π【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质、方程思想、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 20、（1）10天购买一次大米；（2）见解析.【解析】()1根据条件建立函数关系，结合基本不等式的应用求最值即可；()2求出优惠之后的函数表达式，结合函数的单调性求出函数的最值进行判断即可【详解】解：()1设每天所支付的总费用为1y 元， 则()11900900y 9x x 19000.660009x 3609360929x 36091803789x x x⎡⎤=+++⨯=++≥+⨯+=⎣⎦， 当且仅当9009x x=，即x 10=时取等号， 则该食堂10天购买一次大米，才能使平均每天所支付的总费用最少()2若该食堂接受此优惠条件，则至少每35天购买一次大米，设该食堂接受此优惠条件后，每x ，()x 35≥天购买一次大米，平均每天支付的总费用为2y ， 则()21900y 9x x 19000.660000.89x 2889x x ⎡⎤=+++⨯⨯=++⎣⎦， 设()900100f x 9x 9x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，x 35≥， 则()f x 在x 35≥时，为增函数，则当x 35=时，2y 有最小值，约为3229.7， 此时3229.73789<， 则食堂应考虑接受此优惠条件【点睛】本题主要考查函数的应用问题，基本不等式的性质以及函数的单调性，属于中档题.21、（1）1,0212k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z ；（2）6【解析】（1）利用辅助角公式及降幂公式将函数化为()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再根据正弦函数的对称中心即可得出答案； （2）由1()3f A =，求得1sin 263A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式即可得出答案.【详解】解：（1）211cos 21()cos sin 2222x f x x x x x -=+-=+- sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭由26x k ππ-=，k ∈Z ，得1212x k ππ=+，k ∈Z ， 即()f x 的对称中心的坐标为1,0212k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z .（2）由（1）知1()sin 263f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，令26A πθ=-， 则02πθ<<，所以1sin 3θ=，cos 3θ=，则5222cos 2cos cos cos sin sin 6333A πθπθπθπ⎛⎫⎛⎫-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1132326⎛⎫=-+⨯=⎪⎝⎭. 22、（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）196π【解析】(1)由图象可计算得A ωϕ，，；(2)由题意可求()()y f x g x =+，进而可以求出在给定区间内与已知直线的交点的横坐标，问题得解. 【小问1详解】由题图知2A =，T π=，于是22Tπω==， 将2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得()2sin 2y x ϕ=+的图象.于是2126ππϕ=⨯=所以，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【小问2详解】由题意得()2sin 22cos 2466g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故()()2sin 22cos 226612y f x g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由212x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2122x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 因为302x π<<，所以23121212x ππππ-<-<- 所以524x π=或38x π=或2924x π=或118x π=，所以，在给定区间内，所有交点的横坐标之和为196π.。

2024届北京市高一数学第一学期期末经典试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．如图，在等腰梯形ABCD 中，222CD AB EF a ===，,E F 分别是底边,AB CD 的中点，把四边形BEFC 沿直线EF 折起使得平面BEFC ⊥平面ADFE .若动点P ∈平面ADFE ，设,PB PC 与平面ADFE 所成的角分别为12,θθ（12,θθ均不为0）.若12=θθ，则动点P 的轨迹围成的图形的面积为A.214a B.249a C.214a π D.249a π 2．设1153a =，1315b =，151log 3c =，则,,a b c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.c b a <<3．设定义在R 上的函数()f x 满足：当12x x <时，总有()()122122xxf x f x <，且()12f =，则不等式()2xf x >的解集为（） A.(),1-∞ B.()1,+∞ C.()1,1-D.()(),11,-∞+∞4．工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为120︒，外圆半径为40cm ，内圆半径为20cm .则制作这样一面扇面需要的布料为（）2cm .A.4003πB.400πC.800πD.7200π5．已知偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，且()30f =，则()20f x ->的解集是（ ） A.{}33x x -<< B.{1x x <-或}5x > C.{3x x <-或}3x > D.{5x x <-或}1x >6．已知()3sin 5απ-=，则cos2=α（） A.－925 B.925C.－725 D.7257．设函数()()()sin cos f x a x b x παπβ=+++，其中a ，b ，α，β都是非零常数，且满足()120193f =-，则()2020f =（）A.3-B.13-C.13D.38．下列所给出的函数中，是幂函数的是 A.3y x =- B.3y x -= C.32y x =D.31y x =-9．已知命题“x R ∃∈，使()212102x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A.1a <- B.13a -<< C.3a >-D.31a -<<10．函数f （x ）=ln x +3x -4的零点所在的区间为（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3D.()2,4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市东城区2021-2022高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（）A．M＝∅B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M2．（5分）下列函数为偶函数的是（）A．y＝|x| B．y＝lnx C．y＝e x D．y＝x33．（5分）已知函数y＝sin x在区间M上单调递增，那么区间M可以是（）A．（0，2π）B．（0，π）C．D．4．（5分）命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为（）A．∃x∈A，2x∉B B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B 5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．a D．6．（5分）下列各式正确的是（）A．B．C．D．7．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A．8100 B．900 C．81 D．9二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．（5分）关于函数f（x）＝1+cos x，x∈（，2π）的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A．当t＜0或t≥2时，有0个交点B．当t＝0或时，有1个交点C．当时，有2个交点D．当0＜t＜2时，有2个交点10．（5分）已知函数f（x）＝4|x|+x2+a，下列命题正确的有（）A．对于任意实数a，f（x）为偶函数B．对于任意实数a，f（x）＞0C．存在实数a，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是．12．（5分）sin的值为．13．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f （x）可以为．（写出符合条件的一个函数即可）14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为．15．（5分）已知函数f（x）＝则f（﹣2）＝；若f（t）＝1，则实数t＝．16．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t﹣1（a＞0且a≠1），它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3．其中正确命题的序号有．（注：请写出所有正确结论的序号）四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．（1）求∁U A；（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁U A，求m的取值范围．18．（13分）已知函数，f（0）＝．（1）求f（x）的解析式和最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为．（1）求tanβ的值；（2）求的值．20．（16分）已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）的单调性并说明理由；（3）若f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，求x的取值范围．21．（15分）对于集合A，定义函数f A（x）＝对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出f A（1）与f B（1）的值，并求出A*B；（2）证明：f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．2021-2022北京市东城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（）A．M＝∅B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M【分析】利用集合与集合的关系直接求解．【解答】解：∵集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，∴M⫋N．故选：C．【点评】本题考查集合的关系的判断，考查交集、并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）下列函数为偶函数的是（）A．y＝|x| B．y＝lnx C．y＝e x D．y＝x3【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝|x|，是偶函数，符合题意；对于B，y＝lnx，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；对于C，y＝e x，是指数函数，不是偶函数，不符合题意；对于D，y＝x3，是幂函数，不是偶函数，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性，属于基础题．3．（5分）已知函数y＝sin x在区间M上单调递增，那么区间M可以是（）A．（0，2π）B．（0，π）C．D．【分析】直接利用函数的单调性和子区间之间的关系求出结果．【解答】解：根据函数y＝sin x的单调递增区间：[]（k∈Z），当k＝0时，单调增区间为[]，由于为[]的子区间，故选：D．【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4．（5分）命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为（）A．∃x∈A，2x∉B B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为∃x∈A，2x∉B，故选：A．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．a D．【分析】直接利用不等式的应用和函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：由于a＞b，且a和b的正负号不确定，所以选项ACD都不正确．对于选项：B由于函数y＝2x为单调递增函数，且a＞b，故正确故选：B．【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6．（5分）下列各式正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式直接求解．【解答】解：在A中，sin＞0＞sin＝﹣sin，故A错误；在B中，＜cos，故B正确；在C中，＞，故C错误；在D中，＞cos＝sin，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】可以取特殊值讨论充要性．【解答】解：若a，b为正实数，取a＝1，b＝1，则a+b＝2，则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的不充分条件；若a+b＞2，取a＝1，b＝0，则b不是正实数，则“a+b＞2”是“a，b为正实数''的不必要条件；则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题考查命题充要性，以及不等式，属于基础题．8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A．8100 B．900 C．81 D．9【分析】由题意令V＝2m/s，0m/s，则可求出耗氧量，求出之比．【解答】解：鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量为：令v＝2＝，即，即，即o＝8100，鲑鱼静止时耗氧量为：令v＝0＝，即，即o'＝100，故鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为，故选：C．【点评】本题考查对数求值，属于中档题．二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．（5分）关于函数f（x）＝1+cos x，x∈（，2π）的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A．当t＜0或t≥2时，有0个交点B．当t＝0或时，有1个交点C．当时，有2个交点D．当0＜t＜2时，有2个交点【分析】直接利用函数的图象和函数的性质及参数的范围求出函数的交点的情况，进一步确定结果．【解答】解：根据函数的解析式画出函数的图象：①对于选项A：当t＜0或t≥2时，有0个交点，故正确．②对于选项B：当t＝0或时，有1个交点，故正确．③对于选项C：当t＝时，只有一个交点，故错误．④对于选项D：当，只有一个交点，故错误．故选：AB．【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的应用，利用函数的图象求参数的取值范围，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10．（5分）已知函数f（x）＝4|x|+x2+a，下列命题正确的有（）A．对于任意实数a，f（x）为偶函数B．对于任意实数a，f（x）＞0C．存在实数a，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】直接利用函数的对称性和函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：函数f（x）＝4|x|+x2+a，①对于选项A：由于x∈R，且f（﹣x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数．故选项A正确．②对于选项B：由于x2≥0，所以，故4|x|+x2≥1所以当x＝0时a＝﹣2时，f（x）＜0，故选项B错误．③对于选项C：由于函数f（x）的图象关于y轴对称，在x＞0时，函数为单调递增函数，在x＜0时，函数为单调递减函数，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，故选项C正确．④对于选项D：由于函数的图象关于y轴对称，且在x＞0时，函数为单调递增函数，在x＜0时，函数为单调递减函数，故存在实数a＝0时，当x∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）时，不等式成立，故选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是（﹣1，1）．【分析】解不等式1﹣x2＞0即可．【解答】解：令1﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题．12．（5分）sin的值为﹣．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果．【解答】解：sin＝sin（2π﹣）＝﹣sin＝﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．13．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f （x）可以为f（x）＝．（写出符合条件的一个函数即可）【分析】由函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，即是符合要求的一个函数．【解答】解：∵函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，∴函数f（x）＝（）x即是符合要求的一个函数，故答案为：f（x）＝（）x．【点评】本题主要考查了指数函数的单调性和值域，是基础题．14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C．【分析】①利用交集定义直接求解．②利用并集定义直接求解．【解答】解：①设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B．故答案为：A∩B．②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C．故答案为：A∪C．【点评】本题考查并集、交集的求法，考查并集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．（5分）已知函数f（x）＝则f（﹣2）＝；若f（t）＝1，则实数t＝0或1 ．【分析】结合已知函数解析式，把x＝﹣2代入即可求解f（﹣2），结合已知函数解析式及f（t）＝1，对t进行分类讨论分别求解．【解答】解：f（x）＝则f（﹣2）＝2﹣2＝，∵f（t）＝1，①当t≥1时，可得＝1，即t＝1，②当t＜1时，可得2t＝1，即t＝0，综上可得t＝0或t＝1．故答案为：；0或1【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．16．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t﹣1（a＞0且a≠1），它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3．其中正确命题的序号有①②④．（注：请写出所有正确结论的序号）【分析】直接利用函数的图象求出函数的解析式，进一步利用函数的额关系式再利用函数的性质的应用求出结果．【解答】解：浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t ﹣1（a＞0且a≠1），函数的图象经过（2，2）所以2＝a2﹣1，解得a＝2．①当x＝0时y＝，故选项A正确．②当第8个月时，y＝28﹣1＝27＝128＞60，故②正确．③当t＝1时，y＝1，增加0.5，当t＝2时，y＝2，增加1，故每月的增加不相等，故③错误．④根据函数的解析式，解得t1＝log210+1，同理t2＝log220+1，t3＝log230+1，所以2t2＝2log220+2＝log2400+2＞t1+t2＝log2300+2，所以则2t2＞t1+t3．故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，定义性函数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．（1）求∁U A；（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁U A，求m的取值范围．【分析】（1）根据题意，求出集合A，进而由补集的性质分析可得答案；（2）根据题意，结合集合间的关系分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，因为A＝{x|x2+3x+2＜0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1}．因为全集U＝R，所以∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，（2）根据题意，∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，若B⊆∁U A，当m﹣1≥﹣1或m≤﹣2，即m≥0或m≤﹣2，所以m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）．【点评】本题考查集合的补集运算，涉及集合的子集关系，属于基础题．18．（13分）已知函数，f（0）＝．（1）求f（x）的解析式和最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．【分析】（1）利用函数值，转化求解函数的解析式，推出函数的周期；（2）利用函数的自变量的范围，求出相位的范围，然后求解正弦函数的最值．【解答】解：（1）因为，所以．又因为φ∈，所以φ＝．所以．所以f（x）最的小正周期．（2）因为x∈[0，2π]，所以．当，即时，f（x）有最大值2，当，即x＝2π时，f（x）有最小值．【点评】本题考查函数的周期以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为．（1）求tanβ的值；（2）求的值．【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得tanβ的值．（2）由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：（1）因为β的终边与单位圆交于点B，B点的纵坐标为，所以．因为，所以．所以．（2）因为α的终边与单位圆交于点A，A点的纵坐标为，所以．因为，所以，故＝＝＝．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于基础题．20．（16分）已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）的单调性并说明理由；（3）若f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，求x的取值范围．【分析】（1）定义域为R，然后求出f（﹣x），得f（﹣x）＝﹣f（x），所以为奇函数；（2）直接由指数函数的单调性可判断函数f（x）的单调性；（3）不等式变形，由奇函数的性质得出ax﹣1＞x﹣2对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，令关于a的函数g（a）＝xa+1﹣x＞0在（﹣∞，2]上恒成立，g（a）一定单调递减，所以满足则只需解出x的范围．【解答】解：（1）f（x）为奇函数．因为f（x）定义域为R，，所以f（﹣x）＝﹣f（x）．所以f（x）为奇函数；（2）在（﹣∞，+∞）是增函数．因为y＝3x在（﹣∞，+∞）是增函数，且y＝3﹣x在（﹣∞，+∞）是减函数，所以在（﹣∞，+∞）是增函数，（3）由（1）（2）知f（x）为奇函数且f（x）（﹣∞，+∞）是增函数．又因为f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0，所以f（ax﹣1）＞﹣f（2﹣x）＝f（x﹣2）．所以ax﹣1＞x﹣2对任意a∈（﹣∞，2]恒成立．令g（a）＝xa+（1﹣x），a∈（﹣∞，2]．则只需，解得所以﹣1＜x≤0．所以x的取值范围为（﹣1，0]．【点评】考查函数的奇函数的判断即函数的单调性，使用中档题．21．（15分）对于集合A，定义函数f A（x）＝对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出f A（1）与f B（1）的值，并求出A*B；（2）证明：f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．【分析】（1）由新定义的元素即可求出f A（1）与f B（1）的值，再分情况求出A*B；（2）对x是否属于集合A，B分情况讨论，即可证明出f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）利用（2）的结论即可证明出*运算具有交换律和结合律．【解答】解：（1）∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，∴f A（1）＝﹣1，f B（1）＝1，∴A*B＝{1，4，5}；（2）①当x∈A且x∈B时，f A（x）＝f B（x）＝﹣1，所以x∉A*B．所以f A*B（x）＝1，所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x），②当x∈A且x∉B时，f A（x）＝﹣1，f B（x）＝1，所以x∈A*B．所以f A*B（x）＝﹣1，所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x），③当x∉A且x∈B时，f A（x）＝1，f B（x）＝﹣1．所以x∈A*B．所以f A*B（x）＝﹣1．所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）．④当x∉A且x∉B时，f A（x）＝f B（x）＝1．所以x∉A*B．所以f A*B（x）＝1．所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）．综上，f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）因为A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}，B*A＝{x|f B（x）•f A（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}，所以A*B＝B*A．因为（A*B）*C＝{x|f A*B（x）•f C（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）•f C（x）＝﹣1}，A*（B*C）＝{x|f A（x）•f B*C（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）•f C（x）＝﹣1}，所以（A*B）*C＝A*（B*C）．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了新定义问题，是中档题．。

北京东城综合中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知正方形ABCD的对角线AC与BD相交于E点，将△ACD沿对角线折起，使得平面ABC⊥平面ADC （如图），则下列命题中正确的是（）A．直线AB⊥直线CD，且直线AC⊥直线BDB．直线AB⊥平面BCD，且直线AC⊥平面BDEC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥BDED．平面ABD⊥平面BCD，且平面ACD⊥平面BDE参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由直线AB⊥直线CD不成立，知A错误；由直线AB⊥平面BCD不成立，知B错误；由平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE，知C正确；由平面ABD⊥平面BCD不成立，知D错误．【解答】解：由题意知DC⊥BE，AB∩BE=E，∴直线AB⊥直线CD不成立，故A错误；∵AC⊥AB，∴AB与BC不垂直，∴直线AB⊥平面BCD不成立，故B错误；∵BE⊥DE，BE⊥AC，∴AC⊥平面BDE，∴平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE，故C正确；∵平面ABD⊥平面BCD不成立，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，是中档题．2. 已知函数，则的解集为（）A． B．C． D．参考答案：B3. 已知满足，且，，那么等于（）A． B． C． D．参考答案：B4. 已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：A．（﹣∞，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断，关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数在该区间有零点．【解答】解：由于f （2）＞0，f （3）＜0，根据函数零点的存在定理可知故函数f （x ）在区间（2，3）内一定有零点，其他区间不好判断．故选c．5. 设，，，若x>1,则a,b,c的大小关系是（）A、a<b<c B 、 b<c <a C、 c<a<b D、 c<b< a参考答案：C6. 函数的图象是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】指数型复合函数的性质及应用．【分析】先利用函数图象过点（0，1），排除选项CD，再利用当x=1时，函数值小于1的特点，排除A，从而选B【解答】解：令x=0，则=1，即图象过（0，1）点，排除 C、D；令x=1，则=＜1，故排除A故选 B7. 下列四个命题：（1）函数的最小值是2；（2）函数的最小值是2；（3）函数的最小值是2；（4）函数的最大值是.其中错误的命题个数是（）....参考答案：（1）的值域为，无最小值，故错误；（2）的值域为，最小值为2，正确;（3）；当且仅当，即，不成立，故错误；（4），故正确.答案选.8. 已知，，则等于（）A. B. 或 C. 或 D.参考答案：A【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，求得所给式子的值．【详解】解：∵，，∴平方可得，即，∴，，∵可得：，解得：，或（舍去），∴，可得：．故选：A．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，熟记公式即可，属于基础题．9. 已知，，，则，，的大小关系为（）A B C D参考答案：B 略10. 设m ,n 是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则； ②若则；③若，则； ④若,则，其中正确命题的序号是（ ）A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ①和④参考答案：B 【分析】①利用线面平行的性质可得：若m ∥α，n ∥α，则m ∥n 、相交或为异面直线；②利用平面平行的传递性和平行平面的性质可得：若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m ⊥α，则m ⊥γ；③利用线面垂直的性质可得：若，则；；④利用面面垂直的性质可得：若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或相交．【详解】①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n 、相交或为异面直线，不正确； ②若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m ⊥α，则m ⊥γ；正确； ③若，则；正确；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或相交，不正确． 综上可知：②和③正确． 故选：B ．【点睛】本题综合考查了空间中线面的位置关系及其判定性质，属于基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 正项数列满足,又数列是以为公比的等比数列,则使得不等式成立的最大整数为 .参考答案：912. 解关于的不等式.参考答案：解：原不等式当时，解集为当时，解集为当时，解集为当时，解集为略13. 函数的值域为 ．参考答案：（-∞，1]14. 若半径为2的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积为8π时，圆柱的体积为 ．参考答案：15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则角B 最大值为______.参考答案：【分析】根据余弦定理列式，再根据基本不等式求最值【详解】因为所以角最大值为【点睛】本题考查余弦定理以及利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题 16. 已知等比数列{a n }的公比为q ，若，，则a 1=_____；q =____．参考答案：3【分析】用通项公式代入解方程组.【详解】因为，，所以，，解得.【点睛】本题考查等比数列的通项公式.17. 在中，B=3A,则的范围是.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。