常见的不等式问题解题思路绝对值不等式的解法

解题宝典含绝对值不等式问题是高考的必考内容，此类型问题常与函数、方程、数列等知识点相结合，题型多样，具有一定的难度，需要灵活运用化归、分类讨论、数形结合等数学思想进行解答.本文对三类常见的含绝对值不等式题型及其解法进行了归纳，以帮助同学们提升解答此类问题的效率.一、||f （x ）<a ，||f （x ）>a ，()a ∈R 型不等式的解法对于该类型不等式，我们需要考虑a =0,a >0，a <0这三种情形.1.当a >0时，ìíî||f (x )<a ⇔-a <f (x )<a ,||f (x )>a ⇔f (x )>a 或f (x )<-a .2.当a =0时，ìíî||f (x )<a ⇔无解,||f (x )>a ⇔f (x )≠0的解集.3.当a <0时，ìíî||f (x )<a ⇔无解,||f (x )>a ⇔使y =f (x )成立的x 解集为R.因此，在处理||f (x )<a ，||f (x )>a ，()a ∈R 型不等式时，我们首先要对参数a 进行分类讨论，以便去掉绝对值符号，将绝对值不等式问题转化为常规不等式问题进行求解.例1.若不等式||3x -b <4解集中x 的正整数解有且仅有1,2,3，求b 的取值范围.解:∵||3x -b <4解集中x 的正整数解有且仅有1,2,3，∴||3x -b <4,解得b -43<x <b +43，∴0≤b -43<1,且3<b +43≤4，解得5<b <7.由于题目中给出了||3x -b <4解集，所以我们需要根据其正整数解1，2，3，列出新的不等式0≤b -43<1,且3<b +43≤4，从而求得b 的取值范围.二、||f （x ）<||g (x )型不等式的解法在解该类型不等式时，我们首先要考虑在不等式的两边同时取平方，以便去除绝对值符号，再解不含绝对值的不等式，即：||f （x ）<||g (x )⇔||f （x ）2<||g (x )2⇔||f （x ）2-||g (x )2<0,亦或者将之转化为[]f （x ）+g （x ）[]f （x ）-g （x ）<0.这样可以避免对绝对值内部式子进行分类讨论，能有效简化解题的过程，提升解题的效率.例2.求不等式||x +1-||x -3≥0的解集.分析：首先需将不等式移项，然后在不等式两边同取平方，将其化简成二次不等式进行求解.解：将不等式平方得||x +12≥||x -32,化简得x 2+2x +1≥x 2-6x +9，解得x ≥1.除了上述思路，同学们还可以利用绝对值的几何意义解答本题，即把||x +1-||x -3看作数轴上的点x 到点-1与到点3的距离之差，利用数轴得出x 的取值范围.三、|x -a |＋|x -b |≥c ，|x -a |＋|x -b |≤c (c ＞0)型不等式的解法该类型不等式较为复杂，常规的解题方法是零点区域法.根据绝对值的定义取零点，将定义域将分为几个区间段，去掉绝对值符号，最后把所得的解集进行汇总便可得出不等式的解集.第二种方法是利用绝对值不等式的几何意义求解；第三种是构造函数，利用函数的图象求解.例3.解不等式||x +1>||2x -3-2.解：令x +1=0，则x =-1；令2x -3=0，则x =32，①当x ≤-1时,-()x +1>-（2x -3）-2,得x >2,不符合题意舍去，②当-1<x ≤32时,x +1>-(2x -3)-2,得0<x ≤32，③当x >32时,x +1>2x -3-2,得32<x <6.综合①②③得不等式的解集为{x |0<x <}6.这里采用的是零点区域法，首先取零点，并将定义域分为三段x ≤-1、-1<x ≤32、x >32，然后再分段进行求解，最后将结果进行汇总.通过上述分析，同学们可以发现，求解含绝对值不等式问题的关键在于去掉绝对值符号，将含绝对值不等式转为普通的不等式进行求解.因此同学们在解题时，要善于结合不等式的特点，采用分类讨论、取平方、利用绝对值不等式的几何意义、构造函数等方法来简化问题.（作者单位：湖北省汉川市第一高级中学）祁海成36。

绝对值不等式的解法及应用绝对值不等式在数学中具有重要的应用价值，在各个领域中都有广泛的运用。

本文将对绝对值不等式的解法进行简要说明，并介绍其在实际问题中的应用。

一、绝对值不等式的解法1. 求解一元绝对值不等式对于形如 |x|<a 的不等式，其中 a>0 ，我们可以将其分解为两个简单的不等式，即 x<a 和-x<a ，然后再根据这两个不等式得到解的范围。

例如，对于 |x|<3 这个不等式，我们可以拆分为 x<3 和 -x<3 ，再分别求解这两个不等式，得到解的范围为 -3<x<3 。

2. 求解含有绝对值不等式的方程对于形如 |f(x)|=g(x) 的方程，可以通过以下步骤求解：Step 1: 根据绝对值的定义，将绝对值拆解为两个条件，即 f(x)=g(x) 和 f(x)=-g(x) 。

Step 2: 分别求解这两个条件对应的方程，得到解的范围。

Step 3: 将 Step 2 中得到的解进行合并，得到最终的解集。

例如，对于 |x-2|=3 这个方程，我们可以拆解为 x-2=3 和 x-2=-3 ，然后求解这两个方程得到 x=5 和 x=-1 ，最终的解集为 {5, -1} 。

二、绝对值不等式的应用绝对值不等式在实际问题中有广泛的应用，下面将介绍其中两个常见的应用领域。

1. 绝对值不等式在不等式求解中的应用在不等式求解中，绝对值不等式是一种常见的工具。

通过合理地运用绝对值不等式，可以简化不等式的求解过程，提高解题效率。

下面通过一个例子来说明。

例题：求解不等式 |2x-1|<5 。

解：根据绝对值的定义，将不等式拆分为两个条件，即 2x-1<5 和2x-1>-5 。

然后分别求解这两个条件对应的方程，得到 x<3 和 x>-2 。

最后将这两个解的范围进行合并，得到最终的解集为 -2<x<3 。

2. 绝对值不等式在数列问题中的应用在数列问题中，绝对值不等式可以用来求解数列的范围，帮助我们找到数列的性质和规律。

绝对值不等式的解法绝对值不等式在数学中有着广泛的应用，它们涉及到了绝对值的概念和不等式的解法。

本文将介绍几种常见的绝对值不等式的解法，并给出相应的例子进行说明。

一、绝对值不等式的基本性质在解绝对值不等式之前，我们先来了解一些绝对值的基本性质。

对于任意实数a，有以下三个性质：1. 非负性质：|a| ≥ 0绝对值表示的是一个数距离原点的距离，因此它始终是非负的。

2. 正负性质：如果a > 0，则 |a| = a；如果a < 0，则 |a| = -a这是绝对值的定义，即当a为正时，取a的值；当a为负时，取-a 的值。

3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|这是绝对值的三角不等式，它表明两个数的绝对值之和不超过它们的绝对值的和。

有了以上基本性质的了解，我们可以利用它们来解决绝对值不等式。

二、1. 绝对值的定义法义来解决不等式。

例如，对于不等式 |2x - 3| ≤ 5，我们可以通过以下步骤来求解：（1）当2x - 3 ≥ 0时，|2x - 3| = 2x - 3，此时原不等式可以转化为2x - 3 ≤ 5，解得x ≤ 4。

（2）当2x - 3 < 0时，|2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3，此时原不等式可以转化为 -2x + 3 ≤ 5，解得x ≥ -1。

综合以上两种情况的解集，最终得到该不等式的解集为 -1 ≤ x ≤ 4。

2. 绝对值的范围法当绝对值中的表达式的取值范围已知时，我们可以利用绝对值的非负性质来解决不等式。

例如，对于不等式 |x - 3| > 2，我们可以通过以下步骤来求解：（1）当 x - 3 > 0 时，|x - 3| = x - 3，此时原不等式可以转化为 x -3 > 2，解得 x > 5。

（2）当 x - 3 < 0 时，|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3，此时原不等式可以转化为 -x + 3 > 2，解得 x < 1。

绝对值不等式的解法绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，对于绝对值不等式的解法，我们可以通过以下几种方法来进行求解。

在本文中，将介绍绝对值不等式的图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用解法。

一、图像法图像法是一种直观的解法，通过绘制图像来确定不等式的解集。

例1：解不等式 |x - 2| > 3。

首先，我们可以将其转化为两个方程：x - 2 > 3 或 x - 2 < -3解得：x > 5 或 x < -1将这两个解集对应的区间在数轴上标出，即可得到图像。

通过观察图像，我们可以得出原不等式的解集为 x < -1 或 x > 5。

二、符号法符号法是一种抽象的解法，通过符号的转换来确定不等式的解集。

例2：解不等式 |2x - 3| ≤ 4。

根据绝对值的定义，我们可以将不等式分解为以下两个条件：2x - 3 ≤ 4 且 2x - 3 ≥ -4解得：x ≤ 7/2 且x ≥ -1/2将这两个解集取交集，即可得到原不等式的解集为 -1/2 ≤ x ≤ 7/2。

三、分情况讨论法分情况讨论法是一种特殊的解法，通过考虑不同情况来确定不等式的解集。

例3：解不等式 |3x + 2| > 5。

根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：3x + 2 > 5 或 3x + 2 < -5解得：x > 1 且 x < -7/3因此，我们可以根据不同的情况得出原不等式的解集为 x < -7/3 或x > 1。

四、代数法代数法是一种基础的解法，通过代数运算来确定不等式的解集。

例4：解不等式 |x - 4| ≥ 2。

根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：x - 4 ≥ 2 或 x - 4 ≤ -2解得：x ≥ 6 或x ≤ 2因此，原不等式的解集为x ≤ 2 或x ≥ 6。

综上所述，绝对值不等式的解法包括图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用方法。

思路探寻绝对值不等式问题比较常见.解答含有绝对值的不等式问题，关键是设法去掉不等式中绝对值的符号，将问题转化为常规不等式问题来求解.解答绝对值最值问题的常用方法有零点分段法、数形结合法.我们需熟悉这两种解法的特点、适用情形，熟练掌握运用这两种方法解题的思路，才能将其灵活地应用于解题当中.一、运用零点分段法求解含有多个绝对值的不等式问题，通常要采用零点分段法.先令各个绝对值内部的式子为零，求出各个零点；然后用零点将实数集划分为几个区间，并在每个区间上讨论各个绝对值内部式子的符号；再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，将绝对值不等式转化为常规不等式求解.一般地，当a >0时，||a =a ；当a <0时，||a =-a ；当a =0时，||a =0.例1.已知对于任意非零实数m ，不等式||2m -1+||1-m ≥||m ()||x -1-||2x +3恒成立，求x 的取值范围.解：因为||2m -1+||1-m ||m ≥||2m -1+1-m ||m =1,所以要使||2m -1+||1-m ||m ≥()||x -1-||2x +3恒成立，只需使||x -1-||2x +3≤1()*.令x -1=0，2x +3=0，解得x =1，x =-32.当x ≤-32时，()*可化为1-x -2x -3≤1，解得x ≤-3，所以x ≤-3；当-32<x <1时，()*可化为1-x -2x -3≤1，解得x ≥-1，所以-1≤x ≤1；当x ≥1时，()*可化为x -1-2x -3≤1，解得x ≥-5，所以x ≥1.综上可得，x 的取值范围为(-∞,]-3∪[-1),+∞.零点分段法是解答绝对值不等式问题的基本方法，通过分类讨论，去掉绝对值符号，将绝对值不等式转化为常规不等式求解.在分段讨论后，要取x 的取值范围的并集，最终的结果才是绝对值不等式的解集.二、数形结合数形结合法是通过数形之间的转化来解题的方法.在解答绝对值不等式问题时，我们可采用数形结合法，利用数轴、函数图象来解题.这样可以避免繁琐的分类讨论过程，提升解题的效率.例2.若不等式||x -4+||x -3<a 有解，求a 的取值范围.解：设实数x ，3，4在数轴上对应的点分别为P ,A ,B .由绝对值的几何意义知，||PA +||PB <a 表示P 到A ,B 的距离之和小于a .PAB34x图1如图1，在数轴上任意取一点P ，因为||AB =1，则P 到A ,B 的距离之和大于或等于1，故当a >1时，||x -4+||x -3<a 有解.求得两个绝对值内部式子的零点，并将其标注在数轴上，即可将问题转化为“求P 到A ,B 的距离之和的最小值”.研究数轴上动点P 与两个零点A 、B 之间的位置关系：①P 在零点A 、B 的左边；②P 在零点A 、B 的中间；③P 在零点A 、B 的右边，从而求得问题的答案.例3.解不等式||x -1+2||x +1≤x +7.解：设函数f ()x =||x -1+2||x +1，g ()x =x +7，可得f ()x =||x -1+2||x +1=ìíîïï-3x -1,x ≤-1,x +3,-1<x ≤1,在同一个坐标系中画出f ()x 与g ()x 的图象，如图2所示.由图可知两个函数的图象有两个交点，可得交点的坐标分别为()-2,5,()3,10.观察图象可知，当-2<x <3时，f ()x 的图象始终在g ()x 图象的下方，故不等式f ()x ≤g ()x 的解集为[]-2,3.函数与不等式之间的联系紧密.在解答绝对值不等式问题时，我们可以根据不等式的结构特征构造出函数，将问题转化为函数问题，通过研究函数的图象来分析、解答问题.零点分段法的适用范围较广，但解题的过程较为繁琐.数形结合法较为简便、直观.一般来说，若根据不等式容易画出数轴、函数的图象，可优先使用数形结合法求解.（作者单位：江苏省盐城市第一中学）图252Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

解绝对值不等式题根探讨 题根四 解不等式2|55|1x x -+<．［题根4］解不等式2|55|1x x -+<．［思路］利用｜f(x)｜<a(a>0) ⇔-a<f(x)<a去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等式组21551x x -<-+<即22551(1)551(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩求解。

［解题］原不等式等价于21551x x -<-+<，即22551(1)551(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩由（1）得：14x <<；由（2）得：2x <或3x >，所以，原不等式的解集为{|12x x <<或34}x <<． ［收获］1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础，无论是解高次不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。

2）本题也可用数形结合法来求解。

在同一坐标系中画出函数2551y x x y =-+=与的的图象，解方程2551x x -+=，再对照图形写出此不等式的解集。

第1变 右边的常数变代数式［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x［思路］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。

解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12} (2)原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或 2<x <6所以原不等式的解集是{x |2<x <6}［收获］形如|()f x |<()g x ，|()f x |>()g x 型不等式这类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ①|()f x |<()g x ⇔－()g x <()f x <()g x ②|()f x |>()g x ⇔()f x >()g x 或()f x <－()g x1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234xx -≤1 解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于：x-x 2-2>x 2-3x-4 ①或x-x 2-2<-(x 2-3x-4) ② 解①得：1-2<x<1+2 解②得：x>-3故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2-x+2｜ 而x 2-x+2＝(x-14)2+74>0 所以｜x-x 2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.故原不等式等价于x 2-x+2>x 2-3x-4 解得：x>-3∴ 原不等式解集为｛x>-3｝ （2）分析 不等式可转化为-1≤234xx -≤1求解，但过程较繁，由于不等式234x x -≤1两边均为正，所以可平方后求解.原不等式等价于2234xx -≤1⇒9x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) ⇒x 4-17x 2+16≥0 ⇒x 2≤1或x 2≥16⇒-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.第2变 含两个绝对值的不等式［变题2］解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。

高中数学中的不等式解题方法与实例分析不等式是数学中常见的一类问题，解决不等式问题需要我们掌握一些解题方法和技巧。

本文将对高中数学中的不等式解题方法进行分析，并通过实例来进一步说明。

一、绝对值不等式的解法绝对值不等式是不等式中常见的一种形式，解决该类问题可以分以下几种情况进行讨论：1. 若|x| < a，则x的取值范围为(-a, a)；例如，若|3x + 2| < 5，则-5 < 3x + 2 < 5，解得-7/3 < x < 1。

2. 若|x| > a，则x的取值范围为(-∞, -a)∪(a, +∞)；例如，若|2x - 1| > 3，则2x - 1 < -3或2x - 1 > 3，解得x < -1 或 x > 2。

二、一次不等式的解法一次不等式是指不等式中最高次项为一次的情况。

解决一次不等式问题的方法如下：1. 将一次不等式化简为数轴上的区间问题，确定不等式的解集和表示方法；例如，若2x - 3 > 5，则解不等式可得x > 4。

2. 注意一次不等式中系数的正负对不等号的影响；例如，若4x + 6 < 10，则解不等式可得x < 1/2。

三、二次及以上次数不等式的解法对于二次及以上次数的不等式，我们通常会进行如下步骤来解决问题：1. 将不等式转化为二次函数的零点问题，求出二次函数的零点。

2. 根据二次函数的图像特点，确定不等式的解集和表示方法。

实例分析：例如，解不等式x^2 - 4x + 3 > 0。

首先，将不等式化简为(x-1)(x-3) > 0。

得到二次函数的两个零点为x=1和x=3。

其次，根据二次函数的图像特点，我们知道当x小于1或大于3时，二次函数的值大于零。

因此，不等式的解集为x < 1 或 x > 3。

综上所述，我们通过绝对值不等式、一次不等式和二次及以上次数不等式的解题方法及实例分析，详细介绍了高中数学中解决不等式问题的技巧与方法。

绝对值不等式解法指导带绝对值符号的不等式叫绝对值不等式。

解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，等价转化为不含绝对值符号的不等式，用已有方法求解。

去绝对值符号的方法就是解不等式的方法，有下列四种。

一.注意绝对值的定义，用公式法即若a 0，|x| a，贝U a x a ；若a 0，|x| a，则x a 或x a。

例1.解不等式2x 3| 3x 1解：由题意知3x 1 0，原不等式转化为(3x 1) 2x 3 3x 1二.注意绝对值的非负性，用平方法题目中两边都是非负值才能用平方法，否则不能用平方法，在操作过程中用到|x|2 x2。

例2.解不等式|x 1| |2x 3|两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可用平方法。

解：原不等式|x 1|2 2x 32 (x 1)2 (2x 3)2(2x 3)2 (x 1)2 04解得x 2或x -34故原不等式的解集为{x|x 2或x }3三.注意分类讨论，用零点分段法不等式的一侧是两个或两个以上的绝对值符号，常用零点法去绝对值并求解。

例3.解不等式|x 2| |x 1| 3解：利用绝对值的定义，分段讨论去绝对值符号，令x 1 0和x 2 0得分界点x 1、x 2于是，可分区间(2),［2，1］，［1, )讨论原不等式解得x 1或x 2综上不等式的解为x (，2) (1，)四.平方法+定义法需要用定义去绝对值符号求解，这种方法叫“平方法+定义法”有些题目平方之后仍有一个绝对值号,绝对值不等式解法指导例4.解关于x的不等式|log a ax2| |log a x| 2(2, )11 解：化为 1 2log a X| |log a x|2 后，通常分 log a x , log a X 0 , log a X 0 三22 种情况去绝对值符号，再分a 1或0 a 1进行讨论，这样做过程冗长，极易岀错。

改变一下操作程 再由定义去绝对值号，有:练一练答案：1. 03.解集为{x|x 0或x log 3 2} 序，思路将十分清 晰，过程也简洁得多， 即原不等式两边平方得 2 4(log a x) 4log a x 1 (log a x)2 4|log a x| 4。