2017-2018学年人教A版高中数学选修2-1习题：第一章1.3简单的逻辑联结词 Word版含答案

新课程标准数学选修2—1第一章课后习题解答第一章常用逻辑用语1．1命题及其关系练习（P4）1、略.2、（1）真；（2）假；（3）真；（4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题.（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称. 这是真命题.（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题.练习（P6）1、逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题.否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除. 这是假命题.逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题.2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题.否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题.逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题.否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题. 逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题. 练习（P8）证明：若1a b -=，则22243a b a b -+--()()2()2322310a b a b a b b a b b a b =+-+---=++--=--=所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题. 习题1.1 A 组（P8）1、（1）是； （2）是； （3）不是； （4）不是.2、（1）逆命题：若两个整数a 与b 的和a b +是偶数，则,a b 都是偶数. 这是假命题.否命题：若两个整数,a b 不都是偶数，则a b +不是偶数. 这是假命题. 逆否命题：若两个整数a 与b 的和a b +不是偶数，则,a b 不都是偶数. 这是真命题.（2）逆命题：若方程20x x m +-=有实数根，则0m >. 这是假命题. 否命题：若0m ≤，则方程20x x m +-=没有实数根. 这是假命题. 逆否命题：若方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤. 这是真命题.3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等.逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题.否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不 相等. 这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上. 这是真命题.（2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题. 否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题.逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题.4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题 B 组（P8）证明：要证的命题可以改写成“若p ，则q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分.此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设,AB CD 是O 的两条互相平分的相交弦，交点是E ，若E 和圆心O 重合，则,AB CD 是经过圆心O 的弦，,AB CD 是两条直径. 若E 和圆心O 不重合，连结,,AO BO CO 和DO ，则OE 是等腰AOB ∆，COD ∆的底边上中线，所以，OE AB ⊥，OE CD ⊥. AB 和CD 都经过点E ，且与OE 垂直，这是不可能的. 所以，E 和O 必然重合. 即AB 和CD 是圆的两条直径.原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1．2充分条件与必要条件练习（P10）1、（1）⇒；（2）⇒；（3）⇒；（4）⇒.2、（1）. 3（1）.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真.练习（P12）1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p是q的充要条件；（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p是q的充要条件；（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p是q的必要条件.2、（1）p是q的必要条件；（2）p是q的充分条件；（3）p是q的充要条件；（4）p是q的充要条件.习题1.2 A组（P12）1、略.2、（1）假；（2）真；（3）真.3、（1）充分条件，或充分不必要条件；（2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件；（4）充分条件，或充分不必要条件.4、充要条件是222+=.a b r习题 B组（P13）1、（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件.2、证明：（1）充分性：如果222++=++，那么a b c ab ac bc2220a b c ab ac bc++---=.所以222-+-+-=a b a c b c()()()0所以，0b c-=.-=，0a b-=，0a c即a b c∆是等边三角形.==，所以，ABC（2）必要性：如果ABC==∆是等边三角形，那么a b c所以222-+-+-=()()()0a b a c b c所以2220++---=a b c ab ac bc所以222++=++a b c ab ac bc1．3简单的逻辑联结词练习（P18）1、（1）真；（2）假.2、（1）真；（2）假.3、（1）225x-=的根，假命题；+≠，真命题；（2）3不是方程290（31≠-，真命题.习题1.3 A组（P18）1、（1）4{2,3}∈或2{2,3}∈且2{2,3}∈，假命题；∈，真命题；（2）4{2,3}（3）2是偶数或3不是素数，真命题；（4）2是偶数且3不是素数，假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题.3、（1不是有理数，真命题；（2）5是15的约数，真命题；（3）23+=，真命题；≥，假命题；（4）8715（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.习题 B组（P18）（1）真命题. 因为p为真命题，q为真命题，所以p q∨为真命题；（2）真命题. 因为p为真命题，q为真命题，所以p q∧为真命题；（3）假命题. 因为p为假命题，q为假命题，所以p q∨为假命题；（4）假命题. 因为p为假命题，q为假命题，所以p q∧为假命题.1．4全称量词与存在量词练习（P23）1、（1）真命题； （2）假命题； （3）假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.练习（P26）1、（1）00,n Z n Q ∃∈∉； （2）存在一个素数，它不是奇数；（3）存在一个指数函数，它不是单调函数.2、（1）所有三角形都不是直角三角形； （2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）所有实数的绝对值都是正数.习题1.4 A 组（P26）1、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题； （4）假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.3、（1）32000,x N x x ∃∈≤； （2）存在一个可以被5整除的整数，末位数字不是0；（3）2,10x R x x ∀∈-+>； （4）所有四边形的对角线不互相垂直. 习题 B 组（P27）（1）假命题. 存在一条直线，它在y 轴上没有截距；（2）假命题. 存在一个二次函数，它的图象与x 轴不相交；（3）假命题. 每个三角形的内角和不小于180︒；（4）真命题. 每个四边形都有外接圆.第一章 复习参考题A 组（P30）1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题；逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题.2、略.3、（1）假； （2）假； （3）假； （4）假.4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真； （5）真.5、（1）2,0n N n ∀∈>； （2）{P P P ∀∈在圆222x y r +=上}，(OP r O =为圆心)；（3）(,){(,),x y x y x y ∃∈是整数}，243x y +=；（4）0{x x x ∃∈是无理数}，30{x q q ∈是有理数}.6、（1）32≠，真命题； （2）54≤，假命题； （3）00,0x R x ∃∈≤，真命题；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章 复习参考题B 组（P31）1、（1）p q ∧； （2）()()p q ⌝∧⌝，或()p q ⌝∨.2、（1）Rt ABC ∀∆，90C ∠=︒，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则222c a b =+；（2）ABC ∀∆，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则sin sin sin a b c A B C==.新课程标准数学选修2—1第二章课后习题解答第二章 圆锥曲线与方程2．1曲线与方程练习（P37）1、是. 容易求出等腰三角形ABC 的边BC 上的中线AO 所在直线的方程是0x =.2、3218,2525a b ==. 3、解：设点,A M 的坐标分别为(,0)t ，(,)x y .（1）当2t ≠时，直线CA 斜率 20222CA k t t-==-- 所以，122CB CA t k k -=-= 由直线的点斜式方程，得直线CB 的方程为 22(2)2t y x --=-. 令0x =，得4y t =-，即点B 的坐标为(0,4)t -.由于点M 是线段AB 的中点，由中点坐标公式得4,22t tx y -==. 由2t x =得2t x =，代入42ty -=， 得422xy -=，即20x y +-=……① （2）当2t =时，可得点,A B 的坐标分别为(2,0)，(0,2) 此时点M 的坐标为(1,1)，它仍然适合方程①由（1）（2）可知，方程①是点M 的轨迹方程，它表示一条直线. 习题2.1 A 组（P37）1、解：点(1,2)A -、(3,10)C 在方程2210x xy y -++=表示的曲线上；点(2,3)B -不在此曲线上2、解：当0c ≠时，轨迹方程为12c x +=；当0c =时，轨迹为整个坐标平面. 3、以两定点所在直线为x 轴，线段AB 垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，得点M 的轨迹方程为224x y +=.4、解法一：设圆22650x y x +-+=的圆心为C ，则点C 的坐标是(3,0). 由题意，得CM AB ⊥，则有1CM AB k k =-. 所以，13y yx x⨯=--(3,0)x x ≠≠ 化简得2230x y x +-=(3,0)x x ≠≠当3x =时，0y =，点(3,0)适合题意；当0x =时，0y =，点(0,0)不合题意.解方程组 222230650x y x x y x ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩， 得5,3x y ==所以，点M 的轨迹方程是2230x y x +-=，533x ≤≤. 解法二：注意到OCM ∆是直角三角形，利用勾股定理，得2222(3)9x y x y ++-+=， 即2230x y x +-=. 其他同解法一. 习题 B 组（P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线l 的方程为1x y ab+=. 因为直线l 经过点(3,4)P ，所以341ab+= 因此，430ab a b --=由已知点M 的坐标为(,)a b ，所以点M 的轨迹方程为430xy x y --=.2、解：如图，设动圆圆心M 的坐标为(,)x y .由于动圆截直线30x y -=和30x y +=所得弦分别为AB ，CD ，所以，8AB =，4CD =. 过点M 分别作直线30x y -=和30x y +=的垂线，垂足分别为E ，F ，则4AE =，2CF =.ME =，MF =.连接MA ，MC ，因为MA MC =， 则有，2222AE ME CF MF+=+所以，22(3)(3)1641010x y x y -++=+，化简得，10xy =. 因此，动圆圆心的轨迹方程是10xy =.2．2椭圆 练习（P42）1、14. 提示：根据椭圆的定义，1220PF PF +=，因为16PF =，所以214PF =.2、（1）22116x y +=； （2）22116y x +=； （3）2213616x y +=，或2213616y x +=.3、解：由已知，5a =，4b =，所以3c ==.（1）1AF B ∆的周长1212AF AF BF BF =+++.由椭圆的定义，得122AF AF a +=，122BF BF a +=. 所以，1AF B ∆的周长420a ==.（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长不变化.这是因为①②两式仍然成立，1AF B ∆的周长20=，这是定值. 4、解：设点M 的坐标为(,)x y ，由已知，得直线AM 的斜率 1AM yk x =+(1)x ≠-； 直线BM 的斜率 1BM yk x =-(1)x ≠； 由题意，得2AM BM k k =，所以211y yx x =⨯+-(1,0)x y ≠±≠ 化简，得3x =-(0)y ≠因此，点M 的轨迹是直线3x =-，并去掉点(3,0)-.练习（P48）1、以点2B （或1B ）为圆心，以线段2OA 为半径画圆，圆与x 轴的两个交点分别为点12,F F 就是椭圆的两个焦点.这是因为，在22Rt B OF ∆中，2OB b =，222B F OA a ==，所以，2OF c =. 同样有1OF c =. 2、（1）焦点坐标为(8,0)-，(8,0)； （2）焦点坐标为(0,2)，(0,2)-.3、（1）2213632x y +=； （2）2212516y x +=.4、（1）22194x y += （2）22110064x y +=，或22110064y x +=.5、（1）椭圆22936x y +=，椭圆2211612x y +=的离心率是12，因为132>，所以，椭圆2211612x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁；（2）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆221610x y +=的离心率是5，因为3>221610x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁.6、（1）8(3,)5； （2）(0,2)； （3）4870(,)3737--. 7、7. 习题2.2 A 组（P49）1、解：由点(,)M x y 10=以及椭圆的定义得，点M 的轨迹是以1(0,3)F -，2(0,3)F 为焦点，长轴长为10的椭圆.它的方程是2212516y x +=.2、（1）2213632x y +=； （2）221259y x +=； （3）2214940x y +=，或2214940y x +=.3、（1）不等式22x -≤≤，44y -≤≤表示的区域的公共部分； （2）不等式x -≤≤，101033y -≤≤表示的区域的公共部分. 图略.4、（1）长轴长28a =，短轴长24b =，离心率e =，焦点坐标分别是(-，，顶点坐标分别为(4,0)-，(4,0)，(0,2)-，(0,2)；（2）长轴长218a =，短轴长26b =，离心率e =，焦点坐标分别是(0,-，，顶点坐标分别为(0,9)-，(0,9)，(3,0)-，(3,0).5、（1）22185x y +=； （2）2219x y +=，或221819y x +=；（3）221259x y +=，或221259y x +=.6、解：由已知，椭圆的焦距122F F =.因为12PF F ∆的面积等于1，所以，12112P F F y ⨯⨯=，解得1P y =.代入椭圆的方程，得21154x +=，解得x =所以，点P 的坐标是(1)2±±，共有4个7、解：如图，连接QA . 由已知，得QA QP =. 所以，QO QA QO QP OP r +=+==. 又因为点A 在圆内，所以OA OP <根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为长轴长的椭圆. 8、解：设这组平行线的方程为32y x m =+.把32y x m =+代入椭圆方程22149x y +=，得22962180x mx m ++-=.这个方程根的判别式 223636(218)m m ∆=-- （1）由0∆>，得m -<<当这组直线在y 轴上的截距的取值范围是(-时，直线与椭圆相交.（2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段AB 的中点为(,)M x y . 则 1223x x mx +==-. 因为点M 在直线32y x m =+上，与3m x =-联立，消去m ，得320x y +=.这说明点M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上.9、222213.525 2.875x y +=. 10、地球到太阳的最大距离为81.528810⨯km ，最下距离为81.471210⨯km. 习题 B 组（P50）1、解：设点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，则0x x =，032y y =. 所以0x x =，023y y = ……①. 因为点00(,)P x y 在圆上，所以22004x y += ……②.将①代入②，得点M 的轨迹方程为22449x y +=，即22149x y +=所以，点M 的轨迹是一个椭圆与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为(,)P x y ，半径为R ，两已知圆的圆心分别为12,O O .分别将两已知圆的方程 22650x y x +++=，226910x y x +--= 配方，得 22(3)4x y ++=， 22(3)100x y -+=当P 与1O ：22(3)4x y ++=外切时，有12O P R =+ ……①当P 与2O ：22(3)100x y -+=内切时，有210O P R =- ……② ①②两式的两边分别相加，得1212O P O P +=12= ……③ 化简方程③.先移项，再两边分别平方，并整理，得 12x =+ ……④ 将④两边分别平方，并整理，得 22341080x y +-= ……⑤将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得 2213627x y += ……⑥由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，12= ……①由方程①可知，动圆圆心(,)P x y 到点1(3,0)O -和点2(3,0)O 距离的和是常数12，所以点P 的轨迹方程是焦点为(3,0)-、(3,0)，长轴长等于12的椭圆. 并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x 轴上，于是可求出它的标准方程.因为 26c =，212a =，所以3c =，6a =所以236927b =-=.于是，动圆圆心的轨迹方程为2213627x y +=.3、解：设d 是点M 到直线8x =的距离，根据题意，所求轨迹就是集合12MF P M d ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭由此得12= 将上式两边平方，并化简，得 223448x y +=，即2211612x y +=所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为8，. 4、解：如图，由已知，得(0,3)E - 因为,,R S T 是线段OF ,,R S T '''是线段CF 所以，(1,0),(2,0),(3,0)R S T ；933(4,),(4,),(4,)424R S T '''.直线ER 的方程是33y x =-； 直线GR '的方程是3316y x =-+. 联立这两个方程，解得 3245,1717x y ==.所以，点L 的坐标是3245(,)1717. 同样，点M 的坐标是169(,)55，点N 的坐标是9621(,)2525. 由作图可见，可以设椭圆的方程为22221x y m n+=(0,0)m n >> ……①把点,L M 的坐标代入方程①，并解方程组，得22114m =，22113n =. 所以经过点,L M 的椭圆方程为221169x y +=.把点N 的坐标代入22169x y +，得22196121()()11625925⨯+⨯=，所以，点N 在221169x y +=上.因此，点,,L M N 都在椭圆221169x y +=上.2．3双曲线 练习（P55）1、（1）221169x y -=. （2）2213y x -=.（3）解法一：因为双曲线的焦点在y 轴上所以，可设它的标准方程为22221y x a b-=(0,0)a b >>将点(2,5)-代入方程，得222541a b-=，即22224250a b a b +-=又 2236a b +=解方程组 222222425036a b a b a b ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩令22,m a n b ==，代入方程组，得425036mn m n m n +-=⎧⎨+=⎩解得 2016m n =⎧⎨=⎩，或459m n =⎧⎨=-⎩第二组不合题意，舍去，得2220,16a b ==所求双曲线的标准方程为2212016y x -=解法二：根据双曲线的定义，有2a ==.所以，a = 又6c =，所以2362016b =-=由已知，双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为2212016y x -=.2、提示：根据椭圆中222a b c -=和双曲线中222a b c +=的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标.3、由(2)(1)0m m ++>，解得2m <-，或1m >- 练习（P61）1、（1）实轴长2a =，虚轴长24b =；顶点坐标为-；焦点坐标为(6,0),(6,0)-；离心率e =（2）实轴长26a =，虚轴长218b =；顶点坐标为(3,0),(3,0)-； 焦点坐标为-；离心率e =（3）实轴长24a =，虚轴长24b =；顶点坐标为(0,2),(0,2)-； 焦点坐标为-；离心率e =（4）实轴长210a =，虚轴长214b =；顶点坐标为(0,5),(0,5)-；焦点坐标为；离心率5e =2、（1）221169x y -=； （2）2213628y x -=.3、22135x y -=4、2211818x y -=，渐近线方程为y x =±.5、（1）142(6,2),(,)33-； （2）25(,3)4习题2.3 A 组（P61）1、把方程化为标准方程，得2216416y x -=. 因为8a =，由双曲线定义可知，点P 到两焦点距离的差的绝对值等于16. 因此点P 到另一焦点的距离是17.2、（1）2212016x y -=. （2）2212575x y -=3、（1）焦点坐标为12(5,0),(5,0)F F -，离心率53e =； （2）焦点坐标为12(0,5),(0,5)F F -，离心率54e =；4、（1）2212516x y -=. （2）221916y x -=（3）解：因为ce a==，所以222c a =，因此2222222b c a a a a =-=-=.设双曲线的标准方程为 22221x y a a -=，或22221y x a a-=.将(5,3)-代入上面的两个方程，得222591a a -=，或229251a a-=. 解得 216a = （后一个方程无解）.所以，所求的双曲线方程为2211616x y -=.5、解：连接QA ，由已知，得QA QP =. 所以，QA QO QP QO OP r -=-==. 又因为点A 在圆外，所以OA OP >.根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为实轴长的双曲线.6、22188x y -=.习题 B 组（P62）1、221169x y -=2、解：由声速及,A B 两处听到爆炸声的时间差，可知,A B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以,A B 为焦点的双曲线上.使,A B 两点在x 轴上，并且原点O 与线段AB 的中点重合，建立直角坐标系xOy .设爆炸点P 的坐标为(,)x y ，则 34031020PA PB -=⨯=. 即 21020a =，510a =.又1400AB =，所以21400c =，700c =，222229900b c a =-=.因此，所求双曲线的方程为221260100229900x y -=. 3、22221x y a b-=4、解：设点11(,)A x y ，22(,)B x y 在双曲线上，且线段AB 的中点为(,)M x y .设经过点P 的直线l 的方程为1(1)y k x -=-，即1y kx k =+-把1y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=得222(2)2(1)(1)20k x k k x k ------=（220k -≠） ……① 所以，122(1)22x x k k x k +-==- 由题意，得2(1)12k k k -=-，解得 2k =.当2k =时，方程①成为22430x x -+=.根的判别式162480∆=-=-<，方程①没有实数解.所以，不能作一条直线l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点.2．4抛物线 练习（P67）1、（1）212y x =； （2）2y x =； （3）22224,4,4,4y x y x x y x y ==-==-.2、（1）焦点坐标(5,0)F ，准线方程5x =-； （2）焦点坐标1(0,)8F ，准线方程18y =-；（3）焦点坐标5(,0)8F -，准线方程58x =； （4）焦点坐标(0,2)F -，准线方程2y =；3、（1）a ，2pa -. （2），(6,- 提示：由抛物线的标准方程求出准线方程. 由抛物线的定义，点M 到准线的距离等于9，所以 39x +=，6x =，y =±练习（P72） 1、（1）2165y x =； （2）220x y =； （3）216y x =-； （4）232x y =-. 2、图形见右，x3、解：过点(2,0)M 且斜率为1的直线l 的方程 为2y x =-与抛物线的方程24y x =联立 224y x y x=-⎧⎨=⎩解得 1142x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩2242x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB ===.4、解：设直线AB 的方程为x a =(0)a >.将x a =代入抛物线方程24y x =，得24y a =，即y =± 因为 22AB y ==⨯== 所以，3a = 因此，直线AB 的方程为3x =.习题2.4 A 组（P73）1、（1）焦点坐标1(0,)2F ，准线方程12y =-； （2）焦点坐标3(0,)16F -，准线方程316y =； （3）焦点坐标1(,0)8F -，准线方程18x =； （4）焦点坐标3(,0)2F ，准线方程32x =-. 2、（1）28y x =-； （2），或(4,-3、解：由抛物线的方程22y px =(0)p >，得它的准线方程为2px =-.根据抛物线的定义，由2MF p =，可知，点M 的准线的距离为2p . 设点M 的坐标为(,)x y ，则 22p x p +=，解得32px =. 将32px =代入22y px =中，得y =. 因此，点M的坐标为3()2p，3(,)2p. 4、（1）224y x =，224y x =-； （2）212x y =-（图略）5、解：因为60xFM ∠=︒，所以线段FM所在直线的斜率tan 60k =︒= 因此，直线FM 的方程为1)y x =-与抛物线24y x =联立，得21)142y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩将1代入2得，231030x x -+=，解得，113x =，23x =把113x =，23x =分别代入①得1y =，2y = 由第5题图知1(,33-不合题意，所以点M的坐标为.因此，4FM ==6、证明：将2y x =-代入22y x =中，得2(2)2x x -=， 化简得 2640x x -+=，解得3x =± 则321y =±=±因为OB k =，OA k所以15195OB OA k k -⋅===--所以 OA OB ⊥7、这条抛物线的方程是217.5x y =8、解：建立如图所示的直角坐标系，设拱桥抛物线的方程为22x py =-， 因为拱桥离水面2 m ，水面宽4 m 所以 222(2)p =--，1p =因此，抛物线方程为22x y =- ……①水面下降1 m ，则3y =-，代入①式，得22(3)x =-⨯-，x =.这时水面宽为 m.习题 B 组（P74）1、解：设垂线段的中点坐标为(,)x y ，抛物线上相应点的坐标为11(,)x y .根据题意，1x x =，12y y =，代入2112y px =，得轨迹方程为212y px =. 由方程可知，轨迹为顶点在原点、焦点坐标为(,0)8p 的抛物线.2、解：设这个等边三角形OAB 的顶点,A B 在抛物线上，且坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则 2112y px =，2222y px =.又OA OB =，所以 22221122x y x y +=+即221212220x x px px -+-=，221212()2()0x x p x x -+-= 因此，1212()(2)0x x x x p -++= 因为120,0,20x x p >>>，所以12x x =由此可得12y y =，即线段AB 关于x 轴对称.因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=︒，所以11tan303y x =︒=. 因为2112y x p=，所以1y =，因此12AB y ==.3、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+. 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠-. 由题意，得2AM BM k k -=，所以，2(1)11y y x x x -=≠±+-，化简，得2(1)(1)x y x =--≠±第二章 复习参考题A 组（P80）1、解：如图，建立直角坐标系，使点2,,A B F 在x 轴上，2F 为椭圆的右焦点（记1F 为左焦点）.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为22221(0)x y a b+=>>.则 22a c OA OF F A -=-=63714396810=+=22a c OB OF F B +=+=637123848755=+=，解得 7782.5a =，8755c =所以 b ==用计算器算得 7722b ≈因此，卫星的轨道方程是2222177837722x y +=.2、解：由题意，得 12a c R r a c R r -=+⎧⎨+=+⎩， 解此方程组，得1221222R r r a r r c ++⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩因此卫星轨道的离心率21122cr r e aR r r -==++.3、（1）D ； （2）B .4、（1）当0α=︒时，方程表示圆.（2）当090α︒<<︒时，方程化成2211cos y x α+=. 方程表示焦点在y 轴上的椭圆.（3）当90α=︒时，21x =，即1x =±，方程表示平行于y 轴的两条直线. （4）当90180α︒<≤︒时，因为cos 0α<，所以22cos 1x y α+=表示双曲线，其焦点在x 轴上. 而当180α=︒时，方程表示等轴双曲线.5、解：将1y kx =-代入方程224x y -=得 2222140x k x kx -+--= 即 22(1)250k x kx -+-= ……①222420(1)2016k k k ∆=+-=-令 0∆<，解得k >，或k <因为0∆<，方程①无解，即直线与双曲线没有公共点，所以，k 的取值范围为k >，或k <6、提示：设抛物线方程为22y px =，则点B 的坐标为(,)2p p ，点C 的坐标为(,)2pp - 设点P 的坐标为(,)x y ，则点Q 的坐标为(,0)x .因为，PQ y ==2BC p =，OQ x =.所以，2PQ BC OQ =，即PQ 是BC 和OQ 的比例中项.7、解：设等边三角形的另外两个顶点分别是,A B ，其中点A 在x 轴上方.直线FA 的方程为 )2p y x =-与22y px =联立，消去x ，得 220y p --=解方程，得 12)y p =+，22)y p =-把12)y p =+代入)2p y x =-，得 17(2x p =+.把22)y p =代入)2p y x =-，得 27(2x p =-.所以，满足条件的点A 有两个17((2))2A p p +，27((2))2A p p -.根据图形的对称性，可得满足条件的点B 也有两个17((,2))2B p p +-，27((,2))2B p p --所以，等边三角形的边长是112)A B p =+，或者222(2A B p =. 8、解：设直线l 的方程为2y x m =+.把2y x m =+代入双曲线的方程222360x y --=，得221012360x mx m +++=.1265mx x +=-，2123610m x x += ……①由已知，得 21212(14)[()4]16x x x x ++-= ……②把①代入②，解得 m =所以，直线l 的方程为2y x =±9、解：设点A 的坐标为11(,)x y ，点B 的坐标为22(,)x y ，点M 的坐标为(,)x y .并设经过点M 的直线l 的方程为1(2)y k x -=-，即12y kx k =+-.把12y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=，得222(2)2(12)(12)20k x k k x k ------=2(20)k -≠. ……① 所以，122(12)22x x k k x k+-==-由题意，得2(12)22k k k -=-，解得4k =当4k =时，方程①成为 21456510x x -+=根的判别式25656512800∆=-⨯=>，方程①有实数解. 所以，直线l 的方程为47y x =-.10、解：设点C 的坐标为(,)x y .由已知，得 直线AC 的斜率 (5)5AC yk x x =≠-+ 直线BC 的斜率 (5)5BC yk x x =≠- 由题意，得AC BC k k m =. 所以，(5)55y y m x x x ⨯=≠±+- 化简得，221(5)2525x y x m-=≠± 当0m <时，点C 的轨迹是椭圆(1)m ≠-，或者圆(1)m =-，并除去两点(5,0),(5,0)-；当0m >时，点C 的轨迹是双曲线，并除去两点(5,0),(5,0)-；11、解：设抛物线24y x =上的点P 的坐标为(,)x y ，则24y x =.点P 到直线3y x =+的距离d ===.当2y =时，d. 此时1x =，点P 的坐标是(1,2).12顶为原点、拱高所在直线为y 轴 （向上），建立直角坐标系.设隧道顶部所在抛物线的方程 为22x py =-因为点(4,4)C -在抛物线上 所以 242(4)p =-- 解得 24p =-所以，隧道顶部所在抛物线的方程 为24x y =-.设0.5EF h =+. 则(3, 5.5)F h -把点F 的坐标代入方程24x y =-，解得 3.25h =. 答：车辆通过隧道的限制高度为3.2 m.第二章 复习参考题B 组（P81）1、12PF F S ∆=2、解：由题意，得1PF x ⊥轴.把x c =-代入椭圆方程，解得 2b y a=±. 所以，点P 的坐标是2(,)b c a -直线OP 的斜率21b k ac =-. 直线AB 的斜率2bk a=-.由题意，得2b bac a=，所以，b c =，a =.由已知及1F A a c =+，得 a c +=所以 (1c += c =所以，a =，b =因此，椭圆的方程为221105x y +=.3、解：设点A 的坐标11(,)x y ，点B 的坐标22(,)x y .由OA OB ⊥，得12120x x y y +=.由已知，得直线AB 的方程为25y x =-+. 则有 12125()250y y y y -++= ……①由25y x =-+与22y px =消去x ，得250y py p +-= ……② 12y y p +=-，125y y p =- ……③ 把③代入①，解得54p =当54p =时，方程②成为245250y y +-=，显然此方程有实数根. 所以，54p =4、解：如图，以连接12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的中点为原点，建立直角坐标系.对于抛物线，有176352922922p =+=， 所以，4584p =，29168p =.对于双曲线，有2080529c a c a +=⎧⎨-=⎩解此方程组，得775.5a =，1304.5c = 因此，2221100320b c a =-=.所以，所求双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 因为抛物线的顶点横坐标是 (1763)(1763775.5)987.5a --=--=- 所以，所求抛物线的方程是 29168(987.5)y x =+ 答：抛物线的方程为29168(987.5)y x =+，双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 5、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+ 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠-由题意，得2AM BM k k +=，所以2(1)11y y x x x +=≠±-+，化简，得21(1)xy x x =-≠±所以，点M 轨迹方程是21(1)xy x x =-≠±.6、解：（1）当1m =时，方程表示x 轴；（2）当3m =时，方程表示y 轴；（3）当1,3m m ≠≠时，把方程写成22131x y m m +=--. ①当13,2m m <<≠时，方程表示椭圆； ②2m =时，方程表示圆；③当1m <，或3m >时，方程表示双曲线.7、以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切.证明：如图，过点,A B 分别作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的 垂线，垂足分别为,D E .由抛物线的定义，得 AD AF =，BE BF =.所以，AB AF BF AD BE =+=+.设AB 的中点为M ，且过点M 作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的垂线，垂足为C .显然MC ∥x 轴，所以，MC 是直角梯形ADEB 的中位线. 于是，11()22MC AD BE AB =+=.因此，点C 在以AB 为直径的圆上.又MC l ⊥，所以，以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切. 类似地，可以证明：对于椭圆，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相离； 对于双曲线，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相交.新课程标准数学选修2—1第三章课后习题解答 第三章 空间向量与立体几何 3．1空间向量及其运算 练习（P86）1、略.2、略.3、A C AB AD AA ''=+-，BD AB AD AA ''=-+，DB AA AB AD ''=--.练习（P89）1、（1）AD ； （2）AG ； （3）MG .2、（1）1x =； （2）12x y ==； （3）12x y ==. 3练习（P92） 1、B .2、解：因为AC AB AD AA ''=++，所以22()AC AB AD AA ''=++2222222()4352(0107.5)85AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯++=所以85AC '=3、解：因为AC α⊥所以AC BD ⊥，AC AB ⊥，又知BD AB ⊥. 所以0AC BD ⋅=，0AC AB ⋅=，又知0BD AB ⋅=.2CD CD CD =⋅222222()()CA AB BD CA AB BD CA AB BDa b c =++⋅++=++=++所以CD .练习（P94）1、向量c 与a b +，a b -一定构成空间的一个基底. 否则c 与a b +，a b -共面，于是c 与a ，b 共面，这与已知矛盾. 2、共面 2、（1）解：OB OB BB OA AB BB OA OC OO a b c ''''=+=++=++=++；BA BA BB OC OO c b '''=+=-+=-CA CA AA OA OC OO a b c '''=+=-+=-+（2）1111()2222OG OC CG OC CB b a c a b c '=+=+=++=++. 练习（P97）1、（1）(2,7,4)-； （2）(10,1,16)-； （3）(18,12,30)-； （4）2.2、略.3、解：分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.则(0,0,0)D ，1(1,1,1)B ，1(1,,0)2M ，(0,1,0)C 所以，1(1,1,1)DB =，1(1,,0)2CM =-.所以，111110cos ,3DB CM DB CM DB CM-+⋅<>===⋅习题3.1 A 组（P97）1、解：如图，（1）AB BC AC +=；（2）AB AD AA AC AA AC CC AC ''''++=+=+=；（3）设点M 是线段CC '的中点，则12AB AD CC AC CM AM '++=+=； （4）设点G 是线段AC '的三等分点，则11()33AB AD AA AC AG ''++==. 向量,,,AC AC AM AG '如图所示. 2、A .3、解：22()AC AB AD AA ''=++2222222()15372(53573722298AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+所以，13.3AC '≈.4、（1）21cos602AB AC AB AC a ⋅=⋅︒=； （2）21cos1202AD DB AD DB a ⋅=⋅︒=-； （3）21cos1802GF AC GF AC a ⋅=⋅︒=- 11()22GF AC a ==； （4）21cos604EF BC EF BC a ⋅=⋅︒= 11()22EF BD a ==； （5）21cos1204FG BA FG BA a ⋅=⋅︒=- 11()22FG AC a ==； （6）11()22GE GF GC CB BA CA ⋅=++⋅2111()222111424111cos120cos60cos6042414DC CB BA CA DC CA CB CA BA CA DC CA CB CA BA CA a =++⋅=⋅+⋅+⋅=⋅︒+⋅︒+⋅︒=5、（1）60︒； （2）略.6、向量a 的横坐标不为0，其余均为0；向量b 的纵坐标不为0，其余均为0；向量c 的竖坐标不为0，其余均为0.7、（1）9； （2）(14,3,3)-.8、解：因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即8230x --+=，解得103x =. 9、解：(5,1,10)AB =--，(5,1,10)BA =-设AB 的中点为M ，119()(,,2)222OM OA OB =+=-，所以，点M 的坐标为19(,,2)22-，(AB =-=10、解：以1,,DA DC DD 分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则1,,,C M D N 的坐标分别为：(0,1,0)C ，1(1,0,)2M ，1(0,0,1)D ，1(1,1,)2N . 1(1,1,)2CM =-，11(1,1,)2D N =-所以2312CM ==，21312D N ==111114cos ,994CM D N --<>==- 由于异面直线CM 和1D N 所成的角的范围是[0,]2π因此，CM 和1D N 所成的角的余弦值为19.11、31(,,3)22- 习题 B 组（P99）1、证明：由已知可知，OA BC ⊥，OB AC ⊥∴ 0OA BC ⋅=，0OB AC ⋅=，所以()0OA OC OB ⋅-=，()0OB OC OA ⋅-=. ∴ OA OC OA OB ⋅=⋅，OB OC OB OA ⋅=⋅.∴ 0OA OC OB OC ⋅-⋅=，()0OA OB OC -⋅=，0BA OC ⋅=. ∴ OC AB ⊥.2、证明：∵ 点,,,E F G H 分别是,,,OA OB BC CA 的中点.∴ 12EF AB =，12HG AB =，所以EF HG = ∴四边形EFGH 是平行四边形.1122EF EH AB OC ⋅=⋅11()()44OB OA OC OB OC OA OC =-⋅=⋅-⋅ ∵ OA OB =，CA CB =（已知），OC OC =.∴ BOC ∆≌AOC ∆（SSS ） ∴ BOC AOC ∠=∠ ∴ OB OC OA OC ⋅=⋅ ∴ 0EF EH ⋅= ∴ EF EH ⊥∴ 平行四边形□EFGH 是矩形.3、已知：如图，直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，,O B 为垂足. 求证：OA ∥BD证明：以点O 为原点，以射线OA 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，,,i j k 分别为沿x 轴、y 轴、z 轴的坐标向量，且设(,,)BD x y z =.∵ BD α⊥.∴ BD i ⊥，BD j ⊥.∴ (,,)(1,0,0)0BD i x y z x ⋅=⋅==，(,,)(0,1,0)0BD j x y z y ⋅=⋅==. ∴ (0,0,)BD z =. ∴ BD zk =.∴ BD ∥k ，又知,O B 为两个不同的点. ∴ BD ∥OA .3．2立体几何中的向量方法 练习（P104）1、（1）3b a =，1l ∥2l ； （2）0a b ⋅=，1l ⊥2l ； （3）3b a =-，1l ∥2l .2、（1）0u v ⋅=，αβ⊥； （2）2v u =-，α∥β；（3）2247u v u v⋅=-α与β.练习（P107）1、证明：设正方形的棱长为1.11D F DF DD =-，AE BE BA =-.因为11()000D F AD DF DD AD ⋅=-⋅=-=，所以1D F AD ⊥.因为1111()()00022D F AE DF DD BE BA ⋅=-⋅-=+-+=，所以1D F AE ⊥. 因此1D F ⊥平面ADE .2、解：22()CD CD CA AB BD ==++222222361664268cos(18060)68CA AB BD CA AB CA BD AB BD=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯⨯︒-︒=∴CD =练习（P111）1、证明：1()()2MN AB MB BC CN AB MB BC CD AB ⋅=++⋅=++⋅222211()22111cos120cos60cos600222MB BC AD AC AB a a a a =++-⋅=+︒+︒-︒=∴ MN AB ⊥. 同理可证MN CD ⊥.2、解：222222()2cos l EF EA A A AF m d n mn θ''==++=+++（或2cos()mn πθ-）22222cos d l m n mn θ=--，所以AA d '==.3、证明：以点D 为原点，,,DA DC DD '的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,1,0)B ，(0,1,1)C '，11(,1,)22O . ∵ 11(,1,)(1,0,1)022DO BC '⋅=---⋅-= ∴DO BC '⊥ 习题3.2 A 组（P111） 1、解：设正方形的棱长为1（1）1()()2MN CD MB B N CC C D ''''''⋅=+⋅+=，21MN CD '⋅== 112cos 12θ==，60θ=︒.（2）1()2MN AD MB B N AD ''⋅=+⋅=，21MN AD ⋅==1cos 22θ==，45θ=︒.2、证明：设正方体的棱长为1因为11()000DB AC DB BB AC ⋅=+⋅=+=，所以1DB AC ⊥.因为111111()000DB AD DA AB AD ⋅=+⋅=+=，所以11DB AD ⊥. 因此，1DB ⊥平面1ACD .3、证明：∵()cos cos 0OA BC OC OB OA OC OA OB OA θθ⋅=-⋅=-=，∴OA BC ⊥.4、证明：（1）因为11()000AC LE A A AC LE ⋅=+⋅=+=，所以1AC LE ⊥. 因为11()000AC EF A B BC EF ⋅=+⋅=+=，所以1AC EF ⊥. 因此，1AC ⊥平面EFGHLK . （2）设正方体的棱长为1因为1111()()1AC DB A A AC DB DB ⋅=+⋅+=-，211(3)3ACDB ⋅== 所以 1cos 3θ=-.因此1DB 与平面EFGHLK 的所成角α的余弦cos 3α=. 5、解：（1）222211111()()22222DE DE DE DE DA AB AC AB OA AC AB ==⋅=++-=++11(111111)42=++-+-=所以，2DE =（2）11111()()22222AE AO AC AB AO ⋅=+⋅=+=，32AE AO ⋅=1cos2θ===sin 3θ=点O 到平面ABC的距离sin 1OH OA θ=== 6、解：（1）设1AB =，作AO BC ⊥于点O ，连接DO .以点O 为原点，,,OD OC OA 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O ，D ，1(0,,0)2B ，3(0,,0)2C ，A .∴3((4DO DA ⋅=-⋅=，18DODA ⋅=，cos 2θ=. ∴ AD 与平面BCD所成角等于45︒.（2）(0,1,0)(0BC DA ⋅=⋅=. 所以，AD 与BC 所成角等于90︒.（3）设平面ABD 的法向量为(,,1)x y ，。

§1.3简单的逻辑联结词【课时目标】 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.会用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假．1．用逻辑联结词构成新命题(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作__________．(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作__________．(3)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作________，读作__________或__________．2．含有逻辑联结词的命题的真假判断p q p∨q p∧q 綈p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真一、选择题1．已知p：2＋2＝5；q：3>2，则下列判断错误的是( )A．“p∨q”为真，“綈q”为假- 1 -B．“p∧q”为假，“綈p”为真C．“p∧q”为假，“綈p”为假D．“p∨q”为真，“綈p”为真2．已知p：∅{0}，q：{2}∈{1,2,3}．由它们构成的新命题“綈p”，“綈q”，“p ∧q”，“p∨q”中，真命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列命题：①2010年2月14日既是春节，又是情人节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形．其中使用逻辑联结词的命题有( )A．0个B．1个C．2个D．3个4．设p、q是两个命题，则新命题“綈(p∨q)为假，p∧q为假”的充要条件是( ) A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假C．p、q中有且只有一个为假D．p为真，q为假5．命题p：在△ABC中，∠C>∠B是sin C>sin B的充分不必要条件；命题q：a>b是ac2>bc2的充分不必要条件．则( )A．p假q真B．p真q假C．p∨q为假D．p∧q为真6．下列命题中既是p∧q形式的命题，又是真命题的是( )A．10或15是5的倍数B．方程x2－3x－4＝0的两根是－4和1- 1 -。

第一章 1.1 1.1.3A 级 基础巩固一、选择题1．命题“若a 、b 都是奇数，则ab 必为奇数”的等价命题是导学号 21324082( B )A ．如果ab 是奇数，则a 、b 都是奇数B ．如果ab 不是奇数，则a 、b 不都是奇数C ．如果a 、b 都是奇数，则ab 不是奇数D ．如果a 、b 不都是奇数，则ab 不是奇数[解析] 等价命题即其逆否命题．2．命题“若¬p ，则q ”是真命题，则下列命题一定是真命题的是导学号 21324083( C )A ．若p ，则¬qB ．若q ，则¬pC ．若¬q ，则pD ．若¬q ，则¬p[解析] 原命题与逆否命题互为等价命题，同真同假．3．(2017·厦门高二检测)给出命题：已知a ，b 为实数，若a ＋b ＝1，则ab ≤14.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是导学号 21324084( C )A ．3B ．2C ．1D ．0[解析] a ，b ∈R ，则ab ≤(a ＋b 2)2＝14， ∴原命题为真，∴逆否命题为真，而ab ≤14，a ＋b 不一定等于1，∴真命题1个． 4．以下说法错误的是 导学号 21324085( B )A ．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题B ．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题C ．原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D ．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题[解析] 原命题与其逆否命题有相同的真假性，原命题与其逆命题、否命题的真假性没有关系，故选B ．5．(2017·东北师大附中高二检测)有下列四个命题：(1)“若x －y ＝0，则x 、y 为相等的实数”的逆命题；(2)“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题；(3)“若x >5，则x 2－3x －10>0”的否命题；(4)“若a b 是无理数，则a 、b 是无理数”的逆命题． 其中真命题的个数是导学号 21324086( B )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] (1)逆命题“x 、y 为相等的实数，则x －y ＝0”是真命题．(2)∵原命题为假，∴其逆否命题为假命题．(3)否命题“若x ≤5，则x 2－3x －10≤0”，假如x ＝－3<5，但x 2－3x －10＝8>0.为假命题．(4)逆命题“若a ，b ”是无理数，则a b 也是无理数，假如a ＝(2)2，b ＝2，则a b ＝2是有理数． 二、填空题6．已知命题：“若a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c ”，其逆命题为_若2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 成等差数列__.导学号 213240877．设有两个命题：①关于x 的不等式mx 2＋1≥0的解集是R ；②函数f (x )＝log m x 是减函数(m >0且m ≠1)．如果这两个命题中有且只有一个真命题，则m 的取值范围是_{0}∪[1，＋∞)__.导学号 21324088[解析] ①中当m ＝0时1≥0恒成立当m ≠0时⎩⎪⎨⎪⎧m >0Δ≤0⇒m >0 ∴m ≥0②f (x )为减函数0<m <1∵两个命题有且只有一个真命题∴两个命题一真一假⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥0m ≤0或m ≥1或⎩⎨⎧m <00<m <1 ∴m ＝0或m ≥1∴m 的取值范围{0}∪[1，＋∞)．三、解答题8．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假.导学号 21324089(1)如果两圆外切，那么两圆心距等于两圆半径之和；(2)平面内，两条平行直线不相交．[解析] (1)逆命题：如果两圆心距等于两圆半径之和，那么两圆外切，真；否命题：如果两圆不外切，那么两圆心距不等于两圆半径之和，真；逆否命题：如果两圆心距不等于两圆半径之和，那么两圆不外切，真．(2)原命题：在同一平面内，若两条直线是平行直线，则它们不相交，真；逆命题：在同一平面内，若两条直线不相交，则它们平行，假；否命题：在同一平面内，若两条直线不是平行直线，则它们相交，假；逆否命题：在同一平面内，若两条直线相交，则它们不平行，真．9．已知a、b∈R，且a2－4b>0.写出命题“若a＋b＋1<0，则方程x2＋ax＋b＝0的两个实根满足x1<1<x2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.导学号21324090 [解析]逆命题：已知a、b∈R，且a2－4b>0，若方程x2＋ax＋b＝0的两根满足x<1<x2，1则a＋b＋1<0.否命题：已知a、b∈R，且a2－4b>0，若a＋b＋1≥0，则方程x2＋ax＋b＝0的两个实根不满足x1<1<x2.逆否命题：已知a、b∈R，且a2－4b>0，若x2＋ax＋b＝0的两个实根不满足x1<1<x2，则a＋b＋1≥0.下面对真假进行判断：(1)令f(x)＝x2＋ax＋b.∵f(1)＝a＋b＋1<0，f(x)的图象为开口向上的抛物线，∴x2＋ax＋b＝0的两个实根满足x1<1<x2，故原命题为真命题．(2)∵方程x2＋ax＋b＝0的两实根满足x1<1<x2，∴(x1－1)(x2－1)<0，x1＋x2＝－a，x1x2＝b，∴a＋b＋1<0，故逆命题为真命题．由四种命题的关系可知，否命题和逆命题都是真命题．B级素养提升1．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为导学号21324091(B)①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1B．2C．3D．4[解析]由于“M⊆P”为假命题，故M中至少有一个元素不属于P，∴②④正确．M 中可能有属于P的元素，也可能都不是P的元素，故①③错误，选B．2．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的导学号21324092(C)A．逆否命题 B．逆命题C．否命题D．原命题[解析]特例：△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.p：若∠A＝∠B，则a＝b，r：若∠A≠∠B，则a≠b，s：若a≠b，则∠A≠∠B，t：若a＝b，则∠A＝∠B.故s是t的否命题．3．已知命题p：“若a>b>0，则log12a<log12b＋1”，则命题p及它的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为导学号21324093(C)A．0B．1C．2D．4[解析]对于命题p，当a>b>0时，有log12a<log12b，则必有log12a<log12b＋1，因此原命题正确，逆否命题也正确；但当log12a<log12b＋1时，得log12a<log12b2，即a>b2>0，此时不一定有a>b>0，因此逆命题不正确，则命题p的否命题也不正确．因此一共有2个正确命题，故选C．4．(2017·泰安高二检测)已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是导学号21324094(C)A．0B．1C．2D．3[解析]原命题为真命题，则其逆否命题也正确．原命题的逆命题“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”，为假命题，故其原命题也为假命题．故选C．二、填空题5．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线，其逆命题为_假__(真、假).导学号21324095[解析]逆命题为：在空间中，若四个点中任何三点不共线，则这四点不共面，假命题．如：正方形ABCD的四个顶点，任意三点不共线，但这四点共面．6．命题“若实数a满足a≤2，则a2<4”的否命题是_真__命题．(填“真”或“假”)导学号21324096[解析]原命题的否命题为：若实数a满足a>2，则a2≥4，这是一个真命题．三、解答题7．写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假.导学号21324097(1)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(2)正数a的立方根不等于0；(3)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行．[解析] (1)原命题：若x ＝2，则x 2＋x －6＝0，是真命题．逆命题：若x 2＋x －6＝0，则x ＝2，是假命题．否命题：若x ≠2，则x 2＋x －6≠0，是假命题．逆否命题：若x 2＋x －6≠0，则x ≠2，是真命题．(2)原命题：若a 是正数，则a 的立方根不等于0，是真命题．逆命题：若a 的立方根不等于0，则a 是正数，是假命题．否命题：若a 不是正数，则a 的立方根等于0，是假命题．逆否命题：若a 的立方根等于0，则a 不是正数，是真命题．(3)原命题：在同一平面内，若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行，是真命题．逆命题：在同一平面内，若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线，是真命题． 否命题：在同一平面内，若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行，是真命题．逆否命题：在同一平面内，若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线，是真命题．8．(2017·山东临沂高二月考)已知条件p ：|5x －1|>a >0，条件q ：12x 2－3x ＋1>0，请选取一个适当的实数a 的值，分别利用所给出的两个条件作为A 、B ，构造命题“若A ，则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题．这样的一个原命题可以是什么？导学号 21324098[解析] 由已知条件p ：|5x －1|>a >0，得5x －1<－a 或5x －1>a ，即x <1－a 5或x >1＋a 5. 又由已知条件q ：12x 2－3x ＋1>0，得2x 2－3x ＋1>0，解得x <12或x >1. 为使“若A ，则B ”为真命题，而其逆命题为假命题，则A B .令a ＝4，则得p ：x <－35或x >1，满足题意，故可以选取实数a ＝4，原命题可以是“若|5x －1|>4，则12x 2－3x ＋1>0”． C 级 能力拔高证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 、b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.导学号 21324099[解析] 原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 、b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．”证明如下：若a＋b<0，则a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．。

1.3　简单的逻辑联结词课时过关·能力提升基础巩固1若命题“￿p”与命题“p∨q”都是真命题,则( )A.命题p与命题q的真假相同B.命题p一定是真命题C.命题q不一定是真命题D.命题q一定是真命题2若命题p:0是偶数,命题q:2是3的约数,则下列命题中为真命题的是( )A.p∧qB.p∨qC.￿pD.(￿p)∧(￿q)p为真,q为假,∴p∨q为真,故选B.3若“p∧q”与“(￿p)∨q”均为假命题,则( )A.p真q假B.p假q真C.p,q均为假D.p,q均为真∧q为假,则p,q中至少有一个为假;又(￿p)∨q为假,则p为真、q为假.故选A.4设α,β为两个不同的平面,m,n为两条不同的直线,且m⊂α,n⊂β,有两个命题p:若m∥n,则α∥β;q:若m⊥β,则α⊥β;则( )A.“p∨q”是假命题B.“p∧q”是真命题C.“(￿p)∨q”是假命题D.“(￿p)∧q”是真命题p为假命题,q为真命题,故￿p为真,∴(￿p)∧q为真命题.5已知p:点P在直线y=2x-3上,q:点P在曲线y=-x2上,则使“p∧q”为真命题的一个点P(x,y)是( ) A.(0,-3) B.(1,2)C.(1,-1)D.(-1,1)6已知命题p :x=π是y=|sin x|的一条对称轴,q :2π是y=|sin x|的最小正周期.下列命题:①p ∨q ;　②p ∧q ;　③￿p ;　④￿q.其中真命题的序号是 .π是y=|sin x|的最小正周期,∴q 为假.又∵p 为真,∴p ∨q 为真,p ∧q 为假,￿p 为假,￿q 为真.7分别用“p ∨q ”“p ∧q ”“￿p ”填空:(1)命题“15能被3和5整除”是 形式;(2)命题“16的平方根是4或16的平方根是-4”是 形式;(3)命题“π不是有理数”是 形式.p ∧q (2)p ∨q (3)￿p8已知p :x 2-x ≥6,q :x ∈Z .若“p ∧q ”“￿q ”都是假命题,则x 的值组成的集合为 .-1,0,1,2}9已知p :方程x 2+mx+1=0有两个不相等的负根,q :方程4x 2+4(m-2)x+1=0无实根.若p ∨q 为真,p ∧q 为假,求m 的取值范围.p 和q 为真时m 的取值范围,然后根据“p ∨q ”为真,“p ∧q ”为假,知p ,q 一真一假,从而求出满足条件的m 的取值范围.x 2+mx+1=0有两个不相等的负根,则解得m>2,即p :m>2.{Δ=m 2-4>0,-m <0,若方程4x 2+4(m-2)x+1=0无实根,则Δ=16(m-2)2-16=16(m 2-4m+3)<0,解得1<m<3,即q :1<m<3.因为p ∨q 为真,所以p ,q 至少有一个为真.又因为p ∧q 为假,所以p ,q 至少有一个为假.因此p ,q 两个命题一真一假,即p 为真,q 为假或p 为假,q 为真.所以{m >2,m ≤1或m ≥3或{m ≤2,1<m <3.解得m ≥3或1<m ≤2,即m 的取值范围是{m|m ≥3或1<m ≤2}.能力提升1已知全集U=R ,A ⊆U ,B ⊆U ,若p :a ∈(A ∩B ),则“￿p ”是( )A.a ∈AB.a ∈∁U BC.a ∈(A ∪B )D.a ∈(∁U A )∪(∁U B )p :a ∈(A ∩B ),∴￿p :a ∉(A ∩B ),即a ∈∁U (A ∩B ).而∁U (A ∩B )=(∁U A )∪(∁U B ),故选D.2给出两个命题:p :函数y=x 2-x-1有两个不同的零点;q :若<1,则x>1.1x 则下列是真命题的是( )A.(￿p )∨qB.p ∧qC.(￿p )∧(￿q )D.(￿p )∨(￿q )p ,函数对应的方程x 2-x-1=0的判别式Δ=(-1)2-4×(-1)=5>0,可知函数y=x 2-x-1有两个不同的零点,故p 为真命题.当x<0时,不等式<1恒成立;1x 当x>0时,由<1可得x>1.1x 综上可知,<1⇒x<0或x>1.1x 故命题q 为假命题.所以只有(￿p )∨(￿q )为真.故选D.3已知命题p :π是有理数,命题q :x 2-3x+2<0的解集是(1,2).给出下列结论:(1)命题p ∧q 是真命题.(2)命题p ∧(￿q )是假命题.(3)命题(￿p )∨q 是真命题.(4)命题(￿p )∨(￿q )是假命题,其中正确的是( )A.(1)(3)B.(2)(4)C.(2)(3)D.(1)(4)4用“充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”填空:(1)p ∨q 为真命题是p ∧q 为真命题的　;(2)￿p 为假命题是p ∨q 为真命题的　.中p ∨q 为真,则p 与q 中至少有一个为真;而p ∧q 为真,则指p 与q 都为真.因此p ∨q 为真p ∧q 为真,p ∧q 为真⇒p ∨q 为真,故应填必要不充分条件.(2)中￿p 为假,则p 为真一定能推出p ∨q 为真;而p ∨q 为真,有可能p假q 真;故￿p 为假⇒p ∨q 为真,而p ∨q 为真￿p 为假,故填充分不必要条件.必要不充分条件　(2)充分不必要条件5设p :关于x 的不等式a x >1的解集为{x|x<0},q :函数y=lg(ax 2-x+a )的定义域为R ,若p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,则a 的取值范围是　.:A={a|0<a<1},q :B=,{a |a >12}由题意,得p 与q 一真一假,则有{0<a <1,a ≤12或{a ≤0或a ≥1,a >12,即0<a ≤或a ≥1.12a |0<a ≤12或a ≥1}6写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“￿p ”形式的命题,并判断其真假:(1)p :梯形有一组对边平行,q :梯形有一组对边相等;(2)p :-1是方程x 2+4x+3=0的解,q :-3是方程x 2+4x+3=0的解;(3)p :集合中的元素是确定的,q :集合中的元素是无序的.p ∧q :梯形有一组对边平行且有一组对边相等.∵q :梯形有一组对边相等是假命题,∴命题p ∧q 是假命题.p ∨q :梯形有一组对边平行或有一组对边相等.∵p :梯形有一组对边平行是真命题,∴命题p ∨q 是真命题.￿p :梯形没有一组对边平行.∵p 是真命题,∴￿p 是假命题.(2)p ∧q :-3与-1是方程x 2+4x+3=0的解,是真命题.p ∨q :-3或-1是方程x 2+4x+3=0的解,是真命题.￿p :-1不是方程x 2+4x+3=0的解.∵p 是真命题,∴￿p 是假命题.(3)p ∨q :集合中的元素是确定的或是无序的,是真命题;p ∧q :集合中的元素是确定的且是无序的,是真命题;￿p :集合中的元素是不确定的,是假命题.★7已知p :方程a 2x 2+ax-2=0在[-1,1]上有解,q :只有一个实数x 满足不等式x 2+2ax+2a ≤0,若命题p ∨q 为假命题,求实数a 的取值范围.p :显然a ≠0,由a 2x 2+ax-2=0,得(ax+2)(ax-1)=0,即x=-或x=.2a 1a ∵x ∈[-1,1],∴≤1或≤1,得|a|≥1.|2a ||1a|对于命题q :只有一个实数x 满足不等式x 2+2ax+2a ≤0,即抛物线y=x 2+2ax+2a 与x 轴只有一个交点,故Δ=4a 2-8a=0,解得a=0或a=2.∵p ∨q 为假,∴p 和q 都为假.∴⇒-1<a<1,且a ≠0.{-1<a <1,a ≠0,且a ≠2∴实数a 的取值范围是(-1,0)∪(0,1).★8设p :方程2x 2+x+a=0的两根x 1,x 2满足x 1<1<x 2,q :函数y=log 2(ax-1)在区间[1,2]上单调递增.(1)若p 为真命题,求实数a 的取值范围;(2)试问:p ∧q 是否有可能为真命题?若有可能,求出a 的取值范围;若不可能,请说明理由.若p 为真命题,则令f (x )=2x 2+x+a ,只需求出f (1)<0的解集;(2)若p ∧q 为真命题,则p 与q 都为真命题.令f (x )=2x 2+x+a ,由题意,得f (1)<0,则3+a<0,即a<-3.故实数a 的取值范围是(-∞,-3).(2)若q 为真,则a>0,且a×1-1>0,即a>1.若p ∧q 为真,则a<-3和a>1同时成立,这是不可能的.故p ∧q 不可能为真命题.。

§简单的逻辑联结词【课时目标】.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.会用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假．．用逻辑联结词构成新命题()用联结词“且”把命题和命题联结起来，就得到一个新命题，记作，读作．()用联结词“或”把命题和命题联结起来，就得到一个新命题，记作，读作．()对一个命题全盘否定，就得到一个新命题，记作，读作或．．含有逻辑联结词的命题的真假判断∨∧綈真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真一、选择题．已知：＋＝；：>，则下列判断错误的是()．“∨”为真，“綈”为假．“∧”为假，“綈”为真．“∧”为假，“綈”为假．“∨”为真，“綈”为真．已知：∅{}，：{}∈{}．由它们构成的新命题“綈”，“綈”，“∧”，“∨”中，真命题有()．个．个．个．个．下列命题：①年月日既是春节，又是情人节；②的倍数一定是的倍数；③梯形不是矩形．其中使用逻辑联结词的命题有()．个．个．个．个．设、是两个命题，则新命题“綈(∨)为假，∧为假”的充要条件是()．、中至少有一个为真．、中至少有一个为假．、中有且只有一个为假．为真，为假．命题：在△中，∠>∠是 > 的充分不必要条件；命题：>是>的充分不必要条件．则()．假真．真假．∨为假．∧为真．下列命题中既是∧形式的命题，又是真命题的是()．或是的倍数．方程－－＝的两根是－和．方程＋＝没有实数根．有两个角为°的三角形是等腰直角三角形题号答案二、填空题．“≤”中的逻辑联结词是，它是命题．(填“真”，“假”)．若“∈[]或∈{<或>}”是假命题，则的范围是．．已知、∈，设：＋>＋，：函数＝－＋在(，＋∞)上是增函数，那么命题：∨、∧、綈中的真命题是．三、解答题。

1.1.3四种命题间的相互关系【课时目标】 1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.2.会利用命题的等价性解决问题．1．四种命题的相互关系2．四种命题的真假性(1)(2)①两个命题互为逆否命题，它们有______的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性______________．一、选择题1．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是()A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确2．下列说法中正确的是()A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价C．“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真3．与命题“能被6整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是()A．能被2整除的整数，一定能被6整除B．不能被6整除的整数，一定不能被2整除C．不能被6整除的整数，不一定能被2整除D．不能被2整除的整数，一定不能被6整除4．命题：“若a2＋b2＝0 (a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是()A ．若a ≠b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0B ．若a ＝b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0C ．若a ≠0，且b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0，或b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠05．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真6．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β.那么( )A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．二、填空题7．“已知a ∈U (U 为全集)，若a ∉∁U A ，则a ∈A ”的逆命题是________________________________________，它是______命题．(填“真”“假”)8．“若x ≠1，则x 2－1≠0”的逆否命题为________命题．(填“真”、“假”)9．下列命题：①“若k >0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a >1b，则a <b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．其中是假命题的是________．三、解答题10．已知命题：若m >2，则方程x 2＋2x ＋3m ＝0无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．11．已知奇函数f (x )是定义域为R 的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥0，求证：a ＋b ≥0.12．若a 2＋b 2＝c 2，求证：a ，b ，c 不可能都是奇数．【能力提升】13．给出下列三个命题：①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b 1＋b； ②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n 2； ③设P (x 1，y 1)是圆O 1：x 2＋y 2＝9上的任意一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心，且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．314．a 、b 、c 为三个人，命题A ：“如果b 的年龄不是最大的，那么a 的年龄最小”和命题B ：“如果c 的年龄不是最小的，那么a 的年龄最大”都是真命题，则a 、b 、c 的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．1．互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假．四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个、2个或4个．2．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的．1.1.3四种命题间的相互关系知识梳理1．若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p2．(2)①相同②没有关系作业设计1．D[原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，只需写出原命题的否命题即可．]2．D 3.D4．D[a＝b＝0的否定为a，b至少有一个不为0.]5．D[原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题．]6．D7．已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a∉∁U A真解析“已知a∈U(U为全集)”是大前提，条件是“a∉∁U A”，结论是“a∈A”，所以原命题的逆命题为“已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a∉∁U A”．它为真命题．8．假9.①②10．解逆命题：若方程x2＋2x＋3m＝0无实根，则m>2，假命题．否命题：若m≤2，则方程x2＋2x＋3m＝0有实根，假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋3m＝0有实根，则m≤2，真命题．11．证明假设a＋b<0，即a<－b，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)<f(－b)．又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0.即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．∴a＋b≥0.12．证明若a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数．得a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2，即原命题的逆否命题为真，故原命题也为真命题．所以a，b，c不可能都是奇数．13．B [①用“分部分式”判断，具体：a 1＋a ≥b 1＋b ⇔1－11＋a ≥1－11＋b ⇔11＋a ≤11＋b，又a ≥b >－1⇔a ＋1≥b ＋1>0知本命题为真命题．②用基本不等式：2xy ≤x 2＋y 2 (x >0，y >0)，取x ＝m ，y ＝n －m ，知本命题为真． ③圆O 1上存在两个点A 、B 满足弦AB ＝1，所以P 、O 2可能都在圆O 1上，当O 2在圆O 1上时，圆O 1与圆O 2相交．故本命题为假命题．]14．解 能确定．理由如下：显然命题A 和B 的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑．①由命题A 为真可知，当b 不是最大时，则a 是最小的，即若c 最大，则a 最小，所以c >b >a ；而它的逆否命题也为真，即“a 不是最小，则b 是最大”为真，所以b >a >c .总之由命题A 为真可知：c >b >a 或b >a >c .②同理由命题B 为真可知a >c >b 或b >a >c .从而可知，b >a >c .所以三个人年龄的大小顺序为b 最大，a 次之，c 最小．。

1.13[学习目标] 1.了解联结词“且”“或”“非”的含义.2.会用联结词“且”“或”“非”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.3.通过学习，明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假.知识点一且“p且q”就是用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作p∧q.知识点二或“p或q”就是用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作p∨q.知识点三命题的否定一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”.知识点四含有逻辑联结词的命题的真假判断[思考](1)逻辑联结词“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？(2)命题的否定与否命题有什么区别？答案(1)生活用语中的“或”表示不兼有，而在数学中所研究的“或”则表示可兼有但不一定必须兼有.(2)命题的否定只否定命题的结论，而否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论.题型一p∧q命题及p∨q命题例1分别写出下列命题构成的“p∧q”“p∨q”的形式，并判断它们的真假.(1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；(3)p：3是无理数，q：3是实数；(4)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等.解(1)p∧q：函数y＝3x2是偶函数且是增函数；∵p真，q假，∴p∧q为假.p∨q：函数y＝3x2是偶函数或是增函数；∵p真，q假，∴p∨q为真.(2)p∧q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p∧q为真.p∨q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p∨q为真.(3)p∧q：3是无理数且是实数；∵p真，q真，∴p∧q为真.p∨q：3是无理数或是实数；∵p真，q真，∴p∨q为真.(4)p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p∧q为真.p∨q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p∨q为真.反思与感悟(1)判断p∧q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，然后根据真值表“一假则假，全真则真”进行判断.(2)判断p∨q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，只要有一个为真，即可判定p∨q形式命题为真，而p与q均为假命题时，命题p∨q为假命题，可简记为：有真则真，全假为假.跟踪训练1指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：(1)李明是男生且是高一学生.(2)方程2x2＋1＝0没有实数根.(3)12能被3或4整除.解(1)是“p且q”形式.其中p：李明是男生；q：李明是高一学生.(2)是“非p”形式.其中p：方程2x2＋1＝0有实根.(3)是“p或q”形式.其中p：12能被3整除；q：12能被4整除.题型二綈p命题例2写出下列命题的否定形式.(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.解 (1)面积相等的三角形不都是全等三角形. (2)若m 2＋n 2＝0，则实数m 、n 不全为零. (3)若xy ＝0，则x ≠0且y ≠0.反思与感悟 綈p 是对命题p 的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p 的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p ∧q ”的否定是“綈p ∨綈q ”等.跟踪训练2 写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)p ：y ＝ sin x 是周期函数； (2)p ：3＜2；(3)p ：空集是集合A 的子集； (4)p ：5不是75的约数.解 (1) 綈p ：y ＝ sin x 不是周期函数.命题p 是真命题，綈p 是假命题； (2) 綈p ：3≥2.命题p 是假命题，綈p 是真命题；(3) 綈p ：空集不是集合A 的子集.命题p 是真命题，綈p 是假命题； (4) 綈p ：5是75的约数.命题p 是假命题，綈p 是真命题.题型三 p ∨q 、p ∧q 、綈p 命题的综合应用例3 已知命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若“p ∨q ”与“綈q ”同时为真命题，求实数a 的取值范围. 解 命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2>－2，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，－2a >－22－2a >0，，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.由于⎩⎨⎧a >0Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，解得0<a <4， 所以0≤a <4.因为“p ∨q ”与“綈q ”同时为真命题，即p 真且q 假，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1].反思与感悟 由真值表可判断p ∨q 、p ∧q 、綈p 命题的真假，反之，由p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假也可判断p 、q 的真假情况.一般求满足p 假成立的参数范围，应先求p 真成立的参数的范围，再求其补集.跟踪训练3 已知命题p ：方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等的实根；命题q ：方程4x 2＋2(a －4)x ＋1＝0无实根，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围. 解 ∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 与q 一真一假， 由a 2－4>0得a >2或a <－2. 由4(a －4)2－4×4<0得2<a <6.①若p 真q 假，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－2，a ≤2或a ≥6，∴a <－2或a ≥6；②若p 假q 真，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤2，2<a <6，通过分析可知不存在这样的a .综上，a <－2或a ≥6.1.命题p ：“x >0”是“x 2>0”的必要不充分条件，命题q ：△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件，则( ) A.p 真q 假 B.p ∧q 为真 C.p ∨q 为假 D.p 假q 真答案 D解析 命题p 假，命题q 真. 2.给出下列命题： ①2>1或1>3；②方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0； ③25是6或5的倍数；④集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集. 其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D解析 ①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；②由于方程x 2－2x －4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；④由于A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆A ∪B ，所以命题“集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集”是真命题.3.已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数.则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，为真命题的是() A.q1，q3 B.q2，q3 C.q1，q4 D.q2，q4答案 C解析p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，∴q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题.∴为真命题的是q1，q4.4.已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是()A.p假q真B.“p∨q”为真C.“p∧q”为真D.“綈p”为真答案 B解析由(x＋2)(x－3)<0得－2<x<3，∵1∈(－2,3)，∴p真.∵∅≠{0}，∴q为假，∴“p∨q”为真.5.若p是真命题，q是假命题，则()A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题C.綈p是真命题D.綈q是真命题答案 D解析根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确.1.正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个.2.判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：(1)逐一判断命题p，q的真假.(2)根据“且”“或”的含义判断“p∧q”，“p∨q”的真假.p∧q为真⇔p和q同时为真，p∨q为真⇔p和q中至少一个为真.3.若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真，类比集合知识，“綈p”就相当于集合p在全集U中的补集∁U p.因此(綈p)∧p为假，(綈p)∨p为真.4.命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别.一、选择题1.已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是()A.“p∨q”为假，“綈q”为假B.“p∨q”为真，“綈q”为假C.“p∧q”为假，“綈p”为假D.“p∧q”为真，“p∨q”为假答案 B解析显然p假q真，故“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真，“綈q”为假，故选B.2.已知全集S＝R，A⊆S，B⊆S，若p：2∈(A∪B)，则“綈p”是()A.2D∈/AB.2D∈/∁S BC.2D∈/(A∩B)D.2∈(∁S A)∩(∁S B)答案 D解析p：2∈(A∪B)，綈p：2∈∁S(A∪B)，即2∈(∁S A)∩(∁S B).3.“p是真命题”是“p∧q为真命题”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B4.设a，b，c是非零向量.已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是()A.p∨qB.p∧qC.(綈p)∧(綈q)D.p∨(綈q)答案 A解析方法一命题p中，取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题.命题q中，a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝x b，由b∥c知b＝y c，∴a＝xy c，∴a∥c，∴q是真命题.综上可知：p∨q是真命题，p∧q是假命题.又∵綈p 为真命题，綈q 为假命题， ∴(綈p )∧(綈q )，p ∨(綈q )都是假命题. 方法二命题p 中，由于a ，b ，c 都是非零向量，∵a ·b ＝0，∴a ⊥b .∵b ·c ＝0，∴b ⊥c .如图，则可能a ∥c ，∴a ·c ≠0，∴命题p 是假命题，∴綈p 是真命题.命题q 中，a ∥b ，则a 与b 方向相同或相反；b ∥c ，则b 与c 方向相同或相反.故a 与c 方向相同或相反，∴a ∥c ，即q 是真命题，则綈q 是假命题，故p ∨q 是真命题，p ∧q ，(綈p )∧(綈q )，p ∨(綈q )都是假命题.5.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A.(綈p )∨(綈q ) B.p ∨(綈q ) C.(綈p )∧(綈q ) D.p ∨q答案 A解析 至少有一位学员没有降落在指定范围意味着甲或乙没有降落在指定范围.6.命题p ：若a >0，b >0，则ab ＝1是a ＋b ≥2的必要不充分条件，命题q ：函数y ＝log 2x －3x ＋2的定义域是(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则( ) A.“p ∨q ”为假 B.“p ∧q ”为真 C.p 真q 假 D.p 假q 真 答案 D解析 由命题p ：a >0，b >0，ab ＝1得a ＋b ≥2ab ＝2，所以p 为假命题； 命题q ：由x －3x ＋2>0得x <－2或x >3，所以q 为真命题.7.已知命题p ：若a ＝(1,2)与b ＝(－2，λ)共线，则λ＝－4；命题q ：∀k ∈R ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0相交.则下面结论正确的是( ) A.(綈p )∨q 是真命题 B.p ∧(綈q )是真命题 C.p ∧q 是假命题 D.p ∨q 是假命题 答案 A解析 命题p 为真，命题q ：圆心(0,1)到直线kx －y ＋1＝0的距离为d ＝|0|k 2＋1<1，命题q 是真命题.故(綈p )∨q 是真命题.8.给定命题p ：函数y ＝ln [(1－x )(x ＋1)]为偶函数；命题q ：函数y ＝e x －1e x ＋1为偶函数，下列说法正确的是( ) A.p ∨q 是假命题 B.(綈p )∧q 是假命题 C.p ∧q 是真命题 D.(綈p )∨q 是真命题答案 B解析 p 中，f (－x )＝ln [(1＋x )(1－x )]＝f (x )，又定义域关于原点对称，故函数为偶函数，故p 为真；q 中，f (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1－e xe x ＋1＝－f (x )，定义域为R ，故函数为奇函数，故q 为假，故(綈p )∧q 为假. 二、填空题9.命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为________________，命题的否定为________________. 答案 若a ≥b ，则2a ≥2b 若a <b ，则2a ≥2b解析 命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为“若a ≥b ，则2a ≥2b ”，命题的否定为“若a <b ，则2a ≥2b ”.10.若命题p ：不等式ax ＋b >0的解集为{x |x >－ba }，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }，则“p 且q ”“p 或q ”“非p ”中真命题是________. 答案 非p解析 因为命题p ，q 均为假命题，所以“p 或q ”“p 且q ”均为假命题，而“非p ”为真命题.11.已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则有平面α∥平面β.对以上两个命题，下列结论中： ①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假. 其中，正确的是________(填序号). 答案 ②解析 命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交，命题q 也是假命题，这两个平面α，β也可能相交. 三、解答题12.已知c >0，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减，q ：曲线y ＝4x 2－4c (x ＋12)＋c 2＋1与x 轴交于不同的两点，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求c 的取值范围. 解 方法一 ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减， ∴0<c <1.令A ＝{c |0<c <1}.由y ＝4x 2－4c (x ＋12)＋c 2＋1与x 轴交于不同的两点，可得方程4x 2－4cx ＋c 2－2c ＋1＝0所对应的判别式Δ＝16c 2－16(c 2－2c ＋1)>0. 解得c >12，令B ＝{c |c >12}.根据题意，如果p 真，q 假，则0<c ≤12；如果p 假，q 真，则c ≥1， ∴c 的取值范围为(0，12]∪[1，＋∞).方法二 同方法一，问题等价于求集合 [(∁R B )∩A ]∪[(∁R A )∩B ]＝(0，12]∪[1，＋∞).∴c 的取值范围为(0，12]∪[1，＋∞).13.已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若命题“p ∨q ” 是假命题，求实数a 的取值范围. 解 由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)(ax －1)＝0. 显然a ≠0，∴x ＝－2a 或x ＝1a .若命题p 为真，∵x ∈[－1,1]，故⎪⎪⎪⎪－2a ≤1或⎪⎪⎪⎪1a ≤1， ∴|a |≥1. 若命题q 为真，即只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0，即函数y ＝x 2＋2ax ＋2a 的图象与x 轴只有一个交点. ∴Δ＝4a 2－8a ＝0， ∴a ＝0或a ＝2.∵命题“p ∨q ”为假命题，∴a 的取值范围是{a |－1<a <0或0<a <1}.。

第一章 1.3 第2课时A级基础巩固一、选择题1．(2017·东莞高二检测)若命题“¬p”与命题“p∨q”都是真命题，那么导学号21324227(D)A．命题p与命题q的真假相同B．命题p一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题q一定是真命题2．如果命题“¬(p∨q)”为真命题，则导学号21324228(B)A．p，q均为真命题B．p，q均为假命题C．p，q中至少有一个为真命题D．p，q中一个为真命题，一个为假命题3．已知命题p：“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”，命题q：“a 12>b12”的充要条件为“ln a>ln b”，则下列复合命题中假命题是导学号21324229(B)A．p∨q B．p∧q C．(¬p)∨(¬q)D．p∧(¬q)4．(2017·山东烟台高二期末测试)在一次篮球投篮比赛中，甲、乙两球员各投篮一次．设命题p：“甲球员投篮命中”；q：“乙球员投篮命中”，则命题“至少有一名球员投中”可表示为导学号21324230(A)A．p∨q B．p∧(¬q) C．(¬p)∧(¬q)D．(¬p)∨(¬q)[解析]至少有一名球员投中为p∨q.5．已知命题p：偶函数的图象关于y轴对称，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是导学号21324231(D)A．p∧q B．(¬p)∧(¬q) C．(¬p)∧q D．p∧(¬q)[解析]∵p为真命题，q为假命题，∴p∧(¬q)为真命题，故选D．6．已知命题p：x2－4x＋3<0与q：x2－6x＋8<0；若“p且q”是不等式2x2－9x＋a<0成立的充分条件，则实数a的取值范围是导学号21324232(C)A ．(9，＋∞)B ．{0}C ．(－∞，9]D ．(0,9][解析] 由x 2－4x ＋3<0可得p ：1<x <3；由x 2－6x ＋8<0可得q ：2<x <4，∴p 且q 为：2<x <3，由条件可知，{x |2<x <3}是不等式2x 2－9x ＋a <0的解集的子集，即方程2x 2－9x ＋a ＝0的两根中一根小于等于2，另一根大于等于 3.令f (x )＝2x 2－9x ＋a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝8－18＋a ≤0，f (3)＝18－27＋a ≤0.⇒a ≤9.故选C ． 二、填空题7．已知命题p ：6＋7＝13，则该命题的否定是¬p: 6＋7≠13__，其为_假__命题．(填“真”或“假”).导学号 213242338．已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z .若“p ∧q ”，“¬q ”都是假命题，则x 的值组成的集合为_{－1,0,1,2}__.导学号 21324234[解析] 因为“p ∧q ”为假，“¬q ”为假，所以q 为真，p 为假．故⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x <6x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <3x ∈Z ，因此x 的值可以是－1,0,1,2. 三、解答题9．写出下列命题的p ∨q ，p ∧q ，¬p 的形式，并判断其真假：导学号 21324235 (1)p ：5不是15的约数；q ：5是15的倍数；(2)p ：空集是任何集合的子集；q ：空集是任何集合的真子集． [解析] (1)p ∨q ：5不是15的约数或5是15的倍数，假命题； p ∧q ：5不是15的约数且5是15的倍数，假命题； ¬p ：5是15的约数，真命题．(2)p ∨q ：空集是任何集合的子集或空集是任何集合的真子集，真命题； p ∧q ：空集是任何集合的子集且空集是任何集合的真子集，假命题； ¬p ：空集不是任何集合的子集；假命题．10．(2017·齐齐哈尔市高二期中测试)已知命题p ：|1－x －13|≤2；q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，若¬p 是¬q 的充分不必要条件，求m 的取值范围.导学号 21324236[解析] p ：|1－x －13|≤2，∴|4－x3|≤2，∴－2≤x ≤10；q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)， ∴[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0(m >0)， ∴1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．∵¬p 是¬q 的充分不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－21＋m ≤10，∴m ≤3. ∴m 的取值范围是0<m ≤3.B 级 素养提升一、选择题1．对于命题p 和q ，若p 且q 为真命题，则下列四个命题：①p 或¬q 是真命题；②p 且¬q 是真命题；③¬p 且¬q 是假命题；④¬p 或q 是假命题． 其中真命题是导学号 21324237( C ) A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④[解析] 若p 且q 为真命题，则p 真，q 真，¬p 假，¬q 假， 所以p 或¬q 真，¬p 且¬q 假，故选C ．2．“m ＝2”是“f (x )＝x m 为(－∞，＋∞)上的偶函数”的导学号 21324238( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] m ＝2时，f (x )＝x 2为偶函数，但f (x )＝x m 为偶函数时，m ＝2不一定成立，如m ＝4.3．若命题“p ∧(¬q )”为真命题，则导学号 21324239( B ) A ．p ∨q 为假命题 B ．q 为假命题 C ．q 为真命题D ．(¬p )∧(¬q )为真命题[解析] p ∧(¬q )为真命题，故¬q 为真命题，所以q 为假命题．4．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是导学号 21324240( C ) A ．p 为真B ．¬q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真[解析] 本题考查命题真假的判断．p 为假命题，q 为假命题．所以p ∧q 为假命题． 对“p ∧q ”真假判定：全真为真，一假则假．5．p ：函数f (x )＝lg x ＋1有零点；q ：存在α、β，使sin(α－β)＝sin α－sin β，在p ∨q ，p ∧q ，¬p ，¬q 中真命题有导学号 21324241( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] ∵f ⎝⎛⎭⎫110＝0，∴p 真；∵α＝β时，sin(α－β)＝0＝sin α－sin β，∴q 真，故p ∨q为真，p ∧q 为真，¬p 为假，¬q 为假．二、填空题6．已知命题p ：不等式x 2＋x ＋1≤0的解集为R ，命题q ：不等式x －2x －1≤0的解集为{x |1<x ≤2}，则命题“p ∨q ”“p ∧q ”“¬p ”“¬q ”中为真命题是_p ∨q ，¬p __.导学号 21324242[解析] ∵任意x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，∴命题p 为假，¬p 为真； ∵x －2x －1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －1)≤0x －1≠0⇔1<x ≤2. ∴命题q 为真，p ∨q 为真，p ∧q 为假，¬q 为假．7．(2017·江苏阜宁中学高二期中测试)已知命题p ：1x －1<1，命题q ：x 2＋(a －1)x －a >0，若¬p 是¬q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_(－∞，－2)__.导学号 21324243[解析] 命题p ：1x －1<1，∴x >2或x <1.命题q ：x 2＋(a －1)x －a >0， ∴(x ＋a )(x －1)>0.∵¬p 是¬q 的充分不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件． ∴－a >2，∴a <－2. 三、解答题8．写出下列命题的否定：导学号 21324244 (1)若a >b >0，则1a <1b ；(2)正方形的四条边相等；(3)a 、b ∈N ，若ab 可被5整除，则a 、b 中至少有一个能被5整除； (4)若x 2－x －2＝0，则x ≠－1且x ≠2. [解析] (1)若a >b >0，则1a ≥1b .(2)正方形的四条边不全相等．(3)a 、b ∈N ，若ab 可以被5整除，则a 、b 都不能被5整除； (4)若x 2－x －2＝0，则x ＝－1或x ＝2.9．设命题p ：函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，命题q ：关于x 的方程x 2＋2x ＋log a 32＝0的解集只有一个子集．若“p 或q ”为真，“¬p 或¬q ”也为真，求实数a 的取值范围.导学号 21324245[解析] 当命题p 是真命题时，应有a >1；当命题q 是真命题时，关于x 的方程x 2＋2x ＋log a 32＝0无解，所以Δ＝4－4log a 32<0，解得1<a <32.由于“p 或q ”为真，所以p 和q 中至少有一个为真，又“¬p 或¬q ”也为真，所以¬p 和¬q 中至少有一个为真，即p 和q 中至少有一个为假，故p 和q 中一真一假．p 假q 真时，a 无解；p 真q 假时，a ≥32.综上所述，实数a 的取值范围是a ≥32.C 级 能力拔高(2017·河南封丘一中高二期末测试)已知p ：|3x －4|>2；q ：1x 2－x －2>0；r ：(x －a )(x －a －1)<0.导学号 21324246(1)¬p 是¬q 的什么条件；(2)若¬r 是¬p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． [解析] (1)p ：|3x －4|>2⇒x >2或x <23，q ：1x 2－x －2>0⇒x >2或x <－1， ¬p ：23≤x ≤2，¬q ：－1≤x ≤2，∴¬p ⇒¬q ，¬q ⇒/ ¬p ， ∴¬p 是¬q 的充分不必要条件． (2)r ：a <x <a ＋1，¬r ：x ≥a ＋1或x ≤a . 记A ＝{x |x ≥a ＋1或x ≤a } B ＝{x |23≤x ≤2}∵¬r 是¬p 的必要不充分条件，∴B A ，∴a ≥2或a ＋1≤23，即a ≥2或a ≤－13.所以实数q 的取值范围(－∞，－13]∪[2，＋∞)．。

第01章 常用逻辑用语一、选择题：1. 【宁夏育才中学2017-2017-1高二年级期中考试】命题“0200(0,),2x x x ∃∈+∞<”的否定为 （ ）A ．2(0,),2x x x ∀∈+∞<B ．2(0,),2x x x ∀∈+∞>C ．2(0,),2x x x ∀∈+∞≥D ．2(0,),2x x x ∃∈+∞≥【答案】C 【解析】试题分析：命题的否定只对结论否定。

特称命题的否定应将存在改为任意，同时小于改为大于等于。

故选C 。

考点：命题的否定。

2. 【宁夏育才中学2017-2017-1高二年级期中考试】 lg ,lg ,lg x y z 成等差数列是2y xz=成立的 （ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B考点：充分性、必要性判断。

3. 【宁夏育才中学2017-2017-1高二年级期中考试】若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则 （ ）A ．p 或q 为假B ．q 假C ．q 真D ．不能判断q 的真假 【答案】B 【解析】试题分析：命题“p q ∧”为假，则p 、q 至少有一假。

又由“p ⌝”为假知，p 为真，所以q 为假。

故选B 。

考点：复合命题的真假性判断。

4. 【石家庄市第一中学2018—2018学年第一学期高二年级期中考试】“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：由“p 或q 是假命题”可知命题p 与q 均为假命题，“非p 为真命题”成立；当“非p 为真命题”时，p 是假命题，所以“p 或q 是真命题”，所以“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的充分而不必要条件，故选A. 考点：逻辑联结词与命题.5. 【云南省玉溪市第一中学2018届高二上学期期中考试】设集合{}2M x x =>，{}3P x x =<，那么“x M ∈或x P ∈”是“x MP ∈”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B考点：充要条件．【方法点晴】本题考查了充要条件的判断，属于基础题，充要条件的判断方法通常有三种：一是定义法，也叫推出法；二是命题法，注意互为逆否的两个命题是等价命题这一结论的应用，通常用于否定的条件和结论的判断；三是集合法．6. 【辽宁省沈阳市第二中学2017-2018学年高二上学期10月月考】设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：因为α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．若“m β∥”，则平面α，β可能相交也可能平行，不能推出αβ∥，反过来若αβ∥，m α⊂，则有m β∥，则“m β∥”是 “αβ∥”的必要而不充分条件，故选B .考点：1.空间直线与平面的位置关系；2.充分、必要条件的判断.【方法点睛】本题考点为空间直线与平面的位置关系，重点考查线面、面面平行问题和充要条件的有关知识. 充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法： ①充分不必要条件：如果p q ⇒，且p q ⇐/，则说p 是q 的充分不必要条件； ②必要不充分条件：如果p q ⇒/，且p q ⇐，则说p 是q 的必要不充分条件； ③既不充分也不必要条件：如果p q ⇒/，且p q ⇐/，则说p 是q 的既不充分也不必要条件.7. 【河北省衡水市冀州中学2017-2018学年高二上学期期中考试】命题“对任意x ∈R ，都有2ln 2x ≥”的否定为 （ ）A 、对任意x ∈R ，都有2ln 2x <B 、存在x ∈R ，使得2ln 2x < C ． 存在x ∈R ，使得2ln 2x ≥ D 、不存在x ∈R ，都有2ln 2x < 【答案】B 【解析】试题分析：对于全称命题，命题的否定是特称命题，且命题的结论也否定即可，所以命题“对任意x ∈R ，都有2ln 2x ≥”的否定为“存在x ∈R ，使得2ln 2x < ”，故选B ． 考点：1、全称命题；2、命题的否定．8. 【河北省衡水市冀州中学2017-2018学年高二上学期期中考试】“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件 【答案】D 【解析】试题分析：方程221mx ny +=化为标准方程为22111x ym n+=，由0m n >>知110n m >>，所以“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件，故选D ．考点：1、椭圆的标准方程；2、逻辑关系． 二、填空题：1. 【宁夏育才中学2017-2017-1高二年级期中考试】“x＝0且y ＝0”的否定形式为________.【答案】0或0≠≠y x 【解析】试题分析：p 且q 的否定是p ⌝或q ⌝。

2018年新人教A版高中数学选修2-1全册同步检测目录第1章1.1-1.1.1命题第1章1.1-1.1.3四种命题间的相互关系第1章1.2-1.2.1充分条件与必要条件第1章1.2-1.2.2充要条件第1章1.3简单的逻辑联结词第1章1.4-1.4.2存在量词第1章1.4-1.4.3含有一个量词的命题的否定第1章章末复习课第1章章末评估验收(一)第2章2.1-2.1.1曲线与方程第2章2.1-2.1.2求曲线的方程第2章2.2-2.2.1椭圆及其标准方程第2章2.2-2.2.2第1课时椭圆的简单几何性质第2章2.2-2.2.2第2课时椭圆方程及性质的应用第2章2.3-2.3.1双曲线及其标准方程第2章2.3-2.3.2第1课时双曲线的简单几何性质第2章2.3-2.3.2第2课时双曲线方程及性质的应用第2章2.4-2.4.1抛物线及其标准方程第2章2.4-2.4.2第1课时抛物线的简单几何性质第2章2.4-2.4.2第2课时抛物线方程及性质的应用第2章章末复习课第2章章末评估验收(二)第3章3.1-3.1.1空间向量及其加减运算第3章3.1-3.1.2空间向量的数乘运算第3章3.1-3.1.3空间向量的数量积运算第3章3.1-3.1.4空间向量的正交分角及其坐标表示第3章3.1-3.1.5空间向量运算的坐标表示第3章3.2第1课时空间向量与平行关系第3章3.2第2课时空间向量与垂直关系第3章3.2第3课时空间向量与空间角第3章章末复习课第3章章末评估验收(三)模块综合评价第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系1.1.1 命题A 级 基础巩固一、选择题1．下列语句是命题的是( )①三角形的内角和等于180°；②2>3；③偶数是自然数；④x >2；⑤这座山真险啊！ A ．①②③ B ．①③④ C ．①②⑤D ．②③⑤解析：①②③是命题，④中x >2无法判断真假，⑤是感叹句，所以④⑤不是命题． 答案：A2．下列命题中，是真命题的是( ) A ．a >b ，c >d ⇒ac >bd B ．a <b ⇒a 2<b 2 C.1a <1b⇒a >b D ．a >b ，c <d ⇒a －c >b －d解析：可以通过举反例的方法说明A ，B ，C 为假命题． 答案：D3．下列命题中真命题的个数为( ) ①若x 2＝1，则x ＝1； ②若x ＝y ，则x ＝y ； ③若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ； ④梯形的对角线一定不垂直．A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：只有③正确．答案：A4．给出下列命题：①四个非零实数a ，b ，c ，d 满足ad ＝bc ，则a ，b ，c ，d 成等比数列； ②若整数a 能被2整除，则a 是偶数； ③在△ABC 中，若A >30°，则sin A >12.其中为假命题的序号是( )A ．②B ．①②C ．②③D ．①③解析：①中，若a ＝－1，b ＝52，c ＝2，d ＝－5满足ad ＝bc ，但a ，b ，c ，d 不成等比数列，故是假命题；③中，若150°<A <180°，则sin A <12，故是假命题．答案：D5．下列命题中，是真命题的是( ) A ．若a 3＋b 3＝0，则a 2＋b 2＝0 B ．若a ＞b ，则ac ＞bc C ．若M ∩N ＝M ，则N ⊆M D ．若M ⊆N ，则M ∩N ＝M解析：A.取a ＝1，b ＝－1，推不出a 2＋b 2＝0，A 不成立；B.c ≤0时，不成立；C.M ∩N ＝M ⇒M ⊆N ，C 不成立；D 成立．答案：D 二、填空题6．命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”，写成“若p ，则q ”的形式为________．解析：条件是整数的末位数字是4，结论是它一定能被2整除． 答案：若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除 7．已知下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a＞b，则ac2＞bc2；④矩形的对角线互相垂直．其中假命题的个数是________．解析：①②③④全为假命题．答案：48．给出下列三个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行．其中，是真命题的是________(填序号)．答案：②三、解答题9．判断下列命题的真假．(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有最大值；(2)正项等差数列的公差大于零；(3)函数y＝1x的图象关于原点对称．解：(1)假命题．当a＞0时，抛物线开口向上，有最小值．(2)假命题．反例：若此数列为递减数列，如数列20，17，14，11，8，5，2，它的公差是－3.(3)真命题．y＝1x是奇函数，所以其图象关于(0，0)对称．10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．(1)乘积为1的两个实数互为倒数；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同一直线平行的两个平面平行．解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”，它是真命题．p：两个实数乘积为1；q：两个实数互为倒数．(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．B级能力提升1．已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是()A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a、b相交，则α、β相交D．若α、β相交，则a、b相交解析：易知选项A、B、C都正确，对于D，α、β相交时，a、b一定不平行，但不一定相交，有可能异面，故D为假命题．答案：D2．给定下列命题：①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中真命题的序号是________．解析：易知①②④正确，对于③，对角线相等且平分时的四边形是矩形，只满足相等不是矩形．故③错误．答案：①②④3．判断“函数f(x)＝2x－x2有三个零点”是否为命题．若是命题，是真命题还是假命题？说明理由．解：这是一个可以判断真假的陈述句，所以是命题，且是真命题．函数f(x)＝2x－x2的零点即方程2x－x2＝0的实数根，也就是方程2x＝x2的实数根，即函数y＝2x，y＝x2的图象的交点的横坐标，易知指数函数y＝2x的图象与抛物线y＝x2有三个交点，所以函数f(x)＝2x－x2有三个零点．第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系A级基础巩固一、选择题1．已知命题p：“若ab＝1，则a＋b≥2”，则下列说法正确的是()A．命题p的逆命题是“若ab≠1，则a＋b<2”B．命题p的逆命题是“若a＋b<2，则ab≠1”C．命题p的否命题是“若ab≠1，则a＋b<2”D．命题p的否命题是“若a＋b≥2，则ab＝1”解析：“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，否命题是“若⌝p，则⌝q”.答案：C2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝| b |”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠| b |B．若a＝－b，则|a|≠| b |C．若|a|≠| b |，则a≠－bD．若|a|＝| b |，则a＝－b解析：原命题的条件是a＝－b，作为逆命题的结论；原命题的结论是|a|＝| b |，作为逆命题的条件，即得逆命题，“若|a|＝| b |，则a＝－b.”答案：D3．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析：“方程x2＋x－m＝0有实根”的否定是“方程x2＋x－m＝0没有实根”；“m>0”的否定即“m≤0”，故命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．答案：D4．下列四个命题中，真命题为()①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．A．①②B．②③C．①③D．③④答案：C5．与命题“在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q”为互逆命题的是()A．在等差数列{a n}中，若m＋n≠p＋q，则a m＋a n≠a p＋a qB．在等差数列{a n}中，若a m＋a n＝a p＋a q，则m＋n＝p＋qC．在等差数列{a n}中，若a m＋a n≠a p＋a q，则m＋n≠p＋qD．在等差数列{a n}中，若m＋n≠p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q答案：B二、填空题6．命题“若AB＝AC，则△ABC是等腰三角形”的逆否命题为________(填“真命题”或“假命题”)．解析：逆否命题：“若△ABC不是等腰三角形，则AB≠AC”，为真命题．答案：真命题7．下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题．其中是真命题的是________(填序号)．解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“x、y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题是“若a＞b，则ac2＞bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.答案：①②③8．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；②“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；③“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是________．答案：1三、解答题9．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解：因为m>0，所以12m>0，所以12m＋4>0.所以方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.所以原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．10．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解：(1)逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，真命题．假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与题设矛盾，所以逆命题为真命题．(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0，真命题．因为原命题与其逆否命题等价，所以可证明原命题为真命题．因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，即原命题为真命题．所以逆否命题为真命题．B级能力提升1．原命题为“若a n＋a n＋12<a n，n∈N＋，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题的真假性的判断依次如下，正确的是() A．真、真、真B．假、假、真C．真、真、假D．假、假、假解析：a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，所以其否命题和逆否命题也都是真命题．答案：A2．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题为________命题，逆命题为________命题(填“真”或“假”)．解析：逆否命题为：a ，b 都小于1，则a ＋b <2是真命题．所以原命题是真命题，逆命题为：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2，例如a ＝3，b ＝－3满足条件a ，b 中至少有一个不小于1，但此时a ＋b ＝0，故逆命题是假命题．答案：真 假3．设0<a <1，0<b <1，0<c <1，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不同时大于14.证明：假设(1－a )b >14，所以（1－a ）b >12，(1－b )c >14，所以（1－b ）c >12，(1－c )a >14，所以（1－c ）a >12.相加得32<（1－a ）b ＋（1－b ）c ＋（1－c ）a ≤1－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋1－c ＋a 2＝32左右矛盾，故假设不成立． 所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不同时大于14.第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件 1.2.1 充分条件与必要条件A 级 基础巩固一、选择题1．“x >0”是“3x 2>0”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．既是充分条件又是必要条件解析：x >0显然能推出3x 2>0，而3x 2>0，不能推出x >0. 答案：A2．“α＝π6＋2k π(k ∈Z)”是“cos 2α＝12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既是充分条件又是必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：“α＝π6＋2k π(k ∈Z)”⇒“cos 2α＝12”，“cos 2α＝12”⇒/ “α＝π6＋2k π”(k ∈Z)．因为α还可以等于2k π－π6(k ∈Z)，所以选A.答案：A3．“x<0”是“ln(x＋1)<0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由ln(x＋1)<0得－1<x<0，故“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不充分条件．答案：B4．已知集合M＝{2，m}，N＝{1，2，3}，则“m＝3”是“M⊆N”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若m＝3，则M＝{2，3}，显然M⊆N；但当M⊆N时，m＝1或m＝3，故“m ＝3”是“M⊆N”的充分不必要条件．答案：A5．设x、y是两个实数，命题：“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是()A．x＋y＝2 B．x＋y＞2C．x2＋y2＞2 D．xy＞1答案：B二、填空题6．不等式(a＋x)(1＋x)＜0成立的一个充分不必要条件是－2＜x＜－1，则a的取值范围是________．解析：由已知，得{x|－2＜x＜－1}{x|(x＋a)(x＋1)＜0}，所以－a＜－2⇒a＞2.答案：a ＞27．设α、β、γ为平面，m 、n 、l 为直线，则对于下列条件： ①α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ； ②α∩γ＝m ，α⊥β，γ⊥β； ③α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α； ④n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α.其中为m ⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上)． 答案：②④8．“x ＝1”是“方程x 3－3x ＋2＝0的根”的________条件(填“充分”“必要”)． 答案：充分 三、解答题9．已知p ，q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件．那么： (1)s 是q 的什么条件？ (2)r 是q 的什么条件？ (3)p 是q 的什么条件？解：(1)因为q ⇒s ，s ⇒r ⇒q ，所以s 是q 的充要条件． (2)因为r ⇒q ，q ⇒s ⇒r ，所以r 是q 的充要条件． (3)因为q ⇒s ⇒r ⇒p ，所以p 是q 的必要条件．10．已知命题p ：α＝β；命题q ：tan α＝tan β，判断p 是q 的什么条件？ 解：当α＝β＝π2时，显然tan α与tan β无意义，即p ⇒/ q ，故p 不是q 的充分条件；又α＝π4，β＝5π4时，tan α＝tan β，所以q ⇒/ p ，所以p 不是q 的必要条件，综上，p 既不是q 的充分条件，也不是必要条件．B 级 能力提升1．对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是( )A ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的必要条件B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件C ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的充分条件D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件 答案：B2．“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的一个充分条件可以是________． 答案：a ＝1(或a ＝－1)3．已知a 、b 为不等于0的实数，判断“ab ＞1”是“a ＞b ”的什么条件，并证明你的结论．解：由条件“ab ＞1”可得a －b b ＞0，若b ＞0，则a ＞b ；若b ＜0，则a ＜b ，所以“ab＞1”“a ＞b ”，“ab＞1”不是“a ＞b ”的充分条件． 反过来，a ＞b ⇔a －b ＞0，也不能推出a b ＞1⇔a －b b ＞0，“ab ＞1”也不是“a ＞b ”的必要条件．所以“ab ＞1”既不是“a ＞b ”的充分条件，也不是“a ＞b ”的必要条件．第一章常用逻辑用语1.2 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件A级基础巩固一、选择题1．已知集合A为数集，则“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为“A∩{0，1}＝{0}”得不出“A＝{0}”，而“A＝{0}”能得出“A∩{0，1}＝{0}”，所以“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．答案：B2．“x2＞2 013”是“x2＞2 012”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由于“x2＞2 013”时，一定有“x2＞2 012”，反之不成立，所以“x2＞2 013”是“x2＞2 012”的充分不必要条件．答案：A3．在等比数列{an}中，a1＝1，则“a2＝4”是“a3＝16”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：数列{an}中，a1＝1，a2＝4，则a3＝16成立，反过来若a1＝1，a3＝16，则a2＝±4，故不成立，所以“a 2＝4”是“a 3＝16”的充分不必要条件．答案：A4．“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相垂直”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相垂直的充要条件是(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，即(m ＋2)(4m －2)＝0. 所以m ＝－2，或m ＝12.故为充分不必要条件． 答案：B5．已知条件p ：x 2－3x －4≤0；条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是( )A ．[－1，1]B ．[－4，4]C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：p ：－1≤x ≤4，q ：3－m ≤x ≤3＋m (m >0)或3＋m ≤x ≤3－m (m <0)， 依题意，⎩⎪⎨⎪⎧m >0，3－m ≤－1，3＋m ≥4，或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，3＋m ≤－1，3－m ≥4，解得m ≤－4或m ≥4. 答案：C 二、填空题6．给定空间中直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的________条件．解析：“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”⇔“直线l 与平面α垂直”． 答案：充要条件7．已知α，β角的终边均在第一象限，则“α>β”是“sin α>sin β”的________(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)．解析：若α＝370°>β＝30°，而sin α<sin β，所以“α>β”推不出“sin α>sinβ”，若sin 30°>sin 370°，而30°<370°，所以sin α>sin β推不出α>β.答案：既不充分也不必要条件8．已知p ：x 2－4x －5>0，q ：x 2－2x ＋1－λ2>0，若p 是q 的充分不必要条件，则正实数λ的取值范围是________．解析：命题p 成立，x 2－4x －5>0，得x >5或x <－1；命题q 成立，x 2－2x ＋1－λ2>0(λ>0)得x >1＋λ或x <1－λ，由于p 是q 的充分不必要条件，所以1＋λ≤5，1－λ≥－1，等号不能同时成立，解得λ≤2，由于λ>0，因此0<λ≤2.答案：(0，2] 三、解答题9．已知条件p ：|x －1|＞a 和条件q ：2x 2－3x ＋1＞0，求使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a .解：依题意a ＞0.由条件p ：|x －1|＞a 得x －1＜－a ，或x －1＞a ，所以x ＜1－a ，或x ＞1＋a ，由条件q ：2x 2－3x ＋1＞0得x ＜12，或x ＞1.要使p 是q 的充分不必要条件，即“若p ，则q ”为真命题，逆命题为假命题，应有⎩⎨⎧1－a ≤12，1＋a ≥1，解得a ≥12. 令a ＝1，则p ：x ＜0，或x ＞2， 此时必有x ＜12，或x ＞1.即p ⇒q ，反之不成立．所以，使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a ＝1.10．已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0. 证明：(1)必要性．因为a ＋b ＝1，所以a ＋b －1＝0.所以a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝ (a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0. (2)充分性．因为a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0， 即(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0. 又ab ≠0，所以a ≠0且b ≠0. 因为a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2＞0.所以a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0B 级 能力提升1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≤1，ax 2＋x ，x ＞1，则“a ≤－2”是“f (x )在R 上单调递减”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：C2．设集合A ＝{x |x (x －1)＜0}，B ＝{x |0＜x ＜3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)．解析：由于A ＝{x |0＜x ＜1}，则A ⊆B ，所以“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．答案：充分不必要3．已知P ＝{x |x 2－8x －20 ≤0}，S ＝{x ||x －1|≤m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？若存在，求出m 的范围． (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件？若存在，求出m 的范围． 解：(1)由题意x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S . 由x 2－8x －20≤0⇒－2≤x ≤10， 所以P ＝[－2，10]．由|x －1|≤m ⇒1－m ≤x ≤1＋m ， 所以S ＝[1－m ，1＋m ]．要使P ＝S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，所以这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P . 由|x －1|≤m ，可得1－m ≤x ≤m ＋1，要使S ⊆P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以m ≤3.故m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．第一章常用逻辑用语1.3 简单的逻辑联结词A级基础巩固一、选择题1．已知命题p：3≥3，q：3>4，则下列判断正确的是()A．p∨q为真，p∧q为真，綈p为假B．p∨q为真，p∧q为假，綈p为真C．p∨q为假，p∧q为假假，綈p为假D．p∨q为真，p∧q为假，綈p为假解析：因为p为真命题，q为假命题，所以p∨q为真，p∧q为假，綈p为假，应选D。