2020-2021学年北京交大附中九年级下开学练习-教师版

北京市中国人民大学附属中学2020-2021学年下学期九年级数学限时练习8一、选择题(本题共16分，每小题2分)第1~8题均有四个选项，每小题有且仅有一个选项是正确的1．下列几何体中，三视图完全相同的是（）A．圆锥B．圆柱C．球D．三棱柱2．实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示，以下各式中值最大的是（）A．|a+b+c|B．|a+b﹣c|C．|a﹣b+c|D．|a﹣b﹣c|3．如图，四边形ABCD中，∠1、∠2、∠3分别为∠BAD、∠ABC、∠BCD的外角，下列判断正确的是（）A．∠1+∠3＝∠ABC+∠D B．∠1+∠3＝180°C．∠2＝∠D D．∠1+∠2+∠3＝360°4．在经过长达3个月的火星停泊轨道运行探测后，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器于2021年5月15日稳稳降落在火星乌托邦平原南部的预选着陆区，迈出了我国星际探测征程的重要一步，火星作为地球的近邻，到地球的最近距离约为5500万千米，将5500万用科学记数法表示应为（）A．5.5×103B．5.5×106C．5.5×107D．5.5×10105．已知△ABC与△DEF全等，点A，B，C的对应点分别为D，E，F，点E在AC边上，B，F，C，D四点在同一条直线上．若∠A＝40°，∠CED＝35°，则以下说法正确的是（）A．EF＝EC，AE＝FC B．EF＝EC，AE≠FCC．EF≠EC，AE＝FC D．EF≠EC，AE≠FC6．心理学家找了1000位受试者进行暗室实验．每位受试者都要观看并辨别6、8、9三张数字卡，发现将实际数字看成某个数字的概率如表：689其他看成数字实际数字60.40.30.20.180.30.40.10.290.20.20.50.1例如：实际数字是6被看成6、8、9的概率分别为0.4、0.3、0.2，而被看成其他数字的概率是0.1．根据表中的数据，下列说法中正确的是（）A．如果可实际数字是8，则至少有一半的可能性会被看成8B．在数字6、8、9中，被误认的可能性以8最低C．如果被看成的数字是6，则实际上就是6的可能性不到一半D．如果被看成的数字是9，则实际上就是9的可能性超过7．如图，锐角△ABC中，点D在BC边上，∠B＝∠BAD＝∠CAD．现需在线段AD上作点P，使得∠APC＝∠ADB，以下是甲、乙两人的作法：甲：作AC的中垂线交AD于点P，点P即为所求作点；乙：以C为圆心，CD长为半径画弧，交AD于点P（异于点D），点P即为所求作点；对于甲、乙两人的作法，以下判断正确的是（）A．两人都正确B．两人都错误C．只有甲正确D．只有乙正确8．如图，△ABC中AB＞BC＞CA，现将△ABC绕点C顺时针旋转，使得点A'在BC的延长线上，B的对应点为B'．记旋转前后三角形的内心分别为I，I'，旋转前后三角形的外心分别为O，O'，则以下说法正确的是（）A．II'∥BC B．OO'∥BC C．IC∥I'A'D．OC∥O'A'二、填空题(本题共16分，每小题2分)9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．写出一个二元一次方程，使得是该二元一次方程的一组解：．11．如果n＝4m≠0，那么代数式•（2m+n）的值是．12．将一次函数y＝x的图象平移后经过点（0，3），这个平移变换可以是竖直向上平移3个单位也可以是水平．13．如图，已知平行四边形ABCD，通过测量、计算得平行四边形ABCD的面积约为cm2．（结果保留一位小数）14．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与双曲线y＝交于点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1﹣x2＝4，则y1﹣y2的值为．15．如图，点A的坐标是（1，1），点B的坐标是（4，2），横、纵坐标都是整数的点叫做整点，利用图中网格，满足∠ACB＝45°的整点C的个数为．16．设四位候选人ABCD，共五人进行投票，每张选票按照偏好度对候选人进行排序，例如选票“ABCD”表示对四位候选人的偏好度从高到低依次为A＞B＞C＞D．最后综合五张选票形成排序结果，规则如下：对于任意两名候选人M，N，比较选票中M和N的偏好度，若偏好M的人更多，那么在最终排序结果中M在N之前．已知前四张选票依次为：ACBD、ABDC、BCAD、CDBA，并且最终排序结果为ABCD，那么第五张选票的情形可能为．（写出一种满足条件的情形即可）三、解答题(本题共68分，第17-19题，每小题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23-24题，每小题5分，第25-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分)17．计算：（）﹣1+||﹣（π﹣3.14）0+3tan30°．18．解方程：﹣＝119．解不等式组：．20关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．21下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．已知：⊙O和圆外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：①连接OP；②以OP为直径作OM，交⊙O于点A，B；③作直线P A，PB；所以直线P A，PB为⊙O的切线．根据小文设计的作图过程，完成下面的证明．证明：连接OA，OB．∵OP为OM的直径，∴∠OAP＝∠＝°（）（填推理的依据）．∴OA⊥AP，⊥BP．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线P A，PB为⊙O的切线（）（填推理的依据）．22如图，四边形ABCD是矩形，对角线相交于点O，点E为线段AO上一点（不含端点），点F是点E关于AD的对称点，连接CF与BD相交于点G．（1）证明：AF∥BD；（2）若OG＝1，OE＝2．求BD的长．23在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+b经过点（0，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＜4时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+b的值与函数y＝kx﹣k的值之和都大于0，直接写出k的取值范围．24一家公司打算招聘若干英文翻译，现有30位应试者进行了听说能力和读写能力两项测试，他们的成绩（百分制）如图所示．（1）若按照听说测试和读写测试的总成绩将30位应试者分为两组，合理的分类方式应为直线．（填“l1”或“l2”）（2）听说和读写测试成绩之和靠前的15位应试者为第Ⅰ组，靠后的15位应试者为第Ⅱ组，记第Ⅰ组的平均成绩为x1，第Ⅱ组的平均成绩为y1，若将第Ⅰ组的后三名调至第Ⅱ组后，第Ⅰ组的平均成绩变为x2，第Ⅱ组的平均成绩为变y2，则，x1x2，y1y2（填“＞”“＜”或“＝”）．（3）下列推断合理的是．（填写所有合理推断的序号）①30位应试者听说能力测试成绩的中位数小于读写能力测试成绩的中位数；②若公司分别赋予听说能力和读写能力7和3的权，那么应试者A加权后的成绩低于应试者B；③若公司招聘了应试者C，建议公司通过培训提高该应试者的听说能力；④图中矩形框中应试者读写能力测试成绩的方差大于听说能力测试成绩的方差．25如图，过⊙O外一点C作⊙O的切线CB，CD，切点分别为点B，D，直径AB的长为4，BC＝2，连接OC，AD．（1）求证：四边形OADC是平行四边形；（2）点G为半径OB上一点，连接CG交⊙O于E，延长CG交⊙O于F，当EF＝AD 时，求OG的长．26已知抛物线C1：y1＝x2﹣x+c．（1）直接写出抛物线C1的顶点坐标（用含c的式子表示）；（2）将抛物线C1平移得抛物线C2：y2＝a（x﹣h）2，若2＜x≤m时y2≤x恒成立，求m 的最大值．27四边形ABCD是平行四边形，E是边BC上一点，＝k，点F在BC的延长线上，且CF＝CE，连接AF交CD于点M，连接AE交DC延长线于N．（1）如图1，∠B＝90°，k＝1，①依题意补全图形；②求的值；（2）写出一个k的值，使得对于任意的平行四边形ABCD总有DM＝CN，并证明．28对于平面直角坐标系xOy中的任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），我们定义：d1（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，d2（M，N）＝，我们将d1（M，N），d2（M，N）分别称作两点M、N间的“Ⅰ型距离”和“Ⅱ型距离”．（1）已知A（﹣1，0），B（0，）①A，B间的“Ⅰ型距离”是；A，B间的“Ⅱ型距离”是；②点M，N是直线AB上任意两点，求的值；（2）直线l：y＝kx+b（k＞0）和抛物线C：y＝kx2+b在y轴右侧交于点P，若存在直线l上一点Q（x1，y1）（x1＜1）和抛物线C上一点R（x2，y2）（x2＞1），使得d1（P，Q）＝d1（P，R）且d2（P，Q）＝d2（P，R），直接写出k的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列几何体中，三视图完全相同的是（）A．圆锥B．圆柱C．球D．三棱柱【分析】根据各种几何体的三视图的形状进行判断即可．【解答】解：A．圆锥的主视图为三角形，左视图为三角形，俯视图为圆形，因此选项A 不符合题意；B．圆柱的主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是圆形，因此选项B不符合题意；C．球的主视图是圆，左视图是圆，俯视图是圆，因此选项C符合题意；D．三棱柱的主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是三角形，因此选项D不符合题意；故选：C．2．实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示，以下各式中值最大的是（）A．|a+b+c|B．|a+b﹣c|C．|a﹣b+c|D．|a﹣b﹣c|【分析】结合数轴及有理数加减法的运算法则和绝对值的意义分析求解．【解答】解：由题意可得：a＜b＜0＜c，∴a+b﹣c的结果是最小的，其绝对值最大，故选：B．3．如图，四边形ABCD中，∠1、∠2、∠3分别为∠BAD、∠ABC、∠BCD的外角，下列判断正确的是（）A．∠1+∠3＝∠ABC+∠D B．∠1+∠3＝180°C．∠2＝∠D D．∠1+∠2+∠3＝360°【分析】由平角的定义得到，∠1+∠DAB＝180°，∠3+∠BCD＝180°，即∠1+∠3+∠DAB+∠BCD＝360°，再根据四边形的内角和是360°，等量代换即可得解．【解答】解：∵∠1+∠DAB＝180°，∠3+∠BCD＝180°，∴∠1+∠3+∠DAB+∠BCD＝360°，∵∠ABC+∠BCD+∠D+∠DAB＝360°，∴∠1+∠3＝∠ABC+∠D，故A符合题意；∵∠1+∠3只有∠ABC和∠D互补时才等于180°，故B不符合题意；∵只有∠ABC和∠D互补时，∠2＝∠D，故C不符合题意；∵多边形的外角和是360°，∴∠1+∠2+∠3＜360°，故D不符合题意；故选：A．4．在经过长达3个月的火星停泊轨道运行探测后，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器于2021年5月15日稳稳降落在火星乌托邦平原南部的预选着陆区，迈出了我国星际探测征程的重要一步，火星作为地球的近邻，到地球的最近距离约为5500万千米，将5500万用科学记数法表示应为（）A．5.5×103B．5.5×106C．5.5×107D．5.5×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：5500万＝55000000＝5.5×107，故选：C．5．已知△ABC与△DEF全等，点A，B，C的对应点分别为D，E，F，点E在AC边上，B，F，C，D四点在同一条直线上．若∠A＝40°，∠CED＝35°，则以下说法正确的是（）A．EF＝EC，AE＝FC B．EF＝EC，AE≠FCC．EF≠EC，AE＝FC D．EF≠EC，AE≠FC【分析】根据全等三角形的性质得出对应边相等好对应角相等解答即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，∵∠A＝40°，∠CED＝35°，∴∠D＝40°，∴∠ACB＝40°+35°＝75°，∴∠B＝180°﹣40°﹣75°＝65°，∴∠EFD＝∠BCA＝75°，∴EF＝EC，∴BC＝EF＝EC，∴得不出AE＝FC，故选：B．6．心理学家找了1000位受试者进行暗室实验．每位受试者都要观看并辨别6、8、9三张数字卡，发现将实际数字看成某个数字的概率如表：689其他看成数字实际数字60.40.30.20.180.30.40.10.290.20.20.50.1例如：实际数字是6被看成6、8、9的概率分别为0.4、0.3、0.2，而被看成其他数字的概率是0.1．根据表中的数据，下列说法中正确的是（）A．如果可实际数字是8，则至少有一半的可能性会被看成8B．在数字6、8、9中，被误认的可能性以8最低C．如果被看成的数字是6，则实际上就是6的可能性不到一半D．如果被看成的数字是9，则实际上就是9的可能性超过【分析】利用表格中的概率数据分析各个选项得出答案即可；【解答】解：由表得：A．如果可实际数字是8，则实际上就被看成8的概率是0.4＜，故此说法错误，不符合题意；B．在数字6、8、9中，6被误认的可能性是1﹣0.4＝0.6，在数字6、8、9中，8被误认的可能性是1﹣0.4＝0.6，在数字6、8、9中，9被误认的可能性是1﹣0.5＝0.5，∴被误认的可能性以9最低，故此说法错误，不符合题意；C．如果被看成的数字是6，则实际上就是6的可能性的概率是0.4＜，故此说法正确，符合题意；D．如果被看成的数字是9，则实际上就是9的可能性是＜，故此说法错误，不符合题意；故选：C．7．如图，锐角△ABC中，点D在BC边上，∠B＝∠BAD＝∠CAD．现需在线段AD上作点P，使得∠APC＝∠ADB，以下是甲、乙两人的作法：甲：作AC的中垂线交AD于点P，点P即为所求作点；乙：以C为圆心，CD长为半径画弧，交AD于点P（异于点D），点P即为所求作点；对于甲、乙两人的作法，以下判断正确的是（）A．两人都正确B．两人都错误C．只有甲正确D．只有乙正确【分析】设∠B＝∠BAD＝∠CAD＝α，利用甲的作法得到图1，根据线段垂直平分线的性质得到P A＝PC，则∠PCA＝∠P AC＝α，则根据三角形内角和可证明∠APC＝∠ADB，于是可判断甲的作法正确；利用乙的作法得到图2，根据等腰腰三角形的性质得到∠CDP ＝∠CPD，然后根据等角的补角相等可判断乙的作法正确．【解答】解：设∠B＝∠BAD＝∠CAD＝α，根据甲的作法得到图1，∵P点在AC的垂直平分线上，∴P A＝PC，∴∠PCA＝∠P AC＝α，∴∠APC＝180°﹣∠P AC﹣∠PCA＝180°﹣2α，∵∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣2α，∴∠APC＝∠ADB，所以甲的作法正确；根据乙的作法得到图2，∵CD＝CP，∴∠CDP＝∠CPD，∴∠APC＝∠ADB，所以乙的作法正确．故选：A．8．如图，△ABC中AB＞BC＞CA，现将△ABC绕点C顺时针旋转，使得点A'在BC的延长线上，B的对应点为B'．记旋转前后三角形的内心分别为I，I'，旋转前后三角形的外心分别为O，O'，则以下说法正确的是（）A．II'∥BC B．OO'∥BC C．IC∥I'A'D．OC∥O'A'【分析】如图，过点I作ID⊥BC于D，I′D′⊥CA′于D′．证明四边形IDD′I是平行四边形，推出II′∥BC，可得结论．【解答】解：如图，过点I作ID⊥BC于D，I′D′⊥CA′于D′，连接II′．∵旋转前后三角形的内心分别为I，I'，∴ID＝I′D′，∵ID∥I′D′，∴四边形IDD′I是平行四边形，∴II′∥BC，故选：A．二．填空题（共8小题）9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x＞0．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0求解可得．【解答】解：根据题意，得．解得x＞0．故答案是：x＞0．10．写出一个二元一次方程，使得是该二元一次方程的一组解：x+y＝3（答案不唯一）．【分析】利用方程的解构造一个等式，然后将数值换成未知数即可．【解答】解：例如1+2＝3；将数字换为未知数，得x+y＝3．答案不唯一．再如x﹣y＝﹣1等等．故答案为：x+y＝3（答案不唯一）．11．如果n＝4m≠0，那么代数式•（2m+n）的值是．【分析】利用平方差公式先将分母分解因式，然后即可将所求式子化简，再将n＝4m≠0代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：•（2m+n）＝•（2m+n）＝，当n＝4m≠0时，原式＝＝＝，故答案为：．12．将一次函数y＝x的图象平移后经过点（0，3），这个平移变换可以是竖直向上平移3个单位也可以是水平向左移动个单位．【分析】设水平向右平移a个单位，则平移后直线方程是y＝（x﹣a），将（0，3）代入求得a的值即可．【解答】解：设水平向右平移a个单位，则平移后直线方程是y＝（x﹣a），把（0，3）代入，得3＝（0﹣a），解得a＝﹣．即将一次函数y＝x的图象水平向左移动个单位后经过（0，3），故答案是：向左移动个单位．13．如图，已知平行四边形ABCD，通过测量、计算得平行四边形ABCD的面积约为 5.0 cm2．（结果保留一位小数）【分析】过点D作DE⊥BC于点E，测量出BC，DE的长，再利用平行四边形的面积公式即可求出▱ABCD的面积．【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥BC于点E，经测量DE＝1.8cm，BC＝2.8cm，S▱ABCD＝BC•DE＝2.8×1.8＝5.04≈5.0（cm2），故答案为：5.0．14．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与双曲线y＝交于点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1﹣x2＝4，则y1﹣y2的值为4．【分析】利用反比例函数和一次函数y＝x+b的性质判断点A和点B关于直线y＝﹣x对称，然后根据关于直线y＝﹣x对称的点的坐标特征得出x1＝﹣y2，y1＝﹣x2，即可求得y1﹣y2的值．【解答】解：∵直线y＝x+b与双曲线y＝关于直线y＝﹣x对称，∴点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y＝﹣x对称，∴x1＝﹣y2，y1＝﹣x2，∵x1﹣x2＝4，∴y1﹣y2＝﹣x2﹣（﹣x1）＝4；综上，y1﹣y2的值为4，故答案为4．15．如图，点A的坐标是（1，1），点B的坐标是（4，2），横、纵坐标都是整数的点叫做整点，利用图中网格，满足∠ACB＝45°的整点C的个数为4．【分析】根据等腰直角三角形的锐角是45度，以AB为直角边画出等腰直角三角形可解答．【解答】解：如图，满足∠ACB＝45°的整点C的个数有4个；故答案为：4．16．设四位候选人ABCD，共五人进行投票，每张选票按照偏好度对候选人进行排序，例如选票“ABCD”表示对四位候选人的偏好度从高到低依次为A＞B＞C＞D．最后综合五张选票形成排序结果，规则如下：对于任意两名候选人M，N，比较选票中M和N的偏好度，若偏好M的人更多，那么在最终排序结果中M在N之前．已知前四张选票依次为：ACBD、ABDC、BCAD、CDBA，并且最终排序结果为ABCD，那么第五张选票的情形可能为ABCD或ABDC．（写出一种满足条件的情形即可）【分析】设出四个位置的偏好度，计算偏好度总和，根据最后排序判断第五张票的可能性．【解答】解：设每张选票左起第一位置的偏好度为a，第二个位置的偏好度为b，第三个位置的偏好度为c，第四个位置的偏好度为d，由题意知，a＞b＞c＞d，∴前四张票中A的偏好度为：2a+c+d，B的偏好度为：a+b+2c，C的偏好度为：a+2b+d，D的偏好度为：b+c+2d，要使最终排序结果为ABCD，则，①第五张票可以是ABCD，此时A：3a+c+d＞B：a+b+2c+d＞C：a+2b+c+d＞D：b+c+3d；②第五张票还可以是ABDC，此时A：3a+c+d＞B：a+2b+2c＞C：a+2b+2d＞D：b+2c+2d；∴第五张票的可能情形为ABCD或ABDC，故答案为：ABCD或ABDC．三．解答题17．计算：（）﹣1+||﹣（π﹣3.14）0+3tan30°．【分析】先进行负整数指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角三角函数的计算，再进行加减运算即可．【解答】解：原式＝4+2﹣﹣1+3×＝8﹣＝8．18．解方程：﹣＝1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x2﹣8＝x2﹣2x，即x2+2x﹣8＝0，分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0，解得：x＝2或x＝﹣4，经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣4．19．解不等式组：．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：，解不等式①，得x＞﹣3，解不等式②，得x≤2，∴原不等式组的解为：﹣3＜x≤2．20关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．【考点】根的判别式．【专题】一元二次方程及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；（2）根据题意得到x＝1和x＝m+2是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m 的最小值．【解答】（1）证明：依题意，得△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝m2+6m+9﹣4m﹣8＝（m+1）2．∵（m+1）2≥0，∴△≥0．∴方程总有两个实数根．（2）解：解方程，得x1＝1，x2＝m+2，∵方程的两个实数根都是正整数，∴m+2≥1．∴m≥﹣1．∴m的最小值为﹣1．21下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．已知：⊙O和圆外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：①连接OP；②以OP为直径作OM，交⊙O于点A，B；③作直线P A，PB；所以直线P A，PB为⊙O的切线．根据小文设计的作图过程，完成下面的证明．证明：连接OA，OB．∵OP为OM的直径，∴∠OAP＝∠＝°（）（填推理的依据）．∴OA⊥AP，⊥BP．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线P A，PB为⊙O的切线（）（填推理的依据）．【考点】作图—复杂作图．【专题】作图题；应用意识．【答案】见试题解答内容【分析】根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可．【解答】证明：连接OA，OB．∵OP为OM的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝90°（直径所对的圆周角是直角）．∴OA⊥AP，OB⊥BP．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线P A，PB为⊙O的切线（过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线）．故答案为：OBP，90，直径所对的圆周角是直角，OB，过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线．22如图，四边形ABCD是矩形，对角线相交于点O，点E为线段AO上一点（不含端点），点F是点E关于AD的对称点，连接CF与BD相交于点G．（1）证明：AF∥BD；（2）若OG＝1，OE＝2．求BD的长．【考点】矩形的性质；轴对称的性质．【专题】矩形菱形正方形；应用意识．【答案】（1）证明见解答；（2）BD＝8．【分析】（1）根据矩形的性质和翻折的性质即可得出结论；（2）根据O是AC的中点，利用中位线性质求出AF，再求出OA即可．【解答】解：（1）∵点F是点E关于AD的对称点，∴∠EAD＝∠F AD，AE＝AF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠F AD＝∠ODA，∴AF∥BD；（2）∵O是矩形ABCD的对角线的交点，∴O是AC的中点，∵AF∥BD，∴G为CF的中点，∴OG是△CAF的中位线，∴AF＝2OG＝2×1＝2，∴AE＝2，∵OE＝2，∴OA＝4，∴AC＝2OA＝8，∴BD＝AC＝8．23在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+b经过点（0，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＜4时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+b的值与函数y＝kx﹣k的值之和都大于0，直接写出k的取值范围．【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式．【专题】待定系数法；推理能力．【答案】（1）y＝﹣x+2，（2）＜k＜1．【分析】（1）根据点（0，2）在一次函数图象上，用待定系数法代入求解即可；（2）根据题意列出不等式（k﹣1）x+2﹣k＞0，因为不等式的解包含x＜4，所以k﹣1＜0、＞4，求解即可．【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+b经过点（0，2），∴将点（0，2）代入y＝﹣x+b，得b＝2，∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+2．（2）令y1＝﹣x+2，y2＝kx﹣k，∴y1+y2＝﹣x+2+kx﹣k＝（k﹣1）x+2﹣k，∵当x＜4时，（k﹣1）x+2﹣k＞0，∴k﹣1＜0，解得k＜1，解（k﹣1）x+2﹣k＞0，得x＜，∴＞4，∴解得k＞，综上，k的取值范围是＜k＜1．24一家公司打算招聘若干英文翻译，现有30位应试者进行了听说能力和读写能力两项测试，他们的成绩（百分制）如图所示．（1）若按照听说测试和读写测试的总成绩将30位应试者分为两组，合理的分类方式应为直线．（填“l1”或“l2”）（2）听说和读写测试成绩之和靠前的15位应试者为第Ⅰ组，靠后的15位应试者为第Ⅱ组，记第Ⅰ组的平均成绩为x1，第Ⅱ组的平均成绩为y1，若将第Ⅰ组的后三名调至第Ⅱ组后，第Ⅰ组的平均成绩变为x2，第Ⅱ组的平均成绩为变y2，则，x1x2，y1y2（填“＞”“＜”或“＝”）．（3）下列推断合理的是．（填写所有合理推断的序号）①30位应试者听说能力测试成绩的中位数小于读写能力测试成绩的中位数；②若公司分别赋予听说能力和读写能力7和3的权，那么应试者A加权后的成绩低于应试者B；③若公司招聘了应试者C，建议公司通过培训提高该应试者的听说能力；④图中矩形框中应试者读写能力测试成绩的方差大于听说能力测试成绩的方差．【考点】加权平均数；中位数；方差．【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．【答案】（1）l1；（2）＜，＜；（3）①③．【分析】（1）观察矩形中30位应试者的成绩分布情况，横轴表示应试者读写能力测试成绩，纵轴表示听说能力测试成绩，可以看出这30位应试者的成绩大部粉分布在直线l1附近；（2）将第Ⅰ组的后三名调至第Ⅱ组后，第Ⅰ组的平均成绩会增大，第Ⅱ组的平均成绩也会增大；（3）观察图像结合中位数、加权平均数及方差的意义进行推导，即可得出相关的结论．【解答】解：（1）由图可以看出这30位应试者的成绩大部粉分布在直线l1附近，∴合理的分类方式应为直线l1，故答案为：l1．（2）将第Ⅰ组的后三名调至第Ⅱ组后，第Ⅰ组的平均成绩会增大，第Ⅱ组的平均成绩也会增大，即x1＜x2，y1＜y2，故答案为：x1＜x2，y1＜y2．（3）由图可知，30位应试者听说能力测试成绩的中位数介于60分到70分之间，他们读写能力测试成绩的中位数介于70分到80分之间，∴30位应试者听说能力测试成绩的中位数小于读写能力测试成绩的中位数，故①符合题意；由图可以看出应试者A听说能力强于应试者B的听说能力，他们两人之的读写能力差的不多，若公司分别赋予听说能力和读写能力7和3的权，那么应试者A加权后的成绩高于应试者B，故②不符合题意；由图可以看出应试者C的听说能力在60分左右、其读写能力在90分左右，若公司招聘了应试者C，建议公司通过培训提高该应试者的听说能力，故③符合题意；由图可看出应试者其听说能力测试成绩集中在50分到60分，其读写能力测试成绩分布较听说能力成绩而言稍均匀，图中矩形框中应试者读写能力测试成绩的方差小于听说能力测试成绩的方差，故④不符合题意；故答案为：①③．25如图，过⊙O外一点C作⊙O的切线CB，CD，切点分别为点B，D，直径AB的长为4，BC＝2，连接OC，AD．（1）求证：四边形OADC是平行四边形；（2）点G为半径OB上一点，连接CG交⊙O于E，延长CG交⊙O于F，当EF＝AD 时，求OG的长．【考点】平行四边形的判定与性质；切线的性质．【专题】综合题；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】2﹣2．【分析】（1）连接OD，根据切线长定理得到CD＝CB，证明四边形OBCD是菱形，得到CD＝OB＝OA，CD∥OA，从而得到四边形OADC是平行四边形；（2）过点O分别作OM⊥CF于点M，ON⊥DA与点N，证明∠OCM＝30°，作GK⊥CO于点K，设GK＝a，可得a+a＝2，求出a的值，即可得出OG的长．【解答】（1）解：连接OD，∵CB、CD为⊙O的切线，∴CD＝CB，∵AB＝4，BC＝2，∴CB＝BO＝OD＝CD＝2，∴四边形OBCD是菱形，∴CD＝OB＝OA，CD∥OA，∴四边形OADC是平行四边形；（2）解：过点O分别作OM⊥CF于点M，ON⊥DA与点N，∵EF＝AD，∴OM＝ON＝，∴OC＝2OM，在Rt△COM中，sin∠OCM＝＝，∴∠OCM＝30°，作GK⊥CO于点K，设GK＝a，则OK＝GK＝a，CG＝2GK＝2a，CK＝a，∵CK+OK＝OC，∴a+a＝2，解得：a＝，∵△OGK为等腰直角三角形，∴OG＝GK＝a＝（）＝2﹣2．∴OG的长为2﹣2．26已知抛物线C1：y1＝x2﹣x+c．（1）直接写出抛物线C1的顶点坐标（用含c的式子表示）；（2）将抛物线C1平移得抛物线C2：y2＝a（x﹣h）2，若2＜x≤m时y2≤x恒成立，求m 的最大值．【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数与不等式（组）．【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；应用意识．【答案】（1）（1，）；（2）m的最大值为8．【分析】（1）把抛物线的一般式化为顶点式，即可求顶点坐标；（2）将抛物线C1平移得抛物线C2：y2＝a（x﹣h）2得出a＝，令y3＝x，设其图象与抛物线C2交点的横坐标为x0，x0′，且x0＜x0′，观察图象，随着抛物线C2的不断平移，x0，x0′的值不断增大，当满足2＜x≤m时y2≤x恒成立，m的最大值在x0′处取得，可得：x0＝2时，所对应的x0′既为m的最大值．【解答】解：（1）∵y1＝x2﹣x+c＝（x﹣1）2+，∴抛物线C1的顶点坐标（1，），故答案为：（1，）；（2）∵将抛物线C1平移得抛物线C2：y2＝a（x﹣h）2，∴a＝，∴抛物线C2：y2＝（x﹣h）2，令y3＝x，设其图象与抛物线C2交点的横坐标为x0，x0′，且x0＜x0′，∵抛物线C2可以看作抛物线y＝x2左右平移得到的，观察图象，随着抛物线C2的不断平移，x0，x0′的值不断增大，∴当满足2＜x≤m时y2≤x恒成立，m的最大值在x0′处取得，可得：x0＝2时，所对应的x0′既为m的最大值，于是，将x0＝2代入（x﹣h）2＝x，有（2﹣h）2＝2，解得：h＝4或h＝0（舍去），∴y2＝（x﹣4）2，此时，y2＝y3，得（x﹣4）2＝x，解得：x0＝2，x0′＝8，∴m的最大值为8．27四边形ABCD是平行四边形，E是边BC上一点，＝k，点F在BC的延长线上，且CF＝CE，连接AF交CD于点M，连接AE交DC延长线于N．（1）如图1，∠B＝90°，k＝1，①依题意补全图形；②求的值；（2）写出一个k的值，使得对于任意的平行四边形ABCD总有DM＝CN，并证明．【考点】几何变换综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【答案】（1）①作图见解析部分．②．（2）当k＝时，对于任意的平行四边形ABCD总有DM＝CN．证明见解析部分．【分析】（1）①根据要求作出图形即可．②首先证明AB＝CN＝CD，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（2）当k＝时，对于任意的平行四边形ABCD总有DM＝CN．再利用平行线分线段成比例定理，证明＝，可得结论．【解答】解：（1）①如图，图形即为所求．②∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∠B＝∠BCD＝∠ECN＝90°，∵∠AEB＝∠CEN，BE＝EC，∴△ABE≌△NCE（ASA），∴CN＝AB，∴CN＝CD，∵AD∥CF，CF＝CE＝BC＝AD，∴＝2，∴＝，∴＝．（2）如图2中，设EC＝CF＝a．。

交大附中2020~2021学年度第一学期12月月考练习（考试时间120分钟 满分100分）一、单项选择题（本题共16分，每小题2分） 1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（A ） （B ） （C ） （D ） 2．抛物线2(2)+1y x =-的顶点坐标是（A ）(2，1) （B ）(-2，1) （C ）(-2，-1) （D ）(1，2) 3. 抛物线y ＝223ax ax a --的对称轴是（A ） 直线 x a = （B ）直线2x a = （C ）直线 1=x （D ）直线 1-=x 4．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是圆上两点，且126AOC ∠=︒，则CDB ∠等于第4题图 第6题图 （A ）27︒（B ）37︒（C ）54︒（D ）64︒5．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（A ）（B ）（C ）（D ）6．如图，在正方形网格中，△MPN 绕某一点旋转某一角度得到△M´P´N´，则旋转中心可能是（A ）点A （B ）点B （C ）点C （D ）点D7．已知⊙O 1, ⊙O 2, ⊙O 3是等圆，△ABP 内接于⊙O 1,点C ， E 分别在⊙O 2, ⊙O 3上．如图，①以C 为圆心，AP 长为半径作弧交⊙O 2于点D ,连接CD ；②以E 为圆心，BP 长为半径作弧交⊙O 3于点F ,连接EF ； 下面有四个结论： ①CD EF AB += ②CD EF AB +=③∠CO 2D +∠EO 3F =∠AO 1B ④∠CDO 2+∠EFO 3 =∠P 所有正确结论的序号是（A ）①②③④ （B ）①②③ （C ）②④ （D ）②③④ 8．如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A ，B 两点，D 是以点C （0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段 AD 的中点，连接OE ，BD ，则线段OE 的最小值是（A ）2 （B ）322 （C ）52（D ）3 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 第8题图 9．点（-1，-3）关于原点的对称点的坐标为_____．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，射线l 的端点为（0，1），l ∥x 轴，请写出一个图象与射线l 有公共点的反比例函数的表达式：_____．11． 反比例函数2y x=的图象经过12(2,),(3,)y y 两点，则1y ______2y .（填“>”，“=”或“<”） 12．如果关于x 的一元二次方程210ax bx +-=的一个解是1x =，则2021a b --=_______.13．如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D ．若AC ＝BD ＝1，∠A ＝45°，则CD 的长度为_____．14．抛物线223y ax ax 与x 轴交于两点，分别是是（m ，0），（n ，0），则m +n 的值为_____． 15． 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ABC ＝60°，AB ＝2，分别以点A 、C 为圆心，以AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）16．已知二次函数1-2+)+(-=2a a x y （a 为常数），当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a 取四个不同数值时此二次函数的图象．发现它们的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是 .三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17．解一元二次方程：2230x x --=．18．下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程.已知：如图1，⊙O 及⊙O 上一点P ．求作：直线PQ ，使得PQ 与⊙O 相切． 作法：如图2，图1OPODCB A①连接PO 并延长交⊙O 于点A ；②在⊙O 上任取一点B （点P ，A 除外），以点B 为圆心， BP 长为半径作⊙B ，与射线PO 的另一个交点为C ； ③连接CB 并延长交⊙B 于点Q ； ④作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线． 根据小石设计的尺规作图的过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．证明：∵CQ 是⊙B 的直径，∴CPQ ∠= °（ ）（填推理的依据）. ∴OP PQ ⊥.又∵OP 是⊙O 的半径，∴PQ 是⊙O 的切线（ ）（填推理的依据）. 19．在平面直角坐标系xoy 中，直线4-+=x y 与反比例函(0)ky k x=≠图象的一个交点为(2)A a ，， 求k 的值．20．如图，△ABC 为等边三角形，将BC 边绕点B 顺时针旋转30°，得到线段BD ，连接AD ，CD ，求∠ADC 的度数.21．已知一次函数1(0)y kx m k ≠和二次函22(0)y ax bx c a ≠部分自变量和对应的函数值如下表：x … -2 -1 0 1 2 …图2O ABP（1）求2y的表达式；（2）关于x的不等式2ax bx c＞kx m的解集是．22．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5 m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：3=+y mx与x轴交于点C，与反比例函数(0)=≠ky kx的图象交于点A(1，4)和点B．(1) 求m，k的值及点C的坐标；(2) 若点P是x轴上一点，且S△ABP＝5，直接写出点P的坐标．24．如图，B是⊙O的半径OA上的一点（不与端点重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C，D，连接OD.E是⊙O上一点，CE CA=，过点C作⊙O的切线l，连接OE并延长交直线l于点F.（1）①依题意补全图形；y1…0 1 2 3 4 …y2…0 -1 0 3 8 …图1图2ODly1x1OCBA②求证：OFC ODC ∠=∠； （2）连接FB ，若B 是OA 的中点， ⊙O 的半径是4，求FB 的长.25．如图，在矩形ABCD 中， E 是BA 延长线上的定点， M 为BC 边上的一个动点，连接ME ，将射线ME 绕点M 顺时针旋转76，交射线CD 于点F ，连接MD ．小东根据学习函数的经验，对线段BM ，DF ，DM 的长度之间的关系进行了探究. 下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M 在BC 上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM ，DF ，DM 的长度的几组值，如下表：位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 BM /cm 0.00 0.53 1.00 1.69 2.17 2.96 3.46 3.79. 4.00 DF /cm 0.00 1.00 1.74 2.49 2.69 2.21 1.14 0.00 1.00 DM /cm 4.123.613.162.522.091.441.141.021.00在BM ，DF ，DM 的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DF=2cm 时，DM 的长度约为 cm ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx =+经过点(3，3) .(1)用含a 的式子表示b ；(2)直线4+4y x a=+与直线4y=交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；(3)在(2)的条件下，已知点A(1，4)，若抛物线与线段A B恰有一个公共点，直接写出a(a＜0)的取值范围.27．已知∠MON=120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA=OB，点C在线段OB上（不与点O，B重合），连接CA. 将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA´，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA´交于点D.(1)根据题意补全图1；(2)求证：①∠OAC=∠DCB；②CD=CA（提示：可以在OA上截取OE=OC，连接CE）；(3)点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH =2∠DAH，写出你的猜想并证明.28．在平面直角坐标系xOy中，有任意三角形，当这个三角形的一条边上的中线等于这条边的一半时，称这个三角形叫“和谐三角形”，这条边叫“和谐边”，这条中线的长度叫“和谐距离”．（1）已知A（2,0），B（0,4），C（1,2），D（4,1），这个点中，能与点O组成“和谐三角形”的点是_______________，“和谐距离”是___________________________；（2）连接BD，点M，N是BD上任意两个动点（点M，N不重合），点E是平面内任意一点，△EMN是以MN为“和谐边”的“和谐三角形”，直接写出点E的横坐标t的取值范围；（3）已知⊙O的半径为2，点P是⊙O上的一动点，点Q是平面内任意一点，△OPQ是“和谐三角形”，且“和谐距离”是2，请描述出点Q所在位置．备用图图1交大附中2020~2021学年度第一学期12月月考检测九年级数学答案 2020 .12一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17．解:原方程可化为 223x x -=.∴22131x x -+=+. ∴2(1)4x -=.∴1212x x -=-=-或. ∴123,1x x ==-.18．解：（1）补全的图形如右图所示； …… 2分 （2）90，直径所对的圆周角是直角； 经过半径的外端，并且垂直于这条半 径的直线是圆的切线． …… 5分19．解：∵ 直线4-+=x y 与反比例函数ky x=的图象的一个交点为(2)A a ，∴ 4-2+=a ，即2=a …………………………………………………… 3分 ∴ 点A 坐标为（2，2） ∴ 22k=，即4=k ……………………………………………………… 5分 20．解：∵△ABC 为等边三角形，∴AB=BC ，∠ABC=60°．根据题意可知BD =BC ，∠DBC=30°． ∴AB=BD ． ∴∠ABD=90°，∠BDC=75°．∴∠BDA=45°． ∴∠ADC=30°．21．解：（1）根据题意设y 2的表达式为:22(1)1y a x ．把（0，0）代入得a =1．∴22+2y x x ．（2）x ＜-2或x ＞1．22．解：作OD ⊥AB 于E ，交⊙O 于点D ，∴AE =21AB ． ∵AB =8， ∴AE =4．在Rt △AEO 中，AO =5， ∴OE =22OA AE -=3． ∴ED =2．∴筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m .23．解：（1）m=1, C (-3，0)，k=4 ．（2）P (-5，0)，P(-1，0)．24．（1）①依题意补全图形． …………… 1分 ②证明：连接OC ，如图1． ∵半径OA CD ⊥，∴90OBD ∠=°，AD AC =． ∵EC AC =， ∴EC AD =． ∴12∠=∠．∵CF 是⊙O 的切线，OC 是半径， ∴90OCF ∠=°．∴OFC ODC ∠=∠． （2）解法一：过点B 作BG OD ⊥于点G ，如图2． ∵B 是OA 的中点，4OA =， ∴2OB =．∴在BOD Rt △中，60DOB ∠=°． ∵EC AC AD ==，∴60EOC AOC DOA ∠=∠=∠=°． ∴180EOD ∠=°．即点D ，O ，E 在同一条直线上． 在OCF Rt △中，4OC =，可得8OF =． 在OGB Rt △中，2OB =，可得1OG =，3BG =．∴9FG OF OG =+=．在BGF Rt △中，由勾股定理可得221FB =． …………… 6分 解法二：过点F 作FM BO ⊥交BO 的延长线于点M ，如图3（略）． 解法三：过点B 作BG FC ⊥于点G ，如图4（略）．解法四：过点F 作FM BC ⊥交BC 的延长线于点M ，如图5（略）．25．解：答案不唯一．（1）BM ，DF ，DM ． （2）如图所示．lGE DC BOA 图243MlAO BCDEF12图54312A O BCD EFGl43MlAOBCDE F12图3 图4（3）2.98，1.35．26．解：（1）将点（3，3）代入2+=y ax bx ，得9a +3b =3.∴3+1=-b a .（2）令4+4=4+x a ，得=4-x a .∴B 4,4)(-a .（3）312=-或＜-a a . 27．（1）解：补全图形，如图.（2）证明：①根据题意∠ACD =120°.∴∠DCB +∠ACO =60°.∵∠MON =120°，∴∠OAC +∠ACO =60°.∴∠OAC =∠DCB .②在OA 上截取OE =OC ，连接CE .∴∠OEC =30°.∴∠AEC =150°.∴∠AEC=∠CBD.∵OA=OB，∴AE=BC.∴△AEC≌△CBD.∴CD=AC.(3) OH-OC= OA.证明：在OH上截取OF=OC，连接CF，∴△OFC 是等边三角形，FH=OA.∴CF=OC，∠CFH=∠COA=120°.∴△CFH≌△COA.∴∠H=∠OAC.∴∠BCH=60°+∠H =60°+∠OAC.∴∠DCH=60°+∠H +∠DCB=60°+2∠OAC.∵CA=CD，∠ACD=120°，∴∠CAD=30°.∴∠DCH=2∠DAH.28．解：（1）A,B；5； (3)（2）1922t-≤≤； (5)（3）点Q在以点O为圆心，4为半径的圆上；或在以点O为圆心，23为半径的圆上． (7)。

2024北京人大附中初三（下）开学考语文一、基础·运用(共15分)2024年新春，学校开展“新春奋进，鱼跃龙门”综合实践活动，请你完成下列任务。

（一）春节是我国的传统节日，有着深厚的文化和浓浓的情味。

下面是一位同学查的关于“年”的资料，阅读这段文字，完成1-5题。

(共9分)“爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏。

”在大诗人王安石笔下，新年元日热闹欢乐万象更新的蓬勃景象呈现在我们眼前。

春节起源于殷商时期年头岁尾的祭神祭祖活动，是中国最盛大、最热闹、最重要的一个古老传统节日。

在中国民间，传统意义上的春节从腊月二十三或二十四的祭灶，一直到正月十五，其中以除夕和正月初一为高潮。

在春节期间，中国的汉族和一些少数民族都要举行各种活动以示庆祝。

祭(sì) 祖神、祭奠祖先、迎禧接福、祈．求丰年是春节活动的主要内容。

陆游《除夜雪》中的“半盏屠苏犹未举，灯前小草写桃符”一句，展现的就是古人过大年时饮屠苏酒以驱邪避(wēn) 疫、写桃符以祈福灭祸的习俗。

各地过年的习俗虽然有所不同，但主题都是相同的_①_那就是辞旧迎新。

《大学》有言:“苟日新，日日新，又日新。

”可见，“新”自古就是受到肯定和赞美的，只有求新求变不断前行，才能走出困境，焕发生机。

因此，春节庆贺也在表达着中华民族独有的情怀和价值观。

1.根据拼音将汉字写在答题纸田字格内。

(1分)祭(sì) (wēn) 疫2.给加点字注音和①处填写的标点，全都正确的一项是(2分)A.祈(qí )求冒号B.祈(qí)求逗号B.祈(qǐ )求冒号 D.祈(qǐ)求逗号3.下面与文段有关的文学和文化常识，有误的一项是(2分)A.王安石，字介甫，号半山，世人又称王荆公，北宋著名政治家、文学家，他与欧阳修、苏轼、曾巩等人同列“唐宋八大家”。

B.商代前期多次迁都，到盘庚在位时，定都于殷，并固定下来，从此商朝也称殷朝或殷商。

著名的甲骨文就是诞生于这个时期。

2023北京首都师大附中初三（下）开学考数 学一、选择题1. 2022年冬奥会将在我国北京市和张家口市联合举行，下列历届冬奥会会徽的部分图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2. 用配方法解一元二次方程26100x x −−=时，下列变形正确的是（ ） A. ()231x += B. ()231x −=C. ()2319x +=D. ()2319x −=3. 如图，AB 是O 的直径，CD 是弦（点C 不与点A ，点B 重合，且点C 与点D 位于直径AB 两侧），若110AOD ∠=︒，则BCD ∠等于（ ）A. 25︒B. 35︒C. 55︒D. 70︒4. 如图，△ABO ∽△CDO ，若BO ＝8，DO ＝4，CD ＝3，则AB 的长是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 65. 如图，ABC 绕点C 按顺时针旋转30︒到DEC ，若点A 恰好在DE 上，则BAC ∠的度数为（ ）A. 15︒B. 55︒C. 65︒D. 75︒6. 如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．若⊙O的半径为5，则半径OA，OB与AB围成的扇形的面积是（）A. 2πB. 5πC. 25π6D. 10π7. 小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，所以这种树苗成活的概率是0.890；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．其中合理的是()A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④8. 已知不等式ax+b>0的解集为x<2，则下列结论正确的个数是（）（1）2a+b＝0；（2）当c>a时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点；（3）当c>0时，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝ax+b的上方；（4）如果b<3且2a﹣mb﹣m＝0，则m的取值范围是﹣34<m<0．A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题9. 在平面直角坐标系中，点()23−，关于原点对称的点的坐标是______． 10. 写出一个开口向下，顶点坐标为(0,3)的抛物线的解析式____________ 11. 在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点()1,2A 和点()1,B m −，则m 的值为______________． 12. 如图，,PA PB 是O 的切线，,A B 是切点．若50P ∠=︒，则AOB ∠=______________．13. 如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格线交点，则BAC ∠与DAC ∠的大小关系为：BAC ∠_______DAC ∠（填“＞”，“＝”或“＜”）．14. 如图，点A ，B ，C 均在的正方形网格格点上，过A ，B ，C 三点的外接圆除经过A ，B ，C 三点外还能经过的格点数为_______．15. 如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB ，BC 可分别绕点A ，B 转动，测量知8cm BC =，16cm AB =．当AB ，BC 转动到60=︒∠BAE ，50ABC ∠=︒时，点C 到AE 的距离为_____________cm ．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin 700.94︒≈ 1.73≈）16. 已知n 行n 列(2)n ≥的数表111212122212n n n n nn a a a a a a a a a A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎭中，对任意的1,2,,,1,2,,i n j n =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，都有0ij a =或1．若当0st a =时，总有()()1212t t nt s s sn a a a a a a n +++++++≥，则称数表A 为典型表，此时记表A中所有ij a 的和记为n S ．（1）若数表11000011100100001111000,11B C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中典型表是_________； （2）5S 的最小值为________．三、解答题17.计算：(1112sin 602−⎛⎫++−︒ ⎪⎝⎭18. 解不等式组：5322132x x x x −>⎧⎪−⎨<⎪⎩19. 已知2310x x +−=，求代数式()()()2321213x x x x −−+−−的值．20. 如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与矩形的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为矩形的“化方”． 已知：矩形ABCD ．求作：一个正方形使其面积等于矩形ABCD 的面积． 作法：①如图，延长AD 到E ，使DE DC =； ②以AE 为直径作半圆，延长CD 交半圆于点H ；③以DH 为边作正方形DHGF ，则正方形DHGF 即为所求 根据上述作图步骤，完成下列填空：（1）由②可知：AHE ∠=_________，其依据是_________． （2）由（1）可得，ADH ∽△_________，所以()()DHDH=；（3）由此可得正方形DHGF 的面积等于矩形ABCD 的面积．21. 关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m +++−=有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）当m 取满足条件的最小整数时，求方程的解．22. 如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，BE=DF ，连接EF ． （1）求证：AC ⊥EF ；（2）延长EF 交CD 的延长线于点G ，连接BD 交AC 于点O ，若BD=4，tanG=12，求AO 的长．23. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与y 轴交于点()0,A m ，与反比例函数()20=>y x x的图像交于点B ，过点B 作BH x ⊥轴于点H ．（1）若()0,1A ，(),2B n ，求直线l 的解析式； （2）平移（1）中的直线l ，若12AO BH >，直接写出m 的取值范围．24. 2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，其中“冰墩墩”盲盒特别受欢迎，现将3个基础款和1个隐藏款的“冰墩墩”放到一个大盒子中．（1）从盒子中随机挑选一个，是“冰墩墩”隐藏款的概率是________；（2）若从盒子中随机抽取两个，请用画树状图或列表的方法，求其中含有“冰墩墩”隐藏款的概率， 25. 如图，在ABC 中，AB BC =，AB 为O 的直径，AC 与O 相交于点D ，过点D 做DE BC⊥于点E ，CB 延长线交O 于点F ．（1）求证：DE 为O 的切线；（2）若1BE =，2BF =，求AD 的长． 26. 已知抛物线2222y x ax a =−+−．（1）求抛物线的顶点坐标（用含a 的式子表示）；（2）设直线y b =与抛物线交于不同的两点A ，B ，若4AB ≤，直接写出b 的取值范围；（3）若抛物线上存在两点(),M m m 和(),N n n −，且当0m <，0n >时，有0m n +>，求a 的取值范围．27. 在等腰Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点P 是线段BC 上动点（与点B ，C 不重合），连接AP ，过点C 作CD AP ⊥交AB 于点D ，在线段AC 上截取CQ CP =，过点Q 作QE AP ⊥交AB 于点E ．（1）依题意补全图形； （2）求证：PAC BCD ∠=∠；（3）用等式表示线段DB 与DE 之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：记点P 与图形W （点P 不在图形W 上）上各点距离的最大值与最小值的比值为q ．若2q ≤，则称点P 为图形W 的“墩墩点”．已知点()0,6A ，()4,0B ，()C（1）在点()2,2M −，()0,2N ，()2,2R ，()3,2T 中，是线段OB 的“墩墩点”的是________；（2）若线段()306y kx y =−+≤≤上的点都是线段OA 的“墩墩点”，求k 的取值范围； （3）以点O 为圆心，r 为半径作O ，若线段AC 上存在O 的“墩墩点”，直接写出r 的取值范围．参考答案一、选择题1. 【答案】B【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形【详解】A 选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B 选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C 选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D 选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，牢记轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 2. 【答案】D【分析】按照一元二次方程配方的一般步骤把方程配方即可． 【详解】解：26100x x −−= 解：移项，得2610x x −=，方程两边同加上一次项系数一半的平方，得269109x x +=+−，即()2319x −=， 故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程的解法—配方法，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键． 3. 【答案】B【分析】由平角定义解得BOD ∠的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角度数的一半解题． 【详解】解：110AOD ∠=︒18011070BOD ∴∠=︒−︒=︒11703522BCD BOD ∴∠=∠=⨯︒=︒故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理，涉及同弧所对的圆周角等于圆心角度数的一半，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4. 【答案】D【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，列出比例式，解出AB 的值即可． 【详解】∵△ABO ∽△CDO ，BO ＝8，DO ＝4，CD ＝3，∴BO ABDO CD =，即843AB =， ∴AB =6． 故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 5. 【答案】D【分析】先根据旋转的性质得30ACD ∠=︒，BAC D ∠=∠，再根据三角形外角性质得BAE BAC D ACD ∠+∠=∠+∠，所以30BAE ACD ∠=∠=︒，根据旋转的性质得CA CD =，进而得D CAD ∠=∠，所以BAC CAD ∠=∠，进而求出BAC ∠的度数．【详解】解：∵ABC 绕点C 按顺时针旋转30︒到DEC ， ∴30ACD ∠=︒，BAC D ∠=∠，CA CD =， ∵EAC D ACD ∠=∠+∠，即BAE BAC D ACD ∠+∠=∠+∠， ∴30BAE ACD ∠=∠=︒， ∵CA CD =， ∴D CAD ∠=∠， ∴BAC CAD ∠=∠，∴()18030275BAC ∠=︒−︒÷=︒． 故选：D ．【点睛】本题考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了三角形外角的性质，等边对等角．掌握旋转的性质是解题的关键． 6. 【答案】B【分析】先求出圆心角∠AOB 的度数，再根据扇形面积公式即可求解． 【详解】∵⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆． ∴∠AOB =360=725︒︒ ∴OB 与AB 围成的扇形的面积是2725=360π⨯⨯5π故选B ．【点睛】此题主要考查扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆内正多边形的性质及扇形面积公式的运用． 7. 【答案】C【分析】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，据此进行判断即可．【详解】解：①当移植的树数是1 500时，表格记录成活数是1 335，这种树苗成活的概率不一定是0.890，故错误；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，故正确；③若小张移植10 000棵这种树苗，则可能成活9 000棵，故正确； ④若小张移植20 000棵这种树苗，则不一定成活18 000棵，故错误．故选C ．【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 8. 【答案】C【分析】由不等式的解集得出a ＜0，﹣ba=2，即b =﹣2a ，从而得出2a +b =0，即可判断（1）；根据△=4a （a ﹣c ）＞0即可判断（2）；求得抛物线的顶点为（1，a ﹣c ）即可判断（3）；求得0＜﹣1mm +＜3，得出不等式组的解集为﹣34＜m ＜0即可判断（4）． 【详解】（1）∵不等式ax +b ＞0的解集为x ＜2， ∴a ＜0，﹣ba=2，即b =﹣2a ， ∴2a +b =0，故结论正确；（2）函数y =ax 2+bx +c 中，令y =0，则ax 2+bx +c =0， ∵b =﹣2a ，∴△=b 2﹣4ac =（﹣2a ）2﹣4ac =4a （a ﹣c ）， ∵a ＜0，c ＞a ， ∴△=4a （a ﹣c ）＞0，∴当c ＞a 时，函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个公共点，故结论错误； （3）∵b =﹣2a ，∴﹣2b a =1，244ac b a−=2444ac a a −=c ﹣a ，∴抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点为（1，c ﹣a ）， 当x =1时，直线y =ax +b =a +b =a ﹣2a =﹣a ＞0 当c ＞0时，c ﹣a ＞﹣a ＞0，∴抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点在直线y =ax +b 的上方，故结论正确； （4）∵b =﹣2a ，∴由2a ﹣mb ﹣m =0，得到﹣b ﹣mb ﹣m =0，∴b =﹣1m m +， 如果b ＜3，则0＜﹣1m m +＜3， ∴﹣34＜m ＜0，故结论正确； 故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，由题意得到b =﹣2a 是解题的关键．二、填空题9. 【答案】(2,3)−【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．【详解】解：点()23−，关于原点对称的点的坐标为()3−2，． 故答案是：()3−2，． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数． 10. 【答案】y=-x 2+3(答案不唯一)【分析】根据题意可得抛物线的顶点坐标是（0，3），故设出抛物线的顶点式方程y=ax 2+3，再由开口向下可知a<0，故可取a=-1，即得结果．【详解】∵抛物线的顶点坐标为（0，3）∴可设抛物线的解析式为y=ax 2+3，又∵抛物线的开口向下，∴a<0，故可取a=-1，∴抛物线的解析式为y=-x 2+3．故答案为y=-x 2+3（答案不唯一）【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是要由顶点坐标正确设出抛物线的解析式．理解开口向下的含义．11. 【答案】2−【分析】由题意易得2k =，然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题．【详解】解：把点()1,2A 代入反比例函数()0k y k x=≠得：2k =， ∴12m −⨯=，解得：2m =−，故答案为-2．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 12. 【答案】130°【分析】由题意易得90∠=∠=︒PAO PBO ，然后根据四边形内角和可求解．【详解】解：∵,PA PB 是O 的切线，∴90∠=∠=︒PAO PBO ， ∴由四边形内角和可得：180AOB P ∠+∠=︒，∵50P ∠=︒，∴130AOB ∠=︒；故答案为130°．【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键．13. 【答案】=【分析】如图，连接CE 、CD ，利用勾股定理求得AE 、EC 、CD 、DA 、AC 的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解．【详解】解：如图，连接CE 、CD ，AE ==同理求得EC =CD =DA ==AC ==，∴AE =EC =CD =DA ，∴四边形AECD 是菱形，∵222+=， ∴222AE EC AC +=，∴∠AEC =90︒，∴菱形AECD 是正方形，∴∠BAC =∠DAC ，故答案为：=．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正方形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．14. 【答案】5【分析】根据圆的确定先做出过A ，B ，C 三点的外接圆，从而得出答案．【详解】如图，分别作AB 、BC 的中垂线，两直线的交点为O ，以O 为圆心、OA 为半径作圆，则⊙O 即为过A ，B ，C 三点的外接圆，由图可知，⊙O 还经过点D 、E 、F 、G 、H 这5个格点，故答案为：515. 【答案】6.3【分析】作辅助线如图，则四边形CDGF 是矩形，可得CD =FG ，然后分别解直角△ABG 和直角△BCF 求出BG 和BF 的长即可．【详解】解：如图，作CD ⊥AE 于点D ，作BG ⊥AE 于点G ，作CF ⊥BG 于点F ，则四边形CDGF 是矩形，∴CD =FG ，在直角△ABG 中，16cm AB =，60=︒∠BAE ，∴·60162BG AB sin =︒=⨯=（cm ），∠ABG =30°， ∵50ABC ∠=︒，∴∠CBF =20°，∴∠BCF =70°，在直角△BCF 中，8cm BC =，∠BCF =70°，∴sin 7080.947.52BF BC =⋅︒≈⨯=（cm ），∴CD =FG =7.52 6.3≈（cm ），即点C 到AE 的距离为6.3cm ；故答案为：6.3．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确添加辅助线构建直角三角形、掌握求解的方法是关键．16. 【答案】 ①. C ②. 13【分析】（1）有题意典型表的定义，结合给定的数表判断即可；（2）根据题设及给定数表可表示出5行5列的数表A ，即可得到答案．【详解】（1）对于数表B 有120a = ，而()()()()12223211121300100123a a a a a a +++++=+++++=≤，∴ 数表B 不为典型表；对于数表C 有0st a = ，总有()()1212t t nt s s sn a a a a a a n +++++++≥∴ 数表C 为典型表；故答案为：C ；（2）要使5S 最小，即典型表A 中的“1”最少或()()12125t t nt s s sn a a a a a a +++++++=则1110011100001000011100111A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或1100011000111110001100011A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 则有5S 的最小值为13故答案为：13．三、解答题17.【答案】1+【分析】先计算负整数指数幂和特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可．【详解】解：原式2122=+−−⨯21=+−+−1=【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，负整数指数幂和特殊角三角函数值，熟知相关计算法则是解题的关键．18. 【答案】12x <<【分析】分别解每一个不等式，然后即可得出解集． 【详解】解：5322132x x x x −>⎧⎪⎨−<⎪⎩①②解不等式①得：1x >，解不等式②得：2x <，∴此不等式组的解集为12x <<．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式的解法是解题关键．19. 【答案】7【分析】将原式去括号、合并同类项进行化简，再把已知等式整体代入计算即可求得结果．【详解】解：原式()2269413x x x x =−+−−− 2269413x x x x =−+−+−23910x x =−−+()2=3310x x −++∵2310x x +−=，231x x ∴+=， 把231x x +=代入得：()23310=3110=7x x −++−⨯+，【点睛】本题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握整式的乘法法则、平方差公式、去括号法则及合并同类项法则是解题的关键．20. 【答案】（1）90︒，直径所对的圆周角是直角（2）HDE ，AD ，DE（3）见解析【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角进行求解即可；（2）先证明DAH DHE =∠∠，进而证明ADH HDE △∽△，得到AD DH DH DE=； （3）根据（2）得结论证明2AD DC DH ⋅=，即可证明正方形DHGF 的面积等于矩形ABCD 的面积．【小问1详解】解：∵以AE 为直径作半圆，∴90AHE =︒∠，其依据是直径所对的圆周角是直角，故答案为：90︒，直径所对的圆周角是直角；【小问2详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90ADH HDE ADC ===︒∠∠∠，∴90DAH DHA DHA DHE +=︒=+∠∠∠∠，∴DAH DHE =∠∠，∴ADH HDE △∽△， ∴AD DH DH DE=，故答案为：HDE ，AD ，DE【小问3详解】解：由（2）得AD DH DH DE=， ∴2AD DE DH ⋅=，又∵DE DC =，∴2AD DC DH ⋅=，∴正方形DHGF 的面积等于矩形ABCD 的面积．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，矩形的性质，相似三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．21. 【答案】（1）54m >−；（2）10x =，21x = 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根根，则根的判别式△=b 2-4ac ＞0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围；（2）得到m 的最小整数，利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：（1222110x m x m +++−=（）有两个不相等的实数根， ∴22=(21)4(1)450m m m ∆+−−=+>， ∴54m >−； （2）m 满足条件的最小值为1m =−，此时方程为20x x −=，解得10x =，21x =．【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 22. 【答案】（1）证明见解析；（2）AO=1．【分析】（1）由菱形的性质得出AB=AD ，AC 平分∠BAD ，再根据等腰三角形的三线合一即可； （2）根据菱形的性质和已知条件得出四边形EBDG 为平行四边形，得出∠G=∠ABD ，再根据tanG=12即可求出AO 的长．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形 ∴AB=AD ，AC 平分∠BAD∵BE=DF ， ∴AB BE AD DF −=− ， ∴AE=AF∴△AEF 是等腰三角形， ∵AC 平分∠BAD ， ∴AC ⊥EF（2）解：如图2所示：∵四边形ABCD 为菱形，∴CG ∥AB ，BO=12BD=2，∵EF ∥BD∴四边形EBDG 为平行四边形，∴∠G=∠ABD ，∴tan ∠ABD=tan ∠G=12∴tan ∠ABD=122AO AO BO ==，∴AO=1 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形，等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．23. 【答案】（1）1y x =+（2）1m >或3m < 【分析】（1）先把点B 坐标代入反比例函数解析式求出点B 的坐标，再把点A 和点B 坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可；（2）先求出点B 的坐标，进而求出BH ，再根据12AO BH >列出不等式求解即可． 【小问1详解】解：把(),2B n 代入()20=>y x x 中得：22n =， ∴1n =，∴()1,2B ，设直线l 的解析式为y kx b =+，把()0,1A ，()1,2B 代入y kx b =+中得：11k b b +=⎧⎨=⎩， ∴11k b =⎧⎨=⎩， ∴直线l 的解析式为1y x =+；【小问2详解】解： 由题意得，平移后的直线AB 解析式为y x m =+，联立2y x m y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴220x mx +−=， ∴22211244x mx m m ++=+，解得12x m =−或12x m =（舍去），∴1122B m m ⎫−⎪⎭，∴12BH m =+， ∵12AO BH >，∴m >，∴122m m >+， 当0m ≥时，则122m m >+，即23m > ∴2212494m m >+， ∴21m >，解得1m >或0m <（舍去）；当0m <时，则122m m +−>，即52m −>， ∴22124425m m >+， ∴231m >，解得m <m >（舍去）； 综上所述，1m >或m <【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数与不等式的关系，灵活运用所学知识是解题的关键．24. 【答案】（1）14 （2）12【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；（2）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【小问1详解】解：∵一共有四个“冰墩墩”盲盒，其中隐藏款“冰墩墩”盲盒有1个，且每个盲盒被挑选到的概率相同， ∴从盒子中随机挑选一个，是“冰墩墩”隐藏款的概率是14， 故答案为：14【小问2详解】解：设用A 、B 、C 表示基础款“冰墩墩”，用D 表示隐藏款“冰墩墩”，列表如下：的结果数有6种，∴从盒子中随机抽取两个，其中含有“冰墩墩”隐藏款的概率61122==． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键．25. 【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）先根据等边等等角证明∠=∠ODA C ，再由三角形内角和定理证明90C CDE ∠+∠=︒，进而得到90ODA CDE ∠+∠=︒，由此即可证明结论；（2）如图所示，过点O 作OH BF ⊥，连接OF ，由垂径定理得到112BH BF ==，则2HE =，证明四边形ODEH 是矩形，得到2OD OB EH DE DE ====，，由勾股定理得OH =，则DE =，由勾股定理得：2BD =，由圆周角定理得到90ADB ∠=︒，则AD ==【小问1详解】证明：∵ AB BC =，OA OD =，∴ODA OAD A C ==∠∠，∠∠，∴∠=∠ODA C ，∵DE BC ⊥，即90DEC ∠=︒，∴90C CDE ∠+∠=︒，∴90ODA CDE ∠+∠=︒，∴90ODE ∠=︒，∴OD DE ⊥，∵OD 是O 的半径， ∴DE 为O 的切线；【小问2详解】解：如图所示，过点O 作OH BF ⊥，连接OF ， ∴112BH BF ==， ∴2HE =，∵OH HE DE HE OD DE ⊥，⊥，⊥，∴四边形ODEH 是矩形，∴2OD OB EH DE DE ====，，在Rt OBH △中，由勾股定理得：OH ==∴DE =在Rt BDE △中，由勾股定理得：2BD =，∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∴AD ==．【点睛】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，圆周角定理，矩形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．26. 【答案】（1）抛物线的顶点坐标(),2a −；（2）b 的取值范围为22b −<≤；（3）a的取值范围为0a <<【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，即可解答；（2）根据题意可求出A ，B 两点的横坐标，根据两点的间的距离公式可表示出AB ，根据4AB ≤可算出b 的取值范围；（3）根据点(),M m m和(),N n n −在抛物线上可得M 和N 所在的象限，再根据0,0m m <>时，有0m n +> 得到两个临界值，从而求出a 的取值范围．【小问1详解】解：()222222y x ax a x a =−+−=−−，∴抛物线的顶点坐标(),2a −；【小问2详解】由题意得：()22y by x a =⎧⎪⎨=−−⎪⎩ 以此可得方程()22x a b −−=，解得：12x a x a ==−12AB x x ∴=−=，4AB ≤，4∴≤，2∴≤，直线y b =与抛物线交于不同的两点A ，B ，2024b b +>⎧∴⎨+≤⎩， 22b ∴−<≤，b ∴的取值范围为22b −<≤；【小问3详解】(),M m m 和(),N n n −，M ∴在一象限或三象限，N 在二象限或四象限， ∵当0,0m n 时，有0m n +>，M ∴在三象限，N 在四象限时，有n m >−，∴此时N 点到y 轴的距离大于M 点到y 轴的距离，如下图所示，当顶点为()0,2−，0a =，此时m n <−与n m >−矛盾，∴只有当0a >，才满足条件，抛物线过点()0,0时，2222220y x ax a a =−+−=−=，a ∴=0a >，a ∴=，此时抛物线不过第三象限，如下图所示，∴只有当a <综上，a 的取值范围为0a <<．【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征、二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．27. 【答案】（1）见解析 （2）证明见解析（3）BD DE =，证明见解析【分析】（1）根据题意作图即可；（2）根据三角形内角和定理得到90CPA BCD +=︒∠∠，90CPA CAP +=︒∠∠，由此即可证明PAC BCD ∠=∠；（3）如图所示，过点E 作EN CD ⊥于N ，过点C 作CH EQ ⊥交EQ 延长线于H ，过点B 作BM CD ⊥交CD 延长线与M ，设AP CD 、于F ，则四边形QCNE 是矩形，可得CH EN =，90HCD ∠=︒，证明CHQ CFP △≌△，得到CF CH =，再证明ACF CBM △≌△，推出EN BM =，进一步证明END BMD △≌△，即可证明BD DE =．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】证明：∵CD AP ⊥，∴90CPA BCD +=︒∠∠，∵90ACB ∠=︒，∴90CPA CAP +=︒∠∠，∴PAC BCD ∠=∠；【小问3详解】解：BD DE =，证明如下：如图所示，过点E 作EN CD ⊥于N ，过点C 作CH EQ ⊥交EQ 延长线于H ，过点B 作BM CD ⊥交CD 延长线与M ，设AP CD 、于F ，则四边形QCNE 是矩形，∴CH EN =，90HCD ∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴HCQ FCP =∠∠，又∵90CHQ CFP CQ CP ==︒=∠∠，，∴()AAS CHQ CFP △≌△，∴CF CH =，∵90AC CB CAP BCM AFC CMB ====︒，∠∠，∠∠，∴()AAS ACF CBM △≌△，∴CF BM =，∴EN BM =，又∵90END BMD EDN BDM ==︒=∠∠，∠，∴()AAS END BMD △≌△，∴BD DE =．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．28. 【答案】（1）R 、T （2）k ≥0k ≤< （3）01r <≤或9r ≥【分析】（1）根据“墩墩点”的定义进行求解即可；（2）先求出当6y =时，3x k+=，当0y =时，3x k −=，进一步推出线段()306y kx y =−+≤≤经过定点()；再由线段()306y kx y =−+≤≤上的点都是线段OA 的“墩墩点”，得到当0k >时，线段()306y kx y =−+≤≤与x 轴的交点在x 轴正半轴，且y 随x增大而增大，则线段()306y kx y =−+≤≤上的点到线段OA大值为3k+32k+≤，解不等式即可；当0k <时，线段()306y kx y =−+≤≤与x 轴的交点在x 轴正半轴，且y 随x增大而减小，则线段()306y kx y =−+≤≤上的点到线段OA 的距离的最大值为3k −，最小值为3k+2k≤，解不等式即可； （3）如图所示，过点O 作OD AC ⊥于D，求出6OA OC ==，，直线AC解析式为6y =+，进而求出3OD =；设点()6P m −+，是线段AC 上一点，且P 是O 的“墩墩点”，则当3r <时，则点P 到Or，最大距离为r ，当3r ≥时，则点P 到O上一点的最大距离为r −，最r，两种情况根据“墩墩点”的定义列出不等式求解即可．【小问1详解】解：∵()2,2M −，()4,0B ，∴OM ==，BM ==，∴2M OB BM q OM−==>， ∴点()2,2M −不是线段OB 的“墩墩点”；∵()0,2N ，∴2ON =，BN ==∴2N OB BN q ON−==>， ∴点()0,2N 不是线段OB 的“墩墩点”；∵()2,2R ，()3,2T ，∴R 和T 到线段OB 的最小距离都为2，点R 到线段OB =，点T 到线段OB 的=∴2222R OB T OB q q −−==<=<，， ∴R 和T 都是线段OB 的“墩墩点”；故答案为：R 、T ；【小问2详解】解：当6y =时，3x k+=，当0y =时，3x k −=，∵(()3306y kx k x y =−+=−+≤≤，∴线段()306y kx y =−+≤≤经过定点()；又∵线段()306y kx y =−+≤≤上的点都是线段OA 的“墩墩点”，∴当0k >时，线段()306y kx y =−+≤≤与x 轴的交点在x 轴正半轴，且y 随x 增大而增大，∴线段()306y kx y =−+≤≤上的点到线段OA 的距离的最小值为3k−，最大值为∵线段()306y kx y =−+≤≤上的点都是线段OA 的“墩墩点”，2≤，∴36+≤−，∴k≥当0k<时，线段()306y kx y=−+≤≤与x轴的交点在x轴正半轴，且y随x增大而减小，∴线段()306y kx y=−+≤≤上的点到线段OA的距离的最大值为3k−，最小值为3k+，∵线段()306y kx y=−+≤≤上的点都是线段OA的“墩墩点”，32−≤，∴36−≤+，∴0k≤<；综上所述，k≥k≤<；【小问3详解】解：如图所示，过点O作OD AC⊥于D，∵()0,6A，()C，∴6OA OC==，AC解析式为6y=+，∴AC==，∵1122AOCS OA OC AC OD=⋅=⋅△，∴3OA OCODAC⋅==；设点()6P m+，是线段AC上一点，且P是O的“墩墩点”，当3r<时，则点P到Or，最大距离为r，2≤，2r r +≤−，∴r ≤，P 到原点的距离， 3≥，∴1r ≤≤，∴01r <≤；当3r ≥时，则点P 到O 上一点的最大距离为r ，最大距离为r ，2≤，2r r+≤−∴r ≥P 到原点的距离，3≥，∴9r ≥≥，∴9r ≥； 综上所述，01r <≤或9r ≥．点到圆上一点的最值问题，解不等式，灵活运用所学知识是解题的关键．。

2020-2021学年北京人大附中九年级（下）限时练习数学试卷（8）1.下列几何体中，三视图完全相同的是()A. 圆锥B. 圆柱C. 球D. 三棱柱2.实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示，以下各式中值最大的是()A. |a+b+c|B. |a+b−c|C. |a−b+c|D. |a−b−c|3.如图，四边形ABCD中，∠1、∠2、∠3分别为∠BAD、∠ABC、∠BCD的外角，下列判断正确的是()A. ∠1+∠3=∠ABC+∠DB. ∠1+∠3=180°C. ∠2=∠DD. ∠1+∠2+∠3=360°4.在经过长达3个月的火星停泊轨道运行探测后，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器于2021年5月15日稳稳降落在火星乌托邦平原南部的预选着陆区，迈出了我国星际探测征程的重要一步，火星作为地球的近邻，到地球的最近距离约为5500万千米，将5500万用科学记数法表示应为()A. 5.5×103B. 5.5×106C. 5.5×107D. 5.5×10105.已知△ABC与△DEF全等，点A，B，C的对应点分别为D，E，F，点E在AC边上，B，F，C，D四点在同一条直线上.若∠A=40°，∠CED=35°，则以下说法正确的是()A. EF=EC，AE=FCB. EF=EC，AE≠FCC. EF≠EC，AE=FCD. EF≠EC，AE≠FC6.心理学家找了1000位受试者进行暗室实验.每位受试者都要观看并辨别6、8、9三张数字卡，发现将实际数字看成某个数字的概率如表：看成数字 实际数字 689其他6 0.4 0.3 0.2 0.1 8 0.3 0.4 0.1 0.2 90.20.20.50.1例如：实际数字是6被看成6、8、9的概率分别为0.4、0.3、0.2，而被看成其他数字的概率是0.1.根据表中的数据，下列说法中正确的是( )A. 如果可实际数字是8，则至少有一半的可能性会被看成8B. 在数字6、8、9中，被误认的可能性以8最低C. 如果被看成的数字是6，则实际上就是6的可能性不到一半D. 如果被看成的数字是9，则实际上就是9的可能性超过347. 如图，锐角△ABC 中，点D 在BC 边上，∠B =∠BAD =∠CAD.现需在线段AD 上作点P ，使得∠APC =∠ADB ，以下是甲、乙两人的作法：甲：作AC 的中垂线交AD 于点P ，点P 即为所求作点；乙：以C 为圆心，CD 长为半径画弧，交AD 于点P(异于点D)，点P 即为所求作点； 对于甲、乙两人的作法，以下判断正确的是( )A. 两人都正确B. 两人都错误C. 只有甲正确D. 只有乙正确8. 如图，△ABC 中AB >BC >CA ，现将△ABC 绕点C 顺时针旋转，使得点A′在BC 的延长线上，B 的对应点为B′.记旋转前后三角形的内心分别为I ，I′，旋转前后三角形的外心分别为O ，O′，则以下说法正确的是( )A. II′//BCB. OO′//BCC. IC//I′A′D. OC//O′A′9. 若1√x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是______ ．10. 写出一个二元一次方程，使得{x =1y =2是该二元一次方程的一组解：______ ．⋅(2m+n)的值是______ ．11.如果n=4m≠0，那么代数式3m−n4m2−n212.将一次函数y=√3x的图象平移后经过点(0,3)，这个平移变换可以是竖直向上平移3个单位也可以是水平______ ．13.如图，已知平行四边形ABCD，通过测量、计算得平行四边形ABCD的面积约为______ cm2.(结果保留一位小数)交于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，14.在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b与双曲线y=kx若x1−x2=4，则y1−y2的值为______ ．15.如图，点A的坐标是(1,1)，点B的坐标是(4,2)，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，利用图中网格，满足∠ACB=45°的整点C的个数为______ ．16.设四位候选人ABCD，共五人进行投票，每张选票按照偏好度对候选人进行排序，例如选票“ABCD”表示对四位候选人的偏好度从高到低依次为A>B>C>D.最后综合五张选票形成排序结果，规则如下：对于任意两名候选人M，N，比较选票中M和N的偏好度，若偏好M的人更多，那么在最终排序结果中M在N之前.已知前四张选票依次为：ACBD、ABDC、BCAD、CDBA，并且最终排序结果为ABCD，那么第五张选票的情形可能为______ .(写出一种满足条件的情形即可))−1+|√3−2|−(π−3.14)0+3tan30°．17.计算：(1418.解方程：2xx−2−8x2−2x=119.解不等式组：{8(x−1)>5x−17 x−6≤x−102．20.关于x的一元二次方程x2−(m+3)x+m+2=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．21.下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．已知：⊙O和圆外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：①连接OP；②以OP为直径作⊙M，交⊙O于点A，B；③作直线PA，PB；所以直线PA，PB为⊙O的切线．根据小文设计的作图过程，完成下面的证明．证明：连接OA，OB．∵OP为⊙M的直径，∴∠OAP=∠______=______°(______)(填推理的依据)．∴OA⊥AP，______⊥BP．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线PA，PB为⊙O的切线(______)(填推理的依据)．22.如图，四边形ABCD是矩形，对角线相交于点O，点E为线段AO上一点(不含端点)，点F是点E关于AD的对称点，连接CF与BD相交于点G．(1)证明：AF//BD；(2)若OG=1，OE=2.求BD的长．23.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−x+b经过点(0,2)．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当x<4时，对于x的每一个值，函数y=−x+b的值与函数y=kx−k的值之和都大于0，直接写出k的取值范围．24.一家公司打算招聘若干英文翻译，现有30位应试者进行了听说能力和读写能力两项测试，他们的成绩(百分制)如图所示．(1)若按照听说测试和读写测试的总成绩将30位应试者分为两组，合理的分类方式应为直线______ .(填“l1”或“l2”)(2)听说和读写测试成绩之和靠前的15位应试者为第Ⅰ组，靠后的15位应试者为第Ⅱ组，记第Ⅰ组的平均成绩为x1，第Ⅱ组的平均成绩为y1，若将第Ⅰ组的后三名调至第Ⅱ组后，第Ⅰ组的平均成绩变为x2，第Ⅱ组的平均成绩为变y2，则，x1______ x2，y1______ y2(填“>”“<”或“=”)．(3)下列推断合理的是______ .(填写所有合理推断的序号)①30位应试者听说能力测试成绩的中位数小于读写能力测试成绩的中位数；②若公司分别赋予听说能力和读写能力7和3的权，那么应试者A加权后的成绩低于应试者B；③若公司招聘了应试者C，建议公司通过培训提高该应试者的听说能力；④图中矩形框中应试者读写能力测试成绩的方差大于听说能力测试成绩的方差．25.如图，过⊙O外一点C作⊙O的切线CB，CD，切点分别为点B，D，直径AB的长为4，BC=2，连接OC，AD．(1)求证：四边形OADC是平行四边形；(2)点G为半径OB上一点，连接CG交⊙O于E，延长CG交⊙O于F，当EF=AD时，求OG的长．x2−x+c．26.已知抛物线C1：y1=12(1)直接写出抛物线C1的顶点坐标______ (用含c的式子表示)；(2)将抛物线C1平移得抛物线C2：y2=a(x−ℎ)2，若2<x≤m时y2≤x恒成立，求m的最大值．=k，点F在BC的延长线上，27.四边形ABCD是平行四边形，E是边BC上一点，BEEC且CF=CE，连接AF交CD于点M，连接AE交DC延长线于N．(1)如图1，∠B=90°，k=1，①依题意补全图形；②求DM的值；CN(2)写出一个k的值，使得对于任意的平行四边形ABCD总有DM=CN，并证明．28.对于平面直角坐标系xOy中的任意两点M(x1,y1)，N(x2,y2)，我们定义：d1(M,N)=|x1−x2|+|y1−y2|，d2(M,N)=√(x1−x2)2+(y1−y2)2，我们将d1(M,N)，d2(M,N)分别称作两点M、N间的“Ⅰ型距离”和“Ⅱ型距离”．(1)已知A(−1,0)，B(0,√3)①A，B间的“Ⅰ型距离”是______ ；A，B间的“Ⅱ型距离”是______ ；②点M，N是直线AB上任意两点，求d1(M,N)的值；d2(M,N)(2)直线l：y=kx+b(k>0)和抛物线C：y=kx2+b在y轴右侧交于点P，若存在直线l上一点Q(x1,y1)(x1<1)和抛物线C上一点R(x2,y2)(x2>1)，使得d1(P,Q)=d1(P,R)且d2(P,Q)=d2(P,R)，直接写出k的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A.圆锥的主视图为三角形，左视图为三角形，俯视图为圆形，因此选项A 不符合题意；B.圆柱的主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是圆形，因此选项B不符合题意；C.球的主视图是圆，左视图是圆，俯视图是圆，因此选项C符合题意；D.三棱柱的主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是三角形，因此选项D不符合题意；故选：C．根据各种几何体的三视图的形状进行判断即可．本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提．2.【答案】B【解析】解：由题意可得：a<b<0<c，∴a+b−c的结果是最小的，其绝对值最大，故选：B．结合数轴及有理数加减法的运算法则和绝对值的意义分析求解．本题考查有理数的加减混合运算及绝对值的意义，利用数形结合思想解题是关键．3.【答案】A【解析】解：∵∠1+∠DAB=180°，∠3+∠BCD=180°，∴∠1+∠3+∠DAB+∠BCD=360°，∵∠ABC+∠BCD+∠D+∠DAB=360°，∴∠1+∠3=∠ABC+∠D，故A符合题意；∵∠1+∠3只有∠ABC和∠D互补时才等于180°，故B不符合题意；∵只有∠ABC和∠D互补时，∠2=∠D，故C不符合题意；∵多边形的外角和是360°，∴∠1+∠2+∠3<360°，故D不符合题意；故选：A．由平角的定义得到，∠1+∠DAB=180°，∠3+∠BCD=180°，即∠1+∠3+∠DAB+∠BCD=360°，再根据四边形的内角和是360°，等量代换即可得解．此题考查了多边形的内角与外角，熟记四边形的内角和是360°是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：5500万=55000000=5.5×107，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5.【答案】B【解析】解：∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，BC=EF，AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠DEF，∠ACB=∠DFE，∵∠A=40°，∠CED=35°，∴∠D=40°，∴∠ACB=40°+35°=75°，∴∠B=180°−40°−75°=65°，∴∠EFD=∠BCA=75°，∴EF=EC，∴BC=EF=EC，∴得不出AE=FC，故选：B．根据全等三角形的性质得出对应边相等好对应角相等解答即可．此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出对应边相等好对应角相等得出边角关系解答．6.【答案】C【解析】解：由表得：A.如果可实际数字是8，则实际上就被看成8的概率是0.4<12，故此说法错误，不符合题意；B.在数字6、8、9中，6被误认的可能性是1−0.4=0.6，在数字6、8、9中，8被误认的可能性是1−0.4=0.6，在数字6、8、9中，9被误认的可能性是1−0.5=0.5，∴被误认的可能性以9最低，故此说法错误，不符合题意；C.如果被看成的数字是6，则实际上就是6的可能性的概率是0.4<12，故此说法正确，符合题意；D.如果被看成的数字是9，则实际上就是9的可能性是0.50.2+0.2+0.5=59<34，故此说法错误，不符合题意；故选：C．利用表格中的概率数据分析各个选项得出答案即可；此题主要考查了利用频率估计概率以及列表法求概率，正确分析表中数据是解题关键．7.【答案】A【解析】解：设∠B=∠BAD=∠CAD=α，根据甲的作法得到图1，∵P点在AC的垂直平分线上，∴PA=PC，∴∠PCA=∠PAC=α，∴∠APC=180°−∠PAC−∠PCA=180°−2α，∵∠ADB=180°−∠B−∠BAD=180°−2α，∴∠APC=∠ADB，所以甲的作法正确；根据乙的作法得到图2，∵CD=CP，∴∠CDP=∠CPD，∴∠APC=∠ADB，所以乙的作法正确．故选：A．设∠B=∠BAD=∠CAD=α，利用甲的作法得到图1，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PC，则∠PCA=∠PAC=α，则根据三角形内角和可证明∠APC=∠ADB，于是可判断甲的作法正确；利用乙的作法得到图2，根据等腰腰三角形的性质得到∠CDP=∠CPD，然后根据等角的补角相等可判断乙的作法正确．本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．8.【答案】A【解析】解：如图，过点I作ID⊥BC于D，I′D′⊥CA′于D′，连接II′．∵旋转前后三角形的内心分别为I，I′，∴ID=I′D′，∵ID//I′D′，∴四边形IDD′I是平行四边形，∴II′//BC，故选：A．如图，过点I作ID⊥BC于D，I′D′⊥CA′于D′.证明四边形IDD′I是平行四边形，推出II′//BC，可得结论．本题考查三角形的内心，三角形的外心等知识，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题．9.【答案】x >0【解析】解：根据题意，得{x ≥0x ≠0． 解得x >0．故答案是：x >0．根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0求解可得．本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0．10.【答案】x +y =3(答案不唯一)【解析】解：例如1+2=3；将数字换为未知数，得x +y =3．答案不唯一．再如x −y =−1等等．故答案为：x +y =3(答案不唯一)．利用方程的解构造一个等式，然后将数值换成未知数即可．此题是解二元一次方程的逆过程，是结论开放性题目．二元一次方程是不定解方程，一个二元一次方程可以有无数组解，解题的关键是明确一组解可以构造无数个二元一次方程．11.【答案】12【解析】解：3m−n 4m 2−n 2⋅(2m +n)=3m −n (2m +n)(2m −n)⋅(2m +n) =3m−n 2m−n ，当n =4m ≠0时，原式=3m−4m 2m−4m =−m −2m =12，故答案为：12．利用平方差公式先将分母分解因式，然后即可将所求式子化简，再将n =4m ≠0代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．12.【答案】向左移动√3个单位【解析】解：设水平向右平移a个单位，则平移后直线方程是y=√3(x−a)，把(0,3)代入，得3=√3(0−a)，解得a=−√3．即将一次函数y=√3x的图象水平向左移动√3个单位后经过(0,3)，故答案是：向左移动√3个单位．设水平向右平移a个单位，则平移后直线方程是y=√3(x−a)，将(0,3)代入求得a的值即可．此题主要考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b的值发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减．13.【答案】5.0【解析】解：如图所示，过点D作DE⊥BC于点E，经测量DE=1.8cm，BC=2.8cm，S▱ABCD=BC⋅DE=2.8×1.8=5.04≈5.0(cm2)，故答案为：5.0．过点D作DE⊥BC于点E，测量出BC，DE的长，再利用平行四边形的面积公式即可求出▱ABCD的面积．本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式．14.【答案】4关于直线y=−x对称，【解析】解：∵直线y=x+b与双曲线y=kx∴点A(x1,y1)，B(x2,y2)关于直线y=−x对称，∴x1=−y2，y1=−x2，∵x1−x2=4，∴y1−y2=−x2−(−x1)=4；综上，y1−y2的值为4，故答案为4．利用反比例函数和一次函数y=x+b的性质判断点A和点B关于直线y=−x对称，然后根据关于直线y=−x对称的点的坐标特征得出x1=−y2，y1=−x2，即可求得y1−y2的值．本题是反比例函数与一次函数的交点问题，得到A、B点的坐标之间的关系是解题的关键．15.【答案】4【解析】解：如图，满足∠ACB=45°的整点C的个数有4个；故答案为：4．根据等腰直角三角形的锐角是45度，以AB为直角边画出等腰直角三角形可解答．本题考查的是等腰直角三角形的性质，新定义：整点，解题的关键是理解整点的意义，正确画出等腰直角三角形，进而求解．16.【答案】ABCD或ABDC【解析】解：设每张选票左起第一位置的偏好度为a，第二个位置的偏好度为b，第三个位置的偏好度为c，第四个位置的偏好度为d，由题意知，a>b>c>d，∴前四张票中A的偏好度为：2a+c+d，B的偏好度为：a+b+2c，C的偏好度为：a+2b+d，D的偏好度为：b+c+2d，要使最终排序结果为ABCD，则，①第五张票可以是ABCD，此时A：3a+c+d>B：a+b+2c+d>C：a+2b+c+d>D：b+c+3d；②第五张票还可以是ABDC，此时A：3a+c+d>B：a+2b+2c>C：a+2b+2d>D：b+2c+2d；∴第五张票的可能情形为ABCD或ABDC，故答案为：ABCD或ABDC．设出四个位置的偏好度，计算偏好度总和，根据最后排序判断第五张票的可能性．本题主要考查推理论证，设出偏好度给A，B，C，D四位候选人排序是解题的关键．17.【答案】解：原式=4+2−√3−1+3×√33=8−√3+√3=8．【解析】先进行负整数指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角三角函数的计算，再进行加减运算即可．此题考查的是负整数指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角三角函数的运算，准确进行计算是解决此题关键．18.【答案】解：去分母得：2x2−8=x2−2x，即x2+2x−8=0，分解因式得：(x−2)(x+4)=0，解得：x=2或x=−4，经检验x=2是增根，∴分式方程的解为x=−4．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．19.【答案】解：{8(x−1)>5x−17①x−6≤x−102②，解不等式①，得x>−3，解不等式②，得x≤2，∴原不等式组的解为：−3<x≤2．【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20.【答案】(1)证明：依题意，得△=[−(m+3)]2−4(m+2)=m2+6m+9−4m−8=(m+1)2．∵(m+1)2≥0，∴△≥0．∴方程总有两个实数根．(2)解：解方程，得x1=1，x2=m+2，∵方程的两个实数根都是正整数，∴m+2≥1．∴m≥−1．∴m的最小值为−1．【解析】(1)先根据方程总有两个实数根列出关于m的代数式，判断△≥0即可；(2)根据题意得到x1=1和x2=m+2是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m的最小值．本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解，在解答(2)时得到方程的两个根是解题的关键．21.【答案】OBP90 直径所对的圆周角是直角OB过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线【解析】证明：连接OA，OB．∵OP为OM的直径，∴∠OAP=∠OBP=90°(直径所对的圆周角是直角)．∴OA⊥AP，OB⊥BP．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线PA，PB为⊙O的切线(过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线)．故答案为：OBP，90，直径所对的圆周角是直角，OB，过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线．根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可．本题考查作图−复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)∵点F是点E关于AD的对称点，∴∠EAD=∠FAD，AE=AF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠OAD=∠ODA，∴∠FAD=∠ODA，∴AF//BD；(2)∵O是矩形ABCD的对角线的交点，∴O是AC的中点，∵AF//BD，∴G为CF的中点，∴OG是△CAF的中位线，∴AF=2OG=2×1=2，∴AE=2，∵OE=2，∴OA=4，∴AC=2OA=8，∴BD=AC=8．【解析】(1)根据矩形的性质和翻折的性质即可得出结论；(2)根据O是AC的中点，利用中位线性质求出AF，再求出OA即可．本题考查矩形的性质、翻折的性质以及三角形中位线的性质，关键是利用中位线性质得出AF的长．23.【答案】解：(1)∵一次函数y=−x+b经过点(0,2)，∴将点(0,2)代入y=−x+b，得b=2，∴一次函数的解析式为：y=−x+2．(2)令y1=−x+2，y2=kx−k，∴y1+y2=−x+2+kx−k=(k−1)x+2−k，∵当x<4时，(k−1)x+2−k>0，∴k−1<0，解得k<1，，解(k−1)x+2−k>0，得x<k−2k−1>4，∴k−2k−1∴解得k>2，3<k<1．综上，k的取值范围是23【解析】(1)根据点(0,2)在一次函数图象上，用待定系数法代入求解即可；(2)根据题意列出不等式(k−1)x+2−k>0，因为不等式的解包含x<4，所以k−1<>4，求解即可．0、k−2k−1本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象与系数的关系及一次函数图象上点的坐标特征，要结合题意进行求解，必要时可以利用函数图象辅助完成．24.【答案】l1<<①③【解析】解：(1)由图可以看出这30位应试者的成绩大部粉分布在直线l1附近，∴合理的分类方式应为直线l1，故答案为：l1．(2)将第Ⅰ组的后三名调至第Ⅱ组后，第Ⅰ组的平均成绩会增大，第Ⅱ组的平均成绩也会增大，即x1<x2，y1<y2，故答案为：x1<x2，y1<y2．(3)由图可知，30位应试者听说能力测试成绩的中位数介于60分到70分之间，他们读写能力测试成绩的中位数介于70分到80分之间，∴30位应试者听说能力测试成绩的中位数小于读写能力测试成绩的中位数，故①符合题意；由图可以看出应试者A听说能力强于应试者B的听说能力，他们两人之的读写能力差的不多，若公司分别赋予听说能力和读写能力7和3的权，那么应试者A加权后的成绩高于应试者B，故②不符合题意；由图可以看出应试者C的听说能力在60分左右、其读写能力在90分左右，若公司招聘了应试者C，建议公司通过培训提高该应试者的听说能力，故③符合题意；由图可看出应试者其听说能力测试成绩集中在50分到60分，其读写能力测试成绩分布较听说能力成绩而言稍均匀，图中矩形框中应试者读写能力测试成绩的方差小于听说能力测试成绩的方差，故④不符合题意；故答案为：①③．(1)观察矩形中30位应试者的成绩分布情况，横轴表示应试者读写能力测试成绩，纵轴表示听说能力测试成绩，可以看出这30位应试者的成绩大部粉分布在直线l1附近；(2)将第Ⅰ组的后三名调至第Ⅱ组后，第Ⅰ组的平均成绩会增大，第Ⅱ组的平均成绩也会增大；(3)观察图像结合中位数、加权平均数及方差的意义进行推导，即可得出相关的结论．本题考查方差、加权平均数及中位数，要将方差、加权平均数及中位数的意义与实际数据相结合，解题的关键要从图入手．25.【答案】(1)解：连接OD，∵CB、CD为⊙O的切线，∴CD=CB，∵AB=4，BC=2，∴CB=BO=OD=CD=2，∴四边形OBCD是菱形，∴CD=OB=OA，CD//OA，∴四边形OADC是平行四边形；(2)解：过点O分别作OM⊥CF于点M，ON⊥DA与点N，∵EF=AD，∴OM=ON=√2，∴OC=2OM，在Rt△COM中，sin∠OCM=OM OC =12，∴∠OCM=30°，作GK⊥CO于点K，设GK=a，则OK=GK=a，CG=2GK=2a，CK=√3a，∵CK+OK=OC，∴√3a+a=2√2，解得：a=√6−√2，∵△OGK为等腰直角三角形，∴OG=√2GK=√2a=√2(√6−√2)=2√3−2．∴OG的长为2√3−2．【解析】(1)连接OD，根据切线长定理得到CD=CB，证明四边形OBCD是菱形，得到CD=OB=OA，CD//OA，从而得到四边形OADC是平行四边形；(2)过点O分别作OM⊥CF于点M，ON⊥DA与点N，证明∠OCM=30°，作GK⊥CO于点K，设GK=a，可得a+√3a=2√2，求出a的值，即可得出OG的长．本题考查了圆的切线的性质，切线长定理，解直角三角形，菱形的判定和性质，关键是作出辅助线，构造直角三角形，借助解直角三角形的知识解决问题．26.【答案】(1,2c−12)【解析】解：(1)∵y1=12x2−x+c=12(x−1)2+2c−12，∴抛物线C1的顶点坐标(1,2c−12)，故答案为：(1,2c−12)；(2)∵将抛物线C1平移得抛物线C2：y2=a(x−ℎ)2，∴a=12，∴抛物线C2：y2=12(x−ℎ)2，令y3=x，设其图象与抛物线C2交点的横坐标为x0，x0′，且x0<x0′，∵抛物线C2可以看作抛物线y=12x2左右平移得到的，观察图象，随着抛物线C2的不断平移，x0，x0′的值不断增大，∴当满足2<x≤m时y2≤x恒成立，m的最大值在x0′处取得，可得：x0=2时，所对应的x0′既为m的最大值，于是，将x0=2代入12(x−ℎ)2=x，有12(2−ℎ)2=2，解得：ℎ=4或ℎ=0(舍去)，∴y2=12(x−4)2，此时，y2=y3，得12(x−4)2=x，解得：x0=2，x0′=8，∴m的最大值为8．(1)把抛物线的一般式化为顶点式，即可求顶点坐标；(2)将抛物线C1平移得抛物线C2：y2=a(x−ℎ)2得出a=12，令y3=x，设其图象与抛物线C2交点的横坐标为x0，x0′，且x0<x0′，观察图象，随着抛物线C2的不断平移，x0，x0′的值不断增大，当满足2<x≤m时y2≤x恒成立，m的最大值在x0′处取得，可得：x0=2时，所对应的x0′既为m的最大值．本题考查二次函数与不等式的关系以及一般式与顶点式的转化，关键是利用数形结合的思想的应用．27.【答案】解：(1)①如图，图形即为所求．②∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AD//BC，∠B=∠BCD=∠ECN=90°，∵∠AEB=∠CEN，BE=EC，∴△ABE≌△NCE(ASA)，∴CN=AB，∴CN=CD，∵AD//CF，CF=CE=12BC=12AD，∴DMMC ADCF=2，∴DMDC =23，∴DMCN =23．(2)如图2中，设EC=CF=a．∵BE=kEC，∴BE=ka，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC=(k+1)a，AD//BC，AB//CD，∴CNAB =CEBE=1k，∵CF//AD，∴DMMC =ADCF=k+11，∴DMDC =k+1k+2，∵DM=CN，AB=CD，∴1k =k+1k+2，∴k=√2或−√2(舍弃)．∴当k=√2时，对于任意的平行四边形ABCD总有DM=CN．理由：当k=√2时，∵CN//AB，∴CNAB =√22，∵CF//AD，∴DMMC =ADCF=1+√21，∴DMDC =√22+√2=√22，∴CNAB =DMCD，∵AB=CD，∴CN=DM，∴当k=√2时，对于任意的平行四边形ABCD总有DM=CN．【解析】(1)①根据要求作出图形即可．②首先证明AB =CN =CD ，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．(2)当k =√2时，对于任意的平行四边形ABCD 总有DM =CN.再利用平行线分线段成比例定理，证明CN AB =DM CD ，可得结论．本题属于几何变换综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考压轴题．28.【答案】1+√3 2【解析】解：(1)①已知A(−1,0)，B(0,√3)，根据定义，∴d 1(A,B)=∣−1−0∣+∣0−√3∣=1+√3，d 2(A,B)=√(−1−0)2+(0−√3)2=√1+3=2．故答案为：1+√3，2．②设直线AB 的解析式为y =kx +b ，将A 、B 坐标代入得：{−k +b =0b =√3，解得：{k =√3b =√3． ∴直线AB 解析式为y =√3x +√3．∵M ，N 在AB 上，设M(a,√3a +√3)，N(b,√3b +√3)，∴d 1(M,N)=∣a −b ∣+∣√3a −√3b ∣=(1+√3)∣a −b ∣．d 2(M,N)=√(a −b)2+(√3a −√3b)2=√4(a −b)2=2∣a −b ∣．∴d 1(M,N) d 2(M,N)=(1+√3)∣a−b ∣2∣a−b ∣=1+√32．(2)联立{y =kx +b y =kx 2+b，解得：{x 1=0 y 1=b (此点在y 轴上，故舍去)，{x 2=1y 2=k +b ． 故交点P 坐标为(1,k +b)．由题可知点Q 在直线l 上，设点Q(x 1,kx 1+b)，R 在抛物线C 上，设点R(x 2,kx 22+b)，∴d 1(P,Q)=∣x 1−1∣+∣k(x 1−1)∣=(1+k)(1−x 1)，d 1(P,R)=∣ x 2−1∣+∣k(x 2+1)(x 2−1)∣=(x 2−1)[k(x 2+1)+1]．∵d 1(P,Q)=d 1(P,R)，即(1+k)(1−x 1)=(x 2−1)[k(x 2+1)+1]①，同理，由d 2(P,Q)=d 2(P,R)可得：(1−x 1)√1+k 2=(x 2−1)√1+k 2(x 2+1)2 ②，∵x1<1，x2>1，k>0，∴①②得：√1+k2=2√k2(x2+1)2+1，两边同时平方后得：(1+k)2 1+k2=[k(x2+1)+1]2k2(x2+1)2+1，∴1+2k 1+k2=1+2k(x2+1)k2(x2+1)2+1，∴2k 1+k2=2k(x2+1)k2(x2+1)2+1，∴1 1+k2=(x2+1)k2(x2+1)2+1，即k2(x2+1)2+1=(x2+1)(1+k2)，化简整理得：k2x22+k2x2−x2=0，∵x2>1，∴k2x2+k2−1=0，∴x2=1−k2k2>1，即1−k2>k2，∴2k2<1，解得：−√22<k<0或0<k<√22，∵k>0，故0<k<√22．(1)①根据新定义直接计算即可；②先求出直线AB的解析式为y=√3x+√3，再设M(a,√3a+√3)，N(b,√3b+√3)，根据定义分别计算出d1(M,N)=(1+√3)∣a−b∣，d2(M,N)=2∣a−b∣，即可得到d1(M,N) d2(M,N)的值；(2)联立直线l和抛物线C，求出点P坐标为(1,k+b).设点Q(x1,kx1+b)，点R(x2,kx22+b)，则d1(P,Q)=(1+k)(1−x1)，d1(P,R)=(x2−1)[k(x2+1)+1].由d1(P,Q)=d1(P,R)，可得(1+k)(1−x1)=(x2−1)[k(x2+1)+1]①，同理，由d2(P,Q)=d2(P,R)可得：(1−x1)√1+k2=(x2−1)√1+k2(x2+1)2②，然后①②并化简整理可得：k2x2+k2−1=0，继而可得x2=1−k2k2>1，解得0>k>−√22或0<k<√22，又k>0，故0<k<√22．本题考查了对新定义的理解与运用，以及用待定系数法求函数解析式，理解题目所给的定义、得到点P的坐标是解题的关键．。

交大附中2020~2021学年度第一学期12月月考练习（考试时间120分钟 满分100分）一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（A ） （B ） （C ） （D ） 2．抛物线2(2)+1y x =-的顶点坐标是（A ）(2，1) （B ）(-2，1) （C ）(-2，-1) （D ）(1，2) 3. 抛物线y ＝223ax ax a --的对称轴是（A ） 直线 x a = （B ）直线2x a = （C ）直线（D ）直线 1-=x4．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是圆上两点，且126AOC ∠=︒，则CDB ∠等于第4题图 第6题图 （A ）27︒（B ）37︒（C ）54︒（D ）64︒5．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（A ）（B ）（C ）（D ）6．如图，在正方形网格中，△MPN 绕某一点旋转某一角度得到△M´P´N´，则旋转中心可能是（A ）点A （B ）点B （C ）点C （D ）点D7．已知⊙O 1, ⊙O 2, ⊙O 3是等圆，△ABP 内接于⊙O 1,点C ， E 分别在⊙O 2, ⊙O 3上．如图，①以C 为圆心，AP 长为半径作弧交⊙O 2于点D ,连接CD ；②以E 为圆心，BP 长为半径作弧交⊙O 3于点F ,连接EF ； 下面有四个结论： ①CD EF AB += ②CD EF AB +=③∠CO 2D +∠EO 3F =∠AO 1B ④∠CDO 2+∠EFO 3 =∠P 所有正确结论的序号是（A ）①②③④ （B ）①②③ （C ）②④ （D ）②③④ 8．如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A ，B 两点，D 是以点C （0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段 AD 的中点，连接OE ，BD ，则线段OE 的最小值是 （A ）2 （B ）322 （C ）52（D ）3 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 第8题图 9．点（-1，-3）关于原点的对称点的坐标为_____．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，射线l 的端点为（0，1），l ∥x 轴，请写出一个图象与射线l 有公共点的反比例函数的表达式：_____．11． 反比例函数2y x=的图象经过12(2,),(3,)y y 两点，则1y ______2y .（填“>”，“=”或“<”） 12．如果关于x 的一元二次方程210ax bx +-=的一个解是1x =，则2021a b --=_______.13．如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D ．若AC ＝BD ＝1，∠A ＝45°，则CD 的长度为_____．第10题图第13题图14．抛物线223y ax ax 与x 轴交于两点，分别是是（m ，0），（n ，0），则m +n 的值为_____． 15． 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ABC ＝60°，AB ＝2，分别以点A 、C 为圆心，以AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）16．已知二次函数1-2+)+(-=2a a x y （a 为常数），当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a 取四个不同数值时此二次函数的图象．发现它们的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是 .三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17．解一元二次方程：2230x x --=．18．下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程. 已知：如图1，⊙O 及⊙O 上一点P ． 求作：直线PQ ，使得PQ 与⊙O 相切． 作法：如图2，①连接PO 并延长交⊙O 于点A ；②在⊙O 上任取一点B （点P ，A 除外），以点B 为圆心， BP 长为半径作⊙B ，与射线PO 的另一个交点为C ； ③连接CB 并延长交⊙B 于点Q ； ④作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线． 根据小石设计的尺规作图的过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．证明：∵CQ 是⊙B的直径，图1图2OP O ABP ODCB A∴CPQ ∠= °（ ）（填推理的依据）. ∴OP PQ ⊥.又∵OP 是⊙O 的半径，∴PQ 是⊙O 的切线（ ）（填推理的依据）. 19．在平面直角坐标系xoy 中，直线4-+=x y 与反比例函(0)ky k x=≠图象的一个交点为(2)A a ，， 求k 的值．20．如图，△ABC 为等边三角形，将BC 边绕点B 顺时针旋转30°，得到线段BD ，连接AD ，CD ，求∠ADC 的度数.21．已知一次函数1(0)y kx m k ≠和二次函22(0)y ax bx c a ≠部分自变量和对应的函数值如下表：（1）求2y 的表达式； （2）关于x 的不等式2axbx c ＞kx m 的解集是 ．22．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1， 点P 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5 m 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m ，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．x … -2 -1 0 1 2 … y 1 … 0 1 2 3 4 … y 2…-138…23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：3=+y mx 与x 轴交于点C ，与反比例函数(0)=≠ky k x的图象交于点A (1，4)和点B ． (1) 求m ，k 的值及点C 的坐标； (2) 若点P 是x 轴上一点，且S △ABP ＝5， 直接写出点P 的坐标．24．如图，B 是⊙O 的半径OA 上的一点（不与端点重合），过点B 作OA 的垂线交⊙O 于点C ，D ，连接OD .E 是⊙O 上一点，CE CA =，过点C 作⊙O 的切线l ，连接OE 并延长交直线l 于点F . （1）①依题意补全图形； ②求证：OFC ODC ∠=∠； （2）连接FB ，若B 是OA 的中点， ⊙O 的半径是4，求FB 的长.25．如图，在矩形ABCD 中， E 是BA 延长线上的定点， M 为BC 边上的一个动点，连接ME ，将射线ME 绕点M 顺时针旋转76，交射线CD 于点F ，连接MD ．小东根据学习函数的经验，对线段BM ，DF ，DM 的长度之间的关系进行了探究. 下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M 在BC 上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM ，DF ，DM 的长度的几组值，如下表：位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 BM /cm 0.00 0.53 1.00 1.69 2.17 2.96 3.46 3.79. 4.00 DF /cm 0.00 1.00 1.74 2.49 2.69 2.21 1.14 0.00 1.00 DM /cm4.123.613.162.522.091.441.141.021.00l A OBC DEl y1x1OC BA在BM ，DF ，DM 的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DF=2cm 时，DM 的长度约为 cm ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx =+经过点(3，3) .(1)用含a 的式子表示b ；(2)直线4+4y x a =+与直线4y =交于点B ，求点B 的坐标（用含a 的式子表示）；(3)在(2)的条件下，已知点A (1，4)，若抛物线与线段A B 恰有一个公共点，直接写出 a (a ＜0)的取值范围.27．已知∠MON =120°，点A ，B 分别在ON ，OM 边上，且OA =OB ，点C 在线段OB 上（不与点O ，B 重合），连接CA . 将射线CA 绕点C 逆时针旋转120°得到射线CA´，将射线BO 绕点B 逆时针旋转150°与射线CA´交于点D .(1)根据题意补全图1；(2)求证：①∠OAC =∠DCB ；②CD =CA （提示：可以在OA 上截取OE =OC ，连接CE ）；(3)点H 在线段AO 的延长线上，当线段OH ，OC ，OA 满足什么等量关系时，对于任意的点C 都有∠DCH =2∠DAH ，写出你的猜想并证明.28．在平面直角坐标系xOy 中，有任意三角形，当这个三角形的一条边上的中线等于这条边的一半时，称这个三角形叫“和谐三角形”，这条边叫“和谐边”，这条中线的长度叫“和谐距离”．（1）已知A （2,0），B （0,4），C （1,2），D （4,1），这个点中，能与点O 组成“和谐三角形”的点是_______________，“和谐距离”是___________________________；（2）连接BD ，点M ，N 是BD 上任意两个动点（点M ，N 不重合），点E 是平面内任意一点，△EMN 是以MN 为“和谐边”的“和谐三角形”，直接写出点E 的横坐标t 的取值范围；（3）已知⊙O 的半径为2，点P 是⊙O 上的一动点，点Q 是平面内任意一点，△OPQ 是“和谐三角形”，备用图图1且“和谐距离”是2，请描述出点Q所在位置．。

2024北京人大附中初三（下）开学考数 学考生须知：1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间，120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，等合题意的选项只有一个．1．2024年春节假期，首都市民纷纷走出家门，到公园逛庙会、赏民俗、看花灯，感受新春的喜庆氛围．据北京市园林绿化局的数据信息，春节假期首日（2月10日），全市共接待游客71.1万人次．将71.1万用科学记数法表示应为（ ）A ．471.110⨯B ．57.1110⨯C ．47.1110⨯D ．371110⨯2．在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．若关于x 的一元二次方程220x x m −+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1D ．－1 4．已知1x −>−，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．1x >B ．1x <C ．1x >−D ．1x <−5．如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片中出现2张正面朝上的概率是（ ）A ．14B ．13C ．23D ．126．已知点()()()1233,,1,,1,y y y −−在下列某一函数图象上，且312y y y <<，那么这个函数可能是（ ） A ．3y x = B ．23y x = C ．3y x = D ．3y x=−7．无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m 的A 处测得试验田右侧出界N 处俯角为43，无人机垂直下降40m 至B 处，又测得试验田左侧边界M 处俯角为35，则,M N 之间的距离约为（参考数据：tan430.9≈，sin430.7,cos350.8,tan350.7≈≈≈，结果保留整数）（ ）A ．312mB ．286mC ．269mD ．188m8．如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，点P 在线段OD 上，连接AP 并延长交CD 于点E ，过点P 作PF AP ⊥交BC 于点F ，连接,AF EF AF 、交BD 于G ．给出下面四个结论：①2222AB BF AP +<；②BF DE EF +>；③2PB PD BF −<；④FC EC +>． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．③ 第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．若代数式12x −有意义，则实数x 的取值范围是______． 10．五边形的内角和等于______度．11．若反比例函数的图象经过点()2,3−，则该函数的解析式为______．12．天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿AB 长2米，在太阳光下，它的影长BC 为1.5米，同一时刻，祈年殿的影长EF 约为28.5米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度DE 约为______米．13．如图，已知AB 是O 的直径，点C 、D 在O 上，且5,4AB AC ==．则tan ADC ∠=______．14．如图，ABC △中，CD 平分,//ACB DE AC ∠交BC 于点E ．若5,3AC DE ==，则BE =______．15．已知()1,3是反比例函数11k y x=图象和正比例函数22y k x =图象的交点．若12y y >，则x 的取值范围是______．16．甲乙两人进行如下游戏：已知1、2、3、4、5、6、7、8共8个数，每人每次从中勾去2个数，若甲先开始，两人轮流进行，经过3次勾数后，还剩两个数，这时所余两数之差即为甲得的分数，则甲可保证自己至少得______分． 三、解答题（共68分，第17－19题，每题5分，第20－21题，每题6分，第22－23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题，每题7分）17．计算：112sin452−⎛⎫++− ⎪⎝⎭． 18．解不等式组：24,3172.x x x x +⎧≤⎪⎨⎪+>−⎩ 19．已知230x xy +−=，求代数式222xy y x y x x x⎛⎫+++÷ ⎪⎝⎭的值． 20．如图，在ABC △中，,AB AC AD =为BC 边上的中线，点E 为AD 中点，过点A 作//AF BC ，交BE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：四边形ADCF 为矩形；（2）若36,sin 5BC BAD =∠=，求EF 的长． 21．电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？“该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：（1）刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”下面有三种说法：①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案．②刘三姐的姐妹们给出的答穼是唯一正确的答案．③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．所有正确说法的序号是______；（2）若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量．22．在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠图象经过点()1,4A 和()2,B m（1）若2m =，求该函数的解析式；（2）当2x >时，对于x 的每一个值，函数1y mx =−的值大于()0y kx b k =+≠的，结合函数图象，直接写出m 的取值范围．23．蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万卢提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析，下面给出了部分信息：a ．配送速度得分（满分10分）：甲：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10乙：7 7 8 8 8 9 9 9 10 10b ．服务质量得分统计图（满分10分）：c ．配送速度和服务质量得分统计表：（1）写出表中,m n 的值；（2）在甲乙两家快递公司中，如果某公司得分的10个数据的方差越小，则认为种植户对该公司的评价越一致．据此推断；甲、乙两家公司中，种植户对______的服务质量的评价更一致（填“甲”或“乙”）；（3）一开始小丽考虑到樱桃保鲜时间短，所以更看重配送速度，从这个角度看，你为小雨推荐的公司为______（填“甲”或“乙”）：后来改进了储存技术，在配送速度达到6分及以上的情况下，小丽更看重服务质量的稳定性，从这个角度看，你为小丽推荐的公司为______（填“甲”或“乙”）．24．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为,H E 为BC 上一点，过点E 作O 的切线，分别交,DC AB 的延长线于点,F G ．连接AE ，交CD 于点P ．（1）求证：FEP FPE ∠=∠；（2）连接AD ，若4//,4,cos 5AD FG CD F ==，求EG 的长． 25．酶是一种绿色添加剂，合理地使用酶制作面包，能增加面粉的拉伸面积，从而既能降低原料的成本，又能改善面包的口味．下表是A 种酶对面粉拉伸面积的影响表．x 之间的关系， 当020x ≤≤时，y 与x 满足______关系：当2060x ≤≤时，y 与x 满足______关系；（填“一次函数”或“反比例函数”或“二次函数”）（2）当面粉拉伸面积不小于2112.5cm 时，达到效果较好，结合（1）中的判断，请你求出面粉拉伸面积y 与A 种酶的添加量x 的函数关系式，并写出达到效果较好时的x 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，点()00,x y 是抛物线()230y ax bx a =++>上任意一点． （1）若002,3x y =−=，求该拋物线的对称轴；（2）已知点()()()1231,,1,,3,y y y −在该抛物线上．若存在034x <<，恰好使03y =．比较123,,y y y 的大小，并说明理由． 27．在ABC △中，,,BAC AB AC D α∠==为BC 上一动点，连结AD ．将AD 绕点A 逆时针旋转()180α−得到线段AE ，连接BE ，取BE 中点G ．（1）如图1，点D 不与B C 、重合，用等式表示线段CD 与AG 的数量关系，并证明；（2）若120α=，且AD BE ⊥，连接,DG CE ，依题意补全图2，并直接写出BD DG CE −的值． 28．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1．对于O 的弦AB 和点C 给出如下定义；若直线CA 经过点O ，线段CB 与O 只有一个公共点B ，且30ACB ∠=，则称点C 是弦AB 的“关联点”．（1）如图，点()1,,1,022A B ⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭．在点(()()12341,,,,1,02C C C C ⎛−⎝⎭中，弦AB 的“关联点”是______；（2）若点()1,0,22A B ⎛ ⎝⎭，且点C 是弦AB 的“关联点”，求线段OC 的长；（3）已知直线y =+与x 轴、y 轴分别交于点,M N ．对于线段MN 上一点P ，存在O 的弦AB ，使得点P 是弦AB 的“关联点”．记AB 的长为t ，当点P 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．参考答案一、选择题（每小题2分，共16分）16分）9．2x ≠； 10．540； 11．6y x=−； 12．38； 13．43； 14．92； 15．01x <<或1x <−； 16．5 三、解答题（共68分，过程与标准答案不同，但合理，即可给分）17．解：原式222=⋅+−2= 18．解：原不等式组为243172x x x x +⎧≤⎪⎨⎪+>−⎩①②由①得4x ≤，由②得2x >，∴不等式组的解集为24x <≤．19．解：原式2222x xy y x x x y ++=⋅+()22x y x x x y+=⋅+()x y x =+⋅2x xy =+ 230x xy +−=23x xy ∴+=．即原式值为3．20．（1）证明：点E 为AD 中点，//AF BC ，1EF AE BE ED ∴==． ∴四边形ABDF 为平行四边形，//,AF BD AF BD ∴=． 又,AB AC AD =为BC边上的中线，,AD BC BD DC ∴⊥=．,AF DC AF DC ∴=．∴四边形ADCF 为平行四边形． 又90ADC ∠=，∴平行四边形ADCF 为矩形．（2）解：6,BC AD =为BC 边上的中线，132BD BC ∴==．在Rt ABD △中，3sin 5BAD ∠=，5sin BD AB BAD ∴==∠．4AD ∴==． 又点E 为AD 中点，122ED AD ∴==． ∴在Rt EBD △中，BE ==EF BE ∴==．21．（1）①；（2）解：设数量多的三个群均有x 条狗，则数量少的群有()40x −条狗．由题意，列方程为()340300x x +−=，解得85x =．则4045x −=．答：四个群里狗的条数分别为85，85，85，45．22．（1）2m =，∴函数()0y kx b k =+≠图象经过点()1,4A 和()2,2B ．422k b k b +=⎧∴⎨+=⎩，解得26k b =−⎧⎨=⎩．∴该函数的解析式为26y x =−+． （2）1m ≥且m ≠423．（1）8, 6.5m n ==；（2）甲；（3）乙；甲24．（1）证明：连接OE ，EF 为O 的切线，90OEF ∴∠=．90OEA PEF ∴∠+∠=．CD AB ⊥，90AHP ∴∠=．∴在APH △中，90PAH APH ∠+∠=．又OE OA =，OEA PAH ∴∠=∠．FEP APH ∴∠=∠．APH FPE ∠=∠．FEP FPE ∴∠=∠．（2）解：//AD FG ，F ADH ∴∠=∠． 4cos 5F =，4cos 5ADH ∴∠=．弦,4CD AB CD ⊥=， 12,902DH CD AHD OHD ∴==∠=∠=． ∴在Rt AHD △中，53,cos 22AD AH ADH ====∠． 设半径OD r =，则32OH OA AH r =−=−， 在Rt OHD △中，222OH DH OD +=， 222322r r ⎛⎫∴−+= ⎪⎝⎭，解得2512r =． 在Rt FHG △中，4sin cos 5G F ==，125sin 48OE OG G ∴==，2516EG ∴==． 25．（1）一次函数；二次函数（2）解：当020x ≤≤时，依据表格数据，设90y kx =+，代入()10,95得109095k +=，解得12k =． 1902y x ∴=+． 当2060x ≤≤时，依据表格数据，设()235y a x m =−+，代入()20,100和()40,120得()()2220351004035120a m a m ⎧−+=⎪⎨−+=⎪⎩，解得1102452a m ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．()2124535102y x ∴=−−+ 综上所述，y 与x 的函数关系式为()2190,020*********2x x y x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪−−+⎪⎩，2060x <≤， 达到效果较好时的x 的取值范围为2545x ≤≤．26．（1）解：抛物线过()2,3−，4233a b ∴−+=即2b a =，∴抛物线对称轴为直线2122b a x a a=−=−=−； （2）解：132y y y >>理由如下：设抛物线对称轴为直线x t =，则抛物线上点()0,3关于对称轴的对称点为()2,3t ， 存在034x <<，恰好使03y =．324t ∴<<，即322t <<． 抛物线开口向上，∴在对称轴的左侧y 随x 增大而减小．又()33,y 关于对称轴的对称点为()323,t y −且0231t <−<∴点()()()1231,,1,,23,y y t y −−都在对称轴左侧，且1231t −<−<132y y y ∴>>．27．（1）线段CD 与AG 的数量关系：2CD AG =．证明：倍长EA 到F ，连接BF ． G 为BE 的中点，2BF AG ∴=． AD 绕点A 逆时针旋转()180α−得到线段AE ， ,180AD AE DAE α∴=∠=−．,AD AF DAF α∴=∠=．BAC FAD α∠==∠，BAF CAD BAD α∴∠=∠=−∠．又AB AC =，FAB DAC ∴△≌△．BF CD ∴=．2CD AG ∴=．（2）BD DG CE −的值：2． 依题意补全图2如图：28．（1）1C ；（2）解：如图，由题意可得，点C 在x 轴上且30ACB ∠=， 即图中1C 和2C 两个位置．过B 作BD x ⊥轴于D ，2,,,?222B OD BD ⎛∴== ⎝⎭，又在Rt 1BC D △中，130BC D ∠=，12C D ∴=．112OC C D OD ∴=−=−=2C D =，222OC C D OD ∴=+==综上所述，线段OC 的长为2或2．（3）12t ≤≤2t ≤≤．。

交大附中2020~2021学年度第一学期12月月考练习（考试时间120分钟 满分100分）一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（A ） （B ） （C ） （D ） 2．抛物线2(2)+1y x =-的顶点坐标是（A ）(2，1) （B ）(-2，1) （C ）(-2，-1) （D ）(1，2) 3. 抛物线y ＝223ax ax a --的对称轴是（A ） 直线 x a = （B ）直线2x a = （C ）直线 1=x （D ）直线 1-=x 4．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是圆上两点，且126AOC ∠=︒，则CDB ∠等于第4题图 第6题图 （A ）27︒（B ）37︒（C ）54︒（D ）64︒5．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（A ）（B ）（C ）（D ）6．如图，在正方形网格中，△MPN 绕某一点旋转某一角度得到△M´P´N´，则旋转中心可能是（A ）点A （B ）点B （C ）点C （D ）点D7．已知⊙O1, ⊙O2, ⊙O3是等圆，△ABP内接于⊙O1,点C，E分别在⊙O2, ⊙O3上．如图，①以C为圆心，AP长为半径作弧交⊙O2于点D,连接CD；②以E为圆心，BP长为半径作弧交⊙O3于点F,连接EF；下面有四个结论：①CD EF AB+=②CD EF AB+=③∠CO2D+∠EO3F =∠AO1B④∠CDO2+∠EFO3 =∠P所有正确结论的序号是（A）①②③④（B）①②③（C）②④（D）②③④8．如图，抛物线2119y x=-与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（A）2 （B）322（C）52（D）3二、填空题（本题共16分，每小题2分）第8题图9．点（-1，-3）关于原点的对称点的坐标为_____．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，射线l的端点为（0，1），l∥x轴，请写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：_____．11．反比例函数2yx=的图象经过12(2,),(3,)y y两点，则1y______2y.（填“>”，“=”或“<”）12．如果关于x的一元二次方程210ax bx+-=的一个解是1x=，则2021a b--=_______.13．如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则CD的长度为_____．第10题图第13题图14．抛物线223y ax ax 与x 轴交于两点，分别是是（m ，0），（n ，0），则m +n 的值为_____． 15． 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ABC ＝60°，AB ＝2，分别以点A 、C 为圆心，以AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）16．已知二次函数1-2+)+(-=2a a x y （a 为常数），当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a 取四个不同数值时此二次函数的图象．发现它们的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是 .三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17．解一元二次方程：2230x x --=．18．下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程. 已知：如图1，⊙O 及⊙O 上一点P ． 求作：直线PQ ，使得PQ 与⊙O 相切． 作法：如图2，①连接PO 并延长交⊙O 于点A ；②在⊙O 上任取一点B （点P ，A 除外），以点B 为圆心， BP 长为半径作⊙B ，与射线PO 的另一个交点为C ； ③连接CB 并延长交⊙B 于点Q ； ④作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线． 根据小石设计的尺规作图的过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．证明：∵CQ 是⊙B 的直径，∴CPQ ∠= °（ ）（填推理的依据）.图1图2OP O ABP ODCB A∴OP PQ⊥.又∵OP是⊙O的半径，∴PQ是⊙O的切线（）（填推理的依据）.19．在平面直角坐标系xoy中，直线4-+=xy与反比例函(0)ky kx=≠图象的一个交点为(2)A a，，求k的值．20．如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求∠ADC的度数.21．已知一次函数1(0)y kx m k≠和二次函22(0)y ax bx c a≠部分自变量和对应的函数值如下表：（1）求2y的表达式；（2）关于x的不等式2ax bx c＞kx m的解集是．22．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5 m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．x …-2 -1 0 1 2 …y1…0 1 2 3 4 …y2…0 -1 0 3 8 …图1图223．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：3=+y mx 与x 轴交于点C ，与反比例函数(0)=≠ky k x的图象交于点A (1，4)和点B ． (1) 求m ，k 的值及点C 的坐标； (2) 若点P 是x 轴上一点，且S △ABP ＝5， 直接写出点P 的坐标．24．如图，B 是⊙O 的半径OA 上的一点（不与端点重合），过点B 作OA 的垂线交⊙O 于点C ，D ，连接OD .E 是⊙O 上一点，CE CA =，过点C 作⊙O 的切线l ，连接OE 并延长交直线l 于点F . （1）①依题意补全图形； ②求证：OFC ODC ∠=∠； （2）连接FB ，若B 是OA 的中点， ⊙O 的半径是4，求FB 的长.25．如图，在矩形ABCD 中， E 是BA 延长线上的定点， M 为BC 边上的一个动点，连接ME ，将射线ME 绕点M 顺时针旋转76，交射线CD 于点F ，连接MD ．小东根据学习函数的经验，对线段BM ，DF ，DM 的长度之间的关系进行了探究. 下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M 在BC 上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM ，DF ，DM 的长度的几组值，如下表：位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 BM /cm 0.00 0.53 1.00 1.69 2.17 2.96 3.46 3.79. 4.00 DF /cm 0.00 1.00 1.74 2.49 2.69 2.21 1.14 0.00 1.00 DM /cm 4.123.613.162.522.091.441.141.021.00l A OBC DEl y1x1OC BA在BM ，DF ，DM 的长度这三个量中，确定的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DF=2cm 时，DM 的长度约为 cm ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx =+经过点(3，3) .(1)用含a 的式子表示b ；(2)直线4+4y x a =+与直线4y =交于点B ，求点B 的坐标（用含a 的式子表示）；(3)在(2)的条件下，已知点A (1，4)，若抛物线与线段A B 恰有一个公共点，直接写出 a (a ＜0)的取值范围.27．已知∠MON =120°，点A ，B 分别在ON ，OM 边上，且OA =OB ，点C 在线段OB 上（不与点O ，B 重合），连接CA . 将射线CA 绕点C 逆时针旋转120°得到射线CA´，将射线BO 绕点B 逆时针旋转150°与射线CA´交于点D .(1)根据题意补全图1；(2)求证：①∠OAC =∠DCB ；②CD =CA （提示：可以在OA 上截取OE =OC ，连接CE ）；(3)点H 在线段AO 的延长线上，当线段OH ，OC ，OA 满足什么等量关系时，对于任意的点C 都有∠DCH =2∠DAH ，写出你的猜想并证明.28．在平面直角坐标系xOy 中，有任意三角形，当这个三角形的一条边上的中线等于这条边的一半时，称这个三角形叫“和谐三角形”，这条边叫“和谐边”，这条中线的长度叫“和谐距离”．（1）已知A （2,0），B （0,4），C （1,2），D （4,1），这个点中，能与点O 组成“和谐三角形”的点是_______________，“和谐距离”是___________________________；（2）连接BD ，点M ，N 是BD 上任意两个动点（点M ，N 不重合），点E 是平面内任意一点，△EMN 是以MN 为“和谐边”的“和谐三角形”，直接写出点E 的横坐标t 的取值范围；（3）已知⊙O 的半径为2，点P 是⊙O 上的一动点，点Q 是平面内任意一点，△OPQ 是“和谐三角形”，且“和谐距离”是2，请描述出点Q 所在位置．备用图图1。

2020-2021学年北京首都师大附中九年级（下）开学数学试卷一.选样疆（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．若菱形的面积为定值，则它的一条对角线的长与另一条对角线的长满足的函数关系是（）A．正比例函数关系B．反比例函数关系C．一次函数关系D．二次函数关系3．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB＝2：3，则△ADE与△ABC的面积比等于（）A．2：3B．4：5C．4：9D．4：254．如图所示的正方形网格中有∠α，则cosα的值为（）A．B．C．D．25．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝36°，那么∠BAD等于（）A．36°B．44°C．54°D．56°6．在大力发展现代化农业的形势下，现有A、B两种新玉米种子，为了了解它们的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：种子数量10030050010003000 A出芽率0.990.940.960.980.97B出芽率0.990.950.940.970.96下面有三个推断：①当实验种子数量为100时，两种种子的出芽率均为0.99，所以A、B两种新玉米种子出芽的概率一样；②随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.97；③在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子．其中合理的是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③7．函数y＝+的图象如图所示，若点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是该函数图象上的任意两点，下列结论中错误的是（）A．x1≠0，x2≠0B．y1＞，y2＞C．若y1＝y2，则|x1|＝|x2|D．若y1＜y2，则x1＜x28．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2．结合图象，则m的取值范围是（）A．m＜l B．0＜m＜1C．0＜m＜D．m二.填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝﹣x的图象有交点，则对反比例函数而言，当x＞0时．y随x增大而．10．如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）近似满足函数关系式h＝﹣（t﹣6）2+5，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是米，此时飞行时间为秒．11．已知三角形ABC中，AB＝2，∠C＝60°．请你再增加一个条件，能够得到结论BC＝．12．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：①至少存在一点P，使得P A＞AB；②若＝2，则PB＝2P A；③∠P AB不是直角；④∠POB＝2∠OP A．上述结论中，所有正确结论的序号是．13．在数学活动课上，老师带领学生测量校园中一棵树的高度，如图，在树前的平地上选择一点C，测得树的顶端A的仰角为30°，在C，B间选择一点D（C，D，B三点在同一直线上），测得树的顶端A的仰角为75°，CD间距离为20m．这棵树AB的高度为.（结果保留根号）14．《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有句五步，股十二步．问句中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为．15．如图1，在△ABC中，AB＞AC，D是边BC上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段AC的长为，线段AB的长为．16．如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序．三．解管题（本题共68分。