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复摆法测定刚体转动惯量实验十三 复摆法测定刚体转动惯量【实验目的】1．了解复摆小角摆动周期与回转轴到复摆重心距离之间的关系； 2．学习用复摆测重力加速度的方法。
【实验仪器】复摆，光电计时装置，桌面刀架。
【实验原理】1．测定转动惯量，回转半径复摆是一刚体绕固定的水平轴在重力的作用下作微小摆动的动力运动体系。
复摆又称为物理摆。
如图1表示一个形状不规则的刚体，挂于过O 点的水平轴（回转轴）上，若刚体离开竖直方向转过θ角度后释放，它在重力力矩的作用下将绕回转轴自由摆动，这就是一个复摆。
当摆动的角度θ较小时，摆动近似为谐振动，设刚体绕固定轴O 在竖直平面内作左右摆动，C 是该物体的质心，与轴O 的距离为h ，θ为其摆动角度。
若规定右转角为正，此时刚体所受力矩与角位移方向相反，即有h mg M θ-=sin若θ很小时（θ在5°以内）近似有θmgh M -= （1）又据转动定律，该复摆又有θI M = （2） 其中I 为该物体转动惯量。
由（1）和（2）可得θωθ2-= （3） 其中Imgh=2ω。
此方程说明该复摆在小角度下作简谐振动，该复摆振动周期为 mghIT π=2 （4） 式中h 为回转轴到重心G 的距离；I 为刚体对回转轴O 的转动惯量；m 为刚体的质量；g 是当地的重力加速度。
设刚体对过重心G ，并且平行于水平的回转轴O 的转动惯量为I G ，根据平行轴定理得：I ＝I G ＋mh 2将此公式代入（4）式，得：mghmh I T G 22+=π （5） 由此可见，周期T 是重心到回转轴距离h 的函数，且当 h →0或h →∞时，T →∞。
取 2mR I = （6）2G G mR I = （7）式（6）和式（7）中R 和G R 称为回转半径。
用桌子上刀口定出G 的位置，测得T 和h ，就可以得到I ，G I ，R 和G R 。
2．利用复摆的共轭性测重力加速度由（5）、（7）式和极小值条件0=dhdT 得：hR G = （8）在h R G =两边必存在无限对回转轴，使得复摆绕每对回转轴的摆动周期相等。
用扭摆法测定物体转动惯量刚体定轴转动时，具有以下特征：首先是轴上各点始终静止不动。
其次是轴外刚体上的各个质点，尽管到轴的距离（即转动半径）不同，相同的时间内转过的线位移也不同，但转过的角位移却相同，因此只要在刚体上任意选定一点，研究该点绕定轴的转动并以此来描述刚体的定轴转动。
转动惯量是刚体转动时惯量大小的度量，是表明刚体特性的一个物理量。
刚体转动惯量除了与物体的质量有关外，还与转轴的位置和质量分布（即形状、大小和密度分布）有关。
如果刚体形状简单，且质量分布均匀，可以直接计算出它绕特定转轴的转动惯量。
对于形状复杂，质量分布不均匀的刚体，计算将极为复杂，通常采用实验方法来测定。
一、目的1. 用扭摆测定弹簧的扭转常数和几种不同形状物体的转动惯量和弹簧劲度系数，并与理论值进行比较。
2. 验证转动惯量平行轴定理。
二、原理扭摆的构造见图1所示，在其垂直轴1上装有一根薄 片状的螺旋弹簧2，用以产生恢复力矩。
在轴的上方可以装 上各种待测物体。
垂直轴与支座间装有轴承，使摩擦力矩尽 可能降低。
将物体在水平面内转过一角度θ后，在弹簧的恢复力矩 作用下，物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。
根据虎克定 律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M 与所转过的角度成正 比，即θK M -= （1） 式中，K 为弹簧的扭转常数。
根据转动定律 βI M =式中，I 为物体绕转轴的转动惯量，β为角加速度，由上式得 图 1 IM=β （2） 令IK=2ω，且忽略轴承的摩擦阻力矩，由式（1）与式（2）得 θωθθβ222-=-==I Kdtd上述方程表示扭摆运动具有角简谐振动的特性，即角加速度与角位移成正比，且方向相反。
此方程的解为)cos(ϕωθ+=t A式中，A 为谐振动的角振幅，ϕ为初相位角，ω为角速度。
此谐振动的周期为KIT πωπ22==（3） 利用公式（3）测得扭摆的摆动周期后，在I 和K 中任意一个量已知时即可计算出另一个量。
本实验用一个几何形状有规则的物体，它的转动惯量可以根据它的质量和几何尺寸用理论公式直接计算得到。
实验1：刚体转动惯量的测定教师：徐永祥1．前言：转动惯量(Moment of inertia)是表征物体转动惯性大小的物理量，它与物体平动的质量是完全对应的。
转动惯量和物体的形状、大小、密度以及转轴的位置等因素有关，密度均匀形状规则的刚体（Rigid body），其转动惯量可以方便地计算出来，但不符合此条件的刚体的转动惯量一般需要通过实验的方法测出。
目前，测量转动惯量的方法有多种，如动力学法、扭摆法（三线扭摆法、单线摆法）及复摆法等等。
本实验采用动力学方法测量被测物体的转动惯量。
2．教学方式与时间安排教师讲解、示范及与学生互动相结合；总实验时间：120分钟左右。
3．实验基本要求1) 会通过转动惯量实验仪的操作测量规则物体的转动惯量，并与理论值比较进行误差分析;2) 学会用实验方法验证平行轴原理；3）学会用作图法处理数据，熟悉并掌握用作图法处理数据的基本要求。
4．实验仪器与部件转动惯量实验仪，电子毫秒计，可编程电子计算器，铝环，小钢柱等。
5．仪器介绍转动惯量实验仪的主体由十字形承物台和塔轮构成。
塔轮带有5个不同半径的绕线轮（半径r分别为15,20,25,30,35mm共5挡），使轻质细线通过滑轮连着砝码钩；砝码钩上挂着不同数量的砝码，以改变转动体系的动力矩。
承物台呈十字形，它沿半径方向等距离地排有三个小孔，这些孔离中心的距离分别为45,60,75,90,105mm，小孔中可以安插小钢珠，籍以改变体系的转动惯量。
承物台下方连有两个细棒，它们随承物台一起转动，到达光电门处产生遮光并通过脉冲电路引起脉冲触发信号，从而便于计算遮光次数及某两次遮光之间的时间间隔，并最终由数字毫秒计显示出来。
关于数字毫秒计使用方法，请参见本实验讲义P66“数字毫秒计”部分。
6. 实验原理1）转动惯量的测定由刚体转动的动力学定律得到：βJM=（1）式中，M为转动体系所受的合外力矩，包括细绳作用于塔轮的力矩以及阻力矩；J为系统绕竖直轴的转动惯量。
图4-1单摆原理 实验4 用复摆测量刚体的转动惯量一、实验目的1．学习掌握对长度和时间的较精确的测量；2．掌握重力加速度的方法，并加深对刚体转动理论的理解；3．学习用作图法处理、分析数据。
二、实验仪器 JD-2物理摆、光电计时器等三、实验原理1.单摆如图4-1（单摆球的质量为m ）当球的半径远小于摆长l 时，应用动量矩定理，在角坐标系可得小球自由摆动的微分方程为：01212=+θθSin lg dt d (4-1) 式中t 为时间，g 为重力加速度，l 为摆长。
当1θ（rad ）很小时，11sin θθ≈ (4-2)则（4-1）式可简化为：01212=+θθlg dt d （4-3） 令 lg =21ω (4-4) （4-3）式的解为： )sin(1101αωθθ+=t （4-5 )式中10θ，α由初值条件所决定。
周期 gl T π21= （4-6）图4-2 物理摆(复摆)2．物理摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆或物理摆。
如图4-2，设物理摆的质心为C ，质量为M ，悬点为O ，绕O 点在铅直面内转动的转动惯量为0J ，OC 距离为h ，在重力作用下，由刚体绕定轴转动的转动定律可得微分方程为θθsin 220Mgh dtd J -= (4-7) 令 02J Mgh =ω （4-8） 仿单摆，在θ很小时，（4-7）式的解为：)sin(αωθθ+=t (4-9)Mgh J T 02π= (4-10) 设摆体沿过质心C 的转动惯量为C J ，由平行轴定理可知：20Mh J J C += (4-11)将（4-11）代入（4-10）可得：gh Mgh J T C +=π2 （4-12） (4-12)式就是物理摆的自由摆动周期T 和（4-13）式右端各参变量之间的关系。
实验就是围绕（4-12）式而展开的。
因为对任何C J 都有C J ∝M ，因此（4-13）式的T 与M 无关，仅与M 的分布相关。
令2Ma J =，a 称为回转半径，则有 gh gh a T +=2 （4-13） ①一次法测重力加速度g由（4-12）式可得出MhMh J g C )(422+=π （4-14） 测出（4-14）右端各量即可得g ；摆动周期T ，用数字计时器直接测出，M 可用天平称出，C 点可用杠杆平衡原理等办法求出，对于形状等规则的摆，C J 可以计算出。
图1三线摆实验装置示意图图2 三线摆原理图实验七用三线摆测量刚体的转动惯量【实验目的】1. 学会正确测量长度、质量和时间。
2. 学习用三线摆测量圆盘和圆环绕对称轴的转动惯量。
【实验器材】三线摆仪、米尺、游标卡尺、数字毫秒计、气泡水平仪、物理天平和待测圆环等。
【实验原理】转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，它与刚体的质量分布和转轴的位置有关。
对于质量分布均匀、外形不复杂的刚体，测出其外形尺寸及质量，就可以计算出其转动惯量；而对于外形复杂、质量分布不均匀的刚体，其转动惯量就难以计算，通常利用转动实验来测定。
三线摆就是测量刚体转动惯量的基本方法之一。
图1是三线摆实验装置示意图。
三线摆是由上、下两个匀质圆盘，用三条等长的摆线（摆线为不易拉伸的细线）连接而成。
上、下圆盘的系线点构成等边三角形，下盘处于悬挂状态，并可绕OO ‘轴线作扭转摆动，称为摆盘。
由于三线摆的摆动周期与摆盘的转动惯量有一定关系，所以把待测样品放在摆盘上后，三线摆系统的摆动周期就要相应的随之改变。
这样，根据摆动周期、摆动质量以及有关的参量，就能求出摆盘系统的转动惯量。
设下圆盘质量为0m ，当它绕OO ＇扭转的最大角位移为o θ时，圆盘的中心位置升高h ，这时圆盘的动能全部转变为重力势能，有：gh m E P 0= （g 为重力加速度）当下盘重新回到平衡位置时，重心降到最低点，这时最大角速度为0ω，重力势能被全部转变为动能，有：20021ωI E K =式中0I 是下圆盘对于通过其重心且垂直于盘面的OO ‘轴的转动惯量。
如果忽略摩擦力，根据机械能守恒定律可得：200021ωI gh m =（1） 设悬线长度为l ，下圆盘悬线距圆心为R 0，当下圆盘转过一角度0θ时，从上圆盘B 点作下圆盘垂线，与升高h 前、后下圆盘分别交于C 和C 1，如图2所示，则：12!21)()(BC BC BC BC BC BC h +-=-=因为 22222)()()()(r R AC AB BC --=-=所以 12102sin 4)cos 1(2BC BC Rr BC BC Rr h +=+-=θθ 在扭转角0θ很小，摆长l 很长时，sin22θθ≈，而BC+BC 1≈2H ，其中H=22)(r R l --式中H 为上下两盘之间的垂直距离,则HRr h 220θ=（2）由于下盘的扭转角度0θ很小（一般在5度以内），摆动可看作是简谐振动。
