- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2x 1 （1）y = 3x 3 1 4x （2）y = 2x 3
（3）y = x2+4x+3 （4）y =3-2x-x2
(-3≤x≤1) x∈[-3,1]
变式:(1)求函数
1 y 2 x x6
1 , x 2 x x6
的值域
(2)求函数 y
[3,5] 的值域
练习：1.求下列函数的值域
解：由题知 x ∈ R，则有 2yx 2 + 2yx + y = x 2 －2x －3 ( 2y －1 )x 2 + 2( y + 1 )x + ( y + 3 ) = 0 1 当y 时 , 0 2
4( y 1)2 4(2 y 1)( y 3) 0
2
故函数的值域为 [－4，1 ]
（2）y = | x | －1 x∈{－2, －1, 0, 1, 2 }
（ 3） y =
2 x2
(－∞, 0 )∪(0, + ∞ ) 值域为 ________________________ [0, + ∞ ) 值域为 ____________
（ 4） y =
x3
例2、求下列函数的值域: (1) y =
函数值域的求法
2014年10月21日星期二
函数
y=f(x) 因变量 对应法则 定义域 自变量x的取值集合为 ___________________ 自变量
值域 因变量y的取值集合为 ___________________
1:在初中我们学习了哪几种函数?函数表达式是 什么?它们的定义域各是什么? 值域 呢?
.
b 2a
4ac b 2 ymin 时， 其最小值； 4a
2
②若x
[a,b],则[a,b]是
a>0时,是函数的最小值;
a<0时,是函数的最大值 再比较f(a),f(b)的大小
在f(x)的单调区间内
只需比较f(a),f(b)的大小即可 决定函数的最大（小）值.
决定函数的最大（小）值.
求下列函数的值域：
2
常用的求函数的值域的方法有以下几 种：
1.直接法 2.配方法 3.换元法 4.分离系数法 5.反解法 6.判别式法 7 .单调性法 8 .图像法
1.直接法：有的函数的结构并不复杂，可
以通过基本函数的值域及不等式的性质直 接观察求出函数的值域。
例1：求函数y 4 x 2 的值域
(2)
x 1 y x
∴-3≤3x≤3 即-1≤y≤5 ∴值域是[-1，5] ∵ ∴-1≤3x+2≤5
解:(1) ∵-1≤x≤1
解:(2)
x 1 1 1 ∵y= x x
∴y≠1
1 0 x
即函数的值域是 { y| yR且y1}
例3 求下列函数的最大值、最小值与值域： ① y=x2-4x+1 ② y=x2-4x+1 x[3,4] ③ y=x2-4x+1 , x[0,1] ④ y=x2-4x+1 x[0,5] 解： ∵ y=x2-4x+1 = (x-2)2-3
一次函数 : y=ax+b(a≠0)
定义域为R
k 反比例函数: y (k 0) x
值域为R
定义域为{x|x ≠0}
值域为{y|y ≠0}
定义域为R
2
二次函数 : f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
4ac b } 当a>0时，值域为: { y | y 4a 4ac b } 当a<0时，值域为: { y | y 4a
当 －1 ＜ x ≤ 1 时，y = ( x + 1 ) + ( x －1 ) = 2x
当 x ＞ 1 时，y = ( x + 1 ) － ( x －1 ) = 2
2 y 2x 2
x 1 1 x 1 x 1
－1
y
2
由图知： －2 ≤ y ≤ 2
故函数的值域为 [－ 2 ， 3 ]
（ 1） y =
1 x 3
2
1 4x （ 2） y = 2x 3
（ 3） y
2 =x -4x+3
x∈[-1,4]
2、求下列函数的值域: （1）y = | x + 1 | －| 1 －x | 解：由 y = | x + 1 | －| x －1 | 当 x ≤－ 1 时，y = －( x + 1 ) + ( x －1 ) = －2
o
－2
1
x
3、求下列函数的值域： （ 1） y = x +
解：设 t =
1 x
y 1
1 x
则x=1－t2且 t≥0 y = 1 － t2 + t
1 2 5 ( t ) 2 4
o x
5 由图知： y 4
故函数的值域为 ( , 5 ]
4
（2）y = 2x －3 + 4 x 13
y
t 13 则x 且t 0 4 2
t 13 y 3 t 2
1 2 7 t t 2 2 1 ( t 1) 2 3 2
解：设 t = 2
4 x 13
7
2
o
x
7 7 由图知：y [ , ) 故函数的值域为： 2 2
4、求函数 y =
x2 2x 3 的值域 2 2x 2x 1
1 y 3 y 4 0 4 y 1且y 2 1 1 7 当y 时 , x 有解 5
1 7 7 ( 2 x 5) 2 2 1 2 2x 5 2 2x 5
7 1 2 0 y 2 2x 5
故函数的值域为
1 1 ( , ) ( , ) 2 2
练习．求下列函数的值域
(1)y=3x+2(-1≤x≤1)
注：对于二次函数,y=ax2+bx+c(a≠0) ⑴若定义域为R时 : 当a>0时，则当x=
4ac b b 当a<0时，则当 x 时，其最大值. ymax 4a 2a
⑵若定义域为x [a,b] 则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若x0 [a,b],则f(x0)
二、配方法：
形如 y=ax2+bx+c(a≠0) 的函数或可化为二次 函数的复合函数时常用配方法求函数的值 域, 要注意 x 的取值范围.
例2 (1)求函数 y=x2_4x+1在下面给定闭区间 上的值域: ① R ②[3, 4]; ③[0, 1]; ④ [0, 5];
三：换元法
以新变量代替函数式中的某些量，使函数转 化为以新变量为自变量的函数形式，进而求 出值域。通常适用于含有根式，且根式下含 有自变量的函数。(关注新元的取值范围). 例3．求函数 的值域。 注：换元法是一种非常重工的数学解题方法， 它可以使复杂问题简单化，但是在解题的过 程中一定要注意换元后新元的取值范围。
∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. (对称轴x=2)
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R
∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y≥-3 }. ②∵顶点横坐标2 [3,4]，当x=3时，y= -2, x=4时，y=1 ∴在[3,4]上,ymin =-2， ymax =1； 值域为[-2，1]. 解③略: 解④ ∵顶点横坐标2 [0,5] 当x=0时，y=1, x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上， ymin =-3， ymax =6 值域为[-3，6].
四、分离常数法：将一次分式型函数的分化 为常数求值域法。
x2 2x 3 例5 求函数 y = 的值域. 2 2x 2x 1
五：分离常数法：
六：图像法
1、求下列函数的值域：
（1）y = 1 －2x R 值域为 ________________ －1, 0, 1 } 值域为 { _________
