人教版初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》检测卷(答案解析)

第二十二章《二次函数》单元测试卷一、选择题（每小题只有一个正确答案） 1．下列函数中，是二次函数的为（ ）A ． y =2x +1B ． y =(x −2)2−x 2C ． y =2x 2 D ． y =2x(x +1) 2．二次函数y=2（x ﹣1）2+3的图象的对称轴是（ ） A ． x=1 B ． x=﹣1 C ． x=3 D ． x=﹣33．将抛物线y=x 2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（ ） A ． y=（x +2）2﹣5 B ． y=（x +2）2+5 C ． y=（x ﹣2）2﹣5 D ． y=（x ﹣2）2+5 4．（已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a +b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a ﹣b +c ＞0，其中正确的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 45．已知二次函数y =ax 2−bx −2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a ﹣b 为整数时，ab 的值为（ ）A ． 34或1 B ． 14或1 C ． 34或12 D ． 14或34 6．下列具有二次函数关系的是( )A ． 正方形的周长y 与边长xB ． 速度一定时，路程s 与时间tC ． 三角形的高一定时，面积y 与底边长xD ． 正方形的面积y 与边长x7．给出下列四个函数：y=，2x，y=2x，1，y=3x ，x，0，，y=，x 2+3，x，0），其中y 随x 的增大而减小的函数有（ ）A ． 3个B ． 2个C ． 1个D ． 0个8．在直角坐标系xOy 中，二次函数C 1，C 2图象上部分点的横坐标、纵坐标间的对应值如下表： x … ，1 0 1 2 2.5 3 4 … y 1 … 0 m 1 ，8 n 1 ，8.75 ，8 ，5 … y 2…5m 2，11n 2，12.5，11，5…则关于它们图象的结论正确的是（）A．图象C1，C2均开口向下B．图象C1的顶点坐标为（2.5，，8.75，C．当x，4时，y1，y2D．图象C1，C2必经过定点（0，，5，9．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x=1，给出以下结论：①abc ＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c≥ax2+bx+c；④若M（x2+1，y1）、N（x2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④10．已知二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=ax+b的图象是（）A．B．C．D．11．如图，抛物线y=−23x2+103x+4分别交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，动点P从D(0,2)出发，先到达x轴上的某点E，再到达抛物线对称轴上的某点F，最后运动到点C，求点P运动的最短路径长为()A．√61B．8C．7D．912．二维码已经给我们的生活带来了很大方便，它是由大小相同的黑白两色的小正方形（如图1中C）按某种规律组成的一个大正方形，现有25×25格式的正方形如图1，角上是三个7×7的A型大黑白相间正方形，中间右下一个5×5的B型黑白相间正方形，除这4个正方形外，若其他的小正方形白色块数y与黑色块数x正好满足如图2所示的函数图象，则该25×25格式的二维码共有多少块黑色的C型小正方形（）A．153B．218C．100D．216二、填空题13．二次函数y，kx2，x，2经过点(1，5)，则k，_________.14．若函数y，(m，3)x m2＋2m－13是二次函数，则m，______.15．若抛物线y=x2−6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是______，16．已知抛物线y=ax2+bx+c，a，0）的顶点为（2，4），若点（﹣2，m，，，3，n）在抛物线上，则m_____n（填“，”，“=”或“，”，，17．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长20m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是_____m2．三、解答题18．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣2hx+h的图象的顶点为点D．（1）当h=﹣1时，求点D的坐标；（2）当﹣1≤x≤1时，求函数的最小值m．（用含h的代数式表示m）19．二次函数y=，m+1，x2，2，m+1，x，m+3，，1）求该二次函数的对称轴；，2）过动点C，0，n）作直线l，y轴，当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n关于m的函数表达式；，3）若对于每一个给定的x值，它所对应的函数值都不大于6，求整数m，20．某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元.经调查发现，每天的销售量y(个）与每个商品的售价x(元）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：，1，求y与x之间的函数关系式；，2，设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式；，3，不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？21．已知二次函数y=kx2+（k+1）x+1（k≠0）．（1）求证：无论k取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；（2）如果该函数的图象与x轴交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k值．22．如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．(1)求这条抛物线对应的函数解析式；(2)求直线AB对应的函数解析式．23．如图所示，二次函数y=﹣2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B．且与y轴交于点C．（1）求m的值及点B的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）该二次函数图象上有一点D（x，y），使S△ABD=S△ABC，请求出D点的坐标．参考答案1．D【解析】【分析】先把它们整理成一般形式，再根据二次函数的定义解答．【详解】A选项：一次函数，错误；B选项：原函数可化为：y=-4x+4，一次函数，错误；C选项：不是整式，错误；D选项：原函数可化为：y=2x2+2x，正确．故选：D．【点睛】考查二次函数的定义，一般地，把形如y=ax2+bx+c(a≠0)（a、b、c是常数）的函数叫做二次函数. 2．A【解析】【分析】由抛物线解析式可求得其顶点坐标及对称轴．【详解】∵y，2，x−1，2，3，∴抛物线顶点坐标为（1，3），对称轴为x，1，故选：A，【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y，a，x−h，2，k中，对称轴为x，h，顶点坐标为（h，k，，3．A【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣5．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键．4．D【解析】【分析】由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，∴ab＜0，∵与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵a＞0，x=﹣b＜1，2a∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故②正确；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；④当x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．5．A【解析】【分析】首先根据题意确定a，b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a，b为整数确定a，b的值，从而确定答案．【详解】，0，a+b，2=0，依题意知a，0，b2a故b，0，且b=2，a，a，b=a，，2，a，=2a，2，于是0，a，2，∴，2，2a，2，2，又a，b为整数，∴2a，2=，1，0，1， 故a=12，1，32，b=32，1，12，∴ab=34或1，故选A， 【点睛】根据开口和对称轴可以得到b 的范围。

一、选择题1．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象大致如图所示，下列说法： ①2a +b ＝0；②当﹣1＜x ＜3时，y ＜0；③若（x 1，y 1）（x 2，y 2）在函数图象上，当x 1＜x 2时，y 1＜y 2； ④9a +3b +c ＝0， 其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①④C ．①②③D ．③④2．将抛物线2yx 先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，则得到新抛物线的解析式为（ ） A ．()212y x =-+ B ．()212y x =-- C ．()212y x =++D ．()=+-2y x 123．某同学在利用描点法画二次函数y ＝ax2+bx+c （a≠0）的图象时，先取自变量x 的一些值，计算出相应的函数值y ，如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y…﹣3﹣13…）A ．03x y =⎧⎨=-⎩B ．21x y =⎧⎨=-⎩C ．30x y =⎧⎨=⎩D ．43x y =⎧⎨=⎩4．如图等边ABC 的边长为4cm ，点P ，点Q 同时从点A 出发点，Q 沿AC 以1cm/s的速度向点C 运动，点P 沿A B C --以2cm/s 的速度也向点C 运动，直到到达点C 时停止运动，若APQ 的面积为()2cm S ，点Q 的运动时间为()s t ，则下列最能反映S 与t 之间大致图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．5．若整数a 使得关于x 的分式方程12322ax xx x -+=--有整数解，且使得二次函数y ＝(a ﹣2)x 2+2(a ﹣1)x +a +1的值恒为非负数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．12 B ．15 C ．17 D ．206．已知抛物线229(0)y x mx m =-->的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M '，若点M '在这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ） A ．(1,5)- B ．(2,8)- C ．(3,18)-D ．(4,20)-7．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m 加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m ，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（ ）A ．0.8mB ．1.6mC ．2mD ．2.2m8．如图所示，一段抛物线：()233044y x x x =-+≤≤记为1C ，它与x 轴交于两点O ，1A ；将1C 绕1A 旋转180°得到2C ，交x 轴于2A ；将2C 绕2A 旋转180°得到3C ，交x 轴于3A ；⋅⋅⋅如此进行下去，直至得到506C ，则抛物线506C 的顶点坐标是（ ）A ．()2020,3B ．()2020,3-C ．()2022,3D ．()2022,3-9．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．0abc >B ．20a b +<C ．关于x 的方程230ax bx c +++=有两个相等的实数根D ．930a b c ++<10．抛物线2288y x x =-+-的对称轴是（ ） A ．2x =B ．2x =-C ．4x =D ．4x =-11．已知一次函数y ax c =+与2y ax bx c =++，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．12．若关于x 的不等式组232x a x a ≥+⎧⎨<-⎩有解，则函数21(3)4y x x a =--+-图象与x 轴的交点个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．1或2个 二、填空题13．如图，直线y ＝x ＋4与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，点O 为坐标原点，点C 是点A 关于y 轴的对称点，动点D 在线段AC 上，连接BD ，作以BD 为直角边的等腰Rt △BDE ，则线段OE 的最小值为_________．14．有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点：甲：与x 轴只有一个交点； 乙：对称轴是直线x ＝4；丙：与y 轴的交点到原点的距离为3．满足上述全部特点的二次函数的解析式为_____．15．抛物线2(3)y a x m =-+与x 轴的一个交点为(1,0)，则关于x 的一元二次方程2(3)0a x m -+=的根为__________．16．将抛物线2(3)2y x =--向左平移3个单位后的解析式为______．17．如图，抛物线()()13y a x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在B 的左侧），点C 为抛物线上任意一点．．．．（不与A ，B 重合），BD 为ABC 的AC 边上的高线，抛物线顶点E 与点D 的最小距离为1，则抛物线解析式为______．18．单行隧道的截面是抛物线形，且抛物线的解析式为21 3.258y x =-+，一辆车高3米，宽4米，该车________（填“能”或“不能”）通过该隧道．19．某种洒杯的轴截面是一条抛物线段，在酒杯中加酒，当酒水深为lcm 时，液面宽为2cm ，将酒杯装满酒后，再倾斜至与水平面成30°，此时酒杯中余下酒深度为2cm ，这个酒杯的杯口直径为______cm ．20．已知自变量为x 的二次函数4()()y ax b x b=++经过(,4),(2,4)m m +两点，若方程4()()0ax b x b++=的一个根为3x =，则其另一个根为__________．三、解答题21．如图用长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场ABCD ，已知墙长14m ，设边AB 的长为xm ，矩形ABCD 的面积为ym 2．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并求出函数y 的最大值． （2）当y ＝108时，求x 的值．22．某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能卖出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件．设每件涨价(0)x x ≥元．（1）写出一周销售量y （件）与x （元）的函数关系式．（2）设一周销售获得毛利润w 元，写出w 与x 的函数关系式，并确定当x 在什么取值范围内变化时，毛利润w 随x 的增大而增大．（3）超市扣除销售额的20%作为该商品的经营费用，为使得纯利润（纯利润=毛利润－经营费用）最大，超市对该商品售价为______元，最大纯利润为______元．23．某班“数学兴趣小组”对函数22||y x x =-的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．x3- 52- 2- 1- 0 1 252 3y3541- 0 1- 0543请画出该函数图象的另一部分；（2）观察函数图象，写出2条函数的性质__________________； （3）进一步探究函数图象发现：①方程22||0x x -=的实数根为____________； ②方程22||2x x -=有____________个实数根．③关于x 的方程22||x x a -=有4个实数根时，a 的取值范围____________．24．有这样一个问题：探究函数243y x x =-+的图象与性质．小丽根据学习函数的经验，对函数243y x x =-+的图象与性质进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）函数243y x x =-+的自变量x 的取值范围是_______．（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，画出了函数243y x x =-+的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；（3）对于上面的函数243y x x =-+，下列四个结论： ①函数图象关于y 轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值；③当2x >时，y 随x 的增大而增大，当2x <-时，y 随x 的增大而减小； ④函数图象与x 轴有2个公共点． 所有正确结论的序号是_____．（4）结合函数图象，解决问题：若关于x 的方程243x x k -+=有4个不相等的实数根，则k 的取值范围是____．25．某超市经销一种商品，每千克成本为40元，经试销发现，该种商品的每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：（2）为了尽可能提高销量且保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？26．已函数21y x x=+，请结合学习函数的经验，探究它的相关性质： （1）自变量x 的取值范围是________；（2）x 与y 的几组对应值如下表，请补全表格：x…－2.5－2－1.5－1 －0.5 －0.2 0.2 0.5 1 1.5 2 2.5 …y … 5.85 3.5 1.58－1.75－4.965.04m n 2.92 4.5 6.65 …其中m =________，n =________.（3）下图中画出了函数的一部份图象，请根据上表数据，用描点法补全函数图象； （4）请写出这个函数的一条性质：________________________； （5）结合图象，直接写出方程2120x x x-+=的所有实根：________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】①由图示知，对称轴是直线x ＝3122ba-=-，则2a+b ＝0，故说法正确； ②由图示知，当﹣1＜x ＜3时，y ＜0，故说法正确；③若（x 1，y 1）（x 2，y 2）在函数图象上，当1＜x 1＜x 2时，y 1<y 2，故说法错误；④由图示知，当x ＝3时，y ＝0，即9a+3b+c ＝0，故说法正确． 综上所述，正确的说法是①②④． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．2．C解析：C 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】 解：将抛物线2yx 先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，就得到抛物线：2(1)2y x =++． 故答案为：C ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，图象平移规律“左加右减，上加下减”是解题关键．3．A解析：A 【分析】根据二次函数的对称性知：抛物线的对称轴为直线x ＝2，且抛物线的开口向上，由此确定答案． 【详解】∵x ＝1和x ＝3时，y ＝0； ∴抛物线的对称轴为直线x ＝2， ∴顶点坐标为（2，﹣1）， ∴抛物线的开口向上，∴x ＝0和x ＝4的函数值相等且大于0， ∴x ＝0，y ＝﹣3错误． 故选：A ． 【点睛】此题考查抛物线的对称性，抛物线的性质，读懂表格掌握二次函数的对称性解决问题是解题的关键．4．D解析：D 【分析】当点P 在AB 边运动时，S=12AQ×APsinA ，图象为开口向上的抛物线，当点P 在BC 边运动时，如下图，S=12×AQ×PCsinC ，即可求解． 【详解】解：当点P 在AB 边运动时，21133sin 22222S AQ AP A t t t =⨯=⨯⨯⨯=， 图象为开口向上的抛物线， 当点P 在BC 边运动时，如下图，1133sin 2(6)(6)2222S AQ PC C t t t t =⨯⨯=⨯⨯-⨯=-，图象为开口向下的抛物线， 故选：D ． 【点睛】本题是运动型综合题，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．5．B解析：B 【分析】由抛物线的性质得到20a -＞，2=4(1)4(2)(1)0a a a ∆---+≤然后通过解分式方程求得a 的取值，然后求和． 【详解】解：∵二次函数y =（a -2）x 2+2（a -1）x +a +1的值恒为非负数， ∴20a -＞，2=4(1)4(2)(1)0a a a ∆---+≤ 解得3a ≥解分式方程12322ax xx x -+=--解得：62x a =- 由x ≠2得，a ≠5， 由于a 、x 是整数，所以a =3，x =6，a =4，x =3，a =8，x =1， 同理符合a ≥3的a 值共有3，4，8，故所有满足条件的整数a 的值之和=3+4+8=15， 故选：B ． 【点睛】本题考查的是抛物线和x 轴交点，涉及到解分式方程，正确理解二次函数的值恒为非负数是解题的关键．6．C解析：C 【分析】先利用配方法求得点M 的坐标，然后利用关于原点对称点的特点得到点M′的坐标，然后将点M′的坐标代入抛物线的解析式求解即可． 【详解】解：∵22229()9y x mx x m m =--=---，∴点M 为（m ，29m --）， ∴点M′的坐标为（m -，29m +）， ∴222299m m m -=++， 解得：3m =±； ∵0m >， ∴3m =；∴点M 的坐标为：（3，18-）．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质、关于原点对称的点的坐标特点，求得点M′的坐标是解题的关键．7．B解析：B【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得出B 、C 的坐标，然后根据待定系数法求出抛物线解析式，然后求出当当0.2x =和0.6x =时y 的值，然后即可求解．【详解】如图，由题意得()0,0.5B ，()1,0C ．设抛物线的解析式为2y ax c =+， 代入得12a =-，12c =， ∴抛物线的解析式为21122y x =-+． 当0.2x =时，0.48y =，当0.6x =时，0.32y =．∴()1122334420.480.32 1.6BC B C B C B C m +++=⨯+=，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的拱桥问题，关键是要根据题意作出平面直角坐标系，并根据所建立的平面直角坐标系求出函数解析式．8．D解析：D【分析】 解方程2334x x -+＝0得A 1（4，0），再利用旋转的性质得A 2（4×2，0），A 3（4×3，0），依此规律得到A 505（4×505，0），A 506（4×506，0），且抛物线C 506的开口向上，利用交点式，设抛物线C 506的解析式为y ＝34（x−2020）（x−2024），然后确定此抛物线顶点坐标即可．【详解】 当y ＝0时，2334x x -+＝0，解得x 1＝0，x 2＝4， ∴A 1（4，0）， ∵将C 1绕A 1旋转180°得到C 2，交x 轴于A 2，将C 2绕A 2旋转180得到C 3，∴A 2（4×2，0），A 3（4×3，0），∴A 505（4×505，0），A 506（4×506，0），即A 505（2020，0），A 506（2024，0）， ∵抛物线C 506的开口向上，∴抛物线C 506的解析式为y ＝34（x−2020）（x−2024）， ∵抛物线的对称轴为直线x ＝2022， 当x ＝2022时，y ＝34（2022−2020）（2022−2024）＝−3， ∴抛物线C 506的顶点坐标是（2022，−3）．故选：D ．【点睛】 本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的几何变换和二次函数的性质．9．D解析：D【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图象可知：a ＜0，b ＞0，c ＞0，abc ＜0，故A 选项错误；对称轴为x=-2b a=1，得2a=-b ， ∴2a+b=0，故B 错误； 由图像可得二次函数的图象与x 轴有两个交点，故230ax bx c +++=有两个相等的实数根的说法错误，故C 错误；∵对称轴为x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点得横坐标小于2，∴当x=3时，y=9a+3b+c ＜0，故D 正确；【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．10．A解析：A【分析】利用抛物线对称轴公式求解即可．【详解】解：∵2288y x x =-+-，∴对称轴为直线x=-822(2)=⨯-， 故选：A ．【点睛】 本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键．11．D解析：D【分析】先根据各项中一次函数与二次函数的图象判断a 、c 的正负，二者一致的即为正确答案．【详解】解：A 、由一次函数图象可得：a ＞0，c ＜0，由二次函数图象可得a ＜0，c ＞0，矛盾，故本选项不符合题意；B 、由一次函数图象可得：a ＞0，c ＞0，由二次函数图象可得a ＞0，c ＜0，矛盾，故本选项不符合题意；C 、由一次函数图象可得：a ＜0，c ＞0，由二次函数图象可得a ＞0，c ＞0，矛盾，故本选项不符合题意；D 、由一次函数图象可得：a ＜0，c ＞0，由二次函数图象可得a ＜0，c ＞0，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握二者的图象是解题的关键．12．C解析：C【分析】根据解不等式组的一般步骤得到a 的取值范围，然后求出函数21(3)4y x x a =--+-的判别式，根据根的判别式的正负即可得到图象与x 轴的交点个数．【详解】解：∵关于x 的不等式组232x a x a ≥+⎧⎨<-⎩有解，∴3a-2＞a+2，即a ＞2，令y=0，21(3)4x x a --+-=0， △=（-1）2-4×（a-3）×（-14）=a-2， ∵a ＞2，∴a-2＞0，∴函数图象与x 轴的交点个数为2．故选：C ．【点睛】解答此题要熟知以下概念：（1）解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．（2）一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的解与二次函数y=ax 2+bx+c 的关系．二、填空题13．【分析】作交x 轴于点F 证明△DBO ≌△EDF 得设设D （t0）则根据勾股定理得进一步可得结论【详解】解：∵△BDE 是以BD 为直角边的等腰直角三角形∴作交x 轴于点F 如图∴∠EFO=∠DOB=90°又∠∴解析：22【分析】作EF AC ⊥交x 轴于点F ，证明△DBO ≌△EDF 得FE OD FD BO ==，，设设D （t ，0），则(4,)E t t +，根据勾股定理得222(2)8OE t =++，进一步可得结论．【详解】解：∵△BDE 是以BD 为直角边的等腰直角三角形，∴BD DE =作EF AC ⊥交x 轴于点F ，如图，∴∠EFO=∠DOB=90°又∠90OBD BDO BDO FDE +∠=∠+∠=︒∴∠DBD FDE =∠在△DBO 和△EDF 中DBO EDF DOB EFD DB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DBO ≌△EDF∴FE OD FD BO ==，对于y=x+4，当x=0，则y=4，当y=0，则x=-4，∴()40A -，，4(0)B ，， ∵点C 是点A 关于y 轴的对称点，∴0(4)C ，设D （t ，0），则(4,)E t t +∴22224)2((2)8OE t t t =++=++∴当t=-2时，取最小值，即OE ==，故OE的最小值为故答案为：【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，运用勾股定理得出22224)2((2)8OE t t t =++=++是解答此题的关键．14．y ＝（x ﹣4）2或y ＝﹣（x ﹣4）2【分析】根据甲乙所说的特点可知判断抛物线的顶点坐标为（40）再根据丙所说的特点可得到抛物线与y 轴的交点坐标为（03）或（0﹣3）然后利用待定系数法求出抛物线解析式解析：y ＝316（x ﹣4）2或y ＝﹣316（x ﹣4）2． 【分析】根据甲、乙所说的特点可知判断抛物线的顶点坐标为（4，0），再根据丙所说的特点可得到抛物线与y 轴的交点坐标为（0，3）或（0，﹣3），然后利用待定系数法求出抛物线解析式即可．【详解】解：∵抛物线与x 轴只有一个交点且对称轴是直线x ＝4，∴抛物线的顶点坐标为（4，0），∵抛物线与y 轴的交点到原点的距离为3．∴抛物线与y 轴的交点坐标为（0，3）或（0，﹣3），设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣4）2，把（0，3）代入得3＝a （0﹣4）2，解得a ＝316，此时抛物线的解析式为y ＝316（x ﹣4）2；把（0，﹣3）代入得﹣3＝a （0﹣4）2，解得a ＝﹣316，此时抛物线的解析式为y ＝﹣316（x ﹣4）2； 综上，满足上述全部特点的二次函数的解析式为y ＝316（x ﹣4）2或y ＝﹣316（x ﹣4）2． 故答案为y ＝316（x ﹣4）2或y ＝﹣316（x ﹣4）2． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的性质以及运用待定系数法确定函数解析式，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键．15．【分析】先根据二次函数的对称性求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标再根据二次函数与一元二次方程的联系即可得【详解】抛物线的对称轴为此抛物线与x 轴的一个交点为它与x 轴的另一个交点为即则关于x 的一元二次方程 解析：121,5x x ==【分析】先根据二次函数的对称性求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，再根据二次函数与一元二次方程的联系即可得．【详解】抛物线2(3)y a x m =-+的对称轴为3x =，此抛物线与x 轴的一个交点为(1,0)， ∴它与x 轴的另一个交点为(231,0)⨯-，即(5,0)，则关于x 的一元二次方程2(3)0a x m -+=的根为121,5x x ==，故答案为：121,5x x ==．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点问题、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．16．【分析】根据得到该抛物线的顶点坐标为(3-2)将该点向左平移3个单位后得到的点的坐标为(0-2)即可得到解析式；【详解】∵抛物线∴顶点坐标为(3-2)∴向左平移3个单位后得到新的坐标为(0-2)∴平解析：22y x =-【分析】根据2(3)2y x =--得到该抛物线的顶点坐标为(3，-2)，将该点向左平移3个单位后得到的点的坐标为(0，-2)，即可得到解析式；【详解】∵抛物线2(3)2y x =--∴顶点坐标为(3，-2)，∴向左平移3个单位后得到新的坐标为(0，-2)，∴平移后的解析式22(33)22y x x =-+-=-．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握二次函数平移的方法是解题的关键； 17．【分析】根据题意可确定出AB 两点的坐标从而求出对称轴为x=1依题意要使DE 最小则D 点必在对称轴上从而根据题意画出图形求解即可【详解】解：如图所示使DE 最小则D 点必在对称轴x=1上过点E 作EF ⊥AB 则 解析：2339424y x x =-- 【分析】根据题意可确定出A ，B 两点的坐标，从而求出对称轴为x=1，依题意要使DE 最小则D 点必在对称轴上，从而根据题意画出图形求解即可．【详解】解：如图所示，使DE 最小则D 点必在对称轴x=1上，过点E 作EF ⊥AB ，则AF=BF ，∴AD=BD ，∵BD 为ABC 的AC 边上的高线，∴∠ADB=90°，∴∠DBF=∠BDF=45°，∴DF=BF=2．当x=1时，y=-4a ，∵抛物线开口向上，∴a>0，∴EF=4a ．∵DE=1，∴4a-2=1解得：a=34． ∴抛物线解析式为3(1)(3)4y x x =+- 即2339424y x x =-- 故答案为：2339424y x x =--． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，结图象求最值问题，利用好数形结合找出最小值的点是解题的关键．18．不能【分析】根据题意将x=2代入求出相应的y 值然后与车高比较大小即可解答本题【详解】解：将x=2代入y=-x2+325得y=-×22+325=275∵275＜3∴该车不能通过隧道故答案为：不能【点睛解析：不能．【分析】根据题意，将x=2代入求出相应的y 值，然后与车高比较大小即可解答本题．【详解】解：将x=2代入y=-18x 2+3.25，得 y=-18×22+3.25=2.75， ∵2.75＜3，∴该车不能通过隧道，故答案为：不能．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 19．【分析】建立如下图所示的平面直角坐标系相当于抛物线经过点(00)(11)求得解析式为y=x²设杯口直径为2d 设倒满酒时酒的高度为m 相当于抛物线经过(dm)再由倾斜30°时杯中酒深度为2cm 时将m 用d【分析】建立如下图所示的平面直角坐标系，相当于抛物线经过点(0,0)，(1,1)求得解析式为y=x²，设杯口直径为2d ，设倒满酒时酒的高度为m ，相当于抛物线经过(d,m)，再由倾斜30°时杯中酒深度为2cm 时将m 用d 代数式表示，再代入解析式中求出d 即可．【详解】解：如下图所示以酒杯内最低点为原点建立直角坐标系，故抛物线的顶点坐标为原点，设抛物线解析式为y=ax²，当酒水深为lcm 时，液面宽为2cm ，相当于抛物线且经过点(1,1)，代入解析式中，a=1， 故抛物线解析式为：y=x²，设杯口直径为2d ，设倒满酒时酒的高度为m ，相当于抛物线经过(d,m)，由“倾斜至与水平面成30°，此时酒杯中余下酒深度为2cm”，如下图所示：此时FH=EC=2，∠DEF=30°，DF=d ，在Rt △EDF 中，EF=2DF=2d ，3d ，在Rt △OEC 中，OE=2EC=4，∴OD=OE+ED=43d ， ∴m=OD=43d , ∴将点(,43d d )，代入y=x²， 即：243d d ，解得：3192d (负值舍去)， 319【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，读懂题目意思，学会建立直角坐标系并求出对应解析式是解决本题的关键．20．x=﹣1或﹣5【分析】根据题意该函数一定过点（04）可得两点的坐标进而求得对称轴根据解析式与方程的关系即可求得方程另一个根【详解】解：∵当x=0时=4∴m=0或m=﹣2∴二次函数经过或∴对称轴为直线解析：x=﹣1或﹣5【分析】根据题意该函数一定过点（0，4），可得(,4),(2,4)m m +两点的坐标，进而求得对称轴，根据解析式与方程的关系即可求得方程另一个根．【详解】解：∵当x=0时，4()()y ax b x b =++=4，∴m=0或m=﹣2，∴二次函数4()()y ax b x b =++经过(0,4),(2,4)或(2,4),(0,4)-，∴对称轴为直线x=1或x=﹣1，∵方程4()()0ax b x b++=的一个根为3x =，∴方程的另一个根为x=﹣1或﹣5，故答案为：x=﹣1或﹣5．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称性求解是解答的关键． 三、解答题21．（1）y ＝﹣12（x ﹣15）2+112.5，y 的最大值为112m 2；（2）x 的值为12 【分析】（1）根据长方形的面积等于长乘以宽及墙体长度为14米，即可求出y 与x 的函数关系式，结合二次函数增减性得出二次函数最值；（2）把y=108代入（1）中的解析式，解方程得出答案．【详解】（1）根据题意可得：AD ＝12（30﹣x ）m ， y ＝12x （30﹣x ） ＝﹣12x 2+15x ＝﹣12（x ﹣15）2+112.5， ∵墙长为14m ，∴0＜x≤14，则x≤15时，y 随 x 的增大而增大，∴当x ＝14m ，即AB ＝14m ，BC ＝8m 时，长方形的面积最大，最大面积为：14×8＝112（m 2）；∴y 的最大值为112m 2；（2）当y ＝108时，108＝12x （30﹣x ）， 整理得：x 2﹣30x+216＝0，解得：x 1＝12，x 2＝18（不合题意舍去），答：x 的值为12．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确得出函数关系式并明确二次函数的性质是解题的关键．22．（1）50010y x =-；（2）2104005000w x x =-++，当020x ≤≤时，毛利润w 随x 的增大而增大；（3）75，5000．【分析】（1）根据每件涨价x 元，每周销量就减少10x 件即可得；（2）根据“毛利润=（每件的售价-每件的成本）⨯销售量”可得w 与x 的函数关系式，再根据二次函数的性质即可得；（3）设一周销售获得的纯利润为Q 元，先根据纯利润的计算公式求出Q 与x 的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得．【详解】（1）由题意，每件涨价x 元，每周销量就减少10x 件，则50010y x =-；（2）由题意得：(5040)(10)(50010)w x y x x =+-=+-，整理得：2104005000w x x =-++，将此二次函数的解析式化成顶点式为210(20)9000w x =--+，由二次函数的性质可知，当020x ≤≤时，毛利润w 随x 的增大而增大；（3）设一周销售获得的纯利润为Q 元，则220%(50)1040050000.2(50)(50010)Q w x y x x x x =-+=-++-+-，整理得：28400Q x x =-+，即28(25)5000Q x =--+，由二次函数的性质可知，当25x =时，Q 取得最大值，最大值为5000，则此时该商品售价为50502575x +=+=（元），故答案为：75，5000．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．23．（1）见解析；（2）①函数图象是轴对称图形，关于y 轴对称；②当1x >时，y 随x 的增大而增大；（3）①12x =-，20x =，32x =；②2；③10a -<<【分析】（1）描点、连线即可得到函数的图象；（2）根据函数图象得到函数y=x 2-2|x|的图象关于y 轴对称；当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；（3）①根据函数图象与x 轴的交点位置，即可得到结论；②如图，根据y=x 2-2|x|的图象与直线y=2的交点个数，即可得到结论；③根据函数的图象即可得到a 的取值范围是-1＜a ＜0．【详解】解：（1）如图所示；（2）由函数图象知：①函数y=x 2-2|x|的图象关于y 轴对称；②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；故答案为：①函数y=x 2-2|x|的图象关于y 轴对称；②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大； （3）①由函数图象知：函数图象与x 轴的交点所对应的数为-2，0，2，所以方程x 2-2|x|=0的实数根为12x =-，20x =，32x =；②如图，∵y=x 2-2|x|的图象与直线y=2有两个交点，∴x 2-2|x|=2有2个不相等的实数根；③由函数图象知：∵关于x 的方程x 2-2|x|=a 有4个不相等的实数根，∴a 的取值范围是-1＜a ＜0，故答案为：12x =-，20x =，32x =；2；-1＜a ＜0．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了观察函数图象的能力． 24．（1）x 为任意实数；（2）见解析；（3）①③；（4）13k -<<【分析】（1）根据函数解析式可以写出x 的取值范围；（2）根据函数图象的特点，可以得到该函数关于y 轴对称，从而可以画出函数的完整图象；（3）根据函数图象可以判断各个小题中的结论是否成立；（4）根据函数图象，可以写出关于x 的方程x 2-4|x |+3=k 有4个不相等的实数根时，k 的取值范围．【详解】解：（1）∵函数y =x 2-4|x |+3，∴x 的取值范围为任意实数，故答案为：任意实数；（2）由函数y =x 2-4|x |+3可知，x ＞0和x ＜0时的函数图象关于y 轴对称，函数图象如右图所示；（3）由图象可得，函数图象关于y 轴对称，故①正确；函数有最小值，但没有最大值，故②错误；当x ＞2时，y 随x 的增大而增大，当x ＜-2时，y 随x 的增大而减小，故③正确； 函数图象与x 轴有4个公共点，故④错误；故答案为：①③；（4）由图象可得，关于x 的方程x 2-4|x |+3=k 有4个不相等的实数根，则k 的取值范围是-1＜k ＜3， 故答案为：-1＜k ＜3．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25．（1）2160y x =-+；（2）50元；（3）定价60元，最大利润800元．【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；（2）依题意可列出关于销售单价x 的方程，然后解一元二次方程组，得出解后根据x 求出对应的y ，即可求解；（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．【详解】（1）设y 与x 之间的函数表达式为y kx b =+（0k ≠），将表中数据（45，70）、（50，60）代入得：45705060k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：2160k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数表达式为2160y x =-+；（2）由题意得：()()402160600x x --+=，整理得212035000x x -+=，解得125070x x ==，，∵要求尽可能提高销量，当150x =时，销量为70千克，当270x =时，销量为20千克 ∴270x =不合题意，舍去答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为50元/千克； （3）设当天的销售利润为w 元，则：()()402160w x x =--+22(60)800x =--+，∵﹣2＜0∴当60x =时，w 最大值=800．答：当销售单价定为60元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．26．（1）0x ≠；（2）2.25，2；（3）见解析；（4）答案不唯一；（5）10.6x =-，21x =，3 1.6x =.【分析】（1）观察解析式可直接得出结果；（2）分别带入相应自变量的值即可计算出；（3）先描点，然后用平滑的曲线连接各点；（4）可根写增减性，也可写相应取值范围内的最值；（5）看作两个函数交点问题来解决即可．【详解】（1）0x ≠；（2）分别将0.5x =和1x =带入解析式，得 2.25m =，2n =；（3）如图；（4）答案不唯一，如：当0x <时，y 随x 的增大而减小；（5）对于方程2120x x x-+=，可变形为212x x x +=，求该方程的实数根，即为求函数1y 与2y 交点的横坐标，其中211y x x=+，22y x =，故在图中做出22y x =的图象，如图，直接可读出三个交点得横坐标为10.6x =-，21x =，3 1.6x =．【点睛】本题考查的是新函数探究问题，但本质上考查的是对函数的研究方法和逻辑；掌握函数求自变量取值范围，以及根据函数解析式求确定自变量时的函数值是基础；画函数图象，并且注意根据自变量的取值范围来确定图象形式是关键；利用作好的图象解决问题是此类题型考查的基本核心，注重数形结合的思想，将复杂的方程或不等式简单化，是本题的目的．。

2023-2024学年九年级上册第二单元二次函数A卷•达标检测卷（考试时间：90分钟试卷满分：100分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。

1．（2023•仓山区校级开学）下列函数关系中，y是x的二次函数的是（ ）A．y＝ax2+bx+c B．C．y＝50+x2D．y＝（x+2）（x﹣3）﹣x2【答案】C【解答】解：A、当a＝0时，不是二次函数，故此选项不合题意；B、不是二次函数，故此选项不合题意；C、是二次函数，故此选项符合题意；D、化简后，不是二次函数，故此选项不合题意；故选：C．2．（2023•广西）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）A．y＝（x﹣3）2+4B．y＝（x+3）2+4C．y＝（x﹣3）2﹣4D．y＝（x+3）2﹣4【答案】A【解答】解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是y＝（x﹣3）2+4．故选：A．3．（2023•怀宁县一模）抛物线y＝2（x+3）2+4的顶点坐标是（ ）A．（3，4）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（﹣3，﹣4）【答案】B【解答】解：抛物线y＝2（x+3）2+4的顶点坐标（﹣3，4），故选：B．4．（2022秋•平度市期末）关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（ ）A．图象的对称轴在y轴的右侧B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）C．图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（4，0）D．函数的最小值为﹣9【答案】D【解答】解：A、∵二次函数y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，∴图象的对称轴x＝﹣1，故A 不正确，不符合题意；B、∵图象与y轴的交点坐标为（0，﹣8），∴B不正确，不符合题意；C、∵y＝x2+2x﹣8＝（x+4）（x﹣2），∴图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（﹣4，0），故C不正确，不符合题意；D、∵二次函数y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，顶点坐标为（﹣1，﹣9），a＝1＞0，∴函数值有最小值为﹣9，故D正确，符合题意；故选：D．5．（2022秋•未央区校级期末）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为（ ）A．3或1B．﹣3或1C．3或﹣3D．﹣3或﹣1【答案】B【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+m＝﹣（x+1）2+m+1，∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1，由图象可知：二次函数y＝﹣x2﹣2x+m与x轴的一个交点为（﹣3，0），∴该函数与x轴的另一个交点为（1，0），∴当y＝0时，0＝﹣x2﹣2x+m对应的x的值为﹣3或1，故选：B．6．（2023•营口一模）抛物线y＝x2+4x﹣c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ）A．c＝4B．c＝﹣4C．c≤4D．c≥﹣4【答案】B【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x﹣c与x轴只有一个公共点，∴方程x2+4x﹣c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1•（﹣c）＝0，∴c＝﹣4．故选：B．7．（2023•婺城区校级模拟）抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴是（ ）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝2D．直线x＝﹣2【答案】A【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴为x＝﹣＝1，故选：A．8．（2023春•东营期末）如表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围是（ ）x…﹣3﹣2 ﹣1 0 1 …y…﹣11﹣5 ﹣1 1 1 …A．﹣3＜x1＜﹣2B．﹣2＜x1＜﹣1C．﹣1＜x1＜0D．0＜x1＜1【答案】C【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣1，x＝1时，y＝1，函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，得一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解在﹣1＜x1＜0，故选：C．9．（2023•怀集县一模）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+c，点A（﹣2，y1），B（4，y2）是抛物线上两点，若a＜0，则y1，y2的大小关系是（ ）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法比较【解答】解：∵y＝ax2﹣4ax+c＝a（x﹣2）2﹣4a+c，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵a＜0，∴抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大，∵点A（﹣2，y1）到对称轴的距离为2﹣（﹣2）＝4，点B（4，y2）到对称轴的距离为4﹣2＝2，又∵2＜4，∴点B（4，y2）到对称轴的距离近．∴y1＜y2，故选：B．10．（2023•太平区二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是（ ）A．abc＞0B．b＝2a C．9a+3b+c＜0D．8a+c＝0【答案】D【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴abc＜0，故A、B错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（﹣2，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（4，0），∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，故C错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），∴4a﹣2b+c＝0，∵b＝﹣2a，∴4a+4a+c＝0，即8a+c＝0，故D正确，故选：D．二、填空题(本题共6题,每小题3分，共18分）。

一、选择题1．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象大致如图所示，下列说法：①2a +b ＝0；②当﹣1＜x ＜3时，y ＜0；③若（x 1，y 1）（x 2，y 2）在函数图象上，当x 1＜x 2时，y 1＜y 2；④9a +3b +c ＝0，其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①④C ．①②③D ．③④ 2．设A(﹣2，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)是抛物线y ＝﹣（x ＋1）2＋a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 2 3．将二次函数221y xx =+-化为2()y x h k =-+的形式时，结果正确的是（ ） A ．2(1)2y x =+-B ．2(1)2y x =--C ．2(1)2y x =-+D ．2(1)3y x =++ 4．如果二次函数2112y x ax =-+，当1x ≤时，y 随x 的增大而减小，且关于x 的分式方程4311x a x x++=--有正整数解，则所有符合条件的a 的值之和为（ ）． A ．9 B ．8 C ．4 D ．35．已知抛物线2y x bx c =++的顶点在x 轴上，且经过点(3,)A m n -、(3,)B m n +，则n 的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 6．函数221y x x =--的自变量x 的取值范围为全体实数，其中0x ≥部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：①函数图象关于y 轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当1x <-时，y 随x 的增大而减小；④当21a -<<-时，关于x 的方程221x x a --=有4个实数根．其中正确的结论个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．07．如图，在ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3cm ，BC ＝6cm ，动点P 从点A 开始沿AB 向点B 以1cm /s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以2cm /s 的速度移动，若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，P 点到达B 点运动停止，则PBQ △的面积S 随出发时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 8．点()13,P y 、Q ()24,y 是二次函数245y x x =-+的图象上两点，则1y 与2y 的大小关系为（ ）A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．无法确定 9．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为（ ）A ．26B ．3C ．6D ．4210．二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴的两个交点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2，点P （m ，n ）是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ）A ．当n ＜0时，m ＜0B ．当n ＞0时，m ＞x 2C ．当n ＜0时，x 1＜m ＜x 2D ．当n ＞0时，m ＜x 111．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．0abc >B ．20a b +<C ．关于x 的方程230ax bx c +++=有两个相等的实数根D ．930a b c ++<12．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所尔，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）A ．0ac >B ．方程20ax bx c ++=的两根是1213x x =-=， C ．20a b -=D ．当x>0时，y 随x 的增大而减小．二、填空题13．已知抛物线243y x x =-+与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 左侧），顶点为M 平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为______．14．已知函数223y x x =--，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是______．15．如图，平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y ＝﹣13x 2，桥下的水面宽AB 为6m ，当水位上涨2m 时，水面宽CD 为_____m （结果保留根号）．16．设A （﹣1，y 1），B （0，y 2），C （2，y 3）是抛物线y ＝﹣x 2+2a 上的三点，则y 1，y 2，y 3由小到大关系为_____．17．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 是一次函数y x =图像上两点，它们的横坐标分别为1，4，点E 是抛物线248y x x =-+图像上的一点，则ABE △的面积最小值是______．18．在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()24y a x k =-+与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且//AB x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为_____．19．若二次函数()221y x k =++的图象上有两点()(),,,03A m B n -，m ____________n ．（填“>”，“=”或“<”）20．如图，抛物线2y x 与直线y x =交于O ，A 两点，将抛物线沿射线OA 方向平移42个单位．在整个平移过程中，抛物线与直线3x =交于点D ，则点D 经过的路程为______．三、解答题21．某厂生产一种玩具，成本价是8元∕件，经过调查发现，每天的销售量y （件）与销售单价x （元）存在一次函数关系10600 y x =-+．（1）销售单价定为多少时，该厂每天获得的利润最大？最大利润是多少？（2）若物价部门规定，该产品的最高销售单价不得超过30元，那么销售单价如何定位才能获得最大利润？22．如图，已知正三角形ABC 的边长为4，矩形DEFG 的DE 两个点在正三角形BC 边上，F 、G 点在AB 、AC 边上，求矩形DEFG 的面积的最大值是多少？23．某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x 米，面积为S 平方米．（1）求出S 与x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围；（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．24．新华书店为满足广大九年级学生的需求，订购《走进数学》若干本，每本进价为16元. 根据以往经验：当销售单价是20元时，每天的销售量是200本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于25%且不高于50%．(1)请直接写出书店销售《走进数学》每天的销售量y (本)与销售单价x (元)之间的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当销售单价定为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？25．情境阅读：小敏同学期中复习时，再读九年级上册一本辅导书“一元二次方程”的“数学活动”时，重新思考了“活动围长方形”．下面呈现的是“活动内容”及“小敏反思”的部分：问题解决：请根据“小敏发现”，应用二次函数解决“能围出面积大于900cm 2的长方形吗？” 26．已知抛物线2221y x x m =--+，直线2y x =-与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ． （1）求证：抛物线与x 轴必有公共点；（2）若抛物线与x 轴交于A 、B 两点，且抛物线的顶点C 落在此直线上，求ABC 的面积；（3）若线段MN 与抛物线有且只有一个公共点，求m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由图示知，对称轴是直线x ＝3122b a-=-，则2a+b ＝0，故说法正确； ②由图示知，当﹣1＜x ＜3时，y ＜0，故说法正确；③若（x 1，y 1）（x 2，y 2）在函数图象上，当1＜x 1＜x 2时，y 1<y 2，故说法错误； ④由图示知，当x ＝3时，y ＝0，即9a+3b+c ＝0，故说法正确．综上所述，正确的说法是①②④．故选：A ．【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．2．A解析：A【分析】根据二次函数的性质解答．【详解】由抛物线y ＝﹣（x ＋1）2＋a 可知：抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，∴点离对称轴越近该点的函数值越大， ∵2(1)1(1)2(1)---<--<--，∴y 1＞y 2＞y 3，故选：A ．【点睛】此题考查二次函数的增减性：当a>0时，对称轴左减右增；当a<0时，对称轴左增右减． 3．A解析：A【分析】加上一次项系数的一半的平方凑成完全平方式，把一般式化为顶点式．【详解】221y x x =+-=22111x x ++--=2(1)2y x =+-，故选：A ．【点睛】此题考查二次函数的一般式转化为顶点式，掌握方法是解题的关键．4．C解析：C【分析】由二次函数的性质可先确定出a 的范围，再由二次函数的性质可确定出a 的范围，解分式方程确定出a 的取值范围，从而可确定出a 的取值，可求得答案．【详解】解：∵二次函数2112y x ax =-+， ∴抛物线开口向上，对称轴为x ＝a ，∴当x ＜a 时，y 随x 的增大而减小，∵当x≤1时，y 随x 的增大而减小，∴a≥1， 解分式方程4311x a x x ++=--可得x ＝72a -， ∵关于x 的分式方程4311x a x x ++=--有正整数解， ∵x≠1，∴满足条件的a 的值为1，3，∴所有满足条件的整数a 的值之和是1＋3＝4，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质、分式方程的解，通过解分式方程以及二次函数的性质，找出a 的值是解题的关键．5．C解析：C【分析】先根据A 、B 两点的坐标可求出抛物线的对称轴，然后确定顶点坐标为(,0)m ，进而求得m 的值，最后代入即可．【详解】解：∵抛物线26y x x c =++经过(3,)A m n -、(3,)B m n +，∴抛物线对称轴为直线332m m x m -++==， ∵抛物线与x 轴只有一个交点，故顶点为(,0)m ， 2()y x m ∴=-．当3x m =+时，239y ==．故答案为C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、运用二次函数顶点坐标与对称轴的求解等知识点，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．6．A解析：A【分析】根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象进行判断．【详解】解：如图：①如图所示，函数图象关于y 轴对称，故①符合题意．②如图所示，函数没有最大值，有最小值，故②不符合题意．③如图所示，当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，故③符合题意．④如图所示，当-2＜a ＜-1时，关于x 的方程x 2-2|x|-1=a 有4个实数根，故④符合题意． 综上所述，正确的结论有3个．故选：A ．【点睛】本题为函数图象探究题，考查了根据函数图象判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决方程问题．7．D解析：D【分析】先根据运动速度和AB 、BC 的长可得t 的取值范围，再根据运动速度可得,2AP tcm BQ tcm ==，然后利用直角三角形的面积公式可得S 与t 之间的函数关系式，最后根据二次函数的图象特点即可得．【详解】设运动时间为ts ，点P 到达点B 所需时间为31AB s =，点Q 到达点C 所需时间为32BC s =， ∴点P 、Q 同时停止运动，且t 的取值范围为03t ≤≤， 由题意，,2AP tcm BQ tcm ==，3AB cm =，()3BP AB AP t cm ∴=-=-，()21132322S BP BQ t t t t ∴=⋅=-⋅=-+， 则S 与t 之间的函数图象是抛物线在03t ≤≤的部分，且开口向下，观察四个选项可知，只有选项D 符合，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象，正确求出S 与t 之间的函数关系式是解题关键． 8．B解析：B【分析】本题需先根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点A 、B 的横坐标的大小即可判断出y 1与y 2的大小关系．【详解】解：∵二次函数y=x 2-4x+5的图象的对称轴是x=2，在对称轴的右面y 随x 的增大而增大，∵点P （3，y 1）、Q （4，y 2）是二次函数y=x 2-4x+5的图象上两点，2＜3＜4，∴y 1＜y 2．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键9．A解析：A【分析】结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将3y =-代入解析式求得相应的x 的值，进而求得答案．【详解】解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图：∴设抛物线解析式为：2y ax =∵观察图形可知抛物线经过点()2,2B -∴222a -=⋅ ∴12a =- ∴抛物线解析式为：212y x =- ∴当水位下降1米后，即当213y =--=-时，有2132x -=- ∴16x =26x =-∴水面的宽度为：6m ．故选：A【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关键．10．C解析：C【分析】首先根据a 判断二次函数图象的开口方向，再确定对称轴，根据图象和二次函数的性质分析得出结论．【详解】解：∵a ＞0，∴开口向上，以对称轴在y 轴左侧为例可以画图二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴的两个交点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2， 无法确定x 1与x 2的正负情况，∴当n ＜0时，x 1＜m ＜x 2，但m 的正负无法确定，故A 错误，C 正确；当n ＞0时，m ＜x 1 或m ＞x 2，故B ，D 错误，均不完整故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数图象与x 轴交点的问题，熟练掌握二次函数图象及图像上的坐标特征是解题的关键．11．D解析：D【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图象可知：a ＜0，b ＞0，c ＞0，abc ＜0，故A 选项错误；对称轴为x=-2b a=1，得2a=-b ， ∴2a+b=0，故B 错误； 由图像可得二次函数的图象与x 轴有两个交点，故230ax bx c +++=有两个相等的实数根的说法错误，故C 错误；∵对称轴为x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点得横坐标小于2，∴当x=3时，y=9a+3b+c ＜0，故D 正确；【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．12．B解析：B【解析】解：A 、∵抛物线开口向下，与y 轴交于正半轴，∴a ＜0，c ＞0，ac ＜0，故本选项错误；B 、∵抛物线对称轴是x=1，与x 轴交于（3，0），∴抛物线与x 轴另一交点为（-1，0），即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3，故本选项正确；C 、∵抛物线对称轴为，∴b=-2a ，∴2a+b=0，故本选项错误；D 、∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，故本选项错误．故选B ．根据抛物线的开口方向，对称轴，与x 轴、y 轴的交点，逐一判断． 二、填空题13．；【分析】先令y=0求得点AB 的坐标再求得顶点M 的坐标根据题意即可得出平移的方向和距离进而可求得平移后的解析式【详解】解：令y=0则有解得：x1=1x2=3∴A(10)B(30)∵=（x ﹣2）2﹣1解析：221y x x =++； 【分析】先令y=0求得点A 、B 的坐标，再求得顶点M 的坐标，根据题意即可得出平移的方向和距离，进而可求得平移后的解析式．【详解】解：令y=0，则有2043x x =-+，解得：x 1=1，x 2=3，∴A(1，0)，B(3，0)，∵243y x x =-+=（x ﹣2）2﹣1，∴顶点M 的坐标为（2，﹣1），∵平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，∴将原抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度，即可得到平移后的抛物线，∴平移后的顶点坐标为（﹣1，0），即平移后的解析式为y=（x+1）2=x 2+2x+1，故答案为：221y x x =++．【点睛】本题考查了二次函数的图像与几何变换，会求抛物线与坐标轴的交点和顶点坐标，熟练掌握抛物线平移的变换规律是解答的关键． 14．【分析】先求出函数图像的对称轴然后根据二次函数的增减性即可解答【详解】解：∵函数图像的对称轴为x=1∴当数值随的增大而减小故答案为【点睛】本题考查了二次函数的增减性确定二次函数的对称轴是解答本题的关键解析：1x <【分析】先求出函数图像的对称轴，然后根据二次函数的增减性即可解答．【详解】解：∵函数223y x x =--图像的对称轴为x=1∴当1x <，数值y 随x 的增大而减小．故答案为1x <．【点睛】本题考查了二次函数的增减性，确定二次函数的对称轴是解答本题的关键．15．2【分析】首先求出B 点纵坐标进而得出D 点纵坐标即可求出D 点横坐标进而得出CD 的长【详解】解：由题意可得：当AB ＝6m 则B 点横坐标为3故此时y ＝﹣×32＝﹣3当水位上涨2m 时此时D 点纵坐标为：﹣3+2解析：【分析】首先求出B 点纵坐标，进而得出D 点纵坐标，即可求出D 点横坐标，进而得出CD 的长．【详解】解：由题意可得：当AB ＝6m ，则B 点横坐标为3，故此时y ＝﹣13×32＝﹣3， 当水位上涨2m 时，此时D 点纵坐标为：﹣3+2＝﹣1，则﹣1＝﹣13x 2，解得：x ＝故当水位上涨2m 时，水面宽CD 为．故答案为：【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，求出D 点横坐标是解题关键．16．y3＜y1＜y2【分析】先根据抛物线解析式得到抛物线的开口方向和对称轴然后根据二次函数的性质通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小【详解】∵∴抛物线开口向下对称轴为y 轴∵而B （0y2）在对称轴解析：y 3＜y 1＜y 2【分析】先根据抛物线解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．【详解】∵22y x a =-+，∴抛物线开口向下，对称轴为y 轴，∵而B （0，y 2）在对称轴上，A （﹣1，y 1）到对称轴的距离比C （2，y 3）近，∴y 3＜y 1＜y 2．故答案为：y 3＜y 1＜y 2．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．17．【分析】设点E （mm2﹣4m+8）过E 作EM 垂直于x 轴交AB 于点M 作BF ⊥EMAG ⊥EM 垂足分别为FG 由题意可得M （mm ）从而可用含m 的式子表示出EM 的长根据二次函数的性质及三角形的面积公式可得答案 解析：218【分析】设点E （m ，m 2﹣4m +8），过E 作EM 垂直于x 轴交AB 于点M ，作BF ⊥EM ，AG ⊥EM ，垂足分别为F ，G ，由题意可得M （m ，m ），从而可用含m 的式子表示出EM 的长，根据二次函数的性质及三角形的面积公式可得答案．【详解】解：设点E （m ，m 2﹣4m +8），过E 作EM 垂直于x 轴交AB 于点M ，作BF ⊥EM ，AG ⊥EM ，垂足分别为F ，G ，由题意得：M （m ，m ），∴EM ＝m 2﹣4m +8﹣m＝m 2﹣5m +8＝257()24m -+， ∴S △ABE ＝S △AEM +S △EMB＝1122EM AG EM BF ⋅+⋅1()2EM AG BF =+ 12=(m 2﹣5m +8)×（4-1） 32=(m 2﹣5m +8) ＝23521()228m -+， 由302>，得S △ABE 有最小值． ∴当m ＝52时，S △ABE 的最小值为218． 故答案为：218． 【点睛】本题考查了二次函数的最值、一次函数与二次函数图象上的点与坐标的关系及三角形的面积计算等知识点，熟练掌握相关性质及定理并数形结合是解题的关键．18．24【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴则可以确定AB 的长度然后根据等边三角形的周长公式即可求解【详解】抛物线的对称轴是过点作于点如下图所示则则则以为边的等边的周长为故答案为24【点睛】此题考查 解析：24【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴，则可以确定AB 的长度，然后根据等边三角形的周长公式即可求解．【详解】抛物线2(4)y a x k =-+的对称轴是4x =过C 点作CD AB ⊥于点D ，如下图所示则4=AD ，则28AB AD ==则以AB 为边的等边ABC 的周长为2483=⨯．故答案为24．【点睛】此题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB 的长是关键．19．【分析】抛物线开口向上且对称轴为直线根据二次函数的图象性质：在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大【详解】∵二次函数∴该抛物线开口向上且对称轴为直线：∴点A （-3m ）关于对称轴的对称点为（1m ）∵-1＜0解析：>【分析】抛物线开口向上，且对称轴为直线1x =-，根据二次函数的图象性质：在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大．【详解】∵二次函数22(1)y x k =++，∴该抛物线开口向上，且对称轴为直线：1x =-．∴点A （-3，m ）关于对称轴的对称点为（1，m ），∵-1＜0＜1，∴m ＞n ．故答案为：＞．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．20．【分析】根据函数图象平移的知识点判断即可；【详解】由题意可知将图形沿进行平移不妨设由题意可得：∵讨论时的运动路程∴将代入则有即讨论时y 值的变化当时的最小值为∴当时y 随x 增大而减小时∴y 从9运动至路程 解析：172【分析】根据函数图象平移的知识点判断即可；【详解】由题意可知将图形沿y x =进行平移，不妨设()2y x a a =-+，由题意可得：04a ≤≤，∵讨论3x =时的运动路程，∴将3x =代入则有()22359y a a a a =-+=-+，即讨论04a ≤≤时，y 值的变化， 当52a =时，y 的最小值为114， ∴当50＜2a ≤时，y 随x 增大而减小，0a =时，9y =， ∴y 从9运动至114，路程为1125944-=，当542a≤≤时，y随x的增大而增大，4a=时，5y=，y从114运动至4，路程为119544-=，∴总路程为25934174442+==；故答案是：172．【点睛】本题主要考查了二次函数图象平移的应用，准确分析计算是解题的关键．三、解答题21．（1）34，6760元；（2）当销售单价定为30元时，才能获得最大利润．【分析】（1）根据题意，可以写出利润与销售单价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到销售单价定为多少时，该厂每天获取的利润最大，最大利润为多少；（2）根据（1）中利润与单价之间的函数关系式和物价部门规定，该产品的最高销售单价不得超过30元，可以得到当单价为30时，才能获得最大利润．【详解】解：（1）设该厂每天获得的利润为w元，2810600106804800W x x x x210x346760当x34=时，W有最大值6760元因此，当销售单价定为34元时，该厂每天获得的利润最大，最大利润是6760元．（2）由（1）可知210346760W x∴函数图像开口向下，对称轴为34x=，∵最高销售单价不得超过30元，∴当x＝30时，w取得最大值，此时210303467606600W，因此，当销售单价定为30元时，才能获得最大利润是6600元．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．22．【分析】设EF=x，先求出三角形ABC的高AH的长，由矩形性质FG∥BC，推出△AFG∽△ABC利用性质得比例式FG AM=BC AH求出4x⋅，利用矩形面积公式S矩形DEFG =22343x x -+利用函数的性质求出最值即可． 【详解】 过A 作AH ⊥BC 于H ，交FG 于M ，∵正三角形ABC 的边长为4，∴BH=CH=2，在Rt △ABH 中由勾股定理AH=2222AB -BH =4-2=23，设EF=x ，则AM=23-x ，∵矩形DEFG 的DE 两个点在正三角形BC 边上，∴FG ∥BC ，∴△AFG ∽△ABC ，∴FG AM =BC AH， ∴234AM BC FG==AH 23x -⋅， ∴S 矩形DEFG =FE•FG=2234234323x xx x -⋅=-+， ∵233a =-0<， 则抛物线开口向下，有最大值，32323x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭S 最大=23．【点睛】本题考查等边三角形内接矩形问题，涉及等边三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，掌握等边三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质是解题关键．23．（1）S ＝﹣x 2+6x ，其中0＜x ＜6；（2）矩形一边长为3m 时，面积最大为9m 2，9000元．【分析】（1）根据矩形的面积公式和已知条件列出S 与x 之间的函数关系式并确定自变量x 的取值范围即可；（2）根据（1）得出的关系式，利用配方法求出函数的最大值即可．【详解】解：（1）∵矩形的一边长为x 米，∴另一边长为1222x -米，即（6﹣x ）米， ∴S ＝x （6﹣x ）＝﹣x 2+6x ，即S ＝﹣x 2+6x ，其中0＜x ＜6； （2）根据（1）得：S ＝x （6﹣x ）＝﹣（x ﹣3）2+9，则矩形一边长为3m 时，面积最大为9m 2．则此时最大费用为9×1000＝9000（元）．【点睛】本题考查了二次函数在几何图形中的应用，根据题意确定S 与x 之间的函数关系式成为解答本题的关键．24．（1）()104002024y x x =-+≤≤；（2）当销售单价定为24元时，利润最大，为1280元．【分析】（1）根据题意易得每天减少的销量为()1020x -本，然后问题可求解；（2）设每天的利润为w 元，根据题意可得()()21610400105606400w x x x x =--+=-+-，然后根据二次函数的性质可进行求解．【详解】解：（1）由题意得：()200102010400y x x =--=-+，∵书店要求每本书的利润不低于25%且不高于50%，∴1625161650x ⨯≤-≤⨯％％，解得：2024x ≤≤，∴每天的销售量y (本)与销售单价x (元)之间的函数关系式为()104002024y x x =-+≤≤；（2）设每天的利润为w 元，根据题意得：()()()22161040010560640010281440w x x x x x =--+=-+-=--+，∵100a =-<，开口向下，对称轴为直线28x =，∴当2024x ≤≤时，y 随x 的增大而增大，∴当x=24时，利润最大，最大值为：()221028144010414401280w x =--+=-⨯+=（元）；答：当销售单价定为24元时，每天的利润最大，最大利润是1280元．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质及应用是解题的关键． 25．不能围出，理由见解析．【分析】设长方形的长为xcm ，围成的面积为2ycm ，再根据长方形的面积公式可得y 与x 之间的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得．【详解】不能围出，理由如下：设长方形的长为xcm ，围成的面积为2ycm ， 则12022x y x ，即()60y x x =-， 将其化成顶点式为()230900y x =--+，由二次函数的性质可知，当30x =时，y 取得最大值，最大值为900，即用长度为120cm 长的细绳围成的长方形的面积最大为2900cm ，故不能围出面积大于2900cm 的长方形．【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．26．（1）见解析；（2）1；（3）2m =±或13m <或1m <- 【分析】（1）根据根的判别式2=4∆-b ac 的正负性，即可求证；（2）利用顶点的特点，求得点C 的坐标，将点C 坐标代入抛物线即可求得抛物线解析式，继而可得抛物线与x 的交点A 、B 坐标，继而根据三角形面积公式即可求解； （3）先求出点M 、N 的坐标，再分两种情况讨论即可：【详解】解：（1）∵()222(2)4140m m ∆=---+=≥∴抛物线与x 轴必有公共点．（2）∵2221y x x m =--+ ∴其定点C 的横坐标为1212--⨯= 又∵定点C 在直线2y x =-上，所以定点C 的坐标为(1,1)- 把点(1,1)-代入抛物线2221y x x m =--+中，解得21m =∴抛物线方程为22(2)y x x x x =-=-∴抛物线与x 轴的交点分别为(0,0)和(2,0)∴2AB = ∴1121122ABC C S AB y =⋅=⨯⨯= （3）当0x =时，2y =-，则N 为(0,2)- 当0y =时，20x -=，即M 为(2,0)∵拋物线的对称轴为1x =∴分两种情况：①由22221y x y x x m =-⎧⎨=--+⎩，得22330x x m --+=∴()22(3)410m ∆=---+=，解得2m =±时， 线段MN 与抛物线有且只有一个公共点；②当2210m --+<，解得13m <或1m <-时，线段MN 与抛物线有且只有一个公共点．综上所述，m 的取值范围是2m =±或13m <或1m <-． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合问题，涉及到根的判别式，解题的关键是综合运用所学知识，特别是二次函数的性质，有一定的难度．。

一、选择题1．对于二次函数()()2140y ax a x a =+->，下列说法正确的是（ ）①抛物线与x 轴总有两个不同的交点；②对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()4,4和()0,0两点； ③若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有012x <<； ④当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，则102a <≤ A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④2．已知抛物线()20y ax bx c a =++<过()30A -,、()1,0O 、()15,B y -、()25,C y 四点，则1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．不能确定3．()11,y -()20,y ()34,y 是抛物线22y xx c =-++上三点的坐标，则1y ，2y ，3y 之间的大小关系为（ ） A ．123y y y << B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．321y y y <<4．已知函数221y x x =--，下列结论正确的是（ ）A ．函数图象过点()1,1-B ．函数图象与x 轴无交点C ．当1≥x 时， y 随x 的增大而减小D ．当1x ≤时， y 随x 的增大而减小5．抛物线2(2)3y x =-+的对称轴是（ ） A ．直线2x =-B ．直线3x =C ．直线1x =D ．直线2x =6．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2＝mx +n （m ≠0）与抛物线交于A 、B 两点．下列结论：①2a +b ＝0；②abc ＞0；③方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑥a +b ≥m （am +b ）（m 实数）其中正确的是（ ）A ．①②③⑥B ．①③④C ．①③⑤⑥D ．②④⑤7．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m 加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m ，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（ ）A ．0.8mB ．1.6mC ．2mD ．2.2m8．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．0abc >B ．20a b +<C ．关于x 的方程230ax bx c +++=有两个相等的实数根D ．930a b c ++<9．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所尔，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）A ．0ac >B ．方程20ax bx c ++=的两根是1213x x =-=， C ．20a b -=D ．当x>0时，y 随x 的增大而减小．10．已知二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9．设该函数图象与 x 轴的一个交点的横坐标为1x ，若15x >则a 的取值范围是（ ） A ．3a 1-<<- B ．2a 1-<< C ．1a 0-<< D ．2a 4<< 11．抛物线y=2(x －1)2－3向左平移3个单位长度，此时抛物线的对称轴是直线（ ） A ．x =－3B ．x =－1C ．x =－2D ．x =412．在西宁市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间满足函数解析式y 112=-x 223+x 53+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（ ） A ．6米B ．8米C ．10米D ．12米二、填空题13．如图，抛物线()()13y a x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在B 的左侧），点C 为抛物线上任意一点．．．．（不与A ，B 重合），BD 为ABC 的AC 边上的高线，抛物线顶点E 与点D 的最小距离为1，则抛物线解析式为______．14．已知二次函数2y ax bx c =++自变量x 的部分取值和对应函数值y 如表：x2- 1- 0 1 23 y831-3则在实数范围内能使得成立的取值范围是_______．15．若二次函数()221y x k =++的图象上有两点()(),,,03A m B n -，m ____________n ．（填“>”，“=”或“<”）16．写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②与y 轴交于点(0,3)-，这个二次函数的解析式可以是_______________________． 17．已知抛物线243y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点，P 为抛物线上一点，且1APB S ∆=，则P 的坐标为_______．18．已知自变量为x 的二次函数4()()y ax b x b=++经过(,4),(2,4)m m +两点，若方程4()()0ax b x b++=的一个根为3x =，则其另一个根为__________．19．如图，抛物线 y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点坐标为(-1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①2a +b =0；②b 2-4ac ＜0；③当y ＞0时，x 的取值范围是 -1＜x ＜3；④当 x ＞0时，y 随x 增大而增大；⑤若t 为任意实数，则有a+b≥at 2+bt ．其中结论正确的是_________．20．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①0ac <；②20b a -=；③0a b c -+=；④当1x >时，y 随x 的增大而减小．其中正确的结论是______．（填序号）三、解答题21．“新冠肺炎”疫情期间某工厂为支持国家抗击疫情每天连夜生产急缺的消毒液，已知每瓶消毒液的生产成本为20元，为了合理定价，根据市场调查发现，当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶，但要求销售单价不能低于成本且不高于30元.（1）求每天的销售量y （瓶）与销售单价x （元）之间的函数关系式； （2）求每天的利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（3）该工厂负责人决定将每天的利润全部捐献出来进一步支持国家抗击“新冠肺炎”疫情，则当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 22．已知抛物线2(0)y ax bx a =+≠经过点(4,8)A -和点(,0)(0)P m m ≠．（1）若点A 是抛物线的顶点，则m =______．（2）如图，若2m =，设此时抛物线的顶点为B ，求OAB 的面积．23．某商场新上市一款运动鞋，每双进货价为150元，投入市场后，调研表明：当销售价为200元时，平均每天能售出10双；而当销售价每降低5元时，平均每天就能多售出5双．（1）商场要想尽快回收成本，并使这款运动鞋的销售利润平均每天均达到675元，那么这款运动鞋的销售价应定为多少元？（2）请用配方法求：这款运动鞋的销售价定为多少元时，可使商场平均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？24．已知：二次函数2y x bx c =++过点（0，－3），（1，－4） （1）求出二次函数的表达式；（2）在给定坐标系中画出这个二次函数的图像；（3）根据图像回答：当0≤x ＜3时，y 的取值范围是 ．25．如图，二次函数2y x bx c =-++与x 轴交于点B 和点()1,0A -，与y 轴交于点()0,4C ，与一次函数y x a =+交于点A 和点D ．（1）求出a 、b 、c 的值；（2）若直线AD 上方的抛物线存在点E ，可使得EAD 面积最大，求点E 的坐标； （3）点F 为线段AD 上的一个动点，点F 到（2）中的点E 的距离与到y 轴的距离之和记为d ，求d 的最小值及此时点F 的坐标．26．已知二次函数的图象经过点(0,3),(3,0),(1,0)-，求此二次函数的解析式，并判断点(2,3)P -是否在这个二次函数图象上．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】①由y=0，一元二次方程()214=0ax a x +-，判别式()2=14a ∆-=0即可判断①；②抛物线中c=0，恒过原点，当x=4，函数值为4即可判断②；③抛物线对称轴为：122x a =-当11222a<-<时，解得102a <<，求出12a >即可判断③；④0a >，对称轴为：1222x a=-<，由抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大即可判断④． 【详解】①由y=0，()214=0ax a x +-，()2=14a ∆-，当1=04a >时，()2=14=0a ∆-有一个交点，为此抛物线与x 轴总有两个不同的交点不正确；②由()()2140y ax a x a =+->中c=0，抛物线恒过原点（0，0），当x=4，()4=1166144416y a a a a ⨯-=++=-，抛物线恒过（4，4），为此对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()4,4和()0,0两点正确； ③()()2140y ax a x a =+->对称轴为：1441122222b a a x a a a a--=-=-==-， 当11222a<-<时，解得102a <<，∴12a >， 为此当12a >，若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有012x <<正确；④()()2140y ax a x a =+->对称轴为：122x a=-， ∵0a >，抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大， 由此1222x a=-≤， 解得10a>即0a >， 为此当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，则102a <≤不正确． 故选择：B ． 【点睛】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，抛物线过定点，抛物线的对称轴，抛物线的增减性等问题，掌握抛物线的性质以及一元二次方程根的判别式是解题关键．2．A解析：A 【分析】根据A （-3，0）、O （1，0）两点可确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，B 、C 两点与对称轴的远近，判断y 1与y 2的大小关系． 【详解】解：∵抛物线过A （-3，0）、O （1，0）两点， ∴抛物线的对称轴为x=312-+=-1， ∵a ＜0，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，由()15,B y -、()25,C y 可知C 点离对称轴远，对应的纵坐标值小， 即y 1＞y 2． 故选：A ． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较抛物线上两点纵坐标的大小，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近．3．C解析：C 【分析】先判断函数的开口向下，对称轴为x=1，从而得出距离对称轴越远，函数值越小，再结合三点坐标即可判断1y ，2y ，3y 之间的大小关系． 【详解】 解：∵在22y xx c =-++中，21,122b a a =--=-=-， ∴该函数开口向下，对称轴为x=1，且距离对称轴越远，函数值越小，∵()11,y -、()20,y 、()34,y 三点距离对称轴的距离为：2,1,3， ∴312y y y <<， 故选：C ． 【点睛】本题考查比较二次函数值的大小．理解二次函数当a<0时距离对称轴越远的点，函数值越小是解题关键．4．D解析：D 【分析】根据二次函数的性质进行判断即可． 【详解】解：A 、当x=-1时，221y x x =--=1+2﹣1=2，函数图象过点（-1，2），此选项错误；B 、∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0， ∴函数图象与x 轴有两个交点， 故此选项错误；C 、∵221y x x =--=（x ﹣1）2﹣2，且1＞0，∴当x≥1时，y 随x 的增大而增大， 故此选项错误；D 、当x≤1,时，y 随x 的增大而减小，此选项正确， 故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数的性质、抛物线与x 轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．5．D解析：D 【分析】直接利用二次函数对称轴求法得出答案． 【详解】解：抛物线y=（x-2）2+3的对称轴是：直线x=2． 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握对称轴确定方法是解题关键．6．C解析：C 【分析】根据拋物线的开口方向以及对称轴为x ＝1，即可得出a 、b 之间的关系以及ab 的正负，由此得出①正确；根据抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴上，可知c 为正结合a ＜0、b ＞0即可得出②错误；将抛物线往下平移3个单位长度可知抛物线与x 轴只有一个交点从而得知③正确；根据拋物线的对称性结合抛物线的对称轴为x ＝1以及点B 的坐标，即可得出抛物线与x 轴的另一交点坐标，④正确；⑤根据两函数图象的上下位置关系即可判断y 2＜y 1，故⑤正确；当1x ＝时y 1有最大值，a ＋b ＋c ≥am 2＋bm ＋c ，即可判断⑥正确． 【详解】解：由抛物线对称轴为直线x ＝2ba-，从而b ＝﹣2a ，则2a ＋b ＝0，故①正确； 抛物线开口向下，与y 轴相交于正半轴，则a ＜0，c ＞0，而b ＝﹣2a ＞0，因而abc ＜0，故②错误；方程ax 2＋bx ＋c ＝3从函数角度可以看做是y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝3求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为（1，3），则抛物线与直线有且只有一个交点 故方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根，故③正确；由抛物线对称性，与x 轴的一个交点B （4，0），则另一个交点坐标为（﹣2，0），故④错误；由图象可知，当1＜x ＜4时，y 2＜y 1，故⑤正确；因为x ＝1时，y 1有最大值，所以a ＋b ＋c ≥am 2＋bm ＋c ，即a ＋b ≥m （am ＋b ）（m 实数），故⑥正确． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像、一次函数图像、二次函数的图象与系数的关系等知识考查知识点较多．解答的关键在于读懂图象信息，掌握二次函数知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．B解析：B 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得出B 、C 的坐标，然后根据待定系数法求出抛物线解析式，然后求出当当0.2x =和0.6x =时y 的值，然后即可求解． 【详解】如图，由题意得()0,0.5B ，()1,0C ．设抛物线的解析式为2y ax c =+， 代入得12a =-，12c =，∴抛物线的解析式为21122y x =-+． 当0.2x =时，0.48y =， 当0.6x =时，0.32y =．∴()1122334420.480.32 1.6BC B C B C B C m +++=⨯+=， 故选B ． 【点睛】本题考查了二次函数的拱桥问题，关键是要根据题意作出平面直角坐标系，并根据所建立的平面直角坐标系求出函数解析式．8．D解析：D 【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由图象可知：a ＜0，b ＞0，c ＞0，abc ＜0，故A 选项错误；对称轴为x=-2ba=1，得2a=-b ， ∴2a+b=0，故B 错误；由图像可得二次函数的图象与x 轴有两个交点，故230ax bx c +++=有两个相等的实数根的说法错误，故C 错误； ∵对称轴为x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点得横坐标小于2， ∴当x=3时，y=9a+3b+c ＜0，故D 正确； 【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．9．B解析：B 【解析】 解：A 、∵抛物线开口向下，与y 轴交于正半轴，∴a ＜0，c ＞0，ac ＜0，故本选项错误；B 、∵抛物线对称轴是x=1，与x 轴交于（3，0），∴抛物线与x 轴另一交点为（-1，0），即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3，故本选项正确；C 、∵抛物线对称轴为，∴b=-2a ，∴2a+b=0，故本选项错误；D 、∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，故本选项错误．故选B ．根据抛物线的开口方向，对称轴，与x 轴、y 轴的交点，逐一判断．10．C解析：C【分析】根据二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9，可以写出该函数的顶点式，得到0a <，再根据该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，可知，当5x =时，0y >，即可得到a 的取值范围，本题得以解决．【详解】 解：二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9， 0a ∴<，该函数解析式可以写成2(2)9y a x =-+，设该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，∴当5x =时，0y >，即2(52)90a -+>，解得，1a >-，a ∴的取值范围时10a -<<，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11．C解析：C【分析】根据二次函数图象的平移规律得出平移后的抛物线的解析式，由此即可得出答案．【详解】由题意，平移后的抛物线的解析式为2213()3y x =-+-，即22(2)3y x =+-， 则此时抛物线的对称轴是直线2x =-，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移、二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键． 12．C解析：C【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．【详解】解：当y =0时，即y 112=-x 223+x 53+=0， 解得：x =﹣2（舍去），x =10．∴该生此次实心球训练的成绩为10米．故选：C ．【点睛】 本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．二、填空题13．【分析】根据题意可确定出AB 两点的坐标从而求出对称轴为x=1依题意要使DE 最小则D 点必在对称轴上从而根据题意画出图形求解即可【详解】解：如图所示使DE 最小则D 点必在对称轴x=1上过点E 作EF ⊥AB 则解析：2339424y x x =-- 【分析】根据题意可确定出A ，B 两点的坐标，从而求出对称轴为x=1，依题意要使DE 最小则D 点必在对称轴上，从而根据题意画出图形求解即可．【详解】解：如图所示，使DE 最小则D 点必在对称轴x=1上，过点E 作EF ⊥AB ，则AF=BF ，∴AD=BD ，∵BD 为ABC 的AC 边上的高线，∴∠ADB=90°，∴∠DBF=∠BDF=45°，∴DF=BF=2．当x=1时，y=-4a ，∵抛物线开口向上，∴a>0，∴EF=4a ．∵DE=1，∴4a-2=1解得：a=34． ∴抛物线解析式为3(1)(3)4y x x =+- 即2339424y x x =-- 故答案为：2339424y x x =--． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，结图象求最值问题，利用好数形结合找出最小值的点是解题的关键．14．或【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质可以得到对称轴函数图象的开口方向再根据表格中的数据即可得到y-3＞0成立的x 取值范围【详解】解：由表格可知该二次函数的对称轴是直线函数图象开口向上故y-3＞ 解析：1x <-或3x >【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到对称轴、函数图象的开口方向，再根据表格中的数据，即可得到y-3＞0成立的x 取值范围．【详解】解：由表格可知， 该二次函数的对称轴是直线1312x -+==，函数图象开口向上， 故y-3＞0成立的x 的取值范围是x ＜-1或x ＞3，故答案为：x ＜-1或x ＞3．【点睛】 本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．15．【分析】抛物线开口向上且对称轴为直线根据二次函数的图象性质：在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大【详解】∵二次函数∴该抛物线开口向上且对称轴为直线：∴点A （-3m ）关于对称轴的对称点为（1m ）∵-1＜0解析：>【分析】抛物线开口向上，且对称轴为直线1x =-，根据二次函数的图象性质：在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大．【详解】∵二次函数22(1)y x k =++，∴该抛物线开口向上，且对称轴为直线：1x =-．∴点A （-3，m ）关于对称轴的对称点为（1，m ），∵-1＜0＜1，∴m ＞n ．故答案为：＞．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．16．【分析】根据二次函数的性质可得出a ＜0利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c=-3取a=-1b=0即可得出结论【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c ∵抛物线开口向下∴a ＜0∵抛物线与y解析：23=--y x【分析】根据二次函数的性质可得出a ＜0，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c=-3，取a=-1，b=0即可得出结论．【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ．∵抛物线开口向下，∴a ＜0．∵抛物线与y 轴的交点坐标为（0，-3），∴c=-3．取a=-1，b=0时，二次函数的解析式为y=-x 2-3．故答案为：y=-x 2-3（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出a ＜0，c=-3是解题的关键．17．(2-1)或（2-1）或（2+1）【分析】当y=0时求得x 的值确定AB 的长设点P 坐标为根据三角形面积公式列方程求解即可【详解】解：当y=0时解得：∴AB=2设点P 坐标为∴∴当时解得x=2此时P 点坐标解析：(2，-1)或（1），或（，1）．【分析】当y=0时，求得x 的值，确定AB 的长，设点P 坐标为2(,43)x x x -+，根据三角形面积公式列方程求解即可．【详解】解：当y=0时，243=0x x -+解得：121,3x x ==∴AB=2设点P 坐标为2(,43)x x x -+， ∴214312APB S AB x x ∆=-+= ∴2431x x -+=当2431x x -+=-时，解得x=2，此时P 点坐标为(2，-1)当2431x x -+=时，解得122x x =P 点坐标为（，1），或（，1）综上，P 的坐标为：(2，-1)或（1），或（，1）故答案为：(2，-1)或（，1），或（，1）．【点睛】本题考查二次函数与图形，利用数形结合思想列方程求解是解题关键．18．x=﹣1或﹣5【分析】根据题意该函数一定过点（04）可得两点的坐标进而求得对称轴根据解析式与方程的关系即可求得方程另一个根【详解】解：∵当x=0时=4∴m=0或m=﹣2∴二次函数经过或∴对称轴为直线解析：x=﹣1或﹣5【分析】根据题意该函数一定过点（0，4），可得(,4),(2,4)m m +两点的坐标，进而求得对称轴，根据解析式与方程的关系即可求得方程另一个根．【详解】解：∵当x=0时，4()()y ax b x b =++=4，∴m=0或m=﹣2，∴二次函数4()()y ax b x b =++经过(0,4),(2,4)或(2,4),(0,4)-，∴对称轴为直线x=1或x=﹣1，∵方程4()()0ax b x b++=的一个根为3x =，∴方程的另一个根为x=﹣1或﹣5，故答案为：x=﹣1或﹣5．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称性求解是解答的关键． 19．①③⑤【分析】根据二次函数的图象及性质即可判断【详解】解：由图象可知：该抛物线的对称轴为x=1∴抛物线与x 轴的另外一个交点为：（30）∵对称轴为x=−＝1从而可知：2a+b=0故①正确；∵抛物线与x解析：①③⑤【分析】根据二次函数的图象及性质即可判断．【详解】解：由图象可知：该抛物线的对称轴为x=1，∴抛物线与x 轴的另外一个交点为：（3，0）∵对称轴为x=−2b a＝1， 从而可知：2a+b=0，故①正确；∵抛物线与x 轴有两个交点（-1，0），（3，0）∴△=b 2-4ac ＞0，而②b 2-4ac ＜0，故②错误；由图象可知：当y ＞0时，x 的取值范围是-1＜x ＜3，故③正确；由图象可知：当x ＜1时，y 随x 增大而增大，故④错误；若t 为任意实数，x=1时，函数取得最大值，故a+b+c≥at 2+bt+c ，∴a+b≥at 2+bt ，故⑤正确，所以，结论正确的是①③⑤．故答案为：①③⑤．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练正确理解二次函数图象与系数的关系，本题属于中等题型．20．①③【分析】由抛物线的开口方向判断的符号由抛物线与轴的交点判断的符号然后根据对称轴抛物线的增减性进行推理进而对所得结论进行判断【详解】解：①图象开口向上与轴交于负半轴能得到：故①正确；②对称轴为直线解析：①③【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴、抛物线的增减性进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①图象开口向上，与y 轴交于负半轴，能得到：0a >，0c <，0ac ∴<，故①正确； ②对称轴为直线1x =，12b a∴-=， 2b a ∴=-，20b a ∴+=，故②错误；③由图象可知，当1x =-时，0y a b c =-+=，故③正确；④由图象可知，在对称轴的右侧，从左往右图象逐渐上升，所以当1x >时，y 随x 的增大而增大，故④错误．故答案为：①③．【点睛】主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．三、解答题21．（1）函数关系式为y =-1000x +36000；（2）函数关系式为w =-1000x 2+56000x -720000；（3）当销售单价为28元时，最大利润是64000元.【分析】（1）抓住关键的已知条件：当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶，由此可得到y 与x 之间的函数解析式. （2）利用根据每天的利润=每一件的利润×销售量，列出w 与x 之间的函数解析式. （3）将（2）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可得结果.【详解】（1）解：由题意得y =（30-x ）×1×1000+6000=-1000x +36000.∴每天的销售量y （瓶）与销售单价x （元）之间的函数关系式为y =-1000x +36000. （2）解：由题意得w =（x -20）（-1000x +36000）=-1000x 2+56000x -720000.∴每天的利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式为w =-1000x 2+56000x -720000. （3）解：w =-1000x 2+56000x -720000=-1000（x -28）2+64000.∵a =-1000＜0∴当x =28时，w 有最大值为64000.答：当销售单价为28元时，最大利润是64000元.【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用-销售问题；二次函数顶点式的转化也是本题求最值问题的关键．22．（1）8；（2）6．【分析】（1）先将点(4,8)A -代入抛物线的解析式可得1648a b +=-，再根据点A 是抛物线的顶点可得其对称轴42b x a=-=，从而可得8b a =-，求出a 、b 的值，然后将点P 的坐标代入抛物线的解析式即可得； （2）如图（见解析），先利用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得顶点B 的坐标，再利用待定系数法求出直线AB 的函数解析式，从而可得点C 的坐标，然后根据OAB 的面积等于OAC 与OBC 的面积之和即可得．【详解】（1）由题意，将点(4,8)A -代入抛物线的解析式得：1648a b +=-，点A 是抛物线的顶点，∴抛物线的对称轴为42b x a=-=，即8b a =-， 联立16488a b b a +=-⎧⎨=-⎩，解得124a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 则抛物线的解析式为2142y x x =-， 将(,0)(0)P m m ≠代入2142y x x =-得：21402m m -=， 解得8m =或0m =（不符题意，舍去），故答案为：8；（2）2m =，(2,0)P ∴， 将点(4,8),(2,0)A P -代入抛物线的解析式得：1648420a b a b +=-⎧⎨+=⎩， 解得12a b =-⎧⎨=⎩， 则此时抛物线的解析式为222(1)1y x x x =-+=--+，∴顶点B 的坐标为(1,1)B ，设直线AB 的函数解析式为y kx c =+，将点(4,8),(1,1)A B -代入得：481k c k c +=-⎧⎨+=⎩，解得34k c =-⎧⎨=⎩， 则直线AB 的函数解析式为34y x =-+，当0y =时，340x -+=，解得43x =，即4(,0)3C ， 43OC ∴=， (4,8)(1),1,B A -，OAC ∴的OC 边上的高为8，OBC 的OC 边上的高为1， OAC OB B COA S S S ∴=+， 1414812323=⨯⨯+⨯⨯， 6=，即OAB 的面积为6．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．23．（1）商场要想尽快回收成本，这款运动鞋的销售价应定为165元；（2）这款运动鞋的销售价定为180元时，利润最大，最大利润是900元．【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论；（2）根据销售利润=一双运动鞋的利润×销售运动鞋数量，一双运动鞋的利润=售价-进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每部的盈利×销售的数量=y ，即可列函数关系式；利用函数最值求法得出即可．【详解】解：（1）设这款运动鞋的销售价应定为x 元.200(150)(105)6755x x --+⨯= 解得：x 1=195，x 2=165因为商场想尽快回收成本，所以定价应为165元；（2）200(150)(105)5x y x -=-+⨯ 2(180)900x =--+∴当定价为180元时，获利最多，最大利润为900元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，本题关键是找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．24．（1）2-2-3y x x =；（2）见解析；（3）－4≤y ＜0【分析】（1）把已知点的坐标代入函数解析式，即可求出答案；（2）根据函数的解析式画出抛物线即可；（3）把二次函数解析式化成顶点式，再根据图形分析计算y 的取值范围即可．【详解】解：（1）将点（0，－3），（1，－4）代入二次函数2y x bx c =++得：314c b c =-⎧⎨++=-⎩， 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩， 所以，二次函数的表达式为：223y x x =--；（2）二次函数的图象如下：（3）∵()214y x =--∴当x ＝1时，有最小值－4，当x ＝0时，y ＝（0−1）2－4＝−3，当x ＝3时，y ＝（3−1）2－4＝0，又对称轴为x ＝1，∴当0≤x ＜3时，y 的取值范围是−4＜y≤0．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、也考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的三种常用形式：一般式、顶点式、交点式．25．（1）1a =，3b =，4c =；（2）()1,6；（3）最小值为5，F 点的坐标为()1,2【分析】（1）将()1,0A -与()0,4C分别代入二次函数2y x bx c =-++和一次函数y x a =+求解即可；（2）过点E 作x 轴的垂线1，交x 轴于点G ，交AD 于点H ，过点D 作l 的垂线，垂足为T ，由（1）可设点()2,34E m m m -++，则点H 的坐标为(),1m m +，然后根据割补法进行求解面积即可；（3）过A 作y 轴的平行线AS ，过F 作FG y ⊥轴交AS 于点M ，过F 作FN x ⊥轴于N ，由题意易得45DAB ∠=︒，则可证FM FN =，进而可得当N 、F 、E 所在直线与x 轴垂直时，1d FE FN =+-最小，然后问题可求解．【详解】（1）解：将()1,0A -与()0,4C分别代入二次函数2y x bx c =-++，得()2104b c c ⎧---+=⎪⎨=⎪⎩ ， 解得34b c =⎧⎨=⎩； 将点()1,0A -代入一次函数y x a =+，得10a -+=，解得1a =，∴1a =，3b =，4c =；（2）解：由（1）所求的a ，b ，c 的值可得一次函数的解析式为：1y x =+，抛物线的解析式为：234y x x =-++，联立1y x =+与234y x x =-++得2134y x y x x =+⎧⎨=-++⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩ ∴点D 的坐标为：()3,4，设点()2,34E m m m -++， 过点E 作x 轴的垂线1，交x 轴于点G ，交AD 于点H ，则点H 的坐标为(),1m m +，过点D 作l 的垂线，垂足为T ；∴223EH m m =-++，4=AD ， ∴()11112222AED AEH HED S S S EH AG EH DT EH AG DT =+=⨯+⨯=+=△△△ ()()223414218m m m m -++--⨯=--+，当1m =时，最大值为8，此时点E 的坐标为()1,6；（3）解：过A 作y 轴的平行线AS ，过F 作FP y ⊥轴交AS 于点M ，过F 作FN x ⊥轴于N ，∵点D 的坐标为()3,4，点A 坐标为()1,0-∴45DAB ∠=︒，∴AD 平分SAB ∠，∴FM FN =，∴11d FE FM FE FN =+-=+-显然，当N 、F 、E 所在直线与x 轴垂直时，1d FE FN =+-最小，最小值为615-=．此时点F 的横坐标为1，代入1y x =+得F 点的坐标为()1,2．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．26．223y x x =--+，点(2,3)P -在这个二次函数的图象上．【分析】先设此二次函数解析式的交点式，再将点(0,3)代入即可得，然后将点P 的坐标代入进行验证即可得．【详解】由题意，设此二次函数的解析式为31y a x x =+-()()，将点(0,3)代入得：(03)(01)3a +⨯-=，解得1a =-，则此二次函数的解析式为2(3)(1)23y x x x x =-+-=--+，即223y x x =--+；当2x =-时，()()222233=---⨯-+=y ，则点(2,3)P -在这个二次函数的图象上．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．。

一、选择题1．如果二次函数2112y x ax =-+，当1x ≤时，y 随x 的增大而减小，且关于x 的分式方程4311x a x x++=--有正整数解，则所有符合条件的a 的值之和为（ ）． A ．9 B ．8 C ．4 D ．32．如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，此图象与x 轴的交点坐标分别为(－1，0)、(3，0).下列说法：0abc >；方程20ax bx c ++=的根为11x =-，23x =；当1x >时，y 随着x 的增大而增大；420a b c ++<.正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．33．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像，对于下列说法：①abc ＞0，②240b ac ->，③a +b +c ＜0，④当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．二次函数2y ax bx c =++()0a ≠的图象如图所示，观察得出了下面4条信息：①0abc >；②0a b c -+>；③230a b -=；④240b ac ->．你认为其中正确的结论有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知二次函数()()2y x p x q =---，若m ，n 是关于x 的方程()()20x p x q ---=的两个根，则实数m ，n ，p ，q 的大小关系可能是（ ） A ．m ＜p ＜q ＜nB ．m ＜p ＜n ＜qC ．p ＜m ＜n ＜qD ．p ＜m ＜q ＜n6．要在抛物线()4y x x =-上找点(),P a b ，针对b 的不同取值，所找点P 的个数，三人的说法如下（ ）甲：若5b =，则点P 的个数为0乙：若4b =，则点P 的个数为1丙：若3b =，则点P 的个数为1A ．甲乙错，丙对B ．甲丙对，乙错C ．甲乙对，丙错D ．乙丙对，甲错 7．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2＝mx +n （m ≠0）与抛物线交于A 、B 两点．下列结论：①2a +b ＝0；②abc ＞0；③方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑥a +b ≥m （am +b ）（m 实数）其中正确的是（ ）A ．①②③⑥B ．①③④C ．①③⑤⑥D ．②④⑤ 8．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m 加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m ，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（ ）A ．0.8mB ．1.6mC ．2mD ．2.2m9．如图，以直线1x =为对称轴的二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴负半轴交于A 点，则一元二次方程20ax bx c ++=的正数解的范围是（ ）．A ．23x <<B ．34x <<C ．45x <<D ．56x <<10．若关于x 的不等式组232x a x a ≥+⎧⎨<-⎩有解，则函数21(3)4y x x a =--+-图象与x 轴的交点个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1或2个 11．对于二次函数2(2)7y x =---，下列说法正确的是（ ）A ．图象开口向上B ．对称轴是直线2x =-C ．当2x >时，y 随x 的增大而减小D ．当2x <时，y 随x 的增大而减小 12．在平面直角坐标系中，将函数22y x =-的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到图象的函数解析式是（ ）A ．22(1)5y x =-++B ．22(1)5y x =--+C ．22(1)5y x =-+-D ．22(1)5y x =---第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，则bc 的值为_____（填正或负）．14．已知二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，0,0a c ≠>）上有五点()()1,01,(),p t n -、、()()2,3,0t 、；有下列结论：①0b >；②关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是1-和3；③20p t +<；④()(4m am b a c m +≤--为任意实数）．其中正确的结论_______________（填序号即可）．15．若抛物线22y x x c =++与坐标轴有两个交点，则c 应满足的条件是_______．16．若二次函数26y x x c =-+的图象经过()11,A y -，()22,B y ，()33C y +三点，则关于1y ，2y ，3y 大小关系正确的是_______．（用“<”连接）17．已知点()12,A y -，()23,B y -在二次函数22y x x c =--+的图象上，则1y 与2y 的大小关系为1y ______2y ．（填“>”“<”或“=”）18．将二次函数 ()2213y x =-+ 的图象先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，则所得图象的函数表达式为________.19．二次函数2y ax bx c =++自变量x 与函数值y 之间有下列关系：那么()b a b c a ++的值为______．20．抛物线y ＝x²－x 的顶点坐标是________三、解答题21．已知二次函数y ＝ax 2与y ＝﹣2x 2+c ．（1）随着系数a 和c 的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；（2）若这两个函数图象的形状相同，则a ＝ ；若抛物线y ＝ax 2沿y 轴向下平移2个单位就能与y ＝﹣2x 2+c 的图象完全重合，则c ＝ ；（3）二次函数y ＝﹣2x 2+c 中x 、y 的几组对应值如表：的大小关系为 （用“＜”连接）．22．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223=+-y mx mx 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，4AB =．（1）直接写出抛物线的对称轴为直线____，点A 的坐标为___．（2）求抛物线的解析式（化为一般式）；（3）若将抛物线223=+-y mx mx 沿x 轴方向平移()0n n >个单位长度，使得平移后的抛物线与线段AC 恰有一个公共点，结合函数图象，回答下列问题：①若向左平移，则n 的取值范围是______．②若向右平移，则n 的取值范围是______．23．情境阅读：小敏同学期中复习时，再读九年级上册一本辅导书“一元二次方程”的“数学活动”时，重新思考了“活动围长方形”．下面呈现的是“活动内容”及“小敏反思”的部分：问题解决：请根据“小敏发现”，应用二次函数解决“能围出面积大于900cm 2的长方形吗？” 24．如图①，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()3,0A 、()1,0B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线23y ax bx =++的解析式；（2）如图②，连接AC ，点E 是第一象限内抛物线上的动点，过点E 作EF AC ⊥于点F ，//EG y 轴交AC 于点G ，求EFG 面积的最大值及此时点E 的坐标；（3）如图③，若抛物线的顶点坐标为点D ，点P 是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q ，使得以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，直线:33l y x =-+与x 轴，y 轴分别相交于A,B 两点，抛物线224(0)y ax ax a a =-++<经过点B ．(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；(2)连结BD,以AB,BD 为一组邻边的平行四边形ABDE,顶点E 是否在抛物线上？(3)已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 横坐标为m,△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值．26．已知抛物线2221y x x m =--+，直线2y x =-与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ． （1）求证：抛物线与x 轴必有公共点；（2）若抛物线与x 轴交于A 、B 两点，且抛物线的顶点C 落在此直线上，求ABC 的面积；（3）若线段MN 与抛物线有且只有一个公共点，求m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由二次函数的性质可先确定出a 的范围，再由二次函数的性质可确定出a 的范围，解分式方程确定出a 的取值范围，从而可确定出a 的取值，可求得答案．【详解】解：∵二次函数2112y x ax =-+， ∴抛物线开口向上，对称轴为x ＝a ，∴当x ＜a 时，y 随x 的增大而减小，∵当x≤1时，y 随x 的增大而减小，∴a≥1， 解分式方程4311x a x x ++=--可得x ＝72a -， ∵关于x 的分式方程4311x a x x ++=--有正整数解， ∵x≠1，∴满足条件的a 的值为1，3，∴所有满足条件的整数a 的值之和是1＋3＝4，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质、分式方程的解，通过解分式方程以及二次函数的性质，找出a 的值是解题的关键．2．C解析：C【分析】①由抛物线的开口方向、与y 轴的交点判定a 、c 的符号，根据对称轴确定b 的符号； ②根据二次函数图象与x 轴的交点解答；③利用对称轴和二次函数的图象的性质作出判断；④将x=2代入函数关系式，结合图象判定y 的符号．【详解】解：①∵抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右边，与y 轴的交点在y 的负半轴上， ∴a ＞0，-b 2a＞0，c ＜0， 即b ＜0，∴abc ＞0，正确；②二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点是（-1，0）、（3，0），∴方程ax 2+bx+c=0的根为x 1=-1，x 2=3故本选项正确；③函数对称轴是直线x=1，根据图象当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；④根据图象可知抛物线与x 轴的交点坐标是（-1，0），（3，0），∴当x=2时，y ＜0∴当x=1时4a+2b+c ＜0，正确．共有四个正确的，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力，本题是一道比较典型的题目，具有一定的代表性，还是一道比较容易出错的题目．3．C解析：C【分析】根据抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右边，与y 轴的交点在y 的负半轴上即可求出a 、b 、c 的正负，即可判断①；根据抛物线与x 轴的交点坐标即可判断②；把x=1代入抛物线即可判断③；求出抛物线的对称轴，根据图象即可判断④．【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右边，与y 轴的交点在y 的负半轴上， ∴a ＞0，-2b a＞0，c ＜0， 即b ＜0，∴abc ＞0，∴①正确；由抛物线与x 轴有两个交点，∴△=b 2-4ac ＞0，故②正确；由图象可知：x=1时，y=a+b+c ＜0，故③正确； 由图象可得，当0<x<-2b a时，y 随着x 的增大而减小，故④错误； ∴正确的个数有3个．故选：C ．【点睛】 本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力．4．C解析：C【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行分析，进而对所得结论进行判断．【详解】①由二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上可知a ＞0，图象与y 轴交点在负半轴，c ＜0，对称轴b 1x=-=2a 3，2b=-a 3＜0，因此0abc >，故正确；②由图象可知x ＝−1时，y ＝a−b ＋c ＞0，故正确；③对称轴b 1x=-=2a 3，2+30a b =，故错误； ④由图象与x 轴有两个交点，可知240b ac ->，故正确．所以①②④三项正确，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 系数符号的确定．5．A解析：A【分析】根据二次函数图象性质和一元二次方程的知识结合已知条件，可以得到结论：m 、n 一定是一个最大、一个最小，而p 、q 一定介于m 、n 之间，从而解答本题．【详解】解：∵二次函数的解析式是()()2y x p x q =---∴1a =∴该二次函数的抛物线开口向上∵m 、n 是关于x 的方程()()20x p x q ---=的两个根∴当x m =或x n =时，0y =∵当x p =或x q =时，2y =-∴m 、n 一定是一个最大、一个最小，而p 、q 一定介于m 、n 之间．故选：A【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点情况和一元二次方程根的关系、二次函数图象性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的图象性质解答．6．C解析：C【分析】求出抛物线的顶点坐标为（2，4），由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：y=x （4-x ）=-x 2+4x=-（x-2）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（2，4），∴在抛物线上的点P 的纵坐标最大为4，∴甲、乙的说法正确；若b=3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，∴丙的说法不正确；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．7．C解析：C【分析】根据拋物线的开口方向以及对称轴为x ＝1，即可得出a 、b 之间的关系以及ab 的正负，由此得出①正确；根据抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴上，可知c 为正结合a ＜0、b ＞0即可得出②错误；将抛物线往下平移3个单位长度可知抛物线与x 轴只有一个交点从而得知③正确；根据拋物线的对称性结合抛物线的对称轴为x ＝1以及点B 的坐标，即可得出抛物线与x 轴的另一交点坐标，④正确；⑤根据两函数图象的上下位置关系即可判断y 2＜y 1，故⑤正确；当1x ＝时y 1有最大值，a ＋b ＋c ≥am 2＋bm ＋c ，即可判断⑥正确．【详解】解：由抛物线对称轴为直线x ＝2b a-，从而b ＝﹣2a ，则2a ＋b ＝0，故①正确； 抛物线开口向下，与y 轴相交于正半轴，则a ＜0，c ＞0，而b ＝﹣2a ＞0，因而abc ＜0，故②错误；方程ax 2＋bx ＋c ＝3从函数角度可以看做是y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝3求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为（1，3），则抛物线与直线有且只有一个交点故方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根，故③正确；由抛物线对称性，与x 轴的一个交点B （4，0），则另一个交点坐标为（﹣2，0），故④错误；由图象可知，当1＜x ＜4时，y 2＜y 1，故⑤正确；因为x ＝1时，y 1有最大值，所以a ＋b ＋c ≥am 2＋bm ＋c ，即a ＋b ≥m （am ＋b ）（m 实数），故⑥正确．故选C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像、一次函数图像、二次函数的图象与系数的关系等知识考查知识点较多．解答的关键在于读懂图象信息，掌握二次函数知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．B解析：B【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得出B 、C 的坐标，然后根据待定系数法求出抛物线解析式，然后求出当当0.2x =和0.6x =时y 的值，然后即可求解．【详解】如图，由题意得()0,0.5B ，()1,0C ．设抛物线的解析式为2y ax c =+， 代入得12a =-，12c =， ∴抛物线的解析式为21122y x =-+． 当0.2x =时，0.48y =，当0.6x =时，0.32y =．∴()1122334420.480.32 1.6BC B C B C B C m +++=⨯+=，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的拱桥问题，关键是要根据题意作出平面直角坐标系，并根据所建立的平面直角坐标系求出函数解析式．9．C解析：C【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴1x =，可以算出右侧交点横坐标的取值范围．【详解】∵二次函数2y ax bx c =++的对称轴为1x =，而对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围是32x -<<-，∴右侧交点横坐标的取值范围是45x <<．故选：C ．【点睛】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围． 10．C解析：C【分析】根据解不等式组的一般步骤得到a 的取值范围，然后求出函数21(3)4y x x a =--+-的判别式，根据根的判别式的正负即可得到图象与x 轴的交点个数．【详解】解：∵关于x 的不等式组232x a x a ≥+⎧⎨<-⎩有解， ∴3a-2＞a+2，即a ＞2，令y=0，21(3)4x x a --+-=0， △=（-1）2-4×（a-3）×（-14）=a-2， ∵a ＞2，∴a-2＞0，∴函数图象与x 轴的交点个数为2．故选：C ．【点睛】解答此题要熟知以下概念：（1）解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．（2）一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的解与二次函数y=ax 2+bx+c 的关系．11．C解析：C【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．【详解】解：∵2(2)7y x =---，∵a ＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，-7），当2x >时，y 随x 的增大而减小，当2x <时，y 随x 的增大而增大，∴A 、B 、D 都不正确，C 正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．12．B解析：B【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y=2x 2的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y=-2（x-1）2； 由“上加下减”的原则可知，抛物线y=-2（x-1）2的图象向上平移5个单位长度所得函数图象的关系式是：y=-2（x-1）2+5．故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．二、填空题13．正【分析】根据抛物线的开口方向判定a<0根据对称轴位于y 轴左侧判定ab 同号根据抛物线与y 轴交点位置判定c 的符号【详解】解：由图可知抛物线的开口方向向下则a ＜0抛物线的对称轴位于y 轴的左侧则ab 同号即解析：正【分析】根据抛物线的开口方向判定a<0，根据对称轴位于y 轴左侧判定a 、b 同号，根据抛物线与y 轴交点位置判定c 的符号．【详解】解：由图可知，抛物线的开口方向向下，则a ＜0，抛物线的对称轴位于y 轴的左侧，则a 、b 同号，即b ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴，则c ＜0，所以bc ＞0，即bc 的值为正，故答案为：正．【点睛】本题考察抛物线与x 轴的交点、二次函数图像上点的坐标特征，解题此题的关键是掌握抛物线()20y ax bx c a =++≠中a 、b 、c 所表示的几何意义． 14．【分析】由抛物线的对称性可知对称轴为可得即是方程的两个根再根据题目当中给出的条件代入解析式判断求解即可；【详解】当和时∴对称轴为∴当时y 的值相等∴∴是方程的两个根故②正确；∵当时且c ＞0∴＞0∴＞0 解析：①②④【分析】 由抛物线的对称性可知对称轴为0212x +==，可得0p =，即1x =-，3x =是方程20ax bx c ++=的两个根，再根据题目当中给出的条件，代入解析式判断求解即可；【详解】当0x =和2x =时，y t =，∴对称轴为0212x +==，∴当1x =-，3x =时，y 的值相等，∴0p =，∴1x =-，3x =是方程20ax bx c ++=的两个根，故②正确；∵当0x =时，y t =，且c ＞0，∴t c =＞0，∴202p t t +=+＞0，故③错误；∵2x =，y t =＞0，3x =，0y =，∴在对称轴的右边，y 随x 的增大而减小，∴a ＜0， ∵12b x a=-=， ∴2b a =-＞0，故①正确；∵当3x =时，0y =， ∴930a b c ++=，∴30a c +=，∴3c a =-，∴443a c a a a --=-+=-，∵顶点坐标为()1,n ，a ＜0，∴2am bm c a b c ++≤++， ∴2am bm a b +≤+，∴2am bm a +≤-， ∴24am bm a c +≤--，故④正确；综上所述：结论正确的是①②④；故答案是：①②④．【点睛】本题主要考查了二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图像上点的特征是解题的关键． 15．或【分析】根据抛物线与轴有两个交点可知二次函数过原点或与轴相切故分两种情况解答：①将代入解析式；②△【详解】解：抛物线与坐标轴有两个交点①将代入解析式得；②△解得故答案为：或【点睛】本题考查的是抛物解析：0c 或18【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点可知二次函数过原点或与x 轴相切．故分两种情况解答：①将(0,0)代入解析式；②△0=．【详解】 解：抛物线22y x x c =++与坐标轴有两个交点，①将(0,0)代入解析式得0c； ②△180c =-=， 解得18c =． 故答案为：0c 或18． 【点睛】 本题考查的是抛物线与x 轴的交点及根的判别式，熟知抛物线与x 轴的交点问题与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．16．【分析】根据函数解析式的特点其对称轴为x=3图象开口向上；利用y 随x 的增大而减小可判断根据二次函数图象的对称性可判断于是【详解】根据二次函数图象的对称性可知中在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小因为于是 解析：231y y y <<【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=3，图象开口向上；利用y 随x 的增大而减小，可判断21y y <，根据二次函数图象的对称性可判断23y y >，于是231y y y <<. 【详解】根据二次函数图象的对称性可知，33()C y 中，|33||32|1+>-=，1(1,)A y -、2(2,)B y 在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，因为112-<<，于是231y y y <<.故答案为231y y y <<.【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性.17．【分析】抛物线开口向下且对称轴为直线x=-1根据二次函数的图象性质：在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大判断即可【详解】解：∵二次函数的解析式为y=-x2-2x+c=-（x+1）2+1+c ∴该抛物线开口解析：>【分析】抛物线开口向下，且对称轴为直线x=-1，根据二次函数的图象性质：在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大判断即可．【详解】解：∵二次函数的解析式为y=-x 2-2x+c=-（x+1）2+1+c ，∴该抛物线开口向下，且对称轴为直线：x=-1．∵点A （-2，y 1），B （-3，y 2）在二次函数y=-x 2-2x+c 的图象上，且-3＜-2＜-1， ∴y 1＞y 2．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．18．y=2（x+1）2-1【分析】利用二次函数图像平移规律：上加下减左加右减可得平移后的函数解析式【详解】解：将二次函数 的图象先向左平移2个单位再向下平移4个单位则所得图象的函数表达式为：y=2（x解析：y=2（x+1）2-1【分析】利用二次函数图像平移规律：上加下减，左加右减，可得平移后的函数解析式．【详解】解：将二次函数 ()2213y x =-+ 的图象先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，则所得图象的函数表达式为：y=2（x-1+2）2+3-4∴y=2（x+1）2-1.故答案为：y=2（x+1）2-1.【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键． 19．6【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x ＝−1则−＝−1所以＝2再利用x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等得到a ＋b ＋c ＝3然后利用整体代入的方法计算（a ＋b ＋c ）的值【详解】解：∵抛物线解析：6【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x ＝−1，则−2b a ＝−1，所以b a＝2，再利用x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等得到a ＋b ＋c ＝3，然后利用整体代入的方法计算b a （a ＋b ＋c ）的值．【详解】解：∵抛物线经过点（−2，−1.68），（0，−1.68），∴抛物线的对称轴为直线x ＝−1，即−2b a ＝−1， ∴b a＝2， ∴x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等，∵x ＝−3时，y ＝3，∴x ＝1时，y ＝3，即a ＋b ＋c ＝3， ∴b a（a ＋b ＋c ）＝2×3＝6．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．20．【分析】先把函数解析式配成顶点式得到然后根据顶点式即可得到顶点坐标【详解】解：所以抛物线的顶点坐标为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式 解析：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】 先把函数解析式配成顶点式得到21124()y x =--，然后根据顶点式即可得到顶点坐标． 【详解】 解：2211()24y x x x =-=--， 所以抛物线的顶点坐标为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故答案为：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式．三、解答题21．（1）二次函数y ＝ax 2的图象随着a 的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y ＝﹣2x 2+c 的图象随着c 的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）±2，﹣2；（3）p ＜m ＜n【分析】(1)根据二次函数的性质即可得到结论；(2)由函数图象的形状相同得到a=±2，根据上加下减的平移规律即可求得函数 y =ax 2-2，根据完全重合，得到c =-2．(3)由二次函数的解析式得到开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离即可判断．【详解】解：（1）二次函数y ＝ax 2的图象随着a 的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y ＝﹣2x 2+c 的图象随着c 的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）∵函数y ＝ax 2与函数y ＝﹣2x 2+c 的形状相同，∴a ＝±2，∵抛物线y ＝ax 2沿y 轴向下平移2个单位得到y ＝ax 2﹣2，与y ＝﹣2x 2+c 的图象完全重合，∴c ＝﹣2，故答案为：±2，﹣2．（3）由函数y ＝﹣2x 2+c 可知，抛物线开口向下，对称轴为y 轴，∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，∴p ＜m ＜n ，故答案为：p ＜m ＜n ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．22．（1）1x =-，()3,0-；（2）223y x x =+-；（3）①04n <≤，②02n <≤【分析】（1）由对称轴为直线x=-2b a，可求解； （2）将点B 坐标代入可求解； （3）设向左平移后的解析式为：y =（x +1+n ）2-4，设向右平移后的解析式为：y =（x +1-n ）2-4，利用特殊点代入可求解．【详解】解：（1）∵抛物线y =mx 2+2mx -3的对称轴为直线x =22m m-=-1，AB=4， ∴点A （-3，0），点B （1，0），故答案为：x =-1，（-3，0）；（2）∵抛物线y =mx 2+2mx -3过点B （1，0），∴0=m +2m -3，∴m =1，∴抛物线的解析式：y =x 2+2x -3，（3）如图，∵y =x 2+2x -3=（x +1）2-4，∴设向左平移后的解析式为：y =（x +1+n ）2-4，把x =-3，y =0代入解析式可得：0=（-3+1+n ）2-4，∴n =0（舍去），n =4，∴向左平移，则n 的取值范围是0＜n ≤4；设向右平移后的解析式为：y =（x +1-n ）2-4，把x =0，y =-3代入解析式可得：-3=（1-n ）2-4，∴n =0（舍去），n =2，∴向右平移，则n 的取值范围是0＜n ≤2，故答案为：0＜n ≤4；0＜n ≤2．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平移的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．23．不能围出，理由见解析．【分析】设长方形的长为xcm ，围成的面积为2ycm ，再根据长方形的面积公式可得y 与x 之间的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得．【详解】不能围出，理由如下：设长方形的长为xcm ，围成的面积为2ycm ， 则12022x y x ，即()60y x x =-， 将其化成顶点式为()230900y x =--+，由二次函数的性质可知，当30x =时，y 取得最大值，最大值为900，即用长度为120cm 长的细绳围成的长方形的面积最大为2900cm ，故不能围出面积大于2900cm 的长方形．【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．24．（1）2y x 2x 3=-++；（2）最大面积8164，315,24E ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）()1,4P -或 21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或 (1,4+或(1,4-【分析】（1）把A,B 坐标代入即可求解；（2）先求出直线AC 解析式，证明△EFG 是等腰直角三角形，再得到当EG 最大时，EFG 面积的最大故可列出EG 关于x 的二次函数，即可求解；（3）根据菱形的性质作图，分情况讨论即可求解．【详解】（1）把()3,0A 、()1,0B -代入23y ax bx =++得093303a b a b =++⎧⎨=-+⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为2y x 2x 3=-++；（2）令x=0，解得y=3∴C （0,3）设直线AC 解析式为y=mx+n ，把()3,0A ，C （0,3）代入得033m n n =+⎧⎨=⎩解得13n n =-⎧⎨=⎩∴直线AC 解析式为y=-x+3，∵CO=OA∴△AOC 是等腰直角三角形，∴∠ACO=45°∵//EG y∴∠FGE=45°∵EF AC ⊥∴△EFG 是等腰直角三角形，∴EF=FG,EG 2=EF 2+FG 2=2EF 2∴S △EFG =12EF×FG=12EF 2=14EG 2 ∴当EG 最大时，EFG 面积的最大设E （x, 223x x -++）则G （x ，-x+3）∴EG=（223x x -++）-（-x+3）=-（x-32）2+94 ∴当x=32，EG 最大值为94，故此时EFG 最大面积为14×（94）2=8164，315,24E ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）如图①AD=DP 时，∵2y x 2x 3=-++=-（x-1）2+4∴D （1,4）又A （3,0）∴==DP∴P 1(1,4+,P 2(1,4-②DP=AP 时设P （1，y ）∵DP 2=AP 2，A （3,0）∴（4-y ）2=（3-1）2+（0-y ）2解得y=23 ∴P 321,3⎛⎫ ⎪⎝⎭③当AD=AP 时，设P （1，y ）∵AD 2=AP 2，A （3,0）∴（25）2=（3-1）2+（0-y ）2解得y=-4（4舍去）∴P 4()1,4-综上，P 点坐标为()1,4P -或 21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或 ()1,425+或()1,425-．【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的性质、等腰直角三角形及菱形的性质．25．(1) 2y x 2x 3=-++，顶点坐标为（1，4）；(2)不在，理由见解析；(3)S=21522m m +，S 的最大值为：258． 【分析】（1）求出A 、B 两点坐标，把B 点坐标代入抛物线的解析式即可解决问题． （2）首先求出BD 和BD 所在直线解析式，再过A 作//AE BD 交抛物线于点F ，联立方程组2123y x y x x =-⎧⎨=-++⎩求出点F 的坐标，进而得出AF 的长，从而可判断出AF 和BD 的关系，故可得结；（3）如图2中，连接OM ，设M （m ，-m 2+2m+3），根据S=S △BOM +S △AOM -S △AOB 计算即可．再利用二次函数的性质求出最大值．【详解】解：（1）∵直线l ：y=-3x+3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，∴A （1，0），B （0，3），把点B （0，3）代入y=ax 2-2ax+a+4得a=-1， ∴抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3．顶点D 的坐标为（1，4）(2)不在，如图1，∵(0,3),(1,4)B D∴BD 的解析式为3y x ，22(01)(34)2,BD =-+-=过A 作//AE BD 交抛物线于点F设AE 的解析式为y x b =+将(1,0)A 代入得1b =-，∴AE 的解析式为1y x =-，∵直线AE 与抛物线相交，联立方程组得，2123y x y x x =-⎧⎨=-++⎩∴在第一象限的交点坐标为F 117117+-+ ∴3422AF -=≠ ∴点E 不在抛物线上；（3）如图2中，连接OM ，设M （m ，-m 2+2m+3），∴BOM AOM AOB S S S S ∆∆∆=+-211331(23)222m m m =⨯⨯+⨯⨯-++- 215,(03)22m m m =-+<<． ∵22151525()22228S m m m =-+=--+， ∵-12＜0， ∴m=52时，S 有最大值为258． 【点睛】 本题考查二次函数的综合题，三角形的面积、二元二次方程组、平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数，解决最值问题，属于中考常考题型．26．（1）见解析；（2）1；（3）32m =±或13m <或31m -<- 【分析】（1）根据根的判别式2=4∆-b ac 的正负性，即可求证；（2）利用顶点的特点，求得点C 的坐标，将点C 坐标代入抛物线即可求得抛物线解析式，继而可得抛物线与x 的交点A 、B 坐标，继而根据三角形面积公式即可求解； （3）先求出点M 、N 的坐标，再分两种情况讨论即可：【详解】解：（1）∵()222(2)4140m m ∆=---+=≥∴抛物线与x 轴必有公共点．（2）∵2221y x x m =--+ ∴其定点C 的横坐标为1212--⨯= 又∵定点C 在直线2y x =-上，所以定点C 的坐标为(1,1)-。

第二十二章二次函数(单元重点综合测试)班级___________姓名___________学号____________分数____________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x厘米：当x=3时，y=18，那么当成本为3.2×105元时，边长为()A.1.6×103厘米B.4×102厘米C.0.4×103厘米D.2×103厘米2.如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是()x....-1034....y....0-5-8-5....A.图象的开口向下B.有最小值-8C.图象与x轴的一个交点是5,0D.图象的对称轴是x=3 23.一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是()A. B.C. D.4.坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点M、N皆在x轴上，且有一水平线与两图像相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，若AB=12，BC=4，CD=6，则MN的长度是()A.8B.9C.10D.115.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为1,n，且与x轴的一个交点在点3,0和4,0之间．则下列结论：①a-b+c>0；②3a+b=0；③b2=4a c-n；④一元二次方程ax2+bx+c =n -1有两个不相等的实数根；⑤若方程ax 2+bx +c =0的两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=2．其中正确结论的个数有()A.5个B.4个C.3个D.2个6.如图，在正方形ABCD 中，点B ，C 的坐标分别是(-2,1)，(2,0)，点D 在抛物线y =13x 2+bx 的图像上，则b 的值是()A.23B.13C.73D.437.如图，排球运动员站在点O 处练习发球，球从点O 正上方2m 的A 处发出，其运行的高度y (m )与水平距离x (m )满足关系式y =-160x -6 2+2.6．已知球网与点O 的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距点O 的水平距离为18m ．下列判断正确的是()A.球运行的最大高度是2.43mB.球不会过球网C.球会过球网且不会出界D.球会过球网且会出界8.如图，抛物线G :y 1=a (x +1)2+2与抛物线H :y 2=-(x -2)2-1交于点B (1,-2)，且分别与y 轴交于点D ，E ．过点B 作x 轴的平行线，交抛物线于点A ，C ．则以下结论：①抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；②无论x取何值，y2总是负数；③当-3<x<1时，随着x的增大，y1-y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.49.设二次函数y=a x+mx+m-k(a<0，m，k是实数)，则()A.当k=2时，函数y的最大值为-4aB.当k=2时，函数y的最大值为-2aC.当k=4时，函数y的最大值为-4aD.当k=4时，函数y的最大值为-2a10.如图，已知点A-1,0，点B2,3．若抛物线y=ax2-x+2(a为常数，a≠0)与线段AB有两个不同的公共点，则a的取值范围是()A.a≥3B.a≤-3或34≤a<1C.-3<a<1或a≥3D.34≤a<1二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.标准大气压下，质量一定的水的体积V cm3与温度t°C之间的关系满足二次函数V=18t2+104t>0，则当温度为4°C时，水的体积为cm3．12.已知二次函数y=x2-2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P2,y1，Q3,y2在抛物线C 上，则y1y2(填“>”或“<”)；13.在单位为1的正方形网格中，存在一平面直角坐标系．二次函数y1=a1x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+c2的图象位于如图位置上，若它们的图象位置关系具有对称性，请描述它们的对称关系：，求出y2与直线y=32x+7的交点坐标为．14.如图，将抛物线y =x 2-2x -3在x 轴下方部分沿x 轴翻折，其余部分保持不变，得到图像C 1,当直线y =x +b 与图像C 1恰有两个公共点时，b 的取值范围是．15.九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙AB ⊥CD 于点O (如图)，其中AB 上的EO 段围墙空缺．同学们测得AE =6.6m ，OE =1.4m ，OB =6m ，OC =5m ，OD =3m ．班长买来可切断的围栏16m ，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是cm 2．16.如图，二次函数y =33x 2-433x +3的图象交x 轴于点A ,B (点A 在点B 的左侧)，交y 轴于点C ．现有一长为3的线段DE 在直线y =32上移动，且在移动过程中，线段DE 上始终存在点P ，使得三条线段P A ,PB ,PC 能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段DE 左端点D 的橫坐标为t ，则t 的取值范围是．三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)17.已知二次函数的图像以A-1,4．为顶点，且过点B2,-5(1)求该函数图像与坐标轴的交点坐标；(2)将函数图像向左平移几个单位，该函数图像恰好经过原点．18.飞机降落后滑行的距离S(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是S=at²+bt，当t=5时，S=262.5；当t=10时，S=450．(1)求该函数的解析式；(2)请结合平面直角坐标系中给出的点，画出符合题意的函数图象，并写出飞机降落后滑行到停下来前进了多远？19.已知一次函数y=ax+b的图像上有两点A、B，它们的横坐标分别是2、-1，若二次函数y=x 2的图像经过A、B两点．(1)求一次函数解析式并在平面直角坐标系内画出两个函数的图像；(2)若P m,y1两点都在二次函数y=x 2的图像上，试比较y1与y2的大小． ，Q m+1,y220.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A-1,0两点，交y轴于点C，点P m,n，B3,0在抛物线上．(1)求抛物线的表达式及顶点坐标；(2)若此抛物线点P右侧的部分(不含点P)上恰好有三个点到x轴的距离均为2，请直接写出m的取值范围．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的解析式是y1=x2，直线l的解析式是y2=-14，点F0,1 4，点P是在该抛物线上的动点，连接PF，过P作PN⊥l．(1)求证：PF=PN；(2)设点E-2,6，求PE+PF的最小值及此时点P的坐标．22.甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费-月维护费；在两公司租出的汽车数量相等且都为x(单位：辆，0<x≤50)的条件下，甲的利润用y1表示(单位：元)，乙的利润用y2(单位：元)表示，根据上述信息，解决下列问题：(1)分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？(2)甲公司最多比乙公司利润多多少元？(3)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元(a>0)给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为16辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．23.为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设BD的读数为x，CD读数为y，抛物线的顶点为C．(1)(Ⅰ)列表：①②③④⑤⑥x023456y01 2.254 6.259(Ⅱ)描点：请将表格中的x,y描在图2中；(Ⅲ)连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=a x-h2+k的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为AB，竖直跨度为CD，且AB=m，CD=n，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：方案一：将二次函数y=a x-h2+k平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为y=ax2．①此时点B 的坐标为；②将点B 坐标代入y=ax2中，解得a=；(用含m，n的式子表示)方案二：设C点坐标为h,k①此时点B的坐标为；②将点B坐标代入y=a x-h2+k中解得a=；(用含m，n的式子表示)(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系xOy中有A，B两点，AB=4，且AB∥x轴，二次函数C1:y1=2x+h2+k和C2:y2=a x+h2+b都经过A，B两点，且C1和C2的顶点P，Q距线段AB的距离之和为10，求a的值．五、(本大题共2小题，每小题12分，共24分)24.中新社上海3月21日电(记者缪璐)21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C(向后翻腾三周半抱膝)．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A3,10起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)近似满足函数关系式y=a x-h．2+k a<0(1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m03 3.54 4.5竖直高度y/m1010k10 6.25根据上述数据，直接写出k的值为，直接写出满足的函数关系式：；(2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-5x2+40x-68，记她训练的入水点的水平距离为d1，比赛当天入水点的水平距离为d2，请通过计算比较d1与d2的大小；(3)在(2)的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y=-5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？25.综合与实践问题提出某兴趣小组开展综合实践活动，如图1，在正方形ABCD中，E,F分别是AB,AD上一点，且AF=2AE．点M从点E出发，沿正方形ABCD的边顺时针运动；点N同时从点F出发，沿正方形ABCD的边逆时针运动．若两动点的运动速度相同，都为每秒1个单位长度，相遇时M,N两点都停止运动，设点M运动的时间为t秒，△AMN的面积为S，探究S与t的关系．初步感知根据运动的变化，绘制了如图2所示的图象，按不同的函数解析式，图象可分为四段，还有最后一段未画出．(1)AE的长为，AB的长为．(2)a的值为，S的最大值为．延伸探究(3)请求出图2中未画出的最后一段图象对应的函数解析式，并将图象补充完整．(4)求b的值，并求出当S>3时，t的取值范围．第二十二章二次函数(单元重点综合测试)班级___________姓名___________学号____________分数____________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x厘米：当x=3时，y=18，那么当成本为3.2×105元时，边长为()A.1.6×103厘米B.4×102厘米C.0.4×103厘米D.2×103厘米【答案】B【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式的运用，求出函数的解析式是解答本题的关键．设y=kx2，由待定系数法就可以求出解析式，把y=3.2×105代入函数解析式就可以求出结论．【详解】解：设y=kx2，∵当x=3时，y=18，∴9k=18，k=2，∴y=2x2，当成本为3.2×105元时，有2x2=3.2×105，x2=1.6×105，x=4×102．故选：B．2.如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是()x....-1034....y....0-5-8-5....A.图象的开口向下B.有最小值-8C.图象与x轴的一个交点是5,0D.图象的对称轴是x=3 2【答案】C【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质等知识点，学会根据表格中的信息求得函数的解析式是解题的关键．由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质即可得出结果．【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)，由题意可知a-b+c=0c=-59a+3b+c=-8 ，解得a=1b=-4 c=-5 ，∴二次函数的解析式为y=x2-4x-5 =x-5x+1=x -2 2-9，∴函数的图象开口向上，顶点为2,-9 ，图象与x 轴的交点分别为-1,0 和5,0 ，∴图象的对称轴是x =2，函数有最小值-9，∴选项A 、B 、D 不符合题意，选项C 符合题意．故选：C ．3.一次函数y =ax +b 和二次函数y =ax 2+bx 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是()A. B.C. D.【答案】B 【分析】本题考查抛物线和直线的性质，本题可先由一次函数y =ax +b 图象得到字母系数的正负，再与二次函数y =ax 2+bx 的图象相比是否一致．【详解】解：A 、由抛物线可知，a <0，x =-b 2a<0，得b <0，由直线可知，a >0，b >0，故本选项不符合题意；B 、由抛物线可知，a >0，x =-b 2a <0，得b >0，由直线可知，a >0，b >0，故本选项符合题意；C 、由抛物线可知，a <0，x =-b 2a <0，得b <0，由直线可知，a <0，b >0，故本选项不符合题意；D 、由抛物线可知，a >0，x =-b 2a>0，得b <0，由直线可知，a <0，b >0，故本选项不符合题意．故选：B4.坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点M 、N 皆在x 轴上，且有一水平线与两图像相交于A 、B 、C 、D 四点，各点位置如图所示，若AB =12，BC =4，CD =6，则MN 的长度是()A.8B.9C.10D.11【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，线段长度的相关计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由AB ，BC ，CD 的长度以及根据二次函数的对称性可以知道，M 和C ，N 和B ，C 和B 横坐标的差，从而推出M 和N 的横坐标之差，得到MN 的长度．【详解】由A、B、C、D四点在同一水平线，可以知道四点纵坐标相同∵AB=12，BC=4，CD=6，∴AC=AB+BC=16,BD=4+6=10∴x C-x M=AC2=8，x N-x B=BD2=5又∵x C-x B=BC=4∴MN=x N-x M=(x N-x B)+(x C-x M)-(x C-x B)=5+8-4=9．故选：B．5.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为1,n，且与x轴的一个交点在点3,0和4,0之间．则下列结论：①a-b+c>0；②3a+b=0；③b2=4a c-n；④一元二次方程ax2+bx+ c=n-1有两个不相等的实数根；⑤若方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=2．其中正确结论的个数有()A.5个B.4个C.3个D.2个【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的性质等等，根据开口向下得到a<0，再根据顶点坐标结合对称轴公式得到b=-2a>0，即b+2a=0，则可判断②；由对称性可得当x=-1时，y=a-b+c>0，则可判断②；根据函数图象可知抛物线与直线y=n-1有两个交点，则可判断④；根据二次函数与一元二次方程之间的关系可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵顶点坐标为1,n，∴抛物线对称轴为直线x=-b2a=1，∴b=-2a>0，即b+2a=0，∴3a+b=2a+b+a=a<0，②错误；∵当x=3时y>0，抛物线对称轴为直线x=1，∴当x=-1时，y=a-b+c>0，①正确；∵抛物线顶点纵坐标为n，∴4ac-b24a=n，∴b2=4ac-4an=4a c-n，③正确；由图象可得抛物线与直线y=n-1有两个交点，∴ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，④正确；∵抛物线对称轴为直线x=1，方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2，，∴x1+x22=1，∴x1+x2=2，⑤正确．故选：B ．6.如图，在正方形ABCD 中，点B ，C 的坐标分别是(-2,1)，(2,0)，点D 在抛物线y =13x 2+bx 的图像上，则b 的值是()A.23B.13C.73D.43【答案】B【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，作BE ⊥x 轴，DF ⊥x 轴，证明△BEC ≌△CFD ，进而求出D 点坐标，代入解析式进行求解即可．【详解】解：如图所示，作BE ⊥x 轴，DF ⊥x 轴，则：∠BEO =∠CFD =90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =CD ，∠BCD =90°，∴∠BCE =∠CDF =90°-∠DCF ，∴△BEC ≌△CFD ，∴CF =BE ,DF =CE ，∵点B ，C 的坐标分别是(-2,1)，(2,0)，∴BE =CF =1,OC =2,DF =CE =2+2=4，∴OF =3，∴D 3,4 ，∵点D 在抛物线y =13x 2+bx 的图像上，∴4=13×32+3b ，∴b =13；故选B ．7.如图，排球运动员站在点O 处练习发球，球从点O 正上方2m 的A 处发出，其运行的高度y (m )与水平距离x (m )满足关系式y =-160x -6 2+2.6．已知球网与点O 的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距点O 的水平距离为18m ．下列判断正确的是()A.球运行的最大高度是2.43mB.球不会过球网C.球会过球网且不会出界D.球会过球网且会出界【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据顶点式的特点可知球运行的最大高度为2.6m，由此即可判断A；求出当x=9时，y的值，再与2.43m进行比较即可判断B；求出当x=18时，y的值，再与0比较即可判断C、D．【详解】解：∵抛物线解析式为y=-160x-62+2.6，∴球运行的最大高度为2.6m，故A说法错误，不符合题意；在y=-160x-62+2.6中，当x=9时，y=-1609-62+2.6=2.45>2.43，∴球会过球网，故B说法错误，不符合题意；在y=-160x-62+2.6中，当x=18时，则y=-16018-62+2.6=0.2>0，∴球会过球网且会出界，故C说法错误，不符合题意，D说法正确，符合题意；故选D．8.如图，抛物线G:y1=a(x+1)2+2与抛物线H:y2=-(x-2)2-1交于点B(1,-2)，且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：①抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；②无论x取何值，y2总是负数；③当-3<x<1时，随着x的增大，y1-y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】①先求抛物线G的解析式，再根据抛物线G,H的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断②；②根据非负数的相反数或者直接由图像判断即可；③先根据题意得出-3<x<1时，观察图像可知y1 >y2，然后计算y1-y2，进而根据一次函数的性质即可判断；④分别计算出A,E,C,D的坐标，根据正方形的判定定理进行判断即可．【详解】①∵抛物线G:y1=a(x+1)2+2与抛物线H:y2=-(x-2)2-1交于点B1,-2，∴x=1,y=-2，即-2=a(1+1)2+2，解得a=-1，∴抛物线G:y1=-x+12+2，∴抛物线G的顶点(-1,2)，抛物线H的顶点为(2,-1)，将(-1,2)向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为(2,-1)，即抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到，故①正确；②∵(x-2)2≥0，∴-(x-2)2≤0，∴y2=-x-22-1≤-1，∴无论x取何值，y2总是负数，故②正确；③∵B1,-2，∵将y=-2代入抛物线G:y1=-x+12+2，解得x1=-3,x2=1，∴A(-3,-2)，将y=-2代入抛物线H:y2=-x-22-1，解得x1=3,x2=1，∴C(3,-2)，∵-3<x<1，从图像可知抛物线G的图像在抛物线H图像的上方，∴y1>y2∵y1-y2=-(x+1)2+2-[-(x-2)2-1]=-6x+6∴当-3<x<1，随着x的增大，y1-y2的值减小，故③不正确；④设AC与y轴交于点F，∵B1,-2，∴F(0,-2)，由③可知∴A(-3,-2)，C(3,-2)，∴AF=CF，AC=6，当x=0时，y1=1,y2=-5，即D(0,1),E(0,-5)，∴DE=6，DF=EF=3，∴四边形AECD是平行四边形，∵AC=DE,AC⊥DE，∴四边形AECD是正方形，故④正确，综上所述，正确的有①②④，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，解题的关键是综合运用以上知识．9.设二次函数y =a x +m x +m -k (a <0，m ，k 是实数)，则()A.当k =2时，函数y 的最大值为-4aB.当k =2时，函数y 的最大值为-2aC.当k =4时，函数y 的最大值为-4aD.当k =4时，函数y 的最大值为-2a【答案】C【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、求二次函数的最值，求出二次函数y =a x +m (x +m -k )与x 轴的交点坐标是-m ，0 ,-m +k ，0 ．得到二次函数的对称轴是直线x =-m -m +k 2=-2m +k 2．根据开口方向进一步求出最值即可．【详解】解：由题意，令y =0，∴a x +m (x +m -k )=0，∴x 1=-m ，x 2=-m +k ．∴二次函数y =a x +m (x +m -k )与x 轴的交点坐标是-m ，0 ,-m +k ，0 ．∴二次函数的对称轴是：直线x =-m -m +k 2=-2m +k 2．∵a <0，∴y 有最大值．当x =-2m +k 2，y 最大，即y =a -2m +k 2+m -2m +k 2+m -k =-k 24a 当k =4时，函数y 的最大值为-4a ；当k =2时，函数y 的最大值为-a ．综上，C 选项正确．故选：C ．10.如图，已知点A -1,0 ，点B 2,3 ．若抛物线y =ax 2-x +2(a 为常数，a ≠0)与线段AB 有两个不同的公共点，则a 的取值范围是()A.a ≥3B.a ≤-3或34≤a <1C.-3<a <1或a ≥3D.34≤a <1【答案】B【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合问题，先求出直线AB 的解析式，令x +1=ax 2-x +2，根据有两个交点求出a 的取值范围，再分a >0和a <0两种情况讨论即可得到答案；【详解】解：设AB 所在直线为y =kx +b ，∵A -1,0 ，B 2,3 ，∴-k +b =02k +b =3，解得：k =1b =1 ，∴y =x +1，当x +1=ax 2-x +2时，∵二次函数与线段AB 有两个不同的公共点，∴(-2)2-4a ×1>0，解得：a <1，①当0<a <1时，此时函数的开口向上，∴a ×(-1)2-(-1)+2≥0，a ×22-2+2≥3，解得：34≤a <1，②当a <0时此时函数的开口向下，∴a ×(-1)2-(-1)+2≤0，a ×22-2+2≤3，解得：a ≤-3，综上所述得：34≤a <1，a ≤-3，故选：B ．二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.标准大气压下，质量一定的水的体积V cm 3 与温度t °C 之间的关系满足二次函数V =18t 2+104t >0 ，则当温度为4°C 时，水的体积为cm 3．【答案】106【分析】本题考查二次函数的应用，细心计算是解题的关键．将t =4代入解析式求值即可．【详解】解：∵V =18t 2+104t >0 ，当t =4°C 时，V =18×42+104=106cm 3 ，∴水的体积为106cm 3．故答案为：106．12.已知二次函数y =x 2-2x +1的图象向左平移两个单位得到抛物线C ，点P 2,y 1 ，Q 3,y 2 在抛物线C 上，则y 1y 2(填“>”或“<”)；【答案】<【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线C 的解析式为y =x +1 2，再利用二次函数图象的性质可得出答案．【详解】解：y =x 2-2x +1=x -1 2，∵二次函数y =x 2-2x +1的图象向左平移两个单位得到抛物线C ，∴抛物线C 的解析式为y =x +1 2，∴抛物线开口向上，对称轴为x =-1，∴当x >-1时，y 随x 的增大而增大，∵2<3，∴y 1<y 2，故答案为：<．13.在单位为1的正方形网格中，存在一平面直角坐标系．二次函数y 1=a 1x 2+b 1x +c 1，y 2=a 2x 2+b 2x +c 2的图象位于如图位置上，若它们的图象位置关系具有对称性，请描述它们的对称关系：，求出y 2与直线y =32x +7的交点坐标为．【答案】关于点-32,0 成中心对称-1,112 ，8,19 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，以及二次函数与一次函数的交点等知识．(1)根据抛物线图像可求出y 1顶点坐标为-5,-1 ，开口向下；抛物线y 2顶点坐标为2，1 ，开口向上，根据点坐标与二次函数的图像可得出答案．(2)用待定系数法求出抛物线y 2的函数解析式，再令32x +7=12x -2 2+1，进一步求解即可求出y 2与直线y =32x +7的交点坐标．【详解】解：由图象可得抛物线y 1顶点坐标为-5,-1 ，开口向下；抛物线y 2顶点坐标为2，1 ，开口向上，∵点-5,-1 与点2，1 关于点-32，0对称，∴抛物线y 1与抛物线y 2关于点-32，0成中心对称．设抛物线y 2解析式为y 2=a x -2 2+1，由图象可得抛物线经过(4，3)，将(4，3)代入y 2=a x -2 2+1得3=4a +1，解得a =12，∴y 2=12x -2 2+1，令32x +7=12x -2 2+1，解得x 1=-1，x 2=8，将x 1=-1代入y =32x +7得y =112，把x 2=8代入y =32x +7得y =19，∴y 2与直线y =32x +7的交点坐标为-1,112 ，8，19 ，故答案为：-1,112 ，8，19 ．14.如图，将抛物线y =x 2-2x -3在x 轴下方部分沿x 轴翻折，其余部分保持不变，得到图像C 1,当直线y =x +b 与图像C 1恰有两个公共点时，b 的取值范围是．【答案】b >134或-3<b <1【分析】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 是常数，a ≠0)与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程，也考查了抛物线与直线的交点问题．解决本题的关键是利用数形结合的思想的运用．通过解方程x 2-2x -3=0得到A 、B 的坐标，利用二次函数的性质得到顶点的坐标，可写出图象y =x -1 2-4-1<x <3 沿x 轴翻折所得图象的解析式为y =-x -1 2+4=-x 2+2x +3-1<x <3 ，然后求出直线y =x +b 与y =-x 2+2x +3-1<x <3 相切b 的值，直线y =x +b 过A 和过B 点所对应的b 的值，再利用图象可判断直线y =x +b 与此图象有且只有两个公共点时b 的取值范围．【详解】解：当y =0时，x 2-2x -3=0，解得x 1=-1，x 2=3，则A -1,0 ，B 3,0 ，y =x 2-2x -3=x -1 2-4，则顶点坐标为1,-4 ，把图象y =x -1 2-4-1<x <3 沿x 轴翻折所得图象的解析式为y =-x -1 2+4=-x 2+2x +3-1<x <3 ，如图，当直线y =x +b 与y =-x 2+2x +3-1<x <3 相切时，直线与新函数图象有三个交点，此时x +b =-x 2+2x +3有两个相等的实数解，方程整理得x 2-x +b -3=0，Δ=(-1)2-4(b -3)=0，解得b =134，∴当b >134时，直线y =x +b 与图像C 1恰有两个公共点，当直线y =x +b 过A -1,0 时，-1+b =0，解得b =1，当直线y =x +b 过B 3,0 时，3+b =0，解得b =-3，所以，当-3<b <1时，直线y =x +b 与此图象有且只有两个公共点．综上可知，当直线y =x +b 与图像C 1恰有两个公共点时，b 的取值范围是b >134或-3<b <1．故答案为：b >134或-3<b <1．15.九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙AB ⊥CD 于点O (如图)，其中AB 上的EO 段围墙空缺．同学们测得AE =6.6m ，OE =1.4m ，OB =6m ，OC =5m ，OD =3m ．班长买来可切断的围栏16m ，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是cm 2．【答案】46.4【分析】本题考查了二次函数的应用．要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就必须尽量使用原来的围墙，观察图形，利用AO 和OC 才能使该矩形菜地面积最大，分情况，利用矩形的面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：要使该矩形菜地面积最大，则要利用AO 和OC 构成矩形，设矩形在射线OA 上的一段长为xm ，矩形菜地面积为S ，当x ≤8时，如图，则在射线OC 上的长为16-x -1.4+52=19.6-x 2则S =x ⋅19.6-x 2=-12x 2+9.8x =-12x -9.8 2+48.02，∵-12<0，∴当x ≤9.8时，S 随x 的增大而增大，∴当x =8时，S 的最大值为46.4；当x >8时，如图，则矩形菜园的总长为16+6.6+5 =27.6m ，则在射线OC 上的长为27.6-2x 2则S =x ⋅13.8-x =-x 2+13.8x =-x -6.9 2+47.61，∵-1<0，∴当x <6.9时，S 随x 的增大而减少，∴当x >8时，S 的值均小于46.4；综上，矩形菜地的最大面积是46.4cm 2；故答案为：46.4．16.如图，二次函数y =33x 2-433x +3的图象交x 轴于点A ,B (点A 在点B 的左侧)，交y 轴于点C ．现有一长为3的线段DE 在直线y =32上移动，且在移动过程中，线段DE 上始终存在点P ，使得三条线段P A ,PB ,PC 能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段DE 左端点D 的橫坐标为t ，则t 的取值范围是．【答案】-32≤t ≤2【分析】本题考查了二次函数的性质，两点距离公式，轴对称的性质，三角形三边关系，先求出点A ，点B ，点C 坐标，分三种情况讨论，由两点间距离公式和三角形三边关系可求解．【详解】解：∵二次函数y =33x 2-433x +3的图象交x 轴于点A ,B (点A 在点B 的左侧)，交y 轴于点C 当x =0时，y =3，当y =0时，33x 2-433x +3=0，解得：x 1=1,x 2=3∴A 1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ，对称轴为直线x =2如图所示，∵线段DE 上始终存在点P ，使得三条线段P A ,PB ,PC 能与某个等腰三角形的三条边对应相等∴P A =PB 或PB =PC 或PC =P A ，∵段DE 在直线y =32上移动，∴点P 的纵坐标为32,设P x ,32①若PC =P A ，∴x 2+3-322=x -1 2+32 2解得：x =12∴P 12,32∴P A =PC =1,PC =7∵P A +PB =2<7∴不能构成三角形，舍去；②若PB =PC ，∴x 2+3-322=x -3 2+32 2解得：x =32∴P 32,32∵PB =PC =3,P A =1∴能构成三角形，③若P A =PB∴x-12+322=x-32+322解得：x=2∴P A=PB=72,PC=194∵P A+PB>PC，∴P A，PB，PC能组成三角形；∵点P在长为3的线段DE上，∴线段DE左端点D的横坐标为t的取值范围为32-3≤t≤2，即-32≤t≤2故答案为：-32≤t≤2．三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)17.已知二次函数的图像以A-1,4为顶点，且过点B2,-5．(1)求该函数图像与坐标轴的交点坐标；(2)将函数图像向左平移几个单位，该函数图像恰好经过原点．【答案】(1)与y轴的交点坐标为(0,3)；与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0)(2)向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．(1)设顶点式y=a(x+1)2+4，然后把(2,-5)代入求出a的值即可得出二次函数解析式；通过解方程-(x+1)2+4=0可得抛物线与x轴的交点坐标，通过计算自变量为0时的函数值可得到抛物线与y轴的交点坐标；(2)由于抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0)，把点(1,0)向左平移1个单位到原点，所以把抛物线解析式y=-(x+1)2+4向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点．【详解】(1)解：设抛物线解析式为y=a(x+1)2+4，把(2,-5)代入得9a+4=-5，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-(x+1)2+4；当x=0时，y=-(x+1)2+4=-1+4=3，则抛物线与y轴的交点坐标为(0,3)；当y=0时，-(x+1)2+4=0，解得x1=1,x2=-3，则抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0)；(2)解：因为抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0)，所以把抛物线解析式y=-(x+1)2+4向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点．18.飞机降落后滑行的距离S(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是S=at²+bt，当t=5时，S=262.5；当t=10时，S=450．。

第二十二章二次函数单元试卷一、单选题1．下列函数中，属于二次函数的是（）A．y=x−2B．y=x2C．y=x2−(x+1)2D．y=2x22．抛物线y=−x2−2x一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+4分别向左、向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式是（ ）A．y=(x+2)2+2B．y=(x−2)2−2C．y=(x−2)2+2D．y=(x+2)2−24．已知抛物线y=−x2+bx+4经过(−2,n)和(4,n)两点，则n的值为（ ）A．﹣2B．﹣4C．2D．45．如图，已知y1=ax2+bx+c(a≠0)与y2=kx+b(k≠0)相交于A(−1，0)、B(−4，3)两点，则y1>y2的x的取值范围是（）A．x<−4B．−4<x<−1C．x>−1D．x<−4或x>−1 6．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（ ）A．4.25分钟B．4.00分钟C．3.75分钟D．3.50分钟7．已知函数y =3x 2−6x +k （k 为常数）的图象经过点A (0.8,y 1)，B (1.1,y 2)，C(2,y 3)，则有（ ）．A ．y 1<y 2<y 3B ．y 1>y 2>y 3C ．y 3>y 1>y 2D ．y 1>y 3>y 28．用长8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是( )A ．6425m 2B ．43m 2C ．83m 2D ．4m 29．下表给出了二次函数y =ax 2+bx +c 的自变量x 与函数值y 的部分对应值：x …1 1.1 1.2 1.3 1.4…y…−1−0.67−0.290.140.62…那么关于x 的方程ax 2+bx +c =0的一个根的近似值可能是（ ）A ．1.07B ．1.17C ．1.27D ．1.3710．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，c ＜﹣1，其对称轴为直线x ＝﹣1，与x 轴的交点为（x 1，0）、（x 2，0），其中0＜x 1＜1，有下列结论：①abc ＞0；②﹣3＜x 2＜﹣2；③4a ﹣2b +c ＜﹣1；④a ﹣b ＞am 2+bm （m ≠﹣1）；其中，正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．已知二次函数y =(x +1)(x−3)，则该二次函数的对称轴为 .12．若一条抛物线的顶点在y 轴上，则这条抛物线的表达式可以是（只需写一个）13．若函数y ＝x 2＋2x ﹣b 的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是 ．14．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(m)与小球运动时间t(s)之间的函数关系式为ℎ=30t−5t 2，则小球高度为40m 时，t= ．15．已知抛物线y=a(x+2)2+k(a>0)，当x≥时，y随x的增大而增大．16．定义{a,b,c}为函数y=ax2+bx+c的“特征数”如：函数y=x2+3x+2的“特征数”是{1,3,2}，函数y=x2−4的“特征数”是{1,0,−4}，在平面直角坐标系中，将“特征数”是{2,0,4}的函数的图象向下平移3个单位，再向右平移1个单位，得到一个新函数，这个新函数的“特征数”是.(a>0)与y轴交于点A，过点A作x 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−2ax+83轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB 的中点，则a的值为．三、解答题18．已知二次函数y=kx2+(k+1)x+1(k≠0).(1)求证：无论k取任何实数，该函数图像与x轴总有交点；(2)若图像与x轴仅有一个交点，当−2≤x≤1时，求y的取值范围.19．如图，小明站在点O处练习发排球，将球从O点正上2m的A点处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x−ℎ)2+k．已知球与O点的水平距离ON为6m时，达到最高3m，球场的边界距O点的水平距离为18m．(1)请确定排球运行的高度y(m)与运行的水平距离满足的函数关系式；(2)请判断排球第一次落地是否出界？请通过计算说明理由．20．某商品每件进价25元，在试销阶段该商品的日销售量y（件）与每件商品的日销售价x （元）之间的关系如图中的折线ABC所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于50元）．(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)若日销售单价x（元）为整数，则当日销售单价x（元）为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少；(3)若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围．21．已知二次函数的图象如图所示．(1)求这个二次函数的表达式；(2)观察图象，当−2<x<1时，y的取值范围为______；(3)若将该二次函数图象向上平移m个单位长度后恰好过点(−2,0)，求m的值．x2+bx+c与y轴交于点A(0,2)，与x轴交22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−23于B(−3,0)、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)点P是线段OB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标．23．我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，多买优惠；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×（20﹣10）=1（元），因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元．（1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买？（2）写出该专卖店当一次销售x（时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？24．如图，二次函数y=x²−2x−3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点.(1)求A,B两点的坐标；(2)求△MBC的面积；(3)对称轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：题号12345678910答案B A A B D C C C C B11．直线x=112．y=2x213．b＞﹣1且b≠014．2s或4s15．−216．{2,−4,3}17．218．（1）解：令y=0，则kx2+(k+1)x+1=0，∵Δ=(k+1)2−4k=k2+2k+1−4k=k2−2k+1=(k−1)2⩾0，∴无论k取任何实数，方程kx2+(k+1)x+1=0总有实数根，∴无论k取任何实数，该函数的图象与x轴总有交点；（2）解：∵该函数的图象与x轴只有一个交点，∴Δ=(k−1)2=0.解：k=1，∴y=x2+2x+1=(x+1)2.∴该二次函数开口向上，对称轴为x=−1∴当x=−1，函数取得最小值0；当x=1时，函数取得最大值4∴y的取值范围为0⩽y⩽4.19．（1）解：由题意可知：该抛物线顶点为M(6,3)，∴y=a(x−6)2+3，把A(0,2)的坐标代入解析式，得a(0−6)2+3=2，解得a=−136，∴排球运行的高度y(m)与运行的水平距离满足的函数关系式为y=−136(x−6)2+3；（2）解：设第一次落地点为B，令y=0，则−136(x−6)2+3=0，解之得：x1=6−63（舍），x2=6+63，∵6+63<18，∴排球第一次落地没出界．20．（1）设AB段的解析式为：y=kx+b，由图可知：图象经过(25,200),(35,100)，则：{25k+b=20035k+b=100，解得：{k=−10 b=450，∴y=−10x+450；设BC段的解析式为：y=mx+n，由图可知：图象经过(50,40),(35,100)，则：{50m+n=4035m+n=100，解得：{m=−4 n=240，∴y=−4x+240∴y={−10x+450(25≤x≤35)−4x+240(35≤x≤50)．（2）设销售利润为W元，则①当25≤x≤35时，W=(x−25)(−10x+450)=−10(x−35)2+1000，∴x=35时，W max=1000元．②当35≤x≤50时，W=(x−25)(−4x+240)=−4(x−42.5)2+1225，∵x为整数，∴x=42或43时，W取最大值，W max=1224．∵1224>1000，∴当日销售单价为42元或43元时，每天的销售利润最大，最大利润为1224元．（3）由（2）知，当25≤x≤35时，该商品每天的最大销售利润为1000元；∴只有在35≤x≤50时，每天的销售利润才可能不低于1200元；∴−4(x−42.5)2+1225≥1200，当−4(x−42.5)2+1225=1200，解得：x1=40,x2=45，∵−4<0，∴−4(x−42.5)2+1225≥1200的解集为40≤x ≤45．21．（1）解：根据图象可知，二次函数的顶点为(−1,−4)，设二次函数的表达式为y =a (x +1)2−4，且图象过点(1,0)，∴0=a ×(1+1)2−4，解得：a =1，∴二次函数的表达式为y =(x +1)2−4，（2）由（1）得：二次函数的表达式为y =(x +1)2−4，∴当x =−1时，y 有最小值−4，当x =1或x =−2时，y =0，∴当−2<x <1时，y 的取值范围为−4≤y <0，（3）由题意得：平移后的解析式为y =(x +1)2−4+m ，∵过点(−2,0)，∴0=(−2+1)2−4+m ，解得：m =3．22．（1）由题意得：{c =20=−6−3b +c，解得：{b =−43c =2，∴抛物线解析式为：y =−23x 2−43x +2=−23(x +1)2+83，∴顶点D 坐标(−1,83)；（2）∵由（1）得y =−23x 2−43x +2，当y =0时，y =−23x 2−43x +2=0，解得：x 1=1，x 2=−3，∴点C (1,0)，设点E (m,−23m 2−43m +2)，则点P (m,0)，∵PE =PC ，∴−23m 2−43m +2=1−m ，∴m 1=1（舍去），m 2=−32，∴点E(−32,52)．23．略24．(1)A(−1，0)，B(3，0)(2)3(3)存在；N1(1，−3+172)，N2(1，−3−172)，N3(1，−4)，N4(1，2).。

检测内容：第二十二章二次函数得分________卷后分________评价________一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列函数关系中，y是x的二次函数的是( C )A．y＝ax2＋bx＋c B．y＝1 x2C．y＝50＋x2D．y＝(x＋2)(2x－3)－2x22．将二次函数y＝x2－2x－2化成y＝a(x－h)2＋k的形式为( B )A．y＝(x－2)2－2 B．y＝(x－1)2－3C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x－2)2－33．二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是( D )A．－3 B．－1 C．2 D．34．将抛物线y＝2x2－1向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是( D )A．y＝2x2＋8x＋9 B．y＝2x2－8x＋9C．y＝2x2＋8x＋8 D．y＝2x2－8x＋85．对于二次函数y＝x2－6x＋11的图象，下列叙述正确的是( B )A．开口向下B．对称轴为直线x＝3C.顶点坐标为(－3，2) D．当x≥3时，y随x增大而减小6．已知函数y＝3x2－6x＋k(k为常数)的图象经过点A(0.8，y1)，B(1.1，y2)，C( 2 ，y3)，则有( C )A．y3>y2>y1B．y1>y2>y3C．y3>y1>y2D．y1>y3>y27．在平面直角坐标系中，直线y＝ax＋h与抛物线y＝a(x－h)2的图象不可能是( C )A B C D8．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，点C距灯柱AB的水平距离为1.6 m，点C距水平地面的距离为2.5 m，灯罩D距灯柱AB的水平距离为3.2 m，灯柱AB＝1.5 m，则灯罩D到水平地面的距离为( A )A．1.5 m B．1 m C．1.2 m D．1.4 m第8题图第9题图第10题图9．如图①，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图②所示，则边BC的长是( A )A ．33B ．30C ．35D ． 610．(遂宁中考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＞0；②b 2＜4ac ；③2c ＜3b ；④a ＋b ＞m(am ＋b)(m ≠1)；⑤若方程|ax 2＋bx ＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为2.其中正确的结论有( A )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题(每小题3分，共18分)11．如果抛物线y ＝(a －3)x 2－2有最低点，则a 的取值范围为____a ＞3____．12．(兰州中考)点A(－4，3)，B(0，k)在二次函数y ＝－(x ＋2)2＋h 的图象上，则k ＝__3__．13．已知二次函数y ＝－14(x －2)2＋5，y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围__x ≥2__． 14．如图，过点(0，1)且平行于x 轴的直线与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)图象的交点坐标为(1，1)，(3，1)，则不等式ax 2＋bx ＋c －1＞0的解集为__x ＜1或x ＞3__．第14题图 第15题图 第16题图15．(沈阳中考)如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长度为900 m (篱笆的厚度忽略不计)，当AB ＝__150__m 时，矩形土地ABCD 的面积最大．16．(黔东南州中考)如图，抛物线L 1：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴只有一个公共点A(1，0)，与y 轴交于点B(0，2)，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L 2，则图中两个阴影部分的面积和为__2__．三、解答题(共72分)17．(6分)用配方法把二次函数y ＝12x 2－4x ＋5化为y ＝a(x ＋m)2＋k 的形式，并指出该函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：y ＝12 x 2－4x ＋5＝12(x －4)2－3，∴抛物线开口向上，对称轴是直线x ＝4，顶点坐标是(4，－3)18．(8分)(宁波中考)如图，已知二次函数y ＝x 2＋ax ＋3的图象经过点P(－2，3).(1)求a 的值和图象的顶点坐标；(2)若点Q(m ，n)在该二次函数的图象上，则：①当m ＝2时，求n 的值；②若点Q 到y 轴的距离小于2，请根据图象直接写出n 的取值范围．解：(1)把点P(－2，3)代入y ＝x 2＋ax ＋3中，得a ＝2，∴y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，∴顶点坐标为(－1，2)(2)①当m ＝2时，n ＝11；②点Q 到y 轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴－2＜m ＜2，∴2≤n ＜1119．(9分)已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋2m －1.(1)求证：二次函数的图象与x 轴总有交点；(2)若二次函数的图象与x 轴的一个交点为原点，求方程x 2－2mx ＋2m －1＝0的解． 解：(1)证明：∵Δ＝4m 2－4(2m －1)＝4m 2－8m ＋4＝4(m －1)2≥0，∴二次函数的图象与x 轴总有交点(2)把(0，0)代入y ＝x 2－2mx ＋2m －1得2m －1＝0，解得m ＝12，方程化为x 2－x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝1，即方程x 2－2mx ＋2m －1＝0的解为x 1＝0，x 2＝120．(10分)如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是(0， 3 )，以点C 为顶点的抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 恰好经过x 轴上A ，B 两点．(1) 求A ，B ，C 三点的坐标；(2) 求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过点D ，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位长度．解：(1)A ，B ，C 三点的坐标分别为(1，0)，(3，0)，(2， 3 )(2)设抛物线的解析式为y ＝a(x －2)2＋ 3 ，代入点A 的坐标(1，0)，得a ＝－ 3 ，∴抛物线的解析式为y ＝－ 3 (x －2)2＋ 3(3)设平移后的抛物线的解析式为y ＝－ 3 (x －2)2＋k ，代入点D 的坐标(0， 3 )，得k ＝5 3 ，∴平移后的抛物线的解析式为y ＝－ 3 (x －2)2＋5 3 ，∴平移了5 3 － 3 ＝4 3 个单位长度21．(12分)(营口中考)某超市销售一款免洗洗手液，这款免洗洗手液的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本价)，若设这款免洗洗手液的销售单价为x(元)，每天的销售量为y(瓶).(1)求每天的销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，销售这款免洗洗手液每天的销售利润最大，最大利润为多少元？解：(1)由题意，得y ＝80＋20×20－x 0.5，∴y ＝－40x ＋880(x ＞16) (2)设每天的销售利润为w 元，则w ＝(－40x ＋880)(x －16)＝－40(x －19)2＋360，∵a ＝－40＜0，∴二次函数图象开口向下，∴当x ＝19时，w 有最大值，最大值为360元．答：当销售单价为19元时，销售这款免洗洗手液每天的销售利润最大，最大利润为360元22．(12分)(衢州中考)如图①是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB 与桥长CD 均为24 m ，在距离点D6 m 的E 处，测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5 m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系．(1)求桥拱顶部O 离水面的距离；(2)如图②，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m.①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式；②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．解：(1)根据题意可知点F的坐标为(6，－1.5)，可设拱桥侧面所在二次函数表达式为y1＝a1x2.将F(6，－1.5)代入y1＝a1x2有－1.5＝36a1，解得a1＝－124，∴y1＝－124x2，当x＝12时，y1＝－124×122＝－6，∴桥拱顶部O离水面高度为6 m(2)①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为(6，1)，可设其表达式为y2＝a2(x－6)2＋1，将H(0，4)代入其表达式有4＝a2(0－6)2＋1，解得a2＝112，∴右边钢缆所在抛物线表达式为y2＝112(x－6)2＋1，同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为y3＝112(x＋6)2＋1；②设彩带的长度为L m，则L＝y2－y1＝112(x－6)2＋1－(－124x2)＝18x2－x＋4＝18(x－4)2＋2，∴当x＝4时，L最小值＝2，答：彩带长度的最小值是2 m23．(15分)(眉山中考)如图①，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为(3，0)，点C坐标为(0，3).(1)求抛物线的解析式；(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；(3)如图②，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)y＝－x2＋2x＋3(2)∵点B(3，0)，点C(0，3)，∴直线BC解析式为y＝－x＋3，如图，过点P作PH⊥x 轴于点H，交BC于点G,设点P(m ，－m 2＋2m ＋3)，则点G(m ，－m ＋3)，∴PG ＝(－m 2＋2m ＋3)－(－m ＋3)＝－m 2＋3m ，∵S △PBC ＝12 ×OB ×PG ＝12 ×3×(－m 2＋3m)＝－32 (m －32 )2＋278.∵0<m<3，∴当m ＝32 时，S △PBC 有最大值，此时点P(32 ，154) (3)存在N 满足条件，理由如下：∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点，∴点A(－1，0).∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴顶点M 为(1，4).∵点M 为(1，4)，点C(0，3)，∴直线MC 的解析式为y ＝x ＋3.如图，设直线MC 与x 轴交于点E ，过点N 作NQ ⊥MC 于点Q, ∴点E(－3，0)，∴DE ＝4＝MD ，∴∠NMQ ＝45°.∵NQ ⊥MC ，∴∠NMQ ＝∠MNQ ＝45°，∴MQ ＝NQ ＝22MN.设点N(1，n)，∵点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离，∴NQ ＝AN ，∴NQ 2＝AN 2，∴(22 MN)2＝AN 2，∴(22|4－n|)2＝4＋n 2，∴n 2＋8n －8＝0，∴n ＝－4±2 6 ，∴存在点N 满足要求，点N 的坐标为(1，－4＋2 6 )或(1，－4－2 6 )。