2016届高三数学(理)33个黄金考点总动员 考点12 三角化简和求值解析版 Word版含解析
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2016届高三数学33个黄金考点总动员【考点剖析】1.最新考试说明:(1)结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数. (2)根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.2.命题方向预测:(1)考查具体函数的零点个数和零点的取值范围. (2)利用函数零点求解参数的取值范围. (3)考查函数零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化思想和数形结合思想.3.课本结论总结:(1)几个等价关系:方程f (x )=0有实数根⇔函数y =f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y =f (x )有零点. (2)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有0)()(<⋅b f a f ,那么,函数y =f (x )在区间(a ,b )内有零点,即存在c ∈(a ,b ),使得f (c )=0,这个c 也就是方程f (x )=0的根.(3)二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)的图象与零点的关系:(4)给定精确度ε,用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下: ①确定区间[a ,b ],验证f (a )·f (b )<0,给定精确度ε; ②求区间(a ,b )的中点c ;③计算f(c);(i)若f(c)=0,则c就是函数的零点;ii)若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));(iii)若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).④判断是否达到精确度ε.即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复②③④.4.名师二级结论:(1)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点分布情况(2)有关函数零点的重要结论:(1)若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数,则f (x )至多有一个零点. (2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值符号可能不变,也可能改变.(4)函数11110()n n nn f x a x a x a x a --=++++L 至多有n 个零点. 5.课本经典习题:(1) 新课标A 版必修一第88页,例1 求函数62ln )(-+=x x x f 的零点的个数。
专题11解三角形考纲解读明方向分析解读1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题,需要综合应用两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.会利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.2018年高考全景展示1.【2018年理数全国卷II 】在中,,,,则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析:先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解:因为所以,选A.点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.2.【2018年浙江卷】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sinB=___________,c=___________.【答案】3点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.3.【2018年全国卷Ⅲ理】的内角的对边分别为,,,若的面积为,则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:利用面积公式和余弦定理进行计算可得。
详解:由题可知,所以,由余弦定理,所以,,,故选C.点睛:本题主要考查解三角形,考查了三角形的面积公式和余弦定理。
4.【2018年江苏卷】在中,角所对的边分别为,,的平分线交于点D,且,则的最小值为________.【答案】9【解析】分析:先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解:由题意可知,,由角平分线性质和三角形面积公式得,化简得,因此当且仅当时取等号,则的最小值为.点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.5.【2018年理数天津卷】在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知.(I)求角B的大小;(II)设a=2,c=3,求b和的值.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ),.【解析】分析:(Ⅰ)由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得,则B=.(Ⅱ)在△ABC中,由余弦定理可得b=.结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解:(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理,可得,又由,得,即,可得.又因为,可得B=.点睛:在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题时,注意角的限制范围.6.【2018年理北京卷】在△ABC中,a=7,b=8,cos B= –.(Ⅰ)求∠A;(Ⅱ)求AC边上的高.【答案】(1)∠A=(2) AC边上的高为【解析】分析:(1)先根据平方关系求sinB,再根据正弦定理求sinA,即得∠A;(2)根据三角形面积公式两种表示形式列方程,再利用诱导公式以及两角和正弦公式求,解得AC边上的高.详解:解:(Ⅰ)在△ABC中,∵cos B=–,∴B∈(,π),∴sin B=.由正弦定理得=,∴sin A=.∵B∈(,π),∴A∈(0,),∴∠A=.(Ⅱ)在△ABC中,∵sin C=sin(A+B)=sin A cos B+sin B cos A==.如图所示,在△ABC中,∵sin C=,∴h==,∴AC边上的高为.点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.7.【2018年理新课标I卷】在平面四边形中,,,,.(1)求;(2)若,求.【答案】(1) .(2).【解析】分析:(1)根据正弦定理可以得到,根据题设条件,求得,结合角的范围,利用同角三角函数关系式,求得;(2)根据题设条件以及第一问的结论可以求得,之后在中,用余弦定理得到所满足的关系,从而求得结果.详解:(1)在中,由正弦定理得.由题设知,,所以.由题设知,,所以.(2)由题设及(1)知,.在中,由余弦定理得.所以.点睛:该题考查的是有关解三角形的问题,涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理,在解题的过程中,需要时刻关注题的条件,以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系,从而正确求得结果.2017年高考全景展示1.【2017山东,理9】在C ∆AB 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若C ∆AB 为锐角三角形,且满足()sin 12cos C 2sin cos C cos sin C B +=A +A ,则下列等式成立的是(A )2a b = (B )2b a = (C )2A =B (D )2B =A 【答案】A【解析】试题分析:sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=,选A. 【考点】1.三角函数的和差角公式2.正弦定理.【名师点睛】本题较为容易,关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ,B ,C 的式子,用正弦定理将角转化为边,得到2a b =.解答三角形中的问题时,三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件,不容忽视.2.【2017浙江,14】已知△ABC ,AB =AC =4,BC =2. 点D 为AB 延长线上一点,BD =2,连结CD ,则△BDC 的面积是______,cos ∠BDC =_______.【解析】试题分析:取BC 中点E ,DC 中点F ,由题意:,AE BC BF CD ⊥⊥,△ABE 中,1cos 4BE ABC AB ∠==,1cos ,sin 4DBC DBC ∴∠=-∠==,BC 1sin 2D S BD BC DBC ∴=⨯⨯⨯∠=△又21cos 12sin ,sin 4DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=,cos sin BDC DBF ∴∠=∠=综上可得,△BCD cos BDC ∠=. 【考点】解三角形【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路:(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可以利用正弦定理或余弦定理求解;(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,再逐步解其他三角形,有时需要设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要的解.3.【2017课标1,理17】△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin B sin C ;(2)若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长. 【解析】试题分析:(1)由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A=,再利用正弦定理将边化成角,从而得出sin sin B C 的值;(2)由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-,从而求出角A ,根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值,从而求出ABC △的周长为3试题解析:(1)由题设得21sin 23sin a ac B A =,即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.【考点】三角函数及其变换.【名师点睛】在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,当题设中给定三角形的面积,可以使用面积公式建立等式,再将所有边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角,再有另外一个条件,求面积或周长的值”,这类问题通法思路是:全部转化为角的关系,建立函数关系式,如sin()y A x b ωϕ=++,从而求出范围,或利用余弦定理以及基本不等式求范围;求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.4.【2017课标II ,理17】ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ,已知()2sin 8sin 2B AC +=, (1)求cos B ;(2)若6a c +=,ABC ∆的面积为2,求b 。
高中数学核心考点解读:解三角形专题知识汇总,高中生学习
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解三角形是历年高考题的常考考点之一,一般分值为5-12分,主要以解答题形式出现,也有以选择题、填空题的形式出现。
涉及到解三角形的选择和填空题一般都是考查三角形的角、边、面积的计算,以及与其他知识点如三角函数的性质综合考查。
从整体的难度分析,这一部分难度适中,需要我们注意的是正、余弦定理以及三角形的面积公式的应用。
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专题10 三角化简的技巧一.三角化简的技巧1.角的范围问题2. 角的一致性问题3. 三角化简形式、名称、角的一致原则4.角成倍角的余弦之积问题5.“1”的妙用6.辅助角的替换作用7. 角的范围对函数性质的影响8. 用已知角表示未知角问题二.三角化简方法总结:1.三角函数的求值主要有三种类型,即给角求值、给值求值、给值求角.2.三角函数式的证明应从消去等式两端的差异去思考,或“从左证到右”或“从右证到左”或“从两边到中间”去具体操作.(三)用已知角表示未知角例3.已知,,且,则()A.-2 B.2 C.D.【答案】A【分析】观察角之间的关系,拆角,,利用差角公式展开,可以求得.【解析】因为sin,,所以;又所以,,,故选A.【点睛】本题主要考查三角恒等变换,一般求解思路是先观察已知角和所求角的关系,再利用三角恒等变换公式求解.注意积累常见的拆角方法.练习1.已知在锐角△ABC中,角α+的终边过点P(sin B-cos A,cos B-sin A),且cos,则cos 2α的值为A. B.C. D.【答案】D【分析】在锐角三角形中分析可得sin B-cos A>0, cos B-sin A<0,得α+为第四象限角,由的展开即可得,利用余弦的二倍角公式即可得解.【点睛】给值求值问题一般是应用公式将所求“复角”展开,看需要求相关角的哪些三角函数值,然后根据角的范围求出相应角的三角函数值,代入展开式即可.练习2.若, , ,求=( )A. B. C. D.【答案】C【分析】由同角三角函数的基本关系可得和,进而由诱导公式和和差角的公式可得:,代值计算可得.【解析】,,,又,,,,,故选C.练习3.已知,,则( )A. 3236236636D.636【答案】A【解析】∵,∴,∴02πα-<<,∴6cos 3α=. ∴.选A.【防陷阱措施】用题目所给的已知角表示未知角能够简化解题步骤,节约解题时间练习4.设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,若,则sin α=( )A.343- B. 343+ C. 334+ D. 334- 【答案】D【解析】,所以,故选D 。
三角化简和求值【两年真题重温】【2011⋅新课标全国理】已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x =上,则cos2θ=( ).A .45-B .35-C .35D .45则23sin cos 212sin .55y r θθθ==∴=-=-故选B .【2010⋅新课标全国理】如图,质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P 0,),角速度为1,那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为【解析】通过分析可知当0t =时,点P 到x 轴距离d ,于是可以排除答案A,D ,再根据当4t π=时,可知点P 在x 轴上此时点P 到x 轴距离d 为0,排除答案B ,应选C. 命题意图:本题的求解可以利用排除法,根据某具体时刻点P 的位置到到x 轴距离来确定答案.本题也可以借助解析式2sin()4d t π=-来处理.【2010⋅新课标全国理】若4cos 5α=-,α是第三象限的角,则1tan21tan2αα+=-(A)12-(B) 12(C) 2 (D) -2【答案】A【解析】因4sin 5a =-,a 是第三象限的角,故3cos ,5a =-43sin()sin cos ()42255210a παα+=⨯+⨯=--⨯=- 【命题意图猜想】1.三角函数的化简、求值及最值问题,主要考查同角三角函数的基本关系式,三角函数的诱导公式,和、差、倍、半、和积互化公式在求三角函数值时的应用,考查利用三角公式进行恒等变形的技能,以及基本运算的能力,特别突出算理方法的考查.2.2011年的试题主要考查三角函数的概念、二倍角的余弦公式.2010年试题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力.通过这两年试题来看,二倍角公式是必考的内容,是一个核心.3.从近几年的高考试题来看,利用同角三角函数的关系改变三角函数的名称,利用诱导公式、和差角公式及二倍角公式改变角的恒等变换是高考的热点,常与三角函数式的求值、三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查,既有选择题、填空题,又有解答题,属中低档题.【最新考纲解读】1.任意角的概念、弧度制 (1)了解任意角的概念.(2)了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. 2.和与差的三角函数公式(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.(2)能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.(3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 3.简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).(3)主化锐:当已知角是90到360内的角时,可利用180,270,360ααα---的诱导公式把这个角的三角函数值化为0到90内的角.二. 两角和与差的三角函数公式1. 两角和与差的正弦公式:()sin αβ±=sin cos cos sin αβαβ±.变形式:()()sin sin αβαβ++-=2sin cos αβ()();sin sin αβαβ+--=2cos sin αβ;2.两角和与差的余弦公式:()cos αβ±=cos cos sin sin αβαβ变形式:()()cos cos αβαβ++-=2cos cos αβ;()()cos cos αβαβ+--=2sin sin αβ;3.两角和与差的正切公式:()tan αβ±=tan tan 1tan tan αβαβ±())2k k Z παβαβπ+≠+∈(、、.变形式:tan tan αβ±=()()tan 1tan tan αβαβ±. 注意:运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式,我们不仅要记住公式,更重要的是抓住公式的特征,如角的关系,次数关系,三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用,而且抓住了公式的结构特征,有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征,联想到相应的公式,从而找到解题的切入点.【方法技巧提炼】1. 正、余弦三兄妹“sin cos x x ±、sin cos x x ⋅”的应用sin cos x x ±与sin cos x x ⋅通过平方关系联系到一起,即2(sin cos )12sin cos x x x x ±=±,2(sin cos )1sin cos ,2x x x x +-=21(sin cos )sin cos .2x x x x --=因此在解题中若发现题设条件有三者之一,就可以利用上述关系求出或转化为另外两个.例1 已知关于x的方程221)0x x m -+=的两根为sin cos θθ、,其中(0,2)θπ∈. (1)求m 的值;(2)求sin cos 1cot 1tan θθθθ+--的值.解:(1)由根与系数的关系知,1sin cos 2sin cos 2m θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,又222sin cos (sin cos )2sin cos 1θθθθθθ+=+-=,知212m -=,求得2m =. (2)由2222sin cos sin cos sin cos sin cos 1cot 1tan sin cos cos sin sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ-+=+==+----- 故sin cos 1cot 1tan θθθθ+--的值为.222(12tan )5sec 5(1tan ),ααα+==+2tan 4tan 40αα∴-+=,解得tan 2.α=【点评】此法就是采用了把弦化成了切的形式,原因是化简的目标是得到tan α.注意为了把sec α转化,采用了平方技巧.解析二: 采用“切化弦”.要求tan α,即求sin cos αα. 2222cos 2sin sin (2sin )1sin cos 1αααααα⎧+=⎪⇒+=⎨+=⎪⎩25sin 40αα∴++=,解得sin α=cos α=则tan 2.α=【点评】此法巧妙利用已知的结论22sin cos 1αα+=,与已知组成方程组,从而解出sin α=此题解关于sin α的二次方程时,正好是一个完全平方式,显得就比较简单了.但是一般情况下,采用此法要得到两个解,需要根据题设条件舍掉一个.所以此法慎用.解析三:利用齐次方程.cos 2sin αα+=两边平方可得,22222222cos 4sin 4cos sin 5cos 4sin 4cos sin 5sin cos sin 4cos 4cos sin 0a a a a a a αααααααα++=∴++=+∴+-=()两边除以2cos α,可得2tan 4tan 40αα-+=,解得tan 2.α=tan ba θ=确定.在求最值、化简时起着重要作用,这里只要掌握辅助角θ为特殊角的情况即可. 如sin cos ),sin 2sin(),cos 2sin()436x x x x x x x x x πππ±=±±=±±=±等.例3若的值求,x x x x x tan 1cos 22sin ,471217534cos 2-+<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πππ.27sin 2sin 2cos22cos 1424425x x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-+-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦而 【考场经验分享】1.在利用三角函数定义时,点P 可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP |=r 一定是正值.2.同角三角函数关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系在求三角函数值时,进行开方时要根据角的象限或范围判断符号,正确取舍.3.使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号,特别是在具体题目中出现类似k π±α(k ∈Z)的形式时,需要对k 的取值进行分类讨论,从而确定三角函数值的正负. 4.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角为:对角的拆分要尽可能化为同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.5.本热点一般难度不大,属于得全分的题目,一般放在选择题的中间位置.但是因题目解法的灵活性造成在紧张的考试氛围里面,容易一时的思路堵塞,需冷静处理.如果一时想不到化简的方向,可暂且放一放,不要钻牛角尖,否则可能造成心理负担,情绪受到影响.因新课标高考对这个热点考查难度已经降低,同学们应有必胜的信心.【新题预测演练】1.【福州市2012届第一学期期末高三质检】“3cos 5α=”是 “7cos 225α=-”的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件2.【2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)】150sin =A .21B .-21C .23D .-23【答案】A【解析】1sin150=sin(18030)sin 30,2-==故答案为A. 3.【唐山市2011—2012学年度高三年级第一学期期末考试】2(sin 22.5cos 22.5)︒+︒的值为()A.12-B .12+C 1D .2【答案】 B【解析】22(sin 22.5cos 22.5)12sin 22.5cos 22.51sin 451.2+=+=+=+故答案为B.4.【山东省莱芜市2012届高三上学期期末检测】若31)tan(-=-απ,则αααα2cos cos sin 22cos +的值为( )A.38B.58C.158D.78-6.【唐山市2011—2012学年度高三年级第一学期期末考试】若2230,sin cos sin cos βααβαβ=+︒++=则 ( )A .14B .34 C .2cos β D .2sin α【答案】B【解析】将30a β=+代入22sin cos sin cos αβαβ++整理为:2222sin cos (30)sin cos(30)sin (cos cos30sin sin 30)sin (cos cos30sin sin 30)a a a a a a αααα++++=+-+-211sin (cos sin )(sin sin )2222a a a a αα=+--+22222222211sin (cos sin cos sin )22221sin )(sin )23133sin cos sin (sin cos ).4444a a a a a a a a a αααα=+-+=+-=+-=+=故答案为B.7. [2011浙江卷] 若02πα<<,02πβ-<<,1cos()43πα+=,cos()423πβ-=,则cos()2βα+=A.3B.3-C.9D.9-【解析】由3sin,(,0)52παα=-∈-得4cos5α=,所以555cos()cos cos sin sin444πππααα+=-=43)55+=.9.【河北省普通高中2012届高三教学质量检测试题】计算2tan()cos242cos()4πααπα+-的值为()A.—2 B.2 C.-1 D.111.【2011⋅江西卷】已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴,若()4,P y 是角θ中边上的一点,且sin 5θ=-,则y = . 【答案】8-【解析】先计算r ==,且sin 5θ=-,所以sin y r θ==,∴θ为第四象限角,则8y =-.12. 【北京顺义区2012届高三尖子生综合素质展示】已知角α的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点(P -.则 sin 2tan αα-= .【答案】【解析】因为角α终边经过点(P -,所以1sin 2α=,cos 2α=-,tan 3α=-,sin 2tan 2sin cos tan ααααα∴-=-==.13.【2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考】 已知21cos sin =-αα,且0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭,则cos 2sin 4πα⎛⎫α- ⎪⎝⎭的值为. 15.【2012年丰台区高三期末考试】已知函数2()2cos 2x f x x =.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若α为第二象限角,且1()33f πα-=,求cos 21cos 2sin 2ααα+-的值. 解:(Ⅰ)因为()1cos f x x x =+,12cos()3x π=++, 所以函数()f x 的周期为2π,值域为[1,3]-.(Ⅱ)因为 1()33f πα-=,所以 112cos =3α+,即1cos 3α=-. 因为222cos 2cos sin 1cos 2sin 22cos 2sin cos αααααααα-=+-- (cos sin )(cos sin )2cos (cos sin )ααααααα+-=-cos sin 2cos ααα+=, 又因为α为第二象限角, 所以sin 3α=.所以原式1cos sin 13322cos 23ααα-++-===-.。
考点12 三角化简和求值(理)【考点分类】热点一 利用两角和差的正弦、余弦、正切公式求值 1.【2014全国1高考理第8题】设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则( ) (A ) 32παβ-=(B )32παβ+=(C )22παβ-=(D )22παβ+=2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)理】 若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=,则sin()________x y +=. 【答案】23【解析】1cos()2x y -=,2sin 2sin 22sin()cos()3x y x y x y +=+-=,故2sin()3x y +=. 3.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学(理)卷】设θ为第二象限角,若tan(+)4πθ=12,则sin cos θθ+=_________.4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理】已知函数()212f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值; (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【方法规律】两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.(1)运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形,如tan α+tan β=tan(α+β)·(1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等. (2)应熟悉公式的逆用和变形应用,公式的正用是常见的,但逆用和变形应用则往往容易被忽视,公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力,只有熟悉了公式的逆用和变形应用后,才能真正掌握公式的应用.【解题技巧】在运用两角和与差的三角公式进行化简或求值时,要注意以下三个变换技巧: (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其方法通常是“配凑”,如:3)3(ππαα-+=,)()(2βαβαα-++=,)()(2βαβαβ--+=等例:【2014年广东省广州市普通高中毕业班综合测试一】设α为锐角,若3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则sin 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其方法通常为“化切为弦”等, 例:新课标A 版第146 页,第 A5(2) 题(例题)计算)310(tan 40sin 00-.【解析】)10cos 10cos 310sin (40sin )310cos 10sin (40sin )310(tan 40sin 000000-=-=- 110cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40cos 40sin 2000000-=-=-=-= 变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”(同上例中)10cos 2310sin 21(210cos 310sin 0000-=-)1030cos(2)10sin 30sin 10cos 30(cos 2)10cos 30cos 10sin 30(sin 20000000000+-=--=-=)【易错点睛】在化简与求值时,一定要注意“所求角”与“已知角”的内在联系,往往起到“事半功陪”的效果.例【2013届河北省重点中学联合考试】已知3sin 25α=(2)2παπ<<,1tan()2αβ-=,则tan()αβ+=( )A .-2B .-1C .211-D .211【答案】A【解析】可得4cos 25α=-,则3tan 24α=-, tan 2tan()tan()tan[2()] 2.1tan 2tan()ααβαβααβααβ--+=--==-+-热点二 利用倍角公式以及诱导公式求值1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan ( ) A.34 B. 43 C.43- D.34-2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科】设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是____________. 3【解析】∵sin 22sin cos sin αααα==-,∴1cos 2α=-,又(,)2παπ∈,∴23πα=,所以4tan 2tantan 333ππα===3.3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理】 已知函数2()sin()cos().()2sin 632xf x x xg x ππ=-+-=. (I )若α是第一象限角,且33()5f α=.求()g α的值; (II )求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.【方法规律】一、利用诱导公式化简求值时的原则1.“负化正”,运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数.2.“大化小”,利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数,利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数.3.“小化锐”,利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数.4.“锐求值”,得到0°到90°的三角函数后,若是特殊角直接求得,若是非特殊角可由计算器求得.二、利用倍角公式化简求值二倍角公式实际就是由两角和公式中令β=α所得.特别地,对于余弦:cos 2α=cos2α-sin2α= 2cos2α-1=1-2sin2α,这三个公式各有用处,同等重要,特别是逆用即为“降幂公式”,在考题中常有体现.【解题技巧】(1)拆角、拼角技巧:2α=(α+β)+(α-β);β=α+β2-α-β2;α-β2=)2()2(βαβα+-+.(2)化简技巧:切化弦、“1”的代换等【易错点睛】(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”. 【第二次大联考数学新课标全国卷】已知α是锐角,且1cos()63πα+=,则5sin(2)6πα+的值为____________.【答案】79-【解析】5sin(2)6πα+sin[2()]62ππα=++cos 2()6πα=+22cos ()16πα=+-79=-. (2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.【2014届高三原创预测卷数学试卷2(安徽版)】设1sin 44πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则sin 2θ=( )A .78 B .18 C .18- D .78-【答案】D . 【解析】由已知及倍角公式得217sin 2cos 212sin 12.24168ππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=--+=-+⨯=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.例新课标A 版第138 页,第 A19(3)题(例题)化简:x x x 2cos cos sin 【解析】x x x x x x x x x x x 4sin 4142cos 2sin 222cos 2sin 22cos cos sin 22cos cos sin ====【考点剖析】 1.最新考试说明:(1)利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考常考的点. (2)考查同角三角函数的基本关系式、考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用. (3)考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题. 2.命题方向预测:(1)考查利用三角函数的公式对三角函数式进行化简求值. (2)公式逆用、变形应用是高考热点. (3)题型以选择题、解答题为主. 3.课本结论总结:(1)同角三角函数的基本关系 ①平方关系:sin 2α+cos 2α=1; ②商数关系:sin αcos α=tan α.(2)诱导公式公式一:sin(α+2k π)=sin α,cos(α+2k π)=αcos ,其中k ∈Z . 公式二:sin(π+α)=αsin -,cos(π+α)=αcos -, tan(π+α)=tan α.公式三:sin(-α)=αsin -,cos(-α)=αcos . 公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=αcos -. 公式五:)2sin(απ-=αcos ,)2cos(απ-=sin α. 公式六:)2sin(απ+=αcos ,)2cos(απ+=αsin - 诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限 (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式①C (α-β):cos(α-β)=βαβαsin sin cos cos +; ②C (α+β):cos(α+β)=βαβαsin sin cos cos -; ③S (α+β):sin(α+β)=βαβαsin cos cos sin +; ④S (α-β):sin(α-β)=βαβαsin cos cos sin -; ⑤T (α+β):tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β;⑥T (α-β):tan(α-β)=tan α-tan β1+tan αtan β.(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①S 2α:sin 2α=ααcos sin 2;②C 2α:cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α; ③T 2α:tan 2α=2tan α1-tan 2α. 4.名师二级结论:(1)有关公式的逆用、变形等①tan α±tan β=)tan tan 1)(tan(βαβαμ+; ②cos 2α=1+cos 2α2,sin 2α=1-cos 2α2;③1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2,)4sin(2cos sin πααα+=+.(2)函数αααsin cos )(b a f +=(a ,b 为常数),可以化为f (α)=a 2+b 2sin(α+φ)或f (α)=a 2+b 2cos(α-φ),其中φ可由a ,b 的值唯一确定.(3)三种方法在求值与化简时,常用方法有:①弦切互化法:主要利用公式tan α=sin αcos α化成正、余弦.②和积转换法:利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化. ③巧用“1”的变换:1=sin 2θ+cos 2θ=cos 2θ(1+tan 2θ)=tan π4=….(4)三个防范①利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负-脱周-化锐.特别注意函数名称和符号的确定.②在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. ③注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. 5.课本经典习题:(1)新课标A 版第64 页,第 A8 题(例题)已知3tan =α,计算: (1)ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-;(2)ααcos sin ;(3)2)cos (sin αα+(2)新课标A 版第 130 页,第 例4(3)题(例题)求值:015tan 115tan 1-+ 【解析】360tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1000000000==+=-+=-+【经典理由】”1“的巧用与”变式“的有机结合.(3)新课标A 版第 137页,第A5题(例题)已知53)30sin(0=+α,0015060<<α,求αcos 的值.6.考点交汇展示:(1)与三角函数的图像与性质的交汇【北京市丰台区2014届高三一模】(本题共13分)已知函数2()2cos sin(2)1f x x x π=-+-. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ)求函数()f x 在区间[0,]2π上的最小值和最大值.(2)与函数的奇偶性、单调性的交汇【2014年上海市高三年级十三校第二次联考数学试卷】若,,22ππαβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,且sin sin 0ααββ->.则下列结论正确的是( )(A )αβ> (B )0αβ+> (C )αβ< (D )22αβ>(3)与一元二次方程的交汇【福建省福州一中2014届高三上学期期末考试】 已知锐角,A B 满足)tan(tan 2B A A +=,则B tan 的最大值为( )A. 22B. 2C.22D.42 【答案】D 【解析】试题分析:由)tan(tan 2B A A +=可得2tan tan 2tan ,2tan tan tan tan 01tan tan A BA AB A B a B+=∴-+=-(*).【考点特训】 1.【河南省安阳一中2015届高三第一次月考6】函数xxx y cos cos 3cos -=的值域是 ( )A .[-4,0]B .)4,4[-C .)0,4[-D .]0,4(-- 11 -2.【河北省唐山市2014-2015学年度高三年级摸底考试5】已知1sin()44x π-=,则sin 2x 的值为A .78B .916C .1516D .1516±。
高考数学三角函数考点解析命题题型最全汇总,超详细!(附习题及公式汇总)三角函数专题的内容主要包括三角函数的图象与性质、平面向量、简单的三角恒等变换、解三角形。
高考在该部分一般有两个试题。
一个试题是,如果在解答题部分没有涉及到正、余弦定理的考查,会有一个与正余弦定理有关的题目,如果在解答题中涉及到了正、余弦定理,可能是一个和解答题相互补充的三角函数图象、性质、恒等变换的题目;一个试题是以考查平面向量为主的试题。
命题方式—平面向量主要命题方向有两个:(1)以平面向量基本定理、共线向量定理为主(2)以数量积的运算为主;三角函数解答题的主要命题方向有三个:(1)以三角函数的图象和性质为主体的解答题,往往和平面向量相结合;(2)以三角形中的三角恒等变换为主题,综合考查三角函数的性质等;(3)以实际应用题的形式考查正余弦定理、三角函数知识的实际应用.考点解析—该专题的主要考点是:三角函数的概念和性质(单调性,周期性,奇偶性,最值),三角函数的图象,三角恒等变换(主要是求值),三角函数模型的应用,正余弦定理及其应用,平面向量的基本问题及其应用。
图像经典1.正弦函数图像(几何法)2.正切函数图像3.三角函数的图像与性质4.主要研究方法5.三角函数解题技巧三角函数是高考数学核心考点之一。
它侧重于考查学生的观察能力、思维能力和综合分析能力,在高考试题中始终保持'一大一小'甚至是'一大两小'的模式。
一、见“给角求值”问题,运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间(-90o,90o)的公式.1、sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z);2、cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z);3、tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z);4、cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).二、见“sinα±cosα”问题,运用三角“八卦图”1、sinα+cosα>0(或<>2、sinα-cosα>0(或<>3、|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;4、|sinα|<>三、见“知1求5”问题,造Rt△,用勾股定理,熟记常用勾股数(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),仍然注意“符号看象限”。
【考点剖析】1.命题方向预测:(1)利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点.(2)常与三角恒等变换相结合,综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.2.课本结论总结:(1)正弦定理:asin A =bsin B=csin C(2)余弦定理:a2=b2+c2-2bc cos A,b2=a2+c2-2ac cos B,c2=a2+b2-2ab cos C.余弦定理可以变形为:cos A=b2+c2-a22bc,cos B=a2+c2-b22ac,cos C=a2+b2-c22ab.(3)S△ABC=12ab sin C=12bc sin A=12ac sin B(4)已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知a,b,A,则(5)常见题型:在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:(1)已知两角及任一边,求其它边或角;(2)已知两边及一边的对角,求其它边或角.情况(2)中结果可能有一解、两解、无解,应注意区分.余弦定理可解决两类问题:(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角;(2)已知三边,求各角.3.名师二级结论:(1)在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC中,A>B a>b sin A>sin B.(2)正弦定理的变形:asin A =bsin B=csin C=2R,其中R是三角形外接圆的半径.①a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;②a=2R sin_A,b=2R sin_B,c=2R sin_C;③sin A=a2R ,sin B=b2R,sin C=c2R等形式,以解决不同的三角形问题.(4)三角形的面积公式:S△ABC=12ab sin C=12bc sin A=12ac sin B=abc4R=12(a+b+c)·r(R是三角形外接圆半径,r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R,r.(5)解三角形的常用途径:①化边为角;②化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.4.考点交汇展示:【2018届海南省琼海市高考模拟】设函数f(x)=2cos2x−cos(2x−π3).(Ⅰ) 求f(x)的最大值,并写出使f(x)取最大值时x的集合;(Ⅱ) 已知ΔABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.若f(π−A)=32,b+c=2,求a的最小值.【答案】(1)2,{x|x=kπ−π6,k∈Z}(2)1 【解析】⇔⇔(2)由题意,f(π−A)=32,即cos (2π−2A +π3)=12 化简可得cos (2A −π3)=12 ∵A ∈(0,π),∴2A −π3∈(−π3,5π3)只有2A −π3=π3,A =π3在ΔABC 中,由余弦定理可得:a 2=b 2+c 2−2bc cos π3=(b +c )2−3bc ∵b +c =2,可知bc ≤(b+c 2)2=1,即a 2≥1∴当b =c =1时,a 取得最小值为1【2017浙江,14】已知向量a ,b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________,最大值是_______.【答案】4,【解析】【上海市2018年5月高考模练习(一)】钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土,如图:点A .B 、C 分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿,点C 在点A 的北偏东47∘方向,点B 在点C 的南偏西36∘方向,点B 在点A 的南偏东79∘方向,且A 、B 两点的距离约为3海里. (1)求A 、C 两点间的距离;(精确到0.01)(2)某一时刻,我国一渔船在A点处因故障抛锚发出求教信号.一艘R国舰艇正从点C正东10海里的点P处以18海里/小时的速度接近渔船,其航线为P→C→A (直线行进),而我东海某渔政船正位于点A南偏西60∘方向20海里的点Q处,收到信号后赶往救助,其航线为先向正北航行8海里至点M处,再折向点A直线航行,航速为22海里/小时.渔政船能否先于R国舰艇赶到进行救助?说明理由.【答案】(1)14.25(2)渔政船能先于R国舰艇赶到进行救助.【解析】【2018年江苏卷】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为________.【答案】9【解析】由题意可知,S△ABC=S△ABD+S△BCD,由角平分线性质和三角形面积公式得12acsin120°=1 2a×1×sin60°+12c×1×sin60°,化简得ac=a+c,1a+1c=1,因此4a+c=(4a+c)(1a +1c)=5+ca+4ac≥5+2√ca⋅4ac=9,当且仅当c=2a=3时取等号,则4a+c的最小值为9.【考点分类】考向一利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长1.【2018年理数全国卷II】在△ABC中,cos C2=√55,BC=1,AC=5,则AB=A. 4√2B. √30C. √29D. 2√5【答案】A2.【2018年浙江卷】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sin B=___________,c=___________.【答案】√21733.【2018年理新课标I卷】在平面四边形ABCD中,∠ADC=90∘,∠A=45∘,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB;(2)若DC=2√2,求BC.【答案】 (1) √235.(2)BC=5.【解析】(1)在△ABD 中,由正弦定理得BDsin∠A =ABsin∠ADB .由题设知,5sin45°=2sin∠ADB ,所以sin∠ADB =√25. 由题设知,∠ADB <90°,所以cos∠ADB =√1−225=√235.(2)由题设及(1)知,cos∠BDC =sin∠ADB =√25.在△BCD 中, 由余弦定理得BC 2=BD 2+DC 2−2⋅BD ⋅DC ⋅cos∠BDC =25+8−2×5×2√2×√25=25.所以BC =5. 【方法规律】(1)已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可. (2)已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角,这是解题的难点,应引起注意.(3)已知三边,解三角形,利用余弦定理; (4)已知两边与夹角解三角形,利用余弦定理; 【解题技巧】在处理解三角形过程中,要注意“整体思想”的运用,可起到事半功倍的效果.如:在△ABC 中,BC =a ,AC =b ,a ,b 是方程的两个根,且。
三角恒等变换与求值考纲解读明方向分析解读:1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题. 分析解读1.了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化.2.会判断三角函数值的符号;理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,会用三角函数线解决相关问题.4.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x,全面系统地掌握知识的来龙去脉,熟悉各知识点之间的联系.5.本节内容在高考中一般融入三角函数求值、化简中,不能单独考查.2018年高考全景展示1.【2018年理数全国卷II】已知,,则__________.【答案】点睛:三角函数求值的三种类型(1)给角求值:关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值:关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用;②变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.(3)给值求角:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角. 2.【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P().(Ⅰ)求sin(α+π)的值;(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.【答案】(Ⅰ), (Ⅱ)或【解析】分析:(Ⅰ)先根据三角函数定义得,再根据诱导公式得结果,(Ⅱ)先根据三角函数定义得,再根据同角三角函数关系得,最后根据,利用两角差的余弦公式求结果.详解:(Ⅰ)由角的终边过点得,所以.(Ⅱ)由角的终边过点得,由得.由得,所以或.点睛:三角函数求值的两种类型:(1)给角求值:关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值:关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用;②变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.3.【2018年江苏卷】已知为锐角,,.(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1)(2)(2)因为为锐角,所以.又因为,所以,因此.因为,所以,因此,.点睛:应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.2017年高考全景展示1.【2017课标II,理14】函数()的最大值是。
1.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=,则sin 2α=( ) (A )725 (B )15 (C )15- (D )725-【答案】D 【解析】试题分析:2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦,故选D.考点:三角恒等变换.2.【2015高考新课标1,理2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )(A )3B 3(C )12-(D )12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=12,故选D. 【考点定位】三角函数求值.【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系,会用诱导公式将不同角化为同角,再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数,利用特殊角的三角函数值即可求出值,注意要准确记忆公式和灵活运用公式.3.【2015高考重庆,理9】若tan 2tan 5πα=,则3cos()10sin()5παπα-=-( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】C 【解析】 由已知,3cos()10sin()5παπα-=-33cos cossin sin 1010sin coscos sin55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cossin55ππαππα+=-33cos2tan sin 105102tan cos sin555ππππππ+=- 33cos cos2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+==155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos 103cos10ππ==,选C .【考点定位】两角和与差的正弦(余弦)公式,同角间的三角函数关系,三角函数的恒等变换.4.【2015陕西理6】“sin cos αα=”是“cos 20α=”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为22cos 2cos sin 0ααα=-=,所以sin cos αα=或sin cos αα=-,因为“sin cos αα=”⇒“cos 20α=”,但“sin cos αα=”⇐/“cos 20α=”,所以“sin cos αα=”是“cos 20α=”的充分不必要条件,故选A .【考点定位】1、二倍角的余弦公式;2、充分条件与必要条件.【名师点晴】本题主要考查的是二倍角的余弦公式和充分条件与必要条件,属于容易题.解题时一定要注意p q ⇒时,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件,否则很容易出现错误.充分、必要条件的判断即判断命题的真假,在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化. 5.【2017课标II ,理14】函数()23sin 34f x x x =+-(0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的最大值是。
2016届高三数学33个黄金考点总动员【考点剖析】1.最新考试说明:(1)利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考常考的点. (2)考查同角三角函数的基本关系式、考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用. (3)考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题.2.命题方向预测:(1)考查利用三角函数的公式对三角函数式进行化简求值. (2)公式逆用、变形应用是高考热点. (3)题型以选择题、解答题为主.3.课本结论总结:(1)同角三角函数的基本关系 ①平方关系:sin 2α+cos 2α=1; ②商数关系:sin αcos α=tan α.(2)诱导公式公式一:sin(α+2k π)=sin α,cos(α+2k π)=αcos ,其中k ∈Z . 公式二:sin(π+α)=αsin -,cos(π+α)=αcos -, tan(π+α)=tan α.公式三:sin(-α)=αsin -,cos(-α)=αcos . 公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=αcos -. 公式五:)2sin(απ-=αcos ,)2cos(απ-=sin α. 公式六:)2sin(απ+=αcos ,)2cos(απ+=αsin - 诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限 (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①C (α-β):cos(α-β)=βαβαsin sin cos cos +; ②C (α+β):cos(α+β)=βαβαsin sin cos cos -; ③S (α+β):sin(α+β)=βαβαsin cos cos sin +;④S (α-β):sin(α-β)=βαβαsin cos cos sin -; ⑤T (α+β):tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β;⑥T (α-β):tan(α-β)=tan α-tan β1+tan αtan β.(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①S 2α:sin 2α=ααcos sin 2;②C 2α:cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α; ③T 2α:tan 2α=2tan α1-tan 2α.4.名师二级结论:(1)有关公式的逆用、变形等①t an α±tan β=)tan tan 1)(tan(βαβα +; ②c os 2α=1+cos 2α2,sin 2α=1-cos 2α2; ③1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2,)4sin(2cos sin πααα+=+.(2)函数αααsin cos )(b a f +=(a ,b 为常数),可以化为f (α)=a 2+b 2sin(α+φ)或f (α)=a 2+b 2cos(α-φ),其中φ可由a ,b 的值唯一确定.(3)三种方法在求值与化简时,常用方法有:①弦切互化法:主要利用公式tan α=sin αcos α化成正、余弦.②和积转换法:利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化. ③巧用“1”的变换:1=sin 2θ+cos 2θ=cos 2θ(1+tan 2θ)=tan π4=….(4)三个防范①利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负-脱周-化锐.特别注意函数名称和符号的确定.②在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. ③注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.5.课本经典习题:(1)新课标A 版第64 页,第 A8 题(例题)已知3tan =α,计算:(1)ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-;(2)ααcos sin ;(3)2)cos (sin αα+【解析】3tan =α ,)1(∴75335234tan 352tan 4sin 3cos 5cos 2sin 4=⨯+-⨯=+-=+-αααααα;(2)1031tan tan cos sin cos sin cos sin 222=+=+=αααααααα; (3)αααααααααααα2222222cos sin cos sin 2cos sin cos sin 2cos sin )cos (sin +++=++=+5810161tan 1tan 2tan 22==+++=ααα 【经典理由】弦化切的典型例题.(2)新课标A 版第 130 页,第 例4(3)题(例题)求值:015tan 115tan 1-+ 【解析】360tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1000000000==+=-+=-+ 【经典理由】”1“的巧用与”变式“的有机结合.(3)新课标A 版第 137页,第A5题(例题)已知53)30sin(0=+α,0015060<<α,求αcos 的值.【经典理由】1.求三角函数值时,要注意角的范围;2.注意用已知角表示所求角.6.考点交汇展示:(1)与三角函数的图像与性质的交汇【2015高考天津,理15】(本小题满分13分)已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭,R x ∈ (I)求()f x 最小正周期; (II)求()f x 在区间[,]34p p-上的最大值和最小值.【答案】(I)π; (II) max ()f x =,min 1()2f x =-.【考点定位】三角恒等变形、三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式、二倍角的正余弦公式、三角函数的图象与性质.综合运用三角知识,从正确求函数解析式出发,考查最小正周期的求法与函数单调性的应用,从而求出函数的最大值与最小值,体现数学思想与方法的应用.(2)与函数的奇偶性、单调性的交汇若,,22ππαβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,且sin sin 0ααββ->.则下列结论正确的是( ) (A )αβ> (B )0αβ+> (C )αβ< (D )22αβ> 【答案】D 【解析】试题分析:考察函数sin y x x =,首先它是偶函数,其次在[0,]2x π∈时,1y x =与2sin y x =都是增函数,且均不小于0,因此可证sin y x x =在[0,]2π上也是增函数.由sin sin 0ααββ->得sin ααsin ββ>,即sin sin ααββ>,∴22αβαβ>⇒>,选D.考点:函数的单调性与奇偶性.(3)与一元二次方程的交汇已知锐角,A B 满足)tan(tan 2B A A +=,则B tan 的最大值为( ) A. 22 B. 2 C.22 D.42 【答案】D考点:1.三角函数的恒等变换.2.二次函数的根的分布.3.构造二次函数模型解决最值问题.(4)与平面向量的交汇【2015高考广东,理16】在平面直角坐标系xoy 中,已知向量2m ⎛=⎝⎭,()sin ,cos n x x =,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(1)若m n ⊥,求tan x 的值; (2)若m 与n 的夹角为3π,求x 的值. 【答案】(1)1;(2)512x π=.【解析】(1)∵ 2m ⎛= ⎝⎭,()sin ,cos n x x =且m n ⊥,∴ ()2sin ,cos sin 022224m n x x x x x π⎛⎛⎫⋅=-⋅=-=-=⎪ ⎝⎭⎝⎭,又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, ∴ ,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,∴ 04x π-=即4x π=,∴ tan tan 14x π==;【考点定位】向量数量积的坐标运算,两角和差公式的逆用,知角求值,知值求角.【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算,两角和差公式的逆用,知角求值和知值求角等问题以及运算求解能力,属于中档题,解答本题关键在于由向量的垂直及其坐标运算得到22x x -运用两角和差公式的逆用合并为sin 4x π⎛⎫-⎪⎝⎭. 【考点分类】热点一 利用两角和差的正弦、余弦、正切公式求值1. 【2015高考新课标1,理2】oooosin 20cos10cos160sin10- =( )(A)2- (B)2 (C )12- (D )12【答案】D【解析】原式=oooosin 20cos10cos 20sin10+ =osin30=12,故选D. 【考点定位】三角函数求值.【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系,会用诱导公式将不同角化为同角,再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数,利用特殊角的三角函数值即可求出值,注意要准确记忆公式和灵活运用公式.2. 【2015高考重庆,理9】若tan 2tan 5πα=,则3cos()10sin()5παπα-=-( )A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C【解析】由已知,3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin 555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+==155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos103cos 10ππ==,选C . 【考点定位】两角和与差的正弦(余弦)公式,同角间的三角函数关系,三角函数的恒等变换.【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值,在求值时只要根据求解目标的需要,结合已知条件选用合适的公式计算即可.本例应用两角和与差的正弦(余弦)公式化解所求式子,利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简,求解过程中注意公式的顺用和逆用. 3. 【2015江苏高考,8】已知tan 2α=-,()1tan 7αβ+=,则tan β的值为_______. 【答案】3【解析】12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++-【考点定位】两角差正切公式【名师点晴】善于发现角之间的差别与联系,合理对角拆分,完成统一角和角与角转换的目的是三角函数式的求值的常用方法. 三角函数求值有三类(1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.(3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角. 4.【2014全国1高考理第8题】设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则( ) (A ) 32παβ-= (B )32παβ+=(C )22παβ-=(D )22παβ+=【答案】C又因为220,22παππβαπ<-<<-<-,απβα-=-∴2,即22πβα=-.【方法规律】两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.(1)运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形,如tan α+tan β=tan(α+β)·(1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.(2)应熟悉公式的逆用和变形应用,公式的正用是常见的,但逆用和变形应用则往往容易被忽视,公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力,只有熟悉了公式的逆用和变形应用后,才能真正掌握公式的应用.【解题技巧】在运用两角和与差的三角公式进行化简或求值时,要注意以下三个变换技巧: (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其方法通常是“配凑”,如:3)3(ππαα-+=,)()(2βαβαα-++=,)()(2βαβαβ--+=等例:设α为锐角,若3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则sin 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ .【答案】10.(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其方法通常为“化切为弦”等,例:新课标A 版第146 页,第 A5(2) 题(例题)计算)310(tan 40sin 00-.【解析】)10cos 10cos 310sin (40sin )310cos 10sin (40sin )310(tan 40sin 000000-=-=-110cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40cos 40sin 20000000-=-=-=-=变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”(同上例中)10cos 2310sin 21(210cos 310sin 00-=- )1030cos(2)10sin 30sin 10cos 30(cos 2)10cos 30cos 10sin 30(sin 20000000000+-=--=-=)【易错点睛】在化简与求值时,一定要注意“所求角”与“已知角”的内在联系,往往起到“事半功陪”的效果. 例已知3sin 25α=(2)2παπ<<,1tan()2αβ-=,则tan()αβ+=( ) A .-2 B .-1 C .211- D .211【答案】A【解析】可得4cos 25α=-,则3tan 24α=-, tan 2tan()tan()tan[2()] 2.1tan 2tan()ααβαβααβααβ--+=--==-+-热点二 利用倍角公式以及诱导公式求值1.已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan ( ) A.34 B. 43 C.43- D.34- 【答案】C12()32333tan 2tan 21419419αα⨯-⨯==-==---或,所以选C. 2.设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是____________.【解析】∵s i n 22s i nc o s s i αααα==-,∴1c o s2α=-,又(,)2παπ∈,∴23πα=,所以4t a n 2t a n t a 333ππα===. 3.已知函数2()sin()cos().()2sin 632xf x x xg x ππ=-+-=. (I )若α是第一象限角,且()5f α=.求()g α的值; (II )求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.【方法规律】一、利用诱导公式化简求值时的原则1.“负化正”,运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数.2.“大化小”,利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数,利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数.3.“小化锐”,利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数.4.“锐求值”,得到0°到90°的三角函数后,若是特殊角直接求得,若是非特殊角可由计算器求得. 二、利用倍角公式化简求值二倍角公式实际就是由两角和公式中令β=α所得.特别地,对于余弦:cos 2α=cos2α-sin2α= 2cos2α-1=1-2sin2α,这三个公式各有用处,同等重要,特别是逆用即为“降幂公式”,在考题中常有体现.【解题技巧】(1)拆角、拼角技巧:2α=(α+β)+(α-β);β=α+β2-α-β2;α-β2=)2()2(βαβα+-+.(2)化简技巧:切化弦、“1”的代换等【易错点睛】(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”. 【第二次大联考数学新课标全国卷】已知α是锐角,且1cos()63πα+=,则5sin(2)6πα+的值为____________.【答案】79- 【解析】5sin(2)6πα+sin[2()]62ππα=++cos 2()6πα=+22cos ()16πα=+-79=-.(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. 【2014届高三原创预测卷数学试卷2(安徽版)】设1sin 44πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则sin 2θ=( ) A .78 B .18 C .18-D .78-【答案】D .【解析】由已知及倍角公式得217sin 2cos 212sin 12.24168ππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=--+=-+⨯=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 例新课标A 版第138 页,第 A19(3)题(例题)化简:x x x 2cos cos sin 【解析】x x x x x x x x x x x 4sin 4142cos 2sin 222cos 2sin 22cos cos sin 22cos cos sin ====【热点预测】 1.【河南省安阳一中2015届高三第一次月考6】函数xxx y cos cos 3cos -=的值域是 ( )A .[-4,0]B .)4,4[-C .)0,4[-D .]0,4(-【答案】D考点:三角函数的值域.2.【河北省唐山市2014-2015学年度高三年级摸底考试5】已知1sin()44x π-=,则sin 2x 的值为A .78B .916C .1516D .1516±【答案】A【解析】试题分析:2217sin 2cos(2)12sin ()12()2448x x x ππ=-=--=-⨯=.选A 【考点】三角函数恒等变换,二倍角公式3.已知1sin 23α=,则2cos ()4πα-=( ) A .13 B .13- C .23D .23-【答案】C 【解析】试题分析:22sin 1222cos 14cos 2απαπα+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-322311=+=,故选C. 考点:1.二倍角的余弦公式;2.诱导公式.4.已知1sin 23α=,则2cos ()4πα-=( ) A .13 B .13- C .23D .23-【答案】C 【解析】试题分析:22sin 1222cos 14cos 2απαπα+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-322311=+=,故选C. 考点:1.二倍角的余弦公式;2.诱导公式. 5.若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且3cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则sin 2α的值为( ) A.118 B.118- C.1718 D.1718- 【答案】D考点:1.两角差的正弦;2.二倍角;3.同角三角函数的基本关系 6. 已知α为钝角,sin (4π+α)=34,则sin (4π-α)= . 【答案】47- 【解析】试题分析:有题意可得cos (4π+α)=±4,由因为α为钝角,所以cos (4π+α)=47-,所以sin (4π-α)=cos[2π-(4π-α)]=cos (4π+α)=47-.考点:1.诱导公式;2.同角三角函数的基本关系式.7.已知1sin cos 5αα-=- ,则 sin 2________α=.【答案】2425. 【解析】试题分析:对式子1sin cos 5αα-=-两边平方得,221sin 2sin cos cos 25αααα-+=124sin 212525α⇒=-=. 考点:同角三角函数的基本关系(平方关系),二倍角的正弦公式.8.已知A 是角α终边上一点,且A 点的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭,则212sin cos cos ααα+= .【答案】2533考点:三角函数的定义与求三角函数值. 9.若sin 2cos 2sin 2x y x y -=+=,则sin()x y -=_________.【答案】14-. 【解析】试题分析:将两式平方相加得:114(sin cos cos sin )46sin()4x y x y x y --+=⇒-=-. 10.已知2tan()5a b +=,1tan 3b =,则)4tan(π+a 的值为 . 【答案】98【解析】试题分析:因为171315213152tan )tan(1tan )tan()tan(tan =⋅+-=++-+=-+=bb a b b a b b a a ,所以8917111711tan 1tan 1)4tan(=-+=-+=+a a a π. 考点:两角和与差正切11.【湖北省武汉市2015届高三9月调研测试18】(本小题满分12分) 已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-.(1)若sin α=,且2παπ<<,求()f α的值;(2)当()f x 取得最小值时,求自变量x 的集合. 【答案】(1)1()10f α=-;(2)3{|,}8x x k k Z ππ=-∈.试题解析:(1)∵sin α=,且2παπ<<,………………2分∴cos 5α===-,………………4分∴111()cos (sin cos )2210f αααα=+-=-=-;………………6分 (2)2111cos 21()sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=+-=+- …………………7分11sin 2cos 2)224x x x π=+=+,…………………8分∴当2242x k πππ+=-,k Z ∈,即38x k ππ=-,k Z ∈时,()f x 取得最小值,…………………10分 此时自变量x 的集合为3{|,}8x x k k Z ππ=-∈. ………………………………12分 考点:1.三角恒等变形;2.三角函数的性质.12.【江苏省苏州市2015届高三9月调研测试15】如图,在平面直角坐标系xOy 中,点,,A B C 均在单位圆上,已知点A 在第一象限的横坐标是3,5点B 在第二象限,点()1,0.C (1)设,COA θ∠=求sin 2θ的值; (2)若AOB ∆为正三角形,求点B 的坐标【答案】()24125()2B ⎝⎭(2)因为点B 在单位圆上,,3COB πθ∠=+根据三角函数定义有11cos()cos sin()sin 3232x r y r ππθθθθθθ=+===+=+=因此点B 的坐标为34.1010⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭考点:三角函数定义,二倍角公式13.(本小题满分14分)已知,αβ均为锐角,且3sin 5α=,1tan()3αβ-=-. (1)求sin()αβ-的值; (2)求cos β的值.【答案】(1)sin()αβ-=.(2.【考点定位】此题考查的是三角函数的化简和运算,正确的角的变换是解本题的关键和基础,也是三角变换中的技巧所在.14.如图,在直角坐标系xOy 中,角α的顶点是原点,始边与x 轴正半轴重合,终边交单位圆于点A ,且,)62ππ∈(α.将角α的终边按逆时针方向旋转3π,交单位圆于点B .记),(),,(2211y x B y x A .(Ⅰ)若311=x ,求2x ; (Ⅱ)分别过,A B 作x 轴的垂线,垂足依次为,C D .记△AOC 的面积为1S ,△BOD 的面积为2S .若122S S =,求角α的值.【答案】(Ⅰ)211cos()cos sin 3226x π-=+==αα-α.(Ⅱ)4π=α.。