人教版九年级上册数学专题训练《三角形的内切圆》

专题训练（三）——三角形的内切圆知识点1 三角形内切圆的概念及性质1．如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（）A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点2．下列说法错误的是（）A．三角形的内心到三边的距离相等B．一个三角形一定有唯一一个内切圆C．一个圆一定有唯一一个外切三角形D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆3．[教材例题变式]如图所示，在△ABC中，∠A＝66°，点I是内心，则∠BIC 的度数为（）A．114°B．122°C．123°D．132°4．[教材习题24.5第2题变式]如图，在△ABC中，内切圆I与边BC，CA，AB 分别相切于点D，E，F，若∠A＝70°，则∠EDF＝__________°．5．[2018·湖州]如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD．若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是__________．6．△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，则△ABC的面积为__________．知识点2 作三角形的内切圆7．为美化校园，学校准备在如图所示的三角形空地上修建一个面积最大的圆形花坛，请在图中画出这个圆形花坛（保留作图痕迹，不要求写作法）．练习8．如图所示，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则（）A．EF＞AE+BF B．EF＜AE+BF C．EF＝AE+BF D．EF≤AE+BF9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，如图，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”（）A．3步B．5步C．6步D．8步10．如图，△ABC是一张三角形纸片，⊙O是它的内切圆，D，E是⊙O的两个切点，已知AD＝6 cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN的周长是（）A．9 cm B．12 cm C．15 cm D．18 cm11．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为（）A ．∠AIB ＝∠AOB B ．∠AIB ≠∠AOBC ．121802AIB AOB ∠-∠=°D ．121802AOB AIB ∠-∠=°12．如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 切斜边AB 于点D ，切BC 于点E ，BO 的延长线交AC 于点M ．求证：BO ·BC ＝BD ·BM ．13．[教材习题24.5第5题变式]如图，E 为△ABC 内一点，AE 的延长线交△ABC 的外接圆⊙O 于点D ，且DB ＝DC ＝DE ．求证：E 为△ABC 的内心．14．数学活动：求重叠部分的面积（1）问题情境：如图①，将顶角为120°的等腰三角形纸片（纸片足够大）的顶点P 与等边三角形ABC 的内心O 重合，已知OA ＝2，则图中重叠部分△PAB 的面积是__________．（2）探究：在（1）的条件下，将纸片绕点P 旋转至如图②所示的位置，纸片两边分别与AC ，AB 交于点E ，F ，则图②中重叠部分的面积与图①中重叠部分的面积是否相等？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由．15．已知△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，AC 分别相切于点D ，E ，F ，若EF DE ，如图①．（1）判断△ABC 的形状，并证明你的结论；（2）设AE 与DF 相交于点M ，如图②，AF ＝2FC ＝4，求AM 的长．1、最困难的事就是认识自己。

九年级数学：切线长定理及三角形的内切圆导学与练习知|识|目|标1．经历折叠纸片的操作过程，归纳得出切线长定理并掌握切线长定理．2．经历教材中“试一试”的实践操作，理解三角形的内切圆及相关知识．目标一能探索并掌握切线长定理例1 教材补充例题如图27－2－12，已知⊙O的切线PA，PB，A，B为切点，把⊙O沿着直线OP对折，你能发现什么？请证明你所发现的结论．结论：PA＝________，∠OPA＝________.图27－2－12证明：如图27－2－13，连结OA，OB.∵PA，PB与⊙O相切，A，B是切点，∴OA⊥________，OB⊥________，即∠OAP＝________＝90°.∵__________________________，∴Rt△AOP≌Rt△BOP(H.L.)，∴PA＝________，∠OPA＝________．图27－2－13试用文字语言叙述你所发现的结论．例2 高频考题如图27－2－14，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，∠OAB＝30°.(1)求∠APB的度数；(2)当OA＝3时，求AP的长．图27－2－14【归纳总结】切线长定理中的基本图形：如图27－2－15，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，此图形中含有：图27－2－15(1)两个等腰三角形 (△PAB，△OAB)；(2)一条特殊的角平分线( OP平分∠APB和∠AOB);(3)三个垂直关系 (OA⊥PA, OB⊥PB，OP⊥AB)．目标二理解三角形的内切圆例3 教材补充例题如图27－2－16，已知△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D，E，F，则点O是△DEF的( )图27－2－16A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点例4 教材补充例题△ABC的内切圆的半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积S.【归纳总结】三角形“四心”的区别：外心三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点内心三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点重心三角形三条中线的交点垂心三角形三条高的交点提示：(1)三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形某顶点的连线平分这个顶点处的内角；三角形的内心都在三角形内部．(2)三角形的内切圆有且只有一个，而圆有无数个外切三角形．(3)常用S△ABC＝12(a＋b＋c)r(其中a，b，c为△ABC的三边长)求三角形的内切圆的半径r.(4)若△ABC为直角三角形(不妨设∠C＝90°)，则△ABC内切圆的半径r＝a＋b－c2或r＝aba＋b＋c(其中a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边)．知识点一切线长及切线长定理(1)圆的切线上某一点与________之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．(2)过圆外一点所画的圆的两条切线，________相等．这一点和圆心的连线平分____________________．知识点二三角形的内切圆(1)与三角形________________叫做这个三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的________，这个三角形叫做这个圆的外切三角形．(2)三角形的内心就是三角形______________，三角形的内心到____________的距离相等．如图27－2－17是切线长定理的一个基本图形(PA ，PB 为⊙O 的切线，A ，B 为切点)，由切线长定理可以推出很多的结论，如：(1)垂直：OA ⊥________，OB ⊥________，AB ⊥________；(2)角相等：∠1＝∠________＝∠________＝∠________，∠5＝∠________＝∠________＝∠________；(3)线段相等：PA ＝________，AC ＝________；(4)弧相等：AD ︵＝________，AE ︵＝________．图27－2－17教师详解详析【目标突破】例1 解：PB ∠OPB PA PB ∠OBP OA ＝OB ，OP ＝OP PB ∠OPB 用文字语言叙述结论：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．例2 [解析] (1)方法一：根据切线的性质可知：∠OAP ＝∠OBP ＝90°.根据三角形的内角和为180°可求出∠AOB 的度数，再根据四边形的内角和为360°可求出∠APB 的度数；方法二：证明△ABP 为等边三角形，从而可求出∠APB 的度数．(2)方法一：作辅助线，连结OP.在Rt △OAP 中，利用三角函数可求出AP 的长；方法二：作辅助线，过点O 作OD ⊥AB 于点D.在Rt △OAD 中，求出AD 的长，从而求出AB 的长，即为AP 的长．解：(1)方法一：∵在△ABO 中，OA ＝OB ，∠OAB ＝30°，∴∠AOB ＝180°－2×30°＝120°.∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∴在四边形OAPB 中，∠APB ＝360°－120°－90°－90°＝60°.方法二：∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA ＝PB ，OA ⊥PA.∵∠OAB ＝30°，∴∠BAP ＝90°－30°＝60°，∴△ABP 是等边三角形，∴∠APB ＝60°.(2)方法一：如图①，连结OP.∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PO 平分∠APB ，即∠APO ＝12∠APB ＝30°.又∵在Rt△OAP中，OA＝3，∴AP＝OAtan30°＝3 3.方法二：如图②，过点O作OD⊥AB于点D. ∵在△OAB中，OA＝OB，∴AD＝12 AB.∵在Rt△AOD中，OA＝3，∠OAD＝30°，∴AD＝OA·cos30°＝3 3 2，∴AB＝2AD＝3 3，∴AP＝AB＝3 3.例3[答案] D例4解：如图，设△ABC的内切圆⊙O与三边分别相切于点D，E，F，连结OA，OB，OC，OD，OE，OF，则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.所以S＝S△AOB ＋S△AOC＋S△BOC＝12AB·OD＋12AC·OF＋12BC·OE＝12lr.【总结反思】[小结] 知识点一(1)切点(2)它们的切线长这两条切线的夹角知识点二(1)各边都相切的圆内心(2)三条角平分线的交点三角形三边[反思] (1)PA PB PO (2)2 3 4 6 7 8(3)PB BC (4)BD ︵ BE ︵。

三角形的内切圆练习题三角形的内切圆练习题在数学中，三角形是一个基础而重要的概念。

而在三角形的内部，有一个特殊的圆形，称为内切圆。

内切圆是可以与三角形的三条边都相切的圆形，它有着许多有趣的性质和应用。

在本文中，我们将通过一些练习题来探索三角形的内切圆。

练习题1：设三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C，内切圆的半径为r。

证明：三角形ABC的面积S等于内切圆的半径r与三角形ABC三边长之和的乘积的一半，即S = r × (AB + BC + AC) / 2。

解答：我们可以通过两种方法来证明这个结论。

方法一：利用三角形的高度我们知道，三角形的面积可以通过底边与高度的乘积来计算。

考虑三角形ABC，假设内切圆的圆心为O，与三边AB、BC和AC分别相切于点D、E和F。

连接AO、BO和CO，分别延长到与内切圆相交于点P、Q和R。

由于AO与DO垂直且相等，所以DO是三角形ABC的高度。

同样地，EO和FO也是三角形ABC 的高度。

因此，我们可以得到三角形ABC的面积S = DO × AB / 2 + EO × BC /2 + FO × AC / 2。

另一方面，根据内切圆的性质，我们知道DO = EO = FO = r。

将这个结果代入到上面的等式中，我们可以得到S = r × (AB + BC + AC) / 2，证明完成。

方法二：利用三角形的面积公式我们知道，三角形ABC的面积可以通过海伦公式来计算，即S = √[s(s - AB)(s- BC)(s - AC)]，其中s是三角形的半周长，即s = (AB + BC + AC) / 2。

我们将这个面积公式代入到S = r × (AB + BC + AC) / 2中，可以得到S = √[s(s - AB)(s - BC)(s - AC)] = r × (AB + BC + AC) / 2。

通过对等式两边进行平方操作，我们可以得到等式两边的平方相等，从而证明了这个结论。

专题24.7 切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】【人教版】【题型1 利用切线长定理求周长】 (1)【题型2 三角形内切圆中求角度】 (5)【题型3 三角形内切圆中求面积】 (9)【题型4 三角形内切圆中求线段长度】 (13)【题型5 三角形内切圆中求半径】 (17)【题型6 三角形内切圆中求最值】 (20)【题型7 外接圆和内切圆的综合运用】 (25)【题型1 利用切线长定理求周长】【例1】（2022秋•宜兴市校级期中）如图，△ABC 是一张三角形的纸片，⊙O 是它的内切圆，点D 是其中的一个切点，已知AD ＝10cm ，小明准备用剪刀沿着与⊙O 相切的任意一条直线MN 剪下一块三角形（△AMN ），则剪下的△AMN 的周长为　20cm ．【分析】利用切线长定理得出DM ＝MF ，FN ＝EN ，AD ＝AE ，进而得出答案．A B C I【解答】解：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD＝10cm，∴设E、F分别是⊙O的切点，故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝10+10＝20（cm）．故答案是：20cm．【变式1-1】（2022秋•莒南县期末）如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D．若PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，求△PCD的周长．【分析】由PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，根据切线长定理，可得PA＝PB，又由PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，根据根与系数的关系，可求得PA与PB的长，又由CD切⊙O于点E，即可得△PCD的周长等于PA+PB．【解答】解：∵PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，∴PA+PB＝m，PA•PB＝m﹣1，∵PA、PB切⊙O于A、B两点，∴PA＝PB=m2，即m2•m2=m﹣1，即m2﹣4m+4＝0，解得：m＝2，∴PA＝PB＝1，∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，∴AD＝ED，BC＝EC，∴△PCD的周长为：PD+CD+PC＝PD+DE+EC+PC＝PD+AD+BC+PC＝PA+PB＝2．【变式1-2】（2022•雨花区校级三模）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长为（ ）A．14B．20C．24D．30【分析】设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，根据题意可得四边形OECF为正方形，则CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出x，然后求其周长．【解答】解：连接OE、OF，设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，∵⊙O与Rt△ABC的三边分别点D、E、F，∴OE⊥AC，OF⊥BC，∴四边形OECF为正方形，∵⊙O的半径为2，BC＝5，∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，∴在Rt△ABC中，∵AC2+BC2＝AB2，即（x+2）2+52＝（x+3）2，解得x＝10，∴△ABC的周长为12+5+13＝30．故选：D．【变式1-3】（2022秋•崇川区月考）如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，C是劣弧AB上任意一点，过C作⊙O切线DE，交PA、PB于点D、E，已知PA的长为5cm，∠DOE＝65°，点M、N分别在PA、PB的延长线上，MN与⊙O相切于点F，已知DN、EM的长是方程x2﹣10x+k＝0的两根．（1）求∠P的度数；（2）求△PDE的周长；（3）求四边形DEMN的周长．【分析】（1）只要证明∠AOB＝130°，∠PAO＝∠PBO＝90°，再利用四边形内角和定理即可解决问题；（2）利用切线长定理即可解决问题；（3）因为DN、EM的长是方程x2﹣10x+k＝0的两根．可得DN+EM＝10，再利用切线长定理即可解决问题；【解答】解：（1）连接OA、OB、OC．∴PA、PB、DE是⊙O的切线，∴PA⊥OA，OB⊥PB，∠DOA＝∠DOC，∠EOB＝∠EOC，∵∠DOE＝65°，∴∠AOB＝130°，∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°．（2）∵PA、PB、DE是⊙O的切线，∴DA＝DC，EC＝EB，PA＝PB＝5，∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝PD+DA+PE+EB＝PA+PB＝10．（3）∵DN、EM的长是方程x2﹣10x+k＝0的两根．∴DN+EM＝10，∴PN，PM，MN是⊙O的切线，∴AN＝NF，MF＝MB，DA＝DC，EC＝EB，∴四边形EMND的周长＝EM+MN+DN+DE＝EM+BM+NA+DA+EB+DN＝2（DN+EM）＝20．【题型2 三角形内切圆中求角度】【例2】（2022•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，⊙O是它的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，若∠ACB＝40°，则∠DOE＝　130°　．【分析】利用直角三角形性质求出∠ABC＝50°，再利用切线性质求出∠BDO＝∠BEO＝90°，再利用四边形内角和为360°，即可求得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，∠ACB＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣40°＝50°，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，∴AB、BC是⊙O的切线，∴∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE＝360°﹣∠BDO﹣∠BEO﹣∠ABC＝130°，故答案为：130°．【变式2-1】（2022秋•昌平区期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，已知∠A＝40°，连接OB，OC，DE，EF，则∠BOC＝　110　°，∠DEF＝　70　°．【分析】连接OD和OF，根据内切圆的性质可得OB，OC平分∠ABC，∠ACB，再根据三角形内角和定理即可求出角BOC的度数；根据切线的性质可得∠DOF的度数，进而根据圆周角定理可得∠DEF的度数．【解答】解：如图，连接OD和OF，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠A＝40°，∴OB，OC平分∠ABC，∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝180°−12×140°＝180°−12＝110°，∵OD⊥AB，OF⊥AC，∴∠ADO＝∠AFO＝90°，∴∠DOF＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∠DOF＝70°．∴∠DEF=12故答案为：110，70．【变式2-2】（2022•万年县校级模拟）如图，△ABC中，内切圆I与AB，BC，CA分别切于F，D，E，连接BI，CI，再连接FD，ED，（1）若∠A＝40°，求∠BIC与∠FDE的度数．（2）若∠BIC＝α；∠FDE＝β，试猜想α，β的关系，并证明你的结论．（∠ABC+∠ACB），求出∠ABC+∠ACB 【分析】（1）根据圆I是△ABC的内切圆求出∠IBC+∠ICB=12的度数，求出∠IBC+∠ICB即可；连接IF、IE，求出∠FIE，即可求出∠FDE；（2）由（1）得出∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB），∠FDE＝180°﹣2∠A，根据三角形的内角和定理求出∠BIC ＝90°+12∠A ，代入即可求出答案．【解答】解：（1）∵圆I 是△ABC 的内切圆，∴∠IBC =12∠ABC ，∠ICB =12∠ACB ，∴∠IBC +∠ICB =12（∠ABC +∠ACB ），∵∠ABC +∠ACB ＝180°﹣∠A ＝140°，∴∠IBC +∠ICB ＝70°，∴∠BIC ＝180°﹣（∠IBC +∠ICB ）＝110°，如图，连接IF 、IE ，∵圆I 是△ABC 的内切圆，∴∠IFA ＝∠IEA ＝90°，∵∠A ＝40°，∴∠FIE ＝360°﹣∠IFA ﹣∠IEA ﹣∠A ＝140°，∴∠EDF =12∠EIF ＝70°，答：∠BIC ＝110°，∠FDE ＝70°；（2）解：α＝180°﹣β，证明：由圆周角定理得：∠FIE ＝2∠FDE ，由（1）知：2∠FDE ＝180°﹣∠A ，即∠A ＝180°﹣2∠FDE ，∴∠A ＝180°﹣∠EIF ，由（1）知：2∠FDE ＝180°﹣∠A ，∴∠A ＝180°﹣2∠FDE ＝180°﹣2β，∠BIC ＝180°﹣（∠IBC +∠ICB ）＝180°−12（∠ABC +∠ACB ）＝180°−1（180°﹣∠A）2∠A，＝90°+12（180°﹣2β），∴∠BIC＝α＝90°+12即α＝180°﹣β．【变式2-3】（2022秋•邗江区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点M是△ABC内一点，连接BM交AD于点N，已知∠AMB＝108°，若点M是△CAN的内心，则∠BAC的度数为（ ）A．36°B．48°C．60°D．72°【分析】过点M作ME⊥AD于点E，根据已知条件可得△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中垂线，证明ME∥BC，可得∠NME＝∠NBD，由点M是△CAN的内心，可得点M在∠NAC和∠ANC的角平分线上，设∠NAM＝x，∠NBD＝y，所以∠BAC＝4x，∠NBD＝∠NCD＝∠NME＝y，∠ENM＝∠CNM＝2y，然后利用∠AMB＝108°，列出方程组y−x=18°2y+x=72°，求解即可得结论．【解答】解：如图，过点M作ME⊥AD于点E，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中垂线，∴NB＝NC，∠BAD＝∠CAD，∴∠NBD＝∠NCD，∵ME⊥AD，AD⊥BC，∴ME∥BC，∴∠NME＝∠NBD，∵点M是△CAN的内心，∴点M在∠NAC和∠ANC的角平分线上，∴∠NAM＝∠CAM，∠ANM＝∠CNM，设∠NAM＝x，∠NBD＝y，∴∠BAC＝4x，∠NBD＝∠NCD＝∠NME＝y，∴∠ENM＝∠CNM＝∠NBC+∠NCB＝2y，∵∠AMB＝108°，∴∠AME＝∠AMB﹣∠EMN＝108°﹣y，在△AEM中，∠EAM+∠AME＝90°，∴x+108°﹣y＝90°，∴y﹣x＝18°，在△ANM中，∠NAM+∠ANM＝180°﹣108°，∴x+2y＝72°，y−x=18°2y+x=72°，解得x=12°y=30°，∴∠BAC＝4x＝48°．故选：B．【题型3 三角形内切圆中求面积】【例3】（2022秋•黄冈期中）如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E 为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．【分析】设AF＝x，由切线长定理可得EF＝AF＝x，则FD＝1﹣x，CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x，利用勾股定理建立方程求出x的值，再根据三角形的面积公式即可求出问题的答案．【解答】解：设AF＝x，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∴DA⊥AB，∴AD是圆的切线，∵CF是⊙O的切线，E为切点，∴EF＝AF＝x，∴FD＝1﹣x，∵CB⊥AB，∴CB为⊙O的切线，∴CB＝CE，∴CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x．∴在Rt△CDF中由勾股定理得到：CF2＝CD2+DF2，即（1+x）2＝1+（1﹣x）2，解得x=14，∴DF＝1﹣x=34，∴S△CDF =12×1×34=38．【变式3-1】（2022•武汉模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，E是△ABC的内心，OE⊥EB．若AE＝ABE的面积为（ ）A ．B ．2CD ．1【分析】延长BE 交⊙O 于点F ，连接AF ，OF ，根据AB 是⊙O 的直径，可得∠AFB ＝∠C ＝90°，证明△FEA 是等腰直角三角形，可得AF ＝EF ＝2，根据垂径定理可得EF ＝BE ＝2，进而可得△ABE 的面积．【解答】解：如图，延长BE 交⊙O 于点F ，连接AF ，OF ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AFB ＝∠C ＝90°，∴∠CAB +∠CBA ＝90°，∵E 是△ABC 的内心，∴∠EAB =12∠CAB ，∠EBA =12∠CBA ，∴∠EAB +∠EBA =12（∠CAB +∠CBA ）＝45°，∴∠FEA ＝45°，∴△FEA 是等腰直角三角形，∴AE ==，∵AE ＝∴AF ＝EF ＝2，∵OE ⊥EB ，∴EF ＝BE ＝2，∴△ABE 的面积为：12BE •AF =12×2×2＝2．故选：B ．【变式3-2】（2022春•海曙区校级期中）如图，花边带上正三角形的内切圆半径为1cm ．如果这条花边带有100个圆和100个正三角形，则这条花边的面积为（ ）A ．150πB ．C ．D ．200【分析】画出图形，连接AD ，OB ，则AD 过O ，求出∠OBD ＝30°，求出OB ，根据勾股定理求出BD ，同法求出CD ，求出BC 的长后求得一个三角形的面积即可求得花边的面积．【解答】解：从中选择一个等边三角形和其内接圆如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，⊙O 切AB 于F ，切AC 于E ，切BC 于D ，连接AD ，OB ，则AD 过O （因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上，也在底边的垂直平分线上），∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝60°，∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∴∠OBC =12∠ABC ＝30°，∵⊙O 切BC 于D ，∴∠ODB ＝90°，∵OD ＝1，∴OB ＝2，由勾股定理得：BD ==∴BC ＝∴S △ABC =12BC •AD =12××3＝∴这条花边的面积＝100S △ABC ＝故选：C ．【变式3-3】（2022•齐齐哈尔一模）如图，正方形ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE 的面积（ ）cm2A．12B．24C．8D．6【分析】由于AE与圆O切于点F，根据切线长定理有AF＝AB＝4cm，EF＝EC；设EF＝EC＝xcm．则DE＝（4﹣x）cm，AE＝（4+x）cm，然后在三角形BCE中由勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出，然后就可以求出△ADE的面积．【解答】解：∵AE与圆O切于点F，显然根据切线长定理有AF＝AB＝4cm，EF＝EC，设EF＝EC＝xcm，则DE＝（4﹣x）cm，AE＝（4+x）cm，在三角形ADE中由勾股定理得：（4﹣x）2+42＝（4+x）2，∴x＝1cm，∴CE＝1cm，∴DE＝4﹣1＝3cm，＝AD•DE÷2＝3×4÷2＝6cm2．∴S△ADE故选：D．【题型4 三角形内切圆中求线段长度】【例4】（2022秋•乌兰察布期末）如图，⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F、若AB ＝5，AC＝6，BC＝7，求AD、BE、CF的长．【分析】由切线长定理，可知：AF ＝AD ，CF ＝CE ，BE ＝BD ，用未知数设AD 的长，然后表示出BD 、CF 的长，即可表示出BE 、CE 的长，根据BE +CE ＝7，可求出AD 的长进而求出BE 、CF 的长．【解答】解：假设AD ＝x ，∵⊙O 分别切△ABC 的三条边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ；∴根据切线长定理得出AD ＝AF ，BD ＝BE ，EC ＝FC ，∴AF ＝x ，∵AB ＝5，AC ＝6，BC ＝7，∴BE ＝BD ＝AB ﹣AD ＝5﹣x ，FC ＝EC ＝AC ﹣AF ＝6﹣x ，∴BC ＝BE +EC ＝5﹣x +6﹣x ＝7，解得：x ＝2，∴AD ＝2，BE ＝BD ＝5﹣2＝3，CF ＝AC ﹣AF ＝6﹣2＝4．【变式4-1】（2022秋•崇川区月考）如图，已知△ABC 的内切圆O 与三边分别切于D 、E 、F ，∠A ＝60°，CB ＝6cm ，△ABC 的周长为16cm ，则DF 的长等于（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm【分析】利用三角形内切圆的性质以及切线长定理得出BD ＝BE ，CE ＝CF ，AD ＝AF ，进而得出△ADF 是等边三角形，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC 的内切圆O 与三边分别切于D 、E 、F ，CB ＝6cm ，△ABC 的周长为16cm ，∴BD ＝BE ，CE ＝CF ，AD ＝AF ，∵BE +EC ＝BD +FC ＝6，∴AD ＝AF =12（AB +AC +BC ﹣BC ﹣BD ﹣CF ）=12（16﹣6﹣6）＝2，∵∠A ＝60°，∴△ADF 是等边三角形，∴DF ＝2．故选：A ．【变式4-2】（2022秋•龙凤区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，⊙O 是△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则OD的长度是 ．【分析】如图连接OE、OF、OQ，设⊙O的半径是r，由勾股定理求出AB＝5，根据△ABC的内切圆，得到OE⊥AC，OF⊥BC，OE＝OF，推出四边形CFOE是正方形，得到CE＝CF＝OF＝OE，根据3﹣r+4﹣r＝5求出r、AQ、OQ的长求出AD、DQ的长【解答】解：如图连接OE、OF、OQ，设⊙O的半径是r，由勾股定理得：AB=5，∵⊙O是三角形ABC的内切圆，∴OE⊥AC，OF⊥BC，OE＝OF，AE＝AQ，BF＝BQ，∵∠C＝90°，∴∠C＝∠CFO＝∠CEO＝90°，∴四边形CFOE是正方形，∴CE＝CF＝OF＝OE，∴3﹣r+4﹣r＝5，r＝1，AQ＝AE＝3﹣1＝2，OQ＝1，∵D是AB的中点，，∴AD=52，∴DQ＝AD﹣AQ=12∴OD2＝OQ2+DQ2，∴OD=【变式4-3】（2022•永定区模拟）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆，点E、F为切点，则EF的长是　4　cm．【分析】根据矩形的性质得到AC＝20，△ABC≌△CDA，则⊙O1和⊙O2的半径相等．如图，过O1作AB、BC的垂线分别交AB、BC于N、P，过O2作BC，CD、AD的垂线分别交BC，CD、AD于Q，G、H，由∠B＝90°，推出四边形O1NBP是正方形，设圆的半径为r，根据切线长定理12﹣r+16﹣r＝20，解得r＝4，过O1作O1M⊥FO2于M，则O1M＝PQ＝8，QM＝BN＝4，同法可得DG＝4，根据EF＝AC﹣AE﹣CF计算即可．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，∴AC＝20，△ABC≌△CDA，则⊙O1和⊙O2的半径相等．如图，过O1作AB、BC的垂线分别交AB、BC于N、P，过O2作BC，CD、AD的垂线分别交BC，CD、AD于Q，G、H，∵∠B＝90°，∴四边形O1NBP是正方形，设圆的半径为r，根据切线长定理12﹣r+16﹣r＝20，解得r＝4，∴BP＝BN＝4，同法可得DG＝4，∴AN＝AE＝CG＝CF＝8，∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝20﹣16＝4故答案为：4．【题型5 三角形内切圆中求半径】【例5】（2022•定安县二模）如图，在矩形ABCD中，AD＜AB，AD＝9，AB＝12，则△ACD内切圆的半径是（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】根据矩形性质和勾股定理可得AC＝15，设△ACD内切圆的圆心为O，△ACD内切圆的半径为r，连接OE，OF，OG，得四边形DFOG是正方形，然后根据切线长定理即可解决问题．【解答】解：在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD＝BC＝9，AB＝12，根据勾股定理，得AC==15，设△ACD内切圆的圆心为O，△ACD内切圆的半径为r，如图，连接OE，OF，OG，得四边形DFOG是正方形，∴DF＝DG＝r，∴AG＝AE＝AD﹣DG＝9﹣r，CF＝CE＝CD﹣DF＝AB﹣DF＝12﹣r，∵AE+CE＝AC，∴9﹣r+12﹣r＝15，解得r＝3．∴△ACD内切圆的半径是3．故选：C．【变式5-1】（2022秋•张店区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，⊙O是Rt△ABC 的内切圆，则⊙O的半径为（ ）A ．1BC ．2D ．【分析】根据三角形内切圆与内心的性质和三角形面积公式解答即可．【解答】解：∵∠C ＝90°，BC ＝3，AB ＝5，∴AC ==4，如图，分别连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，∵⊙O 是△ABC 内切圆，D 、E 、F 为切点，∴OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB 于D 、E 、F ，OD ＝OE ＝OF ，∴S △ABC ＝S △BOC +S △AOC +S △AOB =12BC •DO +12AC •OE +12AB •FO =12（BC +AC +AB ）•OD ，∵∠C ＝90°，∴12×AC •BC =12（BC +AC +AB ）•OD ，∴OD =3×4345=1．故选：A ．【变式5-2】（2022秋•虎丘区校级期中）若四边形ABCD 有内切圆（与四边形四边均相切），四边形面积为S ，各边长分别为a ，b ，c ，d ，则该圆的直径为（ ）A ．a b c d SB ．S a cC ．c−d S(a b)D ．2S a b c d【分析】连接OA 、OB 、OC 、OD ．由S 四边形ABCD ＝S △OAB +S △OBC +S △OCD +S △AOD ，由S 四边形ABCD =12AB •r +12BC •r +12CD •r +12AD •r =12（a +b +c +d ）•r ＝S ，即可推出r =2S a b c d ．【解答】解：如图，连接OA 、OB 、OC 、OD ．∵S 四边形ABCD ＝S △OAB +S △OBC +S △OCD +S △AOD又∵S △OAB =12AB •r ，S △OBC =12BC •r ，S △OCD =12CD •r ，S △AOD =12AD •r ，∴S 四边形ABCD =12AB •r +12BC •r +12CD •r +12AD •r =12（a +b +c +d ）•r ＝S ，∴r =2S a b c d ．故选：D ．【变式5-3】（2022秋•南丹县期末）如图，△ABC 的内切圆⊙O 分别与AB ，AC ，BC 相切于点D ，E ，F ．若∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则⊙O 的半径等于 2　．【分析】连结OD ，OE ，OF ，设⊙O 半径为r ，根据勾股定理可得AB ＝10，证明四边形OECF 是正方形，可得CF ＝CE ＝OF ＝r ，然后根据切线长定理可得AE ＝AE ＝AC ﹣CE ＝6﹣r ，BF ＝BD ＝BC ﹣CF ＝8﹣r ，进而可以解决问题．【解答】解：如图，连结OD ，OE ，OF ，设⊙O 半径为r ，∵∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∴AB ==10，∵△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，AC 分别相切于点D ，F ，E ，∴AC ⊥OE ，AB ⊥OD ，BC ⊥OE ，且OF ＝OD ＝OE ＝r ，∴四边形OECF 是正方形，∴CF ＝CE ＝OF ＝r ，∴AE ＝AE ＝AC ﹣CE ＝6﹣r ，BF ＝BD ＝BC ﹣CF ＝8﹣r ，∵AD +BD ＝AB ＝10，∴6﹣r +8﹣r ＝10，∴r ＝2．∴⊙O 的半径等于2．故答案为：2．【题型6 三角形内切圆中求最值】【例6】（2022春•长兴县月考）如图，矩形ABCD ，AD ＝6，AB ＝8，点P 为BC 边上的中点，点Q 是△ACD 的内切圆圆O 上的一个动点，点M 是CQ 的中点，则PM +1　．【分析】由矩形性质和勾股定理可得AC ＝10，设△ADC 内切圆半径为r ，由面积法可得r ＝2，连接BQ ，易证PM 为△BCQ 的中位线，得出PM =12BQ ，当BQ 经过圆心O 时，BQ 最长，则此时PM 最大，作OE ⊥AD 与点E ，OF ⊥AB 与点F ，则BF ＝AB ﹣AF ＝8﹣2＝6，OF ＝AE ＝AD ﹣DE ＝6﹣2＝4，由勾股定理可得BO =BQ ＝BO +OQ ＝2，从而可得PM 的结果．【解答】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠D ＝90°，CD ＝AB ＝8，∴AC ==10，设△ADC 的内切圆半径为r ，则有12r(AC +AD +DC)=12×6×8，即12r(10+6+8)=24，解得：r ＝2．连接BQ ，∵P为BC中点，M为CQ中点，∴PM为△BQC的中位线，BQ，∴PM=12当BQ经过圆心O时，BQ最长，则此时PM最大，作OE⊥AD与点E，OF⊥AB与点F，则BF＝AB﹣AF＝8﹣2＝6，OF＝AE＝AD﹣DE＝6﹣2＝4，∴BO=∴BQ＝BO+OQ＝+2，BQ=1．∴PM=12+1．【变式6-1】（2022秋•扬州月考）如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是　4πcm2．　．r 【分析】当该圆为三角形内切圆时面积最大，设内切圆半径为r，则该三角形面积可表示为：12•BC•AD，利用勾股定理可得AD，易得三角形（AB+AC+BC）＝21r，利用三角形的面积公式可表示为12ABC的面积，可得r，求得圆的面积．【解答】解：如图1所示，S △ABC =12•r •（AB +BC +AC ）=12r ×42＝21r ，过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D ，如图2，设CD ＝x ，由勾股定理得：在Rt △ABD 中，AD 2＝AB 2﹣BD 2＝400﹣（7+x ）2，在Rt △ACD 中，AD 2＝AC 2﹣x 2＝225﹣x 2，∴400﹣（7+x ）2＝225﹣x 2，解得：x ＝9，∴AD ＝12，∴S △ABC =12BC ×AD =12×7×12＝42，∴21r ＝42，∴r ＝2，该圆的最大面积为：S ＝πr 2＝π•22＝4π（cm 2），故答案为：4πcm 2．【变式6-2】（2022•温州自主招生）设等边△ABC 的内切圆半径为2，圆心为I ．若点P 满足PI ＝1，则△ABC 与△APC 的面积之比的最大值为　6　．【分析】P 满足PI ＝1，则P 在以I 为圆心，以1位半径的圆上，当P 是⊙O 和BE 的交点时，△ACP 的面积最小，即△ABC 与△APC 的面积之比最大．此时PE ＝2﹣1＝1，则△ABC 与△APC 的面积的比值是BE 与PE 的比值，据此即可求解．【解答】解：点P 满足PI ＝1，则P 在以I 为圆心，以1位半径的圆上．作BE ⊥AC ，则BE 一定过点I ，连接AI ．∵在直角△AIE 中，∠IAE =12∠BAC =12×60°＝30°，IE ＝2，∴AI ＝2IE ＝4，∴BE ＝IE +BI ＝IE +AI ＝2+4＝6．当P是⊙I和BE的交点时，△ACP的面积最小，即△ABC与△APC的面积之比最大．此时PE＝2﹣1＝1，则△ABC与△APC的面积的比值是BEPE =61=6．故答案是：6．【变式6-3】（2022秋•滨湖区期末）已知点C是⊙O上一动点，弦AB＝6，∠ACB＝120゜．（1）如图1，若CD平分∠ACB，求证：AC+BC＝CD；（2）如图2，△ABC内切圆半径为r．①用含r的代数式表示AC+BC；②求r的最大值．【分析】（1）在CD上截取CE＝BC，由∠ACD＝∠BCD＝60°得到△BCE为等边三角形，根据圆周角定理得∠ABD＝∠ACD＝60°，则BE＝BC＝CE，∠1+∠ABE＝60°，∠ABE+∠2＝60°，所以∠1＝∠2，于是可根据“AAS”判断△ACB≌△DEB，得到AC＝DE，由此得到CD＝CE+DE＝BC+AC；（2）①作弦CD平分∠ACB，设△ABC的内心为P点，作PQ⊥AB于Q，PH⊥BC于H，PF⊥AC于F，根据内心的性质得PF＝PQ＝PH＝r，由∠ACD＝∠BCD＝60°得到∠CPF＝∠CPH＝30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到CF，CH==，然后根据切线长定理得到AF＝AQ＝AC﹣CF＝AC，BH＝BQ＝BC﹣CH＝BC，而AB＝AQ+BQ，所以AC+BC＝6，整理得AC+BC＝6+；②由于AC+BC＝CD得到CD＝6，所以当CD为直径时，r最大；当CD为直径，根据垂径定理的推论得CD⊥AB，AM＝BM=12AB＝3，AC＝BC，可计算出CD=AC＝2CD＝+=6+，可解得r＝6﹣【解答】（1）证明：在CD上截取CE＝BC，如图1，∵CD平分∠ACB，∠ACB＝120゜，∴∠ACD＝∠BCD＝60°，∴△BCE为等边三角形，∠ABD＝∠ACD＝60°，∴BE＝BC＝CE，∠1+∠ABE＝60°，∠ABE+∠2＝60°，∴∠1＝∠2，在△ACB和△DEB中∠A=∠D∠1=∠2，BC=BE∴△ACB≌△DEB，∴AC＝DE，∴CD＝CE+DE＝BC+AC；（2）解：①作弦CD平分∠ACB，设△ABC的内心为P点，作PQ⊥AB于Q，PH⊥BC于H，PF⊥AC 于F，如图，则PF＝PQ＝PH＝r，∵CD平分∠ACB，∠ACB＝120゜，∴∠ACD＝∠BCD＝60°，∴∠CPF＝∠CPH＝30°，∴CF=，CH==，∴AF＝AQ＝AC﹣CF＝AC，BH＝BQ＝BC﹣CH＝BC，而AB＝AQ+BQ，∴AC+BC＝6，∴AC+BC＝6+；②∵AC+BC＝CD，∴CD＝6+，∴当CD为直径时，r最大，如图3，当CD为直径，∴CD⊥AB，垂足为M，AB＝3，AC＝BC，∴AM＝BM=12∵∠ACD＝60°，∴∠CAM＝30°，∴CD∴AC＝2CD＝∴+6，∴r＝6﹣即r的最大值为6﹣【题型7 外接圆和内切圆的综合运用】【例7】（2022秋•滨湖区期末）设两直角边分别为3、4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R 和r，则R﹣r＝　1.5　．【分析】利用三角形的外心与内心的性质即可进行计算．【解答】解：因为直角三角形的外接圆半径等于斜边长的一半，所以R==2.5；如图，若Rt △ABC 的边AC ＝3，BC ＝4，根据勾股定理，得AB =5，其内切圆⊙O 分别切AB 、BC 、AC 于D 、E 、F ．设OE ＝OF ＝OD ＝r ，∴S △ABC ＝S △AOB +S △BOC +S △AOC ，即12AC •BC =12AB •OD +12BC •OE +12AC •OF ，12×3×4=12×5×r +12×4×r +12×3×r ，6=12r （5+4+3），6＝6r ，∴r ＝1，则R ﹣r ＝2.5﹣1＝1.5．故答案为：1.5．【变式7-1】（2022•鞍山模拟）如图，⊙O 内切于Rt △ABC ，切点分别为D 、E 、F ，∠C ＝90°．已知∠AOC ＝120°，则∠OAC ＝　15　°，∠B ＝　60　°．已知AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，则△ABC 的外接圆的半径为　52　cm ，内切圆的半径为　1　cm ．【分析】由三角形内心的性质得到OC 平分∠ACB ，求得∠ACO =12∠ACB ＝45°，根据三角形的内角和得到结论；根据勾股定理得到AB ==5，于是得到结论．【解答】解：∵⊙O 内切于Rt △ABC ，∠C ＝90°，∴OC 平分∠ACB ，∴∠ACO =12∠ACB ＝45°，∵∠AOC ＝120°，∴∠OAC ＝180°﹣45°﹣120°＝15°，∵AO 平分∠BAC ，∴∠BAC ＝2∠OAC ＝30°，∴∠B ＝90°﹣30°＝60°；∵AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，∠C ＝90°，∴AB ==5，∴△ABC 的外接圆的半径为52；设内切圆的半径为r ，∴r =34−52=1，故答案为：15，60，52，1．【变式7-2】（2022•游仙区模拟）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，其周长为20，⊙I 是△ABC 的内切BIC 的外接圆直径为 ．【分析】设△BIC 的外接圆圆心为O ，连接OB ，OC ，作CD ⊥AB 于点D ，在圆O 上取点F ，连接FB ，FC ，作OE ⊥BC 于点E ，设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，根据三角形内心定义可得S △ABC =12lr =12×20×=12AB •CD ，可得bc ＝40，根据勾股定理可得BC ＝a ＝7，再根据I 是△ABC 内心，可得IB 平分∠ABC ，IC 平分∠ACB ，根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得∠BOC ＝120°，再根据垂径定理和勾股定理即可求出OB 的长．【解答】解：如图，设△BIC 的外接圆圆心为O ，连接OB ，OC ，作CD ⊥AB 于点D ，在圆O 上取点F ，连接FB ，FC ，作OE ⊥BC 于点E ，设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，∵∠BAC ＝60°，∴AD =12b ，CD ，∴BD ＝AB ﹣AD ＝c −12b ，∵△ABC 周长为l ＝20，△ABC 的内切圆半径为r∴S △ABC =12lr =12×20×12AB •CD ，∴=•c ，∴bc ＝40，在Rt △BDC 中，根据勾股定理，得BC 2＝BD 2+CD 2，即a 2＝（c −12b ）2+）2，整理得：a 2＝c 2+b 2﹣bc ，∵a +b +c ＝20，∴a 2＝c 2+b 2﹣bc ＝（b +c ）2﹣3bc ＝（20﹣a ）2﹣3×40，解得a ＝7，∴BC ＝a ＝7，∵I 是△ABC 内心，∴IB 平分∠ABC ，IC 平分∠ACB ，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠IBC+∠ICB＝60°，∴∠BIC＝120°，∴∠BFC＝180°﹣120°＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OE⊥BC，，∠BOE＝60°，∴BE＝CE=72÷∴OB=72【变式7-3】（2022秋•鄞州区校级月考）如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠C＝90°．⊙I分别切AC，BC，AB于点D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．【分析】连接ID、IE、IF，如图，由AC＝8，BC＝6，∠C＝90°，根据圆周角定理的推论和勾股定理AB＝5，连接OI，设⊙I的得到AB为△ABC的外接圆的直径，AB＝10，则外心O为AB的中点，BO=12半径为r，根据切线的性质和切线长定理得ID⊥AC，IE⊥BC，IF⊥AB，AD＝AF，BE＝BF，易得四边形IDCE为正方形，则DC＝CE＝r，所以AD＝AC﹣DC＝8﹣r，BE＝BC﹣CE＝6﹣r，即AF＝8﹣r，BF＝6﹣r，利用AF+BF＝AB得8﹣r+6﹣r＝10，解得r＝2，所以BF＝4，则OF＝OB﹣BF＝1，在Rt△IOF中，根据勾股定理得IO【解答】解：连接ID、IE、IF，如图，∵AC＝8，BC＝6，∠C＝90°，∴AB为△ABC的外接圆的直径，AB=10，∴外心O为AB的中点，AB＝5，∴BO=12连接OI，如图，设⊙I的半径为r，∵⊙I分别切AC，BC，AB于点D，E，F，∴ID⊥AC，IE⊥BC，IF⊥AB，AD＝AF，BE＝BF，而∠C＝90°，∴四边形IDCE为正方形，∴DC＝CE＝r，∴AD＝AC﹣DC＝8﹣r，BE＝BC﹣CE＝6﹣r，∴AF＝8﹣r，BF＝6﹣r，而AF+BF＝AB，∴8﹣r+6﹣r＝10，解得r＝2，∴BF＝6﹣r＝4，∴OF＝OB﹣BF＝5﹣4＝1，在Rt△IOF中，IF＝2，OF＝1，∴IO=即Rt△ABC的内心I与外心O。

6《三角形的内切圆、外接圆》专题练习试卷1. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，AC ＝10，AB ＝8，BC ＝9，点D ，E 分别为BC ，AC 上的点，且DE 为⊙O 的切线，则△CDE 的周长为（ ）A ．9B ．7C ．11D ．81题图 2题图 3题图2. 如图，AB 、AC 、BD 是⊙O 的切线，切点分别是P 、C 、D ．若AB ＝5，AC ＝3，则BD 的长是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13. 如图，△ABC 内接于圆，D 是BC 上一点，将∠B 沿AD 翻折，B 点正好落在圆点E 处，若∠C ＝50°，则∠BAE 的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．90°4．已知：如图，∠C ＝90°，内切圆O 分别与BC 、AC 相切于点D 、E ，判断四边形ODCE 的形状，并说明理由．4题图65．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠C ＝70°，点O 是△ABC 的内心，BO 的延长线交AC 于点D ，求∠BDC 的度数．5题图弧长和扇形面积题型：1. 已知正六边形的边长为8，则较短的对角线长为 ．2. 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O 其边长为2，则⊙O 的内接正三角形ACE 的边长为 ．2题图 5题图 3．一圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角是( )．A ．120° B．180° C．240° D．300°4．底面圆半径为3cm ，高为4cm 的圆锥侧面积是( )．A ．7.5π cm 2B ．12π cm 2C ．15πcm 2D ．24π cm 25．如图是两个半圆，点O 为大半圆的圆心， AB 是大半圆的弦关与小半圆相切，且AB =24．问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由．6．如图，若⊙O的周长为20πcm，⊙A、⊙B的周长都是4πcm，⊙A在⊙O内沿⊙O滚动，⊙B在⊙O外沿⊙O滚动，⊙B转动6周回到原来的位置，而⊙A只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？6题图参考答案1. C. 解析：设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M，CM＝x，根据切线长定理，得CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x．则有9﹣x+10﹣x＝8，解得：x＝5.5．所以△CDE的周长＝CD+CE+QF+DQ＝2x＝11．故选：C．1题图2. C. 解析：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP＝3，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝5﹣3＝2．故选：C．63. C. 解析：连接BE，如图所示：，由折叠的性质可得：AB＝AE，∴AB AE∴∠ABE＝∠AEB＝∠C＝50°，∴∠BAE＝180°﹣50°﹣50°＝80°．故选：C．Array3题图4. 解：四边形ODCE为正方形，理由如下：∵内切圆O分别与BC、AC相切于点D、E，∴OE⊥AC，OD⊥BC．∵∠C＝90°，∴四边形ODCE为矩形．又∵OD＝OE，∴四边形ODCE为正方形．5. 解：∵∠A＝60°，∠C＝70°，∴∠ABC＝50°，∵点O为△ABC的内心，∴∠DBC＝∠ABC＝25°，∵∠ACB＝78°，∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝180°﹣78°﹣25°＝77°．66弧长和扇形面积题型：1. 8. 解析：如图，六边形ABCDEF 是正六边形，连接BF ，作AH ⊥BF 于点H ，1题图根据题意可知：BF 为较短对角线，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴AB ＝AF ＝8，∠BAF ＝120°，∵AH ⊥BF ，∴∠BAH=12∠BAF ＝60°， ∴∠ABH ＝30°，∴AH=12AB ＝4， 根据勾股定理，得4，∴BF ＝2BH ＝8． 故答案为：8．2. 2. 解析：连接OB 交AC 于H ．2题图在正六边形ABCDEF 中，∵AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，6∴AB BC =，∴OB ⊥AC ，∴∠ABH ＝∠CBH ＝60°，AH ＝CH ，∴AH，∴AC ＝，故答案为．3. B. 解析：由得，∴．∴n ＝180°． 4. C. 解析：可求圆锥母线长是5cm ．∴圆锥的侧面积为：π×3×5=15π.5. 解：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连OB ，过O 作OC ⊥AB 于C 点，则AC=BC =12，∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，∴OC 为小圆的半径，∴S 阴影部分=S 大半圆-S 小半圆=12π•OB 2-12π•OC 2=12π（OB 2-OC 2）=12πAC 2=72π． 故答案为72π．5题图6. 解：∵圆O 的周长为20πcm ，∴圆O 的半径=10cm ，∵圆A 圆B 周长都是4πcm ，∴圆A 圆B 周长半径都是2，∴圆A 在圆O 内沿圆O 滚动半径是10﹣2=8，圆B 在圆O 外沿圆O 滚动半径是10+2=12∴要回到原来的位置，圆B 转动的周数=12÷2=6，圆A 转动的周数=8÷2=4．22rl r ππ=2l r =22180n r r ππ=。

2023年人教版数学中考复习考点专练——三角形的内切圆与内心一、单选题1．如图，⊙O内切于⊙ABC，切点为D，E，F，若⊙B=50°，⊙C=60°，连接OE，OF，DE，DF，⊙EDF等于（）A．45°B．55°C．65°D．70°2．下列命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．平行四边形的对角线互相垂直C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形3．如图，已知⊙ABC与⊙ACD都是直角三角形，⊙B=⊙ACD=90°，AB=4，BC=3，CD=12。

则⊙ABC的内切圆与⊙ACD的内切圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离4．如图，⊙ABC中，⊙C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与⊙ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（）A．8B．10C．12D．14 5．下列四个命题中，正确的个数是（）①经过三点一定可以画圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆；③三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤三角形的外心一定在三角形的外部．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 6．在⊙ABC 中，O 为内心，⊙A=80°，则⊙BOC=（ ）A ．140°B ．135°C ．130°D ．125° 7．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（ ）A ．2 ﹣2B ．2﹣C ﹣1D 8．有如下四个命题：（1）三角形有且只有一个内切圆；（2）四边形的内角和与外角和相等；（3）顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是菱形；（4）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形．其中真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（ ）A ．2B ．32CD ．10．如图，在 ABC ∆ 中， 60BAC ∠=︒ 其周长为20，⊙I 是 ABC ∆ 的内切圆，其半径为 ，则 BIC ∆ 的外接圆半径为（ ）A ．7B ．C ．2D 二、填空题11．在⊙ABC 中，⊙C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为 ．12．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切的半径为 ．13．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 ()68C ， ，点 I 是 ABC 的内心，将 ABC 绕原点顺时针旋转 90︒ 后， I 的对应点 I ' 的坐标是 ．14．从一个边长为 cm 的正三角形钢板上裁下一个面积最大的圆，则这个圆的半径是 cm ．15．若直角三角形的两边a 、b 是方程 27120x x -+= 的两个根，则该直角三角形的内切圆的半径r = ．三、解答题16．如图，在⊙ABC 中，⊙C=90°，⊙O 是⊙ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，若BD=6，AD=4，求⊙O 的半径r ．17．如图⊙ABC 内接于圆O ，I 是⊙ABC 的内心，AI 的延长线交圆O 于点D ．（1）求证：BD=DI ；（2）若OI⊙AD ，求AB AC BC+的值．18．如图，在⊙ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若⊙A=70°，求⊙FDE．19．如图，⊙ABC中，⊙C=90°，⊙O是⊙ABC的内切圆，D、E、F是切点．（1）求证：四边形ODCE是正方形；（2）如果AC=6，BC=8，求内切圆⊙O的半径．20．如图：在三角形ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径.21．如图，点E是⊙ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙ABC的外接圆⊙O 于点D，连接BD，过点D作直线DM，使⊙BDM=⊙DAC．（⊙）求证：直线DM是⊙O的切线；（⊙）求证：DE2=DF•DA．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】D11．【答案】212．13．【答案】(64)-，14．【答案】115．【答案】1或1 216．【答案】解：连接EO，FO，∵⊙O是⊙ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴OE⊙BC，OF⊙AC，BD=BE，AD=AF，EC=CF，又∵⊙C=90°，∴四边形ECFO是矩形，又∵EO=FO，∴矩形OECF是正方形，设EO=x，则EC=CF=x，在Rt⊙ABC中BC2+AC2=AB2故（x+6）2+（x+4）2=102，解得：x=2，即⊙O的半径r=2．17．【答案】（1）证明：∵点I 是⊙ABC 的内心 ∴⊙BAD=⊙CAD ，⊙ABI=⊙CBI∵⊙CBD=⊙CAD∴⊙BAD=⊙CBD∴⊙BID=⊙ABI+⊙BAD ，⊙BAD=⊙CAD=⊙CBD ， ∵⊙IBD=⊙CBI+⊙CBD ，∴⊙BID=⊙IBD∴ID=BD ；（2）解：连接OA 、OD 、BD 和BI ，∵OA=OD ，OI⊙AD∴AI=ID ，∵I 为⊙ABC 内心，∴⊙BAD=⊙BCD ，∴弧BD=弧CD ，∵弧CD=弧CD ，∴⊙BCD=⊙BAD ，∴⊙DBI=⊙BCD+⊙CBI=⊙CAD+⊙CBI ， =12（⊙BAC+⊙ACB ）， ∵⊙DIB=⊙DAB+⊙ABI=12（⊙BAC+⊙ABC ）， ∴⊙DIB=⊙DBI ，∴BD=ID=AI ，BD DC ∧∧=，故OD⊙BC ，记垂足为E ，则有BE=12BC ，作IG⊙AB于G，又⊙DBE=⊙IAG，而BD=AI，∴Rt⊙BDE⊙Rt⊙AIG，于是，AG=BE=12BC，但AG=12（AB+AC﹣BC），故AB+AC=2BC，∴AB ACBC=2．18．【答案】解：连接IE，IF，∵内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，∴⊙AEI=⊙AFI=90°，∵⊙A=70°，∴⊙EIF=110°，∴⊙FDE=55°．答：⊙FDE的度数为55°．19．【答案】（1）解：∵⊙O是⊙ABC的内切圆，∴OD⊙BC，OE⊙AC，又⊙C=90°，∴四边形ODCE是矩形，∵OD=OE，∴四边形ODCE是正方形.（2）解：∵⊙C=90°，AC=6，BC=8，∴AB= =10，由切线长定理得，AF=AE ，BD=BF ，CD=CE ， ∴CD+CE=BC+AC ﹣BD ﹣AE=BC+AC ﹣AB=4， 则CE=2，即⊙O 的半径为2．20．【答案】解：如图，作 AD BC ⊥ ，设 BD x = ，则 8CD x =- ，由勾股定理可知： 2222AB BD AC CD -=- ，则 ()2225498x x -=-- ，解得 52x = ，则 2AD = ，故 118222ABC S BC AD =⋅=⨯⨯= ， 由三角形的内切圆性质，可得： ()12ABC S r AB BC AC =++2ABC S r AB BC AC ∴===++ . 21．【答案】解：（⊙）如图所示，连接OD ， ∵点E 是⊙ABC 的内心，∴⊙BAD=⊙CAD ，∴BD = CD ，∴OD⊙BC ，又∵⊙BDM=⊙DAC ，⊙DAC=⊙DBC ， ∴⊙BDM=⊙DBC ，∴BC⊙DM ，∴OD⊙DM ，∴直线DM 是⊙O 的切线；（⊙）如图所示，连接BE ，∵点E 是⊙ABC 的内心，∴⊙BAE=⊙CAE=⊙CBD ，⊙ABE=⊙CBE ， ∴⊙BAE+⊙ABE=⊙CBD+⊙CBE ，即⊙BED=⊙EBD，∴DB=DE，∵⊙DBF=⊙DAB，⊙BDF=⊙ADB，∴⊙DBF⊙⊙DAB，∴DFDB=DBDA，即DB2=DF•DA，∴DE2=DF•DA．。

第 2章对称图形——圆第 3 课时三角形的内切圆知识点 1三角形内切圆的概念图2－ 5－ 211． [2021 ·广州 ] 如图 2－ 5－ 21，⊙O 是△ ABC 的内切圆，那么点 O 是△ ABC 的 () A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D ．三条高的交点知识点2三角形内切圆的应用2．教材练习第 1 题变式如图2－ 5－ 22，点 O 是△ ABC 的内心，∠A＝ 62°，那么∠ BOC ＝ ()A ． 59°B． 31°C． 124°D． 121°图2－ 5－ 22图2－ 5－ 233．如图 2－ 5－ 23，⊙ O 是△ ABC 的内切圆，与 AB ，BC，CA 分别切于点 D，E，F，∠DOE＝ 120°，∠ EOF ＝110°，那么∠ A＝ ______°，∠B＝ ______°，∠C＝ ______° .4．教材例 4 变式如图 2－5－ 24，⊙ O 是△ ABC 的内切圆，与边 BC， CA，AB 的切点分别为 D， E， F .假设∠ A＝ 70°，那么∠ EDF 的度数为 ________．5 ．△ ABC 的三边长分别为a， b， c，⊙ I 是△ ABC 的内切圆，半径为r，那么 S△ABC＝______________．6．直角三角形的三边长分别为3， 4， 5，那么这个三角形的内切圆半径是________．图2－ 5－ 24图2－ 5－ 257．如图 2－ 5－25，⊙ O 是边长为 2 的等边三角形ABC 的内切圆，那么⊙ O 的半径为________．8．如图 2－5－ 26，点 O 是△ ABC 的内切圆的圆心，假设∠ BAC＝80°，求∠ BOC的度数．图2－ 5－ 269．如图 2－ 5－ 27，I 是△ ABC 的内心，∠ BAC 的平分线和△ ABC 的外接圆相交于点 D， BD 与 ID 相等吗？为什么？图2－ 5－ 27图2－ 5－ 2810． [2021 ·河北 ] 如图 2－5－ 28 为 4× 4 的网格图，点 A ， B， C，D ，O 均在格点上，点 O 是 ()A．△ ACD 的外心B．△ ABC 的外心C．△ ACD 的内心D ．△ABC 的内心11． [2021 ·武汉 ]一个三角形的三边长分别为5， 7，8，那么其内切圆的半径为 () 33A. 2B.2C. 3D． 2 312．如图 2－ 5－ 29，在△ ABC 中， AB ＝ AC，⊙ O 是△ ABC 的内切圆，它与 AB ，BC，CA 分别相切于点 D ，E， F.(1)求证： BE ＝ CE；(2)假设∠ A ＝ 90°， AB ＝AC ＝ 2，求⊙ O 的半径．图2－ 5－ 2913．如图 2－ 5－ 30，在等腰三角形 ABC 中，AE 是底边 BC 上的高，点 O 在 AE 上，⊙ O 与AB ， BC 分别相切于点 D ，E.(1)⊙ O 是否为△ ABC 的内切圆？请说明理由；(2)假设 AB ＝ 5， BC＝ 4，求⊙ O 的半径．图2－ 5－ 3014．任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作?度量论?一书中给出了计算公式a ＋b ＋cp 〔 p －a 〕〔 p －b 〕〔 p － c 〕 (其中 a ，b ，c 是三角形的三边长 ，p ＝ ， 2S 为三角形的面积 )，并给出了证明．例如：在 Rt △ ABC 中， a ＝ 3， b ＝ 4， c ＝5，那么它的面积可以这样计算：∵ a ＝ 3， b ＝ 4， c ＝ 5，∴ p ＝ a ＋ b ＋ c ＝6， 2∴ S ＝ p 〔 p － a 〕〔 p － b 〕〔 p － c 〕＝ 6×3× 2× 1＝6. 事实上 ，对于三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．如图 2－ 5－ 31，在△ ABC 中， BC ＝ 5，AC ＝ 6， AB ＝ 9.(1) 用海伦公式求△ ABC 的面积；(2) 求△ ABC 的内切圆半径 r.图 2－ 5－ 31详解详析1．3． 5060704．55°[ 解析 ] 连接 OE，OF.∵∠ A ＝ 70°，⊙ O 与边 BC ，CA ，AB 的切点分别为D，E，F，∴∠ EOF＝180°－ 70°＝ 110°，∴∠ EDF ＝12∠ EOF＝ 55° .15.2r(a＋ b＋ c)6． 17．33[ 解析 ] 设⊙ O 与 BC 的切点为 D.连接 OC， OD.∵CA ， CB 都与⊙ O 相切，∴∠ OCD ＝∠ OCA ＝ 30°.1在 Rt△ OCD 中， CD ＝2BC ＝ 1，∠OCD ＝30°，3∴ OD ＝3 .8．解：∵∠ BAC ＝80°，∴∠ ABC ＋∠ ACB ＝ 180°－ 80°＝ 100° .∵点 O 是△ ABC 的内切圆的圆心，∴BO ， CO 分别平分∠ ABC ，∠BCA ，∴∠ OBC＋∠ OCB ＝ 50°，∴∠ BOC＝ 130° .9．解： BD ＝ ID.理由：连接BI.∵点 I 是△ ABC 的内心，∴∠ BAI ＝∠ CAI ，∠ ABI ＝∠ CBI ，︵︵∴BD ＝ CD ，∴∠ BAD ＝∠ DBC.∵∠ BID ＝∠ BAI ＋∠ ABI ，∠ IBD ＝∠ CBI ＋∠ DBC ，∴∠ IBD ＝∠ BID ，∴BD ＝ ID.10． B [ 解析 ] 由图可得OA ＝ OB＝OC，所以点 O 是△ ABC 的外心．应选 B. 11． C12．解： (1)证明：如图，连接 OB，OC， OE.∵⊙ O 是△ ABC 的内切圆，∴BO ， CO 分别平分∠ ABC ，∠ACB ，∴∠ OBC＝1∠ ABC ，∠ OCB＝1∠ ACB. 22∵ AB ＝ AC ， ∴∠ ABC ＝∠ ACB ，∴∠ OBC ＝∠ OCB ， ∴ OB ＝OC ，又∵⊙ O 与 BC 相切于点 E ，∴ OE ⊥ BC ， ∴ BE ＝ CE.(2) 如图，连接 OD ， OF.∵⊙ O 是△ ABC 的内切圆 ，切点分别为 D ， E ，F ，∴∠ ODA ＝∠ OFA ＝∠ A ＝ 90° .又∵ OD ＝OF ， ∴四边形 ODAF 是正方形．OD ＝ OE ， 在 Rt △ OBD 和 Rt △ OBE 中，OB ＝ OB ，∴△ OBD ≌△ OBE ，∴ BD ＝ BE ，同理 CE ＝ CF. 设 OD ＝ AD ＝ AF ＝ r ，那么 BE ＝ BD ＝ CF ＝ CE ＝ 2－ r. 在△ ABC 中， ∠ A ＝ 90°， ∴ BC ＝ AB 2＋AC 2＝2 2.又∵ BC ＝ BE ＋ CE ， ∴(2－ r) ＋(2 －r) ＝ 2 2，解得 r ＝ 2－2，∴⊙ O 的半径是 2－ 2.13． 解： (1)⊙ O 是△ ABC 的内切圆． 理由：∵⊙ O 与 AB 相切于点 D ，连接 OD ，那么 OD ⊥ AB 于点 D ，过点 O 作 OF ⊥AC 于点 F.∵ AE 是底边 BC 上的高 ，∴ AE 也是顶角∠ BAC 的平分线 ， ∴ OF ＝ OD ， ∴⊙ O 与 AC 相切于点 F. 又∵⊙ O 与 BC 相切，∴⊙ O 是△ ABC 的内切圆．(2) 连接 OB ， OC ，设⊙ O 的半径为 r. ∵ D ，E ， F 是切点 ，∴ OD ＝ OE ＝ OF ＝r.1由题意得 AB ＝ AC ＝ 5，EC ＝BE ＝ 2AB ＝ 2.在 Rt △ ABE 中 ， AE ＝ AB 2－ BE 2＝ 21，1 r(AC ＋ BC ＋ AB) ＝1AE ·BC ，∴ 22 解得 r ＝2 21.714． 解： (1)∵ BC ＝ 5， AC ＝ 6，AB ＝ 9， ∴ p ＝ BC ＋ AC ＋AB ＝ 5＋ 6＋9＝ 10，2 2∴ S ＝ p 〔 p － a 〕〔 p － b 〕〔 p － c 〕＝ 10×5× 4× 1＝ 10 2，故△ ABC 的面积 102.1(2) ∵ S ＝ 2r(BC ＋AC ＋ AB) ，12，∴ 10 2＝ r(5 ＋ 6＋ 9)，解得 r ＝2故△ ABC 的内切圆半径r＝ 2.。

九年级数学解题模型之三角形的内切圆与内心训练题一．选择题（共10小题）1．如图所示，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝6，BE＝4，CF＝8，则△ABC的周长为（）A．36B．38C．40D．422．如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（）A．19B．17C．22D．203．如图，⊙O是△ABC的内切圆，AB，AC分别与⊙O相切于D，E两点，已知AD＝1，BC＝7，则△ABC的周长为（）A．14B．C．16D．184．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为中线，若AB＝5，AC＝12，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1、r2，则的值为（）A．B．C．D．5．刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是（）A．d＝a+b﹣c B．C．D．d＝|（a﹣b）（c﹣b）|6．如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝3，BE＝2，CF＝4，则△ABC的周长为（）A．18B．17C．16D．157．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为中线，若AB＝6，AC＝8，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1，r2，那么的值为（）A．1B．C．D．8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，CF ＝4，则劣弧EF的长是（）A．2πB．4πC．8πD．16π9．如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠FDE＝α，则（AF+CD﹣AC）的值和∠A的大小分别为（）A．0，180°﹣2αB．r，180°﹣αC．D．10．如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，半径为r，EF是⊙O的切线，△AEF的内切圆⊙P切EF于点N，半径为，则＝（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题）11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，△ABC，△ADC，△DBC的内切圆半径分别记为r，r1，r2，若r1＝1，r2＝，则r＝．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝58°，△ABC的内切圆⊙O与AB，AC分别相切于点D，E，连接DE，BO的延长线交DE于点F，则∠BFD＝．13．如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分别为．14．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，内切圆⊙O半径为2，则图中阴影部分面积是．15．如图，在△ABC中，∠B＝70°，⊙O是△ABC的内切圆，M，N，K是切点，连接OA，OC．交⊙O于E，D两点．点F是上的一点，连接DF，EF，则∠EFD的度数是．16．下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O 和I分别为其中外心和内心，则OI2＝R2﹣2Rr．若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为cm．17．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分的面积为（结果保留π）．18．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于D，E两点，连接DE，AO的延长线交DE于点F，若∠ACB＝70°，则∠AFD的大小是．19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为的直径，AB＝2，BC＝4．若I为四边形ABCD 的内切圆圆心，则IO的长度为．20．如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F，且AB＝3，BC＝5，AC＝4，则CD ＝．三．解答题（共10小题）21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．（1）图1中三组相等的线段分别是CE＝CF，AF＝，BD＝；若AC ＝3，BC＝4，则⊙O半径长为；（2）如图2，延长AC到点M，使AM＝AB，过点M作MN⊥AB于点N．求证：MN是⊙O的切线．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是△ABC的内切圆，分别切边BC，AC，AB于点D，E，F．（1）求⊙O的半径．（2）若Q是Rt△ABC的外心，连接OQ，求OQ的长度．23．如图，⊙I是OABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DEF＝50°．求∠A的大小．24．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13．求AF，BD，CE的长．25．如图，△ABC中AB＝AC，D为AC边上一点，⊙I为△ABD内切圆，G、E、F为切点．（1）求证：BE＝CF；（2）若BD＝10，CD＝4，求BE的长．26．如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°．（1）若扇形的半径R＝3，求扇形AOB的面积S及图1中阴影部分的面积S阴；（2）在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形AOB的内切圆，如图2，若扇形AOB除去⊙O1剩余部分的面积为π，试求扇形的半径R．27．如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为F、G、H，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线．（1）若∠C＝40°，求∠AOB的度数；（2）若AC＝8，AB＝6，BC＝9，求△CDE的周长．28．如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠B＝90°．（1）若AB＝4，BC＝3，①求Rt△ABC外接圆的半径；②求Rt△ABC内切圆的半径；（2）连接AO并延长交BC于点D，若AB＝6，tan∠CAD＝，求此⊙O的半径．29．在△ABC中，∠C＝α，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均只有一个公共点，⊙O的半径为m，⊙P 的半径为n．（1）当α＝90°时，b＝6，a＝8时，m＝，n＝．（2）如图①，α＝90°，则m＝，n＝.（用含有a、b、c的代数式表示）；并求出△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示）（3）如图②，α＝60°，求出△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示）．30．如图，P是⊙O外一点，P A是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PB＝P A，射线PO交⊙O于C、D两点．（1）求证：AC平分∠P AB；（2）若⊙O的直径是6，，则点D与△P AB的内切圆上各点之间距离的最大值为．。