空间曲线的切线与法平面

空间曲线的切线与法平面方程练习题在微积分中，切线与法平面是研究曲线与曲面性质的重要工具。

本文将介绍关于空间曲线的切线与法平面方程练习题，并通过具体例子加深理解。

一、切线方程的求解1.求曲线（1,3,2）到曲线 $x^2-z=0$ 的切线方程。

解析：首先，将曲线 $x^2-z=0$ 的导数求出。

对 $x^2-z=0$ 求导得到 $\frac{dz}{dx}=-2x$。

然后，我们需要确定曲线上某点的坐标，以曲线（1,3,2）为例。

将点(1,3,2)代入$x^2-z=0$ 中得到 $1^2-2=0$，因此该点在曲线上。

接下来，我们可以计算切向量，即曲线的方向导数。

切向量为 $(1, \frac{dz}{dx})=(1, -2)$。

最后，我们可以使用点切式得到切线方程。

切线方程为$(x,y,z)=(1,3,2)+t(1,-2,0)$，其中 t 为参数。

2.求曲线 $\begin{cases} x=\cos t \\ y=\sin t \\ z=t/4 \end{cases}$ 在点$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\pi}{4})$ 处的切线方程。

解析：与上题类似，首先求曲线的切向量，在参数方程中导数即可得到，切向量为 $(\sin t, \cos t, \frac{1}{4})$。

然后，将点 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\pi}{4})$ 代入参数方程中，得到 $t=\frac{\pi}{4}$。

最后，使用点切式得到切线方程，即 $(x,y,z)=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\pi}{4})+t(\sin t, \cos t, \frac{1}{4})$，其中 t 为参数。

二、法平面方程的求解1.求曲面 $z=x^2+y^2$ 在点 (1,2,5) 处的法平面方程。

§14-6 空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线和法平面概念:曲线在某点切线及法平面. 光滑曲线.推导:已知:曲线Γ(光滑):⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x βα≤≤t),,(000z y x P 0t t = 取),,(000z z y y x x Q ∆+∆+∆+ 则割线 zz z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000 切线: )()()(0'00'00'0t z z z t y y y t x x x -=-=- 曲线Γ在P 处的切线向量:{}ρ)(),(),('''t z t y t x T =→法平面: 0))(())(())((00'00'0'=-+-+-z z t z y y t y x x t x例1:求曲线 t x 2=, 23-=t y , 22t t z -=在点(1)1=t (2))0,6,4(M 处的切线及法平面方程.(1) )1,1,2(1-↔=P t {}{}0,3,222,3,212=-==→t P t t T切线: 013122-=+=-z y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-013122z y x (严格表示) (2) 2)0,6,4(=↔t M {}{}{}1,6,122,12,222,3,222-=-=-==→t m t t T 切线:16614-=-=-z y x 法平面:0)6(6)4(=--+-z y x 即0406=--+z y x例2:求曲线Γ⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 在点)1,2,1(-M 处切线及法平面方程. 解: Γ的常数方程⎪⎩⎪⎨⎧===)()(x z z x y y x x {})(),(,1''x z x y T =→将⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 两边对x 求导⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+1dxdz dx dy x dx dz z dx dy y 代入法成代数法z y x z dx dy --= z y y x dx dz --= {}1,0,1,,1)1,2,1(-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-→dx dz dx dy T M 切线: 110211--=+=-z z x <说明> 法平面: 0)1()1(=---z x 即 0=-z x解二:见例3后二、空间曲面的切平面与法线概念：曲面在P 处的切平面及法线推导：（思路） 具连续偏导曲面∑ 0),,(=z y x F点P ),,(000z y x P 0t t =↔∑上过P 任一曲线Γ：)(t x x = )(t y y = )(t z z = 0t t P =↔Γ⇒过P 的切线向量{})(),(),(0'0'0't z t y t x T =→ “-” 另Γ代入∑ []0)(),(),(≡t z t y t x F对t 求导，0t t =0)(),,()(),,()(),,(0'000'0'000'0'000'=++t z z y x F t y z y x F t x z y x F z y t 于是，若记{}),,(),,,(),,,(000'000'000'z y x F z y x F z y x F n z y x =→存在且不全为0 →n 与→T 垂直2，Γ的任意性；→n 与Γ无关 仅与∑及P 有关故，→n 与∑上过P 的任意曲线的切线垂直⇒→n 是切平面法向量切平面：0))(,,())(,,())(,,(0000'0000'0000'=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x （曲面法向量： →n ）法线： ),,(),,(),,(000'0000'0000'0z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- 例3：求旋转抛物面122-+=y x z 在点P （2，1，4）的切平面，法线方程，关键法向量.设z y x z y x F --+=1),,(22 (隐←显){}{}{}1,2,41,2,2,,)4,1,2()4,1,2('''-=-==→y x F F F n z y x 切平面: 0)4()1(2)2(4=---+-z y x 即0624=--+z y x 法线: 142142--=-=-z y x 说明: 例2的解法二 思路 ～65P 例4作业: 79P 44 45(1) 46 47。

第六节 空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线与法平面设空间的曲线C 由参数方程的形式给出：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ,),(βα∈t ．设),(,10βα∈t t ,)(),(),((000t z t y t x A 、))(),(),((111t z t y t x B 为曲线上两点,B A ，的连线AB 称为曲线C 的割线,当A B →时,若AB 趋于一条直线,则此直线称为曲线C 在点A 的切线．如果)()()(t z z t y y t x x ===，，对于t 的导数都连续且不全为零即空间的曲线C 为光滑曲线,则曲线在点A 切线是存在的．因为割线的方程为也可以写为当A B →时,0t t →,割线的方向向量的极限为{})(),(),(000t z t y t x ''',此即为切线的方向向量,所以切线方程为)()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='-．过点)(),(),((000t z t y t x A 且与切线垂直的平面称为空间的曲线C 在点)(),(),((000t z t y t x A 的法平面,法平面方程为如果空间的曲线C 由方程为且)(),(0'0'x z x y 存在,则曲线在点)(),(,(000x z x y x A 的切线是法平面方程为如果空间的曲线C 表示为空间两曲面的交,由方程组 确定时,假设在),,(000z y x A 有0),(),(≠∂∂=Az y G F J ,在),,(000z y x A 某邻域内满足隐函数组存在定理条件,则由方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，在点),,(000z y x A 附近能确定隐函数有)(),(0000x z z x y y ==,),(),(1,),(),(1x y G F J dx dz z x G F J dx dy ∂∂-=∂∂-=;于是空间的曲线C 在 点),,(000z y x A 的切线是 即法平面方程为类似地,如果在点),,(000z y x A 有0),(),(≠∂∂Ay x G F 或0),(),(≠∂∂Ax z G F 时,我们得到的切线方程和法平面方程有相同形式;所以,当向量时,空间的曲线C 在),,(000z y x A 的切线的方向向量为r例 求曲线θθθb z a y a x ===,sin ,cos 在点()πb a ,0,-处的切线方程． 解 当πθ=时,曲线过点()πb a ,0,-,曲线在此点的切线方向向量为{}{}b a b a a ,,0|,cos ,sin -=-=πθθθ,所以曲线的切线方程为bt z z a t y y t x x )()(0)(000-=--=-． 即 b b z a y a x π-=-=+0． 二、空间曲面的切平面与法线设曲面S 的一般方程为取),,(0000z y x P 为曲面S 上一点,设),,(z y x F 在),,(0000z y x P 的某邻域内具有连续偏导数,且0),,(),,(),,(000200020002≠++z y x F z y x F z y x F z y x ;设c 为曲面S 上过),,(0000z y x P 的任意一条光滑曲线：设)(),(),(000000t z z t y y t x x ===,我们有 上式对t 在0t t =求导得到因此,曲面S 上过),,(0000z y x P 的任意一条光滑曲线c 在),,(0000z y x P 点的切线都和向量 垂直,于是这些切线都在一个平面上,记为α,平面α就称为曲面S 在),,(0000z y x P 的切平面,向量n称为法向量;S 在),,(0000z y x P 的切平面方程是过点),,(0000z y x P 且与切平面α垂直的直线称为曲面S 在),,(0000z y x P 点法线,它的方程为 设曲面S 的方程为若),,(z y x F 在S 有连续偏导数且0),,(),,(),,(000200020002≠++z y x F z y x F z y x F z y x ,则称S 是光滑曲面;由上面讨论可以知道光滑曲面有切平面和法线;若曲面S 的方程的表示形式为 ),(y x f z =,这时,容易得到S 在),,(0000z y x P 的切平面方程为 法线方程为我们知道,函数),(y x f z =在点),(00y x 可微,则由Taylor 公式知))()((0))(,())(,(),(),(202000000000y y x x y y y x f x x y x f y x f y x f y x -+-+-+-=-也就是说,函数),(y x f z =在点),(00y x 附近可以用S 在),,(0000z y x P 的切平面近似代替,误差为2020)()(y y x x -+-的高阶无穷小;若曲面S 的方程表示为参数形式设),(),,(),,(000000000v u z z v u y y v u x x ===,),,(0000z y x P 为曲面上一点;假设在),,(0000z y x P 有0),(),(0≠∂∂=P v u y x J ,在),,(0000z y x P 某邻域内满足隐函数组存在定理条件,则由方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x ，在点),,(0000z y x P 附近能确定隐函数即x 和y 的逆映射 满足),(),,(000000y x v v y x u u ==;于是,曲面S 可以表示为由方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x ，两边分别同时对y x ,求偏导得到故所以,S 在),,(0000z y x P 的切平面方程为 法线方程为例 求曲面zxy z ln+=在点)1,1,1(的切平面和法线方程; 解 曲面方程为0ln ),,(=-+=z zxy z y x F ,易得}2,1,1{-=→n切面方程为 即02=-+z y x . 法线方程为习题1．求曲线t a z t a a y t a a x sin ,cos sin ,cos cos ===在点0t t =处的切线和法平面方程．2．求曲线⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 在点)1,2,1(-处的切线和法平面方程．3．求曲面xy z arctan =在点)4/,1,1(π的切平面和法线方程;4;证明曲面)0(3>=a a xyz 上任意一点的切平面与坐标面形成的四面体体积为定值;5．证明曲面)(xy xf z =上任意一点的切平面过一定点;第七节 极值和最值问题一、无条件极值与一元函数极值类似,我们可以引入多元函数的极值概念;定义 n 元函数),,,(21n x x x f 在点),,,(002010n x x x P 的一个邻域⊂)(0P U n R 内有定义;若对任何点)(),,,(021P U x x x P n ∈ ,有)()(0P f P f ≥或)()(0P f P f ≤则称n 元函数),,,(21n x x x f 在),,,(002010n x x x P 取得极大或极小值, ),,,(002010n x x x P 称为函数),,,(21n x x x f 的极大或极小值点;极大值和极小值统称为极值,极大值点和极小值点统称为极值点;类似一元函数,我们称使得n 元函数),,,(21n x x x f 的各个一阶偏导数同时为零的点为驻点;我们有如下定理;定理 若),,,(002010n x x x P 为n 元函数),,,(21n x x x f 的极值点,且),,,(21n x x x f 在),,,(002010n x x x P 的一阶偏导数存在,则),,,(002010n x x x P 为n 元函数),,,(21n x x x f 的驻点;证 考虑一元函数)2,1)(,,,,()(001n i x x x f x ni i ==φ,则i x 是)(i x φ的极值点,Fermat 马定理告诉我们,可导函数在极值点的导数是零,于是和一元函数类似,反过来,驻点不一定是极值点;而偏导数不存在的点也有可能是极值点;判断多元函数的极值点要比一元函数复杂的多,下面我们仅对二元函数不加证明给出一个判别定理;定理 若),(000y x P 为二元函数),(y x f 的驻点,且),(y x f 在),(000y x P 的一个邻域⊂)(0P U 2R 中有二阶连续偏导数;令2B AC CB B A Q -==,则（1） 当0>Q 时,若0>A ,),(y x f 在),(000y x P 取极小值；若0<A ,),(y x f 在),(000y x P 取极大值；（2） 当0<Q 时,),(y x f 在),(000y x P 不取极值；（3） 当0=Q 时,),(y x f 在),(000y x P 可能取极值,也可能不取极值; 例 求函数)6(32y x y x z --=的极值; 解 解方程组得驻点为)3,2(0P 及直线0,0==y x 上的点;对)3,2(0P 点有0,144,108,1622>--=-=-=B AC C B A ,于是函数z 在)3,2(0P 取积大值108)(0=P z ; 容易判断,满足条件⎩⎨⎧<<=600y x 的点为函数z 的极小值点,极小值为0；满足条件的⎩⎨⎧<=00y x 和⎩⎨⎧>=6y x 的点为函数z 的极大值点,极大值为0; 一、 最值问题在社会生产各个领域我们都会遇上最值问题,即如何用最小的成本获取最大利益的问题,这些问题一般都可以归结为求某一函数在某一范围内的最大值和最小值的问题;我们称使得函数取得最大值和最小值的点为函数的最大值点和最小值点,统称为最值点；函数的最大值和最小值统称为最值;1、 一元函数设)(x f y =是定义在闭区间],[b a 上的连续函数,则)(x f 在],[b a 上一定有最大值和最小值;区间的两个端点a 和b 可能成为其最值点,而如果最值点在开区间),(b a 取得的话,则一定是)(x f 的极值点,即是)(x f 的驻点或是使导数)('x f 不存在的点;假设)(x f 的所有驻点是11211,,k x x x ,使导数)('x f 不存在的点是22221,,m x x x ,那么例 求抛物线x y 22=上与)4,1(最近的点;解 设),(y x 是抛物线x y 22=上的点,则),(y x 与)4,1(的距离是考虑函数2)(d y f =,由0)('=y f ,得到唯一驻点2=y ,于是抛物线x y 22=上与)4,1(最近的点是)2,2(2、多元函数类似一元函数,n 元函数),,,(21n x x x f 的最值问题就是求),,,(21n x x x f 在某个区域⊂D n R 上的最大值和最小值,我们只需求出),,,(21n x x x f 在D 内部的所有极值和边界上最值,从中比较就可以选出),,,(21n x x x f 在D 上的最值;例 求平面42=++z y x 与点)2,0,1(-的最短距离;解 设),,(z y x 是平面42=++z y x 上的点,则),,(z y x 与)2,0,1(-的距离是 考虑函数2),(d y x f =,由0,0'==y x f f ,得到唯一驻点)3/5,6/11(,于是平面42=++z y x 与点)2,0,1(-的最短距离是665)3/5,6/11(=d 三、条件极值问题和Lagrange 乘子法前面我们研究的极值和最值问题都是直接给出一个目标函数n 元函数),,,(21n x x x f ,然后求其极值或最值,是无条件极值问题,但是,更多的极值和最值问题是有约束条件的,即条件极值问题;一般来说,条件极值问题是指：求目标函数n 元函数),,,(21n x x x f y =在一组约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<===)(,0),,(0),,(0),,(21212211n m x x x G x x x G x x x G n m nn 下的极值; 我们可以尝试对上面方程组用消元法解出m 个变量,从而转化为上一节的无条件极值问题来解决,但是,消元法往往比较困难甚至是不可能的,所以,我们需要给出一种新的方法来求条件极值;下面我们介绍拉格朗日乘子法;我们以二元函数为例来说明,即：求目标函数),(y x f z =在一个约束条件0),(=y x F 限制下的极值问题;假设点),(000y x P 为函数),(y x f z =在条件0),(=y x F 下的极值点,且0),(=y x F 满足隐函数存在定理的条件,确定隐函数)(x g y =,则0x x =是一元函数))(,(x g x f z =的极值点;于是 由隐函数存在定理得到 令λ=),(),(0000y x F y x f y y ,于是极值点),(000y x P 需要满足三个条件：因此,如果我们构造拉格朗日函数其中,λ称为拉格朗日乘子,则上面三个条件就是也就是说我们讨论的条件极值问题转化为拉格朗日函数的无条件极值问题;用这种方法去求可能的极值点的方法,称为拉格朗日乘子法;类似地,求目标函数n 元函数),,,(21n x x x f y =在一组约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<===)(,0),,(0),,(0),,(21212211n m x x x G x x x G x x x G n m nn 下的极值时,我们可以构造相应的拉格朗日函数为于是,所求条件极值点满足方程组例横断面为半圆形的圆柱形的张口浴盆,其表面积等于S ,问其尺寸怎样时,此盆有最大的容积解 设圆半径为r ,高为h ,则表面积)0,0)((2>>+=h r rh r S π,容积h r V 221π=; 构造拉格朗日函数 解方程组 得到ππ32,300S h S r ==,这时33027πS V =; 由实际情况知道,V 一定达到最大体积,因此,当00232r Sh ==π时,体积最大; 习题1． 求函数xy y x z 333-+=的极值; 2． 求函数22442y xy x y x z ---+=的极值; 3．求椭圆4422=+y x 上与)0,1(最远的点 4．求平面1=-+z y x 与点)1,1,2(-的最短距离; 5．求曲面12+=xy z 上与)0,0,0(最近的点6．已知容积为V 的开顶长方浴盆,问其尺寸怎样时,此盆有最小的表面积7．求用平面0=++Cz By Ax 与椭圆柱面12222=+by a x 相交所成椭圆的面积;第八节 导数在经济学中的应用一、导数的经济意义 1．边际函数定义 设函数)(x f y =可导,则导函数)('x f 在经济学中称为边际函数; 在经济学中,我们经常用到边际函数,例如：边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数等等,它们都是表示一种经济变量相对于另一种经济变量的变化率问题,都反映了导数在经济学中的应用;成本函数)(x C 表示生产x 个单位某种产品时的总成本;平均成本函数)(x c 表示生产x个单位某种产品时,平均每个单位的成本,即xx C x c )()(=;边际成本函数是成本函数)(x C 相对于x 的变化率,即)(x C 的导函数)('x C ;由微分近似计算公式我们知道令1=∆x ,我们有)()1()('x C x C x C -+≈,也就是说,边际成本函数)('x C 可以近似表示已经生产x 个单位产品后再生产一个产品所需要的成本;在生产中,我们当然希望平均成本函数)(x c 取得极小值,这时,我们可以得到0)('=x c即则0)()('=-x C x xC ,于是我们得到)()('x c x C =;因此,平均成本函数)(x c 取得极小值时,边际成本函数和平均成本函数相等;这在经济学中是一个重要原则,就是说在生产中,当边际成本函数低于平均成本函数时,我们应该提高产量,以降低平均成本；当边际成本函数高于平均成本函数时,我们应该减少产量,以降低平均成本; 例 设某种产品生产x 个单位时的成本为21.02250)(x x x C ++=;求（1） 当生产产品100单位时的边际成本和平均成本； （2） 当生产产品数量为多少时平均成本最低; 解 1边际成本函数和平均成本函数为 于是,5.14)100(,22)100('==c C2平均成本函数)(x c 取得极小值时,边际成本函数和平均成本函数相等,即 因此,当生产产品数量为50时平均成本最低; 类似边际成本函数我们可以讨论其它边际函数;需求函数)(x p 表示销售x 单位某种产品时的单个产品的价格;那么,)(x p 是x 的单调减少函数;收益函数是)()(x xp x R =,边际收益函数是)('x R ;利润函数是 边际利润函数是)('x P ;当利润函数取极大值时,0)()()('''=-=x C x R x P ,于是,)()(''x C x R =,也就是说取得最大利润的必要条件是边际利润等于边际成本;为了保证取得最大利润还需要下面条件即)()(''''x C x R <;所以,当)()(''x C x R =且)()(''''x C x R <时取得最大利润;例设某种产品生产x 个单位时的成本为320003.001.028.127)(x x x x C +-+=,需求函数x x p 01.028.10)(-=;当生产产品数量要达到多大时可以取得最大利润 解 收益函数是 由)()(''x C x R =得到 我们得到100=x ;容易验证对任意0>x 有)()(''''x C x R <;所以,当生产产品数量达到100单位水平可以取得最大利润;2．弹性在经济学中我们常常用到弹性的概念,弹性也是一种变化率问题,与导数概念密切相关;定义 设函数)(x f y =在点0x 可导,则称00x x yy ∆∆为函数)(x f y =在点0x 与x x ∆+0两点间的弹性；称00x x yy ∆∆在0→∆x 时的极限为函数)(x f y =在点0x 的弹性,记为x x ExEy =或)(0x f ExE即如果)(x f y =在),(b a x ∈可导,相应地,我们可以给出),(b a 上弹性函数的定义当x 很小时,我们有近似计算公式也就是说,函数的弹性是函数的相对改变量与自变量相对改变量之比,上式表示当x 从0x 产生001的改变时, )(x f y =改变000)(x f ExE需求函数)(p f Q =表示在价格为p 时,产品的需求量为Q ;需求函数)(p f Q =是单调减少函数,)(p f Q =的反函数也称为需求函数,就是我们前面提到的需求函数)(x p ;需求函数)(p f Q =对价格p 的导数称为边际需求函数;需求函数)(p f Q =的弹性为由于)(p f Q =是单调减少函数,因此0≤EpEf; 收益函数)()(p pf pQ p R ==,于是令EpEfE d =,我们有 若1<d E ,则需求变动幅度小于价格变动幅度,称为低弹性,这时,0)('>p R ,)(p R 是单调增加函数;也就是说当价格上涨时收益增加, 当价格下跌时收益减少;若1>d E ,则需求变动幅度大于价格变动幅度,称为高弹性,这时,0)('<p R ,)(p R 是单调减少函数;也就是说当价格上涨时收益减少, 当价格下跌时收益增加;若1=d E ,则需求变动幅度和价格变动幅度相同,称为单位弹性,这时,0)('=p R ;也就是说当价格改变时,收益没有变化;类似上面对需求弹性的研究,我们也可以讨论供给弹性;供给函数)(p Q ϕ=是指商品生产商的供给量Q 与价格p 之间的关系函数;)(p Q ϕ=是单调增加函数;边际供给函数是)(p Q ϕ=对价格p 的导数,供给弹性函数是例 设某种产品的需求函数为p Q 5100-=,其中价格)20,0(∈p ; 1求需求函数Q 的弹性EpEQ； 2用需求弹性说明价格在什么范围变化时,降低价格反而使收益增加; 解 1需求函数Q 的弹性20-=p pEp EQ ; 2容易得到当2010<<p 时,1>=EpEQE d ,这时,0)('<p R ,当价格下跌时收益增加;二、其它应用举例导数在经济学中有很多应用,下面举一些例题说明;首先,我们考虑连续复利率问题;假设初始资金为0A ,如果年利率为r ,那么,t 年后资金为t r A t A )1()(0+=;通常情况下是一年多次计息,假设一年n 次计息,那么 我们这里是连续复利率计算问题,令∞→n 得到 于是,我们得到连续复利率计算公式rt e A t A 0)(=;例某企业酿造了一批好酒,如果现在就出售,总收入为0R ,如果贮藏起来,t 年后出售,收入为520)(t eR t R =;如果银行年利率为r ,并且以连续复利率计算,问贮藏多少年后出售可以使收入的现值最大;解 由连续复利率计算公式,t 年后的总收入)(t R 的现值)(t X 为 由0)('=t X 得,2251r t =年;故贮藏2251r年出售,总收入的现值最大; 下面,我们再举一个其它应用题;例 某企业生产某型号仪器,年产量A 台,分几批生产,每批生产准备费为B 元,假设产品均匀投入市场,且上一批用完后立即生产下一批,平均库存量为批量的一半;设每年一台仪器的库存费为C 元;问如何选择批量,使一年中库存费与准备费之和最小;解 设批量为x 台,则库存费为C x 2,每年生产的批数为xA,生产准备费为B x A ,于是总费用为 令0)('=x f ,得到CABx 2=; 因此,批量为CABx 2=台时,一年中库存费与准备费之和最小; 多元函数的偏导数在经济学中也有非常广泛的应用;n 元函数),,,(21n x x x f y =的偏导数),,2,1)(,,(21n i x x x f x n i=∂∂称为对i x 的边际函数;我们可以类似一元函数引入边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数等等;我们还可以类似一元函数引入函数的偏弹性概念;这里不再一一详细叙述;下面我们举几个多元函数应用题;例 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品,两个市场的需求函数分别是其中1p 和2p 为售价,1Q 和2Q 为销售量;总成本函数为1如果该企业实行价格差别策略,试确定两个市场上该产品的销售量和价格,使该企业获得最大利润；2如果该企业实行价格无差别策略,试确定两个市场上该产品的销售量和统一的价格,使该企业总利润最大化；并比较两种策略下的总利润大小;解 1总利润函数是 由得5,421==Q Q ,这时7,1021==p p ;因为这是一个实际问题,一定存在最大值,且驻点唯一,因此当7,1021==p p 时,取得最大利润（3） 若实行价格无差别策略,则21p p =,即有约束条件 构造拉格朗日函数 由得2,4,521===λQ Q ,这时821==p p ; 最大利润因此,企业实行价格差别策略所得利润要大于实行价格无差别策略的利润;例 假设某企业通过电视和报纸作广告,已知销售收入为 其中x 万元和y 万元为电视广告费和报纸广告费; 1在广告费用不限的情况下求最佳广告策略； 2如果广告费用限制为万元,求相应广告策略; 解 1利润函数为 由得到唯一驻点1,5.1==y x ;这时最大利润为41)1,5.1(=P 万元2构造拉格朗日函数为 由得到唯一驻点5.1,0==y x ;这时最大利润为39)5.1,0(=P 万元习题1．设某种产品生产x 个单位时的成本为230040000)(x x x C ++=;求 1当生产产品1000单位时的边际成本和平均成本； 2当生产产品数量为多少时平均成本最低;2．设某种产品生产x 个单位时的成本为32001.0361450)(x x x x C +-+=,需求函数x x p 01.060)(-=;当生产产品数量要达到多大时可以取得最大利润 3．设某种产品的需求函数为5p e Q -=,求6=p 时的需求弹性； 4． 设某种产品的需求函数为p Q 2100-=讨论其弹性的变化; 5;某产品的总收益函数和成本函数分别是 厂商追求最大利润,政府对产品征税,求：1求产品产量和价格为多少时,厂商能取得税前最大利润； 2征税收益的最大值及此时的税率； 3厂商纳税后的最大利润;6．假设某厂家在两个相互分割的市场上出售同一种产品,两个市场的需求函数分别是其中1p 和2p 为售价,1Q 和2Q 为销售量;总成本函数为试确定两个市场上该产品的销售价格,使该企业获得最大利润;第九节 曲率所谓曲率就是用来描述曲线的弯曲程度的．线有直线和非直线,如果一个人沿着直线行走,他不需要转动方向；但如果他沿着一条非直线行走时,他在每一点行进的方向是曲线的切线方向．因而他在每一点行进的方向大多是不一样的．人移动时,他要转动方向．当曲线的弯曲程度大一点时,人走相同的距离目光的转向要大一点．在直线上转向是没有的．因而我们就用曲线上单位距离切线方向即目光方向的转动角度来刻画曲线的弯曲程度．设光滑曲线方程为()x f y =,()b a x ,∈,()b a x x ,,21∈,()()111,x f x P ,()()222,x f x P 是曲线上的两点．当弧21P P 很小时,可以用21P P 的直线距离来近似．设曲线在点21,P P 的切线与x 轴正向的夹角分别是ααα∆+,,则()()()21tan ,tan x f x f '=∆+'=ααα,所以()()()21arctan ,arctan x f x f '=∆+'=ααα．而()()()()21221221x f x f x x P P -+-=,这时有1212limP P x x α∆→是刻画曲线在点1x 的弯曲程度的,通常记为k ． 定义 若函数()x f y =具有两阶连续的导数,则曲线上单位长度的切线转动 称为函数()x f y =的曲率．显然曲率0≥k ．例 求抛物线c bx ax y ++=2的曲率． 解：b ax y +='2,a y 2='', 所以曲率为()()232212b ax ak ++=．显然当02=+b ax 时,k 最大． 即在abx 2-=对称轴处,曲线弯曲程度最大． 例 求直线b kx y +=的曲率． 解：因为k y =',0=''y , 所以0=k ．即直线没有弯曲．上面这种方法是对显函数而言的．如果曲线有参数方程()()⎩⎨⎧==t y y t x x 给出,求曲率的过程可以如下进行．先求()()t x t y dx dy ''=,()()()()()()322t x t y t x t x t y dx dy dx d dx y d ''''-'''=⎪⎭⎫ ⎝⎛=,代入前面求曲率的公式,得到()()()()()()()2322t y t x t y t x t x t y k '+''''-'''=．例 求半径为R 的圆的曲率． 解：可设圆方程为⎩⎨⎧==θθsin cos R y R x ,则θsin R x -=',θcos R y ='； θcos R x -='',θsin R y -=''；代入上面的公式,得()()()RR R R R R R k 1sin cos sin sin cos cos 2322=+⋅-⋅-=θθθθθθ． 即圆的弯曲程度是其半径的倒数．R 越大,曲率越小．为此我们一般曲线上任意一点可以用一个圆弧来表示．相比较着一点的曲率的倒数,即k1称为该点的曲率半径,也就是说,该点的弯曲程度与半径为k1的圆的弯曲程度接近．此时在该点的法线上的的一侧一点Ｏ,使得k OP 1=,点Ｏ称为曲率中心．以O 为圆心,k1为半径的圆称为P 点的曲率圆．下面考虑隐函数曲率的求法．求隐函数的曲率,关键在于求y y ''',．举一个例子．例 求曲线12222=+b y a x ()0,0>>b a 上一点的曲率．解：对12222=+by a x 两边对x 求导,得到0121222='+y by a x． 所以 ya xb y 22-='．又对0121222='+y by a x两边对x 求导,得到 01212122222=''+'+y by y b a ． 所以32422223242244221y a b a x b y y a b y x a b a b y y =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='', ()()232424442321xb y ab a y y k +='+''=．特别地,当R b a ==时,Rk 1=． 最后介绍极坐标系下,曲线的曲率的求法． 例 求阿基米德螺线θa r =的曲率．解：因为θθθcos cos a r x ==,θθθsin sin a r y ==,所以θθθsin cos a a x -=',θθθcos sin a a y +='． θθθcos sin 2a a x --='',θθθsin cos 2a a y --=''． 代入公式()()()()()()()2322t y t x t y t x t x t y k '+''''-'''=,得()()232223222222122θθθθ++=++=a a aa a k ．曲率半径为k1．。

空间曲线的切线与法平面掌握空间曲线的切线与法平面的计算方法空间曲线是三维几何中的重要概念，理解和掌握空间曲线的切线与法平面的计算方法对于解决相关问题具有关键作用。

本文将介绍空间曲线的定义以及切线与法平面的计算方法，帮助读者更好地理解和应用。

一、空间曲线的定义空间曲线是三维空间中的曲线，由于其存在弯曲和变化的特性，我们需要研究曲线上某一点的切线方向和曲线在该点的法平面。

切线与法平面是通过对曲线在该点的局部线性逼近得到的，具体计算方法如下。

二、切线的计算方法在空间曲线上选择一点P，我们想要求解此点处的切线方向。

切线的计算方法如下：1. 首先，我们需要确定曲线上该点的参数方程形式。

假设曲线的参数方程为x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)，其中t为参数。

2. 然后，我们需要求解参数方程在该点的导数。

将参数t代入参数方程中，得到此点处的切向量，即曲线在该点的切线方向。

切向量的表示形式为T = (x'(t), y'(t), z'(t))。

3. 最后，我们可以得到切线的方向向量。

对切向量进行归一化处理，得到的单位向量即为切线的方向向量。

通过以上计算过程，我们可以得到空间曲线在选定点处的切线方向，从而进一步分析曲线的性质和特点。

三、法平面的计算方法在空间曲线上选择一点P，我们想要求解此点处的法平面。

法平面与切线垂直，并与曲线在该点的切线相切。

法平面的计算方法如下：1. 首先，我们需要确定曲线上该点的参数方程形式，与求解切线相同。

2. 然后，我们可以先求解切线的方向向量T。

3. 接着，我们需要找到与切线方向向量垂直的向量N。

可以通过以下方法得到：a. 找到切线方向向量与任意向量都垂直的向量V。

b. 通过向量叉乘的方式，得到N = T × V。

4. 最后，我们需要找到一个过该点的平面，且法向量为N。

这个平面即为法平面。

通过以上计算过程，我们可以得到空间曲线在选定点处的法平面，从而进一步分析曲线的性质和特点。

空间曲线的切线与法平面在几何学中，空间曲线是指在三维空间中描述的曲线。

当我们想要解析描述曲线上某一点的性质时，切线和法线是重要的概念。

切线是曲线上的一条直线，与曲线在该点处相切；而法平面是与切线垂直的平面。

本文将探讨空间曲线的切线与法平面的概念、性质及应用。

一、切线的定义和性质在平面几何中，我们已经熟悉了曲线的切线的概念和性质。

在三维空间中，切线的定义稍有不同，但总体思路是一致的。

对于空间曲线上的点P，曲线在该点处有且仅有一条直线与曲线相切，这条直线就是切线。

切线具有以下性质：1. 切线在曲线上的位置：切线与曲线在点P处相切，即切线与曲线有公共点。

2. 切线的方向：切线的方向与曲线在该点的切向量（或切矢）方向一致。

切向量的方向可以通过曲线在该点处的导数来确定。

3. 切线的斜率：切线的斜率等于曲线在该点处的导数值。

具体计算切线的斜率可以通过求取曲线在该点处的切向量的斜率。

4. 切线的直线方程：通过切线上的一点和切线的方向向量，可以得到切线的直线方程。

二、法平面的定义和性质与切线相对应的是法平面，它是与切线垂直的平面。

法平面的定义和性质如下：1. 法平面的法向量：法平面的法向量与切线的方向向量垂直，即它们的内积为零。

法向量的方向可以通过求取切线方向向量的垂直向量来确定。

2. 法平面的方程：通过法平面上的一点和法平面的法向量，可以得到法平面的方程。

3. 法平面与切线的关系：切线在曲线上的位置决定了法平面与曲线的交点。

曲线在某一点上的切线与该点上的法平面有公共点。

三、切线和法平面的应用切线和法平面的概念在几何学、微积分以及物理学等领域有着广泛的应用。

1. 几何学中的应用：切线和法平面的概念可以用于求解空间曲线的性质，如拐点、凸凹性等。

此外，在计算曲线与平面的交点时，也需要用到切线和法平面的概念。

2. 微积分中的应用：切线和法平面的概念是微积分中重要的工具。

通过求取曲线在某一点处的切线斜率，可以得到函数在该点处的导数值。

第六节空间曲线的切线与空间曲面的切平面之阿布丰王创作一、空间曲线的切线与法平面设空间的曲线C 由参数方程的形式给出：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ,),(βα∈t ．设),(,10βα∈t t ,)(),(),((000t z t y t x A 、))(),(),((111t z t y t x B 为曲线上两点,B A ，的连线AB 称为曲线C 的割线,那时A B →,若AB 趋于一条直线,则此直线称为曲线C 在点A 的切线．如果)()()(t z z t y y t x x ===，，对t 的导数都连续且不全为零（即空间的曲线C 为光滑曲线）,则曲线在点A 切线是存在的．因为割线的方程为也可以写为那时A B →,0t t →,割线的方向向量的极限为{})(),(),(000t z t y t x ''',此即为切线的方向向量,所以切线方程为)()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='-． 过点)(),(),((000t z t y t x A 且与切线垂直的平面称为空间的曲线C 在点)(),(),((000t z t y t x A 的法平面,法平面方程为如果空间的曲线C 由方程为且)(),(0'0'x z x y 存在,则曲线在点)(),(,(000x z x y x A 的切线是法平面方程为如果空间的曲线C 暗示为空间两曲面的交,由方程组确按时,假设在),,(000z y x A 有0),(),(≠∂∂=Az y G F J ,在),,(000z y x A 某邻域内满足隐函数组存在定理条件,则由方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，在点),,(000z y x A 附近能确定隐函数 有)(),(0000x z z x y y ==,),(),(1,),(),(1x y G F J dx dz z x G F J dx dy ∂∂-=∂∂-=.于是空间的曲线C 在点),,(000z y x A 的切线是即法平面方程为类似地,如果在点),,(000z y x A 有0),(),(≠∂∂A y x G F 或0),(),(≠∂∂Ax z G F 时,我们获得的切线方程和法平面方程有相同形式.所以,当向量时,空间的曲线C 在),,(000z y x A 的切线的方向向量为r例6.32 求曲线θθθb z a y a x ===,sin ,cos 在点()πb a ,0,-处的切线方程．解 那时πθ=,曲线过点()πb a ,0,-,曲线在此点的切线方向向量为 {}{}b a b a a ,,0|,cos ,sin -=-=πθθθ,所以曲线的切线方程为bt z z a t y y t x x )()(0)(000-=--=-．即 b b z a y a x π-=-=+0．二、空间曲面的切平面与法线设曲面S 的一般方程为取),,(0000z y x P 为曲面S 上一点,设),,(z y x F 在),,(0000z y x P 的某邻域内具有连续偏导数,且0),,(),,(),,(000200020002≠++z y x F z y x F z y x F z y x .设c 为曲面S 上过),,(0000z y x P 的任意一条光滑曲线：设)(),(),(000000t z z t y y t x x ===,我们有上式对t 在0t t =求导获得因此,曲面S 上过),,(0000z y x P 的任意一条光滑曲线c 在),,(0000z y x P 点的切线都和向量垂直,于是这些切线都在一个平面上,记为α,平面α就称为曲面S 在),,(0000z y x P 的切平面,向量n称为法向量.S 在),,(0000z y x P 的切平面方程是过点),,(0000z y x P 且与切平面α垂直的直线称为曲面S 在),,(0000z y x P 点法线,它的方程为 设曲面S 的方程为若),,(z y x F 在S 有连续偏导数且0),,(),,(),,(000200020002≠++z y x F z y x F z y x F z y x ,则称S 是光滑曲面.由上面讨论可以知道光滑曲面有切平面和法线.若曲面S 的方程的暗示形式为 ),(y x f z =,这时,容易获得S 在),,(0000z y x P 的切平面方程为法线方程为我们知道,函数),(y x f z =在点),(00y x 可微,则由Taylor 公式知 ))()((0))(,())(,(),(),(202000000000y y x x y y y x f x x y x f y x f y x f y x -+-+-+-=-也就是说,函数),(y x f z =在点),(00y x 附近可以用S 在),,(0000z y x P 的切平面近似取代,误差为2020)()(y y x x -+-的高阶无穷小.若曲面S 的方程暗示为参数形式设),(),,(),,(000000000v u z z v u y y v u x x ===,),,(0000z y x P 为曲面上一点.假设在),,(0000z y x P 有0),(),(0≠∂∂=P v u y x J ,在),,(0000z y x P 某邻域内满足隐函数组存在定理条件,则由方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x ，在点),,(0000z y x P 附近能确定隐函数（即x 和y 的逆映射） 满足),(),,(000000y x v v y x u u ==.于是,曲面S 可以暗示为由方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x ，两边分别同时对y x ,求偏导获得 故所以,S 在),,(0000z y x P 的切平面方程为法线方程为例6.33 求曲面zx y z ln +=在点)1,1,1(的切平面和法线方程.解 曲面方程为0ln ),,(=-+=z z x y z y x F ,易得}2,1,1{-=→n 切面方程为即02=-+z y x .法线方程为习题6.61．求曲线t a z t a a y t a a x sin ,cos sin ,cos cos ===在点0t t =处的切线和法平面方程．2．求曲线⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 在点)1,2,1(-处的切线和法平面方程．3．求曲面xy z arctan =在点)4/,1,1(π的切平面和法线方程. 4.证明曲面)0(3>=a a xyz 上任意一点的切平面与坐标面形成的四面体体积为定值.5．证明曲面)(xy xf z =上任意一点的切平面过一定点.第七节 极值和最值问题一、无条件极值与一元函数极值类似,我们可以引入多元函数的极值概念.界说 6.3 n 元函数),,,(21n x x x f 在点),,,(002010n x x x P 的一个邻域⊂)(0P U n R 内有界说.若对任何点)(),,,(021P U x x x P n ∈ ,有)()(0P f P f ≥或（)()(0P f P f ≤）则称n 元函数),,,(21n x x x f 在),,,(002010n x x x P 取得极年夜（或极小）值,),,,(002010n x x x P 称为函数),,,(21n x x x f 的极年夜（或极小）值点.极年夜值和极小值统称为极值,极年夜值点和极小值点统称为极值点.类似一元函数,我们称使得n 元函数),,,(21n x x x f 的各个一阶偏导数同时为零的点为驻点.我们有如下定理.定理 6.28 若),,,(002010n x x x P 为n 元函数),,,(21n x x x f 的极值点,且),,,(21n x x x f 在),,,(002010n x x x P 的一阶偏导数存在,则),,,(002010n x x x P 为n 元函数),,,(21n x x x f 的驻点.证 考虑一元函数)2,1)(,,,,()(001n i x x x f x n i i ==φ,则i x 是)(i x φ的极值点,Fermat 马定理告诉我们,可导函数在极值点的导数是零,于是和一元函数类似,反过来,驻点纷歧定是极值点.而偏导数不存在的点也有可能是极值点.判断多元函数的极值点要比一元函数复杂的多,下面我们仅对二元函数不加证明给出一个判别定理.定理 6.29 若),(000y x P 为二元函数),(y x f 的驻点,且),(y x f 在),(000y x P 的一个邻域⊂)(0P U 2R 中有二阶连续偏导数.令2B AC CB B A Q -==, 则（1） 那时0>Q ,若0>A ,),(y x f 在),(000y x P 取极小值；若0<A ,),(y x f 在),(000y x P 取极年夜值；（2）那时0<Q ,),(y x f 在),(000y x P 不取极值； （3） 那时0=Q ,),(y x f 在),(000y x P 可能取极值,也可能不取极值.例 6.34 求函数)6(32y x y x z --=的极值.解 解方程组得驻点为)3,2(0P 及直线0,0==y x 上的点.对)3,2(0P 点有0,144,108,1622>--=-=-=B AC C B A ,于是函数z 在)3,2(0P取积年夜值108)(0=P z .容易判断,满足条件⎩⎨⎧<<=600y x 的点为函数z 的极小值点,极小值为0；满足条件的⎩⎨⎧<=00y x 和⎩⎨⎧>=60y x 的点为函数z 的极年夜值点,极年夜值为0.一、 最值问题在社会生产各个领域我们城市遇上最值问题,即如何用最小的本钱获取最年夜利益的问题,这些问题一般都可以归结为求某一函数在某一范围内的最年夜值和最小值的问题.我们称使得函数取得最年夜值和最小值的点为函数的最年夜值点和最小值点,统称为最值点；函数的最年夜值和最小值统称为最值.1、 一元函数设)(x f y =是界说在闭区间],[b a 上的连续函数,则)(x f 在],[b a 上一定有最年夜值和最小值.区间的两个端点a 和b 可能成为其最值点,而如果最值点在开区间),(b a 取得的话,则一定是)(x f 的极值点,即是)(x f 的驻点或是使导数)('x f 不存在的点.假设)(x f 的所有驻点是11211,,k x x x ,使导数)('x f 不存在的点是22221,,mx x x ,那么 例 6.35 求抛物线x y 22=上与)4,1(最近的点.解 设),(y x 是抛物线x y 22=上的点,则),(y x 与)4,1(的距离是 考虑函数2)(d y f =,由0)('=y f ,获得唯一驻点2=y ,于是抛物线x y 22=上与)4,1(最近的点是)2,2(2、多元函数类似一元函数,n 元函数),,,(21n x x x f 的最值问题就是求),,,(21n x x x f 在某个区域⊂D n R 上的最年夜值和最小值,我们只需求出),,,(21n x x x f 在D 内部的所有极值和鸿沟上最值,从中比力就可以选出),,,(21n x x x f 在D 上的最值.例 6.36 求平面42=++z y x 与点)2,0,1(-的最短距离.解 设),,(z y x 是平面42=++z y x 上的点,则),,(z y x 与)2,0,1(-的距离是考虑函数2),(d y x f =,由0,0'==y x f f ,获得唯一驻点)3/5,6/11(,于是平面42=++z y x 与点)2,0,1(-的最短距离是665)3/5,6/11(=d 三、条件极值问题和Lagrange 乘子法前面我们研究的极值和最值问题都是直接给出一个目标函数n 元函数),,,(21n x x x f ,然后求其极值或最值,是无条件极值问题,可是,更多的极值和最值问题是有约束条件的,即条件极值问题.一般来说,条件极值问题是指：求目标函数n 元函数),,,(21n x x x f y =在一组约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<===)(,0),,(0),,(0),,(21212211n m x x x G x x x G x x x G n m n n 下的极值.我们可以检验考试对上面方程组用消元法解出m 个变量,从而转化为上一节的无条件极值问题来解决,可是,消元法往往比力困难甚至是不成能的,所以,我们需要给出一种新的方法来求条件极值.下面我们介绍拉格朗日乘子法.我们以二元函数为例来说明,即：求目标函数),(y x f z =在一个约束条件0),(=y x F 限制下的极值问题.假设点),(000y x P 为函数),(y x f z =在条件0),(=y x F 下的极值点,且0),(=y x F 满足隐函数存在定理的条件,确定隐函数)(x g y =,则0x x =是一元函数))(,(x g x f z =的极值点.于是由隐函数存在定理获得 令λ=),(),(0000y x F y x f y y ,于是极值点),(000y x P 需要满足三个条件：因此,如果我们构造拉格朗日函数其中,λ称为拉格朗日乘子,则上面三个条件就是也就是说我们讨论的条件极值问题转化为拉格朗日函数的无条件极值问题.用这种方法去求可能的极值点的方法,称为拉格朗日乘子法.类似地,求目标函数n 元函数),,,(21n x x x f y =在一组约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<===)(,0),,(0),,(0),,(21212211n m x x x G x x x G x x x G n m n n 下的极值时,我们可以构造相应的拉格朗日函数为于是,所求条件极值点满足方程组例6.37横断面为半圆形的圆柱形的张口浴盆,其概况积即是S ,问其尺寸怎样时,此盆有最年夜的容积？解 设圆半径为r ,高为h ,则概况积)0,0)((2>>+=h r rh r S π,容积h r V 221π=. 构造拉格朗日函数解方程组 获得ππ32,300Sh S r ==,这时33027πS V =.由实际情况知道,V 一定到达最年夜体积,因此,那时00232r S h ==π,体积最年夜. 习题6.71． 求函数xy y x z 333-+=的极值.2． 求函数22442y xy x y x z ---+=的极值.3．求椭圆4422=+y x 上与)0,1(最远的点4．求平面1=-+z y x 与点)1,1,2(-的最短距离.5．求曲面12+=xy z 上与)0,0,0(最近的点6．已知容积为V 的开顶长方浴盆,问其尺寸怎样时,此盆有最小的概况积？7．求用平面0=++Cz By Ax 与椭圆柱面12222=+by a x 相交所成椭圆的面积.第八节导数在经济学中的应用一、导数的经济意义1．边缘函数界说6.4 设函数)(x f y =可导,则导函数)('x f 在经济学中称为边缘函数.在经济学中,我们经经常使用到边缘函数,例如：边缘本钱函数、边缘收益函数、边缘利润函数等等,它们都是暗示一种经济变量相对另一种经济变量的变动率问题,都反映了导数在经济学中的应用.本钱函数)(x C 暗示生产x 个单元某种产物时的总本钱.平均本钱函数)(x c 暗示生产x个单元某种产物时,平均每个单元的本钱,即x x C x c )()(=.边缘本钱函数是本钱函数)(x C 相对x 的变动率,即)(x C 的导函数)('x C .由微分近似计算公式我们知道令1=∆x ,我们有)()1()('x C x C x C -+≈,也就是说,边缘本钱函数)('x C 可以近似暗示已经生产x 个单元产物后再生产一个产物所需要的本钱.在生产中,我们固然希望平均本钱函数)(x c 取得极小值,这时,我们可以获得0)('=x c即则0)()('=-x C x xC ,于是我们获得)()('x c x C =.因此,平均本钱函数)(x c 取得极小值时,边缘本钱函数和平均本钱函数相等.这在经济学中是一个重要原则,就是说在生产中,当边缘本钱函数低于平均本钱函数时,我们应该提高产量,以降低平均本钱；当边缘本钱函数高于平均本钱函数时,我们应该减少产量,以降低平均本钱. 例 6.38 设某种产物生产x 个单元时的本钱为21.02250)(x x x C ++=.求（1）当生产产物100单元时的边缘本钱和平均本钱； （2） 当生产产物数量为几多时平均本钱最低.解 （1）边缘本钱函数和平均本钱函数为于是,5.14)100(,22)100('==c C（2）平均本钱函数)(x c 取得极小值时,边缘本钱函数和平均本钱函数相等,即因此,当生产产物数量为50时平均本钱最低.类似边缘本钱函数我们可以讨论其它边缘函数.需求函数)(x p 暗示销售x 单元某种产物时的单个产物的价格.那么,)(x p 是x 的单调减少函数.收益函数是)()(x xp x R =,边缘收益函数是)('x R .利润函数是边缘利润函数是)('x P .当利润函数取极年夜值时,0)()()('''=-=x C x R x P ,于是,)()(''x C x R =,也就是说取得最年夜利润的需要条件是边缘利润即是边缘本钱.为了保证取得最年夜利润还需要下面条件 即)()(''''x C x R <.所以,当)()(''x C x R =且)()(''''x C x R <时取得最年夜利润.例 6.39设某种产物生产x 个单元时的本钱为320003.001.028.127)(x x x x C +-+=,需求函数x x p 01.028.10)(-=.当生产产物数量要到达多年夜时可以取得最年夜利润？解 收益函数是由)()(''x C x R =获得我们获得100=x .容易验证对任意0>x 有)()(''''x C x R <.所以,当生产产物数量到达100单元水平可以取得最年夜利润.2．弹性在经济学中我们经经常使用到弹性的概念,弹性也是一种变动率问题,与导数概念密切相关.界说6.5 设函数)(x f y =在点0x 可导,则称00x xy y∆∆为函数)(x f y =在点0x 与x x ∆+0两点间的弹性；称00x xy y ∆∆在0→∆x 时的极限为函数)(x f y =在点0x 的弹性,记为0x x Ex Ey=或)(0x f ExE 即如果)(x f y =在),(b a x ∈可导,相应地,我们可以给出),(b a 上弹性函数的界说 当x 很小时,我们有近似计算公式也就是说,函数的弹性是函数的相对改变量与自变量相对改变量之比,上式暗示当x 从0x 发生001的改变时, )(x f y =改变000)(x f ExE 需求函数)(p f Q =暗示在价格为p 时,产物的需求量为Q .需求函数)(p f Q =是单调减少函数,)(p f Q =的反函数也称为需求函数,就是我们前面提到的需求函数)(x p .需求函数)(p f Q =对价格p 的导数称为边缘需求函数.需求函数)(p f Q =的弹性为由于)(p f Q =是单调减少函数,因此0≤EpEf . 收益函数)()(p pf pQ p R ==,于是 令EpEf E d =,我们有 若1<d E ,则需求变动幅度小于价格变动幅度,称为低弹性,这时,0)('>p R ,)(p R 是单调增加函数.也就是说当价格上涨时收益增加,当价格下跌时收益减少.若1>d E ,则需求变动幅度年夜于价格变动幅度,称为高弹性,这时,0)('<p R ,)(p R 是单调减少函数.也就是说当价格上涨时收益减少,当价格下跌时收益增加.若1=d E ,则需求变动幅度和价格变动幅度相同,称为单元弹性,这时,0)('=p R .也就是说当价格改变时,收益没有变动.类似上面对需求弹性的研究,我们也可以讨论供给弹性.供给函数)(p Q ϕ=是指商品生产商的供给量Q 与价格p 之间的关系函数.)(p Q ϕ=是单调增加函数.边缘供给函数是)(p Q ϕ=对价格p 的导数,供给弹性函数是例 6.40 设某种产物的需求函数为p Q 5100-=,其中价格)20,0(∈p .（1）求需求函数Q 的弹性EpEQ ； （2）用需求弹性说明价格在什么范围变动时,降低价格反而使收益增加.解 （1）需求函数Q 的弹性20-=p p Ep EQ . （2）容易获得那时2010<<p ,1>=EpEQ E d ,这时,0)('<p R ,当价格下跌时收益增加.二、其它应用举例导数在经济学中有很多应用,下面举一些例题说明.首先,我们考虑连续复利率问题.假设初始资金为0A ,如果年利率为r ,那么,t 年后资金为t r A t A )1()(0+=.通常情况下是一年屡次计息,假设一年n 次计息,那么我们这里是连续复利率计算问题,令∞→n 获得于是,我们获得连续复利率计算公式rt e A t A 0)(=.例6.41某企业酿造了一批好酒,如果现在就出售,总收入为0R ,如果贮藏起来,t 年后出售,收入为520)(te R t R =.如果银行年利率为r ,而且以连续复利率计算,问贮藏几多年后出售可以使收入的现值最年夜.解 由连续复利率计算公式,t 年后的总收入)(t R 的现值)(t X 为由0)('=t X 得,2251r t =（年）.故贮藏2251r年出售,总收入的现值最年夜.下面,我们再举一个其它应用题.例6.42 某企业生产某型号仪器,年产量A 台,分几批生产,每批生产准备费为B 元,假设产物均匀投入市场,且上一批用完后立即生产下一批,平均库存量为批量的一半.设每年一台仪器的库存费为C 元.问如何选择批量,使一年中库存费与准备费之和最小.解 设批量为x 台,则库存费为C x 2,每年生产的批数为xA ,生产准备费为B xA ,于是总费用为 令0)('=x f ,获得CAB x 2=. 因此,批量为CAB x 2=台时,一年中库存费与准备费之和最小. 多元函数的偏导数在经济学中也有非常广泛的应用.n 元函数),,,(21n x x x f y =的 偏导数),,2,1)(,,(21n i x x x f x n i=∂∂称为对i x 的边缘函数.我们可以类似一元函数引入边缘本钱函数、边缘收益函数、边缘利润函数等等.我们还可以类似一元函数引入函数的偏弹性概念.这里不再一一详细叙述.下面我们举几个多元函数应用题.例 6.43 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产物,两个市场的需求函数分别是其中1p 和2p 为售价,1Q 和2Q 为销售量.总本钱函数为（1）如果该企业实行价格分歧战略,试确定两个市场上该产物的销售量和价格,使该企业获得最年夜利润；（2）如果该企业实行价格无分歧战略,试确定两个市场上该产物的销售量和统一的价格,使该企业总利润最年夜化；并比力两种战略下的总利润年夜小.解 （1）总利润函数是由得5,421==Q Q ,这时7,1021==p p .因为这是一个实际问题,一定存在最年夜值,且驻点唯一,因此那时7,1021==p p ,取得最年夜利润（3） 若实行价格无分歧战略,则21p p =,即有约束条件构造拉格朗日函数由得2,4,521===λQ Q ,这时821==p p .最年夜利润因此,企业实行价格分歧战略所得利润要年夜于实行价格无分歧战略的利润.例6.44 假设某企业通过电视和报纸作广告,已知销售收入为 其中x （万元）和y （万元）为电视广告费和报纸广告费.（1）在广告费用不限的情况下求最佳广告战略；（2）如果广告费用限制为1.5（万元）,求相应广告战略. 解 （1）利润函数为由获得唯一驻点1,5.1==y x .这时最年夜利润为41)1,5.1(=P （万元）（2）构造拉格朗日函数为由获得唯一驻点5.1,0==y x .这时最年夜利润为39)5.1,0(=P （万元）习题6.81．设某种产物生产x 个单元时的本钱为230040000)(x x x C ++=.求（1）当生产产物1000单元时的边缘本钱和平均本钱；（2）当生产产物数量为几多时平均本钱最低.2．设某种产物生产x 个单元时的本钱为32001.0361450)(x x x x C +-+=,需求函数x x p 01.060)(-=.当生产产物数量要到达多年夜时可以取得最年夜利润？3．设某种产物的需求函数为5p e Q -=,求6=p 时的需求弹性；4．设某种产物的需求函数为p Q 2100-=讨论其弹性的变动.5.某产物的总收益函数和本钱函数分别是厂商追求最年夜利润,政府对产物征税,求：（1）求产物产量和价格为几多时,厂商能取得税前最年夜利润；（2）征税收益的最年夜值及此时的税率；（3）厂商纳税后的最年夜利润.6．假设某厂家在两个相互分割的市场上出售同一种产物,两个市场的需求函数分别是其中1p 和2p 为售价,1Q 和2Q 为销售量.总本钱函数为试确定两个市场上该产物的销售价格,使该企业获得最年夜利润.第九节曲率所谓曲率就是用来描述曲线的弯曲水平的．线有直线和非直线,如果一个人沿着直线行走,他不需要转动方向；但如果他沿着一条非直线行走时,他在每一点行进的方向是曲线的切线方向．因而他在每一点行进的方向年夜多是纷歧样的．人移动时,他要转动方向．当曲线的弯曲水平年夜一点时,人走相同的距离目光的转向要年夜一点．在直线上转向是没有的．因而我们就用曲线上单元距离切线方向（即目光方向）的转动角度来刻画曲线的弯曲水平．设光滑曲线方程为()x f y =,()b a x ,∈,()b a x x ,,21∈,()()111,x f x P ,()()222,x f x P 是曲线上的两点．当弧21P P 很小时,可以用21P P 的直线距离来近似．设曲线在点21,P P 的切线与x 轴正向的夹角分别是ααα∆+,,则()()()21tan ,tan x f x f '=∆+'=ααα,所以()()()21arctan ,arctan x f x f '=∆+'=ααα．而()()()()21221221x f x f x x P P -+-=,这时有1212lim P P x x α∆→是刻画曲线在点1x 的弯曲水平的,通常记为k ． 界说 6.6 若函数()x f y =具有两阶连续的导数,则曲线上单元长度的切线转动称为函数()x f y =的曲率．显然曲率0≥k ．例6.45 求抛物线c bx ax y ++=2的曲率．解：b ax y +='2,a y 2='',所以曲率为()()232212b ax ak ++=．显然那时02=+b ax ,k 最年夜．即在ab x 2-=（对称轴处）,曲线弯曲水平最年夜． 例6.46 求直线b kx y +=的曲率．解：因为k y =',0=''y ,所以0=k ．即直线没有弯曲．上面这种方法是对显函数而言的．如果曲线有参数方程()()⎩⎨⎧==t y y t x x 给出,求曲率的过程可以如下进行． 先求()()t x t y dx dy ''=,()()()()()()322t x t y t x t x t y dx dy dx d dx y d ''''-'''=⎪⎭⎫ ⎝⎛=,代入前面求曲率的公式,获得()()()()()()()2322t y t x t y t x t x t y k '+''''-'''=．例6.47 求半径为R 的圆的曲率．解：可设圆方程为⎩⎨⎧==θθsin cos R y R x ,则θsin R x -=',θcos R y ='； θcos R x -='',θsin R y -=''；代入上面的公式,得()()()RR R R R R R k 1sin cos sin sin cos cos 2322=+⋅-⋅-=θθθθθθ． 即圆的弯曲水平是其半径的倒数．R 越年夜,曲率越小．为此我们一般曲线上任意一点可以用一个圆弧来暗示．相比力着一点的曲率的倒数,即k1称为该点的曲率半径,也就是说,该点的弯曲水平与半径为k1的圆的弯曲水平接近．此时在该点的法线上的的一侧一点Ｏ,使得kOP 1=,点Ｏ称为曲率中心．以O 为圆心,k1为半径的圆称为P 点的曲率圆．下面考虑隐函数曲率的求法．求隐函数的曲率,关键在于求y y ''',．举一个例子． 例6.48求曲线12222=+by a x ()0,0>>b a 上一点的曲率．解：对12222=+by a x 两边对x 求导,获得0121222='+y by a x．所以 ya xb y 22-='．又对0121222='+y by a x两边对x 求导,获得 01212122222=''+'+y by y b a ． 所以32422223242244221ya b a x b y y a b y x a b a b y y =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='', ()()232424442321xb y ab a y y k +='+''=．特别地,那时R b a ==,Rk 1=． 最后介绍极坐标系下,曲线的曲率的求法． 例6.49 求阿基米德螺线θa r =的曲率． 解：因为θθθcos cos a r x ==,θθθsin sin a r y ==,所以θθθsin cos a a x -=',θθθcos sin a a y +='．θθθcos sin 2a a x --='',θθθsin cos 2a a y --=''．代入公式()()()()()()()2322t y t x t y t x t x t y k '+''''-'''=,得()()232223222222122θθθθ++=++=a a aa a k ．曲率半径为1．。

空间曲线的切线与法平面方程空间曲线是三维坐标系中的曲线，其切线和法平面方程是重要的概念。

在数学中，切线是曲线上一点的局部近似线性近似。

而法平面是指通过曲线上某一点且垂直于该点的切线的平面。

一、空间曲线的切线切线是空间曲线在某一点上的线性近似，可以用来描述曲线在该点附近的变化趋势。

以参数方程表示的空间曲线可以通过微分来求解切线。

设空间曲线的参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)首先，我们需要求得曲线上某一点的切向量。

切向量的方向与曲线的切线方向一致，而模长则表征了曲线在该点上变化的快慢。

切向量的计算公式为：r'(t) = dx/dt * i + dy/dt * j + dz/dt * k其中i, j, k分别表示笛卡尔坐标系的基本单位向量。

然后，我们取曲线上的某一点P，求得该点的切向量r'(t0)。

这个切向量就是曲线在点P处的切向量。

最后，利用点法式方程求解切线方程。

设切线上的一点为P(x, y, z)，坐标为(x0, y0, z0)。

切线的方向向量为r'(t0) = (dx/dt0, dy/dt0, dz/dt0)。

切线方程的计算公式为：(x - x0)/dx = (y - y0)/dy = (z - z0)/dz二、空间曲线的法平面方程法平面是通过曲线上某一点且垂直于该点的切线的平面。

法平面可以用点法式方程来描述。

设曲线上某点P(x0, y0, z0)，曲线的切向量为r'(t0) = (dx/dt0, dy/dt0, dz/dt0)。

法平面的法向量为切向量r'(t0)。

利用点法式方程可以求解法平面的方程。

法平面方程的计算公式为：r'(t0)·(x - x0, y - y0, z - z0) = 0其中·表示点积运算。

综上所述，空间曲线的切线与法平面方程可以用参数方程表示曲线，通过求解切向量和法向量得到切线方程和法平面方程。