空间角曲线的切线与法向量

空间角曲线的切线与法向量
在三维空间中，我们可以定义任意的空间曲线，包括不规则的曲线和闭合曲线。

曲线
上的每个点都有一个切线和法向量，它们在几何学和物理学中都有着重要的应用。

空间角曲线的切线和法向量是指在弧长参数下，曲线在某一点的切线方向和垂直于切
线的方向。

空间角曲线是一种特殊的曲线，是由两条直线在一个点相交而成。

这两条直线
都以该点作为端点，所以该点是这条曲线的起点和终点。

空间角曲线的切线是由两条直线的切线向量组成的。

如果我们将该点定义为原点，两
条直线分别定义为向量A和向量B，曲线的切线向量可以表示为向量A和向量B的叉乘。

例如，将点O定义为原点，向量OA和向量OB分别定义为两条直线，则曲线在点O处
的切线向量为OA × OB。

空间角曲线的法向量是在曲线上某一点处垂直于切线的向量。

法向量垂直于切线，它
指向外部空间，表示曲线向上或向下的方向。

空间角曲线在点O处的法向量可以表示为向量A和向量B的叉乘所得的单位向量。

即：
n = (AO ×BO) / |AO × BO|
其中|AO × BO|表示向量AO × BO的模长，可以通过求出向量AO和向量BO的模长并计算它们的叉乘来得到。

应用
空间角曲线的切线和法向量在几何学和物理学中都有着重要的应用。

在几何学中，它
们被用于测量曲线的曲率和扭率。

在物理学中，它们被用于描述物体的运动状态，如速度、加速度和角加速度。

空间角曲线的切线和法向量在航空、汽车、机械、土木工程等领域都
有广泛的应用。

一条空间曲线每一正常点都有切线、主法线、副法线，与之相对应的基本向量为单位切向量、单位主法向量、单位副法向量，下面就空间两曲线对应点的切向量（α）、主法向量（β）、副法向量（γ）以及该点的曲率(k )、绕率(τ)之间的关系来讨论研究。

由伏雷内公式，有βαk =⋅γταk β+-=⋅（一）βτ-=⋅γ假设两曲线建立了一一对应关系，一曲线为Γ：）（）、（）、（），（s s s s r r γβα=分别为其切向量、主法向量、副法向量，简记γβα、、。

另一曲线为 Γ：）（）、（）、（），（s s s s r r γβα=分别为其切向量、主法向量、副法向量，简记γβα、、。

两曲线的曲率分别为）（s k 、）（s k ，简记k k 、；两曲线的绕率分别为）（）、（s s ττ，简记ττ、；一参数∞∈C s ）（λ，简记为λ，其中s s 、分别为ΓΓ、的自然参数。

探究空间两曲线的基本向量之间的关系，即讨论一条曲线的切向量、主法向量、副法向量在对应点处与另一条曲线切向量、主法向量、副法向量之间的平行、重合、定夹角的位置关系存在的结论。

探究命题 1若曲线Γ与Γ的对应点的切线平行，即有αηα=（1±=η），则它们对应点的主法线、副法线也平行，且kk τητ=。

证明：因为αηα=，两边关于s 求导得dssd k k βηβ= ( 1 ) 于是ββ//，又βαγ⨯=，从而γγ//，因此它们对应点的主法线、副法线也平行；令βηβ1= (11±=η) ( 2 )则有βαηηβα⨯=⨯1，即γηηγ1=。

两边关于s 求导得dssd ds s d βτηβτηηβτ-=-=-1 ，即得 dssd ητ= ( 3 ) 由式（1），（2）得dssd kk 1ηη= ( 4 ) 又）（）（43÷得kk τητ1=，得证综上所述，命题得证。

探究命题 2若曲线Γ与Γ在对应点的主法线平行，即βηβ=（1±=η），则对应点的切线夹角为定值。

科技风 2021 年 4 月DOI ： 10.19392/j. cnki. 1671-7341.202110020空间曲线在某点的切线方程的多种解法张雪飞宫雷王素云陆军装甲兵学院基础部北京100072摘要:本文探讨了空间曲线在某点的切线方程的计算方法和相关技巧，指出了六种常见的计算思路,如参数方程法，公式法，隐函数求导法，边隐函数求导边代入点的方法，利用切平面的法向量的向量积来求切向量。

除此之外，切线仍可看作两个相交曲面在该点的切平面的交线。

结合相关的题目用不同的方法作出解答。

关键词：切线方程;公式法；隐函数求导;切平面的法向量；向量积空间光滑曲线在点5处的切线为此点处割线的极限位 置，过点5与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面。

如果要求空间曲线在某点的切线和法平面，由于已知点，最关 键的是找到切线的切向量，也就是法平面的法向量。

要求切 线的切向量，根据空间曲线的给岀形式是参数方程的形式还是一般方程的形式，来找到相应的求解切向量(法平面的法 向量)的方法。

一、基本知识(一)曲线方程为参数方程的情况设空间曲线为(：6="(7 ,y=#(7 ,z=$(7，其中t 为参数。

设 t = 7 对应点 5(6，8，9)，t = 7+% 对应点 5：6+%:，割线55,的方程为：匹==%^ =三9，在方程的分母同时%%%应的参数式方程为r=="6)19 #(6)o曲线上一点5(60 ,=0,9)处的切向量为科1,筹斜=卜埒第 M [，或. M M J者写成这种形式:，弓O ，曾竿1 ｝当 $(=,9 $(9,6) $(6,=). 5 5 m J作公式来记忆$则在点5(6 ,=0,9 )有切线方程：除以％，令%#0,得切线方程乞■=芳矢=-^7$此处要求"(=)，#( = )，$：=)不全为0$如个别为0,则理解为分子为0$切线的方向向量T= ("： = ),#( = ),$： = ))称为曲线 的切向量。

法向量与切向量的关系
切向量和法向量两者的关系是：互相垂直。

切向量：曲线在一点处的切向量可以理解为沿曲线该点处切线方向的向量。

法向量：如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。

垂直，是指一条线与另一条线成直角，这两条直线互相垂直。

通常用符号“⊥”表示。

设有两个向量a和b，a⊥b的充要条件是a·b=0，即(x1x2+y1y2)=0。

对于立体几何中的垂直问题，主要涉及到线面垂直问题与面面垂直问题，而要解决相关的问题，其难点是线面垂直的定义及其对判定定理成立的条件的理解；两平面垂直的判定定理及其运用和对二面角有关概念的理解。

切向量和法向量有3点不同：
一、两者的概述不同：
1、切向量的概述：曲线在一点处的切向量可以理解为沿曲线该点处切线方向的向量。

2、法向量的概述：法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。

二、两者的应用不同：
1、切向量的应用：切向量适用于平面几何。

2、法向量的应用：法向量适用于解析几何。

三、两者的性质不同：
1、切向量的性质：切向量和方向导数有密切关系，但这是两个不同的概念。

切向量被定义为一个抽象的泛函（算子），至欧氏空间的一个映射，而方向导数则指的是该映射的像值。

2、法向量的性质：如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。

垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。

每一个平面存在无数个法向量。

空间曲线的切线与法平面空间曲线（或曲面）是三维空间中的几何对象，它们有许多重要的性质和应用。

其中一个基本问题是如何求空间曲线在某一点的切线和法平面。

在本文中，我们将介绍一些相关的基本概念和公式，以帮助读者理解并解决这些问题。

1. 基本概念在三维空间中，一条曲线可以用参数方程表示为：${\bf r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$ (1)其中 $t$ 是参数。

在曲线上某一点 $P$ 处，它的切向量 $T$ 和法向量 $N$ 可以定义为：$T = {\bf r}'(t_0)$， $N =\frac{{\bf r}'(t_0)\times{\bf r}''(t_0)}{\|{\bf r}'(t_0)\times{\bf r}''(t_0)\|}$ (2)其中 $t_0$ 是使得 ${\bf r}(t)$ 在点 $P$ 上的参数值。

需要注意的是，如果${\bf r}'(t_0)={\bf 0}$，则曲线在 $P$ 点处可能有拐点或者奇点，此时切向量和法向量的定义可能会有所不同。

2. 切线及其性质切线是一条直线，它在曲线上某一点与曲线切于此点。

切线的方向由切向量 $T$ 给出，它的方程可以由以下公式所得：其中 ${\bf r}(t_0)$ 是曲线上某一点，$T(t_0)$ 是切向量。

需要指出的是，公式(3) 给出了切线的向量形式，它与点向式方程和一般式方程等等不同。

切线的截距和斜率也可以由公式 (3) 求得。

法平面是一个平面，它与曲线在某一点相切，并且法向量方向为 $N$。

该平面的一般方程为：$N\cdot {\bf r} = N\cdot{\bf r}(t_0)$ (4)$N = \frac{T_1\times T_2}{\|T_1\times T_2\|}$ (5)在一些曲面的情况下，法向量在曲面上有一个很好的几何意义。

空间曲线切线方程的求法空间曲线的切线方程是指在空间中，通过曲线上一点的直线方程。

求解空间曲线的切线方程有多种方法，下面将详细介绍其中两种常用的方法。

方法一：向量法利用向量法，可以通过曲线参数方程求解切线方程。

设空间曲线的参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)首先，我们需要求曲线上某一点的切向量。

切向量就是曲线在该点的切线方向上的单位向量。

对于参数方程，我们可以通过对各个方向求导得到切向量。

令r(t) = (x(t), y(t), z(t))为曲线上的点，则切向量T(t) =r'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t))。

切向量的方向向量可以通过对参数方程分别求导得到。

找到切向量后，我们可以通过设定曲线上某一点的坐标，代入切向量的方程，得到切线的参数方程。

例如，假设曲线上某一点的坐标为(x0, y0, z0)，则切线的参数方程可以表示为：x = x0 + t * x'(t)y = y0 + t * y'(t)z = z0 + t * z'(t)这样，我们就可以求得空间曲线的切线方程了。

方法二：法向量法使用法向量法求解空间曲线的切线方程也是一种常见且有效的方法。

法向量与切向量是垂直的，所以如果我们能够求得曲线上某一点的法向量，就能得到切线的方程。

首先，我们可以通过对参数方程分别求导得到切向量T(t)。

接下来，我们需要求解曲线上某一点的法向量。

法向量的方向是曲线在该点的垂直方向上的单位向量。

设曲线在点P上的法向量为N，曲线的切向量为T。

因为N与T垂直，所以它们的点积等于0。

即：N·T = 0将切向量的各个分量代入上式，得到一个关于未知数t的方程。

通过求解这个方程，我们可以得到t的值。

然后，将t的值代入到曲线的参数方程中，就可以得到点P的坐标。

最后，我们可以利用曲线上某一点的坐标和法向量，通过点法式方程来表示切线的方程。

空间曲线的切线和法平面求法探讨作者：夏滨来源：《理科爱好者·教育教学版》2015年第02期摘 ;要：本文主要通过一些典型例题讲解了空间曲线由不同形式的方程给出时，空间曲线的切线和法平面的求法。

关键词：空间曲线;切线;法平面【中图分类号】 G642.1 ; ; ; ;【文献标识码】 B ; ; ; ;【文章编号】 1671-8437（2015）02-0007-02求空间曲线的切线与法平面方程时，要根据给定曲线的方程所属类型是参数式还是其它形式，选择适当的求解方法，关键是先求出切点坐标和曲线在切点处的切向量。

下面笔者就对曲线的切线和法平面求法进行探讨。

1 ; 空间曲线由参数方程x=x（t），y=y（t），z=z（t）（α≤t≤β）给出若空间曲线的方程为参数方程时，x=x（t），y=y（t），z=z（t）（α≤t≤β）曲线上的点p0（x0，y0，z0）对应的参数为t0，而x（t），y（t），z（t）在t=t0时有导数，则曲线在点p0的切向量为s={x′（t0），y′（t0），z′（t0）}，因此，曲线在点p0处的切线方程为==，其法平面方程为x′（t0）（x-x0）+y′（t0）（y-y0）+z′（t0）（z-z0）=0。

例1 ;求曲线x=ɑsin2t，y=bsintcost，z=ccos2t对应于t=处的切线方程和法平面方程（ɑ，b，c为常数）。

解：对应于t=的点为（，，），当t=时，有x′t|=2ɑsintcost|=ɑ，;y′t|=bcos2t|=0，z′t|=-2csintcost|=-c，即切向量为s={ɑ，0，-c}。

因此，所求切线方程为==，其法平面方程为ɑ（x-）-c（z-）=0，即ɑx-cz-+=0。

例2 ;求曲线x=（t+1）2， y=t3， z=在点（1，0，1）处的切线方程和法平面方程。

解：因为点（1，0，1）对应于t=0，当t=0时，有x′t|=2（t+1）|=2，;y′t|=3t2|=0，z′t|=|=0即切向量为s={2，0，0}。

空间曲线的切线与法平面掌握空间曲线的切线与法平面的计算方法空间曲线是三维几何中的重要概念，理解和掌握空间曲线的切线与法平面的计算方法对于解决相关问题具有关键作用。

本文将介绍空间曲线的定义以及切线与法平面的计算方法，帮助读者更好地理解和应用。

一、空间曲线的定义空间曲线是三维空间中的曲线，由于其存在弯曲和变化的特性，我们需要研究曲线上某一点的切线方向和曲线在该点的法平面。

切线与法平面是通过对曲线在该点的局部线性逼近得到的，具体计算方法如下。

二、切线的计算方法在空间曲线上选择一点P，我们想要求解此点处的切线方向。

切线的计算方法如下：1. 首先，我们需要确定曲线上该点的参数方程形式。

假设曲线的参数方程为x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)，其中t为参数。

2. 然后，我们需要求解参数方程在该点的导数。

将参数t代入参数方程中，得到此点处的切向量，即曲线在该点的切线方向。

切向量的表示形式为T = (x'(t), y'(t), z'(t))。

3. 最后，我们可以得到切线的方向向量。

对切向量进行归一化处理，得到的单位向量即为切线的方向向量。

通过以上计算过程，我们可以得到空间曲线在选定点处的切线方向，从而进一步分析曲线的性质和特点。

三、法平面的计算方法在空间曲线上选择一点P，我们想要求解此点处的法平面。

法平面与切线垂直，并与曲线在该点的切线相切。

法平面的计算方法如下：1. 首先，我们需要确定曲线上该点的参数方程形式，与求解切线相同。

2. 然后，我们可以先求解切线的方向向量T。

3. 接着，我们需要找到与切线方向向量垂直的向量N。

可以通过以下方法得到：a. 找到切线方向向量与任意向量都垂直的向量V。

b. 通过向量叉乘的方式，得到N = T × V。

4. 最后，我们需要找到一个过该点的平面，且法向量为N。

这个平面即为法平面。

通过以上计算过程，我们可以得到空间曲线在选定点处的法平面，从而进一步分析曲线的性质和特点。