【配套K12】[学习]2019版高考数学一轮复习 阶段检测卷(七)理

阶段检测试题(一)(时间:120分钟满分:150分)【选题明细表】知识点、方法题号集合与常用逻辑用语1,3,17函数概念与表示2,4函数的基本性质5,7,14指数函数与对数函数8,15,18函数图象与零点6,10,16导数在研究函数中的应用9,11,12,19,20,21,22定积分及应用13一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( A )(A)A∩B={x|x<0} (B)A∪B=R(C)A∪B={x|x>1} (D)A∩B=∅解析:因为3x<1,所以3x<30,所以x<0,所以B={x|x<0}.又A={x|x<1},所以A∩B={x|x<0}.故选A.2.函数f(x)=+lg(6-3x)的定义域为( C )(A)(-∞,2) (B)(2,+∞) (C)[-1,2) (D)[-1,2]解析:由题意得解得-1≤x<2,故函数f(x)的定义域是[-1,2),故选C.3.下列命题的说法错误的是( C )(A)命题p:∀x∈R,x2+x+1>0,则⌝p:∃x0∈R,+x0+1≤0(B)“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件(C)若命题p∧q为假命题,则p,q都是假命题(D)命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”解析:对于A,命题p:∀x∈R,x2+x+1>0,则 p:∃x0∈R,+x0+1≤0,满足命题的否定关系,正确;对于B,“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件,满足“x=1”⇒“x2-3x+2=0”,反之,不成立,正确;对于C,若命题p∧q为假命题,则p,q至少有一个是假命题,不正确;对于D,命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”,满足逆否命题的形式,正确.故选C.4.设函数f(x)=若f(a)>1,则实数a的取值范围是( B )(A)(0,2) (B)(0,+∞)(C)(2,+∞) (D)(-∞,0)∪(2,+∞)解析:若2a-3>1,解得a>2,与a<0矛盾,若>1,解得a>0,故a的范围是(0,+∞),故选B.5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为( B )(A)4 (B)-4 (C)6 (D)-6解析:由题意,f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时f(x)=3x+m(m为常数),所以f(0)=30+m=0,解得m=-1,故有x≥0时f(x)=3x-1,所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4,故选B.6.函数y=1+x+的部分图象大致为( D )解析:函数由y=x+向上平移1个单位,则y=1+x+关于(0,1)对称,排除B,C,当x>0时y>0,排除A,故选D.7.函数y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的是( B )(A)f(1)<f()<f()(B)f()<f(1)<f()(C)f()<f()<f(1)(D)f()<f(1)<f()解析:因为函数y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数f(x+2)是偶函数,所以函数y=f(x)在[2,4]上单调递减,且在[0,4]上函数y=f(x)满足f(2-x)=f(2+x),即f(1)=f(3),因为f()<f(3)<f(),所以f()<f(1)<f（）,故选B.8.导学号 38486076已知定义在R上的函数f(x)=2|x|,记a=f (log0.53),b=f(log25),c=f(0),则a,b,c的大小关系为( B )(A)a<b<c (B)c<a<b(C)a<c<b (D)c<b<a解析:因为定义在R上的函数f(x)=2|x|,所以a=f(log0.53)==3,b=f(log25)==5,c=f(0)=20=1,所以a,b,c的大小关系为c<a<b.故选B.9.已知函数f(x)=x2+,若函数f(x)在x∈[2,+∞)上是单调递增的,则实数a的取值范围为( B )(A)( -∞,8)(B)(-∞,16](C)(-∞,-8)∪(8,+∞)(D)(-∞,-16]∪[16,+∞)解析:因为函数f(x)=x2+在x∈[2,+∞)上单调递增,所以f′(x)=2x-=≥0在x∈[2,+∞)上恒成立,所以2x3-a≥0,所以a≤2x3在x∈[2,+∞)上恒成立,所以a≤2×23=16,所以实数a的取值范围为(-∞,16].故选B.10.函数y=ln x+x--2的零点所在的区间是( C )(A)(,1) (B)(1,2)(C)(2,e) (D)(e,3)解析:因为函数y=ln x+x--2(x>0),所以y′=+1+>0,所以函数y=ln x+x--2在定义域(0,+∞)上是单调增函数;又x=2时,y=ln 2+2--2=ln 2-<0,x=e时,y=ln e+e--2=+e--2>0,因此函数y=ln x+x--2的零点在(2,e)内.故选C.11.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且f′(x)<f(x)对任意的x∈R恒成立,则下列不等式均成立的是( A )(A)f(ln 2)<2f(0),f(2)<e2f(0)(B)f(ln 2)>2f(0),f(2)>e2f(0)(C)f(ln 2)<2f(0),f(2)>e2f(0)(D)f(ln 2)>2f(0),f(2)<e2f(0)解析:令g(x)=,则g′(x)=<0,故g(x)在R上递减,而ln 2>0,2>0,故g(ln 2)<g(0),g(2)<g(0),即<,<,即f(ln 2)<2f(0),f(2)<e2f(0),故选A.12.设函数f(x)的导函数为f′(x),且满足xf′(x)+f(x)=,f(1)=e,则x>0时,f(x)( D )(A)有极大值,无极小值(B)有极小值,无极大值(C)既有极大值又有极小值(D)既无极大值也无极小值解析:因为f′(x)=-=,令g(x)=e x-xf(x),所以g′(x)=e x-(xf′(x)+f(x))=e x(1-),若x>1,则g′(x)>0,g(x)>g (1)=0,f(x) 递增,若0<x<1,则g′(x)<0,g(x)>g(1)=0,f(x)递增,所以函数f(x)既无极大值又无极小值,故选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.设f(x)=则f(x)dx= .解析:由已知cos xdx+1dx=sin x|+x|=π.答案:π14.偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(1)=0,不等式f(x)>0的解集为.解析:根据题意,对于函数f(x),f(1)=0,则f(x)>0⇔f(x)>f(1),又由函数f(x)为偶函数,则f(x)>f(1)⇔f(|x|)>f(1),函数f(x)在[0,+∞)单调递减,则f(|x|)>f(1)⇔|x|<1,综合可得f(x)>0⇔|x|<1,解可得-1<x<1,即不等式f(x)>0的解集为(-1,1).答案:(-1,1)15.如图,已知正方形ABCD的边长为2,BC平行于x轴,顶点A,B和C分别在函数y1=3log a x,y2=2log a x和y3=log a x(a>1)的图象上,则实数a的值为.解析:设B(x,2log a x),因为BC平行于x轴,所以C(x′,2log a x)即log a x′=2log a x,所以x′=x2,所以正方形ABCD边长=|BC|=x2-x=2,解得x=2.由已知,AB垂直于x轴,所以A(x,3log a x),正方形ABCD边长=|AB|=3log a x-2log a x=log a x=2,即log a2=2,所以a=.答案:16.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)+2x-a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是.解析:g(x)=当x≤0时,g(x)单调递增,且g(x)≤g(0)=1-a,当x>0时,g(x)的对称轴为直线x=-a-1,(1)当-a-1≤0即a≥-1时,g(x)在(0,2)上单调递增,所以g(x)不可能有3个零点.(2)当-a-1>0即a<-1时,g(x)在(0,-a-1)上单调递减,在(-a-1,+∞)上单调递增,所以当x=-a-1时,g(x)取得极小值f(-a-1)=-a2-3a,因为g(x)有3个零点,所以解得a<-3.综上,a<-3.答案:(-∞,-3)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,q:实数x满足|x-3|<1.(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;(2)若a>0且⌝p是⌝q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.解:(1)由x2-4ax+3a2<0得(x-3a)(x-a)<0,当a=1时,1<x<3,即p为真时实数x的取值范围是(1,3).由|x-3|<1,得-1<x-3<1,得2<x<4,即q为真时实数x的取值范围是(2,4),若p∧q为真,则p真且q真,所以实数x的取值范围是(2, 3).(2)由x2-4ax+3a2<0得(x-3a)(x-a)<0,若⌝p是⌝q的充分不必要条件,则⌝p⇒⌝q,且⌝q⌝p,设A={x|⌝p},B={x|⌝q},则A⊂B,≠又A={x|⌝p}={x|x≤a或x≥3a},B={x|⌝q}={x|x≥4或x≤2},则0<a≤2,且3a≥4,所以实数a的取值范围是[,2].18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=b·a x(a,b为常数且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,8),B(3,32).(1)试求a,b的值;(2)若不等式()x+()x-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)由题意解得a=2,b=4,所以f(x)=4·2x=2x+2.(2)设g(x)=()x+()x=()x+()x,所以g(x)在R上是减函数,所以当x≤1时,g(x)min=g(1)=.若不等式()x+()x-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,即m≤.所以,m的取值范围为(-∞,].19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-处取得极值.(1)确定a的值;(2)若g(x)=f(x)e x,讨论g(x)的单调性.解:(1)对f(x)求导得f′(x)=3ax2+2x,因为f(x)在x=-处取得极值,所以f′(-)=0,即3a·+2·(-)=-=0,解得a=.(2)由(1)得g(x)=( x3+x2)e x,故g′(x)=( x2+2x)e x+(x3+x2)e x=(x3+x2+2x)e x=x(x+1)(x+4)e x.令g′(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.当x<-4时,g′(x)<0,故g(x)为减函数;当-4<x<-1时,g′(x)>0,故g(x)为增函数;当-1<x<0时,g′(x)<0,故g(x)为减函数;当x>0时,g′(x)>0,故g(x)为增函数.综上知g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-x3+x2+b,g(x)=aln x.(1)若f(x)在[-,1)上的最大值为,求实数b的值;(2)若对任意x∈[1,e],都有g(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)函数f(x)=-x3+x2+b,f′(x)=-3x2+2x,令f′(x)=0得x=0或x=,f′(x)>0时,0<x<; f′(x)<0时,x<0或x>,可知f(x)在[-,0)和(,1)上单调递减,在(0,)上单调递增.F(-)=+b,f()=+b,显然f(-)>f(),+b=,b=0,所以实数b的值为0.(2)任意x∈[1,e],都有g(x)≥-x2+(a+2)x,g(x)=aln x.因为x∈[1,e]时,(ln x-x)′=-1<0,所以ln x-x∈[1-e,-1],所以ln x-x<0,a≤,设T(x)=,x∈[1,e],T′(x)=,x∈[1,e],x-1≥0,ln x≤1,x+2-ln x>0,从而t′(x)≥0,t(x)在[1,e]上为增函数.所以t(x)min=t(1)=-1,所以a≤-1.即a的取值范围为(-∞,-1].21.(本小题满分12分)由于渤海海域水污染严重,为了获得第一手的水文资料,潜水员需要潜入水深为60米的水底进行作业,根据经验,潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间),每单位时间消耗氧气(()3+1)升,在水底作业10个单位时间,每单位时间消耗氧气0.9升,返回水面的平均速度为(米/单位时间),每单位时间消耗氧气1.5升,记该潜水员完成此次任务的消耗氧气总量为y(升).(1)求y关于v的函数关系式;(2)若c≤v≤15(c>0),求当下潜速度v取什么值时,消耗氧气的总量最少.解:(1)由题意,下潜用时单位时间,用氧量为[()3+1]×=+(升),水底作业时的用氧量为10×0.9=9(升),返回水面用时=单位时间,用氧量为×1.5=(升),所以总用氧量为y=++9(v>0).(2)求导数y′=-=,令y′=0,解得v=10,在0<v<10时,y′<0,函数y单调递减,在v>10时,y′>0,函数y单调递增,所以当c<10时,函数y在(0,10)上递减,在(10,15)上递增,此时v=10时用氧量最少;当c≥10时,函数y在[c,15]上递增,此时v=c时,总用氧量最少.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)= x3-x2,g(x)= -mx,m是实数.(1)若f(x)在区间(2,+∞)为增函数,求m的取值范围;(2)在(1)的条件下,函数h(x)=f(x)-g(x)有三个零点,求m的取值范围.解:(1)f′(x)=x2-(m+1)x,因为f(x)在区间(2,+∞)为增函数,所以f′(x)=x(x-m-1)≥0在区间(2,+∞)恒成立,所以x-m-1≥0恒成立,即m≤x-1恒成立,由x>2,得m≤1,所以m的取值范围是(-∞,1].(2)h(x)=f(x)-g(x)= x3-x2+mx-,所以h′(x)=(x-1)(x-m),令h′(x)=0,解得x=m或x=1,m=1时,h′(x)=(x-1)2≥0,h(x)在R上是增函数,不合题意,m<1时,令h′(x)>0,解得x<m,x>1,令h′(x)<0,解得m<x<1,所以h(x)在(-∞,m),(1,+∞)递增,在(m,1)递减,所以h(x)极大值=h(m)=- m3+m2-,h(x)极小值=h(1)=,要使f(x)-g(x)有3个零点,需解得m<1-,所以m的取值范围是(-∞,1-).。

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单元过关检测(七)(第七章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( )A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【解析】选D.因为m⊥α,l⊥m,l⊄α,所以l∥α.同理可得l∥β.又因为m,n为异面直线,所以α与β相交,且l平行于它们的交线.2.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为 ( )A.10B.12C.14D.16【解析】选B.由三视图可画出立体图,该立体图各面中只有两个相同的梯形的面,S梯=(2+4)×2÷2=6,S全梯=6×2=12.3.三棱锥P-ABC中,PA=PB,AC=BC,BD⊥PC,则A在平面PBC上的射影M 必在( )A.直线PB上B.直线PC上C.直线BD上D.在△PBC内部【解析】选C.取AB中点M,连接MP,MC,因为PA=PB,AC=BC,所以MP⊥AB,MC⊥AB,MP∩MC=M,所以AB⊥平面MPC,所以AB⊥PC,又因为BD⊥PC,AB∩BD=B,所以PC⊥平面ABD,平面ABD⊥平面PBC,A在平面PBC上的射影M必在直线BD上.4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BB1的中点,则直线MC与平面ACD1所成角的正弦值为( )A. B. C. D.【解析】选C.连接B1D,BD,设AC∩BD=O,连接OM,则B1D⊥平面ACD1,OM∥B1D,所以OM⊥平面ACD1,所以∠MCO为MC与平面ACD1所成的角,设正方体棱长为1,则MC==,OM=B1D=,所以sin ∠MCO==.5.(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )A.πB.C.D.【解析】选B.如图,画出圆柱的轴截面:r=BC=,那么圆柱的体积V=πr2h=π××1=π.6.不共面的四个定点到平面α的距离都相等,这样的平面α共有( )A.3个B.4个C.6个D.7个【解析】选 D.空间中不共面的四个定点构成三棱锥,如图:三棱锥D-ABC,平面α到三棱锥D-ABC的四个定点距离相等,分成两类;一类是:当平面一侧有一点,另一侧有三点时,即对此三棱锥进行换底,则三棱锥由四种表示形式,此时满足条件的平面个数是四个,另一类是:当平面一侧有两点,另一侧有两点时,即构成的直线是三棱锥的相对棱所在直线,因三棱锥的相对棱有三对,则此时满足条件的平面个数是三个,综上所述,满足条件的平面共有7个.7.若一个圆锥的底面半径是母线长的一半,侧面积和它的体积的数值相等,则该圆锥的底面半径为( )A. B.2 C.2 D.4【解析】选 C.设圆锥的底面半径为r,则该圆锥母线长为2r,则×2πr〃2r=πr2〃r,所以r=2.8.已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于( )A. B. C. D.1【解析】选C.如图,作DE⊥BC于E,由α-l-β为直二面角,AC⊥l得AC ⊥平面β,进而AC⊥DE,又BC⊥DE,BC∩AC=C,于是DE⊥平面ABC,故DE为D到平面ABC的距离.在Rt△BCD中,利用等面积法得DE===.9.(2018·杭州模拟)矩形ABCD中,AB=,BC=1,将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折,在翻折过程中直线AD与直线BC所成角的范围(包含初始状态)为( )A. B.C. D.【解析】选C.初始状态直线AD与直线BC成的角为0,翻折过程中当BC⊥BD时,直线AD与直线BC成的角为直角,因此直线AD与直线BC成的角范围为.10.在△ABC中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°,若使△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的几何体的体积是 ( )A.πB.πC.πD.π【解析】选A.如图△ABC中,若使△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩下的部分,因为AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°,所以AE=ABsin 60°=,BE=ABcos 60°=1,V=π〃AE2〃CE-π〃AE2〃BE=π〃AE2〃CB=π〃()2×1.5=π.11.(2018·石家庄模拟)在正四棱锥V-ABCD中(底面是正方形,侧棱均相等),AB=2,VA=,且该四棱锥可绕着AB作任意旋转,旋转过程中CD∥平面α.则正四棱锥V-ABCD在平面α内的正投影的面积的取值范围是( )A.[2,4]B.(2,4]C.[,4]D.[2,2]【解析】选A.由题可知正四棱锥V-ABCD在平面α内的正投影图形为平面α截V-ABCD所得横截面图形,其中平面是平行于CD的平面,四棱锥底面积为S1=AB2=4,任意一个侧面的高为=,则侧面面积为S2=,四棱锥的高为=2,所以过V 且垂直于底面的截面面积为S3=2,经分析可知四棱锥绕AB旋转过程当底面与平面α平行时,投影面积最大,当底面与平面α垂直时,投影面积最小,所以投影面积的取值范围为[2,4].12.在Rt△ABC中,已知D是斜边AB上任意一点(如图①),沿直线CD 将△ABC折成直二面角B-CD-A(如图②).若折叠后A,B两点间的距离为d,则下列说法正确的是( )A.当CD为Rt△ABC的中线时,d取得最小值B.当CD为Rt△ABC的角平分线时,d取得最小值C.当CD为Rt△ABC的高线时,d取得最小值D.当D在Rt△ABC的斜边AB上移动时,d为定值【解析】选B.设BC=a,AC=b,∠ACD=θ,则∠BCD=-θ,过A作CD的垂线AG,过B作CD的延长线的垂线BH,所以AG=bsin θ,BH=acos θ,CG=bcos θ,则HG=CH-CG=asin θ-bcos θ,所以d=====,所以当θ=,即当CD为Rt△ABC的角平分线时,d取得最小值.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.在矩形ABCD中,对角线AC与相邻两边所成的角为α,β,则有cos 2α+cos 2β=1.类比到空间中的一个正确命题是:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线AC1与相邻三个面所成的角为α,β,γ,则cos 2α+cos 2β+cos 2γ=________.【解析】设长方体的棱长分别为a,b,c,如图所示,所以AC1与下底面所成角为∠C1AC,记为α,所以cos 2α==,同理cos 2β=,cos 2γ=,所以cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2.答案:214.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,且对角线BD1与侧棱BB1所成角的余弦值为,则该长方体外接球表面积等于________.【解析】因为AB=BC=2,所以B1D1=BD=2.又cos ∠D1BB1=,所以sin ∠D1BB1=.即BD1=2.所以该长方体外接球半径为,所以S=4πR2=24π.答案:24π15.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后的图形如图所示,若E 为线段BC的中点,则直线AE与平面ABD所成角的余弦值为________.【解析】过点E作EF⊥BD,垂足为F,则∠EAF为直线AE与平面ABD所成的角,不妨设正方形的边长为2,则BF=EF=,AB=2,在△ABF中,由余弦定理:AF2= AB2+BF2-2×AB×BF×cos∠ABF=,所以AF=,在Rt△AEF中,AE2=AF2+EF2=3,所以AE=,故cos∠EAF==.答案:16.(2017·全国卷Ⅰ)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC, CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为________.【解析】由题意,连接OB,OD,交BC于点G,由题意得,OD⊥BC,OG=BC,设OG=x,则BC=2x,DG=5-x,三棱锥的高h===,S△ABC=2x〃3x〃=3x2,则V=S△ABC〃h=x2〃=〃,令f=25x4-10x5,x∈,f′=100x3-50x4,令f′>0,即x4-2x3<0,x<2,则f≤f=80,则V≤×=4,所以体积最大值为4 cm3.答案:4 cm3三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图所示,边长AC=3,BC=4,AB=5的三角形简易遮阳棚,其中A,B是地面上南北方向两个定点,正西方向射出的太阳光线与地面成30°角,试问:遮阳棚ABC与地面成多大角度时,才能保证所遮影面ABD面积最大?【解析】易知,△ABC为直角三角形,在平面ABC内由C点引AB的垂线,垂足为Q,则应有DQ为DC在地面上的阴影,且AB垂直于平面CQD,如图所示.因太阳光与地面成30°角,所以∠CDQ=30°,又知在△CQD中,CQ=,由正弦定理,有=,即QD=sin ∠QCD.为使面ABD的面积最大,需QD最大,只有当∠QCD=90°时才可达到,从而∠CQD=60°.故当遮阳棚ABC与地面成60°角时,才能保证所遮影面ABD面积最大. 【方法技巧】求解几何体中的面积最值的思路首先要明确所求图形面积的表示式,区分图形中的定值与变量,然后根据几何体的结构特征和已知条件确定变量的最值即可.18.(12分)如图,已知在△ABC中,∠C=90°,PA⊥平面ABC,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,AP=AB=2,∠AEF=θ,当θ变化时,求三棱锥P-AEF体积的最大值.【解析】因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,又因为BC⊥AC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,又AF⊂平面PAC,所以BC⊥AF,又AF⊥PC,PC∩BC=C,所以AF⊥平面PBC,即AF⊥EF.EF是AE在平面PBC上的射影,因AE⊥PB,所以EF⊥PB,即PE⊥平面AEF.在三棱锥P-AEF中,AP=AB=2,AE⊥PB,所以PE=,AE=,AF=sin θ,EF=cos θ,V P-AEF=S△AEF〃PE=××sin θ〃cos θ×=sin 2θ,因为0<θ<,所以0<2θ<π,0<sin 2θ≤1,因此,当θ=时,V P-AEF取得最大值为.【方法技巧】几何体体积的最值问题的解决,要根据几何体的结构特征确定其体积的求解方式,分清定量与变量,然后根据变量的取值情况,利用函数法或平面几何的相关结论判断相应的最值.19.(12分)如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF且BE<CF,∠BCF=,AD=,EF=2.(1)求证:AE∥平面DCF.(2)若BE=-1,且=λ,当λ取何值时,直线AE与BF所成角的大小为60°?【解析】(1)过E作EG∥BC交FC于G,连接DG,因为BE∥CF,所以四边形BCGE是平行四边形,因此EG∥BC∥AD,且EG=BC=AD,所以四边形ADGE也是平行四边形,于是AE∥DG,又AE⊄平面DCF,DG⊂平面DCF,故AE∥平面DCF.(2)由(1)知EG∥BC∥AD,且EG=BC=AD,所以EG=AD=,又EF=2,所以GF=1.因为四边形ABCD是矩形,所以DC⊥BC.因为∠BCF=,所以FC⊥BC,又平面AC⊥平面BF,平面AC∩平面BF=BC,于是FC⊥平面AC,所以FC⊥CD.分别以CB,CD,CF为x,y,z轴建立空间直角坐标系.由=λ,得AB=(-1)λ.所以A(,(-1)λ,0),B(,0,0),E(,0,-1),F(0,0,), 所以=(0,(1-)λ,-1),=(-,0,),依题意有cos 60°=,即=,解得λ=1.故当λ=1时,直线AE与BF所成角的大小为60°.20.(12分)中秋节即将到来,为了做好中秋节商场促销活动,某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计.方案如下:将一块边长为10的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形△SEE′,△SFF′,△SGG′,△SHH′,再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S-EFGH,其中A,B,C,D重合于点O,E与E′重合,F与F′重合,G与G′重合,H与H′重合(如图所示).(1)求证:平面SEG⊥平面SFH.(2)已知AE=,过O作OM⊥SH交SH于点M,求cos ∠EMO的值.【解析】(1)因为折后A,B,C,D重合于一点O,所以拼接成底面EFGH 的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形,所以底面EFGH是正方形,故EG⊥FH.因为在原平面图形中,等腰△SEE′≌△SGG′.所以SE=SG,所以EG⊥SO.又因为SO,FH⊂平面SFH,SO∩FH=O,所以EG ⊥平面SFH.又因为EG⊂平面SEG,所以平面SEG⊥平面SFH.(2)因为EO⊥平面SFH,所以EO⊥SH,所以SH⊥平面EMO,所以∠EMO为二面角E-SH-F的平面角.当AE=时,即OE=,Rt△SHO中,SO=5,SH=,所以OM==,Rt△EMO中,EM==,cos∠EMO===.所以所求角的余弦值为.【一题多解】由(1)知EG⊥FH,EG⊥SO,并可同理得到HF⊥SO,故以O 为原点,分别以OF,OG,OS所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz,在原平面图形中,AE=,则底面正方形EFGH的对角线EG=5,所以H,E,G,=,=.在原平面图形中,可求得SE=,在Rt△SOE中,可求得SO==5,所以S(0,0,5),=.设平面SEH的一个法向量为n=(x,y,z),则得令x=2,则n=(2,2,-1),因为EG⊥平面SFH,所以是平面SFH的一个法向量,设二面角E-SH-F的大小为θ,则cos θ==.所以二面角E-SH-F的余弦值为,即cos∠EMO=.21.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD.(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.【解析】(1)由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)在平面PAD内作PF⊥AD,垂足为F,由(1)可知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PF,可得PF⊥平面ABCD.以F为坐标原点,的方向为x轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系.令PA=1,由(1)及已知可得,A,P,B,C.所以=,=(,0,0),=,=( 0,1,0).设n=(x,y,z)是平面PCB的法向量,则可取n=(0,-1,-).设m=(x′,y′,z′)是平面PAB的法向量,则即可取m=(1,0,1).则cos <n,m>=错误！未找到引用源。

第七单元立体几何小题必刷卷(十)立体几何题组一真题集训1.[2014·全国卷Ⅰ]如图X10-1,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是 ()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱图X10-12.[2017·全国卷Ⅱ]如图X10-2,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()A.90πB.63πC.42πD.36π图X10-23.[2017·北京卷]某四棱锥的三视图如图X10-3所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()A.3B.2C.2D.2图X10-34.[2017·全国卷Ⅲ]已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 ()A.πB.C.D.5.[2015·广东卷]若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交6.[2016·全国卷Ⅰ]平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.B.C.D.7.[2017·全国卷Ⅰ]某多面体的三视图如图X10-4所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A.10B.12C.14D.16图X10-48.[2017·全国卷Ⅱ]已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.B.C.D.9.[2016·全国卷Ⅱ]α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)10.[2017·全国卷Ⅰ]如图X10-5,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.图X10-5题组二模拟强化11.[2018·武汉调研]一个几何体的三视图如图X10-6所示,则它的表面积为 ()A.28B.20+2C.20+4D.24+2图X10-612.[2018·温州一模]某几何体的三视图如图X10-7所示,则该几何体的体积是()A.+πB.+πC.D.图X10-713.[2017·怀化四模]在三棱锥A-BCD中,E,F分别是AB,CD的中点,若AD=BC=2,AD与BC 所成的角为θ,EF=,则sin θ=()A. B. C.D.14.[2017·合肥二模]若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥与平面α平行的棱有()A.0条B.1条C.2条D.1条或2条15.[2017·厦门二模]如图X10-8是由正三棱锥与正三棱柱组合而成的几何体的三视图,若该几何体的顶点都在半径为R的球面上,则R=()A.1B.C.D.图X10-816.[2017·广州二模]在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱A1D1的中点,过C1,B,M 作正方体的截面,则这个截面的面积为()A.B.C. D.17.[2017·郑州质检]在四面体A-BCD中,AB=CD=10,AC=BD=2,AD=BC=2,则四面体A-BCD外接球的表面积为()A.50πB.100πC.200πD.300π18.[2017·洛阳二模]一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水,任意转动这个正方体容器,则水面在容器中的形状可以是:(1)三角形;(2)四边形;(3)五边形;(4)六边形.其中正确的结论是()A.(1)(3)B.(2)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)19.[2017·河南六市二联]如图X10-9,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线与粗虚线画出的是某多面体的三视图,则该多面体外接球的表面积为.图X10-920.[2017·泉州质检]如图X10-10,一张纸的长、宽分别为2a,2a,A,B,C,D分别是其四条边的中点.现将其沿图中虚线折起,使得P1,P2,P3,P4四点重合为一点P,从而得到一个多面体.下列关于该多面体的说法中正确的是.(写出所有正确说法的序号)①该多面体是三棱锥;②平面BAD⊥平面BCD;③平面BAC⊥平面ACD;④该多面体外接球的表面积为5πa2.图X10-10解答必刷卷(四)立体几何题组一真题集训1.[2017·全国卷Ⅲ]如图J4-1,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.图J4-12.[2017·天津卷]如图J4-2,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.(1)求证:MN∥平面BDE;(2)求二面角C-EM-N的正弦值;(3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.图J4-23.[2016·全国卷Ⅰ]如图J4-3,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.(1)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;(2)求二面角E-BC-A的余弦值.图J4-3题组二模拟强化4.[2017·石家庄二模]在如图J4-4所示的多面体ABCDEF中,四边形ABCD为直角梯形,AB ∥CD,∠DAB=90°,四边形ADEF为等腰梯形,EF∥AD,已知AE⊥EC,AB=AF=EF=2,AD=CD=4.(1)求证:平面ABCD⊥平面ADEF;(2)求直线CF与平面EAC所成角的正弦值.图J4-45.[2017·福州质检]如图J4-5所示,梯形ABCD中,AB∥CD,矩形BFED所在的平面与平面ABCD 垂直,且AD=DC=CB=BF=AB.(1)求证:平面ADE⊥平面BFED;(2)若P为线段EF上一点,平面PAB与平面ADE所成的锐二面角为θ,求θ的最小值.图J4-56.[2017·合肥二模]如图J4-6①所示,矩形ABCD中,AB=1,AD=2,点E为AD的中点,沿BE将△ABE折起至△PBE,如图②所示,点P在平面BCDE的射影O落在BE上.(1)求证:BP⊥CE;(2)求二面角B-PC-D的余弦值.图J4-6小题必刷卷(十)1.B[解析] 从俯视图为矩形可以看出,此几何体不可能是三棱锥或四棱锥,其直观图如图,是一个三棱柱.2.B[解析] 几何体的直观图如图所示,所以该几何体的体积为π×32×4+×π×32×6=63π.3.B[解析] 将四棱锥放在棱长为2的正方体中,该四棱锥为D'-B'C'CB,如图所示.该四棱锥最长的棱为正方体的体对角线D'B,D'B===2,故选B.4.B[解析] 由题可知球心为圆柱的中心,则圆柱底面圆的半径r==,故圆柱的体积V=π××1=.5.D[解析] 若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则l至少与l1,l2中的一条相交,故选D.6.A[解析] 因为平面α∥平面CB1D1,所以平面α与平面ABCD的交线m平行于平面CB1D1与平面ABCD的交线l.因为在正方体中平面ABCD平行于平面A1B1C1D1,所以l∥B1D1,所以m∥B1D1.同理,n平行于平面CB1D1与平面ABB1A1的交线.因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1,所以平面CB1D1与平面ABB1A1的交线平行于平面CB1D1与平面CDD1C1的交线CD1,所以n∥CD1.故m,n所成的角即为B1D1,CD1所成的角,显然所成的角为60°,则其正弦值为.7.B[解析] 该几何体为一个三棱柱和一个三棱锥的组合体,其直观图如图所示,各个面中有两个全等的梯形,其面积之和为2××2=12.8.C[解析] 方法一:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(0,0,0),B1(0,0,1),C1,所以=(-2,0,1),=,故异面直线AB1与BC1所成角θ的余弦值cos θ===.方法二:如图,将该直三棱柱补充成直四棱柱,其中CD∥AB且CD=AB,则可得AB1∥DC1且AB1=DC1,图中∠BC1D即为异面直线AB1与BC1所成的角或所成角的补角.在△BC1D中,BC1=,DC1=,BD==,所以cos∠BC1D==.故异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.9.②③④[解析] 对于①,m⊥n,m⊥α,n∥β,则α,β的位置关系无法确定,故错误;对于②,因为n∥α,所以可过直线n作平面γ与平面α相交于直线c,则n∥c,因为m⊥α,所以m⊥c,所以m⊥n,故正确;对于③,由两个平面平行的性质可知其正确;对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确.故正确的有②③④.10.4[解析] 设△ABC的边长为a cm,0<a<5,则三个等腰三角形的高为 cm,折起后所得正三棱锥的高为= (cm),所以所得三棱锥的体积为×a2×= (cm3).令u=25a4-a5,则u'=100a3-a4=25a3,其中0<a<5,当0<a<4时,u'>0,当4<a<5时,u'<0,故a=4为u=25a4-a5在定义域内唯一的极大值点,也是最大值点,所以当a=4时,三棱锥的体积最大,最大值为××(4)2×=4×=4(cm3).11.D[解析] 如图所示,三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后剩余的部分,故该几何体的表面积S=(2×2)×5+×1×2×2+2×1+2×=24+2.12.A[解析] 由三视图可知,该几何体是由半个圆柱和以圆柱轴截面为底面的四棱锥组成的组合体,其中半圆柱底面半径为1,高为2,体积为×π×12×2=π,四棱锥的体积为×4×1=,所以该几何体的体积为+π,故选A.13.D[解析] 如图,取BD的中点G,连接EG,FG.∵E,F分别是AB,CD的中点,∴EG∥AD,FG∥BC,又∵AD与BC所成的角为θ,∴∠EGF即为θ(或θ的补角).在△EFG中,易知EG=FG=1,EF=,∴cos∠EGF===-,∴sin θ==,故选D.14.C[解析] 如图所示,四边形EFGH为平行四边形,则EF∥GH.∵EF⊄平面BCD,GH⊂平面BCD,∴EF∥平面BCD.∵EF⊂平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD,∴EF∥CD,∴CD∥平面EFGH,同理AB∥平面EFGH,故选C.15.B[解析] 正三棱柱的底面边长为,高为2,设正三棱柱的上、下底面中心分别为O,O1,连接OO1,则该几何体外接球的球心为OO1的中点H,设正三棱柱底面的一个顶点为A.∵底面边长为,∴O1A=×=1,又O1H=1,∴HA==,即外接球的半径为,故选B.16.C[解析] 取AA1的中点N,连接MN,NB,MC1,BC1,易知MN∥BC1,∴截面为梯形,且MN=BC1=,MC1=BN=,∴梯形的高为,∴梯形的面积为×(+2)×=,故选C.17.C[解析] 由题意可采用割补法.考虑到四面体A-BCD的四个面为全等的三角形,所以可将四面体A-BCD置于一个长方体中,所以四面体A-BCD的外接球即为长方体的外接球.设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,则x2+y2=100,x2+z2=136,y2+z2=164,设外接球的半径为R,则有(2R)2=x2+y2+z2=200,即4R2=200,所以外接球的表面积S=4πR2=200π,故选C.18.B[解析] 正方体容器中盛有一半容积的水,无论怎样转动,其水面总是过正方体的中心.三角形截面不过正方体的中心,故(1)中结论不正确;过正方体的一对相对的棱和中心可作一截面,截面形状为长方形,故(2)中结论正确;显然水面在容器中的形状不可能是五边形,故(3)中结论不正确;过正方体一平面上相邻两边的中点以及正方体的中心得截面形状为正六边形,故(4)中结论正确.故选B.19.π[解析] 根据三视图可得该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O-ABCD,正方体的棱长为2,A,D为正方体棱的中点,根据几何体可以判断,外接球球心在过A,D且平行于正方体下底面的截面上.设外接球半径为R,球心到平面BCO的距离为x,则球心到AD的距离为2-x,∴R2=x2+()2,R2=12+(2-x)2,解得x=,R=,∴该多面体外接球的表面积为4πR2=π.20.①②③④[解析] 由题意得,该多面体是三棱锥,故①中说法正确.根据题意可得,BD=2a,AD=CD=AB=BC=a,分析可得,平面BAD⊥平面BCD,故②中说法正确,同理平面BAC⊥平面ACD,故③中说法正确.易得多面体外接球的半径为,则该多面体外接球的表面积为5πa2,故④中说法正确.解答必刷卷(四)1.解:(1)证明:由题设可得,△ABD≌△CBD,从而AD=DC.又△ACD是直角三角形,所以∠ADC=90°.取AC的中点O,连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.又由于△ABC是正三角形,故BO⊥AC,所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角.在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故∠DOB=90°,所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由题设及(1)知,OA,OB,OD两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,即E为DB的中点,得E.故=(-1,0,1),=(-2,0,0),=.设n=(x,y,z)是平面DAE的法向量,则即可取n=.设m是平面AEC的法向量,则同理可取m=(0,-1,),则cos<n,m>==,所以二面角D-AE-C的余弦值为.2.解:如图,以A为原点,分别以,,方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(1)证明:=(0,2,0),=(2,0,-2).设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则即不妨取z=1,可得n=(1,0,1).又=(1,2,-1),可得·n=0.因为MN⊄平面BDE,所以MN∥平面BDE.(2)易知n1=(1,0,0)为平面CEM的一个法向量.设n2=(x2,y2,z2)为平面EMN的法向量,则因为=(0,-2,-1),=(1,2,-1),所以不妨取y2=1,可得n2=(-4,1,-2).因此有cos<n1,n2>==-,于是sin<n1,n2>=,所以二面角C-EM-N的正弦值为.(3)依题意,设AH=h(0≤h≤4),则H(0,0,h),进而可得=(-1,-2,h),=(-2,2,2).由已知,得|cos<,>|===,整理得10h2-21h+8=0,解得h=或h=,所以,线段AH的长为或.3.解:(1)证明:由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,又DF∩FE=F,所以AF⊥平面EFDC.又AF⊂平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC.(2)过D作DG⊥EF,垂足为G,由(1)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G -xyz.由(1)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角,故∠DFE=60°,则DF=2,DG=,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,).由已知得,AB∥EF,所以AB∥平面EFDC.又平面ABCD∩平面EFDC=CD,故AB∥CD,CD∥EF.由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC,所以∠CEF为二面角C-BE-F的平面角,故∠CEF=60°,从而可得C(-2,0,),所以=(1,0,),=(0,4,0),=(-3,-4,),=(-4,0,0).设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,则即所以可取n=(3,0,-).设m=(x1,y1,z1)是平面ABCD的法向量,则同理可取m=(0,,4),则cos<n,m>==-,结合图形得,二面角E-BC-A的余弦值为-.4.解:(1)证明:取AD的中点M,连接EM,由AF=EF=DE=2,AD=4,可知EM=AD,∴AE⊥DE.又AE⊥EC,DE∩EC=E,∴AE⊥平面CDE,∴AE⊥CD.又CD⊥AD,AD∩AE=A,∴CD⊥平面ADEF,又∵CD⊂平面ABCD,∴平面ABCD⊥平面ADEF.(2)如图,过点E作EO⊥AD,则EO⊥平面ABCD,过点O作OG∥DC交BC于点G,以O为原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得E(0,0,),A(3,0,0),C(-1,4,0),F(2,0,),所以=(3,0,-),=(-4,4,0),=(3,-4,).设n=(x,y,z) 为平面EAC的法向量,则即不妨设x=1,可得n=(1,1,),所以cos<,n>===,即直线CF与平面EAC所成角的正弦值为.5.解:(1)证明:取AB的中点G,连接DG,因为AB∥CD,DC=AB=BG,所以四边形BCDG为平行四边形,则DG=CB,所以DG=AG=BG,所以AD⊥BD.因为平面BFED⊥平面ABCD, 平面BFED∩平面ABCD=DB,AD⊥DB,AD⊂平面ABCD,所以AD⊥平面BFED.又AD⊂平面ADE,所以平面ADE⊥平面BFED.(2)因为四边形BFED为矩形,所以ED⊥DB.由(1)知AD⊥ED,AD⊥DB,故建立如图所示空间直角坐标系D-xyz.设AD=1,则A(1,0,0),B(0,,0),P(0,t,1)(0≤t≤),所以=(-1,t,1),=(-1,,0).设m=(x,y,z)是平面PAB的法向量,则取y=1,则m=(,1,-t+).易知平面ADE的一个法向量为n=(0,1,0),所以cos θ=≤,又θ∈0,,所以θmin=.6.解:(1)证明:∵点P在平面BCDE的射影O落在BE上,∴平面PBE⊥平面BCDE.易知BE⊥CE,又平面PBE∩平面BCDE=BE,∴CE⊥平面PBE,而BP⊂平面PBE,∴PB⊥CE.(2)以O为坐标原点,以过点O且平行于CD的直线为x轴,过点O且平行于BC的直线为y轴,直线PO为z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则B,-,0,C,,0,D-,,0,P0,0,,∴=(-1,0,0),=-,-,,=,-,-,=(0,2,0).设平面PCD的法向量为n1=(x1,y1,z1),则即令z1=,可得n1=0,,.设平面PBC的法向量为n2=(x2,y2,z2),则即令z2=,可得n2=(2,0,),∴cos<n1,n2>==.易知二面角B-PC-D为钝二面角,则二面角B-PC-D的余弦值为-.。

2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是( ) A ．9B ．8C ．7D ．6（2005湖北卷）2．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种（2010全国卷2理数）（6）3．设集合U={1,2,3,4,5}，A={1,3,5}，B={2,3,5}，则 )(B A C U 等于（ ）A ．{1，2，4}B ．{4}C ．{3，5}D ．φ (2004福建文)4．已知123,,ααα是三个相互平行的平面，平面12,αα之间的距离为1d ，平面23,a α之前的距离为2d ，直线l 与123,,ααα分别相交于123,,P P P .那么“1223P P P P =”是“12d d =”的( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件（2011江西理8）5．命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是 A.若α≠4π，则tan α≠1 B. 若α=4π，则tan α≠1C. 若tan α≠1，则α≠4πD. 若tan α≠1，则α=4π6．91)x展开式中的常数项是（ C ） (A) －36 (B)36 (C) －84 (D) 847．动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。

已知时间0t =时，点A的坐标是1(2，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是 A 、[]0,1 B 、[]1,7 C 、[]7,12 D 、[]0,1和[]7,12二、填空题8． 已知集合{}1 3 5 9U =，，，，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则()U A B =U ð ▲ ．9．异面直线a , b 所成的角为︒60，过空间一定点P ，作直线L ，使L 与a ,b 所成的角均为︒60，这样的直线L 有 条。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．已知点O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a ，b 不能构成空间基底的向量是( )A.OA →B.OB →C.OC →D.OA →或OB →答案 C解析 根据题意得OC →＝12(a －b )，所以OC →，a ，b 共面．故选C. 2．有4个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A ，B 共面； ④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 ①正确；②中，若a ，b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立；③正确；④中，若M ，A ，B 共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋yMB →不正确．故选B.3．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′→＝xAB →＋2yBC →－3zCC ′→，则x ＋y ＋z ＝( )A ．1 B.76 C.56 D.23答案 B解析 ∵AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AD →＋AB →＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝xAB →＋2yBC →－3zCC ′→，∴x ＝1，y ＝12，z ＝－13， ∴x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76.故选B.4．已知四边形ABCD 满足AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为( )A ．平行四边形B ．梯形C ．平面四边形D ．空间四边形答案 D解析 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和都是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．故选D.5. (2018·北京东城模拟)如图所示，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则|PC →|等于()A ．6 2B ．6C ．12D ．144答案 C解析 ∵PC →＝P A →＋AB →＋BC →， ∴PC →2＝P A →2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC →， ∴|PC →|2＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144， ∴|PC →|＝12.故选C.6．(2017·舟山模拟)平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°，且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8答案 A解析 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝a ＋b ＋c ，|AC 1→|2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝25，因此|AC 1→|＝5.故选A.7．(2017·南充三模)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，下列命题： ①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角为60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|， 其中正确命题的序号是( ) A ．①② B ．①②③ C ．①④ D ．①②④答案A解析 设正方体边长为单位长为1，建立空间直角坐标系，如图． A 1A →＝(0,0,1)，A 1D 1→＝(1,0,0)，A 1B 1→＝(0,1,0)，A 1C →＝(1,1,1)，AD 1→＝(1,0，－1)，所以对于①，(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝(1,1,1)·(1,1,1)＝3＝3A 1B 1→2，故①正确；对于②，A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，故②正确； 对于③，因为AD 1→·A 1B →＝(1,0，－1)·(0,1,1)＝－1，向量AD 1→与向量A 1B →的夹角为120°，故③错误；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →||AA 1→|·|AD →|，但是|AB →·AA 1→·AD →|＝0，故④错误．故选A.8．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则x ＝2，y ＝－3，z ＝2是P ，A ，B ，C 四点共面的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析 当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时， 即OP →＝2OA →－3OB →＋2OC →，则AP →－AO →＝2OA →－3(AB →－AO →)＋2(AC →－AO →)，即AP →＝－3AB →＋2AC →，根据共面向量定理，知P ，A ，B ，C 四点共面；反之，当P ，A ，B ，C 四点共面时，根据共面向量定理AP →＝mAB →＋nAC →，即OP →－OA →＝m (OB →－OA →)＋n (OC →－OA →)， 即OP →＝(1－m －n )OA →＋mOB →＋nOC →，即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不止2，－3,2. 故是充分不必要条件．故选B.9．(2018·福州质检)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216aB.66aC.156aD.153a答案 A解析 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2. 设M (x ，y ，z )，∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→， ∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )， ∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3，∴|MN →|＝⎝⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216a .故选A.10．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直答案 B解析 如图所示，在图1中，易知AE ＝CF ＝63，BE ＝EF ＝FD ＝33.在图2中，设AE →＝a ，EF →＝b ，FC →＝c ， 则〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝90°，设〈a ，c 〉＝θ， 则AC →＝a ＋b ＋c ，BD →＝3b ， 故AC →·BD →＝3b 2＝1≠0，故AC 与BD 不垂直，A 不正确；AB →＝AE →＋EB →＝a －b ，CD →＝CF →＋FD →＝b －c ， 所以AB →·CD →＝－a ·c －b 2＝－23cos θ－13.当cos θ＝－12，即θ＝2π3时，AB →·CD →＝0，故B 正确，D 不正确； AD →＝AE →＋ED →＝a ＋2b ，BC →＝BF →＋FC →＝2b ＋c ， 所以AD →·BC →＝a ·c ＋4b 2＝23cos θ＋43＝23(cos θ＋2)， 故无论θ为何值，AD →·BC →≠0，故C 不正确．故选B. 二、填空题11．(2017·银川模拟)已知点A (1,2,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP →＝2PB →，则|PD →|的值是________．答案773解析 设P (x ，y ，z )，∴AP →＝(x －1，y －2，z －1)．PB →＝(－1－x ，3－y ，4－z )，由AP →＝2PB →，得点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，83，3，又D (1,1,1)，∴|PD →|＝773. 12．如图，已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O ，Q 是CD 的中点，若P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →，则x ＋y ＝________.答案 0解析 P A →－PD →＝DA →＝OA →－OD →＝－OC →－OD →＝－(OC →＋OD →)＝－2OQ →＝－2(PQ →－PO →)＝2PO →－2PQ →.∵P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →，∴P A →－PD →＝xPO →＋yPQ →， ∴2PO →－2PQ →＝xPO →＋yPQ →.∵PQ →与PO →不共线，∴x ＝2，y ＝－2，∴x ＋y ＝0.13．已知O (0,0,0)，A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取最小值时，点Q 的坐标是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83解析 由题意，设OQ →＝λOP →，即OQ →＝(λ，λ，2λ)， 则QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， ∴QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)·(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－23，当λ＝43时有最小值，此时Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83. 14．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为________．答案 25解析 以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AQ 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形ABCD 和ADPQ 的边长为2，则E (1,0,0)，F (2,1,0)，M (0，y,2)(0≤y ≤2)．所以AF →＝(2,1,0)，EM →＝(－1，y,2)．所以AF →·EM →＝－2＋y ，|AF →|＝5，|EM →|＝5＋y 2. 所以cos θ＝|AF →·EM →||AF →||EM →|＝|－2＋y |5·5＋y 2＝2－y 5·5＋y2. 令2－y ＝t ，则y ＝2－t ，且t ∈[0,2]．所以cos θ＝t 5·5＋(2－t )2＝t 5·9－4t ＋t 2. 当t ＝0时，cos θ＝0.当t ≠0时，cos θ＝15·9t 2－4t ＋1＝15·9⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －292＋59， 由t ∈(0,2]，得1t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞， 所以 9⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －292＋59≥ 9×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－292＋59＝52. 所以0<cos θ≤25，即cos θ的最大值为25.三、解答题15．(2018·唐山模拟)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 和b 夹角的余弦值；(2)设|c |＝3，c ∥BC →，求c 的坐标．解 (1)因为A B →＝(1,1,0)，AC →＝(－1,0,2)，所以a ·b ＝－1＋0＋0＝－1，|a |＝2，|b |＝ 5. 所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12×5＝－1010. (2)BC →＝(－2，－1,2)，设c ＝(x ，y ，z )，因为|c |＝3，c ∥BC →，所以x 2＋y 2＋z 2＝3，存在实数λ使得c ＝λBC →，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2λ，y ＝－λ，z ＝2λ，联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－1，z ＝2，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，z ＝－2，λ＝－1，所以c ＝±(－2，－1,2)．16．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.(1)求线段AC 1的长；(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值；(3)证明：AA 1⊥BD.解 (1)如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝1，|c |＝2.a ·b ＝0，a ·c ＝b ·c ＝2×1×cos120°＝－1.∵AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝a ＋b ＋c ，∴|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2a ·c ＋2b ·c＝1＋1＋22－2－2＝2.∴|AC 1→|＝ 2.即AC 1长为 2.(2)∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，A 1D →＝b －c ，∴AC 1→·A 1D →＝(a ＋b ＋c )·(b －c ) ＝a ·b －a ·c ＋b 2－b ·c ＋b ·c －c 2 ＝1＋12－22＝－2.又|A 1D →|2＝(b －c )2＝b 2＋c 2－2b ·c ＝1＋4＋2＝7，∴|A 1D →|＝7.∴cos 〈AC 1→，A 1D →〉＝AC 1→·A 1D →|AC 1→||A 1D →|＝－22×7＝－147. ∴异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为147.(3)证明：∵AA 1→＝c ，BD →＝b －a ，∴AA 1→·BD →＝c ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＝－1－(－1)＝0.∴AA 1→⊥BD →，即AA 1⊥BD .。

（新课标）2019届高三数学一轮复习 滚动测试七 理一、选择题（本大题12个小题，每小题5分，共60分）1．若全集R U =，集合{}|22M x x =-≤≤，{}2|30N x x x =-≤，则(C )U MN ＝（ ）A.[2,0]-B. [2,0)-C.[0,2]D. (0,2]2．已知,,O A B 是平面上的三点,直线AB 上有一点C ,满足2AC CB =-,则OC 等于 ( ) A. 32OA OB - B. 23OA OB -+ C. 2OA OB - D. 2OA OB -+3．下列四个函数中，是偶函数且在区间10-（，）上为减函数的是 （ ）A ．13y x =-B ．cos 2y x =C ．x y 2log =D ．2x y -=-4.已知{}n a 是公比为q 的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列. 则q =（ ） A ．1或12-B ．1C ．12- D ．2- 5．已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且115a b +=，11a b >，11,N a b *∈，则数列{}n b a 的前10项的和等于（ ） A ．65B ．75C ．85D ．956.若O 为ABC △的内心，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC △的形状为( ） A.等腰三角形 B.正三角形 C. 直角三角形 D.钝角三角形7. ABC △中，︒=∠==30,1,3B AC AB ，则ABC △的面积等于（ ）A ．23 B ．43 C ．323或 D ．4323或 8．ABC △的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,q b a =-)c a -若//p q ,则角C 的大小为 （ ）A.6πB.3πC. 2πD. 23π9. 已知ABC △的三个顶点,,A B C 及平面内一点P ，且PA PB PC AB ++=，则点P 与ABC △的位置关系是 （ ）A.P 在ABC △内部B.P 在ABC △外部C.P 在AB 边上或其延长线上D.P 在AC 边上10.设函数ax x x f m+=)(的导函数12)(+='x x f ，则数列*)}()(1{N n n f ∈的前n 项和是（ ） A ．1+n n B ．12++n n C ．1-n n D ．nn 1+11．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >,0ω>）的图象与直线 (0)y b b A =<<的三个相 邻交点的横坐标分别是2、4、8,则函数()f x 的单调递增区间是（ ） A ．[6, 63]k k ππ＋，k ∈Z B ．[63, 6]k k -，k ∈Z C ．[6, 63]k k +，k ∈ZD ．无法确定12． 已知函数)(x f 的定义域为[2,)-+∞，部分对应值如下表，()f x '为)(x f 的导函数，函数)('x f y =的图象如图所示：若两正数,a b 满足(2)1f a b +<，则33b a ++的取值范围是（ ） A ．)34,76(B ．)37,53(C ．)56,32(D ．)3,31(-第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分).13. 已知x y ∈+R ，，且14=+y x ，则xy 的最大值是 ．14．已知函数a x x x f --+=1)(的图像关于点)0,21(对称，则不等式()1f x ≥的解集是 。

阶段检测卷(一)时间：50分钟满分：100分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分，有且只有一个正确答案，请将正确选项填入题后的括号中．1．(2017年广东深圳二模)已知集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x||x|<2}，则( )A．A∩B＝∅B．A∩B＝AC．A∪B＝AD．A∪B＝R2．已知方程x2＋y2a＝1(a是常数)，则下列结论正确的是( )A．对任意实数a，方程表示椭圆B．存在实数a，使方程表示椭圆C．对任意实数a，方程表示双曲线D．存在实数a，使方程表示抛物线3．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且在[0,1]上是增函数，则有( ) A．f⎝⎛⎭⎪⎫14<f⎝⎛⎭⎪⎫－14<f⎝⎛⎭⎪⎫32B．f⎝⎛⎭⎪⎫－14<f⎝⎛⎭⎪⎫14<f⎝⎛⎭⎪⎫32C．f⎝⎛⎭⎪⎫14<f⎝⎛⎭⎪⎫32<f⎝⎛⎭⎪⎫－14D．f⎝⎛⎭⎪⎫－14<f⎝⎛⎭⎪⎫32<f⎝⎛⎭⎪⎫144．(2017年广东深圳一模) 函数f(x)＝2x＋12x－1·cos x的图象大致是( )A B C D5．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是( )A．(－∞，7] B．(－∞，－20]C．(－∞，0] D．[－12,7]6．已知函数f(x)＝log a(ax－1)在[2,3]上单调递减，则a的取值范围是( )A．(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝⎛⎭⎪⎫0，13D.⎝⎛⎭⎪⎫12，17．(2016年新课标Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3| 与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x m，y m)，则1miix=∑＝( ) A．0 B．mC．2m D．4m8．若函数f(x)在R 上可导，且满足f (x )<xf ′(x )，则( ) A ．2f (1)<f (2) B ．2f (1)>f (2) C ．2f (1)＝f (2) D ．f (1)＝f (2)二、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，把答案填在题中横线上． 9．(2015年新课标Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝______________.10．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则函数y ＝f [f (x )]＋1的所有零点所构成的集合为______________．11．(2017年山东)若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为________．①f (x )＝2－x；②f (x )＝3－x；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 2＋2.三、解答题：本大题共2小题，共34分，解答须写出文字说明、证明过程或推演步骤．12．(14分)(2017年湖北襄阳一模)已知函数f (x )＝4ln x －x ，g (x )＝ax 2＋ax ＋1(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若af (x )>g (x )对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围．13．(20分)(2017年广东调研)已知函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax (a ≠0)，g (x )＝(m －1)x 2＋2mx －1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，关于x 的不等式f (x )≤g (x )恒成立，求整数m 的最小值．阶段检测卷(一)1．B 解析：因为集合A ＝{x |x 2－2x <0}＝{x |0<x <2}，B ＝{x ||x |<2}＝{x |－2<x <2}，所以A ∩B ＝{x |0<x <2}＝A .故选B.2．B 解析：显然当a >1时，该方程表示椭圆．故选B.3．B 解析：因为f (x －2)＝－f (x )，所以T ＝4，且关于x ＝－1对称，由奇函数和单调性得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32.故选B. 4．C 解析：f (－x )＝2－x ＋12－x －1cos(－x )＝－2x ＋12x －1cos x ＝－f (x )，则函数f (x )为奇函数，图象关于原点对称，排除A ，B ；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )＞0，所以排除D.故选C.5．B 解析：令f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋2，则f ′(x )＝3x 2－6x －9.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝3(舍去)．∵f (－1)＝7，f (－2)＝0，f (2)＝－20，∴f (x )的最小值为f (2)＝－20.故m ≤－20.6．D 解析：由于a ＞0，且a ≠1，∴u ＝ax －1为增函数，∴若函数f (x )为减函数，则f (x )＝log a u 必为减函数，因此0<a <1.又y ＝ax －1在[2,3]上恒为正，∴2a －1＞0，即a ＞12.故选D.7．B 解析：因为y ＝f (x )，y ＝|x 2－2x －3|都关于x ＝1对称，所以它们交点也关于x＝1对称，当m 为偶数时，其和为2×m 2＝m ；当m 为奇数时，其和为2×m －12＋1＝m .故选B.8．A 解析：由于f (x )<xf ′(x )，所以⎝⎛⎭⎪⎫f x x′＝f ′x x －f x x2>0恒成立，因此f x x 在R 上是单调递增函数．∴f 22>f 11，即f (2)>2f (1)．故选A. 9．8 解析：由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x，得曲线在点(1,1)的切线的斜率为k ＝y ′|x＝1＝2.所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.此切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0，得a ≠0，且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.10.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2 解析：本题即求方程f [f (x )]＝－1的所有根的集合，先解方程f (t )＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤0，t ＋1＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧t ＞0，log 2t ＝－1，得t ＝－2，或t ＝12.再解方程f (x )＝－2，f (x )＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，log 2x ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，log 2x ＝12，得x ＝－3，或x ＝14，或x ＝－12，或x ＝ 2.11．①④ 解析：①e x f (x )＝e x ·2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ，在R 上单调递增，故f (x )＝2－x具有M 性质；②e x f (x )＝e x ·3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x ，在R 上单调递减，故f (x )＝3－x不具有M 性质；③e xf (x )＝e x·x 3，令g (x )＝e x ·x 3，则g ′(x )＝e x ·x 3＋e x ·3x 2＝x 2e x(x ＋3)，∴当x >－3时，g ′(x )>0，当x <－3时，g ′(x )<0.∴e xf (x )在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增．故f (x )＝x 3不具有M 性质；④e x f (x )＝e x (x 2＋2)，令g (x )＝e x (x 2＋2)，则g ′(x )＝e x (x 2＋2)＋e x ·2x ＝e x [(x ＋1)2＋1]>0，∴e x f (x )＝e x (x 2＋2)在R 上单调递增，故f (x )＝x 2＋2具有M 性质．12．解：(1)∵f ′(x )＝4x －1＝4－xx，∴函数f (x )的单调递增区间是(0,4]，单调递减区间是[4，＋∞)．(2)不等式af (x )>g (x )等价于4a ln x －ax 2－2ax －1>0. ① 当a ＝0时，①不成立；当a > 0时，①化为1a<4ln x －x 2－2x ； ②当a < 0时，①化为1a>4ln x －x 2－2x . ③令h (x )＝4ln x －x 2－2x (x > 0)，则h ′(x )＝4x －2x －2＝－2x 2＋2x －4x＝－2x －1x ＋2x.∴当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0. ∴h (x )在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数． ∴h max (x )＝h (1)＝－3.因此②不成立．要③成立，只要1a >－3，解得a <－13.∴所求实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13.13．解：(1)f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－2x 2－ax －a 2x ＝－2x ＋ax －ax (x >0)．①当a >0时，由f ′(x )>0，得0<x <a ，由f ′(x )<0，得x >a .所以f (x )的单调递增区间为(0，a )，单调递减区间为(a ，＋∞)．②当a <0时，由f ′(x )>0，得0<x <－a2，由f ′(x )<0，得x >－a2.所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，＋∞.(2)令F (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －mx 2＋(1－2m )x ＋1(x >0)，F ′(x )＝1x－2mx ＋1－2m ＝－2mx 2＋1－2m x ＋1x＝－2mx －1x ＋1x.当m ≤0时，F ′(x )>0，所以函数F (x )在(0，＋∞)上单调递增．而F (1)＝ln 1－m ×12＋(1－2m )＋1＝－3m ＋2>0，所以关于x 的不等式f (x )≤g (x )不恒成立．故m ≤0时不满足题意．当m >0时，当0<x <12m 时，F ′(x )>0；当x >12m 时，F ′(x )<0，所以函数F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞上单调递减． 所以F (x )max ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＝ln 12m －m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＋(1－2m )×12m ＋1＝14m －ln(2m )．令h (m )＝14m －ln(2m )，因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，h (1)＝14－ln 2<0，又h (m )在(0，＋∞)上是减函数，所以当m ≥1时，h (m )<0.故整数m 的最小值为1.。

“平面向量”双基过关检测一、选择题1．(2018·常州调研)已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，则下列结论正确的是( )A ．OA ―→＝13AB ―→＋23BC ―→ B ．OA ―→＝23AB ―→＋13BC ―→ C ．OA ―→＝13AB ―→－23BC ―→ D ．OA ―→＝－23AB ―→－13BC ―→ 解析：选D ∵OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，∴O 为△ABC 的重心，∴OA ―→＝－23×12(AB ―→＋AC ―→)＝－13(AB ―→＋AC ―→) ＝－13(AB ―→＋AB ―→＋BC ―→)＝－13(2AB ―→＋BC ―→) ＝－23AB ―→－13BC ―→. 2．(2018·合肥质检)已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC ―→＋CB ―→＝0，则向量OC―→等于( )A.23OA ―→－13OB ―→ B ．－13OA ―→＋23OB ―→ C ．2OA ―→－OB ―→ D ．－OA ―→＋2OB ―→解析：选C 因为AC ―→＝OC ―→－OA ―→，CB ―→＝OB ―→－OC ―→，所以2AC ―→＋CB ―→＝2(OC ―→－OA ―→)＋(OB ―→－OC ―→)＝OC ―→－2OA ―→＋OB ―→＝0，所以OC ―→＝2OA ―→－OB ―→.3．已知向量a 与b 的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝2，则|a －b|的值为( )A ．1 B.13 C ．13 D.7－2 3解析：选A 由向量a 与b 的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝2，可得a ·b ＝|a |·|b |·c os 30°＝3×2×32＝3，所以|a －b|＝a －b 2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝3＋4－2×3＝1. 4．(2018·成都一诊)在边长为1的等边△ABC 中，设BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，AB ―→＝c ，则 a ·b＋b ·c ＋c ·a ＝( )A ．－32B ．0 C.32 D ．3解析：选A 依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32. 5．已知非零向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a|＝3，且a 与a ＋b 的夹角为π4，则|b|＝( ) A ．6B ．3 2C ．2 2D ．3解析：选D 由非零向量a ，b 满足a ·b ＝0，可知两个向量垂直，由|a|＝3，且a 与a ＋b 的夹角为π4， 说明以向量a ，b 为邻边，a ＋b 为对角线的平行四边形是正方形，所以|b|＝3.6．(2017·青岛二模)在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(1,2)，a －12b ＝(3,1)，c ＝(x,3)，若(2a ＋b)∥c ，则x ＝( )A ．－2B ．－4C ．－3D ．－1解析：选D 依题意得b ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ＝(－4,2)， 所以2a ＋b ＝(－2,6)，所以6x ＝－2×3＝－6，x ＝－1.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点，且∠AOC ＝π4，且|OC ―→|＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝( )A ．2 2 B. 2 C ．2 D ．4 2 解析：选A 因为|OC ―→|＝2，∠AOC ＝π4， 所以C (2，2)，又OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.8.已知函数f (x )＝A sin(πx ＋φ)的部分图象如图所示，点B ，C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于D ，E 两点，则 (BD ―→＋BE ―→)·(BE ―→－CE ―→)的值为( )A ．－1B ．－12 C.12 D ．2 解析：选D 注意到函数f (x )的图象关于点C 对称，因此C 是线段DE 的中点，BD ―→＋BE ―→＝2BC ―→.又BE ―→－CE ―→＝BE ―→＋EC ―→＝BC ―→，且|BC ―→|＝12T ＝12×2ππ＝1， 因此(BD ―→＋BE ―→)·(BE ―→－CE ―→)＝2BC ―→2＝2.二、填空题9．(2018·洛阳一模)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．解析：∵AB ―→＝(a －1,3)，AC ―→＝(－3,4)，据题意知AB ―→∥AC ―→，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54. 答案：－5410．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则DC ―→＝________，BC ―→＝________.(用a ，b 表示)解析：如图，DC ―→＝AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝b －a ，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝－OA ―→－OB ―→＝－a －b.答案：b －a －a －b11．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________． 解析：∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3.答案：－312．若向量a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，a ＋c ＝0，则c 在b 方向上的投影为________． 解析：∵a ＋c ＝0，∴c ＝－a ＝(－2，－3)，∴c ·b ＝8－21＝－13，且|b|＝65， ∴c 在b 方向上的投影为|c|cos 〈c ，b 〉＝|c |·c ·b |c||b|＝c ·b |b|＝－1365＝－655. 答案：－655三、解答题 13．已知向量a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，c ＝(2，k )．(1)求向量a 与b 的夹角；(2)若b ∥c ，求k 的值；(3)若b ⊥(a ＋c)，求k 的值．解：(1)设向量a 与b 的夹角为θ，∵a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，∴a ·b ＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a|＝3，|b|＝－52＋52＝52， ∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－153×52＝－22. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4. (2)∵b ∥c ，∴－5k ＝5×2，∴k ＝－2.(3)∵a ＋c ＝(5，k )，又b ⊥(a ＋c)，∴b ·(a ＋c)＝0，∴－5×5＋5×k ＝0，∴k ＝5.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值． 解：(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0，∴tan x ＝1. (2)∵m 与n 的夹角为π3，∴m ·n ＝|m |·|n |cos π3， 即22sin x －22cos x ＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12. 又∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.。

（课标通用）2019年高考数学一轮复习 课时跟踪检测7 理1．[2017·山东荣成六中高三月考]已知幂函数y ＝x a的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log a 2的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案：B 解析：由题意得22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ⇒a ＝12，所以log a 2＝log 122＝－1，故选B. 2．若a ＜0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是( ) A ．5－a＜5a ＜0.5aB ．5a ＜0.5a ＜5－aC ．0.5a ＜5－a ＜5aD ．5a＜5－a＜0.5a答案：B解析：5－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15a ，因为a ＜0时，函数y ＝x a 单调递减，且15＜0.5＜5，所以5a ＜0.5a＜5－a.3．[2017·广东中山模拟]如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是( )A ．a ≥8B ．a ≤8C ．a ≥4D ．a ≥－4答案：A解析：函数图象的对称轴为x ＝a 2，由题意得，a2≥4，解得a ≥8.4．[2017·山东枣庄模拟]已知函数f (x )＝x 2＋2|x |，若f (－a )＋f (a )≤2f (2)，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－2,2]C ．[－4,2]D ．[－4,4]答案：A解析：由f (x )＝x 2＋2|x |，f (2)＝8，知f (－a )＋f (a )＝2a 2＋4|a |≤16，解得a ∈[－2,2]．5．[2017·黑龙江哈尔滨模拟]已知f (x )＝ax 2－x －c ，若f (x )>0的解集为(－2,1)，则函数y ＝f (－x )的大致图象是( )A BC D答案：C解析：解法一：由f (x )>0的解集为(－2,1)，可得a ＝－1，c ＝－2， 所以f (x )＝－x 2－x ＋2，f (－x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x ＋1)(x －2)，故选C.解法二：由f (x )>0的解集为(－2,1)，可知函数f (x )的大致图象为选项D ，又函数f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称，所以f (－x )的大致图象为选项C.6．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)答案：C解析：由f (2＋x )＝f (2－x )可知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝2＋x ＋2－x 2＝2.又函数f (x )在[0,2]上单调递增，所以由f (a )≥f (0)可得0≤a ≤4.7．方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有根，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B ．(1，＋∞) C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－235答案：C解析：解法一：令f (x )＝x 2＋ax －2，由题意知f (x )的图象与x 轴在[1,5]上有交点，又f (0)＝－2<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0，f 5≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤0，5a ＋23≥0，∴－235≤a ≤1.解法二：方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有根，即方程x ＋a －2x ＝0，也即方程a ＝2x－x 在区间[1,5]上有根，而函数y ＝2x －x 在区间[1,5]上是减函数，所以－235≤y ≤1，则－235≤a ≤1.8．[2017·湖南邵阳模拟]若函数f (x )＝ax 2＋b |x |＋c (a ≠0)有四个单调区间，则实数a ，b ，c 满足( )A ．b 2－4ac >0，a >0 B ．b 2－4ac >0 C ．－b 2a >0D ．－b2a<0答案：C解析：当x >0时，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，此时f (x )应该有两个单调区间， ∴对称轴x ＝－b2a>0；当x <0时，f (x )＝ax 2－bx ＋c ，对称轴x ＝b2a <0，∴此时f (x )有两个单调区间， ∴当－b2a>0时，f (x )有四个单调区间．9．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限．答案：二、四解析：当α＝－1,1,3时，y ＝x α的图象经过第一、三象限；当α＝12时，y ＝x α的图象经过第一象限．10．已知函数f (x )是二次函数，不等式f (x )＞0的解集是(0,4)，且f (x )在区间[－1,5]上的最大值是12，则f (x )的解析式为________．答案：f (x )＝－3x 2＋12x解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x )＞0的解集是(0,4)，可知f (0)＝f (4)＝0，且二次函数的图象开口向下，对称轴方程为x ＝2，再由f (x )在区间[－1,5]上的最大值是12，可知f (2)＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝0，f 4＝0，f 2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝12，c ＝0.∴f (x )＝－3x 2＋12x .11．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)＜f (10－2a )，则a 的取值范围是________． 答案：(3,5)解析：∵f (x )＝x －12 ＝1x(x ＞0)，易知x ∈(0，＋∞)时为减函数．又f (a ＋1)＜f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3，∴3＜a ＜5.12．已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，若∀x 1∈[－1,2]，∃x 2∈[－1,2]，f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．答案：[3，＋∞)解析：由题意得g (x )min ≤f (x )min 且g (x )max ≥f (x ) max ，f (x )在区间[－1,2]上的最大值f (x )max＝f (－1)＝3，f (x )在区间[－1,2]上的最小值f (x ) min ＝f (1)＝－1.由于g (x )＝ax ＋2(a >0)在区间[－1,2]上单调递增，则g (x ) min ＝g (－1)＝－a ＋2，g (x ) max ＝g (2)＝2a ＋2，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≤－1，2a ＋2≥3，解得a ≥3.[冲刺名校能力提升练]1．已知y ＝f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－x 2＋2x ，则满足f (f (a ))＝12的实数a的个数为( )A ．8B ．6C ．4D ．2答案：A解析：由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，其图象如图所示．令t ＝f (a )，则t ≤1，令f (t )＝12，解得t ＝1－22或t ＝－1±22，即f (a )＝1－22或f (a )＝－1±22，由数形结合得，共有8个交点．2．[2017·湖北武汉模拟]已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋b (1＜a ＜3)，且x 1＜x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则下列说法正确的是( )A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＞f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小关系不能确定 答案：A解析：f (x )的对称轴为x ＝－1，因为1＜a ＜3， 则－2＜1－a ＜0.若x 1＜x 2≤－1，则x 1＋x 2＜－2， 不满足x 1＋x 2＝1－a 且－2＜1－a ＜0；若x 1＜－1，x 2≥－1时，|x 2＋1|－|－1－x 1|＝x 2＋1＋1＋x 1＝x 1＋x 2＋2＝3－a ＞0(1＜a ＜3)，此时x 2到对称轴的距离大，所以f (x 2)＞f (x 1)；若－1≤x 1＜x 2，则此时x 1＋x 2＞－2，又因为f (x )在[－1，＋∞)上为增函数，所以f (x 1)＜f (x 2)．3．已知函数f (x )满足f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}[max(p ，q )表示p ，q 中的较大值，min(p ，q )表示p ，q 中的较小值]，记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．a 2－2a －16 B ．a 2＋2a －16 C ．－16 D ．16答案：C解析：取a ＝－2，则f (x )＝x 2＋4，g (x )＝－x 2－8x ＋4，画出它们的图象，如图所示．则H 1(x )的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H 2(x )的最大值为两图象左边交点的纵坐标，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4＝y ，－x 2－8x ＋4＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝20，∴A ＝4，B ＝20，A －B ＝－16.4．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示．结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．5.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象完成下面的问题．(1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值． 解：(1)f (x )在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．(2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x ＞0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2＋2x ，x ≤0.(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1， 当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值； 当a ＋1＞2，即a ＞1时，g (2)＝2－4a 为最小值． 综上，g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ，a ≤0，－a 2－2a ＋1，0<a ≤1，2－4a ，a >1.6．[2017·浙江瑞安四校联考]已知函数f (x )＝x 2－1，g (x )＝a |x －1|. (1)若当x ∈R 时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (2)求函数h (x )＝|f (x )|＋g (x )在区间[0,2]上的最大值．解：(1)不等式f (x )≥g (x )对x ∈R 恒成立，即x 2－1≥a |x －1|(*)对x ∈R 恒成立． ①当x ＝1时，(*)显然成立，此时a ∈R ；②当x ≠1时，(*)可变形为a ≤x 2－1|x －1|，令φ(x )＝x 2－1|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >1，－x ＋1，x <1.因为当x >1时，φ(x )>2，当x <1时，φ(x )>－2， 所以φ(x )>－2，故此时a ≤－2.综合①②，得所求实数a 的取值范围是(－∞，－2]． (2)h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax ＋a ＋1，0≤x <1，0，x ＝1，x 2＋ax －a －1，1<x ≤2.①当－a2≤0时，即a ≥0，(－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h (0)＝a ＋1，(x 2＋ax －a －1)max ＝h (2)＝a ＋3.此时，h (x )max ＝a ＋3.②当0<－a2≤1时，即－2≤a <0，(－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a24＋a ＋1，(x 2＋ax －a －1)max ＝h (2)＝a ＋3. 此时h (x )max ＝a ＋3.③当1<－a2≤2时，即－4≤a <－2，(－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h (1)＝0，(x 2＋ax －a －1)max ＝max{h (1)，h (2)}＝max{0,3＋a }＝⎩⎪⎨⎪⎧0，－4≤a <－3，3＋a ，－3≤a <－2.此时h (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，－4≤a <－3，3＋a ，－3≤a <－2.④当－a2>2时，即a <－4，(－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h (1)＝0，(x 2＋ax －a －1)max ＝h (1)＝0.此时h (x )max ＝0.综上，h (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋a ，a ≥－3，0，a <－3.。

单元检测七 不等式考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式－x 2＋|x |＋2<0的解集是( ) A ．{x |－2<x <2} B ．{x |x <－2或x >2} C ．{x |－1<x <1}D ．{x |x <－1或x >1}2．不等式3＋5x －2x 2>0的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，12 B.⎝⎛⎭⎫－12，3 C ．(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(3，＋∞) 3．(2018·开封模拟)已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <2}，则a ＋b 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－25 D ．25 4．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，x ＋y ≥0，x ≤4，则z ＝2x ＋3y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．5D ．2 5．不等式x 2＋x －6x ＋1>0的解集为( )A ．{x |－2<x <－1或x >3}B ．{x |－3<x <－1或x >2}C ．{x |x <－3或－1<x <2}D ．{x |x <－3或x >2}6．(2018届永州一模)《几何原本》卷2的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．现有图形：AB 是半圆O 的直径，点D 在半圆周上，CD ⊥AB 于点C ，设AC ＝a ，BC ＝b ，直接通过比较线段OD 与线段CD 的长度可以完成的“无字证明”为( )A.b ＋m a ＋m >b a (b >a >0，m >0)B.a 2＋b 2≥22(a ＋b )(a >0，b >0) C.2ab a ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)7．已知f ′(x )是f (x )的导函数，在区间[0，＋∞)上f ′(x )>0，且偶函数f (x )满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，则x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎝⎛⎭⎫－∞，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，238．(2018·烟台模拟)已知a >1，设函数f (x )＝a x ＋x －4的零点为m ，g (x )＝log a x ＋x －4的零点为n ，则mn 的最大值为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．19．(2017·黔东南州模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝x 2＋y 2的最大值是( )A.43B.522C.73D ．3 210．(2018届山西名校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝|x －3y |的最大值为( ) A ．1 B ．3 C ．5D ．611．若x ，y ，a 是正实数，且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，则a 的最小值是( ) A.22B. 2 C ．2D.1212．已知k ≥－1，实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，3x －2y ≥6，y ≥k ，且y ＋1x的最小值为k ，则k 的值为( ) A.2－25B.2±25C.3－52D.3±52第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．(2017·广东七校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y ≤2，若目标函数z ＝x －y 的最大值为a ，最小值为b ，则a ＋b ＝________. 14．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y >0，y ≤x ，|x |＋|y |≤1，则z ＝x ＋y 的最大值为________．15．(2017·深圳调研)若函数f (x )＝x ＋mx －1(m 为大于0的常数)在(1，＋∞)上的最小值为3，则实数m 的值为________．16．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝1t ，AC ＝t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若AP →＝4AB →|AB →|＋AC→|AC →|，则△PBC 面积的最小值为____________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2018·郑州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．18．(12分)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围．19.(12分)(2018届河北衡水中学测试)已知函数f (x )＝log 4x ，x ∈⎣⎡⎦⎤116，4的值域是集合A ，关于x 的不等式⎝⎛⎭⎫123x ＋a >2x(a ∈R )的解集为B ，集合C ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪5－x x ＋1≥0，集合D ＝{x |m ＋1≤x <2m －1}(m >0)．(1)若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围； (2)若D ⊆C ，求实数m 的取值范围．20．(12分)某单位有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈N *)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润10⎝⎛⎭⎫a －3x500万元(a >0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %. (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？21.(12分)(2018届贵阳普通高中摸底)已知函数f (x )＝x ＋|x ＋2|. (1)求不等式f (x )≥6的解集M ；(2)记(1)中集合M 中元素最小值为m ，若a ，b 是正实数，且a ＋b ＝m ，求⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1b ＋1的最小值．22．(12分)园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r 米，圆心角为θ(弧度)的扇形景观水池，其中O 为扇形AOB 的圆心，同时紧贴水池周边建一圈理想的无宽度步道，要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1 000元．(1)当r 和θ分别为多少时，可使广场面积最大，并求出最大值； (2)若要求步道长为105米，则可设计出水池的最大面积是多少？答案精析1．B [原不等式化为|x |2－|x |－2>0， 因式分解得(|x |－2)(|x |＋1)>0，因为|x |＋1>0恒成立，所以|x |－2>0即|x |>2， 解得x <－2或x >2.]2．B [∵3＋5x －2x 2>0，∴2x 2－5x －3<0， 即(x －3)(2x ＋1)<0，解得－12<x <3.故选B.]3．D [∵ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <2}， ∴ax 2－5x ＋b ＝0的根为－3,2，且a <0， 即－3＋2＝5a ，－3×2＝ba，解得a ＝－5，b ＝30，a ＋b ＝25.故选D.] 4．C [作出可行域如图所示：作直线l 0：2x ＋3y ＝0，再作一组平行于l 0的直线l ：2x ＋3y ＝z ，当直线l 经过点A 时，z ＝2x＋3y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，x ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1，所以点A 的坐标为(4，－1)，所以z max ＝2×4＋3×(－1)＝5，故选C.] 5．B [由不等式x 2＋x －6x ＋1>0得(x 2＋x －6)(x ＋1)>0，即(x －2)(x ＋1)(x ＋3)>0，则相应方程的根为－3，－1,2，由穿根法可得原不等式的解集为{x |－3<x <－1或x >2}．故选B.] 6．D [∵OD 是半圆的半径，AB ＝a ＋b 为圆的直径，∴OD ＝a ＋b2，由△ACD ∽△DCB 可知，CD 2＝AC ·BC ＝ab ，CD ＝ab .在Rt △ODC 中，OD >CD ，即a ＋b 2>ab ，当O 与C 重合时，a ＋b 2＝ab ，所以a ＋b2≥ab ，故选D.] 7．A [因为f ′(x )是f (x )的导函数，在区间[0，＋∞)上，f ′(x )>0，所以函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又因为函数f (x )为偶函数，所以f (|x |)＝f (x )，所以要求f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的解集，等价于求解f (|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪13的解集， 等价于求|2x －1|<13的解集，解得13<x <23，故选A.]8．B [令f (x )＝0，g (x )＝0，得a x ＝4－x ，log a x ＝4－x ， 因为y 1＝a x 与y 2＝log a x 的图象关于直线y ＝x 对称， 所以m ，n 关于两直线y ＝x 和y ＝4－x 交点的横坐标对称， 则m ＋n ＝4，所以mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝4.]9．C [先根据约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3画出可行域，而z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点的距离|OP |，点P 为阴影中的动点，在点B 处时|OP |最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＋5＝0， 可得B (3,8)，当在点B (3,8)时，z 最大，最大值为32＋82＝73，故选C.]10．C [由⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0得⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ＋1，y ≤3－x ，根据题意画出可行域，△ABC 区域及其边界为满足不等式组的所有点的集合，由z ＝|x －3y |得⎩⎨⎧ y ＝13x ＋13z ，y >13x或⎩⎨⎧y ＝13x －13z ，y ≤13x ，平移直线y ＝13x ，结合图象可知当直线经过B 点或A 点时，z 有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ＝x ＋1，y ＝3－x解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即(1,2)为点B 的坐标，代入得z ＝|x －3y |＝5，又A 点坐标为(3,0)，此时z ＝|x －3y |＝3.故选C.]11．B [由题意x ，y ，a 是正实数，且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，故有x ＋y ＋2xy ≤a 2(x ＋y )，即a 2－1≥2xy x ＋y ，由于2xy x ＋y ≤x ＋y x ＋y ＝1(当且仅当x ＝y 时，取等号)，即a 2－1≥1，解得a ≥2，则a 的最小值是2，故选B.] 12．C [画出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，3x －2y ≥6，y ≥k表示的平面区域如图，因为y ＋1x ＝y －(－1)x －0的几何意义是平面区域内的动点P (x ，y )与A (0，－1)连线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，3x －2y ＝6， 得C ⎝⎛⎭⎫145，65，由平面区域的存在可得－1≤k <65， 所以结合图形可以看出点B (4－k ，k )与定点A (0，－1)连线的斜率最小，其最小值为⎝⎛⎭⎫y ＋1x min＝k －(－1)4－k ＝k ＋14－k＝k ， 解得k ＝3－52或3＋52(舍)，所以⎝⎛⎭⎫y ＋1x min ＝3－52，故选C.] 13．1解析 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，可知当直线y ＝x －z 经过点B (0,1)时，直线在y 轴的截距最大，z 最小，即b ＝0－1＝－1；当直线y ＝x －z 经过点A (2,0)时，直线在y 轴的截距最小，z 最大，即a ＝2－0＝2，所以a ＋b ＝1. 14．1解析 作出不等式组所表示的可行域如图所示，平移直线y ＝－x 可得，目标函数在线段AB 上取得最大值，故目标函数的最大值为z ＝12＋12＝1. 15．1解析 由x >1，可得x －1>0， 因为f (x )＝x －1＋mx －1＋1≥2m ＋1，当且仅当x －1＝mx －1，即x ＝1＋m 处取得最小值，且为1＋2m .所以2m ＋1＝3，即m ＝1. 16.32解析 以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴、AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则P (1,4)，C (t,0)，B ⎝⎛⎭⎫0，1t ， 直线BC ：xt ＋ty ＝1，即直线BC ：x ＋t 2y －t ＝0，又点P 到直线BC 的距离d ＝|1＋4t 2－t |1＋t 4，所以S △PBC ＝12×|1＋4t 2－t |1＋t 4×t 2＋1t2＝12⎪⎪⎪⎪4t ＋1t －1≥12⎪⎪⎪⎪24t ·1t －1＝32， 当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时“＝”成立，所以△PBC 面积的最小值为32.17．解 设f (x )的最小值为g (a )，对称轴为x ＝－a2.(1)当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73，故此时解集为∅；(2)当－a2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝3－a －a24≥0，得－6≤a ≤2， 又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a <－4，故－7≤a <－4. 综上，a 的取值范围是[－7,2]．18．解 (1)因为不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)的解集为 {x |x <－3或x >－2}，所以x 1＝－3，x 2＝－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0(k ≠0)的两根，所以k ＝－25.(2)若不等式的解集为R ，即kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)恒成立，则满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，所以k <－66， 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－66. 19．解 (1)因为4>1，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤116，4上单调递增，所以f (x )min ＝log 4116＝－2，f (x )max＝log 44＝1，所以A ＝[－2,1]．由⎝⎛⎭⎫123x ＋a >2x (a ∈R )，可得2－(3x ＋a )>2x ，即－3x －a >x ，所以x <－a 4，所以B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4. 又因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B .所以－a 4>1，解得a <－4， 所以实数a 的取值范围为(－∞，－4)．(2)由5－x x ＋1≥0，解得－1<x ≤5，所以C ＝(－1,5]． 因为D ⊆C ，①当m ＋1≥2m －1，即0<m ≤2时，D ＝∅，满足D ⊆C ；②当m ＋1<2m －1，即m >2时，D ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>－1，2m －1≤5，解得－2<m ≤3， 又因为m >2，所以2<m ≤3.综上所述，实数m 的取值范围为(0,3]．20．解 (1)由题意得10(1 000－x )(1＋0.2x %)≥10×1 000，即x 2－500x ≤0，又x >0，所以0<x ≤500，即最多调整出500名员工从事第三产业．(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10⎝⎛⎭⎫a －3x 500x 万元， 从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000－x )⎝⎛⎭⎫1＋x 500万元，则 10⎝⎛⎭⎫a －3x 500x ≤10(1 000－x )⎝⎛⎭⎫1＋x 500， 所以ax －3x 2500≤1 000＋2x －x －x 2500， 所以ax ≤x 2250＋1 000＋x ， 即a ≤x 250＋1 000x＋1恒成立， 因为x 250＋1 000x ≥2x 250×1 000x＝4，当且仅当x 250＝1 000x，即x ＝500时等号成立， 所以a ≤5，又a >0，所以0<a ≤5，即a 的取值范围为(0,5]．21．解 (1)f (x )≥6，即为x ＋|x ＋2|≥6，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－2，x －x －2≥6或⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x ＋x ＋2≥6， 解得x ≥2，∴M ＝{x |x ≥2}．(2)由(1)知m ＝2，即a ＋b ＝2，且a ，b 是正实数，∴⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1b ＋1＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 2a ＋1⎝⎛⎭⎫a ＋b 2b ＋1＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋32⎝⎛⎭⎫a 2b ＋32＝52＋34⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥52＋34×2b a ×a b ＝4， 当且仅当a b ＝b a，即a ＝b ＝1时， ⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1b ＋1取得最小值4. 22．解 (1)由题意，得弧长AB 为θr ，扇形面积为S ＝12θr 2， 则400×12θr 2＋1 000(2r ＋θr )≤24×104， 即θr 2＋5(2r ＋θr )≤1 200，因为θr ＋2r ≥22θr 2，所以θr 2＋102θr 2≤1 200，令t ＝2θr 2，t >0，则t 22＋10t ≤1 200，解得0<t ≤40， 所以当且仅当θr ＝2r ＝40，即θ＝2，r ＝20时面积S ＝12θr 2的最大值为400. (2)由θr ＋2r ＝105，得θ＝105r－2<2π， θr ＝105－2r 代入可得(105－2r )r ＋5×105≤1 200，即2r 2－105r ＋675≥0，解得r ≤152或r ≥45， 又S ＝12θr 2＝12(105－2r )r ＝－r 2＋1052r ＝－⎝⎛⎭⎫r －10542＋105216， 当r ≤152时，θ＝105r －2≥105152－2＝12>2π，与θ<2π不符，因为S 在[45，＋∞)上单调递减， 所以当r ＝45时，S max ＝337.5，此时θ＝13.。