华师版八年级数学尺规作图线段、角

19.3 尺规作图（一）学习目标：1、 画一条线段等于已知线段2、 画一个角等于已知角3、 画角平分线重点与难点：1、 画一个角等于已知角2、 画角平分线教学过程：1、画一条线段等于已知线段试一试如图24.4.1，MN 为已知线段，用直尺和圆规准确地画一条线段AC 与MN 相等。

步骤：1、 画射线AB ，2、 然后用圆规量出线段MN 的长，再在射线AB 上截取AC ＝MN ，线段AC 就是所要画的线段．2、画一个角等于已知角试一试如图所示，∠AOB 为已知角，试按下列步骤用圆规和直尺准确地画∠A ′O ′B ′等于∠AOB ．步骤：1、 画射线O ′A ′．2、 以点O 为圆心，以适当长为半径画弧，交OA 于C ，交OB 于D ．3、 以点O ′为圆心，以OC 长为半径画弧，交O ′A ′于C ′．4、 以点C ′为圆心，以CD 长为半径画弧，交前一条弧于D ′．5、 经过点D ′画射线O ′B ′．∠A ′O ′B ′就是所要画的角．BO A3、画角平分线A做一做 利用直尺和圆规把一个角二等分.已知：∠AOB ，图24.4.1求作：射线OC ，使∠AOC ＝∠BOC步骤：1、 在OA 和OB 上，分别截取OD 、OE ，使OD ＝OE O B2、 分别以D 、E 为圆心，大于21DE 的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点C 3、 作射线OC ，OC 就是所求的射线。

练 习如图，平分∠A 。

（不写画法，保留作图痕迹）A综合练习A 组1、已知知线段a 和b ，如下图，求作一线段，使它的长度等于a ＋b.ab2、已知线段a 和b ，如下图，求作一线段，使它的长度等于a-b.ab3、已知线段AB 和CD ，如下图，求作一线段，使它的长度等于AB ＋2CD.4、如图，已知∠A 、∠B ，求作一个角，使它等于∠A ＋∠B.5、试把如图所示的角四等分．(首先把∠O 二等分，再把得到的两部分分别再二等分即可)，请完成操作并写出画法．O5、如图，已知∠A ，试画∠B ＝21∠A.（不写画法，保留作图痕迹）(第5题)6、画出图中三角形三个内角的角平分线.（不写画法，保留作图痕迹）（第6题）7、请你利用直尺和圆规分别画出满足图24.4.4和图24.4.5中条件的三角形ABC.（1）已知两边及夹角； （2）已知两角及夹边.（1）‘ （2）B组完成下列画图，并写出画法.1、一条线段，使其等于AB－2CD.（第1题）2、画一个角，使其等于∠A－2∠B.（第2题）3、画一个等腰三角形，使其腰长等于AB，底边长等于BC.（第3题）4、如图，已知∠α、∠β及线段a，求作: △ABC,使AC=a, ∠BAC=∠α,∠ABC=∠β，（不写作法）αβa。

第17讲尺规作图【学习目标】1.了解尺规作图的定义，会用尺规作图（1）作一条线段等于已知线段（2）作一个角等于已知角（3）作已知角的角平分线（4）作已知线段的垂直平分线2.应用三角形全等知识，解释角平分线的原理3.会用尺规作图，培养学生动手能力，会说求作过程。

【基础知识】1.尺规作图的定义利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.要点诠释：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.2.常见基本作图常见并经常使用的基本作图有：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作角的平分线；4.作线段的垂直平分线；5.作三角形.【考点剖析】考点一：作一条线段等于已知线段例1．作图：已知线段a、b，画一条线段使它等于2a﹣b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、结论，保留作图痕迹，不写作法）已知：求作：结论：【思路】可先画出一条线段等于2a，然后再在这条线段上截去b，剩余线段即为所求线段．【答案】解：已知：线段a、b，求作：线段AC，使线段AC=2a﹣b．【总结】本题考查有关线段的基本作图，相加在原来线段的延长线上画出另一条线段，相减在较长的线段上截去．考点二：尺规作角例2．已知：∠AOB．利用尺规作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB．【思路】先作一个角等于∠AOB，在这个角的外部再作一个角等于∠AOB，那么图中最大的角就是所求的角．【答案】作法一：如图(1)所示，（1）以点O圆心，任意长为半径画弧，交OA于点A′，交OB于点C；（2）以点C 为圆心，以CA′的长为半径画弧，•交前面的弧于点B′；（3）过点B′作射线O B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．作法二：如图（2）所示，（1）画射线O′A′；（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；（3）以点O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A•′于点E；（4）以点E为圆心，以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点F，再以点F为圆心，•以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点B′；（5）画射线O′B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．【总结】本题考查作一个倍数角等于已知角，需注意作第二个角的时候应在第一个角的外部．•作法一在已知角的基础上作图较为简便一些．考点三：尺规作垂直平分线例3．尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线,如图K29-2所示作图中,正确的是 ()图K29-2【答案】B【真题演练】1. 如图所示，已知∠α和∠β，利用尺规作∠AOB，使∠AOB＝2（∠α-∠β）．【答案】作法：如图所示．（1）作∠COD＝∠α；（2）以射线OD为一边，在∠COD•的外部作∠DOA，使∠DOA＝∠α；（3）以射线OC为一边，在∠COA的内部作∠COE，使∠COE＝∠β；（4）以射线OE为一边，在∠EOA内部作∠EOB，使∠EOB＝∠β，则∠AOB就是所求作的角．【总结升华】本题考查作一个差角的倍数角，本题的做法有两种：一种可以先做倍数角再做差角，如本题提供的答案；另一种也可以先做差角再做倍数角．2.如图K29-1,下面是利用尺规作∠AOB的平分线OC的作法:图K29-1(1)以O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点D,E;(2)分别以D,E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB内交于点C;(3)画射线OC,射线OC就是∠AOB的平分线.在用尺规作角平分线过程中,用到的三角形全等的判定方法是()A.ASAB.SASC.SSSD.AAS【答案】C3.如图K29-4,在△ABC中,BA=BC,∠B=80°,观察图中尺规作图的痕迹,则∠DCE的度数为 ()图K29-4A.60°B.65°C.70°D.75°【答案】B【解析】∵BA=BC,∠B=80°,∴∠A=∠ACB=(180°-80°)=50°,∴∠ACD=180°-∠ACB=130°.观察作图过程可知:CE平分∠ACD,∴∠DCE=∠ACD=65°,∴∠DCE的度数为65°,因此本题选B.4.[2020·长春]如图K29-5,在△ABC中,∠BAC=90°,AB>AC.按下列步骤作图:①分别以点B和点C为圆心,大于BC一半的长为半径作圆弧,两弧相交于点M和点N;②作直线MN,与边AB相交于点D,连接CD.下列说法不一定正确的是()图K29-5A.∠BDN=∠CDNB.∠ADC=2∠BC.∠ACD=∠DCBD.2∠B+∠ACD=90°【答案】C【解析】由作图可知,MN垂直平分线段BC,∴DB=DC,MN⊥BC,∴∠BDN=∠CDN,∠DBC=∠DCB,∴∠ADC=∠B+∠DCB=2∠B.∵∠A=90°,∴∠ADC+∠ACD=90°,∴2∠B+∠ACD=90°.故选项A,B,D正确.故选C.5.[2020·台州]如图K29-6,已知线段AB,分别以A,B为圆心,大于AB同样长为半径画弧,两弧交于点C,D,连接AC,AD,BC,BD,CD,则下列说法错误的是()图K29-6A.AB平分∠CADB.CD平分∠ACBC.AB⊥CDD.AB=CD【答案】D【解析】由作图知AC=AD=BC=BD,∴四边形ACBD是菱形,∴AB平分∠CAD,CD平分∠ACB,AB⊥CD,不能判断AB=CD,故选D.6.[2020·衢州]过直线l外一点P作直线l的平行线,下列尺规作图中错误的是()图K29-7【答案】D【解析】A选项是作出了角平分线和等腰三角形,可以得出内错角相等,从而得出两直线平行;B选项直接作出了同位角相等,所以可以得出两直线平行;C选项是过点P作出了l的垂线,然后又作出了与该垂线垂直的直线,所以也作出了直线l的平行线;D选项从作图痕迹来看,不能找到平行线的依据,因此本题选D.7.[2020·襄阳]如图K29-8,Rt△ABC中,∠ABC=90°,根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是()图K29-8A.DB=DEB.AB=AEC.∠EDC=∠BACD.∠DAC=∠C【答案】D【解析】由尺规作图可知:AD平分∠BAC,DE⊥AC于点E.∵AD平分∠BAC,DE⊥AC,DB⊥AB,∴DB=DE.于是Rt△ABD≌Rt△AED(HL),∴AB=AE.∵∠EDC+∠C=90°,∠BAC+∠C=90°,∴∠EDC=∠BAC.从图中不能得到∠DAC=∠C,故选D.8.如图K29-9是利用直尺和三角尺过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法,其理由是.图K29-9【答案】同位角相等,两直线平行9.[2020·扬州]如图K29-10,在△ABC中,按以下步骤作图:图K29-10①以点B为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,BC于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧交于点F;③作射线BF交AC于点G.若AB=8,BC=12,△ABG的面积为18,则△CBG的面积为.【答案】27【解析】作GM⊥AB于点M,GN⊥BC于点N,如图.∵S△ABG=×GM×AB,即18=×GM×8,∴GM=.易知BG平分∠ABC,GM⊥AB,GN⊥BC,∴GN=GM=,∴S△CBG=×GN×CB=××12=27.因此本题答案为27.【过关检测】1.[2020·潍坊]如图K29-11,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=20°,PQ垂直平分AB,垂足为Q,交BC于点P.按以下步骤作图:①以点A为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交边AC,AB于点D,E;②分别以点D,E为圆心,以大于DE的长为半径作弧,两弧相交于点F;③作射线AF.若AF与PQ的夹角为α,则α=°.图K29-11【答案】55【解析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC=70°,由角平分线的定义得∠BAF=35°,由线段AB的垂直平分线PQ可得△AQM是直角三角形,故可得∠AMQ=55°,最后根据对顶角相等求出α.2.如图K29-12,在▱ABCD中,AB=3,BC=5,以点B为圆心,以任意长为半径作弧,分别交BA,BC于点P,Q,再分别以P,Q为圆心,以大于PQ的长为半径作弧,两弧在∠ABC内交于点M,连接BM并延长,交AD于点E,则DE的长为.图K29-12【答案】2【解析】根据作图的方法得,BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC=5.∴∠AEB=∠CBE.∴∠ABE=∠AEB.∴AE=AB=3.∴DE=AD-AE=5-3=2.3.[2020·本溪]如图K29-13,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,分别以点A和B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点M和N,作直线MN,交AC于点E,连接BE,若CE=3,则BE的长为.图K29-13【答案】5【解析】由作图可知,MN垂直平分线段AB,∴AE=EB.设AE=EB=x,∵EC=3,AC=2BC,∴BC=(x+3).在Rt△BCE中,∵BE2=BC2+EC2,∴x2=32+(x+3)2,解得x=5或x=-3(舍去),∴BE=5.4.[2019·嘉兴]如图K29-14,在6×6的方格纸中,点A,B,C都在格点上,按要求画图.(1)在图①中找一个格点D,使以点A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形;(2)在图②中仅用无刻度的直尺,把线段AB三等分(保留画图痕迹,不写画法).图K29-14【答案】解:(1)画出图形如图①所示.(2)如图②所示.5.[2020·陕西]如图K29-15,已知△ABC,AC>AB,∠C=45°,请用尺规作图法在AC边上求作一点P,使∠PBC=45°.(保留作图痕迹,不写作法)图K29-15【答案】解:方法一:作BC的垂直平分线交AC于P,点P为所求.如图①所示:方法二:作BP⊥AC,垂足为P,点P为所求.如图②所示:方法三:在BC的上方作∠PBC=∠C,交AC于P,点P为所求.如图③所示:。

课题作一条线段等于已知线段作一个角等于已知角作已知角的平分线【学习目标】1．让学生掌握基本作图“作一条线段等于已知线段”、“作一个角等于已知角”和“作已知角的平分线”；2．让学生经历动手画图的过程，培养学生动手能力，学会作图的几何语言；3．经历探索作图的过程，进一步体会成功的喜悦感．【学习重点】角平分线的作法．【学习难点】基本作图的应用．自学互研生成能力知识模块一作一条线段等于已知线段阅读教材P85～P86，完成下面的内容：已知：如图，已知线段a.求作：线段AB，使AB＝a.作法：1.作射线AP；2．在射线AP上截取__AB＝a.则线段AB就是所求作的线段．范例：已知线段a、b，画一条线段，使其等于a＋2b.作法：1.画线段AB＝a；2．在AB的延长线上截取BC＝2b；线段AC就是所求作的线段．知识模块二作一个角等于已知角阅读教材P86，完成下面的内容：已知：∠AOB.求作：∠A′O′B′使∠A′O′B′＝∠AOB.作法：1.作射线__O ′A ′；2．以点O 为圆心任意长为半径画弧，交__OA 于点C ，交__OB 于点D ；3．以点O′为圆心，同样__OC 长为半径画弧交O′A′于点C′；4．以点C′为圆心，__CD 长为半径画弧，交前面的弧于点D′；5．过点D′作射线__O ′B ′．∠A ′O ′B ′就是所求作的角．范例：已知∠α和线段a 、b ，如何求作△ABC ，使∠C ＝∠α，BC ＝a ，AC ＝b 呢？作法：1.作∠MCN ＝∠α；2.在射线CM 、CN 上分别截取CB ＝a ，CA ＝b ；3.连结AB.则△ABC 为所求作的三角形．知识模块三 作已知角的平分线阅读教材P 87，完成下面的内容：已知：如图，∠AOB ，求作：射线OP ，使∠AOP ＝∠BOP(即OP 平分∠AOB)．作法：1.以O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交O A 、OB 于点M 、N ；2．分别以点M 、N 为圆心，大于12__M N 的长为半径画弧，两弧交∠AOB 内于点P ； 3．作射线OP. 射线__OP 就是所要求作的∠AOB 的平分线．范例：如图，点D 在△ABC 的AB 边上，且∠ACD ＝∠A.(1)作∠BDC 的平分线DE ，交BC 于点E(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系(不要求证明)．解：(1)如图所示．(2)DE∥AC.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一作一条线段等于已知线段知识模块二作一个角等于已知角知识模块三作已知角的平分线检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。