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第一讲不等式的基本性质【学习目标】1．了解不等式的意义,认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.3. 理解不等式的三条基本性质,并会简单应用.【知识总结】一、不等式的概念一般地,用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子,叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系,它们具有方向性,不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：(3)有些不等式中不含未知数,如3＜4,-1＞-2；有些不等式中含有未知数,如2x＞5中,x表示未知数,对于含有未知数的不等式,当未知数取某些值时,不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系,我们说不等式成立,否则,不等式不成立．二、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解．2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式,它的所有解组成这个不等式的解集．不等式的解是具体的未知数的值,不是一个范围不等式的解集是一个集合,是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地,一个含有未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来,在应用数轴表示不等式的解集时,要注意两个“确定”：一是确定“边界点”,二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解,则用实心圆点,若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言,x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言,x＜a或x≤a 向左画．注意：在表示a的点上画空心圆圈,表示不包括这一点．三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b,那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b,c＞0,那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b,c＜0,那么ac＜bc(或a bc c <)．要点诠释：不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据,是学习不等式的基础,它与等式的两条性质既有联系,又有区别,注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号的方向要改变． 【典型例题】【类型】一、不等式的概念例1．给出下列表达式：①()a b c ab ac +=+；②20-<；③5x ≠；④21a b >+；⑤222x xy y -+；⑥236x ->,其中属于不等式的是______．（填序号） 【答案】②③④⑥【分析】根据不等式的定义判断即可． 解：①a （b+c ）=a b+ac 是等式；②-2＜0是用不等号连接的式子,故是不等式； ③x≠5是用不等号连接的式子,故是不等式； ④2a ＞b+1是用不等号连接的式子,故是不等式； ⑤x 2-2xy+y 2是代数式；⑥2x-3＞6是用不等号连接的式子,故是不等式, 故答案为：②③④⑥．【点拨】本题考查的是不等式的定义,即用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子,叫做不等式,用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．【训练】下列式子：①－1＞2；②3x≥－1；③x －3；④s ＝vt ；⑤3x －4＜2y ；⑥3x －5＝2x ＋2；⑦a 2＋2≥0；⑧a 2＋b 2≠c 2.其中是不等式的是___________________．(只填序号) 【答案】①②⑤⑦⑧ 【解析】【分析】根据不等式的定义即可得出结论．解：根据不等式的定义：①－1＞2,②3x ≥－1,⑤3x －4＜2y ,⑦a 2＋2≥0,⑧a 2＋b 2≠c 2是不等式；③x －3,④s =vt ,⑥3x －5=2x ＋2不是不等式． 故答案为：①②⑤⑦⑧．【点拨】本题考查了不等式的概念．掌握不等式的概念是解题的基础． 【训练】下列式子属于不等式的是_______________．① 50-< ② 2x 3= ③ 3x 12-> ④4x 2y 0-≤ ⑤ 2x 3x 20-+> ⑥ x 2y - ⑦ 57x ≠ ⑧54< ⑨ x y 0+≥【答案】①③④⑤⑦⑧⑨【解析】【分析】根据不等式的概念即可解题. 解：∵不等式要求用不等号连接 ∴排除②⑥∴不等式的有①③④⑤⑦⑧⑨【点拨】本题考查了不等式的识别,属于简单题,熟悉不等式的概念是解题关键.【类型】二、不等式的解及解集例2.（2018·安徽全国·七年级单元测试）下列数值中哪些是不等式3x-1≥5的解？哪些不是？ 100, 98, 51, 12, 2, 0, -1, -3, -5.【答案】100, 98, 51, 12, 2是不等式3x-1≥5的解；0,-1,-3,-5不是不等式3x-1≥5的解. 【解析】试题分析：把上述各数分别代入不等式315x -≥的左边计算出左边的值,看是否大于或等于5即可. 试题解析：∵在不等式315x -≥中,当100x =时,左边=312995x -=>； 当98x =时,左边=312935x -=>； 当51x =时,左边=311525x -=>； 当12x =时,左边=31355x -=>； 当2x =时,左边=315x -=；当0x =时,左边=3115x -=-<； 当1x =-时,左边=3145x -=-<； 当3x =-时,左边=31105x -=-<； 当5x =-时,左边=31165x -=-<;∴上述各数中,100,98,51,12,2是不等式315x -≥的解；0,－1,－3,－5不是不等式315x -≥的解. 例3. 把下列不等式的解集在数轴上表示出来． (1)x≥－3； (2)x ＞－1； (3)x≤3；(4)x<－32. 【答案】(1)(2) (3)(4)【解析】将上述不等式的解集规范的表示在数轴上即可. 试题解析：（1）将3x ≥-表示在数轴上为：（2）将1x >-表示在数轴上为：（3）将3x ≤表示在数轴上为：（4）将32x <-表示在数轴上为：点拨：将不等式的解集表示在数轴上时,需注意两点：（1）“大于（大于或等于）向右,小于（小于或等于）向左”；（2）“x a >或（x a <）时”,数轴上表示数“a ”的点用“空心圆圈”,“x a ≥（或x a ≤）时”,数轴上表示数“a ”的点用“实心圆点”. 【训练】在数轴上表示不等式﹣3≤x ＜6的解集和x 的下列值：﹣4,﹣2,0,142,7,并利用数轴说明x 的这些数值中,哪些满足不等式﹣3≤x ＜6,哪些不满足？ 【答案】﹣2,0,142满足不等式；﹣4,7不满足不等式 【分析】根据“大于向右,小于向左,包括端点用实心,不包括端点用空心”的原则将不等式的解集和x 的下列值：﹣4,﹣2,0,142,7在数轴上表示出来,这些值如果在解集范围内则表示满足不等式,否则就是不满足不等式．解：根据图可知：x 的下列值：﹣2,0,142满足不等式；x 的下列值：﹣4,7不满足不等式．【点拨】不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞,≥向右画；＜,≤向左画）,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示；“＜”,“＞”要用空心圆点表示．【类型】三、不等式的性质例4.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成x a >或x a <的形式．（1）x 15-<． （2）4x 13-≥． （3）1x 142-+≥． （4）4x 10-<-． 【答案】（1）x 6<；（2）x 1≥；（3）x 6≤-；（4）5x 2>．【分析】（1）利用不等式的性质将两边加上1即可求解；（2）利用不等式的性质先将两边加上1,再两边同除以4即可求解； （3）利用不等式的性质先将两边减去1,再两边同除以12-即可求解； （3）利用不等式的性质将两边同除以-4即可求解； 解：（1）x 15-<,两边加上1得：x 1151-+<+, 解得：x 6<； （2）4x 13-≥,两边加上1得：4x 1131-+≥+,即4x 4≥, 两边除以4得：x 1≥； （3）1x 142-+≥, 两边减去1得：1x 11412-+-≥-,即1x 32-≥, 两边除以12-得：x 6≤-； （4）4x 10-<-, 两边除以4-得：5x 2>． 【点拨】本题考查不等式的性质,解题的关键是熟练掌握不等式的性质．【训练】根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式：（1）5x>4x+8 （2）x+2<-1 （3）-23x>-1（4）10-x>0 （5）-15x<-2 （6）3x+5<0【答案】（1）x>8；（2）x<-3；（3）x<32；（4）x<10；（5）x>10；（6）x<-53．【分析】根据不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子）,不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数,不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数,不等号的方向改变；依次分析各小题即可．解：（1）根据不等式性质1,不等式两边都减4x,不等号的方向不变,得5x-4x>4x+8-4x,即x>8；（2）根据不等式性质1,不等式两边都减去2,不等号的方向不变,得x+2-2<-1-2即x<-3；（3）根据不等式性质3,不等式两边同除以-23,不等号的方向改变,得-23x÷（-23）<-1÷（-23）即x<32；（4）根据不等式性质1,不等式两边同减10,不等号的方向不变,得10-x-10>0-10即-x>-10,再根据不等式性质3,不等式两边同除以-1,不等号的方向改变,得x<10；（5）根据不等式性质3,不等式两边同乘以-5,不等号的方向改变,得-15x·（-5）>-2×（-5）即x>10；（6）根据不等式性质1,不等式两边都减去5,不等号的方向不变得3x+5-5<0-5即3x<-5,再根据不等式性质2,不等式两边同除以3,不等号的方向不变,得3x÷3<-5÷3即x<-53．【点拨】本题主要考查了不等式的基本性质,本题重在考查不等式的三条基本性质,特别是性质3,两边同乘以（•或除以）同一个负数时,一定要改变不等号的方向!•这条性质是初学者最易出错也经常出错的地方．。
3不等式3.1不等式的性质一、不等式的概念用不等号表示不等关系的式子叫做不等式。
不等号包括：＞、＜、≥、≤、≠。
二、不等式的性质性质1（传递性）如果b a >，且c b >，那么c a >。
分析要证c a >，只需证0>-c a 证明因为b a >，且c b >，所以0,0>->-c b b a 从而()(),0>-+-=-c b b a c a 即ca >性质2（可加性）如果b a >，那么.c b c a +>+分析要证明.c b c a +>+只需证()()0>+-+c b c a 证明因为b a >，所以,0>-b a 所以()(),0>-=+-+b a c b c a 即.c b c a +>+性质3（可积性）()1如果o c b a >>,，那么;bc ac >()2如果,0,<>c b a 那么bc ac <。
分析（1）要证,bc ac >只需证0>-bc ac 。
证明（1）因为b a >，所以0>-b a 又因为0>c ，所以(),0,0>->-bc ac c b a 即bc ac >。
试用（1）的方法完成（2）的证明。
性质4（同向可加性）如果d c b a >>,，那么.d b c a +>+证明因为,b a >所以.c b c a +>+又因为d c >，所以d b c b +>+.由不等式的性质1，得.d b c a +>+性质5（同向同正可乘性）()1如果,0,0>>>>d c b a 那么bdac >()2如果,0,0<<>>d c b a 那么bd ac <.证明：（1）因为,0,>>c b a 所以bcac >又因为,0,>>b d c 得bdbc >由不等式的性质1，得.bd ac >试用（1）的方法完成（2）的证明。
北师大版数学八年级下册《2. 不等式的基本性质》教案1一. 教材分析《2. 不等式的基本性质》是北师大版数学八年级下册中的一章，主要介绍不等式的性质。
本章内容是学生进一步深入研究不等式的基础，对于学生理解和掌握不等式具有重要意义。
本章主要内容包括不等式的定义、不等式的性质以及不等式的运算。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经学习了实数和方程等基础知识，对于数学概念和运算有一定的理解。
但是，对于不等式的理解和运用还需要进一步的培养和指导。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握不等式的基本性质，并通过实例让学生熟悉和运用不等式的性质进行运算和解决问题。
三. 教学目标1.理解不等式的定义和基本性质。
2.学会使用不等式的性质进行简单的运算和解决问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.不等式的定义和性质的理解。
2.不等式的运算和应用。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解和举例，引导学生理解和掌握不等式的基本性质。
2.实践法：通过让学生进行实际操作和解决问题，培养学生的实际应用能力。
3.讨论法：通过分组讨论和小组合作，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，用于辅助讲解和展示。
2.实例和习题：准备一些相关的实例和习题，用于引导学生进行实践和应用。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过引入实际问题，引发学生对不等式的思考，激发学生的学习兴趣。
例：某商店举行打折活动，商品的原价大于等于100元，打折后的价格小于等于80元。
请用不等式表示这个条件。
2.呈现（15分钟）讲解不等式的定义和基本性质，通过PPT展示和讲解，引导学生理解和掌握不等式的基本性质。
不等式的定义：用“<”、“>”、“≤”、“≥”表示两个数之间的大小关系。
不等式的性质：1.如果a<b，那么a+c<b+c（不等式的加法性质）2.如果a<b，那么ac<bc（不等式的乘法性质）3.如果a<b<c，那么a<c（不等式的传递性质）3.操练（15分钟）让学生进行实际操作，运用不等式的性质进行运算和解决问题。
北师大版数学八年级下册2.2《不等式的基本性质》教学设计一. 教材分析《不等式的基本性质》是北师大版数学八年级下册第2.2节的内容，主要包括不等式的性质1、性质2和性质3。
这些性质是不等式的基础，对于学生理解和掌握不等式的解法、应用等具有重要意义。
本节内容的教学设计应注重学生对性质的理解和应用，通过丰富的实例和练习，让学生深入掌握不等式的基本性质。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了不等式的概念、解法等基础知识，对于不等式的基本操作有一定的掌握。
但学生在理解和应用不等式的性质方面可能存在一定的困难，因此需要教师通过具体实例和练习，引导学生深入理解和掌握不等式的性质。
三. 教学目标1.理解不等式的性质1、性质2和性质3。
2.学会运用不等式的性质解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
2.性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3.性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解不等式的性质，引导学生理解和掌握。
2.案例分析法：教师通过具体的实例，让学生学会运用不等式的性质解决实际问题。
3.练习法：学生通过多做练习，巩固对不等式性质的理解和掌握。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示不等式的性质和实例。
2.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个具体的实例，引出不等式的性质，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）教师讲解不等式的性质1、性质2和性质3，引导学生理解和掌握。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，教师给出一些练习题，让学生运用不等式的性质解决问题。
4.巩固（10分钟）教师针对学生的练习情况，进行讲解和巩固，解答学生的疑问。
5.拓展（10分钟）教师给出一些拓展题，让学生运用所学知识解决，提高学生的解决问题的能力。
专题2.2 不等式的基本性质重难点题型【北师大版】【题型1 利用不等式的性质判断正误】【例1】（2021•江干区三模）若a ＜b ，则下列结论不一定成立的是（ ） A ．a ﹣1＜b ﹣1B ．2a ＜2bC ．a3＜b3D ．a 2＜b 2【变式11】（2021春•南海区期末）下列不等式变形正确的是（ ） A ．由4x ﹣1≥0得4x ＞1 B ．由5x ＞3得x ＞15C ．由﹣2x ＜4得x ＜﹣2D ．由y2＞0得y ＞0【变式12】（2021春•睢宁县校级月考）若x +y ＞x ﹣y ，y ﹣x ＞y ，那么（1）x +y ＞0，（2）y ﹣x ＜0，（3）xy ≤0，（4）yx ＜0中，正确结论的序号为 ．【变式13】（2021•常州）已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且a b＜cd，给出下列四个不等式：①aa+b ＜cc+d；②cc+d＜aa+b；③dc+d＜ba+b；④ba+b＜dc+d其中不等式正确的是（）A．①③B．①④C．②④D．②③【题型2 利用不等式性质比较大小】【例2】（2021春•朝阳区期末）阅读材料：小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．上面的律反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．参考小明发现的规律，解决问题：（1）比较大小：3+√5√10+√5；（填“＜”，“＝”或“＞”）（2）已知x+2y﹣2＝0，且x≥0，若A＝5xy+y+1，B＝5xy+2y，试比较A和B的大小．【变式21】（2021•利州区模拟）若x＞y，比较3−25x与3−25y的大小，并说明理由．【变式22】（2021春•武侯区期末）已知﹣x﹣1＞﹣y+1，试比较3x﹣4与3y﹣4的大小．【变式23】（2021•佛山）小雨的爸爸从市场买回来四个大西瓜，爸爸为了考一考小雨，让小雨把四个大西瓜依次边上①，②，③，④号后，按质量由小到大的顺序排列出来（不准用称），小雨用一个简易天平操作，操作如下：（操作过程中，天平自身损坏忽略不计）根据实验，小雨很快就把四个编好号的大西瓜的质量由小到大排列起来了．你认为小雨的实验于结果都是真实的吗？（即通过上述实验能找出它们质量的大小吗？）请说明你的理由，并与同学交流．【题型3 利用不等式性质化简不等式】【例3】（2021春•岳麓区校级期中）根据不等式的性质把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式． （1）x +7＞9 （2）6x ＜5x ﹣3 （3）15x ＜25．【变式31】（2021秋•郴州校级月考）把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式． （1）2x +5＞3； （2）﹣6（x ﹣1）＜0．【变式32】（2021秋•滨江区期末）不等式（a ﹣2）x ＞b 的解集是x ＜ba−2，求a 的取值范围．【变式33】（2021春•九江期中）用“＞”或“＜”填空：（1）如果x ﹣2＜3，那么x 5；（2）如果−23x ＜﹣1，那么x23；（3）如果15x ＞﹣2，那么x ﹣10；（4）如果﹣x ＞1，那么x ﹣1； （5）若ax ＞b ，ac 2＜0，则x b a．【题型4 利用不等式性质证明（不）等式】【例4】（2021春•濉溪县期中）已知实数a ，b ，c 满足：a +b +c ＝0，c ＞0，3a +2b +c ＞0． 求证：（1）a ＞c ；（2）﹣2＜b a＜−1．【变式41】（2021秋•滨江区期末）求证：如果a ＞b ，e ＞f ，c ＞0，那么f ﹣ac ＜e ﹣bc ．【变式42】（2021•利州区模拟）（2021春•泗水县期末）请类比不等式性质：不等式的两边加（或减）同一个整式，不等号的方向不变．完成下列填空：已知 用“＜”或“＞”填空{5＞32＞1 5+2 3+1{−3＞−5−1＞−2﹣3﹣1 ﹣5﹣2{1＜4−2＜11﹣2 4+1一般地，如果{a ＞bc ＞d ，那么a +c b +d ．（选用“＞”或“＜”填空）你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？【变式43】（2021•余姚市校级自主招生）已知实数a，b，c满足不等式|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|，求证：a+b+c＝0．【题型5 利用不等式性质求取值范围或最值】【例5】（2021春•海淀区校级期末）阅读下列材料：问题：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．解：∵x ﹣y ＝2． ∴x ＝y +2， 又∵x ＞1， ∴y +2＞1． ∴y ＞﹣1． 又∵y ＜0， ∴﹣1＜y ＜0．① ∴﹣1+2＜y +2＜0+2． 即1＜x ＜2．②①+②得﹣1+1＜x +y ＜0+2． ∴x +y 的取值范围是0＜x +y ＜2． 请按照上述方法，完成下列问题：（1）已知x ﹣y ＝3，且x ＞﹣1，y ＜0，则x 的取值范围是 ；x +y 的取值范围是 ； （2）已知x ﹣y ＝a ，且x ＜﹣b ，y ＞2b ，若根据上述做法得到3x ﹣y 的取值范围是﹣5＜3x ﹣y ＜5，求a 、b 的值．【变式51】（2021•杭州）若a +b ＝﹣2，且a ≥2b ，则（ ） A ．ba有最小值12B ．ba有最大值1C ．ab有最大值2D ．ab有最小值−89【变式52】（2021•利州区模拟）（2017春•十堰期末）已知a，b，c为三个非负实数，且满足{a+b+c=302a+3b+4c=100，令W＝3a+2b+5c，则W的最大值为（）A．90B．130C．150D．180【变式53】（2021春•唐河县期中）【提出问题】已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．【分析问题】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．【解决问题】解：∵x﹣y＝2，∴x＝y+2．又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1．又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0，…①同理得1＜x＜2…②由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2．∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．【尝试应用】已知x﹣y＝﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范围．【题型6 不等关系的简单应用】【例6】（2021春•博野县期末）5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a 米，后两名的平均身高为b 米．又前两名的平均身高为c 米，后三名的平均身高为d 米，则（ ） A ．a+b 2＞c+d 2B ．c+d 2＞a+b 2C ．c+d 2=a+b 2D ．以上都不对【变式61】（2021春•内乡县期中）有一个两位数，个位上的数字为a ，十位上的数字为b ，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a 与b 哪个大？【变式62】（2021•雨花区校级开学）江南三大名楼指的是：滕王阁、黄鹤楼、岳阳楼．其中岳阳楼位于湖南省岳阳市的西门城头、紧靠洞庭湖畔，始建于三国东吴时期．自古有“庭天下水，岳阳天下楼”之誉，因北宋范仲淹脍炙人口的《岳阳楼记》而著称于世．某兴趣小组参观过江南三大名楼的人数，同时满足以下三个条件：（1）参观过滕王阁的人数多于参观过岳阳楼的人数；（2）参观过岳阳楼的人数多于参观过黄鹤楼的人数；（3）参观过黄鹤楼的人数的2倍多于参观过滕王阁的人数．若参观过黄鹤楼的人数为4，则参观过岳阳楼的人数的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【变式63】（2021春•自贡期末）如图，某班进行拔河比赛，一共有两个老师，一个男老师，一个女老师，六个学生，三个男学生，三个女学生．其中每个男学生的力量相同，每个女学生的力量相同．如果有三场比赛的结果是：第一场：一个男老师为一方，五个同学（两男三女）为另一方进行比赛，男老师输了；第二场：女老师为一方，五个同学（一男四女）为另一方进行比赛，女老师赢了；第三场：男老师加一个男同学为一方，女老师与三个女同学为另一方进行比赛，男老师一方赢了．问：女老师加两个男同学与男老师加上三个女同学进行比赛，结果将会怎么样？为什么？。
