第一章 有限单元法的简要介绍和发展历史

Abaqus-基础与应用-第一章概述第1章概述有限元分析是使用有限元方法来分析静态或动态的物体或系统。

在这种方法中一个物体或系统被分解为由多个相互联结的、简单、独立的点所组成的几何模型。

在这种方法中这些独立的点的数量是有限的，因此被称为有限元。

1.1有限元分析简介本节首先简要介绍有限元分析的基本概念，然后简要阐述其发展和应用概况。

1.1.1有限元分析的基本概念在工程技术领域内，有许多问题归结为场问题的分析和求解，如位移场、应力场、应变场、流场和温度场等。

这些场问题虽然已经得出应遵循的基本规律（微分方程）和相应的限制条件（边界条件），但因实际问题的复杂性而无法用解析方法求出精确解。

由于这些场问题的解是工程中迫切所需要的，人们从不同角度去寻找满足工程实际要求的近似解，有限元方法就是随着计算机技术的发展和应用而出现的一种求解数理方程的非常有效的数值方法。

有限元分析的基本思想是用离散近似的概念，把连续的整体结构离散为有限多个单元，单元构成的网格就代表了整个连续介质或结构。

这种离散化的网格即为真实结构的等效计算模型，与真实结构的区别主要在于单元与单元之间除了在分割线的交点(节点)上相互连接外，再无任何连接，且这种连接要满足变形协调条件，单元间的相互作用只通过节点传递。

这种离散网格结构的节点和单元数目都是有限的，所以称为有限单元法。

在单元内，假设一个函数用来近似地表示所求场问题的分布规律。

这种近似函数一般用所求场问题未知分布函数在单元各节点上的值及其插值函数表示。

这样就将一个连续的有无限自由度的问题，变成了离散的有限自由度的问题。

根据实际问题的约束条件，解出各个节点上的未知量后，就可以用假设的近似函数确定单元内各点场问题的分布规律。

有限元方法进行结构分析主要涉及三个问题：（1）网格剖分和近似函数的选取选用合适单元类型和单元大小的问题。

合适的单元类型能在满足求解精度的条件下提高求解的效率，反之则可能会事倍功半。

数值分析结课论文有限元的发展历程及其特点论文题目：有限元的发展历程及其特点学院:专业：学号：姓名：有限元法发展综述及其特点摘要：1965年“有限元”这个名词第一次出现，到今天有限元在工程上得到广泛应用，经历了三十多年的发展历史，理论和算法都已经日趋完善。

有限元的核心思想是结构的离散化，就是将实际结构假想地离散为有限数目的规则单元组合体，实际结构的物理性能可以通过对离散体进行分析，得出满足工程精度的近似结果来替代对实际结构的分析，这样可以解决很多实际工程需要解决而理论分析又无法解决的复杂问题。

关键词：有限元，积分法，加权余值法，边值，伽辽金(Galerkin)法。

引言有限元法是一种高效能、常用的计算方法．有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。

自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系．有限元法的孕育过程及诞生和发展大约在300年前，牛顿和莱布尼茨发明了积分法，证明了该运算具有整体对局部的可加性。

虽然，积分运算与有限元技术对定义域的划分是不同的，前者进行无限划分而后者进行有限划分，但积分运算为实现有限元技术准备好了一个理论基础。

在牛顿之后约一百年，著名数学家高斯提出了加权余值法及线性代数方程组的解法。

这两项成果的前者被用来将微分方程改写为积分表达式，后者被用来求解有限元法所得出的代数方程组。

在18世纪，另一位数学家拉格郎日提出泛函分析。

泛函分析是将偏微分方程改写为积分表达式的另一途经。

在19世纪末及20世纪初，数学家瑞雷和里兹首先提出可对全定义域运用展开函数来表达其上的未知函数。

1915年，数学家伽辽金提出了选择展开函数中形函数的伽辽金法，该方法被广泛地用于有限元。

有限元方法历史简介有限元方法历史简介取自Wikipedia的免费百科全书数学有限元方法（FEM）是用来求偏微分方程式（PDE）的近似解，也求积分方程式，例如热传输方程式。

求解方法是基于完全取消微分方程式（稳态问题），或把偏微分方程式（PDE）译成等效的常微分方程式，然后采用像有限差等标准的技术求解。

在解偏微分方程式时，主要的挑战是创建近似研究的方程式，但数字稳定，这意味着在输入数据和中间计算都不会聚集错误，并造成无意义的输出结果。

有许多这么做的方法，它们都有各自的优缺点。

对于求解复杂域（像汽车和油管道）偏微分方程式，或当希望在全部范围精确变化时，有限元方法是好的选择。

例如，在模拟地球气候模式时，在土地和完全开放的海域之上有着准确的预测是非常重要的，采用有限元方法，这个要求是可以做得到的。

1 历史有限元方法起源于需要解决市政工程和航空工程方面复杂的弹性结构分析问题。

它的开发可以追溯到A.Hrennikoff（1941）和R.Courant（1942）的工作。

虽然这些先驱者使用这些方法，并且引人注目的不同，但他们都共享一个基本的特性：把连续域的网格离散化进入一组离散的子域里。

Hrennikoff的工作是采用格子使域离散，而与之类似，为了求解起源于汽缸扭转的问题的二阶椭圆的偏微分方程式（PDEs），Richard Courant的方法是把域划分成有限的三角形子域。

对于由Rayleigh，Ritz和Galerkin开发的偏微分方程式（PDEs），Richard Courant的贡献是改进，绘制了大量的早期结果。

针对机身和结构分析的有限元方法的开发最早开始于1950年代中期，并且用于市政工程的有限元方法许多是1960年代在伯克利开始启动（见伯克利早期有限元研究）。

在1973年Strang和Fix出版的《有限元方法的分析》里，提供的方法采用了严格的数学基础，并且已经在广泛变化的工程学科，即电磁和流体力学里，针对物理系统的数字建模，归纳成为应用数学的分枝。

有限单元法知识点总结1. 有限元法概述有限单元法（Finite Element Method ，简称FEM）是一种数值分析方法，适用于求解工程结构、热传导、流体力学等领域中的强耦合、非线性、三维等问题，是一种求解偏微分方程的数值方法。

有限元法将连续的物理问题抽象为由有限数量的简单几何单元（例如三角形、四边形、四面体、六面体等）组成的离散模型，通过对单元进行适当的数学处理，得到整体问题的近似解。

有限元法广泛应用于工程、材料、地球科学等领域。

2. 有限元法基本原理有限元法的基本原理包括离散化、加权残差法和形函数法。

离散化是将连续问题离散化为由有限数量的简单单元组成的问题，建立有限元模型。

加权残差法是选取适当的残差形式，并通过对残差进行加权平均，得到弱形式。

形函数法是利用一组适当的形函数来表示单元内部的位移场，通过形函数的线性组合来逼近整体位移场。

3. 有限元法的步骤有限元法的求解步骤包括建立有限元模型、建立刚度矩阵和载荷向量、施加边界条件、求解代数方程组和后处理结果。

建立有限元模型是将连续问题离散化为由简单单元组成的问题，并确定单元的连接关系。

建立刚度矩阵和载荷向量是通过单元的应变能量和内力作用，得到整体刚度矩阵和载荷向量。

施加边界条件是通过给定位移或力的边界条件，限制未知自由度的取值范围。

求解代数方程组是将有限元模型的刚度方程和载荷方程组成一个大型代数方程组，通过数值方法求解。

后处理结果是对数值结果进行处理和分析，得到工程应用的有用信息。

4. 有限元法的元素类型有限元法的元素类型包括结构单元、板壳单元、梁单元、壳单元、体单元等。

结构单元包括一维梁单元、二维三角形、四边形单元、三维四面体、六面体单元。

板壳单元包括各种压力单元、弹性单元、混合单元等。

梁单元包括梁单元、横梁单元、大变形梁单元等。

壳单元包括薄壳单元、厚壳单元、折叠单元等。

体单元包括六面体单元、锥体单元、八面体单元等。

5. 有限元法的数学基础有限元法的数学基础包括变分法、能量方法、有限元插值等。

第一章绪论§1-1 有限单元法的基本概念有限单元法(The Finite Element Method)是随着高速电子计算机的应用日益普及和数值分析在工程中的作用日益增长而发展起来的一种实用有效，较为新颖的数值方法。

一、思路有限单元法最早是用于固体力学。

应力和变形计算（强度和刚度）设计是工程设计的重要内容之一。

也是有限单元法最基本的内容。

经典的固体力学(包括结构力学、弹性力学、塑性力学等)主要是对结构进行强度和刚度分析，也就是求应力和变形（应变和位移）。

⏹结构力学：由小杆入手，建立力和变形的物理关系，合成得总的变形和力关系⏹连续体力学（经典的解析法是从研究连续体中无限小的微分体入手，得出描述连续体性质的微分方程。

然后根据边界条件、初始条件可解得一个通解。

这个解可给出连续体内任一点上所求参数的值。

如弹性力学。

然而，对于大多数工程实际问题，由于几何形状的不规则，材料的非线性和不均匀，边界条件、初始条件复杂或不健全等问题，解析法的解题能力非常有限。

）方法：（1）由微分体受力分析入手，建立平衡方程、几何方程、物理方程等微分方程，并利用它们将各参数表示成一个参数（如位移法是位移-基本未知量）的函数，（2）想方设法解出这个参数关于坐标的函数。

如假定一个试探函数，使之满足平衡方程、几何方程、物理方程等基本方程，初始条件和边界条件等特定条件。

这个解就是所谓的解析解。

有二个特点：（1）适用于全域，是一个统一函数解；（2）满足所有初始条件和边界条件。

这是其优点，也是其困难所在：（1）边界形状复杂；（2）边界条件多变（约束、应力、温度等）；（3）初始条件多变；（4）材料复杂。

正是这些条件决定了解的唯一性（特解）。

但仅是将这些条件用数学表达式表示都很困难（数学描述，科学的表征问题，每个方面都是一门学问。

），更不要说寻求满足上述所有条件的统一的、精确的数学解了。

特别是随着科学技术的进步和生产的发展，工程结构的几何形状和载荷情况日益复杂，新材料也不断出现，这使得寻找结构分析的解析解十分困难，甚至不可能。