高二第二学期期中考试数学试卷含答案(word版)

南京市2020—2021学年度高二第二学期期中六校联考数学试卷本卷：共150分 考试时间：120分钟一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．设z ＝3－2i ，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择的种数为（ ） A ．60B ．125C ．240D ．2433．已知递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝2，S 3＝7，则S 7＝( ) A ．64B ．63C ．127D ．484．3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有（ ） A ．4种B ．5种C ．6种D ．8种5．已知函数f (x )＝13a 2x 3－32ax 2＋2x ＋1在x ＝1处取得极大值，则a 的值为( )A ．－1或－2B ．1或2C ．1D ．26．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有( ) A ．12种B ．24种C ．48种D ．120种7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( ) A ．60种B ．78种C ．84种D ．144种8．定义在R 上的函数f (x )的导函数为f′(x )，若对任意实数x ，有f (x )＞f′(x )，且f (x )＋2022为奇函数，则不等式f (x )＋2022e x ＜0的解集是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，2022)C ．(0，＋∞)D ．(2022，＋∞)二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。

高二下学期期中考试数学（理）试题命题人：李春光 审题人：吕鹏飞一．选择题 (3*10=30分)1．在“近似代替”中，函数)(x f 在区间],[1+i i x x 上的近似值（ ）A.只能是左端点的函数值)(i x fB.只能是右端点的函数值)(1+i x fC.可以是该区间内的任一函数值()∈i i f ξξ(],[1+i i x x ）D.以上答案均正确 2．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角， 则180A B ∠+∠=︒．B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．C ．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人， 由此推测各班都超过50人．D ．在数列{}n a 中()111111,22n n n a a a n a --⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，由此归纳出{}n a 的通项公式．3．在数学归纳法证明“1211(1)1n na a a a a n a+*-++++=≠∈-N ，”时，验证当1n =时，等式的左边为（ ）Ａ．1 Ｂ．1a - Ｃ．1a + Ｄ．21a -4．用反证法证明命题“a b ∈N ，，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．则假设的内容是（ ）Ａ．a ，b 都能被5整除 Ｂ．a ，b 都不能被5整除Ｃ．a 不能被5整除 Ｄ．a ，b 有1个不能被5整除 5. 设0＜x ＜1，则的最小值为（ ）326.()4, C.4,2 D.8,6f x x px qx x y p q ==-极小值已知++的图像与轴切于非原点的一点，， 则分别为（ ）A.6,9B.9,67．设()f x 在[]a b ，上连续，则()f x 在[]a b ，上的平均值是（ ） Ａ．()()2f a f b + Ｂ．()b a f x dx ⎰Ｃ．1()2b a f x dx ⎰ Ｄ．1()baf x dx b a -⎰4218.,12 A.1 B.0 C.3+ωωω=-+++=若则（ ）9．)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，0)()()()(<'+'x g x f x g x f 且(1)0f -=则不等式0)()(<x g x f 的解集为（ ）A ．（－1，0）∪（1，+∞）B ．（－1，0）∪（0，1）C ．（－∞，－1）∪（1，+∞）D ．（－∞，－1）∪（0，1）121222()()(,(),,,1x f x g x x e f x g x x x R e x x k k k +-==∀∈≤++10.设）对有恒成立， 则正数的取值范围 （ ）.(0,1)A .(0,)B +∞ [).1,C +∞ 21.,21D e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭二．填空题 (3*5=15分)11．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）○●○○●○○○●○○○○●若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2010个圆中有实心圆的个数为 ； 12．利用数学归纳法证明“*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n∈-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++ ”时，从“k n =”变到 “1+=k n ”时，左边应增乘的因式是_____________________ ；13.2⎰= ；14．不等式21ln(1)4x x M +-≤恒成立，则M 的最小值为 ； 15. 已知函数x b ae x f xln )(+=（b a ,为常实数）的定义域为D ，关于函数)(x f 给出下列命题：①对于任意的正数a ，存在正数b ，使得对于任意的D x ∈，都有0)(>x f ． ②当0,0<>b a 时，函数)(x f 存在最小值； ③若0<ab 时，则)(x f 一定存在极值点； ④若0≠ab时，方程)()('x f x f =在区间（1，2）内有唯一解其中正确命题的序号是安庆一中2013-2014学年度第二学期期中考试高二数学试卷（理科）二．填空题 (4*5=20分)11. ；12. ；13. ；14. ；15. 。

第二学期期中考试 高二级数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题:,sin 1p x x ∀∈≤R ，它的否定是（ ） A ．存在,sin 1x x ∈>R B ．任意,sin 1x x ∈≥R C ．存在,sin 1x x ∈≥R D ．任意,sin 1x x ∈>R2．已知复数z 满足（z-1）i=i+1，复平面内表示复数z 的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数()f x 在0x=x 处导数存在，若p ：f ‘（x 0）=0；q ：x=x 0是()f x 的极值点，则( ) A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件D ． p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件4．有下列命题：①若0xy =，则0x y +=；②若a b >，则a c b c +>+；③矩形的对角线互相垂直．其中真命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．设复数z=()()12i i a ++为纯虚数，其中a 为实数，则a =（ ）A ．2-B ．12-C ． 12 D ．26．双曲线2214y x -=的渐近线方程和离心率分别是（ ）A ． 2,y x e =±=B ． 1,2y x e =±=C ．1,2y x e =± D ．2,y x e =±=7．若函数()ln f x x x =-的单调递增区间是( ) A ．()0,1 B ．()0,e C ．()0,+∞ D ．()1,+∞8．按照图1——图3的规律，第10个图中圆点的个数为（ ）个． A ．40 B ．36 C ．44 D ．52图1图2图39． 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)49263954根据上表可得回归方程y bx a =+ 中的b 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )． A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元10． 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则( )A ．乙可以知道两人的成绩B ．丁可能知道两人的成绩C ． 乙、丁可以知道自己的成绩D ．乙、丁可以知道对方的成绩11． 已知函数3()63f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则b 的取值范围是( )A ． ,0-∞B ．1(0,)2C ． 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ． ()0,112．设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1][4,)+∞B ．3][4,)+∞C ．(0,1][9,)+∞D ．3][9,)+∞第II 卷二．填空题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分． 13．设()11i x yi +=+，其中,x y 是实数，则x yi += ．14． 如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为98、63，则输出的a = ．15．已知双曲线的顶点为椭圆2212y x +=长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1，则双曲线的方程是16． 已知曲线ln y x x =+在点 ()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切，则a = ． 三．解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分12分）已知:p 关于x 的方程210x mx ++=有两个不等的负根；:q 关于x 的方程244(2)10x m x +-+=无实根。

宿州市省、市示范高中2023-2024学年度第二学期期中教学质量检测高二数学试卷（人教版）（答案在最后）（时间：120分钟满分：150分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.曲线1y x =在点()1,1处的切线的倾斜角为（）A.π4B.π3 C.2π3D.3π4【答案】D 【解析】【分析】根据导数的几何意义，结合直线倾斜角与斜率的关系求解即可.【详解】由1y x =可得21y x'=-，则1|1x y ='=-，即曲线1y x =在点()1,1处的切线的斜率为1-.故曲线1y x =在点()1,1处的切线的倾斜角为3π4.故选：D2.3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是（）A.35C B.35A C.53 D.35【答案】D 【解析】【分析】每个班都有5种选法，由分步计数原理可得结果.【详解】解：由题意可知，每个班都有5种选法，则由分步计数原理可得共有35555⨯⨯=种方法.故选：D3.已知数列{}n a 为等比数列，则“公比1q >”是“{}n a 为递增数列”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】D 【解析】【分析】等比数列{}n a 为递增数列的充要条件是101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，可得出答案.【详解】等比数列{}n a 为递增数列的充要条件是101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩故“公比1q >”是“{}n a 为递增数列”的既非充分也非必要条件故选：D4.012101010101001210C C C C 2222-+-⋅⋅⋅+=（）A.11024-B.11024C.101032- D.101032【答案】B 【解析】【分析】借助二项式定理可得10012101010101001210C C C C 1122222⎛⎫-+-⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭，即可得解.【详解】1001210101010100121010C C C C 11112222221024⎛⎫-+-⋅⋅⋅+=-== ⎪⎝⎭.故选：B.5.已知等比数列{}n a 中，2854a a a ⋅=，等差数列{}n b 中，465b b a +=，则数列{}n b 的前9项和9S 等于A.9 B.18 C.36D.72【答案】B 【解析】【分析】由等比数列的性质可得2825a a a ⋅=，求得54a =，得到464b b +=，再由等差数列的前n 项和，即可求解，得到答案.【详解】在等比数列{}n a 中，满足2854a a a ⋅=，由等比数列的性质可得2825a a a ⋅=，即2554a a ⋅=，所以54a =，又由465b b a +=，所以464b b +=所以数列{}n b 的前9项和194699()9()9418222b b b b S ++⨯====，故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的性质，以及等差数列的前n 项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.已知圆C ：()()22329x y -+-=，直线l ：330mx y m --+=，则直线l 与圆C 的位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.不确定【答案】A 【解析】【分析】求出直线l 过的定点坐标，然后判断定点与圆的位置关系，进而可得直线与圆的位置关系.【详解】由直线:330l mx y m --+=，可得()33y m x -=-，所以直线l 过定点()3,3，又()()2233329-+-<，所以点()3,3在圆C 内部，所以直线l 与圆C 相交.故选：A.7.作为泗县地方传统美食之一，传承百余年的“刘圩大饼”，其制作技艺已被列入宿州市非物质文化遗产，深受广大群众的喜爱，远近闻名，是泗县饮食文化的一张亮丽名片.用一个传统的饼铛烙饼，每次饼铛上最多只能同时放两张大饼，烙熟一张大饼需要8分钟的时间，其中每烙熟一面需要4分钟.那么要烙熟5张大饼，至少需要（）A.16分钟B.20分钟C.24分钟D.40分钟【答案】B 【解析】【分析】根据题意将5张大饼的10个面分成5组烙熟，每组需要4分钟，可求得答案.【详解】根据题意，烙熟一张大饼需要两面烙熟，这5张大饼的两面分别记作12,A A ，12,B B ，12,C C ，12,D D ，12,E E ，每次饼铛上最多只能同时放两张大饼，每烙熟一面需要4分钟.可将上面5张大饼的10个面分成5组烙熟，比如()()()()()1122112122,,,,,,,,,A B A B C D C E D E ，则至少需要20分钟.故选：B.8.已知a =，1e b -=，c =（e 为自然对数的底数），则实数,,a b c 的大小关系为（）A.a c b <<B.b a c<< C.c<a<bD.c b a<<【答案】A 【解析】【分析】根据,,a b c 式子特点，构建函数ln ()xf x x=，利用导数判断函数()f x 的单调性，利用函数单调性比较,b c 大小，再由ln y x =的单调性比较,a c 大小，则可得结果.【详解】令ln ()xf x x=，则21ln ()x f x x -'=，故当(0,e)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，而1ln e e(e)e b f -===，ln 3(3)3c f ===，因为e 3<，(e)(3)f f >，故c b <，因为函数ln y x =在()0,∞+上为增函数，而3262638,9⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，且89<，<a c <，所以a c b <<.故选：A.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在平面直角坐标系中，曲线C 上任意点P 与两个定点()1,0A -和点()10B ,连线的斜率之积等于2，则关于曲线C 的结论正确的有（）A.曲线C 为双曲线B.曲线C 是中心对称图形C.曲线C 上所有的点都在圆221x y +=外D.曲线C 是轴对称图形【答案】BCD 【解析】【分析】设(),P x y ，根据题中条件，列式求出点的轨迹方程，再逐项判断，即可得出结果.【详解】设点(),P x y ，根据题意可得2PA PB k k ⋅=，即211y yx x ⋅=+-，且1x ≠±，化简得()22112y x x -=≠±，曲线C 是双曲线除去顶点()1,0-，()1,0，如图所示，故A 错误；对于B ，曲线C 关于原点()0,0中心对称，故B 正确；对于C ，曲线C 上所有点均在圆221x y +=外，故C 正确；对于D ，曲线C 关于,x y 轴对称，故D 正确.故选：BCD.10.已知随机变量X 服从正态分布()0,1N ，定义函数()f x 为X 取值不超过x 的概率，即()()f x P X x =≤，则下列说法正确的有（）A.()102f =B.()()110.6827f f --≈C.()f x 在()0,∞+上是减函数D.()()22f x f x =【答案】AB 【解析】【分析】根据正态曲线的性质判断A 、B 、D ，由正态曲线的性质及函数单调性的定义判断C.【详解】因为()0,1X N ，所以()()2010f P X ==≤，故A 正确；若()2,X Nμσ ，则()0.6827P X μσ-<≈，所以()()()()()1111110.6827f f P X P X P X --=≤-≤-=-≤≤≈，故B 正确；当x 增大时()()f x P X x =≤也增大，所以()f x 在()0,∞+上是增函数，故C 错误；因为()()22f x P X x =≤，()()22f x P X x =≤，当0x >时，()()12f x P X x =>≤，则()21f x >，又()()122f x P X x =≤<，所以()()22f x f x =不成立，故D 错误.故选：AB11.已知数列{}n a 满足11a =，()*11N n n a a n +=+∈，则（）A.3a 可以是3B.{}n a 可以是等比数列C.1210a a a ++⋅⋅⋅+的最小值为0D.{}n a 可以是周期数列【答案】AD【解析】【分析】对于选项A ，举出n a n =即可；对于选项B ，用反证法证明{}n a 不是等比数列即可；对于选项C ，证明1210a a a ++⋅⋅⋅+是奇数即可；对于选项D ，举出()1312nna +⋅-=-即可.【详解】对于选项A ，注意到数列n a n =满足条件，此时33a =，故A 正确；对于选项B ，假设{}n a 是等比数列，设公比为q ，则1n n a q -=，从而11nn q q-=+.故2122122111n nn n nqqq q q++==+=+=+，这意味着211nq q=-，从而21nq与n 无关，故1q =，但这又意味着21110nq q==-=，矛盾，所以{}n a 不是等比数列，故B 错误；对于选项C ，因为11n n a a +=+，所以11n n a a +=+或11n n a a +=--，而11a =，归纳即知{}n a 的每一项都是整数，且相邻两项的奇偶性相反，所以1210a a a ++⋅⋅⋅+是五个奇数和五个偶数之和，从而一定是奇数，不可能为零.这表明12100a a a ++⋅⋅⋅+>，故C 错误；对于选项D ，由于数列()1312nna +⋅-=-，满足条件，而此时显然有2n n a a +=，故{}n a 可以是周期数列，故D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题B 选项的关键利用反证法，C 选项的关键是通过递推式得到1210a a a ++⋅⋅⋅+是奇数.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量()~4,X B p ，()43E X =，则()21D X -=_______.【答案】329【解析】【分析】借助二项分布期望公式与方差公式，结合方差的性质计算即可得.【详解】由()443E X p ==，故13p =，则()11841339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，则()()2832212499D X D X -==⨯=.故答案为：329.13.已知()f x '是()f x 的导函数，且()13f '=，则()()112lim x f f x x∆→-+∆=∆_______.【答案】6-【解析】【分析】借助导数定义计算即可得.【详解】()()()()()()0011211211lim lim 31122x x f f x f f x f x x∆→∆→-+∆-+∆'==-=-+∆∆，故()()()0112lim326x f f x x∆→-+∆=⨯-=-∆.故答案为：6-.14.2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线.用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支（把圆锥面换成相应的二次锥面时，则可得到双曲线）.现用一个垂直于母线的平面去截一个等边圆锥（轴截面为等边三角形），则所得的圆锥曲线的离心率为_______.【答案】3【解析】【分析】根据给定信息可得圆锥曲线为椭圆，过圆锥底面圆周上一点作符合要求的截面，结合几何图形求出椭圆长短轴长的倍分关系即可.【详解】如图PAB 是等边三角形，设棱长为12，不妨过点A 作垂直于母线PB 的平面，得到截面曲线为椭圆，截面过PB 的中点M，则椭圆长轴长2||a AM ==取线段AM 的中点O '，连接PO '并延长交AB 于点Q ，过Q 作EF AB ⊥交底面圆于点,E F ，连接,PE PF 分别交椭圆于点,G H ，则椭圆短轴长2||b GH =，且//EF GH ，取BQ 中点N ，连接MN ，则//,||2||MN PQ PQ MN =，11||||||24QO MN PQ '==，因此2||3||||4b PO EF PQ '==，即32||4b EF =，显然,Q N 是线段AB 的两个3等分点，即||4,||8AQ BQ ==，由相交弦定理得2||||||32EQ AQ BQ ==，解得||42EQ =，于是322||624b EQ =⋅=，23ba=，所以椭圆的离心率2222313a b b e a a -==-=.故答案为：33四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.过抛物线()220y px p =>的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，已知16AB =.（1）求抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，求AOB 的面积.【答案】（1）28y x =（2）82【解析】【分析】（1）首先直线与抛物线方程联立，利用韦达定理表示焦点弦长公式，即可求解；（2）根据（1）的结果，利用点到直线的距离公式表示三角形的高，即可求解面积.【小问1详解】设AB 方程为2py x =-，()11,A x y ，()22,B x y 由222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩并化简得22304p x px -+=，则123x x p +=，2124p x x ⋅=12416AB x x p p =++==，故4p =所以抛物线方程为28y x =.【小问2详解】由（1）知AB 方程为20x y --=，则原点O 到AB的距离d ==所以12OAB S AB d == .16.已知数列{}n a 为等差数列，且238a a +=，5620a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设24n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：43n T <.【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）借助等差数列的性质，借助等差数列基本量计算即可得；（2）借助裂项相消法计算可得n T ，即可得证.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，由题意可得：2315612382920a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，故21n a n =-；【小问2详解】由21n a n =-，故()()41121232123n b n n n n ==--+-+，121111111111537597112123n n T b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1114114132123321233n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+< ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.17.如图，圆台上底面圆1O ，下底面圆2O 的半径为2，AB 为圆台下底面的一条直径，圆2O 上点C 满足AC BC =，1PO 是圆台上底面的一条半径，点P ，C 在平面1ABO 的同侧，且1//PO BC .（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若圆台的高为2，求直线1AO 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）如图，由题意可得AC BC ==，证明四边形12PO O O 为平行四边形，则PO ⊥面ABC ，结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可.【小问1详解】取AC 中点O ，连接12O O 、OP 、2OO ，4AC BCAB =⎧⎨=⎩，则AC BC ==∴1//PO BC 且112PO BC =，1//OO BC 且112OO BC =，∴12//PO OO 且12PO OO =，∴四边形12PO O O 为平行四边形，∴12//PO O O ，又12O O ⊥面ABC ∴PO ⊥面ABC ，PO ⊂面PAC ，∴面PAC ⊥面ABC .【小问2详解】以O 为原点，OA ，2OO ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则)A，()B，()C ，()0,0,2P，()12O，()12AO =，()2PB =-，()2PC =-，设面PBC 的法向量(),,n x y z =，则2020n PB z n PC z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1z =，得0x y ==，所以()n =，所以111cos ,3AO n AO n AO n⋅== ，即1AO 与面PBC所成角的正弦值为3.18.某校高二年级数学竞赛选拔赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高二某班派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是45、34，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是23、12，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响.（1）若该班获得决赛资格的同学个数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）已知甲和乙都获得了决赛资格.决赛的规则如下：将问题放入A ，B 两个纸箱中，A 箱中有3道选择题和3道填空题，B 箱中有4道选择题和4道填空题.决赛中要求每位参赛同学在A ，B 两个纸箱中随机抽取两题作答.甲先从A 箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入B 箱中，然后乙再从B 箱中抽取题目.①求乙从B 箱中抽取的第一题是选择题的概率；②已知乙从B 箱中抽取的第一题是选择题，求甲从A 箱中抽出的是2道选择题的概率.【答案】（1）分布列见解析，1415（2）①12；②625【解析】【分析】（1）分析题意，X 为该班获得决赛资格的同学个数，因此需要分别计算出甲和乙进入决赛的概率1P 和2P .进入决赛的人数0,1,2X =，求出概率，列出分布列，利用期望计算公式得到期望.（2）能够直接计算出的是甲取到i 道选择题的概率(0,1,2i =)，以及分别在甲抽取i 道选择题条件下乙再抽取到选择题的概率，利用全概率公式和条件概率公式、乘法公式，可以得到①、②两问的结果.【小问1详解】甲获得决赛资格的概率1433545P =⨯=，乙获得决赛资格的概率2211323P =⨯=.由题意得0,1,2X =，()3140115315P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()31318111535315P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()31325315P X ==⨯=.X 的分布列为：X012P41581531548314()01215151515E X =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】设事件=i A “甲取到i 道选择题”，0,1,2i =；事件B =“乙取到第一题是选择题”.()23026C 3C 15P A ==，()1133126C C 9C 15P A ==，()23226C 3C 15P A ==.()140110C 4C 10P B A ==，()151110C 5C 10P B A ==，()162110C 6C 10P B A ==.①由全概率公式可得：()()()()()()()00112212P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=.②由条件概率公式和乘法公式可得：()()()()()()2222625P A P B A P A B P A B P B P B ===.19.已知函数()()2ln 3R f x x ax x a =+-∈.（1）若函数()f x 在点()()22f ,处的切线与直线320x y -=平行，求函数()f x 的极值；（2）若1a =，对于任意[]12,1,10x x ∈，当12x x <时，不等式()()()211212m x x f x f x x x -->恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）极小值为2-，极大值为5ln 24--（2）(],1710-∞-【解析】【分析】（1）首先根据导数的几何意义，列式求参数，再利用导数判断函数的单调性，即可求解函数的极值；（2）首先不等式变形为()()1212m m f x f x x x ->-，再构造函数()m y f x x=-，再由函数的单调性，转化为函数单调递减求参数的取值范围.【小问1详解】由题意得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()23f x ax x'=+-，则()1324322f a '=+-=，解得：1a =，∴()2123123x x f x x x x-+'=+-=，令()0f x '=，解得：1x =或12x =，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增，当1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，则当1x =时，函数()f x 取得极小值，为()1ln1132f =+-=-，当12x =时，函数()f x 取得极大值，为11135ln ln 222424f ⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭.【小问2详解】由1a =得()2ln 3f x x x x =+-，不等式()()()211212m x x f x f x x x -->可变形为()()1212m mf x f x x x ->-，即()()1212m mf x f x x x ->-，因为[]12,1,10x x ∈，且12x x <，所以函数()my f x x=-在[]1,10上单调递减，令()()2ln 3m mh x f x x x x x x =-=+--，[]1,10x ∈，则()21230mh x x x x'=+-+≤在[]1,10x ∈上恒成立，即3223m x x x ≤-+-在[]1,10x ∈上恒成立，设()3223F x x x x =-+-，则()2211661622F x x x x ⎛⎫'=-+-=--+ ⎪⎝⎭，因为当[]1,10x ∈时，()0F x '<，所以函数()F x 在[]1,10上单调递减，所以()()32min 10210310101710F x F ==-⨯+⨯-=-，所以1710m ≤-，即实数m 的取值范围为(],1710-∞-.【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）()a f x ≥恒成立()max a f x ⇔≥；（2）()a f x ≤恒成立()min a f x ⇔≤.。

2023-2024学年第二学期期中质量检测高二数学试卷（答案在最后）（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.计算52752+C A 的值是（）A.62B.102C.152D.5402.下列导数运算正确的是（）A.cos sin x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()21log ln 2x x '=C.()22xx'= D.()32e 3exxx x '=3.若9290129(2)x a a x a x a x -=++++L ，则129a a a +++ 的值为（）A.1- B.1 C.511- D.5124.若2()f x x bx c =++的图象的顶点在第二象限，则函数()f x '的图象是（）A. B.C. D.5.曲线()(22e 21xf x x x =--+-在0x =处的切线的倾斜角是（）A.2π3B.5π6C.3π4 D.π46.现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（）A.1115B.1130C.115D.2157.有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（）A.462B.630C.672D.8828.已知函数()e 2xx k f x =-，若0x ∃∈R ，()00f x ≤，则实数k 的最大值是（）．A.1eB.2eC.12eD.e e二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1)nx+*(N )n ∈展开式中常数项是2C n ，则n 的值为（）.A.3B.4C.5D.610.高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数36392412a b下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（）A.33a b +=B.选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人C.在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合D.选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的11.若不等式e ln 0x ax a -<在[)2,x ∞∈+时恒成立，则实数a 的值可以为（）A.3eB.2eC.eD.2第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A =___________.13.某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为________．14.将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）四、解答题（本大题共5题，共７7分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数3()ln (R)f x x ax a =+∈，且(1)4f '=．（1）求a 的值；（2）设()()ln g x f x x x =--，求()y gx =过点(1,0)的切线方程．16.已知n⎛⎝在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．17.如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件i A （123i =，，）表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．（1）求()P B 的值：（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．18.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X 的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.19.已知曲线()31:3C y f x x ax ==-.（1）求函数()313f x x ax =-()0a ≠的单调递增区间；（2）若曲线C 在点()()3,3f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积大于18，求实数a 的取值范围.2023-2024学年第二学期期中质量检测高二数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.计算52752+C A 的值是（）A.62 B.102C.152D.540【答案】A 【解析】【分析】利用组合和排列数公式计算【详解】5275762254622C A =+´+创=故选：A2.下列导数运算正确的是（）A.cos sin x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()21log ln 2x x '=C.()22xx'= D.()32e 3exxx x '=【答案】B 【解析】【分析】利用常见函数的导数可以判断B 、C 的真假，利用积的导数的运算法则判断D 的真假，利用商的导数的运算法则判断A 的真假.【详解】∵()22cos cos cos sin cos x x x x x x x x x x x ''⋅-⋅--⎛⎫== ⎪⎝'⎭，故A 错误；∵()21log ln 2x x '=，故B 正确；∵()22ln 2x x '=，故C 错误；∵()()()33323e e e 3e e x x x x x x x x x x ⋅'''=⋅+=+，故D 错误.故选：B.3.若9290129(2)x a a x a x a x -=++++L ，则129a a a +++ 的值为（）A.1- B.1 C.511- D.512【答案】C 【解析】【分析】根据题意，分别令1x =与0x =代入计算，即可得到结果.【详解】当1x =时，20911a a a a ++++=L ；当0x =时，0512a =所以，1211511a a a +++=-L 故选：C4.若2()f x x bx c =++的图象的顶点在第二象限，则函数()f x '的图象是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】求导后得到斜率为2，再由极值点是导数为零的点小于零，综合直线的特征可得正确答案.【详解】因为()2f x x b '=+，所以函数()f x '的图象是直线，斜率20k =>；又因为函数()f x 的顶点在第二象限，所以极值点小于零，所以()f x '的零点小于零，结合直线的特征可得C 符合.故选：C5.曲线()(22e 21xf x x x =--+-在0x =处的切线的倾斜角是（）A.2π3B.5π6C.3π4 D.π4【答案】A 【解析】【分析】利用导数的几何意义求得切线斜率，即可求得切线的倾斜角.【详解】()()2e 22,0xf x x f =--∴'-'= ，设切线的倾斜角为[),0,πθθ∈，则tan θ=，即2π3θ=，故选：A ．6.现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（）A.1115B.1130C.115D.215【答案】B 【解析】【分析】根据条件概率的定义，结合全概率公式，可得答案.【详解】记事件A 表示“球取自甲箱”，事件A 表示“球取自乙箱”，事件B 表示“取得黑球”，则()()()()1212,,2635P A P A P B A P B A =====，由全概率公式得()()()()111211232530P A P B A P A P B A +=⨯+⨯=．故选：B ．7.有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（）A.462B.630C.672D.882【答案】C 【解析】【分析】根据题意，按使用颜色的数目分两种情况讨论，由加法原理计算可得答案.【详解】根据题意，分两种情况讨论：若用两种颜色涂色，有27C 242⨯=种涂色方法；若用三种颜色涂色，有()37C 3221630⨯⨯⨯+=种涂色方法；所以有42630672+=种不同的涂色方法.故选：C.8.已知函数()e 2xx k f x =-，若0x ∃∈R ，()00f x ≤，则实数k 的最大值是（）．A.1eB.2eC.12eD.e e【答案】B 【解析】【分析】将问题转化为002e x x k ≤在0x ∈R 上能成立，利用导数求2()exxg x =的最大值，求k 的范围，即知参数的最大值.【详解】由题设，0x ∃∈R 使02e x x k ≤成立，令2()exxg x =，则()21e x g x x ⋅-'=，∴当1x <时()0g x '>，则()g x 递增；当1x >时()0g x '<，则()g x 递减；∴2()(1)e g x g ≤=，故2e k ≤即可，所以k 的最大值为2e.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1)nx+*(N )n ∈展开式中常数项是2C n ，则n 的值为（）.A.3B.4C.5D.6【答案】AD 【解析】【分析】根据二项式展开式得到321C n r r r nT x-+=，再令302n r-=，则得到123C C n n n =，解出即可.【详解】展开式的通项为131221C ()()C n r r n rr rr nnT x x x---+==，若要其表示常数项，须有302n r-=，即13r n =，又由题设知123C C n n =，123n \=或123n n -=，6n ∴=或3n =.故选：A D ．10.高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数36392412ab下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（）A.33a b +=B.选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人C.在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合D.选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的【答案】AC 【解析】【分析】结合统计结果对选项逐一分析即可得.【详解】对A ：由3924482a b +++=⨯，则33a b +=，故A 正确；对B ：由选择化学的有39人，选择物理的有36人，故至少有三人选择化学并选择了历史，故选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生最多有9人，故B 错误；对C ：确定选择化学后，还需在物理、历史中二选一，在生物、地理、政治中三选一，故共有236⨯=种不同的选考科目组合，故C 正确；对D ：由于地理与政治选考该科人数不确定，故该说法不正确，故D 错误.故选：AC.11.若不等式e ln 0x ax a -<在[)2,x ∞∈+时恒成立，则实数a 的值可以为（）A.3eB.2eC.eD.2【答案】BCD 【解析】【分析】构造函数()ex xf x =，将e ln 0x ax a -<恒成立问题转化为()()ln f x f a <恒成立问题，求导，研究()e xxf x =单调性，画出其图象，根据图象逐一验证选项即可.【详解】由e ln 0x ax a -<得ln ln ln e ex a x a aa <=，设()e x x f x =，则()1ex xf x ='-，当1x <时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，又()00f =，()11e f =，当0x >时，()0ex xf x =>恒成立，所以()ex xf x =的图象如下：，ln ln e ex a x a<，即()()ln f x f a <，2x ≥，对于A ：当3e a =时，ln ln 31>2a =+，根据图象可得()()ln f x f a <不恒成立，A 错误；对于B ：当2e a =时，()ln ln 211,2a =+∈，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，B 正确；对于C ：当e a =时，ln 1a =，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，C 正确；对于D ：当2a =时，ln ln 2a =，又()()ln 22ln 212ln 2ln 2,2e 2ef f ===，因为221263ln 23ln 2e e ⨯-⨯=，且2e,e 6>>，即26ln 1,1e ><，所以221263ln 23ln 02e e⨯-⨯=->，即()()ln 22f f >，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题的关键将条件变形为ln ln e e x ax a <，通过整体结构相同从而构造函数()e x x f x =来解决问题.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A =___________.【答案】38【解析】【分析】利用条件概率的概率公式()()()P AB P B A P A =即可求解.【详解】由题意可得：()415P A =，()215P B =，()110P AB =，由条件概率公式可得()()()13104815P AB P B A P A ===，故答案为：38.13.某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为________．【答案】200【解析】【分析】根据X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，求得(130)p X ≥即可.【详解】因为X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，所以()()113012901300.22P X P X ⎡⎤≥=-≤≤=⎣⎦，又该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为10000.2200⨯=人.故答案为：200.14.将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）【答案】36【解析】【分析】先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，可先将4人分为2、1、1的三组，有211421226C C C A =种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有336A =种方法，则共有6636⨯=种分配方案.故答案为：36四、解答题（本大题共5题，共７7分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数3()ln (R)f x x ax a =+∈，且(1)4f '=．（1）求a 的值；（2）设()()ln g x f x x x =--，求()y g x =过点(1,0)的切线方程．【答案】（1）1（2）22y x =-【解析】【分析】（1）利用导数求解参数即可.（2）先设切点，利用导数表示斜率，建立方程求出参数，再写切线方程即可.【小问1详解】定义域为,()0x ∈+∞，21()3f x ax x'=+，而(1)13f a '=+，而已知(1)4f '=，可得134a +=，解得1a =，故a 的值为1，【小问2详解】3()()ln g x f x x x x x =--=-，设切点为0003(,)x x x -，设切线斜率为k ，而2()31g x x '=-，故切线方程为300200()(31)()y x x x x x --=--，将(1,0)代入方程中，可得3200000()(31)(1)x x x x --=--，解得01x =(负根舍去)，故切线方程为22y x =-，16.已知n ⎛ ⎝在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）10n =；（2）454；（3）2454x ，638-，245256x.【解析】【分析】（1）求出n⎛ ⎝的展开式的通项为1r T +，当=5r 时，指数为零，可得n ；（2）将10n =代入通项公式，令指数为2，可得含2x 的项的系数；（3）根据通项公式与题意得1023010r Zr r Z -⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，求出r 的值，代入通项公式并化简，可得展开式中所有的有理项．【详解】（1）n ⎛ ⎝的展开式的通项为233311122r rn r r n r r r r n n T C x x C x ----+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为第6项为常数项，所以=5r 时，有203n r -=，解得10n =．（2）令223n r -=，得()()116106222r n =-=⨯-=，所以含2x 的项的系数为221014524C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（3）根据通项公式与题意得1023010r Zr r Z -⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，令()1023r k k Z -=∈，则1023r k -=，即352r k =-．r Z ∈，∴k 应为偶数．又010r ≤≤，∴k 可取2，0，-2，即r 可取2，5，8．所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为2221012C x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，551012C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，8821012C x -⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2454x ，638-，245256x ．【点睛】关键点点睛：本题考查二项式展开式的应用，考查二项式展开式的通项公式以及某些特定的项，解决本题的关键点是求解展开式的有理项时，令()1023r k k Z -=∈，由r Z ∈以及010r ≤≤，求出k 的值，进而得出r 的值，代入通项公式化简可得有理项，考查了学生计算能力，属于中档题．17.如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件i A （123i =，，）表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．（1）求()P B 的值：（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．【答案】（1）712（2）可判断该黑球来自3号箱的概率最大.【解析】【分析】（1）因先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球为黑球，其中有三种可能，即黑球取自于1号，2号或者3号箱，故事件B 属于全概率事件，分别计算出()i P A 和(|),1,2,3i P B A i =，代入全概率公式即得；（2）由“小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱”是求条件概率(|),1,2,3i P A B i =，根据条件概率公式分别计算再比较即得.【小问1详解】由已知得：1231()()()3P A P A P A ===,12311(|),(|),(|)1,42P B A P B A P B A ===而111111()(|)(),4312P BA P B A P A =⋅=⨯=222111()(|)(),236P BA P B A P A =⋅=⨯=33311()(|)()1.33P BA P B A P A =⋅=⨯=由全概率公式可得：1231117()()()().126312P B P BA P BA P BA =++=++=【小问2详解】因“小明取出的球是黑球，该黑球来自1号箱”可表示为：1A B ,其概率为111()112(|)7()712P A B P A B P B ===,“小明取出的球是黑球，该黑球来自2号箱”可表示为：2A B ,其概率为221()26(|)7()712P A B P A B P B ===,“小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱”可表示为：3A B ,其概率为331()43(|)7()712P A B P A B P B ===.综上，3(|)P A B 最大，即若小明取出的球是黑球，可判断该黑球来自3号箱的概率最大.18.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X 的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.【答案】（1）0.648（2）分布列见解析，期望为95，甲比乙闯关成功的概率要大.【解析】【分析】（1）根据题意，直接列出式子，代入计算即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得X 的可能取值为0,1,2,3，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列，然后计算甲闯关成功的概率比较大小即可.【小问1详解】记事件A 为“乙闯关成功”，乙正确完成每个程序的概率为0.6，则()()2233C 0.610.6(0.6)0.648;P A =⨯⨯-+=【小问2详解】甲编写程序正确的个数X 的可能取值为0,1,2,3，()()()()211233464664333310101010C C C C C C 13110,1,2,3C 30C 10C 2C 6P X P X P X P X ============，故X 的分布列为：X0123P 1303101216故()1311901233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，甲闯关成功的概率1120.648263P =+=>，故甲比乙闯关成功的概率要大.19.已知曲线()31:3C y f x x ax ==-.（1）求函数()313f x x ax =-()0a ≠的单调递增区间；（2）若曲线C 在点()()3,3f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积大于18，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）()()0,99,18U 【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，分0a >、a<0两种情况讨论，分别求出函数的单调递增区间；（2）利用导数的几何意义求出切线方程，再令0x =、0y =求出在坐标轴上的截距，再由面积公式得到不等式，解得即可.【小问1详解】∵()313f x x ax =-定义域为R ，且()2f x x a '=-，①当a<0时，()20f x x a '=->恒成立，∴()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，令()20f x x a '=->，解得x <x >，∴()f x 在(,∞-，)∞+上单调递增，综上：当a<0时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间为(,∞-，)∞+.【小问2详解】由（1）得()2339f a a =-=-'，又∵()393f a =-，∴切线方程为()()()9393y a a x --=--，依题意90a -≠，令0x =，得18y =-；令0y =，得189x a=-，切线与坐标轴所围成的三角形的面积11816218299S a a =⨯⨯=--，依题意162189a >-，即919a>-，解得09a <<或918<<a ，即实数a 的取值范围为()()0,99,18⋃.。

长沙市第一中学2022-2023学年度高二第二学期期中考试数 学时量：120分钟满分：150分得分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设1z i =+（其中i 为虚数单位），则1z=A ．1122i +B ．1122i -+ C ．1122i --D ．1122i - 2．已知()22x x f x a -=+⋅为奇函数，则()1f 的值为 A ．32-B ．1C ．32D ．523．已知{}n a 是等比数列，且20a >．若354a a =，则4a = A ．±2B ．2C ．－2D ．44．已知圆锥的侧面积为1S ，底面积为2S ，底面半径为r ，且122S S =，若底面半径同为r 且体积与圆锥相等的圆柱高为h ，则h r=A ．12B ．3CD ．25．已知P 是边长为2的菱形ABCD 内一点，若120BAD ︒∠=，则AP AB ⋅的取值范围是 A ．()2,4-B ．()2,2-C ．()2,4D ．()4,2-6．在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数 2.71828e ≈．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求2不排第一个，两个8相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为 A ．30B ．32C ．36D ．487．如图，直线x t =与函数()4log f x x =和()4log 1g x x =-的图象分别交于点A ，B ，若函数()y f x =的图象上存在一点C ，使得△ABC 为等边三角形，则t 的值为A 3B 33C 3D 338．在平面直角坐标系中，()2,0A ，()0,2B ．以下各曲线：①22132x y +=；②()2222x y ++=；③22y x =；④221x y -=中，存在两个不同的点M ，N ，使得MA MB =且NA NB =的曲线是A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的有A ．数据4，7，6，5，3，8，9，10的第70百分位数为8B ．线性回归模型中，相关系数r 的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强C ．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越大，拟合效果越好D ．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据计算得到23.218χ=，依据0.05α=的独立性检验（0.05 3.841x =），没有充分证据推断原假设不成立，即可认为X 与Y 独立10．已知O 是平面直角坐标系的原点，抛物线C ：214y x =的焦点为F ，()11,P x y ，()22,Q x y 两点在抛物线C 上，下列说法中正确的是 A ．抛物线C 的焦点坐标为1,016⎛⎫⎪⎝⎭B ．若5PF =，则42OP =C ．若点P 的坐标为()4,4，则抛物线C 在点P 处的切线方程为4y x =-D ．若P ，F ，Q 三点共线，则124x x =-11．已知函数()sin cos f x x x =+，则下述结论正确是 A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的周期是πC ．函数()f x 的图象关于直线x π=对称D ．()f x的值域为⎡-⎣12．已知函数()1ln f x x x x=-+，则下列说法正确的是 A ．()f x 在()0,+∞上单调递减B ．()f x 恰有2个零点C ．若12x x ≠，()()120f x f x -=，则121x x -≤D ．若120x x >>，()()120f x f x +=，则121x x =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数()()ln 1f x x =+-的定义域为 ． 14．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是面1111A B C D 和面11AA D D 的中心，则EF 和CD 所成角的大小是 ．15．德国数学家高斯被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行12100+++的求和运算时，就提出了倒序相加的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．已知某数列通项1220222202222023n n a a a a n -=+++=- ．16．已知函数()()()22,0,0xa x x x f x e ax x ⎧-+=⎨->⎩≤．（1）若0a =，则()1f x >的解集为 ； （2）若关于x 的不等式()0f x ≥的解集为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 满足26a =，4527a a +=．等比数列{}n b 为递增数列，且1b ，2b ，{}32,3,4,5,8b ∈．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）删去数列{}n b 中的k a b 项（其中1k =，2，3，…，保持剩余项的顺序不变，组成新数列{}n c ，求数列{}n c 的前10项和10T ． 18．（本小题满分12分）在四边形ABCD 中，AB CD ∥，1AD BD CD ===． （1）若32AB =，求BC ； （2）若2AB BC =，求cos BDC ∠． 19．（本小题满分12分）受新冠病毒感染影响，部分感染的学生身体和体能发生了变化．为了了解学生的运动情况，某中学对高中三个年级的学生运动情况进行了分层抽样调查．调查的样本中高一年级有70%的学生每周运动总时间超过5小时，高二年级有65%的学生每周运动总时间超过5小时，高三年级有56%的学生每周运动总时间超过5小时，且三个年级的学生人数之比为9：6：5，用样本的频率估计总体的概率．（1）从该校三个年级中随机抽取1名学生，估计该学生每周运动总时间超过5小时的概率； （2）假设该校每名学生每周运动总时间为随机变量X （单位：小时），且()25.5,X N σ～．现从这三个年级中随机抽取3名学生，设这3名学生中每周运动总时间为5至6小时的人数为Y ，求随机变量Y 的期望． 20．（本小题满分12分）如图，在三棱锥D -ABC 中，AB BD ⊥，BC CD ⊥，M ，N 分别是线段AD ，BD 的中点，2MC =，2AB =，23BD =，二面角D -BA -C 的大小为60°．（1）证明：△ABC 为直角三角形；（2）求直线BM 和平面MNC 所成角的正弦值．21．（本小题满分12分） 已知函数()cos x f x e x mx =+-，()0,x ∈+∞．（1）若函数()f x 在()0,π上单调递减，求实数m 的取值范围；（2）若21e m e ππ-<<，求证：函数()f x 有两个零点．（参考数据：2 4.81e π≈，23.14e π≈） 22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，()3,0M -，()3,0N ，P 为曲线E 上一点，直线MP ，NP 的斜率之积为59-． （1）求曲线E 的标准方程；（2）过点()2,0F 作直线l 交曲线E 于A ，B 两点，且点A 位于x 轴的上方，记直线MB ，NA 的斜率分别为1k ，2k ． （ⅰ）证明：12k k 为定值； （ⅱ）过点B 作BC 垂直x 轴交曲线E 于不同于点A 的点C ，直线AC 与x 轴交于点D ，求△ADF 面积的最大值．长沙市第一中学2022-2023学年度高二第二学期期中考试数学参考答案一、二、选择题1．D 解析：()()111111111222i i i z i i i --====-++-，故选D ． 2．A解析：因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()00f =，所以1a =-，所以()22x x f x -=-．故()131222f =-=-．故选A ． 3．B解析：由等比数列的性质知23544a a a ==，故42a =+，且2420a a q =>，所以42a =．故选B ． 4．B解析：设圆锥母线长为l ，高为0h ，则1222S rl lS r rππ===，所以2l r =，所以0h ==因为圆锥和圆柱体积相同，所以2203h r h r ππ=，解得3h r =．故选B ． 5．A解析：AB 的模为2，根据菱形ABCD 的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是()1,2-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AE ⋅的取值范围是()2,4-，故选A ． 6．C解析：分类，若8排第一位，则两个8占第一、二位，再从四个位置中选两个位置给2，最后排7和1，共224212C A =种；若8不排第一位，则7或者1排第一位，两个8捆绑，与两个2，以及7和1剩的数排列，共1421242C A =种，因此共36种，故选C ． 7．C解析：由题意()4g ,lo A t t ，()4,log 1B t t -，1AB =．设()4,log C x x ，因为△ABC 是等边三角形，所以点C 到直线AB则t x -=，x t =-．根据中点坐标公式可得4444log log 11log log 22t t t t ⎛+--==- ⎝⎭，所以2t t -=，所以2t =t =．故选C ． 8．D解析：因为MA MB =且NA NB =，所以MN 是AB 的中垂线，又()2,0A ，()0,2B ，所以AB 中点为()1,1，20102AB k -==--，故MN 所在直线为11y x -=-，即0x y -=， 根据题意，若直线0x y -=与所给曲线有两个交点则存在M ，N 满足题意．因为0x y -=过原点，而原点在椭圆22132x y +=内部，故直线与椭圆必有两个交点，①符合题意；因为()2222x y ++=的圆心为()2,0-，r =，所以圆心到直线0x y -=的距离d r ===，所以直线0x y -=与圆相切，只有一个交点，②不符合题意；把0x y -=代入22y x =，可得22x x =，显然方程有两非负解，③符合题意；因为双曲线221x y -=的渐近线方程为y x =±，所以直线0x y -=与双曲线221x y -=无交点，故④不符合题意．综上，②④错误，①③正确，故选D ．9．ABD解析：A 选项，数据重排后如下：3，4，5，6，7，8，9，10共8个数，由870% 5.6⨯=可得第70百分位数为第6个数，即为8，故A 正确；B 选项，线性回归模型中，相关系数r 的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强，故B 正确；C 选项，回归分析中残差平方和越小，决定系数越接近于1，拟合效果越好，故C 错误；D 选项，由独立性检验23.218 3.841χ=<可知，没有充分证据推断原假设不成立，即认为X 与Y 独立，即D 正确．故选ABD ． 10．BD 解析：对于A ，由C ：214y x =，得24x y =，则焦点为()0,1F ，故A 错误； 对于B ，设(),P x y ，由抛物线的定义得，15y +=，解得4y =，则点P 的坐标为()4,4或()4,4-，所以OP =，故B 正确；对于C ，在点P 处的切线方程为()424y x -=-，∴24y x =-，故C 错误； 对于D ，抛物线24x y =焦点为()0,1F ，易知直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 方程为1y kx =+．由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx --=，则124x x k +=，124x x =-，故D 正确．故选BD ． 11．ACD解析：∵()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=-+-=+=，∴()f x 为偶函数，故A 正确；∵()01f =，()1f π=-，∴()f x 的周期不是π，故B 错误； ∵()()()()()()sin cos sin cos sin cos sin cos f x x x x f x x x x xππππππ-=-+-=-+=+++=-，∴()()f x f x ππ-=+，所以函数()f x 的图象关于直线x π=对称，故C 正确；当0x π≤≤时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，5444x πππ+≤≤，()12f x -≤≤，又由C 选项知函数()f x 的图象关于直线x π=对称，故可知函数()f x ）在区间[]0,2π上的值域为1,2-⎡⎤⎣⎦，∵()()2f x f x π+=，故函数()f x 的值域为1,2-⎡⎤⎣⎦．故D 正确．故选ACD ． 12．ABD 解析：对于A ，()2211113'1024f x x x x ⎛⎫=--=---< ⎪⎝⎭，故()f x 在区间()0,+∞，(),0-∞上单调递减，但在定义域上不递减，又()()110f f =-=，故A 正确，B 正确； 对于C ，不妨设12x x <，结合()f x 的简图如右，由()()12f x f x =知110x -<<，21x >或者11x <-，201x <<或者11x =-，21x = 而()()()21212211211ln x x x f x f x x x x x x +=⇔-⋅=，且210x x ->，120x x <， 但当11x <-，201x <<时21ln0x x <，从而此时1210x x +>，故C 错误； 对于D ，()()1221f x f x f x ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，因为()f x 在()0,+∞上单调递减， 所以121x x =，故D 正确．故选ABD ． 三、填空题13．()1,3解析：由题意知1030x x ->⎧⎨->⎩，所以13x <<，所以函数的定义域为()1,3．14．4π解析：连接1A D ，1C D ，则点F 为1A D 的中点，如右图所示，易知点E 为11AC 的中点，又因为F 为1A D 的中点， 所以，1EF C D ∥，所以，EF 和CD 所成的角为14CDC π∠=．15．2022解析：因为()()2023220232022220224404622202322023202322023n nn n n a a n n n -----+=+==----， 所以1202222021101110122a a a a a a +=+==+=，因此122022*********a a a +++=⨯=．16．（1）()0,+∞ （2）20,4e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【注】第（1）空2分，第（2）空3分解析：（1）若0a =，则当0x ≤时()()2f x x x =-+在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减，且()11f -=；当0x >时，()x f x e =，可知()f x 在()0,+∞上递增，由01e =知()1f x >的解集为()0,+∞；（2）由题意，当2x <-时()()20a x x -+<，当20x -≤≤时()()20a x x -+≥，从而0a ≥；当0x >时20xe ax -≥恒成立，即()2xe a g x x=≤恒成立，由()()32'x x e g x x -=知()g x 在()0,2上递减，在() 2,+∞上递增，故()()2min24e a g x g ==≤．综上20,4e a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．四、解答题17． 解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由26a =，4527a a +=，可得1162727a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得133a d =⎧⎨=⎩，故()()113313n a a n d n n =+-=+-=．又1b ，2b ，{}32,3,4,5,8b ∈，等比数列{}n b 为递增数列，故12b =，24b =，38b =． 所以，数列{}n b 是以2为首项，以2为公比的等比数列． 因此2nn b =．（2）()()10123153691215T b b b b b b b b b =++++-++++()()5331532122121212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=--- ()()15158212217-=--()156217-=．18． 解析：（1）如图，在三角形ABD 中，根据余弦定理可得，22291134cos 324212AB AD BD A AB AD +-+-∠===⋅⋅⨯⨯，由题得A ABD BDC ∠=∠=∠，所以3cos cos 4BDC A ∠=∠=在三角形BCD 中，根据余弦定理可得，222312cos 11242BC BD CD BD CD BDC =+-⋅⋅⋅∠=+-⨯=，所以2BC =．（2）设22AB BC a ==，在三角形ABD 中，根据余弦定理可得，2222411cos 2221AB AD BD a A a AB AD a +-+-∠===⋅⋅⨯⨯，在三角形BCD 中，根据余弦定理可得，22222112cos 22112BD CD BC a a BDC BD CD +-+--∠===⋅⋅⨯⨯，所以222a a -=，得：31a =或31a =-（舍）， 则cos cos 31BDC A a ∠=∠==-．19． 解析：（1）法一：记随机抽取一名学生分别来自高一、高二和高三为事件A ，B ，C ，随机一名学生每周运动总时间超过5小时为事件E ． 则()920P A =，()620P B =，()520P C =， ()0.7P E A =，()0.65P E B =，()0.56P E C =．根据全概率公式，()()()()()()()()()()P E P AE P BE P CE P A P E A P B P E B P C P E C =++=++=965130.70.650.560.6520202020⨯+⨯+⨯==， 即该学生每周运动总时间超过5小时的概率为0.65．法二：三个年级的学生人数之比为9：6：5，设1份人数为a ， 所以高一年级每周运动总时间超过5小时的人数为：970% 6.3a a ⋅=， 高二年级每周运动总时间超过5小时的人数为：665% 3.9a a ⋅=， 高三年级每周运动总时间超过5小时的人数为：556% 2.8a a ⋅=， 因此该学生每周运动总时间超过5小时的概率为2.83.9 6.30.65569a a aa a a++=++．（2）因为该校每名学生每周运动总时间为随机变量X （单位：小时），且()2~ 5.5,X N σ，所以()5.50.5P X >=，由（1）知，()50.65P X >=，有()5 5.50.650.50.15P X <<=-=， 所以()()5625 5.50.3P X P X <<=<<=，即该校学生每周运动总时间为5至6小时的概率为0.3，因此()~3,0.3Y B ， 所以()30.30.9E Y =⨯=． 20． 解析：（1）在Rt △BCD 中，N 是斜边BD 的中点，所以12NC BD == 因为M ，N 是AD ，BD 的中点， 所以112MN AB ==，且2MC =，所以222MN NC MC +=，MN NC ⊥， 又因为AB BD ⊥，MN AB ∥，所以MN BD ⊥， 且BDNC N =，BD ，NC ⊂平面BCD ，故MN ⊥平面BCD ，因为BC ⊂平面BCD ，所以MN BC ⊥． 因为MN AB ∥，所以AB BC ⊥． 所以△ABC 为直角三角形．（2）由（1）AB BC ⊥，AB BD ⊥，所以∠CBD 即为二面角D -BA -C 的平面角，故60CBD ∠=︒，因此3BC =，3CD =，又由（1）AB DC ⊥，DC CB ⊥，AB CB B =，所以DC ⊥平面ABC ，以B 为坐标原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系．因为()3,3D ，()2,0,0A ，所以AD 的中点332M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，332BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭．()3,0C ，332N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以330,,22CN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,0,0NM =．设平面NMC 的法向量(),,m x y z =，则00NM m CN m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即03302x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩， 取3y =()0,3,1m =，设直线BM 和平面MNC 所成角为θ，所以33322cos ,224BM m BM m BM m+⋅<>===⨯⋅， 所以3sin 4θ=， 因此直线B 和平面MNC 所成角的正弦值等34．21． 解析：（1）函数()f x 在()0,π上单调递减，所以()'sin 0x f x e x m =--≤在()0,π上恒成立， 又()''cos 1cos 0x f x e x x =->-≥，所以要使()'sin 0x f x e x m =--≤在()0,π上恒成立， 则()()max ''0f x f e m ππ==-≤，解得m e π≥，即所求实的取值范围为),e π⎡+∞⎣．（2）由（1）知()'sin x f x e x m =--在()0,x ∈+∞上单调递增， 且'02f π⎛⎫<⎪⎝⎭，()'0f π>， 故()'f x 在()0,x ∈+∞上存在唯一零点0,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 即()000'sin 0x f x e x m =--=， 所以当()00,x x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减；()0,x x ∈+∞，()'0f x >，()f x 单调递增；所以()()()()00110000000000min cos cos sin 1cos sin x x x x f x f x e x mx e x x e x x e x x x ==+-=+--=-++，令()()1cos sin x g x x e x x x =-++，,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 则()()'cos cos 0xxg x xe x x x e x =-+=--<，所以()g x 在,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭上单调递减， 所以()210222g x g e ππππ⎛⎫⎛⎫<=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()00f x <．又()020f =>，()()222212120f em e e e e πππππππππ=-+>-+>->，所以存在()100,x x ∈，()20,2x x π∈使得()()120f x f x ==，10202x x x π<<<<， 即函数()f x 在()0,+∞上有两个零点． 22． 解析：（1）设动点P 的坐标为(),x y ，则5339y y x x ⋅=-+-，3x ≠±， 化简得()221395x y x +=≠±． （2）（ⅰ）设直线l ：2x ty =+，()11,A x y ，()22,x y ． 把直线与椭圆联立得()225920250t y ty ++-=． 则1222059t y y t -+=+，1222559y y t -=+． ∴()()()21121211211222211212112113135555y ty ty y y y y k y x ty y y k x y y ty ty y y ty y y --++--=⋅====++++． （ⅱ）设点()22,C x y -，则直线AC ：()121112y y y y x x x x +-=--，令21121212122922x y x y ty y x y y y y +==+=++．∴9,02D ⎛⎫⎪⎝⎭．当(A ，即位于椭圆上顶点时，△ADF．。

深圳实验学校第二学期期中考试试卷高二数学时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求.1．已知集合{|4},{|1210}A x x B x x =≥=-≤-≤，则()A B =R( )A ．（4，＋∞）B ．[0，] C ．（12，4] D ．（1，4]2．下列四组函数中，表示相同函数的一组是( ) A ．1y x =-与()21y x =-B ．1y x =-与11x y x -=- C ．4lg y x =与22lg y x =D ．()33y x =与y x =3．己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：x （单位：万元）0 1 2 3 4 y （单位：万元）1015203035若求得其线性回归方程为 6.5ˆyx a =+，则预计当广告费用为6万元时的销售额为( ) A ．42万元 B ．45万元 C ．48万元 D ．51万元4．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求 现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( ) A. 132种 B. 76种 C. 144种 D. 78种5．若随机变量，，若，，则 A. B. C. D. 6．某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，这2人中成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ，则ξ的均值为( ) A. 12 B. 23 C. 13 D.347．设函数2,1(),12x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则满足()()2f f a f a =⎡⎤⎣⎦的a 的取值范围是( ) A ．[1,2]B ．(,0][0,2]-∞⋃C ．(,0][2,)-∞⋃+∞D ．(,1][2,)-∞⋃+∞8．甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必 须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是p ，随机变量X 表示最终的比赛局数，若103p <<，则()D X 的范围是( )A ．19(0,)27B ．20(0,)81C ．1220(,)8181D ．1319(,)243243二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018-2019学年贵州省遵义市高二（下）期中考试数学试卷（理科）一.选择题：（每小题5分，60）1．复数z=1﹣i，则=（）A．B．C．D．2．已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）3．的展开式中常数项是（）A．﹣160 B．﹣20 C．20 D．1604．如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A．B．C．D．5．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），则c的值是（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知椭圆=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10 B．20 C．D．7．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有（）A．4种B．5种C．6种D．9种8．给出如下四个命题：①若“p∨q”为真命题，则p、q均为真命题；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x02+x0≤1”；④“x＞0”是“x+≥2”的充要条件．其中不正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．③④9．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣2）f′（x）≤0，则必有（）A．f（﹣3）+f（3）＜2f（2）B．f（﹣3）+f（7）＞2f（2）C．f（﹣3）+f（3）≤2f （2）D．f（﹣3）+f（7）≥2f（2）10．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1，设点CG到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则有（）A．1＜d1＜d2B．d1＜d2＜1 C．d1＜1＜d2D．d2＜d1＜111．已知双曲线（a＞0，b＞0）的焦点F1（﹣c，0）、F2（c，0）（c＞0），过F2的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点．设+=，+=，则下列各式成立的是（）A．||＞|| B．||＜|| C．|﹣|=0 D．|﹣|＞012．已知函数f（x）=x n+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x n，则log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值为（）A．1﹣log20132012 B．﹣1C．﹣log20132012 D．1二.填空题：（每小题5分，20）13．由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（下图中的阴影部分）的面积是．14．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB 的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于．15．将全体正奇数排成一个三角形数阵如图：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．16．已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则x+y的最小值是．三.解答题：17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．18．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．19．某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；（Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．20．已知曲线C：y=e ax．（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．21．已知椭圆W：=1，直线l与W相交于M，N两点，l与x轴、y轴分别相交于C、D两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若直线l的方程为x+2y﹣1=0，求△OCD外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．22．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．2018-2019学年贵州省遵义市高二（下）期中考试数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：（每小题5分，60）1．复数z=1﹣i，则=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把复数z代入后前一部分采用复数的除法运算，然后在把实部和实部相加，虚部和虚部相加．解答：解：因为z=1﹣i，所以=．故选D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法采用的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．2．已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求出不等式q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：∵＜1，∴﹣1=＜0，即（x﹣2）（x+1）＞0，∴x＞2或x＜﹣1，∵p是q的充分不必要条件，∴k＞2，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式之间的关系是解决本题的关键，比较基础．3．的展开式中常数项是（）A．﹣160 B．﹣20 C．20 D．160考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r，进而求出展开式的常数项．解答：解：展开式的通项为T r+1=（﹣2）r C6r x3﹣r令3﹣r=0得r=3所以展开式的常数项为（﹣2）3C63=﹣160故选A点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．4．如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A．B．C．D．考点：导数的几何意义；直线的倾斜角．专题：计算题．分析：由二次函数的图象可知最小值为，再根据导数的几何意义可知k=tanα≥，结合正切函数的图象求出角α的范围．解答：解：根据题意得f′（x）≥则曲线y=f（x）上任一点的切线的斜率k=tanα≥结合正切函数的图象由图可得α∈故选B．点评：本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，同时考查了数形结合法的应用，本题属于中档题．5．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），则c的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：随机变量ξ服从正态分布N（2，9），得到曲线关于x=2对称，根据P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），结合曲线的对称性得到点c与点c﹣2关于点2对称的，从而做出常数c的值得到结果．解答：解：随机变量ξ服从正态分布N（2，9），∴曲线关于x=2对称，∵P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），∴，∴c=3故选：C．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．6．已知椭圆=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10 B．20 C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆=1，得出b=5，再由|F1F2|=8，可得c=4，求得a=，运用定义整体求解△ABF2的周长为4a，即可求解．解答：解：由|F1F2|=8，可得2c=8，即c=4，由椭圆的方程=1（a＞5）得：b=5，则a==，由椭圆的定义可得，△ABF2的周长为c=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=4a=4．故选：D．点评：本题考查了椭圆的方程，定义，整体求解的思想方法，属于中档题．7．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有（）A．4种B．5种C．6种D．9种考点：分类加法计数原理．专题：分类讨论．分析：4枚硬币摆成一摞，应该有3类：（1）正反依次相对，（2）有两枚反面相对，（3）有两枚正面相对；本题（1）（2）满足题意．解答：解：记反面为1，正面为2；则正反依次相对有12121212，21212121两种；有两枚反面相对有21121212，21211212，21212112；共5种摆法，故选B点评：本题考查的是排列组合中的分类计数原理，对于元素较少的可以利用列举法求解；属于基本知识和基本方法的考查．8．给出如下四个命题：①若“p∨q”为真命题，则p、q均为真命题；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x02+x0≤1”；④“x＞0”是“x+≥2”的充要条件．其中不正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．③④考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；简易逻辑．分析：①“p∨q”为真命题，p、q二者中只要有一真即可；②写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论；③直接写出全称命题的否定判断；④利用基本不等式，可得结论．解答：解：①“p∨q”为真命题，p、q二者中只要有一真即可，故不正确；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”，正确；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x02+x0＜1”，故不正确；④“x＞0”时，“x+≥2”，若“x+≥2”，则“x＞0”，∴“x＞0”是“x+≥2”的充要条件，故正确．故选：C．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查复合命题的真假判断，考查了命题的否命题、全称命题的否定、充要条件，属于中档题．9．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣2）f′（x）≤0，则必有（）A．f（﹣3）+f（3）＜2f（2）B．f（﹣3）+f（7）＞2f（2）C．f（﹣3）+f（3）≤2f （2）D．f（﹣3）+f（7）≥2f（2）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：借助导数知识，根据（x﹣2）f′（x）≥0，判断函数的单调性，再利用单调性，比较函数值的大小即可．解答：解：∵对于R上可导的任意函数f（x），（x﹣2）f′（x）≥0∴有，即当x∈[2，+∞）时，f（x）为增函数，当x∈（﹣∞，2]时，f（x）为减函数∴f（1）≥f（2），f（3）≥f（2）∴f（1）+f（3）≥2f（2）故选：C点评：本题考查了利用导数判断抽象函数单调性，以及利用函数的单调性比较函数值的大小．10．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD=AD=1，设点CG 到平面PAB 的距离为d 1，点B 到平面PAC 的距离为d 2，则有（ ）A ． 1＜d 1＜d 2B ． d 1＜d 2＜1C ． d 1＜1＜d 2D ． d 2＜d 1＜1考点： 点、线、面间的距离计算．专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析： 过C 做平面PAB 的垂线，垂足为E ，连接BE ，则三角形CEB 为直角三角形，根据斜边大于直角边，再根据面PAC 和面PAB 与底面所成的二面角，能够推导出d 2＜d 1＜1．解答： 解：过C 做平面PAB 的垂线，垂足为E ，连接BE ，则三角形CEB 为直角三角形，其中∠CEB=90°，根据斜边大于直角边，得CE ＜CB ，即d 2＜1．同理，d 1＜1．再根据面PAC 和面PAB 与底面所成的二面角可知，前者大于后者，所以d 2＜d 1．所以d 2＜d 1＜1．故选D ．点评： 本题考查空间距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间角的灵活运用．11．已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的焦点F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）（c ＞0），过F 2的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点．设+=，+=，则下列各式成立的是（ ）A ． ||＞||B ． ||＜||C ． |﹣|=0D ． |﹣|＞0考点： 双曲线的简单性质．专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： 特殊化，取过F 2垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点，可得+==2，+==2，即可得出结论．解答： 解：取过F 2垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点，则+==2，+==2，∴|﹣|=0．．故选：C点评： 特殊化是我们解决选择、填空题的常用方法．12．已知函数f（x）=x n+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x n，则log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值为（）A．1﹣log20132012 B．﹣1C．﹣log20132012 D．1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的函数特性．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先求点P（1，1），再求曲线在点P（1，1）处的切线方程，从而得出切线与x轴的交点的横坐标为x n，再求相应的函数值．解答：解：∵函数f（x）=x n+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，∴P（1，1），∵y=x n+1，∴y′=（n+1）x n，当x=1时，y′=n+1，即切线的斜率为：n+1，故y=x n+1在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），令y=0可得x=，即该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，所以log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012=log2013×××…×==﹣1，故选B．点评：本题考查导数的几何意义的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意利用对数运算的性质求出函数，属中档题．二.填空题：（每小题5分，20）13．由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（下图中的阴影部分）的面积是2﹣2．考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：三角函数的对称性可得S=2，求定积分可得．解答：解：由三角函数的对称性和题意可得S=2=2（sinx+cosx）=2（+）﹣2（0+1）=2﹣2故答案为：2﹣2点评：本题考查三角函数的对称性和定积分求面积，属基础题．14．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB 的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于不存在．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．利用根与系数的关系可得y1+y2=4m，利用中点坐标公式可得=2m，x0=my0﹣1=2m2﹣1．Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．再利用两点间的距离公式即可得出m及k，再代入△判断是否成立即可．解答：解：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．∴y1+y2=4m，∴=2m，∴x0=my0﹣1=2m2﹣1．∴Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．∵|QF|=2，∴，化为m2=1，解得m=±1，不满足△＞0．故满足条件的直线l不存在．故答案为不存在．点评：本题综合考查了直线与抛物线的位置关系与△的关系、根与系数的关系、中点坐标关系、两点间的距离公式等基础知识，考查了推理能力和计算能力．15．将全体正奇数排成一个三角形数阵如图：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为n2﹣n+5．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：根据数阵的排列规律确定第n行（n≥3）从左向右的第3个数为多少个奇数即可．解答：解：根据三角形数阵可知，第n行奇数的个数为n个，则前n﹣1行奇数的总个数为1+2+3+…+（n ﹣1）=个，则第n行（n≥3）从左向右的第3个数为为第个奇数，所以此时第3个数为：1=n2﹣n+5．故答案为：n2﹣n+5．点评：本题主要考查归纳推理的应用，利用等差数列的通项公式是解决本题的关键．16．已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则x+y的最小值是2．考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线m方程和AC的中垂线n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求x和y的值，最后利用基本不等式求最小值即可．解答：解：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：则A（0，0），B （2a，0），C（﹣，），∵O为△ABC的外心，∴O在AB的中垂线m：x=a上，又在AC的中垂线n 上，AC的中点（﹣，），AC的斜率为tan120°=﹣，∴中垂线n的方程为y﹣=（x+）．把直线m和n 的方程联立方程组，解得△ABC的外心O（a，+），由条件=x+y，得（a，+）=x（2a，0）+y（﹣，）=（2ax﹣，），∴，解得x=+，y=，∴x+y=++=+（）=2．当且仅当a=1时取等号．故答案为：2．点评：本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值．属中档题．三.解答题：17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：综合题．分析：（1）连接A1C，交AC1于点O，连接OD．由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，由此利用三角形中位线能够证明A1B∥平面ADC1．（2）由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，知BA，BC，BB1两两垂直．由此能求出二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．解答：（1）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD．由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点，又D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线，所以A1B∥OD，因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…（6分）（2）解：由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，故BA，BC，BB1两两垂直．以BA为x轴，以BC为y轴，以BB1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点，∴可设AA1=1，AB=BC=2，BD=DC=1，∴A（2，0，0），D（0，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，1），∴=（﹣2，2，1），，设平面ADC1的法向量为，则，，∴，∴=（1，2，﹣2），∵平面ADC的法向量，所以二面角C1﹣AD﹣C的余弦值为|cos＜＞|=||=．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的求法．解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．18．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．考点：二维形式的柯西不等式；函数恒成立问题．专题：选作题；不等式．分析：（Ⅰ）利用柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2）=3；（Ⅱ）同理，（a﹣b+c）2≤[12+（﹣1）2+12]（a2+b2+c2）=3，问题等价于|x﹣1|+|x+1|≥3．解答：解：（Ⅰ）由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2）=3所以﹣≤a+b+c≤所以：|a+b+c|≤；…（5分）（Ⅱ）同理，（a﹣b+c）2≤[12+（﹣1）2+12]（a2+b2+c2）=3 …（7分）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，则|x﹣1|+|x+1|≥3，解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）…（10分）点评：本题考查柯西不等式，考查恒成立问题，正确运用柯西不等式是关键．19．某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；（Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由题意设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C，利用独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的概率公式即可求得；（Ⅱ）由于摸球次数为ξ，按题意则ξ=1，2，3，4，利用随机变变量的定义及随机变量的分布列及期望定义即可求得．解答：解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C．则P（A）=，P（B）==；三等奖的情况有：“生，生，意，兴”；“生，意，意，兴”；“生，意，兴，兴”三种情况．P（C）==；（Ⅱ）设摸球的次数为ξ，则ξ=1，2，3，4．，，，．故取球次数ξ的分布列为ξ 1 2 3 4P=．点评：此题考查了学生的理解及计算能力，考查了独立事件同时发生及互斥事件一个发生的概率公式，还考查了离散型随机变量的定义及分布列，随机变量的期望．20．已知曲线C：y=e ax．（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，y=e ax在x=0处的切线方程为y﹣1=y′（0）x，再比较已知条件，可得；（Ⅱ）原题意可转化为对于∀x，a∈R，e ax＞ax+b恒成立，法1：进一步转化为∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=e ax﹣ax﹣b，分别从a=0和a≠0两种情况通过求导的方式进一步分析；法2：进一步转化为∀x，a∈R，b＜e ax﹣ax恒成立，再令t=ax，则等价于∀t∈R，b＜e t﹣t恒成立，再通过研究函数g（t）=e t ﹣t的性质求解．解答：解：（Ⅰ）y'=ae ax，因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：y=2x+m，所以1=2×0+m且y'|x=0=2．解得m=1，a=2（Ⅱ）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于∀x，a∈R，都有e ax＞ax+b，即∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=e ax﹣ax﹣b，①若a=0，则g（x）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；②若a≠0，g'（x）=a（e ax﹣1），由g'（x）=0得x=0，g'（x），g（x）的情况如下：x （﹣∞，0）0 （0，+∞）g'（x）﹣0 +g（x）↘极小值↗所以g（x）的最小值为g（0）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；综上，实数b的取值范围是b＜1．法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于∀x，a∈R，都有e ax＞ax+b，即∀x，a∈R，b＜e ax﹣ax恒成立，令t=ax，则等价于∀t∈R，b＜e t﹣t恒成立，令g（t）=e t﹣t，则g'（t）=e t﹣1，由g'（t）=0得t=0，g'（t），g（t）的情况如下：t （﹣∞，0）0 （0，+∞）g'（t）﹣0 +g（t）↘极小值↗所以g（t）=e t﹣t的最小值为g（0）=1，实数b的取值范围是b＜1．点评：本题中的导数的几何意义和利用导数研究函数的性质，是高考中经常考查的知识点和方法，特别是第二小问，通过数形转化后，对于“∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，”的处理介绍了两种方法，对于拓宽学生的思维，拓展学生的思路有一定的指导作用，不过不管是哪种方法，最终都需要用导数的知识来进一步分析．21．已知椭圆W：=1，直线l与W相交于M，N两点，l与x轴、y轴分别相交于C、D两点，O 为坐标原点．（Ⅰ）若直线l的方程为x+2y﹣1=0，求△OCD外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由直线l的方程为x+2y﹣1=0，求出C，D的坐标，进而可求△OCD外接圆的圆心与半径，即可求△OCD外接圆的方程；（Ⅱ）存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点．设直线l的方程为y=kx+m（km≠0），与椭圆方程联立，由C，D是线段MN的两个三等分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合，利用韦达定理，求出k，由C，D是线段MN的两个三等分点，得|MN|=3|CD|，求出m，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）因为直线l的方程为x+2y﹣1=0，所以与x轴的交点C（1，0），与y轴的交点．…（1分）则线段CD的中点，，…（3分）即△OCD外接圆的圆心为，半径为，所以△OCD外接圆的方程为．…（5分）（Ⅱ）存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点．理由如下：由题意，设直线l的方程为y=kx+m（km≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则，D（0，m），…（6分）由方程组得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，…（7分）所以△=16k2﹣8m2+8＞0，（*）…（8分）由韦达定理，得，．…（9分）由C，D是线段MN的两个三等分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合．所以，…（10分）解得．…（11分）由C，D是线段MN的两个三等分点，得|MN|=3|CD|．所以，…（12分）即，解得．…（13分）验证知（*）成立．所以存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，此时直线l的方程为，或．…（14分）点评：本题考查圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．22．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．考点：数学归纳法；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；证明题．分析：（I）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得，若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通过对a分a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，⇒，再构造函数，令，有，从而，问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒，成立；设当n=k 时，，再去证明n=k+1时，即可（需用好归纳假设）．解答：解：（I），定义域为（0，+∞）．∵，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．当x≥1时，f（x）≥f（1）=1；（3分）（Ⅱ）∵，∵若f（x）存在单调递减区间，∴f′（x）＜0有正数解．即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．（5分）①当a=0时，明显成立．②当a＜0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a﹣1）x+a＜0总有x＞0的解；③当a＞0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a开口向上的抛物线，即方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有正根．因为x1x2=1＞0，所以方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有两正根．，解得．综合①②③知：．（9分）（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，∴．∵，∴．（12分）（法二）当n=1时，ln（n+1）=ln2．∵3ln2=ln8＞1，∴，即n=1时命题成立．设当n=k时，命题成立，即．∴n=k+1时，．根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，则有，即n=k+1时命题也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．（12分）点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及数学归纳法，难点之一在于（Ⅱ）中通过求h′（x）后，转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解的问题，再用分类讨论思想来解决；难点之二在于（Ⅲ）中法一通过构造函数，用放缩法证得结论，法二通过数学归纳法，其中也有构造函数的思想，属于难题．。

四川省德阳市中江县龙台中学2022-2021学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（50分）1．若向量=（﹣1，0，1），向量=（2，0，k），且满足向量∥，则k等于( )A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2考点：向量的数量积推断向量的共线与垂直．专题：空间位置关系与距离．分析：利用向量平行的性质求解．解答：解：∵向量=（﹣1，0，1），向量=（2，0，k），且满足向量∥，∴，解得k=﹣2．故选：D．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，留意向量平行的性质的合理运用．2．在复平面内，复数3﹣4i，i（2+i）对应的点分别为A、B，则线段AB的中点C对应的复数为( ) A．﹣2+2i B．2﹣2i C．﹣1+i D．1﹣i考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数代数形式的乘法运算化简i（2+i），求出A，B的坐标，利用中点坐标公式求得C的坐标，则答案可求．解答：解：∵i（2+i）=﹣1+2i，∴复数3﹣4i，i（2+i）对应的点分别为A、B的坐标分别为：A（3，﹣4），B（﹣1，2）．∴线段AB的中点C的坐标为（1，﹣1）．则线段AB的中点C对应的复数为1﹣i．故选：D．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘法运算，是基础题．3．复数z=（1+i）2的实部是( )A．2 B．1 C．0 D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．解答：解：z=（1+i）2=2i．所以复数z=（1+i）2的实部是0．故选：C．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，基本学问的考查．4．曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为( )A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+2考点：利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：常规题型；计算题．分析：欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．解答：解：验证知，点（1，0）在曲线上∵y=x3﹣2x+1，y′=3x2﹣2，所以k=y′|x﹣1=1，得切线的斜率为1，所以k=1；所以曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为：y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1．故选A．点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数争辩曲线上某点切线方程等基础学问，考查运算求解力量．属于基础题．5．如图程序框图中，若输入m=4，n=10，则输出a，i的值分别是( )A．12，4 B．16，5 C．20，5 D．24，6考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i，a的值，当a=20时，满足条件n整除a，退出循环，输出a的值为20，i的值为5．解答：解：模拟执行程序，可得m=4，n=10，i=1a=4，不满足条件n整除a，i=2，a=8不满足条件n整除a，i=3，a=12不满足条件n整除a，i=4，a=16不满足条件n整除a，i=5，a=20满足条件n整除a，退出循环，输出a的值为20，i的值为5．故选：C．点评：本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的i，a的值是解题的关键，属于基本学问的考查．6．函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象的大致外形是( )A ．B ．C ．D ．考点：函数的图象．专题：数形结合．分析：由原函数的单调性得到导函数的函数值的符号，由此逐一核对四个选项即可得到答案．解答：解：由于函数f（x）的图象先减后增然后为常数函数，所以对应的导函数的值先负后正，最终等于0，由此可得满足条件的图象是D．故选：D．点评：本题考查了函数的图象，考查了函数的单调性和导函数的函数值符号间的关系，是基础题．7．已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=xe x，则( )A．1是f（x）的微小值点B．﹣1是f（x）的微小值点C．1是f（x）的极大值点D．﹣1是f（x）的极大值点考点：函数在某点取得极值的条件．专题：导数的综合应用．分析：求出f′（x），然后解不等式f′（x）＞0即可得到函数的单调增区间，解不等式f′（x）＜0即可得到函数的单调减区间，进而得到函数的极值．解答：解：f（x）=xe x⇒f′（x）=e x（x+1），令f′（x）＞0⇒x＞﹣1，∴函数f（x）的单调递增区间是[﹣1，+∞）；令f′（x）＜0⇒x＜﹣1，∴函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1），故﹣1是f（x）的微小值点．故选：B．点评：本题考查利用导数争辩函数单调性与极值问题，属基础题．8．曲线在点M （，0）处的切线的斜率为( )A ．B ．C ．D ．考点：利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：计算题；压轴题．分析：先求出导函数，然后依据导数的几何意义求出函数f（x）在x=处的导数，从而求出切线的斜率．解答：解：∵∴y'==y'|x==|x==故选B．点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及导数的计算，同时考查了计算力量，属于基础题．9．函数f（x）的导数为f′（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于( ) A．﹣2 B．2 C ．D ．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：首先对等式两边求导得到关于f'（2）的等式解之．解答：解：由关系式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，两边求导得f'（x）=2x+3f'（2）+，令x=2得f'（2）=4+3f'（2）+，解得f'（2）=；故选C．点评：本题考查了求导公式的运用；关键是对已知等式两边求导，得到关于f'（x）的等式，对x取2求值．10．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为( )A ．B ．C ．D ．考点：棱柱的结构特征．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：用空间向量解答．解答：解：∵=+﹣；∴2=（+﹣）2；即2=•+•﹣•+•+•﹣•﹣（•+•﹣•）=1+0﹣3×1×cos60°+0+1﹣3×1×cos60°﹣（3×1×cos60°+3×1×cos60°﹣9）；=1﹣+1﹣﹣+9=5，∴A1C=．故选A．点评：本题考查了空间向量的应用，属于基础题．二、填空题（25分）11．若A（m+1，n﹣1，3），B （2m，n，m﹣2n），C（m+3，n﹣3，9）三点共线，则m+n=0．考点：三点共线．专题：计算题．分析：依据点A，B，C的坐标，分别求出的坐标，利用三点共线，可建立方程组，从而可求m+n的值解答：解：由题意，∵A（m+1，n﹣1，3），B （2m，n，m﹣2n），C（m+3，n﹣3，9）∴∵A（m+1，n﹣1，3），B （2m，n，m﹣2n），C（m+3，n﹣3，9）三点共线，∴∴（m﹣1，1，m﹣2n﹣3）=λ（2，﹣2，6）∴∴∴m+n=0故答案为：0点评：本题以点为载体，考查三点共线，解题的关键是求向量的坐标，利用向量共线的条件．12．i+i2+i3+…+i2022=0．考点：虚数单位i及其性质．专题：计算题．分析：利用虚数单位的性质，把i+i2+i3+…+i2022等价转化为503×（i+i2+i3+i4），由此能够求出结果．解答：解：i+i2+i3+…+i2022=503×（i+i2+i3+i4）=503×（i﹣1﹣i+1）=503×0=0．故答案为：0．点评：本题考查虚数单位的性质及其应用，是基础题．解题时要认真审题，认真解答．13．若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线x﹣y+1=0，则点P的坐标是（1，0）．考点：利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程即得．解答：解：∵切线与直线x﹣y+1=0平行，∴斜率为1，∵y=xlnx，y'=1×lnx+x•=1+lnx∴y'（x0）=1∴1+lnx0=1，∴x0=1，∴切点为（1，0）．故答案为：（1，0）．点评：此题主要考查导数的计算，以及利用导数争辩曲线上某点切线方程，属于基础题．14．设f（x）=4x3+mx2+（m﹣3）x+n（m，n∈R）是R上的单调增函数，则m的值为6．考点：利用导数争辩函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由函数为单调增函数可得f′（x）≥0，故只需△≤0即可．解答：解：依据题意，得f′（x）=12x2+2mx+m﹣3，∵f（x）是R上的单调增函数，∴f′（x）≥0，∴△=（2m）2﹣4×12×（m﹣3）≤0 即4（m﹣6）2≤0，所以m=6，故答案为：6．点评：本题考查函数的单调性，利用二次函数根的判别式小于等于0是解决本题的关键，属中档题．15．函数f（x）的导函数为f′（x），若对于定义域内任意x1、x2（x1≠x2），有恒成立，则称f（x）为恒均变函数．给出下列函数：①f（x）=2x+3；②f（x）=x2﹣2x+3；③f（x）=；④f（x）=e x；⑤f（x）=lnx．其中为恒均变函数的序号是①②．（写出全部满足条件的函数的序号）考点：导数的运算；命题的真假推断与应用．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：对于所给的每一个函数，分别计算和的值，检验二者是否相等，从而依据恒均变函数”的定义，做出推断．解答：解：对于①f（x）=2x+3，==2，=2，满足，为恒均变函数．对于②f（x）=x 2﹣2x+3，===x1+x2﹣2 =2•﹣2=x 1+x 2﹣2，故满足，为恒均变函数．对于③，==，=﹣=﹣，明显不满足，故不是恒均变函数．对于④f（x）=e x ，=，=，明显不满足，故不是恒均变函数．对于⑤f （x）=lnx，==，=，明显不满足，故不是恒均变函数．故答案为：①②．点评：本题主要考查函数的导数运算，“恒均变函数”的定义，推断命题的真假，属于基础题．三、解答题（75分）16．求函数y=（1+cos2x）3的导数．考点：简洁复合函数的导数．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：利用复合函数的导数公式计算即可．解答：解：∵y=（1+cos2x）3，∴y′=3（1+cos2x）2•（cos2x）′=3（1+cos2x）2•（﹣sin2x）•（2x）′=﹣6sin2x•（1+cos2x）2=﹣6sin2x•（2cos2x）2=﹣6sin2x•4cos4x=﹣48sinxcos5x．点评：本题考查复合函数的导数，考查正弦函数与余弦函数的二倍角公式，考查分析与运算力量，属于中档题．17．m 取何实数时，复数．（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：（1）由虚部等于0且实部分母不等于0列式求解m的值；（2）由虚部不等于0且实部分母不等于0列式求解m的值；（3）由实部等于0且虚部不等于0列式求解m的值．解答：解：（1）当，即，即m=5时，z的虚部等于0，实部有意义，∴m=5时，z是实数．（2）当，即时，z的虚部不等于0，实部有意义，∴当m≠5且m≠﹣3时，z是虚数．（3）当，即时，z为纯虚数，∴当m=3或m=﹣2时，z是纯虚数．点评：本题考查了复数的基本概念，考查了复数是实数、虚数、纯虚数的条件，关键是留意实部的分母不等于0，此题是基础的计算题．18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM；（Ⅱ）求证：平面SAC⊥平面AMN；（Ⅲ）求二面角D﹣AC﹣M的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）连结BD交AC于E，连结ME，由△DSB的中位线定理，得ME∥SB，由此能证明SB∥平面ACM．（Ⅱ）法一：由DC⊥SA，DC⊥DA，得DC⊥平面SAD，从而AM⊥DC，由等腰三角形性质得AM⊥SD，从而AM⊥平面SDC，进而SC⊥AM，由SC⊥AN，能证明平面SAC⊥平面AMN．法二：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能证明平面SAC⊥平面AMN．（Ⅲ）法一：取AD中点F，则MF∥SA．作FQ⊥AC于Q，连结MQ，由已知得∠FQM为二面角D﹣AC ﹣M的平面角，由此能求出二面角D﹣AC﹣M的余弦值．法二：分别求出平面ABCD的一个法向量和平面ACM的一个法向量，由此利用向量法能求出二面角D﹣AC ﹣M的余弦值．解答：（选修2一1第109页例4改编）（Ⅰ）证明：连结BD交AC于E，连结ME，∵ABCD是正方形，∴E是BD的中点．∵M是SD的中点，∴ME是△DSB的中位线．∴ME∥SB．…又ME⊂平面ACM，SB⊄平面ACM，∴SB∥平面ACM．…（Ⅱ）证法一：由条件有DC⊥SA，DC⊥DA，∴DC⊥平面SAD，且AM⊂平面SAD，∴AM⊥DC．又∵SA=AD，M是SD的中点，∴AM⊥SD．∴AM⊥平面SDC．SC⊂平面SDC，∴SC⊥AM．…由已知SC⊥AN，∴SC⊥平面AMN．又SC⊂平面SAC，∴平面SAC⊥平面AMN．…（Ⅱ）证法二：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，由SA=AB，可设AB=AD=AS=1，则．∵，，∴，∴，即有SC⊥AM…又SC⊥AN且AN∩AM=A．∴SC⊥平面AMN．又SC⊂平面SAC，∴平面SAC⊥平面AMN．…（Ⅲ）解法一：取AD中点F，则MF∥SA．作FQ⊥AC于Q，连结MQ．∵SA⊥底面ABCD，∴MF⊥底面ABCD．∴FQ为MQ在平面ABCD内的射影．∵FQ⊥AC，∴MQ⊥AC．∴∠FQM为二面角D﹣AC﹣M的平面角．…设SA=AB=a，在Rt△MFQ 中，，∴．∴二面角D﹣AC﹣M 的余弦值为．…（Ⅲ）解法二：∵SA⊥底面ABCD，∴是平面ABCD 的一个法向量，．设平面ACM 的法向量为，，则即，∴令x=﹣1，则．…，由作图可知二面角D﹣AC﹣M为锐二面角∴二面角D﹣AC﹣M 的余弦值为．…点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，涉及到线线、线面、面面平行与垂直的性质的应用，考查向量法的合理运用，考查空间思维力量的培育，是中档题．19．已知复数z1=+（a2﹣3）i，z2=2+（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．（1）若复数z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的根，求实数m值．考点：复数代数形式的混合运算；复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：（1）由题设条件，可先通过复数的运算求出的代数形式的表示，再由其几何意义得出实部与虚部的符号，转化出实数a所满足的不等式，解出其取值范围；（2）实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的两个根互为共轭复数，利用根与系数的关系求出a的值，从而求出m的值．解答：解：（1）由条件得，z1﹣z2=（）+（a2﹣3a﹣4）i…由于z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，故有…∴解得﹣2＜a＜﹣1…（2）由于虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的根所以z1+==6，即a=﹣1，…把a=﹣1代入，则z1=3﹣2i ，=3+2i，…所以m=z1•=13…点评：本题考查复数的代数形式及其几何意义，解题的关键是依据复数的代数形式的几何意义得出参数所满足的不等式，同时考查了运算求解的力量，属于基础题．20．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+b（a，b∈R）．（1）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a，b的值；（2）若f（x）为R上的单调递增函数，求a的取值范围．考点：利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）由题意可得，解得即可．（2）由f（x）为R上的单调递增函数，可得f′（x）=3x2+2ax+a+6≥0在R上恒成立．可得△=4a2﹣12（a+6）≤0，解得即可解答：解：（1）由题意可得，解得．（2）∵f（x）为R上的单调递增函数，∴f′（x）=3x2+2ax+a+6≥0在R上恒成立．∴△=4a2﹣12（a+6）≤0，解得﹣3≤a≤6．∴a的取值范围是[﹣3，6]．点评：娴熟把握利用导数争辩函数的单调性及其导数的几何意义是解题的关键．21．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）=﹣，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出切点（1，1），求出，然后求解斜率k，即可求解曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程．（Ⅱ）求出函数的定义域，函数的导函数，①a＞﹣1时，②a≤﹣1时，分别求解函数的单调区间即可．（Ⅲ）转化已知条件为函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0，利用第（Ⅱ）问的结果，通过①a≥e﹣1时，②a≤0时，③0＜a＜e﹣1时，分别求解函数的最小值，推出所求a的范围．解答：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切点（1，1），∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．（Ⅱ），定义域为（0，+∞），，①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1+a令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅲ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）≤0，即函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．由第（Ⅱ）问，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，∴，∴，∵，∴；②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2，③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2此时不存在x0使h（x0）≤0成立．综上可得所求a 的范围是：或a≤﹣2．点评：本题考查函数的导数的综合应用，曲线的切线方程函数的单调性以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题得到力量．。

福州市八县 （市） 协作校2023——2024学年第二学期期中联考高二 数学试卷【完卷时间: 120分钟; 满分: 150分】命题：福州树德学校 罗建平 陈少敏一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（ ）A. 6 B. 12 C. 24 D. 42【答案】D 【解析】【分析】利用排列数，组合数的计算公式计算.【详解】.故选：D.2. 的展开式中，常数项是（ ）A. 81 B. 32C. 24D. 8【答案】C 【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解..【详解】展开式的通项公式为，令，解得，则，即展开式的常数项为24.故选：C3. 某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为；若浇水，盆栽枯萎的概率为．邻居浇水的概率为．则该人回来盆栽没有枯萎的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】22444!A C ++=2244434!A C 432143422⨯++=⨯⨯⨯+⨯+=42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭42(x x+4421442C (2C r r r r r rr T x x x --+==420r -=2r =4222442C 2C 24r r rx -==0.80.150.80.7850.720.7650.67【分析】记为事件“盆栽没有枯萎”，为事件“邻居给盆栽浇水”，利用全概率公式可求得的值，再利用对立事件的概率公式可求得的值.【详解】记为事件“盆栽没有枯萎”，为事件“邻居给盆栽浇水”，由题意可得，，，，由全概率公式可得,由对立事件的概率公式可得，故选：B.4. 已知函数的导函数为，若，则（ ）A. B. C. 1D. 【答案】B 【解析】【分析】根据求导公式和运算计算法则求出a ，进而直接得出结果.【详解】由，得，所以，解得，所以，所以.故选：B5. 已知随机变量的概率分布如下表x 124P则（ ）A. 1 B. C. 11D. 15【答案】D 【解析】【分析】由概率和为可得，再结合期望的计算公式与期望的性质计算即可得解.【详解】由，故，则.A W ()P A ()P A A W ()0.8P W =()0.2P W =()0.8P A W =()0.15P A W =()()()()()0.80.150.20.80.28P A P W P A W P W P A W =+=⨯+⨯=()()110.280.72P A P A =-=-=()e x f x ax =+()f x '(0)0f '=(1)(0)f f +=1-ee 1-()e x f x ax =+()e x f x a '=+(0)10f a '=+=1a =-e ()x x f x =-(1)(0)e 11e f f +=-+=X 0.4a0.3()54E X += 2.21a 0.40.31a ++=0.3a =()()()5454510.420.340.3415E X E X +=+=⨯⨯+⨯+⨯+=故选：D .6. 吸烟有害健康.小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面摆放三支相同的香烟和五支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定：每次想吸烟时，按顺序从盒子里取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖.若小明想要最后一支为口香糖，且任意2支香烟不能相邻，那么他的这些香烟和口香糖共有（ ）种排列方式.A. 6 B. 8C. 10D. 12【答案】C 【解析】【分析】把5支口香糖排成一列，在前4支口香糖形成的5个空隙中，任取3个空隙放入3支香烟，列式计算即得.【详解】把5支口香糖排成一列，在前4支口香糖形成的5个空隙中，任取3个空隙放入3支香烟，有种方法，所以香烟和口香糖的不同排列方式有（种）.故选：C7. 正值春夏交接时节，学生极易发生感冒.某学校高一、高二、高三三个年级的人数之比为3:2:1，且这三个年级分别有、、的人患有感冒.现在从这三个年级中任选一人进行调查，在此人患了感冒的条件下，此人来自高二年级的概率最大.则下列取值可能的是（ ）A. 、 B. 、C. 、 D. 、【答案】D 【解析】【分析】设事件分别表示“此人高一，高二，高三的学生”，事件D 表示“此人感冒”，利用条件概率公式求出，根据题中条件可得出关于的不等式，解出之间的大小关系，分别对选项进行比较即可.【详解】设事件分别表示此人高一，高二，高三的学生，事件D 表示此人感冒，则,，35C 35C 10=%x %y ()%x y +3x =2y =3x =3y =3x =4y =3x =5y =,,A B C ()()()|,|,|P A D P B D P C D ,x y ,x y ,,A B C ()()()312111,,321232133216P A P B P C ======++++++()()()()|%,|%,|%P D A x P D B y P D C x y ===+则因为来自高二年级概率最大，所以,即,即，即，即，故选：D.8. 若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a 的值为（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】设切点，利用导数的几何意义求得切线方程，将原点坐标代入，整理得，结合计算即可求解.【详解】设，则，设切点为，则，所以切线方程为，又该切线过原点，所以，整理得①，因为曲线只有一条过原点的切线，所以方程①只有一个解，故，解得.故选：A【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数的几何意义，切点未知，设切点坐标，由导数的几何意义求出切线方程，确定方程的解与根的判别式之间的关系是解决本题的关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.()()()()()()()()11143|||%%%236600x y P D P A P D A P B P D B P C P D C x y x y +=++=⋅+⋅+⋅+=()()()()||,||P B D P A D P B D P C D ＞＞()()()()()()()(),P BD P AD P BD P CD P D P D P D P D ＞300200300600,43434343600600600600y x y x y x y x y x y x y +++++＞23,y x y x >>32y x >1e xax y +=1413001(,)e x ax x +2010ax x ++=Δ0=1()e x ax y f x +==1()e xax a f x -+-'=0001(,)e x ax x +0001()e x ax a f x -+-'=0000011()e e x x ax ax a y x x +-+--=-00000110(0)e e x x ax ax a x +-+--=-20010ax x ++=()y f x =140a ∆=-=14a =9. 下列说法正确的是（ ）A. 若随机变量X 服从两点分布且，则B. 若随机变量满足，，则C. 若随机变量，则D. 设随机变量，若恒成立，则的最大值为12【答案】BD 【解析】【分析】根据两点分布、正态分布、二项分布的性质、期望与方差公式，逐项判断即可.【详解】对于A ，因为随机变量X 服从两点分布且，所以，所以，故A 错误；对于B ，因为随机变量满足，，所以，所以，故B 正确；对于C ，因为随机变量，所以，故C 错误；对于D ，因为随机变量，恒成立，所以恒成立，所以，所以，故D 正确.故选：BD.10. 关于函数及其导函数，下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若函数为奇函数，则D. 若，则【答案】ACD1(0)4P X ==3()8E X =2(,)X N μσ (1)0.22P X <=(3)0.78P X <=2μ=1(6,2X B 1(2)4P X ==(,)X B n p ()3D X ≤n 1(0)4P X ==3(1)4P X ==133()0+1=444E X =⨯⨯2(,)X N μσ (1)0.22P X <=(3)0.78P X <=(3)(1)0.22P X P X ≥=<=1322μ+==1(6,)2X B 22461115(2)C ()(12264P X ==-=(,)X B n p ()3D X ≤()(1)3D X np p =-≤221(1)()()3244n nnp p n p p n p -=-=--+≤≤12n ≤()f x ()f x '()ln f x x x =(e)2f '=()sin f x x =π(())12f f '=()f x ()()f x f x ''=-()()0f x f x '->()()20242023ef f >【解析】【分析】根据求导公式和求导的运算法则计算，即可判断ABC ；构造函数，利用导数证明为增函数，即可判断D.【详解】A ：由，得，所以，故A 正确；B ：由，得，所以，则，故B 错误；C ：由为奇函数，得，等式两边同时取导数，得，即，故C 正确；D ：由，且定义域为，可构造函数，则，所以为R 上的增函数，则，则，故D 正确.故选：ACD11. 2024年元宵节，张同学与陈同学计划去连江人民广场参加猜灯谜活动.张同学家在如图所示的E 处，陈同学家在如图所示的F 处，人民广场在如图所示的 G 处.下列说法正确的是（ ）A. 张同学到陈同学家的最短路径条数为6条B. 在张同学去人民广场选择的最短路径中，到F 处和陈同学汇合并一同前往的概率为C. 张同学在去人民广场途中想先经过花海欣赏灯光秀（花海四周道路均可欣赏），可选的最短路径有22条D. 张同学和陈同学在选择去人民广场的最短路径中，两人相约到人民广场汇合，事件A ：张同学经过陈同()()e xf xg x =()g x ()ln f x x x =()ln 1(0)f x x x '=+>(e)ln e 12f '=+=()sin f x x =()cos f x x '=π()02f '=π(())(0)sin 002f f f '===()f x ()()f x f x -=-()()f x f x ''--=-()()f x f x ''-=()()0f x f x '->R ()()exf xg x =()()()0exf x f xg x -''=>()g x ()()()()202420232024202320242023eef fg g =>=()()20242023ef f >1835学家；事件B ：从F 到人民广场两人的路径没有重叠部分 （路口除外），则. 【答案】AB 【解析】【分析】对于A ：4格中2格向上，2格向右的问题；对于B ：先求出张同学去人民广场选择的最短路径中总的基本事件，再求出和陈同学回合后的基本事件数，利用古典概型解答；对于C ：间接法，先求出不欣赏灯光秀的情况数，再用总数一减即可；对于D ：求出和，再利用条件概率公式求解.【详解】对于A ：最短路径为共走4格，其中向上走2格，向右走2格，条数为，A 正确；对于B ：在张同学去人民广场选择的最短路径中，总的基本事件：共走7格，其中向上走3格，向右走4格，即有种走法，到F 处和陈同学汇合并一同前往，首先到处，有种走法，再到人民广场，共走3格，其中向上走1格，向右走2格，即有种走法，则到F 处和陈同学汇合并一同前往的基本事件有种，则概率为，B 正确；对于C ：在张同学去人民广场选择的最短路径共种走法，若途中不经过花海欣赏灯光秀，①先从走到有种走法，再从走到有2种走法，则途中不经过花海欣赏灯光秀有种走法，②先从走到有种走法，再从走到有种走法，则途中不经过花海欣赏灯光秀有种走法，③先从走到，再走到有种走法，综合得途中不经过花海欣赏灯光秀总共有种走法，则欣赏灯光秀有种走法，C 错误；对于D ：，D 错误.故选：AB.()5|12P B A =()P AB ()P A 24C 6=37C 35=F 613C 3=6318⨯=183535E F 3F G 326⨯=E A 14C 4=A G 13C 3=3412⨯=E B B G 1612119++=351916-=()()()622353|18935P AB P B A P A ⨯⨯===【点睛】方法点睛：网格中的最短路径问题，可以转化为格中，有格向上，向右的问题来解答.三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12. 雅礼中学将5名学生志愿者分配到街舞社､戏剧社､魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社团､每个社团至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有__________种【答案】240【解析】【分析】根据题意，先将5名学生志愿者分为4组，再将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，结合分步计数原理，即可求解.【详解】根据题意，分2步进行分析：①将5名学生志愿者分为4组，有种分组方法，②将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，有种情况，则有种分配方案故答案为：.13. 有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，其中次品的件数记为X ，则次品件数X 的期望为______．【答案】1.2【解析】【分析】确定随机变量X 服从超几何分布，确定相关参数，根据超几何分布的期望公式，即得答案.【详解】由题意知随机变量X 服从超几何分布，其中，，，于是次品件数X 的期望，故答案为：1.214. 若函数有零点，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】利用导数说明函数单调性，即可求出函数的最大值，依题意只需，即可求出参数的取值范围.【详解】函数的定义域为，.的n m n m -25C 10=44A 24=1024240⨯=24010N =4M =3n =() 1.2nME X N==1()ln ef x x x a =-+a [)0,∞+()max 0f x ≥1()ln ef x x x a =-+()0,∞+又，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又时，时，又函数有零点，所以，即，所以实数的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤.15. 在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各1名，现要从这 10人中挑选5人组成医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法? （用数字作答）.（1）既有内科医生，又有外科医生；（2）至少有1名主任参加；（3）既有主任，又有外科医生.【答案】（1） （2） （3）191【解析】【分析】（1）分内科医生去人四种情况计算；（2）至少有1名主任即为只有1名或2名，分别计算求解；（3）分两类：一种若选外科主任，则其余可任意选，另一种若不选外科主任，则必选内科主任，分别求解即可；【小问1详解】既有内科医生，又有外科医生包括四种情况：内科医生去人，得选派方法为：；【小问2详解】分两类：一是选1名主任有种方法；11e ()e e x f x x x-'=-=0e x <<()0f x '>e x >()0f x '<()f x ()0,e ()e,+∞()()max e f x f a ==0x →()f x →-∞x →+∞()f x →-∞1()ln ef x x x a =-+()max 0f x ≥0a ≥a [)0,∞+[)0,∞+2461961,2,3,41,2,3,46661423324144446C C C C C C C C 246+++=1428C C 140=二是选2名主任有种方法；故至少有1名主任参加的选派方法共种；【小问3详解】若选外科主任，则其余可任意选，共有种选法； 若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余四人不能全选内科医生，有种选法； . （也可以直接法：+=65）故既有主任，又有外科医生的选派种数为.16. 在 的展开式中，（1）求展开式中所有项的系数和；（2）求二项式系数最大的项；（3）系数的绝对值最大的项是第几项?【答案】（1）1（2）（3）第6项和第7项【解析】【分析】（1）借助赋值法令即可得；（2）结合二项式系数的性质与二项式的展开式的通项公式计算即可得；（3）解不等式组即可得.【小问1详解】令，可得展开式中所有项的系数和为；【小问2详解】二项式系数最大的项为中间项，即第5项，的展开式的通项为：，2328C C 56=14056196+=49C 126=4485C C 65-=13223535C C C C +3135C C 12665191+=822x ⎫⎪⎭651120T x -=1x =118811882C 2C 2C 2C r r r r r r r r ++--⎧≥⎨≥⎩1x =()811-=822)x-()584218822C 2C ,8,N rrr rrr T x r r x --+⎛⎫=⋅⋅-=-≤∈ ⎪⎝⎭故；【小问3详解】由的展开式的通项为：，设第项系数的绝对值最大，显然，则， 整理得，即，解得，而，则或， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.17. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.（1）求的值;（2）以频率估计概率，完成下列问题.(i )若从所有花卉中随机抽株，记高度在内的株数为，求 的分布列及数学期望；(ii )若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率.【答案】（1）（2）(i )分布列见解析，；(ii ) 【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，解得即可；()4466582C 1120T x x --=-=822)x-()584218822C 2C ,8,N rrr rrr T x r r x --+⎛⎫=⋅⋅-=-≤∈ ⎪⎝⎭1r +08r <<118811882C 2C 2C 2C r r r r r r r r ++--⎧≥⎨≥⎩8!8!2!(8)!(1)!(7)!8!8!2!(8)!(1)!(9)!r r r r r r r r ⎧≥⋅⎪-+-⎪⎨⎪⋅≥⎪---⎩1162182r r r r +≥-⎧⎨-≥⎩56r ≤≤N r ∈=5r 6r =[]15,25a 4[)19,21X X ()E X []21,2523cm 0.125()1E X =261251（2）(i )依题意可得，根据二项分布的概率公式求出分布列与数学期望；(ii )利用条件概率的概率公式计算可得.【小问1详解】依题意可得，解得；【小问2详解】(i )由（1）可得高度在的频率为，所以，所以，，，，，所以的分布列为：所以；(ii )在欧阳花卉中随机抽取株，记至少有株高度在为事件，至多株高度低于为事件，则，，所以.18. 某商场将在“周年庆”期间举行“购物刮刮乐，龙腾旺旺来”活动，活动规则：顾客投掷3枚质地均匀的股子．若3枚骰子的点数都是奇数，则中“龙腾奖”，获得两张“刮刮乐”；若3枚骰子的点数之和为6的倍()4,0.25X B ()0.050.0750.150.121a ++++⨯=0.125a =[)19,210.12520.25⨯=()4,0.25X B ()438104256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()31413271C 4464P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭()222413272C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯()31341333C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⨯⎝⎭⨯()444114C 4256P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭X X1234P812562764271283641256()1414E X =⨯=32[]21,25M 123cm N ()3313111C 222P M ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22322331113113C C 525105125P MN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1326125|11252P NM P N M P M ===数，则中“旺旺奖”，获得一张“刮刮乐”；其他情况不获得“刮刮乐”．（1）据往年统计，顾客消费额（单位：元）服从正态分布．若某天该商场有20000位顾客，请估计该天消费额在内的人数；附：若，则．（2）已知每张“刮刮乐”刮出甲奖品概率为，刮出乙奖品的概率为．①求顾客获得乙奖品的概率；②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率．【答案】（1）16372 （2）①；②【解析】【分析】（1）由题意，由此结合题中数据以及对称性即可求解相应的概率，进一步即可求解；（2）由题意有，进一步分3大种情况求得，对于①，由全概率公式即可求解；对于②，由条件概率公式即可求解.【小问1详解】由题意，若某天该商场有20000位顾客，估计该天消费额在内的人数为；【小问2详解】设事件“顾客中龙腾奖”， 事件“顾客中旺旺奖”， 事件“顾客获得乙奖品”，由题意知，事件包括的事件是：“3枚骰子的点数之和为6”，“3枚骰子的点数之和为12”，“3枚骰子的点数之和为的X ()2130,25N X []105,180()2,X Nμσ ()()0.6827,220.9545P X P X μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈3414373842137()()()1051802P X P X P x μσμμμσ≤≤=-≤≤+≤≤+()()()112171,|,|8164P A P B A P B A ===()216P A =()()()105180105130130180P X P X P x ≤≤=≤≤+≤≤()()()120.68270.95450.81862P X P x μσμμμσ=-≤≤+≤≤+≈+≈X []105,1800.81862000016372⨯=1A =2A =B =()()()23112331371,|1,|684164P A P B A P B A ⎛⎫===-== ⎪⎝⎭2A18”，则（i ）若“3枚骰子的点数之和为6”，则有“1点，1点，4点”， “1点，2点，3点”， “2点，2点，2点”，三类情况，共有种；（ii ）若“3枚骰子的点数之和为12”，则有“1点，5点，6点”， “2点，5点，5点”， “2点，4点，6点”， “3点，4点，5点”， “3点，3点，6点”， “4点，4点，4点”，六类情况，共有种；（iii ）若“3枚骰子的点数之和为18”，则有“6点，6点，6点”，一类情况，共有1种；所有，①由全概率公式可得，即顾客获得乙奖品概率为；②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是，所以顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是.19. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）求导得，分是否大于0进行讨论即可得解；（2）原问题等价于对任意恒成立，令，的213313C C A 136110++=++=31233213323331A C C A A C C 163663125+++++=+++++=()23310251361666P A ++===()()()()()1122171137||81664384P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=37384()()()()()()111117|21816|3737384P A B P A P B A P A B P B P B ⨯====2137()2e 2,xf x ax a =-∈R ()f x ()22f x x a ≥+()0,x ∈+∞a 2ln2⎡⎤-⎣⎦()2e 2xf x a =-'a 222e 20x ax x a --≥-()0,x ∈+∞()222e 2xg x ax x a =---不断求导得在上单调递增，注意到，由此结合导数与最值的关系分是否大于1进行讨论即可.【小问1详解】.当时，在上恒成立，所以在上单调递增.当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】不等式对任意恒成立，即对任意恒成立.令，则.设，则.当时，，所以在上单调递增，所以当时，.①若，当时，上单调递增，则，所以，所以，②若，则，又当时，，所以，使得，即.当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，则，所以，所以.由，令函数，则当时，，所以，所以.在()g x '()0,∞+()()021g a '=-a ()2e 2x f x a =-'0a ≤()0f x ¢>R ()f x R 0a >()0f x '<ln x a <()0f x ¢>ln x a >()f x (),ln a ∞-()ln ,a ∞+()22f x x a ≥+()0,x ∈+∞222e 20x ax x a --≥-()0,x ∈+∞()222e 2xg x ax x a =---()2e 22xg x x a '=--()()2e 22xx g x x a ϕ'==--()2e 2xx ϕ'=-0x >()2e 20xx ϕ'=->()g x '()0,∞+0x >()()()02221g x g a a ''>=-=-10a -≥0x >()()0,g x g x '>()0,∞+()2020g a =-≥a ≤≤1a ≤≤10a -<()00g '<x →+∞()g x '→+∞00x ∃>()0002e 220xg x x a =--='00e xa x =-00x x <<()()0,g x g x '<()00,x 0x x >()()0,g x g x '>()0,x +∞()()()()0000022min 00()2e 2e e e 2e 0x x x x x g x g x x a ==-+=-=-≥0e 2x ≤00ln2x <≤00e xa x =-()e xh x x =-0ln2x <≤()e 10xh x '=->()12ln2h x <≤-12ln2a <≤-综上，实数的取值范围是.【点睛】关键点点睛：第二问的关键是得出在上单调递增，且注意到，由此即可顺利得解.a 2ln2⎡⎤-⎣⎦()g x '()0,∞+()()021g a '=-。