高中数学选修2-3课件2.2.2《事件的相互独立性》课件
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《事件的相互独立性》人教版高中数学选修2-3PPT课件(第2.2.2课时)
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思考 问题1 什么是条件概率？ 一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率. 问题2 条件概率公式？
P(B | A) = P(AB) P(A)
新知探究
思考 一个盒子中有６只黑球、４只白球，从中有放回地摸球. 求: （1） 第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率； （2） 第二次摸到黑球的概率.
课堂练习
2.选择
（1）设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：
A. P(B|A)>0
√C. P(A|B)=0
B. P(A|B)=P(A) D. P(AB)=P(A)P(B)
（2）设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，错误的是：
A. P(B|A)>0
是否独立. 解： 由于P(A)=4/52=1/13，P(B)=26/52=1/2， P(AB)=2/52=1/26 可见 P(AB)=P(A)P(B) 说明事件A，B独立.
新知探究
例题3 甲乙二人向同一目标射击，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5 . 试计算 （1）两人都击中目标的概率； （2）恰有一人击中目标的概率； （3）目标被击中的概率. 解：设A表示“甲击中目标”，B表示“乙击中目标” 则
= P(A)-P(A)P(B) = P(A)[ 1-P(B)]
P( A)P(B )
故A与 B 独立 .
新知探究
例题1 如图 ，用X，Y，Z 三类不同的元件连接成系统 ．当元件X，Y，Z都正常工作时，系统N正常工 作．已知元件X，Y，Z正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90，求系统 正常工作的概率 ．
高中数学选修2-3优质课件：事件的相互独立性
[解] 令事件 A，B，C 分别表示 A，B，C 三个独立的研究 机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件 A，B， C 相互独立，且 P(A)＝15，P(B)＝14，P(C)＝13.
(1)他们都研制出疫苗，即事件 ABC 发生，故 P(ABC)＝ P(A)P(B)·P(C)＝15×14×13＝610.
第三页，编辑于星期一：点 三十六分。
[类题通法] 判断事件是否相互独立的方法
(1)定义法：事件 A，B 相互独立⇔P(AB)＝P(A)·P(B)． (2)利用性质：A 与 B 相互独立，则 A 与 B ，A 与 B，A 与 B 也都相互独立． (3)有时通过计算 P(B|A)＝P(B)可以判断两个事件相互 独立．
第九页，编辑于星期一：点 三十六分。
[对点训练] 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5，购买 乙种商品的概率为 0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互 独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求： (1)进入商场的 1 位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率； (2)进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率． 解：记 A 表示事件“进入商场的 1 位顾客购买甲种商品”， 则 P(A)＝0.5； 记 B 表示事件“进入商场的 1 位顾客购买乙种商品”，则 P(B)＝0.6；
第十三页，编辑于星期一：点 三十六分。
[类题通法] 解决此类问题应注意
(1)恰当用事件的“并”“交”表示所求事件； (2)“串联”时系统无故障易求概率，“并联”时系统 有故障易求概率，求解时注意对立事件概率之间的转化．
第十四页，编辑于星期一：点 三十六分。
[对点训练] 在一段线路中并联着 3 个自动控制的常开开关，只要其中 1 个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每 个开关能够闭合的概率都是 0.7，计算在这段时间内线路正常 工作的概率． 解：如图所示，记这段时间内开关 KA，KB，KC 能 够闭合为事件 A，B，C.
下学期高二数学人教A版选修2-3第二章2.2.2事件的相互独立性课件
此题你有其他方法吗？
│学习目标│➯│新课引入│➯│课本预习│➯│预习评价│➯│知识导出│➯│课堂互动│➯│课堂小结│
│课堂互动│
2.2.2 事件的相互独立性
【训练 2】 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车 点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收
【迁移2】 (变换所求)例1条件不变，求2人至多有1人射中目标的概率.
解 “2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况， 故所求概率为 P＝P(A－ B－)＋P(AB－)＋P(A－B) ＝P(A－)·P(B－)＋P(A)·P(B－)＋P(A－)·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.
│新课引入│
2.2.2 事件的相互独立性
引例2：分析下面的实验，它们有什么共同特征？所求随机事件的概率是多 少？
(1)将一个质地均匀的骰子投掷3次，出现3次点数6的概率是多少;
(2)某P同( A学1 A投2 A篮3 )3次 C，33每 (次16命)3 中的概率为0.6 ，求命中1次的概率;
P(
A1
P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
│学习目标│➯│新课引入│➯│课本预习│➯│预习评价│➯│知识导出│➯│课堂互动│➯│课堂小结│
│新课引入│
引例2：分析下面的实验，它们有什么共同特征？
2.2.2 事件的相互独立性
(1)将一个质地均匀的骰子投掷3次，出现3次点数6的概率是多少; (2)某同学投篮3次，每次命中的概率为0.6 ，求命中1次的概率;
(2)“2 人各射击 1 次，恰有 1 人射中目标”包括两种情况：
①甲射中、乙未射中(事件 A B－发生)，
│学习目标│➯│新课引入│➯│课本预习│➯│预习评价│➯│知识导出│➯│课堂互动│➯│课堂小结│
│课堂互动│
2.2.2 事件的相互独立性
【训练 2】 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车 点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收
【迁移2】 (变换所求)例1条件不变，求2人至多有1人射中目标的概率.
解 “2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况， 故所求概率为 P＝P(A－ B－)＋P(AB－)＋P(A－B) ＝P(A－)·P(B－)＋P(A)·P(B－)＋P(A－)·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.
│新课引入│
2.2.2 事件的相互独立性
引例2：分析下面的实验，它们有什么共同特征？所求随机事件的概率是多 少？
(1)将一个质地均匀的骰子投掷3次，出现3次点数6的概率是多少;
(2)某P同( A学1 A投2 A篮3 )3次 C，33每 (次16命)3 中的概率为0.6 ，求命中1次的概率;
P(
A1
P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
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引例2：分析下面的实验，它们有什么共同特征？
2.2.2 事件的相互独立性
(1)将一个质地均匀的骰子投掷3次，出现3次点数6的概率是多少; (2)某同学投篮3次，每次命中的概率为0.6 ，求命中1次的概率;
(2)“2 人各射击 1 次，恰有 1 人射中目标”包括两种情况：
①甲射中、乙未射中(事件 A B－发生)，
2.2.2事件的相互独立性【公开课教学PPT课件】
皮匠中至少有一人解出的概率与诸
葛亮解出的概率比较，谁大？
分析:1 P(ABC) 1 0.9握 不能大过诸葛亮!
这种情况下至少有 几个臭皮匠才能顶
个诸葛亮呢？
小结反思
互斥事件
相互独立事件
概
不可能同时发生的
如果事件A（或B）是否发生对事 件B（或A）发生的概率没有影响，
B发生与否不影响A发生的概率
想一想 判断下列各对事件的关系
（1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环；互斥
（2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与
乙射中8环；
相互独立
(3)已知P( A) 0.6, P(B) 0.6, P( AB) 0.24
则事件A与B
相互独立
（4）在一次地理会考中，“甲的成绩合
高二数学 选修2-3
2.2.2事件的相互 独立性（一）
俗话说：“三个臭皮 匠抵个诸葛亮”。
那我们从数学中 概率的角度来看，如 何理解这句话呢？
明确问题： 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,
臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老 二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独 立解题，问三个臭皮匠能抵一个诸葛
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发 生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).
(5).条件概率计算公式:
P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
P(AB) P(A)P(B | A)
思考与探究
思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
2.2.2 事件的相互独立性 课件(人教A选修2-3)
答案：A
返回
2．分别抛掷两颗质地均匀的骰子，A＝{第一颗骰子出现 奇数点}，B＝{第二颗骰子出现偶数点}，判定事件A， B是否相互独立．
解：分别掷两颗质地均匀的骰子，则 A＝{第一颗骰子出现 1,3,5 点}，共有 3 种结果． B＝{第二颗骰子出现 2,4,6 点}，共有 3 种结果．AB＝{第一
问题3：P(B|A)与P(B)相等吗？
3 PAB 10 1 提示： 因为 P(B|A)＝ ＝ ＝ ， 3 2 PA 5 所以 P(B|A)与 P(B)相等．
问题4：P(AB)与P(A)P(B)相等吗？
PAB 提示：因为 P(B|A)＝ ＝P(B)， PA 所以 P(AB)与 P(A)P(B)相等．
(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7
个球中任意取出1个，取出的是白球”这两个事件是否相互
独立？为什么？ (2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取 出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的 是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？
[思路点拨]
利用相互独立事件的定义判断． 返回
返回
[一点通]
解决此类问题应注意：
(1)恰当用事件的“并”“交”表示所求事件； (2)“串联”时系统无故障易求概率，“并联”时系统有故
障易求概率，求解时注意对立事件概率之间的转化．
返回
6．如图，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内它们正
常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性为 A．0.054 B．0.994 ( )
C．0.496
D．0.06
解析： 记三个开关都正常工作分别为事件 A， B， C， 则 P(A) ＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.7. 三个开关同时出现故障的事件为 A B C ，则此系统正常 工作的概率为 P＝1－P( A B C )＝1－P( A )P( B )P( C )＝ 1－0.1×0.2×0.3＝0.994. 答案：B
高中数学人教A版选修2-3教学课件：2.2.2事件的相互独立性
• [点评] (1)求相互独立事件的概率一般采 用以下解题步骤：①确定各事件是相互独 立的；②确定各事件会同时发生；③先求 每个事件发生的概率，再求其积． • (2)在解此类题时，要明确事件中的“至少 有一个发生”、“至多有一个发生”、 “恰有一个发生”、“都发生”、“都不 发生”、“不都发生”等词语的含义，以 免混淆．
• [解析] 记“答对第一个问题”为事件A， “答对第二个问题”为事件B，“答对第三 个问题”为事件C，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7， P(C)＝0.6.又它们相互独立，所以
(1)事件“这名同学得 300 分”可表示为(A B C)∪( A BC)，所以其概率为 P(A B C)＋P( A BC)＝P(A)· P( B )· P(C) ＋ P( A )· P(B)· P(C) ＝ 0.8×(1 － 0.7)×0.6 ＋ (1 － 0.8)×0.7×0.6＝0.228. (2)“这名同学至少得 300 分”可理解为这名同学得 300 分 或 400 分 ， 所 以 该 事 件 可 表 示 为 (A B C)∪( A BC)∪(ABC)．所以其概率为 P(A B C)＋P( A BC)＋P(ABC) ＝0.228＋P(A)P(B)P(C)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.
[解析]
只有 A 发生， 即ห้องสมุดไป่ตู้A B 发生； 只有 B 发生， 即A
B 发生．因为 A，B 相互独立，所以 A 与 B， B 与 A 也相互 1 独立． 所以 P(A B )＝P(A)P( B )＝P(A)[1－P(B)]＝4， P( A B) 1 ＝P( A )P(B)＝P(B)[1－P(A)]＝ ， 4 1 P(A)－P(A)P(B)＝4， 即 P(B)－P(A)P(B)＝1. 4 1 P(A)＝2， 解得 P(B)＝1. 2
高中数学复习选修2-3 2.2.2 事件的相互独立性课件
(女,男)},AB={(男1,女),(女,男)},
由此可知P(AB)≠4P(A)·P(B),故事件A，B不相互独立.
PA 1 ,PB 3 ,PAB 1 ,
2
4
2
(2)家庭中有三个小孩，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为{(男,男,男),(男,男,
女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)},它有8个基本
事件,
由等可能性知这8个基本事件的概率均为 此时
显然P(AB)=P(A)·P(B),故事件A，B相18 .
互P独B立 . 4 1 ,PAB 3 ,
82
8
PA 6 3,
84
【想一想】1，2两题的解题思路分别是什么？ 提示：(1)第1题在求解中直接利用实际背景求解，其理论依据是“事件相互独 立性的概念”. (2)第2题在求解中利用了“事件相互独立性的充要条件P(AB)=P(A)P(B)”.
3.若事件E与F相互独立，且 【解析】
P，E则 PP(EFF)的值1等于_______.
4
答案：
PEF PEPF 1 1 1 .
4 4 16
1 16
4.某射击运动员射击一次，命中目标的概率为0.9，则他连续射击两次都命中 的概率是______. 【解析】Ai表示“第i次击中目标”，i＝1,2，则P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝ 0.9×0.9＝0.81. 答案：0.81
P(A∪B)=P(A)+P(B)
2.对事件相互独立性的理解 (1)判断事件独立性的依据：公式可以作为判断两个事件是否相互独立的理论 依据,即P(AB)=P(A)P(B)是A，B相互独立的充要条件. (2)事件独立性的推广：若n个事件相互独立,则这n个事件同时发生的概率就 等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). (3)公式P(AB)=P(A)P(B)的适用前提：在使用概率的乘法公式时,一定要注意 公式成立的条件,即各事件必须相互独立.
高中数学人教A版选修2-32.2.2事件的相互独立性(二)经典课件
高二数学 选修2-3
2.2.2事件的相互独 立性（二）
复习回顾
1、事件的相互独立性
设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事 件A与事件B相互独立。
2、相互独立事件同时发生的概率公式：
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A•B发生的概
率为：P(AB)= P(A)P(B)
.
一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
6.某系统由A,B,C三个元件组成, 每个元件正常工作概率为P. 则系统正常工作的概率为_P_+P_2_- P3
A
B
C
7.在100件产品中有4件次品.
C42
①从中抽2件, 则2件都是次品概率为_C_10_02
C41·C31 C1001·C991
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(不放回抽取)
行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两 部分都合格则该课程考核合格。甲、乙、丙三人在理 论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考 核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9。所有考核是否 合格相互之间没有影响。
（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合 格的概率；
（2）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保 留三位小数）
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取)
C41·C41 C1001·C1001
( 互斥事件)
求
分类 P(A+B)= P(A) + P (B)
较
正向
复
杂
事
分步
P(A·B)= P(A) ·P (B)
2.2.2事件的相互独 立性（二）
复习回顾
1、事件的相互独立性
设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事 件A与事件B相互独立。
2、相互独立事件同时发生的概率公式：
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A•B发生的概
率为：P(AB)= P(A)P(B)
.
一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
6.某系统由A,B,C三个元件组成, 每个元件正常工作概率为P. 则系统正常工作的概率为_P_+P_2_- P3
A
B
C
7.在100件产品中有4件次品.
C42
①从中抽2件, 则2件都是次品概率为_C_10_02
C41·C31 C1001·C991
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(不放回抽取)
行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两 部分都合格则该课程考核合格。甲、乙、丙三人在理 论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考 核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9。所有考核是否 合格相互之间没有影响。
（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合 格的概率；
（2）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保 留三位小数）
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取)
C41·C41 C1001·C1001
( 互斥事件)
求
分类 P(A+B)= P(A) + P (B)
较
正向
复
杂
事
分步
P(A·B)= P(A) ·P (B)
高二数学课件人教新课标：选修2-32.2.2事件的相互独立性
③A={掷出偶数点}；B={掷出3的倍数点}
独立性的判定：
若 P(AB) P(A) P(B)，则A、B独立。 若事件 A1, A2 An 相互独立，则有：
P( A1A2 An ) P( A1) P( A2 ) P( An )
有些事件不必通过计算就能判断独立性：
甲堆抽，乙堆抽；掷5次同一枚硬币；有放回的抽奖……
例： 事件A：从甲袋摸出一个球；事件B：从乙袋摸出一个球。
则A与B相互独立。
独立性的判定：
若 P(AB) P(A) P(B)，则A、B独立。
例2：把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下 列各组事件是否是独立事件？ ①A={掷出偶数点}；B={掷出奇数点} ②A={掷出偶数点}；B={掷出的点数小于4}
事件的相互独立性
复习巩固：
例1：一个口袋内装有3个白球和2个黑球，那么 （1）从口袋内不放回地摸出两个球，则摸出1个白 球和1个黑球的概率是多少？
（2）从口袋内不放回地摸出两个球，则第一次摸出 白球且第二次摸出黑球的概率是多少？
例1：一个口袋内装有3个白球和2个黑球，那么
（1）从口袋内不放回地摸出两个球，则摸出1个白 球和1个黑球的概率是多少？
• 对峙事件：A、B事件不能同时产生且必产生其一：
P(A) P(B) 1
• 相互独立事件：A事件是否产生对B事件无影响：
若A与B相互独立，则 A与B，A与 B ，A 与 B 都相互独立。
互斥事件、对峙事件、相互独立事件
证明：若A与B相ห้องสมุดไป่ตู้独立，则A与 B 相互独立。
P( AB) P( AB) P( A) P( AB) P( A) P( AB) P( A) P( A) P(B) P( A)(1 P(B))
独立性的判定：
若 P(AB) P(A) P(B)，则A、B独立。 若事件 A1, A2 An 相互独立，则有：
P( A1A2 An ) P( A1) P( A2 ) P( An )
有些事件不必通过计算就能判断独立性：
甲堆抽，乙堆抽；掷5次同一枚硬币；有放回的抽奖……
例： 事件A：从甲袋摸出一个球；事件B：从乙袋摸出一个球。
则A与B相互独立。
独立性的判定：
若 P(AB) P(A) P(B)，则A、B独立。
例2：把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下 列各组事件是否是独立事件？ ①A={掷出偶数点}；B={掷出奇数点} ②A={掷出偶数点}；B={掷出的点数小于4}
事件的相互独立性
复习巩固：
例1：一个口袋内装有3个白球和2个黑球，那么 （1）从口袋内不放回地摸出两个球，则摸出1个白 球和1个黑球的概率是多少？
（2）从口袋内不放回地摸出两个球，则第一次摸出 白球且第二次摸出黑球的概率是多少？
例1：一个口袋内装有3个白球和2个黑球，那么
（1）从口袋内不放回地摸出两个球，则摸出1个白 球和1个黑球的概率是多少？
• 对峙事件：A、B事件不能同时产生且必产生其一：
P(A) P(B) 1
• 相互独立事件：A事件是否产生对B事件无影响：
若A与B相互独立，则 A与B，A与 B ，A 与 B 都相互独立。
互斥事件、对峙事件、相互独立事件
证明：若A与B相ห้องสมุดไป่ตู้独立，则A与 B 相互独立。
P( AB) P( AB) P( A) P( AB) P( A) P( AB) P( A) P( A) P(B) P( A)(1 P(B))
人教a版数学【选修2-3】2.2.2《事件的独立性》ppt课件
2.2.2 事件的独立性
第二章
随机变量及其分布
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
4
备 选 练 习
第二章
2.2
2.2.2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
自主预习学案
第二章
第二章 2.2 2.2.2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
3．如果A与B相互独立，那么P(B|A)＝__________ ，P(A|B) P(B) P(A) ． ＝__________ 同时发生 的两个事件，而相互独 4 ．互斥事件是不可能 __________ 立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率 没有影响 ，二者不能混淆． __________ P(A)＋P(B) ； 若A、B互斥，则P(AB)＝0；P(A＋B)＝__________ P(A)· P(B) ， P(A ＋ B) ＝ 若 A 、 B 相 互 独 立 ， 则 P(AB) ＝ __________ 1－P(－ A )· P(－ B) ． ________________
第二章
2.2
2.2.2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
[解析] 设甲、乙、丙去北京旅游分别为事件 A、B、C， 1 1 1 2 3 则 P(A)＝3，P(B)＝4，P(C)＝5，P( A )＝3，P( B )＝4，P( C )＝ 4 5，由于 A，B，C 相互独立，故 A ， B ， C 也相互独立，故 P( A 2 3 4 2 B C )＝3×4×5＝5，因此甲、乙、丙三人至少有 1 人去北京 2 3 － － － 旅游的概率 P＝1－P( A B C )＝1－5＝5.
第二章
随机变量及其分布
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
4
备 选 练 习
第二章
2.2
2.2.2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
自主预习学案
第二章
第二章 2.2 2.2.2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
3．如果A与B相互独立，那么P(B|A)＝__________ ，P(A|B) P(B) P(A) ． ＝__________ 同时发生 的两个事件，而相互独 4 ．互斥事件是不可能 __________ 立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率 没有影响 ，二者不能混淆． __________ P(A)＋P(B) ； 若A、B互斥，则P(AB)＝0；P(A＋B)＝__________ P(A)· P(B) ， P(A ＋ B) ＝ 若 A 、 B 相 互 独 立 ， 则 P(AB) ＝ __________ 1－P(－ A )· P(－ B) ． ________________
第二章
2.2
2.2.2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
[解析] 设甲、乙、丙去北京旅游分别为事件 A、B、C， 1 1 1 2 3 则 P(A)＝3，P(B)＝4，P(C)＝5，P( A )＝3，P( B )＝4，P( C )＝ 4 5，由于 A，B，C 相互独立，故 A ， B ， C 也相互独立，故 P( A 2 3 4 2 B C )＝3×4×5＝5，因此甲、乙、丙三人至少有 1 人去北京 2 3 － － － 旅游的概率 P＝1－P( A B C )＝1－5＝5.
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2.理清题意, 判断各事件之间的关系(等可能;互斥; 互独; 对立). 关键词 如“至多” “至少” “同时” “恰
有”. 求“至多” “至少”事件概率时,通常考虑它们的对立事件的
概 3.寻率.找所求事件与已知事件之间的关系.
“所求事件” 分几类 (考虑加法公式, 转化为互斥事件) 还是分几步组成(考虑乘法公式, 转化为互独事件)
事件A为“取出的是白球”.事件B为“取出的是白
球”. ( 放回抽取)
A与B为互独事件
例1 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商
品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以 分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑 奖活动的中奖概率都是0.05 ,求两次抽奖中以下事件的 概率：
（1）都抽到某一指定号码；
时发生，根据相互独立事件的概率的乘法公式,得到
P(A•B)=P(A) •P(B)=0.6×0.6＝0.36
答：两人都击中目标的概率是0.36
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击
中目标的概率都是0.6，计算： (2) 其中恰有1人击中目标的概率？ 解：“二人各射击1次，恰有1人击中目标”包括两种
我们知道，当事件A的发生对事件B的发生有影 响时，条件概率P(B|A)和概率P(B)一般是不相等的， 但有时事件A的发生，看上去对事件B的发生没有影 响，比如依次抛掷两枚硬币的结果（事件A）对抛掷第二枚
硬币的结果（事件B）没有影响，这时P(B|A)与P(B)相等吗？
下面看一例
在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋，2个白皮 蛋，每次取一个，有放回地取两次，求在已知第一 次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。
分析: 设事件A为“第1次射击中靶”. B为“第2次射击中 靶”. ⑴ “两次又都∵中A靶与”B是是互指斥“事事件件. A发生且事件B发生” 即
A·B （2∴）“P至( A少·B有）一= 次P（中A靶）”·P是（指B）(中= , 不中), (不中, 中), (中, 中) （3）即“A至·多B 有+ A一·B次+中A靶·B”. ∴是求指P((A中·B, 不+中A·)B, (+不A中·B,)中), (中, 中)
②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B是不是 相互独立的 相互独立
2、相互独立事件同时发生的概率公式：
“第一、第二次都取到红皮蛋”是一个事件，
它的发生就是事件A,B同时发生，将它记作A•B
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A•B发生的概 率为：
P( A B) P( A) P(B)
P=0.2×0.3＝0.06
（2）甲、乙两地都不下雨的概率；
P=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56
（3）其中至少有一方下雨的概率.
P=1-0.56=0.44
3.某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次. 求: (1) 两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率: (3)至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率.
（2）恰有一次抽到某一指定号码；
（3）至少有一次抽到某一指定号码。
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人
击中目标的概率都是0.6，计算：
（1）两人都击中目标的概率；
解（2：）(1其) 中记恰“由甲1人射击击中1次目,标击的中概目率标”为事件A.“乙 射（3）击至1少次有,击一中人目击标中”目为标事的件且概B率A.与B相互独立， 又A与B各射击1次,都击中目标,就是事件A,B同
一般地，在已知另一事件A发生的前提下，事件B发
生的可能性大小不一定再是P(B).即 P(B | A) P(B)
条件的附加意味着对样本空间进行压缩.
思考2？
对于上面的事件A和事件B，P(B|A)与它们的概 率有什么关系呢？
n( AB)
P(B | A) n( AB) n( A)
n() n( A)
解：设从甲车间生产的零件中抽取1件得到合格品为 事件A，从乙车间抽取一件得到合格品为事件B。那么， 2件都是合格品就是事件A•B发生，又事件A与B相互独 立，所以抽到合格品的概率为
P( A • B) P( A) • P(B)
96 • 97 582 100 100 625
答：抽到合格品的概率是 582
3.若 AB 为不可能事件,则说事件A与B互斥.
探究：
三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学 无放回的抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率 是否比前两名同学小。
思考1？
如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那 么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？
已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最 后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？
4.根据公式解答
1.射击时, 甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次. 则甲,乙同时射中同一目标的概率为____1145___
2.甲袋中有5球 (3红,2白), 乙袋中有3球 (2红,1白). 从每袋中任取1球,则至少取到1个白球的概率是__35_
3.甲,乙二人单独解一道题, 若甲,乙能解对该题的概率 分别是m, n . 则此题被解对的概率是_m_+_n_-_m_n_
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取)
C41·C41 C1001·C1001
( 互斥事件)
求
分类 P(A+B)= P(A) + P (B)
较
正向Βιβλιοθήκη 复杂事分步
P(A·B)= P(A) ·P (B)
( 互独事件)
件
概 率
反向
对立事件的概率
独立事件一定不互斥. 互斥事件一定不独立.
即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B) （4）“目标被击中” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中)
即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B)
解题步骤：
1.用恰当的字母标记事件,如“XX”记为A, “YY”记为B.
P( AB) P( A)
n()
P(B |A)相当于把Ａ看作新的
基本事件空间求Ａ∩Ｂ发生的 概率
BA
基本概念
1.条件概率
对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的 条件下事件B发生的条件概率”，叫做条件概率。 记作P(B |A).
2.条件概率计算公式: P( A | B ) P( AB )
P( A )
2.篮球比赛 “1+1罚球” . 事件A表示 “ 第1球罚中”, 事件B表示 “第2球罚中”.A与B不是互独事件
3.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依此取2球. 事件A:“取出的是白球”.事件B:“取出的是黑球” ( 不放回抽取) A与B为非互独也非互斥事件
4.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依此取2球.
高二数学 选修2-3
2.2.2事件的相互独 立性
复习回顾
①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是
什么？ P(A+B)=P(A)+(B)
③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关 系如何？
复习引入：
我们知道求事件的概率有加法公式：
若事件A与B互斥，则. P( A B) P( A) P(B)
那么怎么求A与B的积事件AB呢? 注: 1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的
和事件,记为 A B (或 A B );
2.事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件,
记为 A B (或 AB );
P(A+B)=P(A·B)+P(A·B) +P(A·B)=1- P(A·B)
4.有一谜语, 甲,乙,丙猜对的概率分别是1/5, 1/3 , 1/4 . 则三人中恰有一人猜对该谜语的概率是__1_3__
30
(1-a)(1-b)
5.加工某产品须经两道工序, 这两道工序的次品率分别 为a, b. 且这两道工序互相独立.产品的合格的概率是__.
情况:一种是甲击中, 乙未击中（事A件• B ）另一种是
甲未击中，乙击中（事件Ā•B发生）。根据题意，这两 种情况在各射击1次时不可能同时发生，即事件Ā•B与
A• B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立 事件的概率乘法公式，所求的概率是
P(A • B) P(A • B)
P( A) • P(B) P( A) • P(B)
625
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只
要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.
解：分别记这段时间内开关 J A、J B、J C 能够闭合为事 件A,B,C. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相 互之间没有影响。根据相互独立事件的概率乘法式这
答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973
巩固练习
1、分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设A是事件“第1 枚为正面”，B是事件“第2枚为正面”，C是事件 “2枚结果相同”。问：A，B，C中哪两个相互独立？
巩固练习
2、在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨 的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互 之间没有影响，计算在这段时间内： （1）甲、乙两地都下雨的概率；
段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P( A • B • C) P( A) • P(B) • P(C)
[1 P( A)][1 P(B)][1 P(C)]
(1 0.7)(1 0.7)(1 0.7)
有”. 求“至多” “至少”事件概率时,通常考虑它们的对立事件的
概 3.寻率.找所求事件与已知事件之间的关系.
“所求事件” 分几类 (考虑加法公式, 转化为互斥事件) 还是分几步组成(考虑乘法公式, 转化为互独事件)
事件A为“取出的是白球”.事件B为“取出的是白
球”. ( 放回抽取)
A与B为互独事件
例1 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商
品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以 分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑 奖活动的中奖概率都是0.05 ,求两次抽奖中以下事件的 概率：
（1）都抽到某一指定号码；
时发生，根据相互独立事件的概率的乘法公式,得到
P(A•B)=P(A) •P(B)=0.6×0.6＝0.36
答：两人都击中目标的概率是0.36
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击
中目标的概率都是0.6，计算： (2) 其中恰有1人击中目标的概率？ 解：“二人各射击1次，恰有1人击中目标”包括两种
我们知道，当事件A的发生对事件B的发生有影 响时，条件概率P(B|A)和概率P(B)一般是不相等的， 但有时事件A的发生，看上去对事件B的发生没有影 响，比如依次抛掷两枚硬币的结果（事件A）对抛掷第二枚
硬币的结果（事件B）没有影响，这时P(B|A)与P(B)相等吗？
下面看一例
在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋，2个白皮 蛋，每次取一个，有放回地取两次，求在已知第一 次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。
分析: 设事件A为“第1次射击中靶”. B为“第2次射击中 靶”. ⑴ “两次又都∵中A靶与”B是是互指斥“事事件件. A发生且事件B发生” 即
A·B （2∴）“P至( A少·B有）一= 次P（中A靶）”·P是（指B）(中= , 不中), (不中, 中), (中, 中) （3）即“A至·多B 有+ A一·B次+中A靶·B”. ∴是求指P((A中·B, 不+中A·)B, (+不A中·B,)中), (中, 中)
②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B是不是 相互独立的 相互独立
2、相互独立事件同时发生的概率公式：
“第一、第二次都取到红皮蛋”是一个事件，
它的发生就是事件A,B同时发生，将它记作A•B
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A•B发生的概 率为：
P( A B) P( A) P(B)
P=0.2×0.3＝0.06
（2）甲、乙两地都不下雨的概率；
P=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56
（3）其中至少有一方下雨的概率.
P=1-0.56=0.44
3.某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次. 求: (1) 两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率: (3)至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率.
（2）恰有一次抽到某一指定号码；
（3）至少有一次抽到某一指定号码。
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人
击中目标的概率都是0.6，计算：
（1）两人都击中目标的概率；
解（2：）(1其) 中记恰“由甲1人射击击中1次目,标击的中概目率标”为事件A.“乙 射（3）击至1少次有,击一中人目击标中”目为标事的件且概B率A.与B相互独立， 又A与B各射击1次,都击中目标,就是事件A,B同
一般地，在已知另一事件A发生的前提下，事件B发
生的可能性大小不一定再是P(B).即 P(B | A) P(B)
条件的附加意味着对样本空间进行压缩.
思考2？
对于上面的事件A和事件B，P(B|A)与它们的概 率有什么关系呢？
n( AB)
P(B | A) n( AB) n( A)
n() n( A)
解：设从甲车间生产的零件中抽取1件得到合格品为 事件A，从乙车间抽取一件得到合格品为事件B。那么， 2件都是合格品就是事件A•B发生，又事件A与B相互独 立，所以抽到合格品的概率为
P( A • B) P( A) • P(B)
96 • 97 582 100 100 625
答：抽到合格品的概率是 582
3.若 AB 为不可能事件,则说事件A与B互斥.
探究：
三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学 无放回的抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率 是否比前两名同学小。
思考1？
如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那 么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？
已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最 后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？
4.根据公式解答
1.射击时, 甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次. 则甲,乙同时射中同一目标的概率为____1145___
2.甲袋中有5球 (3红,2白), 乙袋中有3球 (2红,1白). 从每袋中任取1球,则至少取到1个白球的概率是__35_
3.甲,乙二人单独解一道题, 若甲,乙能解对该题的概率 分别是m, n . 则此题被解对的概率是_m_+_n_-_m_n_
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取)
C41·C41 C1001·C1001
( 互斥事件)
求
分类 P(A+B)= P(A) + P (B)
较
正向Βιβλιοθήκη 复杂事分步
P(A·B)= P(A) ·P (B)
( 互独事件)
件
概 率
反向
对立事件的概率
独立事件一定不互斥. 互斥事件一定不独立.
即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B) （4）“目标被击中” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中)
即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B)
解题步骤：
1.用恰当的字母标记事件,如“XX”记为A, “YY”记为B.
P( AB) P( A)
n()
P(B |A)相当于把Ａ看作新的
基本事件空间求Ａ∩Ｂ发生的 概率
BA
基本概念
1.条件概率
对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的 条件下事件B发生的条件概率”，叫做条件概率。 记作P(B |A).
2.条件概率计算公式: P( A | B ) P( AB )
P( A )
2.篮球比赛 “1+1罚球” . 事件A表示 “ 第1球罚中”, 事件B表示 “第2球罚中”.A与B不是互独事件
3.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依此取2球. 事件A:“取出的是白球”.事件B:“取出的是黑球” ( 不放回抽取) A与B为非互独也非互斥事件
4.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依此取2球.
高二数学 选修2-3
2.2.2事件的相互独 立性
复习回顾
①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是
什么？ P(A+B)=P(A)+(B)
③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关 系如何？
复习引入：
我们知道求事件的概率有加法公式：
若事件A与B互斥，则. P( A B) P( A) P(B)
那么怎么求A与B的积事件AB呢? 注: 1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的
和事件,记为 A B (或 A B );
2.事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件,
记为 A B (或 AB );
P(A+B)=P(A·B)+P(A·B) +P(A·B)=1- P(A·B)
4.有一谜语, 甲,乙,丙猜对的概率分别是1/5, 1/3 , 1/4 . 则三人中恰有一人猜对该谜语的概率是__1_3__
30
(1-a)(1-b)
5.加工某产品须经两道工序, 这两道工序的次品率分别 为a, b. 且这两道工序互相独立.产品的合格的概率是__.
情况:一种是甲击中, 乙未击中（事A件• B ）另一种是
甲未击中，乙击中（事件Ā•B发生）。根据题意，这两 种情况在各射击1次时不可能同时发生，即事件Ā•B与
A• B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立 事件的概率乘法公式，所求的概率是
P(A • B) P(A • B)
P( A) • P(B) P( A) • P(B)
625
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只
要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.
解：分别记这段时间内开关 J A、J B、J C 能够闭合为事 件A,B,C. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相 互之间没有影响。根据相互独立事件的概率乘法式这
答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973
巩固练习
1、分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设A是事件“第1 枚为正面”，B是事件“第2枚为正面”，C是事件 “2枚结果相同”。问：A，B，C中哪两个相互独立？
巩固练习
2、在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨 的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互 之间没有影响，计算在这段时间内： （1）甲、乙两地都下雨的概率；
段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P( A • B • C) P( A) • P(B) • P(C)
[1 P( A)][1 P(B)][1 P(C)]
(1 0.7)(1 0.7)(1 0.7)