第一章_模态分析理论基础..
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模态分析原理
模态分析原理模态分析是指通过对物体或系统的振动特性进行分析，来确定其固有频率、振型和振动模态等相关参数的一种分析方法。
在工程领域中，模态分析被广泛应用于结构设计、振动控制、故障诊断等方面，具有重要的理论和实际意义。
本文将对模态分析的原理进行介绍，希望能够帮助读者更好地理解和应用模态分析技术。
模态分析的基本原理是通过对系统的动力学方程进行求解，得到系统的固有频率和振型。
在进行模态分析时，需要考虑系统的质量、刚度和阻尼等因素，这些因素将直接影响系统的振动特性。
在实际工程中，通常会采用有限元方法或者试验测量的方式来获取系统的动力学参数，然后利用模态分析的理论进行计算和分析。
在进行模态分析时，首先需要建立系统的动力学模型，这包括系统的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵等参数。
然后利用模态分析的理论，可以求解系统的特征方程，从而得到系统的固有频率和振型。
通过对系统的固有频率和振型进行分析，可以了解系统的振动特性，包括主要振动模态、振动形式和振动幅值等信息。
在实际工程中，模态分析通常用于结构设计和振动控制方面。
通过对结构的模态进行分析，可以确定结构的主要振动模态和固有频率，从而指导结构设计和优化。
同时，还可以通过模态分析来评估结构的振动响应，为振动控制和减震设计提供依据。
除了在结构设计和振动控制方面的应用外，模态分析还被广泛应用于故障诊断和结构健康监测等领域。
通过对系统的模态进行分析，可以发现系统的异常振动模态和频率，从而判断系统的工作状态和健康状况。
这对于提前发现系统的故障和隐患，具有重要的意义。
总之，模态分析作为一种重要的振动分析方法，具有广泛的应用前景和理论价值。
通过对系统的振动特性进行分析，可以深入理解系统的动力学行为，为工程设计和故障诊断提供重要的依据。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和应用模态分析技术，推动其在工程领域的进一步发展和应用。
模态分析算法原理与实例
5.模态计算中接触设置
Training Manual
Advanced Contact & Fasteners
模态计算中可以定义不同结构之间的接触，但是因为模态计 算是一个纯线性分析，因此模态计算中接触定义与其他非线性 问题中定义中的接触不同，模态计算中接触的具体设置如下：
6.预应力模态分析
• 具有预应力结构的模态分析； • 同样的结构在不同的应力状态下表现出不同的动力特性。
Advanced Contact & Fasteners
i 2
其中： fi的单位为Hz，即转/秒。 如果模型的约束不足导致产生刚体运动，则总体刚度矩阵[K]为半正 定型，则会出现固有频率为0的情况。
3.模态计算的方法
在大多数情况下，建议用户选用 Program Controlled选项，程序会自 动优化进行选择算法。
Training Manual
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用户也可以设置输出应力和应变；
注意：模态计算中的应力和应变只是一个相对值，不是真实的应 力值；应力值并没有实际意义，但如果振型是相对于单位矩阵归 一的，则可以在给定的振型中比较不同点的应力，从而发现可能 存在的应力集中。
Training Manual
Advanced Contact & Fasteners
（1）Direct-Block Lanczos
-能够处理对称矩阵； -是一种功能强大的方法，当提取中型到大型模型（50000 ~ 100000 个 自由度）的大量振型时（40+），这种方法很有效； -经常应用在具有实体单元或壳单元的模型中； -可以很好地处理刚体振型； -需要较高的内存。
模态分析的基础理论
模态分析的基础理论模态分析是一种研究系统中不同模式的分布、生成和演化规律的方法。
在这个理论中，模态是指系统中不同状态或形式的存在形式，例如质量分数、温度、湿度等。
模态分析的基础理论包括概率论、统计学和模态分析技术等。
概率论是模态分析的基础之一、它研究随机事件的发生概率和规律。
在模态分析中，我们可以利用概率论来描述不同模态出现的概率分布，并通过分析系统中的模式，得出不同模态的生成规律。
通过概率论的方法，我们可以预测不同模态的变化趋势，从而指导系统的优化设计和运行管理。
统计学也是模态分析的基础理论之一、统计学研究如何收集、处理、分析和解释数据，通过对大量数据的统计分析，揭示数据背后的规律和趋势。
模态分析中，统计学的方法可以用于分析模态数据的分布情况，寻找模态之间的相关性和影响因素，并建立相应的模型来预测和优化系统的运行情况。
在模态分析技术方面，主要包括聚类分析、主成分分析和模态分析方法等。
聚类分析是一种将相似的对象分组的方法，通过对模态数据进行聚类分析，我们可以将相似的模态归为一类，从而描述系统中的不同模态分布情况。
主成分分析是一种降维技术，它可以将高维的模态数据降低到低维，并保留大部分信息。
这可以帮助我们更好地理解系统模态之间的关系和重要性。
模态分析方法包括有限元模态分析、频响函数法和模态参数识别等。
通过这些方法，我们可以对系统的模态进行分析，包括振型、频率和阻尼等，并找出模态的摄动源和分布规律。
模态分析的基础理论对于理解和优化系统具有重要意义。
通过对模态的分析和研究，我们可以了解系统的特性和不同模态之间的关系，从而指导系统的设计和运行。
同时，模态分析也可以帮助我们发现和解决系统中存在的问题，提高系统的稳定性和可靠性。
因此，深入理解和应用模态分析的基础理论对于各个领域的研究和实践具有重要价值。
第三讲 模态分析
对称边界条件只产生对 称的振型，所以将会丢 失一些振型。
完整模型
对称边界
反对称边界
中国科学技术大学CAD/CAM实验室 2005年7月
开始求解
Main Menu> Solution> Solve> Current LS
使用阻尼方法， 特征值和特征 向量都是复数 解。
中国科学技术大学CAD/CAM实验室 2005年7月
中国科学技术大学CAD/CAM实验室 2005年7月
模态分析的理论基础
特征值的平方根是 i ， 它是结构的自然 圆周频率（弧度/秒），并可得出自然频率 fi = i /2p。
特征向量 {u}i 表示振型， 即假定结构以频 率 fi振动时的形状。
模态提取 是用来描述特征值和特征向量计
算的术语。
中国科学技术大学CAD/CAM实验室 2005年7月
Change Title …
在工作区右下角显示标题 不能输入中文 Utility Menu> Plot> Replot
中国科学技术大学CAD/CAM实验室 2005年7月
设置单元类型 1
3
中国科学技术大学CAD/CAM实验室 2005年7月
设置单元选项
注意：不是所有的单元 都能设置单元选项！
中国科学技术大学CAD/CAM实验室 2005年7月
扩展模态的步骤
① 进入求解器
➢ Main Menu> Solution
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定义单元的实常数
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定义材料属性
中国科学技术大学CAD/CAM实验室 2005年7月
模态分析及意义介绍
六 模 态 分 析 总 结
五 模 态 举 例 CAE
四 模 态 试 验 举 例
三 模 态 问 题 举 例
二 整 车 模 态 分 布
一 模 态 基 础 理 论
车架前三阶模态振型：
五
图2-1 第一阶频率
模 态 举 例 CAE
图2-2 第二阶频率
图2-3 第三阶频率
五 模 态 举 例 CAE
阶次
CAE计算
一 模 态 基 础 理 论
1.3模态分析基本原理 模态分析有很多种方法，仅介绍频域法模态拟合的基本原理：
一 模 态 基 础 理 论
经离散化处理后，一个结构的动态特性可由N 阶矩阵微分方程描述：
经过拉普拉斯变换等处理，可得到频率响应函数矩阵H(ω)，该矩阵 中矩阵中第i行第j列的元素
ωr、ξr 、Φr分别称为第r 阶模态频率、模态阻尼比和模态振型 。
100
0.056
4.79
3.47
0.229
0.748
0.646
Mode3
26.684 Hz
0.013
0.056
100
0.012
0.11
5.384
0.002
0.003
Mode4
36.487 Hz
2.957
4.79
0.012
100
1.377
0.003
1.179
1.786
Mode5
51.299 Hz
1.022
３.2方向盘低速抖动问题 某样车5档缓加方向盘12点Z向振动colormap图
三
2700.00 2.01 4.90
模 态 问 题 举 例
Tacho1 (T1)
模态分析
Training Manual
对于阻尼矩阵，程序支持材料阻尼和总体阻尼控制，当需要考虑模型中不 同的材料阻尼时，用户可以在工程数据模块为不同的材料定义刚度阻尼系数和 质量阻尼系数
Advanced Contact & Fasteners
2、模态分析理论和术语
2.2 有阻尼模态分析理论：
用户可以在进入Model中定义结构的总体阻尼特性：
5、模态的提取方法
在大多数情况下，建议用户选用 Program Controlled选项，程序会自 动优化进行选择算法。
Training Manual
Advanced Contact & Fasteners
（1）Direct-Block Lanczos
-能够处理对称矩阵； -是一种功能强大的方法，当提取中型到大型模型（50000 ~ 100000 个 自由度）的大量振型时（40+），这种方法很有效； -经常应用在具有实体单元或壳单元的模型中； -可以很好地处理刚体振型； -需要较高的内存。
Training Manual
Advanced Contact & Fasteners
-程序默认不考虑阻尼，如果需要考虑则进行激活；
-然后选择对应的模态计算方法，建议使用程序控制即可。
7、模态计算设置
7.3 输出控制 默认情况下，程序只输出模态振型和固有频率；
Training Manual
Advanced Contact & Fasteners
Training Manual
Advanced Contact & Fasteners
2、模态分析理论和术语
2.2 有阻尼模态分析理论：
考虑阻尼的模态计算输出的特征值是复数；
单自由度模态分析理论
要点二
非线性模态分析的研 究
目前，大多数模态分析研究都集中在 线性系统上。然而，在许多工程应用 中，非线性因素对结构振动的影响是 不可忽视的。因此，未来可以进一步 研究非线性模态分析方法，以更准确 地描述这些非线性效应。
要点三
智能材料和结构的应 用
随着智能材料和结构的发展，它们在 许多领域的应用越来越广泛。这些材 料和结构具有独特的动态特性，需要 新的模态分析方法来描述。因此，未 来的研究可以探索适用于智能材料和 结构的模态分析方法。
背景
随着工程结构的日益复杂化，模态分析在结构健康监测、振 动控制、地震工程等领域的应用越来越广泛。单自由度模态 分析作为模态分析的基础，为多自由度模态分析提供了理论 支持。
模态分析的定义
模态
模态是结构的固有振动特性，包 括频率、阻尼比和振型。
模态分析
模态分析是通过试验或数值方法 识别结构的模态参数的过程。
模态振型之间具有正交性， 即不同模态的振动不会相 互干扰。
选择性
在实际工程中，可以根据需要 选择特定的模态进行分析，以 简化计算和提高分析效率。
Part
03
单自由度系统的01
激振器激励
STEP 02
自由衰减振动
通过激振器对系统施加激励 ，使其产生振动响应，然后 采集响应信号进行分析。
04
单自由度系统的模态特性分析
模态正交性分析
模态正交性是指在模态空间中，不同的模态之间相互独立， 没有耦合关系。在单自由度系统中，模态正交性表现为各模 态振型函数的正交性，即它们的内积为零。
模态正交性的意义在于，它使得各模态之间互不干扰，各自 独立地响应外部激励，从而使得系统的响应可以通过叠加各 模态的响应得到。
机械系统动力学特性的模态分析
机械系统动力学特性的模态分析机械系统动力学是研究物体在受到外力作用下的运动规律和机械系统动态特性的学科。
其中，模态分析是一种重要的方法，用于研究机械系统的固有振动特性。
本文将介绍机械系统动力学特性的模态分析方法及其应用。
一、模态分析的基本概念模态分析是研究机械系统振动模态的一种方法。
模态是指机械系统在自由振动状态下的振动形式和频率。
模态分析通过分析机械系统的初始条件、约束条件和外力等因素，确定机械系统的固有频率和振型，并进一步得到机械系统的振荡特性。
二、模态分析的基本步骤模态分析一般包括以下几个步骤：1. 系统建模：根据实际情况，将机械系统抽象为数学模型，包括质量、刚度、阻尼等参数。
2. 求解特征值问题：通过求解系统的特征值问题，得到系统的固有频率和振型。
3. 模态验算：将得到的固有频率和振型代入原始方程，验证其是否满足振动方程。
4. 模态分析：通过对系统的振动模态进行进一步分析，得到系统的动态响应和振动特性。
三、模态分析的应用模态分析在机械工程领域有广泛的应用。
主要包括以下几个方面：1. 结构优化设计：通过模态分析，可以评估机械系统的固有频率和振型，判断系统是否存在共振现象或其他异常振动情况，为结构设计提供依据。
2. 动力学特性分析：通过模态分析，可以了解机械系统的振动特性，包括固有频率、阻尼特性和模态质量等指标，为系统的动力学性能评估和优化提供依据。
3. 故障诊断与预测：模态分析可以用于机械系统的故障诊断和预测。
通过对机械系统振动模态的变化进行监测和分析，可以判断系统是否存在故障，并提前发现潜在的故障。
4. 振动控制技术：通过模态分析，可以了解机械系统振动的特征，并采取相应的振动控制措施。
比如调节系统的阻尼、改变系统的刚度等，来减小系统的振动幅度，提高系统的稳定性和工作性能。
四、模态分析存在的问题与挑战模态分析作为一种成熟的技术方法，仍然面临一些问题和挑战。
例如，模态分析需要对机械系统进行精确的建模，包括质量、刚度和阻尼等参数的准确度和全面性。
模态分析与实验 第一章
jωk t
+ c−k e
−jωk t
=
k=−∞
ck ejkω0 t
(1-6)
在式 (1-1) 中， 若令 Ak =
2 则 a2 k + bk , A0 = a0 ， ∞
xT (t) = A0 +
k=1
Ak sin(ωk t + θk )
(1-7)
这里 Ak 反映了频率为 kω 的谐波在 xT (t) 中所占的份额， 称为振幅。 在复指数形式中， 第 k 次谐波为 ck ejωk t + c−k e−jωk t 1 1 其中， ck = (ak − jbk )， c−k = (ak + jbk )， 则 2 2 |ck | = |c−k | = 即 Ak = 2|ck |, k = 0, 1, 2, · · · 。 –3– 1 2
2F0 =− T bk 2 = T 2 =− T 2F0 = T =
T 2
0
2F0 cos ωk tdt + T
T 2
0 0 −T 2
cos ωk tdt = 0 2 F0 sin ωk tdt + T
T 2 T 2
−T 2
2 F (t) sin ωk tdt = − T
0
0
F0 sin ωk tdt
= a0 +
k=1 ∞
= a0 +
k=1
1 1 令 c0 = a0 ， ck = (ak − jbk )， c−k = (ak + jbk )， 则 2 2 其中 ck = 1 T
T /2 −T /2
xT (t)e−jkω0 t dt, c−k =
1 T
模态分析基本理论
+ +
(C1 (C2
+ +
C2 C3
)x&1(t) - C2x&2 (t) )x&2 (t) - C2x&1(t)
+ +
(K1 (K2
+ K2 )x1(t) - K2x2 (t) + K3 )x2 (t) - K2x1(t)
= =
f1 (t) f2 (t)
第三节 多自由度振动系统举例
一 系统方程
写出矩阵形式：
\
eλ1 t
\
e∧t
\
=
O
0
eλN t
eλ*1 t
0
O
e
λ*N
t
第四节 多自由度系统相关模态概念
一 无阻尼系统
阻尼矩阵[C]为零矩阵的系统
系统阻尼因子σ r = 0 ，全为纯虚数极点 λ1 = jω,L , λ*N = − jωN
系统方程：
P2 + Pα Pβ+1
[M]
+
[K
]{x}
=
{0}
比例阻尼系统频响函数
\
或 [H( jω)] = [ψ]
[ ] ∑ { } { } H(jω)
=
N
j2ωr Qr
ψ
r
ψ
T
r
r =1
(σ
2
r
+
ω
2
r
-
ω
2
)
-
2σ
r
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H1, 2 ( ) 1 H ( ) max 0.707 H ( ) max 2
半功率的概念是针对功率（而非幅值） 而言，在半功率点处，虚部正好为其最 大值的一半，但幅值却为最大幅值的有 效值。
Nyquist图－频响函数矢端轨迹图 •结构阻尼系统 Nyquist圆（导纳圆）
1 1 [ H R ( )] 2 ( H I ( )) 2 2kg 2kg
• 实频图（结构阻尼）
1 1 2 H ( ) k (1 2 ) 2 g 2
R
（粘滞阻尼）
1 1 2 H ( ) k (1 2 ) 2 (2 ) 2
R
– 两个极值点
1, 2 1 g 1 g
试验模态分析的典型应用
a. 获得结构的固有频率,可避免共振现象的发生
当外界激励力的频率等于振动系统的固有频率时，系统发生共振 现象。此时系统最大限度地从外界吸收能量，导致结构过大有害振动。 结构设计人员要设法使结构不工作在固有频率环境中。 相反，共振现象并非总是有害的：振动筛、粉末碾磨机、打夯机 和灭虫声发射装置等等就是共振现象的利用。结构设计人员此时要设 法使这种器械工作在固有频率环境中，可以获得最大能量利用率。
b. 为了应用模态叠加法求结构响应，确定动强度, 和疲劳寿命
分析告诉我们任何线性结构在已知外激励作用下他的响应是可以 通过每个模态的响应迭加而成的。所以模态分析另一主要的应用是建 立结构动态响应的预测模型，为结构的动强度设计及疲劳寿命的估计 服务。
c. 载荷(外激励)识别
由激励和模态参数预测响应的问题称为动力学正问题，反之由响 应和模态参数求激励称为反问题。原则上只要全部的各阶模态参数都 求得, 由响应就可以求出外激励（称为载荷识别）。
H v ( s)
v( s ) f ( s)
H a ( s)
a( s) f (s)
• 位移、速度和加速度频率响应函数
H d ( ) x( ) f ( )
H v ( )
v( ) f ( )
H a ( )
a( ) f ( )
• 三者之间的关系
Ha () jHv () ( j)2 Hd () 2 Hd ()
半功率带宽反映阻尼大小 阻尼越大，半功率带宽 越大，反之亦然
• 虚频图 g H I ( ) • k[(1 2 ) 2 g 2 ] （结构阻尼） 2 • H I ( ) （粘性阻尼）
k[(1 2 ) 2 (2 ) 2 ]
• 以结构阻尼为例： – 系统共振时虚部达到最大值 – 系统共振时实部为零 – 半功率点处的值
第一章模态分析理论基础
姜节胜 西北工业大学 振动工程研究所
0/26
模态分析理论基础是20世纪30年代机械阻抗 与导纳的概念上发展起来。吸取了振动理论、 信号分析、数据处理、数理统计、自动控制理 论的有关营养，形成一套独特的理论。 模态分析的最终目标是识别出系统的模态 参数，为结构系统的振动分析、振动故障诊断 和预报、结构动力特性的优化设计提供依据。
x X 1 x2
f F 1 f2
• 傅氏变换
(K 2M)X( ) F( ) Z( ) (K 2M)
• 频响函数矩阵
H( ) Z1 ( ) (K 2M)1
gk
..
g
— 为结构阻尼比或结构损耗因子
• 运动方程及拉氏变换
m x kx jx f
[ms2 (1 jg )k ]x(s) f (s)
•传递函数和频率响应函数
1 H ( s) 2 m s (1 jg )k
（1＋jg）k — 复刚度
H ( )
1 m 2 (1 jg )k
相应输出傅氏变换 相应频响函数 单位脉冲激励 频响函数
x( ) x(t )e jt dt
H ( ) x( ) / f ( )
f (t ) 0
H () h(t )e jt dt
• 随机激励
– 输入自相关函数 – 输入自功率谱密度
有限元分析软件(如ANSYS、NASTRAN、SAP、MAC等)在结构设 计中被普遍采用,但在设计中,由于计算模型和实际
结构的误差,而且受到边界条件很难准确 确定的影响,特别是结构的形状和动态特性很复杂时，有
限元简化模型和计算的误差较大。通过对结构进行实验模态分析， 可以正确确定其动态特性，并利用动态实验结果修改有限元模型， 从而保证了在结构响应、寿命预计、可靠性分析、振动与噪声控 制分析与预估以及优化设计时获得有效而正确的结果。
单自由度系统频响函数分析 粘性阻尼系统
•阻尼力（与振动速度成正比）：
f d cx
•强迫振动方程及其解
m x c x kx f
•解的形式（s为复数）及拉氏 变换： x Xest (ms2 cs k ) x(s) f (s)
..
.
自由振动
m x c x kx 0
阻尼愈大，在固有频率 附近相位曲线的陡度 越小
0 时曲线始点约为1/k，为弹簧的导纳线；
低频时外力主要由弹簧力来平衡； 0 , 1 时，产生共振，幅值为 1 / 2k 此时惯性力与弹簧力平衡，激励力与阻尼力平衡 0 时幅值下降，最后趋向于渐近线 1 / 2 m 极值为0，高频时系统激励力主要由惯性力来平衡
e. 为结构动力学优化设计提供目标函数或约束条件
动力学设计，即对主要承受动载荷而动特性又至关重要的结构， 以动态特性指标作为设计准则，对结构进行优化设计。它既可在常规静 力设计的结构上，运用优化技术，对结构的元件进行结构动力修改；也 可从满足结构动态性能指标出发，综合考虑其它因素来确定结构的形状， 乃至结构的拓扑（布局设计、开孔、增删元件）。动力学优化设计就是 在结构总体设计阶段就应对结构的模态参数提出要求，避免事后修补影 响全局。
• 关系回顾
Ha ( ) jHv ( ) 2 Hd ( )
• 幅频图
实频图与虚频图
•Nyquist图
• 不同激励下频响函数的表达式
– 要点 • 频响函数反映系统输入输出之间的关系 • 表示系统的固有特性 • 线性范围内它与激励的型式与大小无关 • 在不同类型激励力的作用下其表达形式常不相同
n 2n / T
响应的傅氏展开
x(t ) x( n )e jnt ,
n 1 _
n 2n / T
频响函数（定义为各频率点上的值） 均包含幅值与相位
H (n ) x () / f ()
两个量
•瞬态激励 一般瞬态输入傅氏变换 f ( ) f (t )e jt dt
• 动刚度（位移阻抗） Z (s) ms2 cs k 1 H ( s ) • 动柔度（位移导纳） 2
ms cs k
• 质量阻抗、阻尼阻抗、刚度阻抗（位移、速度、加速度） • 质量导纳、阻尼导纳、刚度导纳（位移、速度、加速度）
左至右
阻抗除
j
， 导纳乘 j
•单自由度频响函数的特性曲线
模态分析定义为：将线性时不变系统振动微分方程组 中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组 以模态坐标及模态参数描述的独立方程，坐标变换的变换 矩阵为振型矩阵，其每列即为各阶振型。
解析模态分析可用有限元计算实现，而试验模态分析则是对结构 进行可测可控的动力学激励，由激振力和响应的信号求得系统的频响 函数矩阵，再在频域或转到时域采用多种识别方法求出模态参数，得 到结构固有的动态特性，这些特性包括固有频率、振型和阻尼比等。
Bode图(幅频图和相频图) •幅频图:频响函数的幅值与频率的关 系
H ( )
H
R
( ) H ( )
I
2
2
k 1 2 2
2
1
2
•相频图:相位与频率的 关系
H I ( ) 2 H arctan R arctan H ( ) (1 2 )
–用实部和虚部表示 1 1 2 g H ( ) j 2 2 2 k (1 ) g (1 2 ) 2 g 2 与粘性阻尼系统相比频响函数形式相同 g 和2 相互置换即可得各自表达式
位移、速度和加速度传递函数
H d (s) x( s) f ( s)
H ( ) Gxf ( ) / G ff ( )
• 多自由度系统的频响函数分析
– 两类系统
• 约束系统 • 自由系统
– 约束系统
• 2自由度运动方程（无阻尼）
KX F MX
m1 0 M 0 m2
k1 k K 1 k ( k k ) 1 2 1
– 简谐激励 • 激励力 • 响应
f (t ) Fe j (t )
x(t ) Xe j (t )
X j ( ) e F
• 位移频响函数 H d
• 周期激励
非正弦周期力，如方波、锯齿波，周 期为T
f (t ) f ( n )e jnt ,
n 1
1 2 1 (1 g ) 1 H1R ( ) ,2 k{[1 (1 )]2 g 2 } 2kg
1, 2 1 2 1
H1R , 2 ( ) 1 4k (1 )
– 半功率带宽
g 2 1 2
ms cs k 0
2
..
.
s1, 2 0 j 0 1 2
实部：衰减因子，反映系统阻尼 虚部：有阻பைடு நூலகம்系统的固有频率
阻尼比 范围（0－1） 内为欠阻尼 无阻尼固有频率
半功率的概念是针对功率（而非幅值） 而言，在半功率点处，虚部正好为其最 大值的一半，但幅值却为最大幅值的有 效值。
Nyquist图－频响函数矢端轨迹图 •结构阻尼系统 Nyquist圆（导纳圆）
1 1 [ H R ( )] 2 ( H I ( )) 2 2kg 2kg
• 实频图（结构阻尼）
1 1 2 H ( ) k (1 2 ) 2 g 2
R
（粘滞阻尼）
1 1 2 H ( ) k (1 2 ) 2 (2 ) 2
R
– 两个极值点
1, 2 1 g 1 g
试验模态分析的典型应用
a. 获得结构的固有频率,可避免共振现象的发生
当外界激励力的频率等于振动系统的固有频率时，系统发生共振 现象。此时系统最大限度地从外界吸收能量，导致结构过大有害振动。 结构设计人员要设法使结构不工作在固有频率环境中。 相反，共振现象并非总是有害的：振动筛、粉末碾磨机、打夯机 和灭虫声发射装置等等就是共振现象的利用。结构设计人员此时要设 法使这种器械工作在固有频率环境中，可以获得最大能量利用率。
b. 为了应用模态叠加法求结构响应，确定动强度, 和疲劳寿命
分析告诉我们任何线性结构在已知外激励作用下他的响应是可以 通过每个模态的响应迭加而成的。所以模态分析另一主要的应用是建 立结构动态响应的预测模型，为结构的动强度设计及疲劳寿命的估计 服务。
c. 载荷(外激励)识别
由激励和模态参数预测响应的问题称为动力学正问题，反之由响 应和模态参数求激励称为反问题。原则上只要全部的各阶模态参数都 求得, 由响应就可以求出外激励（称为载荷识别）。
H v ( s)
v( s ) f ( s)
H a ( s)
a( s) f (s)
• 位移、速度和加速度频率响应函数
H d ( ) x( ) f ( )
H v ( )
v( ) f ( )
H a ( )
a( ) f ( )
• 三者之间的关系
Ha () jHv () ( j)2 Hd () 2 Hd ()
半功率带宽反映阻尼大小 阻尼越大，半功率带宽 越大，反之亦然
• 虚频图 g H I ( ) • k[(1 2 ) 2 g 2 ] （结构阻尼） 2 • H I ( ) （粘性阻尼）
k[(1 2 ) 2 (2 ) 2 ]
• 以结构阻尼为例： – 系统共振时虚部达到最大值 – 系统共振时实部为零 – 半功率点处的值
第一章模态分析理论基础
姜节胜 西北工业大学 振动工程研究所
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模态分析理论基础是20世纪30年代机械阻抗 与导纳的概念上发展起来。吸取了振动理论、 信号分析、数据处理、数理统计、自动控制理 论的有关营养，形成一套独特的理论。 模态分析的最终目标是识别出系统的模态 参数，为结构系统的振动分析、振动故障诊断 和预报、结构动力特性的优化设计提供依据。
x X 1 x2
f F 1 f2
• 傅氏变换
(K 2M)X( ) F( ) Z( ) (K 2M)
• 频响函数矩阵
H( ) Z1 ( ) (K 2M)1
gk
..
g
— 为结构阻尼比或结构损耗因子
• 运动方程及拉氏变换
m x kx jx f
[ms2 (1 jg )k ]x(s) f (s)
•传递函数和频率响应函数
1 H ( s) 2 m s (1 jg )k
（1＋jg）k — 复刚度
H ( )
1 m 2 (1 jg )k
相应输出傅氏变换 相应频响函数 单位脉冲激励 频响函数
x( ) x(t )e jt dt
H ( ) x( ) / f ( )
f (t ) 0
H () h(t )e jt dt
• 随机激励
– 输入自相关函数 – 输入自功率谱密度
有限元分析软件(如ANSYS、NASTRAN、SAP、MAC等)在结构设 计中被普遍采用,但在设计中,由于计算模型和实际
结构的误差,而且受到边界条件很难准确 确定的影响,特别是结构的形状和动态特性很复杂时，有
限元简化模型和计算的误差较大。通过对结构进行实验模态分析， 可以正确确定其动态特性，并利用动态实验结果修改有限元模型， 从而保证了在结构响应、寿命预计、可靠性分析、振动与噪声控 制分析与预估以及优化设计时获得有效而正确的结果。
单自由度系统频响函数分析 粘性阻尼系统
•阻尼力（与振动速度成正比）：
f d cx
•强迫振动方程及其解
m x c x kx f
•解的形式（s为复数）及拉氏 变换： x Xest (ms2 cs k ) x(s) f (s)
..
.
自由振动
m x c x kx 0
阻尼愈大，在固有频率 附近相位曲线的陡度 越小
0 时曲线始点约为1/k，为弹簧的导纳线；
低频时外力主要由弹簧力来平衡； 0 , 1 时，产生共振，幅值为 1 / 2k 此时惯性力与弹簧力平衡，激励力与阻尼力平衡 0 时幅值下降，最后趋向于渐近线 1 / 2 m 极值为0，高频时系统激励力主要由惯性力来平衡
e. 为结构动力学优化设计提供目标函数或约束条件
动力学设计，即对主要承受动载荷而动特性又至关重要的结构， 以动态特性指标作为设计准则，对结构进行优化设计。它既可在常规静 力设计的结构上，运用优化技术，对结构的元件进行结构动力修改；也 可从满足结构动态性能指标出发，综合考虑其它因素来确定结构的形状， 乃至结构的拓扑（布局设计、开孔、增删元件）。动力学优化设计就是 在结构总体设计阶段就应对结构的模态参数提出要求，避免事后修补影 响全局。
• 关系回顾
Ha ( ) jHv ( ) 2 Hd ( )
• 幅频图
实频图与虚频图
•Nyquist图
• 不同激励下频响函数的表达式
– 要点 • 频响函数反映系统输入输出之间的关系 • 表示系统的固有特性 • 线性范围内它与激励的型式与大小无关 • 在不同类型激励力的作用下其表达形式常不相同
n 2n / T
响应的傅氏展开
x(t ) x( n )e jnt ,
n 1 _
n 2n / T
频响函数（定义为各频率点上的值） 均包含幅值与相位
H (n ) x () / f ()
两个量
•瞬态激励 一般瞬态输入傅氏变换 f ( ) f (t )e jt dt
• 动刚度（位移阻抗） Z (s) ms2 cs k 1 H ( s ) • 动柔度（位移导纳） 2
ms cs k
• 质量阻抗、阻尼阻抗、刚度阻抗（位移、速度、加速度） • 质量导纳、阻尼导纳、刚度导纳（位移、速度、加速度）
左至右
阻抗除
j
， 导纳乘 j
•单自由度频响函数的特性曲线
模态分析定义为：将线性时不变系统振动微分方程组 中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组 以模态坐标及模态参数描述的独立方程，坐标变换的变换 矩阵为振型矩阵，其每列即为各阶振型。
解析模态分析可用有限元计算实现，而试验模态分析则是对结构 进行可测可控的动力学激励，由激振力和响应的信号求得系统的频响 函数矩阵，再在频域或转到时域采用多种识别方法求出模态参数，得 到结构固有的动态特性，这些特性包括固有频率、振型和阻尼比等。
Bode图(幅频图和相频图) •幅频图:频响函数的幅值与频率的关 系
H ( )
H
R
( ) H ( )
I
2
2
k 1 2 2
2
1
2
•相频图:相位与频率的 关系
H I ( ) 2 H arctan R arctan H ( ) (1 2 )
–用实部和虚部表示 1 1 2 g H ( ) j 2 2 2 k (1 ) g (1 2 ) 2 g 2 与粘性阻尼系统相比频响函数形式相同 g 和2 相互置换即可得各自表达式
位移、速度和加速度传递函数
H d (s) x( s) f ( s)
H ( ) Gxf ( ) / G ff ( )
• 多自由度系统的频响函数分析
– 两类系统
• 约束系统 • 自由系统
– 约束系统
• 2自由度运动方程（无阻尼）
KX F MX
m1 0 M 0 m2
k1 k K 1 k ( k k ) 1 2 1
– 简谐激励 • 激励力 • 响应
f (t ) Fe j (t )
x(t ) Xe j (t )
X j ( ) e F
• 位移频响函数 H d
• 周期激励
非正弦周期力，如方波、锯齿波，周 期为T
f (t ) f ( n )e jnt ,
n 1
1 2 1 (1 g ) 1 H1R ( ) ,2 k{[1 (1 )]2 g 2 } 2kg
1, 2 1 2 1
H1R , 2 ( ) 1 4k (1 )
– 半功率带宽
g 2 1 2
ms cs k 0
2
..
.
s1, 2 0 j 0 1 2
实部：衰减因子，反映系统阻尼 虚部：有阻பைடு நூலகம்系统的固有频率
阻尼比 范围（0－1） 内为欠阻尼 无阻尼固有频率