为什么歌德尔的不完全性定理与理解人的心智相关

哥德尔不完备定理现实意义我呀，对这哥德尔不完备定理有自个儿的一些想法。

这定理乍一听，玄乎得很，就像那深山里的老神仙说的话，让人摸不着头脑。

我就想着我认识的一个老学究，戴着个厚镜片的眼镜，那镜片厚得就像酒瓶底儿似的。

他整天皱着个眉头，在那小书房里研究这些高深的东西。

我有次去他那，瞅见他那桌上全是书，堆得跟小山似的，屋里弥漫着一股陈旧纸张的味儿。

这哥德尔不完备定理呢，我觉着它在现实里就像个捣乱的小鬼。

你看啊，咱们老想着把啥事儿都弄得完完整整、明明白白的，就像把一个拼图给它拼得严丝合缝的。

可这定理告诉咱们，有些事儿啊，你就是拼不全。

比如说咱们这个社会的规则吧。

有些人就想弄出一套完美无缺的规则，让人人都照着做，世界就和平了，美好了。

可实际上呢？这就跟这定理似的，不管你咋弄，总会有漏洞。

就像那篱笆墙，不管你咋精心编织，总会有个小缝儿，能让一些东西钻出去或者钻进来。

我和老学究聊天的时候，我就跟他说：“你说这定理是不是就故意跟咱过不去啊？”老学究推了推他的眼镜，眼睛瞪得老大，跟我说：“你这是啥话，这定理是在揭示一个深刻的真理呢。

”他那表情严肃得就像要上战场似的。

再看看科学研究这一块儿。

咱都想着用一个大理论把所有的现象都给解释了，就像用一个大口袋把所有的东西都装进去。

可是这哥德尔不完备定理就出来捣乱了，它告诉咱，有些东西是你这个口袋装不下的。

就好比你研究宇宙，你以为你把那些个星球的运动规律啥的都搞清楚了，可突然就会冒出来一些新的现象，让你之前的理论站不住脚。

我有时候就挺生气的，这定理就像个调皮的孩子，把咱的美梦给搅和了。

咱就想舒舒服服地在一个完整的世界里生活，啥都清清楚楚的。

可它偏不，它让咱们知道，这个世界就是有缺陷的，有些事儿就是弄不明白。

不过呢，这也有点好处。

它让咱知道别太较真儿了。

你看那些个钻牛角尖的人，整天想着把啥都弄得完美无缺的，到最后把自个儿弄得疲惫不堪的。

这定理就像在旁边敲着小鼓提醒咱：“嘿，别太执着啦，有些事儿就是这样，接受就好啦。

哥德尔不完备性定理
“哥德尔不完备性定理”，一则传说中最重要的数学命题，深深影响着日常生活。

哥德尔于1931年提出了这一行之有效的重要的定理，认为在不可解的命题下，总是无法证明其真假，即没有任何逻辑证据来证明所陈述的定理。

因此，任何不可解的命题永远无法给出完全正确的答案，无论你如何猜，都有可能出错，无论考虑多少证据，结果也一定是不对的，或者没有正确的定义。

哥德尔不完备性定理有着深远的意义，它指出了人类智慧的普遍局限性，这是
也是人类未来研究方向的重要指引。

它为现代哲学研究奠定了基础，从而推动了很多学者和思想家来展开深入的研究，以期发展出跨越时空的全新认知。

在日常生活中，哥德尔不完备性定理也可以用于鼓励我们勇于面对挑战，作出
正确的选择。

无论是制定并实施政策，抑或是应对复杂的情况，哥德尔不完备性定理都可以作为人们的参考，提醒我们注重解决问题的思路，而不是情绪化地猜测结果，以此克服逆境。

哥德尔不完备性定理，一条鲜明的信息，让我们深深认识到，只有凭借智慧和
学习，才能改变未来，它可以让我们以积极的态度，去面对现实、勇敢面对挑战，做出积极的选择。

第15卷第6期 中南大学学报(社会科学版) V ol.15 No6 2009年12月 J. CENT. SOUTH UNIV . (SOCIAL SCIENCE) Dec 2009哥德尔不完全性定理和“心灵与机器”的关系问题刘大为，孙明湘(华南师范大学公共管理学院，广东广州，510006；中南大学哲学系，湖南长沙，410083)摘要：一些文献在阐述哥德尔不完全性定理的证明过程时，对一些技术细节没有做出明确说明，容易使人误解，因此需要对证明过程中ω一致性、系统外证明、元语句可表达性等作出强调。

通过系统外证明的启示，分析了由哥德尔定理引起的有关心灵与机器(计算机)关系的争论，得出心灵优于所有目前原理计算机的论点。

关键词：哥德尔不完全性定理；一致性；可证；心灵与机器关系中图分类号：B81-05 文献标识码：A 文章编号：1672-3104(2009)05−0733−061931年1月，库尔特·哥德尔发表了一篇著名的论文《论<数学原理>及有关系统中的形式不可判定命题I 》。

其中他证明了以《数学原理》简称PA 为代表的每个丰富可靠的数学形式系统中，存在着为真且不可证的命题(哥德尔第一定理)；而且PA 系统的一致性在该系统内是不可证明的(哥德尔第二定理)。

哥德尔的两个结果深刻改变了逻辑学与数学的面貌，尤其影响了第三次数学危机以来关于数学基础的争论与研究，从而开创了现代逻辑与数学发展的新时代。

希尔伯特曾计划了以元数学为工具来证明数学系统一致性的方案，而且相信它能成功，但哥德尔PA 一致性在内部不可证明的结果给希尔伯特的形式主义数学哲学纲领以沉重打击，使他期望以有穷方法来证明算术系统一致性的方案破产。

哥德尔不完全性定理真正区分了真与可证，得出了如果一个形式理论足以容纳数论并且是一致的，则它是不完全的，即存在一个数论语句是真的，又是不可证明的。

而以前的数学家们，原本期望任何一个真命题都会在某个形式化公理系统内确立起来。

哥德尔不完备定理证明|哥德尔定理及其哲学义蕴论文1. 哥德尔其人假如让人们列举出20世纪影响人类思想的十大伟人，恐怕爱因斯坦（Albert Einstein）、图灵（Alant Turing）、哥德尔（Kurt Gdel）和凯恩斯（JohnKeynes）应榜上有名，事实上，这四位也恰是2002年美国《时代周刊》上列出的“20世纪震撼人类思想界的四大伟人”，足见这四位大家思想之重要而深远。

然而，对于物理学家爱因斯坦、理论计算机之父图灵，以及经济学家凯恩斯的工作，一般人总还略知一二，但大多数人对作为数学家和逻辑学家的哥德尔的思想就知之不祥，更知之不确了。

库尔特哥德尔1906年出生在摩拉维亚的布尔诺城，是一个生活条件属中产阶级的奥地利日尔曼裔家庭的第二个儿子，父亲是一家纺织厂的合伙经营人，母亲是受过良好教育的家庭妇女。

1924年哥德尔入维也纳大学学习，最初主修物理和数学，后来在维也纳小组的激励下开始学习逻辑。

1930年获哲学博士学位，1933年获维也纳大学执教资格。

1940年迁居美国任普林斯顿研究院研究员，1948年加入美国国籍，1976年退休，1978年由于精神紊乱死于拒绝进食造成的营养枯竭。

哥德尔的一生可以说是倾力献身基础理论研究的一生，他的学术贡献基本上是在数学、逻辑和哲学领域。

1929-1938年间哥德尔作出数理逻辑领域三大贡献：证明一阶谓词演算的完全性；证明算术形式系统的不完全性；证明连续统假设和集合论公理的相对一致性，这些结果不仅使逻辑学发生了革命，而且对数学、哲学、计算机和认知科学都有非常重大的影响。

特别是电子计算机诞生之后，哥德尔的不完全性定理的深刻性更加受到学界的关注。

只是稍稍出乎人们意料的是，作出这几个划时代结果后，自1940年以后，哥德尔除了继续思考一些集合论问题，有5年时间热中相对论并得到一个受爱因斯坦赞赏的结果外，大部分时间倾注了哲学问题的研究。

他一生著述很少，极少公开演讲，只出版过一部著作，发表文字不及300页，从未构造过任何完整的理论体系，甚至没有一个真正意义上自己的学生，他的大部分思想记录在手稿、私人通信和谈话记录中。

哥德尔不完备定理通俗解释摘要：一、哥德尔不完备定理的基本概念二、哥德尔不完备定理的通俗解释1.自然数系统内自洽性与完备性不可兼得2.举例说明：系统的矛盾与悖论3.数学与逻辑系统的局限性正文：**哥德尔不完备定理的通俗解释****一、哥德尔不完备定理的基本概念**哥德尔不完备定理，是奥地利数学家哥德尔于1938年提出的一个震惊数学界和哲学界的定理。

这个定理的核心观点是：在任何强公理化的形式系统中，都存在一些既无法被证明为真，也无法被证明为假的陈述。

换句话说，就是存在一些语句，无论我们如何努力，都无法在系统内证明其正确性。

**二、哥德尔不完备定理的通俗解释****1.自然数系统内自洽性与完备性不可兼得**通俗地讲，哥德尔不完备定理告诉我们，一个系统要么选择自洽性，要么选择完备性，但不能同时拥有两者。

自洽性是指系统内的所有陈述都可以在系统内找到证明；完备性则是指系统内的所有真陈述都可以找到证明。

举例来说，如果我们允许在数学系统中讨论自身的性质，那么我们就会遇到一些无法证明的陈述，这就放弃了完备性。

反之，如果我们坚持完备性，那么就无法避免矛盾和悖论的出现，这就放弃了自洽性。

**2.举例说明：系统的矛盾与悖论**以经典的“说谎者悖论”为例，这是一个自指命题，即一个人说：“我在说谎。

”如果这个命题是真的，那么这个人在说谎，所以陈述不是真的；但如果这个命题是假的，那么这个人实际上是在说实话，所以陈述又是真的。

这样的悖论表明，在系统中存在一些既不能证明为真，也不能证明为假的陈述。

**3.数学与逻辑系统的局限性**哥德尔不完备定理揭示了数学和逻辑系统内部的局限性。

它告诉我们，无论我们如何努力，总会有一些陈述句无法在系统内被证明。

这个定理对于我们理解数学和逻辑的本质，以及认识人类认知的局限性具有重要意义。

在理解哥德尔不完备定理时，我们需要意识到，这种局限性并非系统的缺陷，而是系统的一种本质特征。

正如哥德尔本人所说：“我的定理并不是要证明数学是无效的，而是要证明数学是有限的。

伟大的哥德尔不完备定律及其哲学意义作为20世纪数学理论最重要的成果，哥德尔不完备性定理被誉为数学和逻辑发展史中的里程碑。

哥德尔定理的提出不仅具有数学意义，而且蕴含了深刻的哲学意义。

历史上从来没有哪一个数学定理能够如它一样，对人类文明产生如此广泛而深远的影响。

随着科学技术的进步，哥德尔思想的深刻性和丰富性，必将在人类理性的发展过程中不断突显出来，并不断为人的思维所理解。

一哥德尔不完备性定理是数理逻辑学中论述形式公理化系统局限性的两条重要定理，它由伟大的奥地利数学家哥德尔于1931年提出。

哥德尔写道“众所周知，数学朝着更为精确方向的发展，已经导致大部分数学分支的形式化，以致人们只用少数几个机械规则就能证明任何定理。

因此人们可能猜测这些公理和推理规则足以决定这些形式系统能加以表达的任何数学问题。

下面将证明情况并非如此。

”哥德尔第一条定理指出，若形式系统是相容的，则此系统必定是不完备的。

也就是说在系统中的一个有意义的命题，既不能用系统中的公理和推理规则加以证明，也不能用系统中的公理和推理规则加以否证，即成为不可判定的命题。

那么有什么命题是不可判定的呢?哥德尔第二条定理说，上述形式系统的相容性就是不可判定的。

以前数学家总以为：如果某个命题是正确的，一定可以用数学演绎方法证明其为真；如果某个数学命题是错误的，也定又可以用数学演绎方法证明其为假。

正如法国数学家庞加菜所说'在数学中，当我拟定了作为约定的定义和公设以后，一个定理就只能为其或为假。

但是，要回答这个定理是否为真，就不再需要我们将要求助的感觉证据，而要求助于推理。

'哥德尔不完备性定理的建立举粉碎了数学家两千年来的信念。

它告诉找们，真与可证是两个概念，'可证性'涉及到个具有能行性的较为机械的思维过程，而'真理性'则涉及到一个能动的超穷的思维过程。

因此，可证的一定是真的，但真的不一定可证。

从这个意义上说，悖论的阴影将永远伴随着我们。

哥德尔不完全性定理的哲学意义摘要：哥德尔不完全性定理打击了希尔伯特形式主义数学基础方案或元数学纲领，是数理逻辑与公理化方法历史上的亮点，哲学意义深远超脱，意蕴丰厚。

关键词：哥德尔；不完全性；一致性；形式系统；数学哲学一、数学家与哲学家哥德尔的逻辑人生库尔特·哥德尔（Kurt Godel），1906年生于捷克斯洛伐克的布尔诺，当时布尔诺是奥匈帝国的摩拉维亚的首府，因此在哥德尔的出生地洋溢着浓郁的德意志文化。

哥德尔一生极为擅长语言，自求学阶段便是如此，德语是其母语，在写作中还涉及到意大利文、希腊文、拉丁文与荷兰文，在日常会话中可说流利的德文、英文与法文。

哥德尔1924年秋入读维也纳大学，初时决定专攻理论物理，后来因对严格性与精确性的追求而把第一爱好转向可靠性似乎更强的数学。

1930年凭借证明初等逻辑完全性的学位论文《论逻辑演算的完全性》获得博士学位。

1931年在《数学与物理学月刊》发表《论及有关系统的形式不可判定命题》一文，严格表述了哥德尔第一与第二不完全性定理，给希尔伯特形式主义数学基础方案以致命性的冲击。

1938年9月与阿黛尔结婚，1940年春成为普林斯顿高等研究院的正式成员，与20世纪科学世界的第一骑士爱因斯坦结为密友，与外尔、冯·诺依曼、维布料伦、奥本海默等共事。

1978年1月在普林斯顿医院逝世，死因为“人格紊乱”造成的“营养不良与食物不足”。

1952年哈佛大学授予哥德尔荣誉学位时称其为“20世纪最有意义的数学真理的发现者”，这表明哈佛已经视因两条不完全性定理而名震天的哥德尔为超越了同时代的同样很伟大的弗雷格、皮亚诺、罗素、丘奇、塔尔斯基、图灵等人的逻辑学学者。

人们普遍相信在学术上哥德尔比极具分量的罗素、丘奇、塔尔斯基等人略胜一筹，是可以与形式逻辑的奠基者亚里士多德、符号逻辑的首倡者莱布尼茨相比肩的人，例如在1930年的柯尼斯堡会议之后，冯·诺依曼来信称哥德尔第一不完全性定理为“长时间以来最伟大的逻辑发现”；作为哥德尔中年时期相知最深的朋友的爱因斯坦，将哥德尔对数学、逻辑的贡献与他本人对物理的贡献视作同类，认为在哲学的深刻与科学的深邃方面二人抵达了同样的高度；哥德尔晚年密友、经济学家摩根斯顿评价哥德尔为：亚里士多德以来最伟大的逻辑学家；哥德尔在普林斯顿与冯·诺依曼成为同事后，后者称哥德尔20世纪30年代的数学、逻辑方面的工作为“巨型标架”（尤言其对后来相关学术研究的范式或范导作用）。

哥德尔不完备性定理2010-10-28 23:09:32来自: 苏仁(履霜冰至。

一心难二用。

)一、哥德尔不完备性定理的基本内容一个普遍公认的事实是，哥德尔不完备性定理在数理逻辑中占有极其重要的地位，是数学与逻辑发展史中的一个里程碑。

哥德尔关于形式系统的不完备性定理，首次发表在他的论文《论数学原理及有关系统中不可判定命题》中。

不完备性定理是关于不可判定命题存在的一般结果，如果仅就算术系统而言，这个定理可以简单地表述为：定理：如果形式算术系统是ω无矛盾的，则存在着这样一个命题，该命题及其否定在该系统中都不能证明，即它是不完备的。

罗塞尔（Rosser）对上面的定理进行了如下改进：定理：如果形式算术系统是无矛盾的，则它是不完备的。

具体说就是——定理：如果一个含有自然数论的形式系统S是无矛盾的，则S中存在一个逻辑公式A，使得在S中A是不能证明的，同时￣|A（￣| 为否定连接词——笔者注）也是不能证明的。

作为不完备性定理证明思想的一个关键之处在于映射原理的应用，哥德尔是通过一种十分新颖的映射形式来构造他的命题的。

映射是数学研究中极为重要的一种研究方法，其基本思想就是借助一一对应使得某一领域内的对象之间的某种关系得以在另一领域内的对象之间的关系得到表现。

哥德尔的方法是：把算术系统（记为N）中的符号、表达式和表达式的序列都映射为数——通过引进“哥德尔数”而实现了对象的数化手续。

这样处理的结果，对于数理逻辑和其他有关分支来说，在研究方法上就提供了一种数字化工具，能够方便地把一些讨论对象（如符号、公式）转换为自然数或自然数的函数，能够用自然数的理论来讨论有关问题。

其次，哥德尔又通过“递归函数”的引进证明了所有元理论中关于表达式的结构性质命题，都可以在算术系统中得到表达。

映射原理的应用和递归函数的引进，使元理论中的命题都映射为了算术系统中的命题，算术系统也因此获得了元数学的意义。

哥德尔在阐述自己的证明思想时说过：“我们可以注意到一个形式系统的公式在形式上都表现为基本符号（变量、逻辑常项、括号或中断号）的一个有限序列，而且人们容易精确地去指明基本符号的那些有限序列是有意义的公式和那些不是有意义的公式。

如何看待数学家哥德尔的“不完备性原理”？十九世纪末到二十世纪初，由于数学理论基础的一般化（例如集合论的出现），带来了若干自相矛盾的结果，最典型的如罗素的集合论悖论等，导致了所谓“数学危机”。

为解决危机，产生了三个对数学本质问题进行探讨的流派，即逻辑主义、直觉主义和形式主义。

其中逻辑主义认为数学就是逻辑，所以必须从逻辑基础入手来解决问题。

直觉主义则认为数学来自人的理智直觉，比如不证自明的整数系列、任何数学都应以此为基础明确构造等。

而形式主义则希望将数学与现实世界完全剥离，将数学对象归结为彻底符号化、内部自洽无矛盾的形式化公理体系。

这三个流派中以形式主义的影响最大，其领袖人物就是德国哥廷根大学的数学家希尔伯特，年轻的冯诺依曼曾追随他全力开展数学公理化证明。

哥德尔当时在维也纳大学，与维也纳的逻辑经验主义小组保持着密切联系，研究也受其很大影响，但他在理论立场上却不属于逻辑经验主义。

1931年，哥德尔针对希尔伯特的形式主义主张，用严密的研究提出了一个彻底否定性的证明，这就是他的“不完全性定理”。

由于希尔伯特是将所有数学的形式化都归结为最基础的算术系统公理化，所以哥德尔不完全性定理的一个最直接表述就是：算术是无法完全形式化的。

换言之，就算勉强形式化之后，该算术系统中将总是存在着在系统内无法判定真伪、但又有意义的命题。

既然存在着无法判定的对象，这就表明，该系统实际上是不完备的，形式化也就是不成功的。

哥德尔与爱因斯坦哥德尔的研究影响很大，至少当时就使形式主义流派遭受重大打击，使冯诺依曼立即放弃了对公理化问题的进一步研究。

当然，希尔伯特开创的元数学研究还是很有意义的，但彻底的形式化努力则失去了意义。

不完全性定理是二十世纪基础数学和逻辑的重大成果，有人认为它标示了人的理性所不可逾越的边界，特别是将其与图灵机程序研究结合之后，证明了人工智能不可能超越真实人类的智能，因为人的现实智能远比逻辑计算可能达到的智能更加丰富，所以不可归结为彻底的数学计算程序。