哥德尔不完全性定理的哲学思考

哥德尔第一不完全性定理
哥德尔第一不完全性定理是数学领域的重大突破，它的制定者哥德尔的名字也因此而留存。

这一定理的定义十分简单：任意一种自足的系统总存在某些命题，在其内部无法做出成立或不成立的断言。

这一定理引发了一系列关于数学真相性质及其本质的实质性讨论，这也是激励哥德尔发现这一定理的最主要原因。

哥德尔第一不完全性定理中最重要的概念就是自足系统，即一种存在无穷多规则，可以用它们去定义及推理其他命题的数学系统。

它可以归结为一种由一组固定规则构成的系统，它能够满足我们对于数学的所有研究需求。

利用自足的系统，哥德尔发现一种特殊的命题：直接或间接地由系统内的规则推断出的命题有可能是不可证明的。

例如，哥德尔的定理可以表示为：当一个自足系统存在时，系统其中的某种命题是不可以通过系统内规则证明的。

这意味着若要正确地判断该命题是否成立，就必须经过一定的特殊方法。

哥德尔第一不完全性定理也引发了人们对数学推理的反思。

它启发人们，可能存在着某种合理的思维模式，这种思维模式有可能超越所有规则及概念，将这种思维模式称为未知的真理，有可能是无法通过任何一种规则来证明的。

哥德尔第一不完全性定理给出了一种答案：并不是所有东西都可以使用给定的可行规则来推理，这就是为什么它会引发人们对不可知空间及它内部真相的向往及探索。

简述你对哥德尔不完全定理的认识
哥德尔不完全定理，又称哥德尔不可解定理，是数学家哥德尔在1930 年发现的一个定理。

这个定理指出：一个可满足算数系统的真命题可能是不可证明的，即存在无法验证的真理。

其实，哥德尔不完全定理反映的是一种自反的真理，即陈述它自身的真理无法用它自身去证明。

从其本质上说，就是人们在思考世界的真理时由于无法证明，因而可能永远也达不到绝对的真理。

哥德尔不完全定理对数学有着重要的意义，它提出了一种不可证明的概念，即某些真理可
能是不可证明的。

它帮助数学家们解释了数学的目的，让大家明白数学的探索就是探索这
些不可证明的真理，而不是探索可以证明的真理。

借此，当我们遇到不可证明的真理时，
不会妄自菲薄，而是积极探索、勇往直前，并遇到新的发现。

众所周知，哥德尔不完全定理是一个在数学范畴里得到了广泛认可的定理，而它也启发了
人们在无法证明某种真理时，应该继续不懈地探索真理，勇于开拓未知领域，就此形成了
一种科学精神。

哥德尔不完全定理也意指出，在探索的过程中，可能会遇到更多的科学问题，只有不懈的努力去解答与探索，我们才能发现更多的真理，发现更多的科学知识。

哥德尔不完备定理物理学在1931年，奥地利数学家哥德尔（Kurt Gödel）提出了著名的哥德尔不完备定理。

该定理指出，在任何一种足够强大的数学系统中，总存在一些命题，无法在该系统内被证明或证伪。

这一发现不仅对数学哲学产生了深远影响，也在之后的数学、逻辑学和计算机科学等领域产生了重要的影响。

尽管此定理是关于数学的，但它也能够引发物理学的思考。

物理学作为一门自然科学，借助数学来描述和解释物质、能量以及宇宙的基本规律，因此与数学存在着紧密的关联。

在物理学中，我们常常利用数学模型来预测和解释物理现象，从而推动知识的进一步发展。

然而，哥德尔不完备定理的存在给物理学带来了启示。

它表明，无论我们的数学模型多么严密、多么强大，总会存在一些命题无法在该模型内得到证明。

这一结论引发了对物理学中的数学基础的质疑：我们使用的数学模型是否真正能够完整地描述自然界？某种意义上，哥德尔不完备定理暗示了物理学的局限性。

物理学试图通过建立数学模型来捕捉自然界的本质，但由于无法证明所有的命题，我们无法保证所建立的模型穷尽了自然界的所有特性和规律。

这意味着，我们无法完全抵御科学发展中的挑战和局限性，并需要时刻开放心态迎接新的发现和理论突破。

然而，即使存在局限性，我们仍然可以借助于物理学的数学模型取得众多的成就。

物理学的数学模型在解释和预测实验结果方面表现出了极高的准确性和可靠性。

例如，牛顿的万有引力定律和爱因斯坦的相对论理论等，都通过数学模型为我们提供了对宇宙和物理现象的深入理解。

在物理学中，数学模型的应用还帮助我们从宏观层面到微观层面对物理世界进行描述。

例如，量子力学通过复杂的数学框架提供了对微观粒子行为的解释，而这种行为在日常经验中是无法理解的。

因此，数学在物理学中扮演着至关重要的角色。

尽管哥德尔不完备定理的存在引发了对物理学中数学基础的思考和质疑，但物理学家们并没有因此放弃使用数学模型。

相反，他们继续致力于发展更为精确、更为强大的数学工具，以更好地理解宇宙和探索未知的领域。

哥德尔不完备性定理
“哥德尔不完备性定理”，一则传说中最重要的数学命题，深深影响着日常生活。

哥德尔于1931年提出了这一行之有效的重要的定理，认为在不可解的命题下，总是无法证明其真假，即没有任何逻辑证据来证明所陈述的定理。

因此，任何不可解的命题永远无法给出完全正确的答案，无论你如何猜，都有可能出错，无论考虑多少证据，结果也一定是不对的，或者没有正确的定义。

哥德尔不完备性定理有着深远的意义，它指出了人类智慧的普遍局限性，这是
也是人类未来研究方向的重要指引。

它为现代哲学研究奠定了基础，从而推动了很多学者和思想家来展开深入的研究，以期发展出跨越时空的全新认知。

在日常生活中，哥德尔不完备性定理也可以用于鼓励我们勇于面对挑战，作出
正确的选择。

无论是制定并实施政策，抑或是应对复杂的情况，哥德尔不完备性定理都可以作为人们的参考，提醒我们注重解决问题的思路，而不是情绪化地猜测结果，以此克服逆境。

哥德尔不完备性定理，一条鲜明的信息，让我们深深认识到，只有凭借智慧和
学习，才能改变未来，它可以让我们以积极的态度，去面对现实、勇敢面对挑战，做出积极的选择。

逻辑学研究2020年第1期，87–110文章编号：1674-3202(2020)-01-0087-24哥德尔不完全性定理的推广形式及其哲学影响赵晓玉摘要：本文主要有五方面内容：一是将哥德尔不完全性定理涉及的一致性、语法完全性、ω-一致性、相对于N的可靠性、相对于N的完全性、可定义性等元理论性质推广成更一般的形式，并对其性质进行深入研究；二是简要回顾Salehi和Seraji所证推广的哥德尔第一不完全性定理，并就其关键定理给出更简洁易读的新证明，同时额外证明2组推广的哥德尔第一不完全性定理：任给n>0，如果T是包含罗宾森算术的、Σn+1-可定义的（Πn-可定义的）、Πn+1-可靠的算术理论，那么T不是Πn+1-决定的；三是简要回顾Seraji和本文作者所证推广的哥德尔第二不完全性定理，并给出新证明，同时额外证明2组推广的哥德尔第二不完全性定理：任给n>0，如果T是包含皮亚诺算术的、Σn+1-可定义的（Πn-可定义的）、Πn+1-可靠的算术理论，那么T不能证明自身Πn+1-可靠性；四是用两种方法再证明4组与一致性相关的推广的哥德尔第二不完全性定理：任给n>0，如果T是包含皮亚诺算术的、一致的、Σn+1-可定义的（Πn-可定义的）、Σn+1-完全的（Πn-完全的）算术理论，那么T不能证明自身一致性，同时给出2组可证自身一致性的算术理论；五是基于推广的哥德尔不完全性定理，从对形式化方法局限的反驳、对反机械主义的支持、对数学家地位的维护等三个方面重新审视哥德尔不完全性定理所产生的哲学影响。

关键词：不完全性；非递归可枚举理论；一致性；Γ-一致性；Γ-可靠性；Γ-完全性；Γ-可定义性；哲学影响中图分类号：B81文献标识码：A1引言作为20世纪逻辑学最为重要的成就之一，1930年，哥德尔证明了关于递归可枚举理论的哥德尔不完全性定理1。

收稿日期：2019-02-28作者信息： 赵晓玉中国人民大学哲学院**************** 基金项目：本成果受到中国人民大学2020年度“中央高校建设世界一流大学（学科）和特色发展引导专项资金”支持。

反思哥德尔不完全定理及维特根斯坦的评论-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述哥德尔不完全定理是20世纪逻辑学领域的一大突破性发现，由奥地利数学家库尔特·哥德尔于1931年提出。

该定理对于数理逻辑、数学哲学以及计算机科学等领域产生了深远的影响。

同时，维特根斯坦对哥德尔不完全定理的评论也为人们对这一定理的理解和应用提供了新的思路。

本文将对哥德尔不完全定理及其背景、核心思想进行剖析，进一步探讨维特根斯坦对哥德尔定理的评论，并反思哥德尔不完全定理对数理逻辑和数学哲学的启示。

首先，本文将介绍哥德尔不完全定理的背景与理论，探讨它对数学基础的冲击。

随后，我们将深入探索哥德尔不完全定理的核心思想，解释其中的推理和证明过程。

最后，我们将探讨哥德尔不完全定理所引发的维特根斯坦的评论，这对我们理解和应用该定理都具有重要意义。

通过对哥德尔不完全定理及维特根斯坦的评论的分析，我们将对哥德尔定理的含义和影响有更深入的理解。

同时，我们也可以从中获得关于数理逻辑和数学哲学的新的启示。

论文的结论将对哥德尔不完全定理进行反思，并总结维特根斯坦评论的重要启示。

在这篇长文中，我们将对哥德尔不完全定理进行全面而深入的研究，希望能够为读者提供一个清晰的观点，使其能够更好地理解和应用这一重要的数学逻辑定理。

同时，我们也希望探索维特根斯坦评论对哥德尔定理的启示，为数理逻辑和数学哲学领域的研究者们提供新的思路和视角。

1.2 文章结构文章结构部分的内容如下：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。

在引言部分，我们将对文章的主题进行概述，简要介绍哥德尔不完全定理及维特根斯坦的评论，并说明本文的目的。

正文部分将分为三个小节进行阐述。

首先，我们将详细介绍哥德尔不完全定理的背景与理论，包括该定理的发现者、提出的动机以及相关的数学逻辑理论等内容。

接着，我们将阐述哥德尔不完全定理的核心思想，包括它的基本概念、证明方法以及对数学基础和形式系统的影响。

哥德尔的不完备定理
弗朗西斯·哥德尔，被誉为数学史上最伟大的独立思想家，他卓越的数理逻辑思想改变了数学观念，他提出的“哥德尔不完备定理”更是撼动了科学界和哲学界的根基，使它成为科学界最大的一个“终身任务”。

弗朗西斯·哥德尔的不完备定理是这样的：“在数学的一般化演绎体系中，会出现可以被本体系检验但无法被本体系证明的定理”。

即，在一个受正确表示能力限制的演化体系里，存在着这样的定理，它的用中的一些公理可以证明它93），但是缺少一些演讲，使它无法被证明。

哥德尔不完备定理说明了数学的无限性，让人们对完备性这一重要概念也有了更深一步的理解。

如果使用完备性，把奇异事物放到完整体系中，就可以发现新的东西，形成新的完整性。

哥德尔不完备定理也引发了两种不同思想：一种主张去拓展不完备定理，一种是坚持完备性以尊重完整性。

对于进一步研究，这两种思想都具有重要的意义。

哥德尔的不完备定理的发现，不但为人们提供了一种全新的数学思想，突出了数学体系的完整性，也给了科学当前一个重大的课题，这一不完备定理也在其他学科如计算机科学和哲学等领域中有广泛的应用。

非但如此，它也开拓了人们对认识世界的眼界，让我们有望通过“探索神秘的无限”，发现全新的奥秘。

哥德尔不完备定理通俗解释摘要：一、哥德尔不完备定理的基本概念二、哥德尔不完备定理的通俗解释1.自然数系统内自洽性与完备性不可兼得2.举例说明：系统的矛盾与悖论3.数学与逻辑系统的局限性正文：**哥德尔不完备定理的通俗解释****一、哥德尔不完备定理的基本概念**哥德尔不完备定理，是奥地利数学家哥德尔于1938年提出的一个震惊数学界和哲学界的定理。

这个定理的核心观点是：在任何强公理化的形式系统中，都存在一些既无法被证明为真，也无法被证明为假的陈述。

换句话说，就是存在一些语句，无论我们如何努力，都无法在系统内证明其正确性。

**二、哥德尔不完备定理的通俗解释****1.自然数系统内自洽性与完备性不可兼得**通俗地讲，哥德尔不完备定理告诉我们，一个系统要么选择自洽性，要么选择完备性，但不能同时拥有两者。

自洽性是指系统内的所有陈述都可以在系统内找到证明；完备性则是指系统内的所有真陈述都可以找到证明。

举例来说，如果我们允许在数学系统中讨论自身的性质，那么我们就会遇到一些无法证明的陈述，这就放弃了完备性。

反之，如果我们坚持完备性，那么就无法避免矛盾和悖论的出现，这就放弃了自洽性。

**2.举例说明：系统的矛盾与悖论**以经典的“说谎者悖论”为例，这是一个自指命题，即一个人说：“我在说谎。

”如果这个命题是真的，那么这个人在说谎，所以陈述不是真的；但如果这个命题是假的，那么这个人实际上是在说实话，所以陈述又是真的。

这样的悖论表明，在系统中存在一些既不能证明为真，也不能证明为假的陈述。

**3.数学与逻辑系统的局限性**哥德尔不完备定理揭示了数学和逻辑系统内部的局限性。

它告诉我们，无论我们如何努力，总会有一些陈述句无法在系统内被证明。

这个定理对于我们理解数学和逻辑的本质，以及认识人类认知的局限性具有重要意义。

在理解哥德尔不完备定理时，我们需要意识到，这种局限性并非系统的缺陷，而是系统的一种本质特征。

正如哥德尔本人所说：“我的定理并不是要证明数学是无效的，而是要证明数学是有限的。

哥德尔不完美定律
哥德尔不完美定律，也被称为哥德尔不完全性定理，是数学逻辑中的一个重要概念。

这个定律指出，任何形式化的数学系统都存在一些无法在其内部证明的命题。

换句话说，哥德尔不完美定律表明，任何一种数学理论或系统都无法完全描述或解决其自身内部的所有问题。

这个定律的发现，对于数学和逻辑学的发展产生了深远的影响。

它打破了人们对于数学和逻辑完美的追求，提醒我们任何数学理论都存在自身的局限性和不完善之处。

这个定律也强调了数学的真实性和客观性，因为那些无法在系统内部证明的命题，往往涉及到真实世界的复杂性和多样性。

同时，哥德尔不完美定律也对于人工智能和计算机科学产生了重要影响。

这个定律告诉我们，人工智能系统在处理复杂问题时，同样会遇到其自身的局限性和无法完全描述或解决的问题。

这让我们更加认识到人工智能系统的能力和潜力，以及其与人类智能之间的差距。

此外，哥德尔不完美定律还提醒我们，在追求知识和真理的过程中，我们需要保持谦虚和开放的态度。

我们不能因为某个数学理论或计算机程序似乎能够解决所有问题而轻视其内在的缺
陷和不足。

相反，我们应该时刻保持警惕，寻找那些可能存在的问题和挑战，并不断地推动数学、逻辑、人工智能等领域的发展和进步。

总之，哥德尔不完美定律是数学逻辑中的一个重要定理，它提醒我们任何数学理论或系统都存在自身的局限性和不完善之处。

这个定律不仅对于数学和逻辑学的发展产生了深远的影响，还对于人工智能和计算机科学等领域产生了重要影响。

我们应该时刻保持谦虚和开放的态度，不断追求知识和真理的道路上不断前进。

计算机科学中的哲学思考随着计算机科学的不断发展，我们越来越多地看到计算机科学与哲学的交汇。

计算机科学和哲学作为两个看似毫不相关的领域，却有着紧密的联系。

实际上，哲学在计算机科学中发挥着不可或缺的作用。

1. 计算机科学和哲学计算机科学和哲学的关系可以追溯到哥德尔的不完全性定理。

这个定理告诉我们，任何形式化的系统都有一些真理无法证明，这也就意味着我们无法依靠形式化系统来回答所有问题。

这个定理不仅有着哲学上的意义，也对计算机科学的基础有着深刻的影响。

另一个例子是图灵测试。

图灵测试是一个人工智能的测试方法，它考察的是计算机是否具有智能。

图灵测试包含了一些哲学上的假设，如文明的背景知识和语言的使用能力，这些假设也影响了智能的定义。

以上只是两个例子，实际上哲学和计算机科学的联系远不止于此。

2. 人工智能和道德哲学随着人工智能的发展，越来越多的人关注人工智能的道德问题。

人工智能是否具有道德责任？如果具有道德责任，那么这个责任应该如何归属？这些都是值得深思的问题。

道德哲学在这里发挥了重要作用。

道德哲学提供了对于道德问题的思考框架和理论基础。

对于人工智能的道德问题，我们可以利用道德哲学的工具来进行分析和讨论。

例如，对于人工智能的道德责任问题，伦理学中的责任理论可以提供一些启示。

责任理论认为，责任可以分为多个层次，例如法律责任、道德责任、事实责任等。

我们可以利用这个理论来界定人工智能的责任，可以讨论人工智能与人类的道德责任的协调关系等等。

3. 数学和形而上学数学在计算机科学中扮演着至关重要的角色。

但是，数学中也有涉及形而上学的问题。

例如“零”这个概念，是数学中的一个基本概念，但是它具有诸如无形性、无限性等等形而上学上的特质。

对于数学中的形而上学问题，我们也可以从哲学角度进行思考。

形而上学研究的是物质世界的本质和结构，我们可以运用形而上学的思想和方法来理解数学中的形而上学问题。

4. 计算机伦理学计算机伦理学是计算机科学与伦理学的交叉学科。

哥德尔不完备性定理浅释【数学故事】哥德尔不完备性定理浅释哥德尔不完备定理的本质与自然数的性质紧密相连，如果计算机使用离散形式的算法(也就是图林机)，则计算机的任何复杂、高妙的算法，比如并行运算，都超不过图林机操作的范畴，也就跑不脱自然数的性质，因此也就不能解决不可计算问题。

要理解哥德尔定理，先得理解集的概念。

(一) 集合"集合"或集的描述：集这个概念，是不可以精确定义的数学基本概念之一，故只能作描述：凡具有某种特殊性质对象的汇集，其总合被称为集。

例：一组数(可能是无限的)，一群人，一栏鸡蛋。

在作数学上具体研究时，组成集的个体，被称为"元"的其他特殊属性，如鸡的特性，人的特性，数的特性，都不再考虑。

于是，一个集合就被抽象成A，它的元被抽象成x。

我们有：x 属于 A我们也归定：A 不能属于 A即A不能是A自己的一元，这个规定不是不合理的，例如，所有的书所组成的集不是书！所以所有书的集合不能是这个集合的一元。

A 的某一部份B也可自行构造出一集，被称为A之"子集"。

我们有：B 含于 A特殊情况：B可以等于A，B也可以没有元素，被称为"空集"，我们称这样两种情况叫A的"平凡"子集。

定义：对等设A，B分别为两个集，如果A和B之间能建立1-1的对应关系，则我们称：A 对等于 B。

反之亦然。

对等是集与集之间最基本的关系。

若A和B都含有限个元，则两集之间要对等，当且仅当二者的元的数目相等。

如果A和B都是无限的，则也能/不能建立对等关系，如两个无限数列A和B：A：1，2，3，。

B：2，4，6，。

就能建立1-1对应，故A 对等于 B可以证明，任何两个无限数列的集合都能对等。

但是，有些无限集之间却不能对等。

例：设实数轴0到1之间的所有有理数所组成的集为R，又设0到1之间所有的无理数所组成的集为I，则可证明(略)：1。

R和I之间不对等；2。

伟大的哥德尔不完备定律及其哲学意义作为20世纪数学理论最重要的成果，哥德尔不完备性定理被誉为数学和逻辑发展史中的里程碑。

哥德尔定理的提出不仅具有数学意义，而且蕴含了深刻的哲学意义。

历史上从来没有哪一个数学定理能够如它一样，对人类文明产生如此广泛而深远的影响。

随着科学技术的进步，哥德尔思想的深刻性和丰富性，必将在人类理性的发展过程中不断突显出来，并不断为人的思维所理解。

一哥德尔不完备性定理是数理逻辑学中论述形式公理化系统局限性的两条重要定理，它由伟大的奥地利数学家哥德尔于1931年提出。

哥德尔写道“众所周知，数学朝着更为精确方向的发展，已经导致大部分数学分支的形式化，以致人们只用少数几个机械规则就能证明任何定理。

因此人们可能猜测这些公理和推理规则足以决定这些形式系统能加以表达的任何数学问题。

下面将证明情况并非如此。

”哥德尔第一条定理指出，若形式系统是相容的，则此系统必定是不完备的。

也就是说在系统中的一个有意义的命题，既不能用系统中的公理和推理规则加以证明，也不能用系统中的公理和推理规则加以否证，即成为不可判定的命题。

那么有什么命题是不可判定的呢?哥德尔第二条定理说，上述形式系统的相容性就是不可判定的。

以前数学家总以为：如果某个命题是正确的，一定可以用数学演绎方法证明其为真；如果某个数学命题是错误的，也定又可以用数学演绎方法证明其为假。

正如法国数学家庞加菜所说'在数学中，当我拟定了作为约定的定义和公设以后，一个定理就只能为其或为假。

但是，要回答这个定理是否为真，就不再需要我们将要求助的感觉证据，而要求助于推理。

'哥德尔不完备性定理的建立举粉碎了数学家两千年来的信念。

它告诉找们，真与可证是两个概念，'可证性'涉及到个具有能行性的较为机械的思维过程，而'真理性'则涉及到一个能动的超穷的思维过程。

因此，可证的一定是真的，但真的不一定可证。

从这个意义上说，悖论的阴影将永远伴随着我们。

哥德尔不完全性定理的哲学意义摘要：哥德尔不完全性定理打击了希尔伯特形式主义数学基础方案或元数学纲领，是数理逻辑与公理化方法历史上的亮点，哲学意义深远超脱，意蕴丰厚。

关键词：哥德尔；不完全性；一致性；形式系统；数学哲学一、数学家与哲学家哥德尔的逻辑人生库尔特·哥德尔（Kurt Godel），1906年生于捷克斯洛伐克的布尔诺，当时布尔诺是奥匈帝国的摩拉维亚的首府，因此在哥德尔的出生地洋溢着浓郁的德意志文化。

哥德尔一生极为擅长语言，自求学阶段便是如此，德语是其母语，在写作中还涉及到意大利文、希腊文、拉丁文与荷兰文，在日常会话中可说流利的德文、英文与法文。

哥德尔1924年秋入读维也纳大学，初时决定专攻理论物理，后来因对严格性与精确性的追求而把第一爱好转向可靠性似乎更强的数学。

1930年凭借证明初等逻辑完全性的学位论文《论逻辑演算的完全性》获得博士学位。

1931年在《数学与物理学月刊》发表《论及有关系统的形式不可判定命题》一文，严格表述了哥德尔第一与第二不完全性定理，给希尔伯特形式主义数学基础方案以致命性的冲击。

1938年9月与阿黛尔结婚，1940年春成为普林斯顿高等研究院的正式成员，与20世纪科学世界的第一骑士爱因斯坦结为密友，与外尔、冯·诺依曼、维布料伦、奥本海默等共事。

1978年1月在普林斯顿医院逝世，死因为“人格紊乱”造成的“营养不良与食物不足”。

1952年哈佛大学授予哥德尔荣誉学位时称其为“20世纪最有意义的数学真理的发现者”，这表明哈佛已经视因两条不完全性定理而名震天的哥德尔为超越了同时代的同样很伟大的弗雷格、皮亚诺、罗素、丘奇、塔尔斯基、图灵等人的逻辑学学者。

人们普遍相信在学术上哥德尔比极具分量的罗素、丘奇、塔尔斯基等人略胜一筹，是可以与形式逻辑的奠基者亚里士多德、符号逻辑的首倡者莱布尼茨相比肩的人，例如在1930年的柯尼斯堡会议之后，冯·诺依曼来信称哥德尔第一不完全性定理为“长时间以来最伟大的逻辑发现”；作为哥德尔中年时期相知最深的朋友的爱因斯坦，将哥德尔对数学、逻辑的贡献与他本人对物理的贡献视作同类，认为在哲学的深刻与科学的深邃方面二人抵达了同样的高度；哥德尔晚年密友、经济学家摩根斯顿评价哥德尔为：亚里士多德以来最伟大的逻辑学家；哥德尔在普林斯顿与冯·诺依曼成为同事后，后者称哥德尔20世纪30年代的数学、逻辑方面的工作为“巨型标架”（尤言其对后来相关学术研究的范式或范导作用）。

哥德尔不完备性定理2010-10-28 23:09:32来自: 苏仁(履霜冰至。

一心难二用。

)一、哥德尔不完备性定理的基本内容一个普遍公认的事实是，哥德尔不完备性定理在数理逻辑中占有极其重要的地位，是数学与逻辑发展史中的一个里程碑。

哥德尔关于形式系统的不完备性定理，首次发表在他的论文《论数学原理及有关系统中不可判定命题》中。

不完备性定理是关于不可判定命题存在的一般结果，如果仅就算术系统而言，这个定理可以简单地表述为：定理：如果形式算术系统是ω无矛盾的，则存在着这样一个命题，该命题及其否定在该系统中都不能证明，即它是不完备的。

罗塞尔（Rosser）对上面的定理进行了如下改进：定理：如果形式算术系统是无矛盾的，则它是不完备的。

具体说就是——定理：如果一个含有自然数论的形式系统S是无矛盾的，则S中存在一个逻辑公式A，使得在S中A是不能证明的，同时￣|A（￣| 为否定连接词——笔者注）也是不能证明的。

作为不完备性定理证明思想的一个关键之处在于映射原理的应用，哥德尔是通过一种十分新颖的映射形式来构造他的命题的。

映射是数学研究中极为重要的一种研究方法，其基本思想就是借助一一对应使得某一领域内的对象之间的某种关系得以在另一领域内的对象之间的关系得到表现。

哥德尔的方法是：把算术系统（记为N）中的符号、表达式和表达式的序列都映射为数——通过引进“哥德尔数”而实现了对象的数化手续。

这样处理的结果，对于数理逻辑和其他有关分支来说，在研究方法上就提供了一种数字化工具，能够方便地把一些讨论对象（如符号、公式）转换为自然数或自然数的函数，能够用自然数的理论来讨论有关问题。

其次，哥德尔又通过“递归函数”的引进证明了所有元理论中关于表达式的结构性质命题，都可以在算术系统中得到表达。

映射原理的应用和递归函数的引进，使元理论中的命题都映射为了算术系统中的命题，算术系统也因此获得了元数学的意义。

哥德尔在阐述自己的证明思想时说过：“我们可以注意到一个形式系统的公式在形式上都表现为基本符号（变量、逻辑常项、括号或中断号）的一个有限序列，而且人们容易精确地去指明基本符号的那些有限序列是有意义的公式和那些不是有意义的公式。

第20卷第1期2012年2月系统科学学报JOURNAL OF SYSTEMS SCIENCEVol．20No．1Feb．2012哥德尔不完全性定理的哲学思考谢佛荣1，2（1．南京大学哲学系江苏南京210093；2．南京师范大学泰州学院江苏泰州225300）摘要：哥德尔不完全性定理是20世纪逻辑和数学史上的一座里程碑，必在哲学上引发巨大的思考空间和反思力度。

首先，既然“真”与“可证”不能等同的，那么“真”是否可定义的？“真”与“可证”两个概念之间到底是一种什么关系？其次，它是否意味着我们的知识是不确定的，如果能表明知识不是确定的，那我们是不是在知识的可靠性上要承认彻底的怀疑主义？再次，在人工智能化的今天，人的主体性地位受到严重的挑战，那是否意味着如后现代主义哲学家所说人的主体性将被抹去？等等。

关键词：哥德尔不完全性定理；真；可证；怀疑主义；主体性中图分类号：N94－02文献标识码：A文章编号：1005-6408（2012）01-0001-051931年，一个名为库尔特·哥德尔发表了一篇题名为《论＜数学原理＞及相关系统的不可判定命题》，在这篇论文中，提出了被誉为“逻辑和数学史上的一座里程碑”的一条重要定理———哥德尔不完全性定理。

其结论，不仅标志着现代逻辑发展新阶段的开始，而且对哲学而言，也具有革命性的意义，蕴含了极其深刻的哲学意义。

因此，本文试通过对哥德尔不完全性定理的分析与说明，探讨其对哲学所蕴含的意义及价值，来揭示它在哲学上所引发的思考与启迪。

1哥德尔不完全性定理哥德尔在其论文中攻克的是数学基础的一个核心问题，即一致性问题。

从古希腊用“公理方法”发展几何学以来，大多数学思想家们都把公理化的几何学视为科学知识的典范。

所谓“公理方法”就是从一些不加证明的命题当作公理，然后从这些公理推导出所有命题。

特别是随着20世纪以后数学形式化的进一步盛行，当时数学思想者普遍认为，数学思想的每一个分支都可以找到一组公理，然后从其出发推出所有的真命题。

哥德儿不完备定理
哥德尔不完备定理（又称哥德尔不可满足性定理、哥德尔不实现定理），是由德国数
学家克劳德·哥德尔于1931年提出的一种重要定理。

它指出：在任何能够用逻辑来表示
的数学体系中，总是存在某些命题，他们既无法证明也无法反证，也就是说，这种系统是
不完备的。

哥德尔的论证是以图灵奇偶对当时的经验数学为特例，推广到更复杂的逻辑系统中。

经过他的论证，更宽泛的认识不完备性，以及表示数学体系中某些命题无法被证实和反证，更早地获得开发。

实际上，哥德尔不完备定理引发了数学哲学的一个激烈的讨论，也对早期的数学逻辑
的发展产生了重要的影响。

它开启了我们对“完备性与不完备性”等议题的实际研究，也
有效地激发了许多数学家的研究兴趣，以及提高了数学的质量。

简而言之，哥德尔不完备定理是由哥德尔提出的一种定理，它指出，对于任何具有自
然逻辑表示的系统，都有一些命题是无法得出结论的，因此系统是不完备的。

由于这项定
理认识到了不完备性存在的可能性，也为更广泛地探索完备性提供了参照。