中考数学-锐角三角函数(解析版)

2023年中考数学二轮复习之锐角三角函数一．选择题（共10小题）1．（2022秋•余姚市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则cos A的值为（ ）A．B．C．D．2．（2022秋•未央区期末）2022年2月4日在北京举办了第24届冬季奥运会，很多学校都开展冰雪项目学习．如图，某滑雪斜坡的坡角为28°，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了100米，则该同学在竖直方向上下降的高度为（ ）A．100sin28°B．100cos28°C．D．3．（2022秋•兴县期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，点A，B，C都在小正方形的顶点处，则∠BAC的余弦值是（ ）A．B．2C．D．4．（2022秋•临平区期末）sin45°的值是（ ）A．1B．C．D．5．（2022秋•叙州区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．如果AD ＝8，BD＝4，那么tan B的值是（ ）A．B．C．D．6．（2023•碑林区校级模拟）如图，AD是△ABC的高，AB＝4，∠BAD＝60°，tan∠CAD＝，则BC的长为（ ）A．+1B．2+2C．2+1D．+4 7．（2022秋•未央区期末）如图，在中Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，下列结论中，正确的是（ ）A．tan B＝B．tan A＝C．sin A＝D．cos B＝8．（2022秋•永春县期末）如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的坡角（∠BAC）为30.5°，乘客从扶梯底端升到顶端上升的高度BC为5米，则自动扶梯AB的长为（ ）A．5tan30.5°米B．5sin30.5°米C．米D．米9．（2022秋•永春县期末）如图，在网格中，点A，B，C都在格点上，则∠CAB的正弦值是（ ）A．B．C．D．2 10．（2023•市北区开学）如图，在△ACB中，∠C＝90°，sin B＝，若AC＝6，则BC的长为（ ）A．8B．12C．D．二．填空题（共8小题）11．（2022秋•遂川县期末）计算：2tan45°＝ ．12．（2023•蕉岭县校级开学）在△ABC中，已知AB＝5，BC＝6，∠B＝30°，那么S△ABC 为 ．13．（2022秋•抚州期末）如图，在网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是 ．14．（2022秋•兴隆县期末）已知：如图，△ABC中，AC＝10，，，则AB ＝ ．15．（2022秋•晋江市期末）如图，河堤横断面迎水坡AC的坡度i＝1：2，若垂直高度AB＝15米，则迎水坡AC的长度为 米．16．（2022秋•峄城区期末）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC ＝30°，已知窗户的高度，窗台的高度CF＝1m，窗外水平遮阳篷的宽AD＝0.8m，则CP 的长度为 （结果精确到0.1m）．17．（2022秋•兴县期末）无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据传输等方面发挥着重要作用，在如图所示的某次测量中，无人机在小山上方的A处，测得小山两端B，C的俯角分别是45°和30°，此时无人机距直线BC的垂直距离是200米，则小山两端B，C之间的直线距离是 米（结果保留准确值）．18．（2022秋•遂川县期末）如图，一个斜坡AB长130m，斜坡与水平地面夹角∠ABC的正切值为，坡顶A离水平地面的距离AC为 m．三．解答题（共3小题）19．（2022秋•余姚市期末）消防车是救援火灾的主要装备．图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC（20米≤AC≤30米）是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动，张角∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面的高度AE为3米．（1）当起重臂AC的长为24米，张角∠CAE＝120°时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF．（2）某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，问该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由．（参考数据：≈1.7）（提示：当起重臂AC伸到最长且张角∠CAE最大时，云梯顶端C可以达到最大高度．）20．（2022秋•未央区期末）夏秋季节，许多露营爱好者晚间会在湖边露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处（EF⊥BF），使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，幕布宽AC＝AD＝2m，CD⊥AB于点O，支杆AB与树干EF的横向距离BF＝2.2m．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）（1）天晴时打开“天幕”，若∠CAE＝140°，求遮阳宽度CD．（2）下雨时收拢“天幕”，∠CAE由140°减小到90°，求点E下降的高度．21．（2022秋•未央区期末）如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，sin C＝．（1）求BC的长．（2）求tan B的值．2023年中考数学二轮复习之锐角三角函数参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2022秋•余姚市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则cos A的值为（ ）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据题意画出图，再根据余弦的定义计算即可．【解答】解：根据题意画出图如图所示：∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，∴．故选：C．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦是解题的关键．2．（2022秋•未央区期末）2022年2月4日在北京举办了第24届冬季奥运会，很多学校都开展冰雪项目学习．如图，某滑雪斜坡的坡角为28°，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了100米，则该同学在竖直方向上下降的高度为（ ）A．100sin28°B．100cos28°C．D．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】根据三角函数定义进行解答即可．【解答】解：∵滑雪斜坡的坡角为28°，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了100米，∴该同学在竖直方向上下降的高度为100sin28°，故A正确．故选：A．【点评】本题主要考查了三角函数定义，熟练掌握正弦函数的定义，是解题的关键．3．（2022秋•兴县期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，点A，B，C都在小正方形的顶点处，则∠BAC的余弦值是（ ）A．B．2C．D．【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】先根据勾股定理求出三角形三边的长，得出∠ACB＝90°，再根据求解．【解答】解：∵，，，∴BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴．故选：D．【点评】本题考查勾股定理和三角函数，解题的关键是证明∠ACB＝90°．4．（2022秋•临平区期末）sin45°的值是（ ）A．1B．C．D．【考点】特殊角的三角函数值．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行解答即可．【解答】解：由特殊角的三角函数值可知，sin45°＝．故选：C．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．5．（2022秋•叙州区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．如果AD ＝8，BD＝4，那么tan B的值是（ ）A．B．C．D．【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】根据相似三角形的判定和性质可以求得CD的长，然后即可求得tan B的值．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠ACD+∠A＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ACD∽△CBD，∴，∵AD＝8，BD＝4，∴，解得CD＝4，∴tan B＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出CD的值．6．（2023•碑林区校级模拟）如图，AD是△ABC的高，AB＝4，∠BAD＝60°，tan∠CAD＝，则BC的长为（ ）A．+1B．2+2C．2+1D．+4【考点】解直角三角形；含30度角的直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】先在Rt△ABD中，利用60°的余弦和正弦求出AD＝2，BD＝2，再在Rt△ACD中，利用正切的定义求出CD，然后计算BD+CD即可．【解答】解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，sin∠BAD＝，∴cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝4cos60°＝4×＝2，BD＝4sin60°＝4×＝2，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴＝，解得CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形：灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义是解决问题的关键．7．（2022秋•未央区期末）如图，在中Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，下列结论中，正确的是（ ）A．tan B＝B．tan A＝C．sin A＝D．cos B＝【考点】锐角三角函数的定义．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】首先利用勾股定理求得BC，再根据各三角函数的定义，即可一一判定．【解答】解：∵在中Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，∴，∴，，，，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，三角函数的定义，熟练掌握和运用各三角函数的定义是解决本题的关键．8．（2022秋•永春县期末）如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的坡角（∠BAC）为30.5°，乘客从扶梯底端升到顶端上升的高度BC为5米，则自动扶梯AB的长为（ ）A．5tan30.5°米B．5sin30.5°米C．米D．米【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】根据正弦的定义计算，则得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，sin A＝，则AB＝＝米．故选：C．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握正弦的定义是解题的关键．9．（2022秋•永春县期末）如图，在网格中，点A，B，C都在格点上，则∠CAB的正弦值是（ ）A．B．C．D．2【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】连接CD，先利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，从而可得∠ADC ＝90°，然后在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：如图：连接CD，由题意得：AC2＝12+32＝10，CD2＝12+12＝2，AD2＝22+22＝8，∴AD2+CD2＝AC2，∴△ACD是直角三角形，∴∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，CD＝，AC＝，∴sin∠CAD＝＝＝，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．10．（2023•市北区开学）如图，在△ACB中，∠C＝90°，sin B＝，若AC＝6，则BC的长为（ ）A．8B．12C．D．【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】根据锐角三角函数的边角间关系，先求出AB，再利用勾股定理求出BC．【解答】解：在Rt△ACB中，sin B＝＝＝0.5，∴AB＝12．∴BC＝＝＝6．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形．掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．二．填空题（共8小题）11．（2022秋•遂川县期末）计算：2tan45°＝　2　．【考点】特殊角的三角函数值．【专题】实数；运算能力．【分析】代入45°的正切值计算即可．【解答】解：2tan45°＝2×1＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．12．（2023•蕉岭县校级开学）在△ABC中，已知AB＝5，BC＝6，∠B＝30°，那么S△ABC 为　7.5　．【考点】解直角三角形；勾股定理．【专题】三角形；推理能力．【分析】作AD⊥BC于D，由直角三角形的性质得出AD＝AB＝2.5，由三角形面积公式即可得出答案．【解答】解：作AD⊥BC于D，如图所示：则∠ADB＝90°，∵∠B＝30°，∴AD＝AB＝2.5，∴S△ABC＝BC×AD＝×6×2.5＝7.5．故答案为：7.5．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．13．（2022秋•抚州期末）如图，在网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是　3　．【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】连接格点D，根据勾股定理求出AB、AC的长度，根据等腰三角形的性质，可得，最后根据勾股定理求出AD，再根据正切的定义求解即可．【解答】解：连接格点D，如图所示，∵AB2＝52+52＝50，AC2＝12+72＝50，BD2＝12+22＝5，AD2＝32+62＝45，∴AB＝AC，AB2＝AD2+BD2，∴AD⊥BD，∵，∴，根据勾股定理可得：，∴，故答案为：3．【点评】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，求已知角的正切值，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形．14．（2022秋•兴隆县期末）已知：如图，△ABC中，AC＝10，，，则AB ＝　24　．【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】过A作AD垂直于BC，交BC于点D，在Rt△ACD中，由AC与sin C的值，利用正弦函数定义求出AD的长，在Rt△ABD中，由AD与sin B的值，利用正弦函数定义即可求出AB的长．【解答】解：作AD⊥BC于D点，如图所示，在Rt△ADC中，AC＝10，sin C＝，∴AD＝AC sin C＝10×＝8，在Rt△ABD中，sin B＝，AD＝8，则AB＝＝＝24．故答案为：24．【点评】本题考查了解直角三角形，正确添加辅助线AD构建直角三角形、熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．15．（2022秋•晋江市期末）如图，河堤横断面迎水坡AC的坡度i＝1：2，若垂直高度AB＝15米，则迎水坡AC的长度为 米．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】直接利用坡度的定义得出，进而利用坡度的定义以及勾股定理得出答案．【解答】解：∵河堤横断面迎水坡AC的坡度i＝1：2，垂直高度AB＝15米，＝，解得BC＝30，则AC＝＝＝（米）．故答案为：．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题关键．16．（2022秋•峄城区期末）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC ＝30°，已知窗户的高度，窗台的高度CF＝1m，窗外水平遮阳篷的宽AD＝0.8m，则CP 的长度为　4.4m　（结果精确到0.1m）．【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．【分析】根据题意可得AD∥CP，从而得到∠ADB＝30°，利用锐角三角函数可得AB＝AD×tan∠ADB＝≈0.46m，从而得到BC＝AF+CF﹣AB＝2.54m，即可求解．【解答】解：根据题意得：AD∥CP，∵∠DPC＝30°，∴∠ADB＝30°，∵AD＝0.8m，∴AB＝AD×tan∠ADB＝0.8×≈0.46（m），∵AF＝2m，CF＝1m，∴BC＝AF+CF﹣AB＝2.54m，∴CP＝＝≈4.4（m），即CP的长度为4.4m．故答案为：4.4m．【点评】本题主要考查了解直角三角形、平行线的性质，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．17．（2022秋•兴县期末）无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据传输等方面发挥着重要作用，在如图所示的某次测量中，无人机在小山上方的A处，测得小山两端B，C的俯角分别是45°和30°，此时无人机距直线BC的垂直距离是200米，则小山两端B，C之间的直线距离是 米（结果保留准确值）．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】先作AD⊥BC于D，分别求出BD和CD，再相加即可．【解答】解：如图，作AD⊥BC于D，则AD＝200米，∵∠EAB＝45°，∠FAC＝30°，∴∠DAB＝45°，∠DAC＝60°，∴BD＝AD⋅tan45°＝200×1＝200（米），（米），∴米，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是读懂题意，构造直角三角形求解．18．（2022秋•遂川县期末）如图，一个斜坡AB长130m，斜坡与水平地面夹角∠ABC的正切值为，坡顶A离水平地面的距离AC为　50　m．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据正切的定义设AC＝5x，BC＝12x，利用勾股定理列方程求出x，从而可得AC．【解答】解：由题意可得：AB＝130，，∴设AC＝5xm，BC＝12xm，∴AC2+BC2＝AB2，即（5x）2+（12x）2＝1302，解得：x＝10或x＝﹣10（舍去），∴AC＝5×10＝50（m），故答案为：50．【点评】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是掌握正切的定义．三．解答题（共3小题）19．（2022秋•余姚市期末）消防车是救援火灾的主要装备．图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC（20米≤AC≤30米）是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动，张角∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面的高度AE为3米．（1）当起重臂AC的长为24米，张角∠CAE＝120°时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF．（2）某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，问该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由．（参考数据：≈1.7）（提示：当起重臂AC伸到最长且张角∠CAE最大时，云梯顶端C可以达到最大高度．）【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】（1）过点A作AG⊥CF，垂足为F．先在Rt△AGC中求出CG，再利用直角三角形的边角间关系求出CF；（2）先计算当AC长30米且∠CAE＝150°时救援的高度，再判断该消防车能否实施有效救援．【解答】解：（1）作AG⊥CF于点G，由题意，得AE⊥BD，CF⊥BD，∴四边形AEFG是矩形，∴AE＝FG＝3（米），∠GAE＝90°．∵∠CAE＝120°，∴∠CAG＝∠CAE﹣∠GAE＝30°．在Rt△CAG中，，∴（米），∴CF＝CG+GF＝12+3＝15（米）．答：云梯消防梯最高点C距离地面的高度CF为15米（2）当AC＝30米，∠CAE＝150°时，云梯顶端C可以达到最大高度则有GF＝AE＝3米，∠CAG＝∠CAE﹣∠GAE＝60°，在Rt△CAG中，，∴（米），∴（米）＞26（米）．答：该消防车在这栋楼下能实施有效救援．【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，在抽象图中找到直角三角形、熟记锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值是本题的解题关键．20．（2022秋•未央区期末）夏秋季节，许多露营爱好者晚间会在湖边露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处（EF⊥BF），使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，幕布宽AC＝AD＝2m，CD⊥AB于点O，支杆AB与树干EF的横向距离BF＝2.2m．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）（1）天晴时打开“天幕”，若∠CAE＝140°，求遮阳宽度CD．（2）下雨时收拢“天幕”，∠CAE由140°减小到90°，求点E下降的高度．【考点】解直角三角形的应用；轴对称图形．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】（1）根据在Rt△AOD中，，先算出OD的长，再根据AD＝2OD 即可得到答案；（2）过点E作EH⊥AB于H，在Rt△AHE中，，得，当∠CAE＝140°时和当∠CAE＝90°时，分别求出AH的值，作差即可得到答案．【解答】解：（1）∵∠CAE＝140°，AC＝AD，AO⊥CD，∴，CD＝2DO，在Rt△AOD中，，即，解得：OD≈1.88m，∴CD＝2OD≈3.76m，答：遮阳宽度CD约为3.76m；（2）如图，过点E作EH⊥AB于H，∴∠BHE＝90°，∵AB⊥BF，EF⊥BF，∴∠ABF＝∠EFB＝90°，∴∠ABF＝∠EFB＝∠BHE＝90°，∴EH＝BF＝2.2m，在Rt△AHE中，，∴，当∠CAE＝140°时，∠EAO＝70°，m，当∠CAE＝90°时，∠EAO＝45°，AH＝2.2m，2.2﹣0.8＝1.4m，答：点E下降的高度为1.4m．【点评】本题考查了锐角三角函数，矩形的判定和性质，熟练应用锐角三角函数是解本题的关键．21．（2022秋•未央区期末）如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，sin C＝．（1）求BC的长．（2）求tan B的值．【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】（1）过点A作BC边上的垂线，垂足为D．利用三角函数求出AD，根据勾股定理求出CD，BD即可；（2）根据公式直接计算可得．【解答】解：（1）如图，过点A作BC边上的垂线，垂足为D．在Rt△ADC中，，∴．由勾股定理，得，，∴BC＝BD+CD＝14．（2）在Rt△ABD中，．【点评】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟记各三角函数的计算公式是解题的关键．考点卡片1．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．2．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．3．轴对称图形（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．4．锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A．即sin A＝∠A的对边除以斜边＝．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cos A．即cos A＝∠A的邻边除以斜边＝．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A．即tan A＝∠A的对边除以∠A的邻边＝．（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．5．特殊角的三角函数值（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝；（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．6．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）7．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．8．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．9．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．。

中考数学三角函数公式汇总与解析1.锐角三角函数锐角三角函数定义:锐角角A的正弦(si n),余弦(c o s)和正切(t a n),余切(c o t)以及正割(se c)，余割(c sc)都叫做角A的锐角三角函数。

正弦(si n)：对边比斜边，即si n A=a/c余弦(c o s)：邻边比斜边，即c o sA=b/c正切(t a n)：对边比邻边，即t a n A=a/b余切(c o t)：邻边比对边，即c o t A=b/a正割(se c)：斜边比邻边，即se c A=c/b余割(c sc)：斜边比对边，即c s c A=c/a2.3.互余角的关系s i n(π-α)=c o sα,c o s(π-α)=si nα,t a n(π-α)=c o tα,c o t(π-α)=t a nα.4.平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)5.积的关系s i nα=t a nα·c o sαc o sα=c o tα·si nαt a nα=si nα·se cαc o tα=c o sα·c s cαs e cα=t a nα·c scαc s cα=se cα·c o tα6.倒数关系t a nα·c o tα=1s i nα·c scα=1c o sα·se cα=17.诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：s i n(2kπ+α)=si nαk∈zc o s(2kπ+α)=c o sαk∈zt a n(2kπ+α)=t a nαk∈zc o t(2kπ+α)=c o tαk∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：s i n(π+α)=-si nαc o s(π+α)=-c o sαt a n(π+α)=t a nα8.两角和差公式(1)si n(A+B)=si n A c o sB+c o sA si n B(2)si n(A-B)=si n A c o s B-si n B c o sA(3)c o s(A+B)=c o sA c o sB-si n A si n B(4)c o s(A-B)=c o sA c o sB+si n A si n B(5)t a n(A+B)=(t a n A+t a n B)/(1-t a n A t a n B)(6)t a n(A-B)=(t a n A-t a n B)/(1+t a n A t a n B)(7)c o t(A+B)=(c o t A c o t B-1)/(c o t B+c o t A)(8)c o t(A-B)=(c o t A c o t B+1)/(c o t B-c o t A)除了以上常考的三角函数公式外，掌握下面半角公式，积化和差和万能公式有利于快速解决选择题，达到事半功倍的效果哦！1.半角公式注：正负由α/2所在的象限决定。

考点29锐角三角函数考点总结1．锐角三角函数的意义：如图，在Rt △ABC 中，设∠C ＝90°，∠α为Rt △ABC 的一个锐角，则： ∠α的正弦sin α＝∠α的对边斜边；∠α的余弦cos α＝∠α的邻边斜边；∠α的正切tan α＝∠α的对边∠α的邻边2．同角三角函数之间的关系： sin 2A ＋cos 2A ＝ 1 ，tan A ＝s inA cos A ．3．互余两角三角函数之间的关系：(1)sin α＝cos (90°－α)，cos α＝sin (90°－α)． (2)tan α·tan (90°－α)＝1.(3)锐角的正弦值或正切值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小．(4)对于锐角A 有0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0. 4．特殊的三角函数值：5．如图，直角三角形的三条边与三个角这六个元素中，有如下的关系：(1)三边的关系(勾股定理)：a 2＋b 2＝c 2． (2)两锐角间的关系：∠A ＋∠B ＝90°． (3)边与角的关系：sin A ＝cos B ＝a c， cos A ＝sin B ＝b c ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a．6．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意理解其中的含义才能正确解题． (1)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角，如图．(2)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角， (3)坡角：坡面与水平面的夹角．(4)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h 表示坡的铅直高度，用l 表示坡的水平宽度，用i 表示坡度，即i ＝hl＝tan α，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡，如图．(5)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角，如图32­4．真题演练一、单选题1．（2021·浙江台州·中考真题）如图，将长、宽分别为12cm ，3cm 的长方形纸片分别沿AB ，AC 折叠，点M ，N 恰好重合于点P ．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（ ）A ．（36-cm 2B ．（36-cm 2C ．24 cm 2D ．36 cm 2【答案】A 【分析】过点C 作CF MN ⊥，过点B 作BE MN ⊥，根据折叠的性质求出60PAC α∠=∠=︒，30EAB PAB ∠=∠=︒，分别解直角三角形求出AB 和AC 的长度，即可求解．【详解】解：如图，过点C 作CF MN ⊥，过点B 作BE MN ⊥，∵长方形纸片分别沿AB ，AC 折叠，点M ，N 恰好重合于点P ， ∵60PAC α∠=∠=︒， ∵30EAB PAB ∠=∠=︒，∵90BAC ∠=︒，6cm sin BE AB EAB ==∠，sin CFAC α==，∵12ABCSAB AC =⋅=∵(212336cm ABCS S S=-=⨯-=-阴矩形，故选：A ．2．（2021·浙江金华·中考真题）如图是一架人字梯，已知2AB AC ==米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC 为（ ）A ．4cos α米B ．4sin α米C ．4tan α米D ．4cos α米 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到12BD DC BC ==，根据余弦的定义即可，得到答案． 【详解】过点A 作AD BC ⊥，如图所示：∵AB AC =，AD BC ⊥， ∵BD DC =， ∵DCco ACα=， ∵cos 2cos DC AC αα=⋅=， ∵24cos BC DC α==， 故选：A ．3．（2021·浙江温州·中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若1AB BC ==．AOB α∠=，则2OC 的值为（ ）A ．211sin α+ B ．2sin 1α+ C ．211cos α+ D ．2cos 1α+【答案】A 【分析】根据勾股定理和三角函数求解． 【详解】∵在Rt OAB 中，AOB α∠=，1AB = ∵1=sin sin AB OB αα= 在Rt OBC 中，1BC =，2222221111sin sin OC OB BC αα⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭故选：A ．4．（2021·浙江·中考真题）如图，已知在矩形ABCD 中，1,AB BC ==P 是AD 边上的一个动点，连结BP ，点C 关于直线BP 的对称点为1C ，当点P 运动时，点1C 也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段1CC 扫过的区域的面积是（ ）A ．πB ．π+C D ．2π【答案】B 【分析】先判断出点Q 在以BC 为直径的圆弧上运动，再判断出点C 1在以B 为圆心，BC 为直径的圆弧上运动，找到当点P 与点A 重合时，点P 与点D 重合时，点C 1运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设BP 与CC 1相交于Q ，则∵BQC =90°，∵当点P 在线段AD 运动时，点Q 在以BC 为直径的圆弧上运动， 延长CB 到E ，使BE =BC ，连接EC ， ∵C 、C 1关于PB 对称， ∵∵EC 1C =∵BQC =90°，∵点C 1在以B 为圆心，BC 为直径的圆弧上运动， 当点P 与点A 重合时，点C 1与点E 重合， 当点P 与点D 重合时，点C 1与点F 重合，此时，tanPC AB PBC BC BC ∠=== ∵∵PBC =30°，∵∵FBP =∵PBC =30°，CQ =12BC =BQ 32=，∵∵FBE =180°-30°-30°=120°，11322BCFS CC BQ =⨯==线段1CC 扫过的区域的面积是2120360BCFSππ⨯+=故选：B ．5．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ，连结,OC OD ．若O 的半径为,m AOD α∠=∠，则下列结论一定成立的是（ ）A ．tan OE m α=⋅B ．2sin CD m α=⋅C ．cos AE m α=⋅D ．2sin CODSm α=⋅【答案】B 【分析】根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答． 【详解】解：∵AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ， ∵12DE CD =在Rt EDO ∆中，OD m =，AOD α∠=∠ ∵tan =DEOEα ∵=tan 2tan DE CDOE αα=，故选项A 错误，不符合题意； 又sin DEODα=∵sin DE OD α=∵22sin CD DE m α==，故选项B 正确，符合题意； 又cos OEODα=∵cos cos OE OD m αα== ∵AO DO m ==∵cos AE AO OE m m α=-=-，故选项C 错误，不符合题意； ∵2sin CD m α=，cos OE m α=∵2112sin cos sin cos 22COD S CD OE m m m αααα∆=⨯=⨯⨯=，故选项D 错误，不符合题意； 故选B ．6．（2021·浙江宁波·中考真题）如图，在ABC 中，45,60,B C AD BC ∠=︒∠=︒⊥于点D ，BD =E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则EF 的长为（ ）A B C ．1 D 【答案】C 【分析】根据条件可知∵ABD 为等腰直角三角形，则BD =AD ，∵ADC 是30°、60°的直角三角形，可求出AC 长，再根据中位线定理可知EF =2AC。

2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：15锐角三角函数一．选择题（共13小题）1．（2022•椒江区校级二模）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形顶点上，则图中∠ACB 的正切值为（ ）A ．23B ．13C ．√22D ．√10102．（2022•鹿城区校级模拟）某滑梯示意图及部分数据如图所示．若AE ＝1m ，则DF 的长为（ ）A ．tanαtanβB ．tanβtanαC ．sinβsinαD ．sinαsinβ3．（2022•鹿城区校级二模）如图，梯子AB ＝AC ＝l ，∠ACB ＝α，两梯脚之间的距离BC 的长为d ．则d 与l 的关系式为（ ）A ．d ＝l •sin αB ．d ＝2l •cos αC ．d ＝2l •sin αD ．d ＝l •cos α4．（2022•婺城区模拟）如图，小华在课外时间利用仪器测量红旗的高度，从点A 处测得旗杆顶部B 的仰角为α，并测得到旗杆的距离AC 为m 米，若AD 为h 米，则红旗的高度BE为（）A．（m tanα+h）米B．（mtana+h）米C．m tanαD．mtana米5．（2022•景宁县模拟）如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB 于点D，下列用线段比表示tanα的值，错误的是（）A．CDBD B．ACBCC．CDACD．ADCD6．（2022•浦江县模拟）某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕点O旋转A′到A′B′的位置，已知OA＝a米，若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆最外点A升高的高度为（）A．a tanα米B．a cosα米C．asina米D．a sinα米7．（2022•鹿城区校级三模）铁路道口的栏杆如图．已知栏杆长为3米，当栏杆末端从水平位置上升到点C处时，栏杆前端从水平位置下降到点A处，下降的垂直距离AD为0.5米（栏杆的粗细忽略不计），上升前后栏杆的夹角为α，则栏杆末端上升的垂直距离CE 的长为（）A ．(3tanα−0.5)米B ．(3sinα−0.5)米C ．（3tan α﹣0.5）米D ．（3sin α﹣0.5）米8．（2022•温州校级模拟）为了疫情防控工作的需要，某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，摄像头到地面的距离DE ＝2.7米，小明身高BF ＝1.5米，他在点A 测得点D 的仰角是在点B 测得点D 仰角的2倍，已知小明在点B 测得的仰角是a ，则体温监测有效识别区域AB 的长为（ ）米．A ．65tan α−65tan2αB ．65tanα−65tan2α C ．65tan2α−65tanα D ．56tanα−56tan2α9．（2022•西湖区模拟）如图，边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 、E 在格点上，连接AE 、BC ，点D 在BC 上且满足AD ⊥BC ，则∠AED 的正切值是（ ）A ．12B ．2C ．√52D ．√5510．（2022•杭州模拟）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若AB ＝BC ＝2，∠BOC ＝α，则OA 2的值为（ ）A．4tan2α−4B．sin2α﹣4C．4sin2α−4D．tan2α﹣411．（2022•乐清市一模）如图，一只正方体箱子沿着斜面CG向上运动，∠C＝α，箱高AB ＝1米，当BC＝2米时，点A离地面CE的距离是（）米．A．1cosα+2sinαB．1cosα+12sinαC．cosα+2sinαD．2cosα+sinα12．（2022•洞头区模拟）如图1是放置在水平地面上的落地式话筒架．图2是其示意图，主杆AB垂直于地面，斜杆CD固定在主杆的点A处，若∠CAB＝α，AB＝120cm，AD＝40cm，则话筒夹点D离地面的高度DE为（）cmA．120+40sinαB．120+40cosαC．120+40sinαD．120+40cosα13．（2022•金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，∠ABC ＝α，则房顶A离地面EF的高度为（）A．（4+3sinα）m B．（4+3tanα）m C．（4+3sinα）m D．（4+3tanα）m二．填空题（共7小题）14．（2022•婺城区校级模拟）金华新金婺大桥是华东第一的独塔斜拉桥，如图1是新金婺大桥的效果图．2022年4月13日开始主塔吊装作业．如图2，我们把吊装过程抽象成如下数学问题：线段OP为主塔，在离塔顶10米处有一个固定点Q（PQ＝10米）．在东西各拉一根钢索QN和QM，已知MO等于214米．吊装时，通过钢索MQ牵拉，主塔OP由平躺桥面的位置，绕点O旋转到与桥面垂直的位置．中午休息时∠PON＝60°，此时一名工作人员在离M6.4米的B处，在位于B点正上方的钢索上A点处挂彩旗．AB正好是他的身高1.6米．（1）主塔OP的高度为米，（精确到整数米）（2）吊装过程中，钢索QN也始终处于拉直状态，因受场地限制和安全需要，QN与水平桥面的最大张角在37°到53°之间（即37°≤∠QNM≤53°），ON的取值范围是．（注：tan37°≈0.75，√3≈1.73）．15．（2022•丽水模拟）如图，图1是图2推窗的左视图，AF为窗的一边，窗框边AB＝1米，EF是可移动的支架，点C是AB的中点，点E可以在线段BC上移动．若AF＝2EF＝1米．（1）当E与B重合时，则∠AFE＝．（2）当E从点C到点B的移动过程中，点F移动的路径长为米．（结果保留π，参考数据：若sinα＝0.25，则α取14°）16．（2022•鹿城区校级三模）图1是一款摆臂遮阳蓬的实物图，图2是其侧面示意图，点A，O为墙壁上的固定点，摆臂OB绕点O旋转过程中，遮阳蓬AB可自由伸缩，蓬面始终保持平整．如图2，∠AOB＝90°，OA＝OB＝1.5米，光线l与水平地面的夹角约为tanα＝3，此时身高为1米的小朋友（MN＝1米）站在遮阳蓬下距离墙角1.2米（QN＝1.2米）处，刚好不被阳光照射到，此时小朋友的头顶M距离遮阳蓬的竖直高度（MP）为米；同一时刻下，旋转摆臂OB，点B的对应点B'恰好位于小朋友头顶M的正上方，当小朋友后退至刚好不被阳光照射到时，其头顶距离遮阳蓬的竖直高度为米．17．（2022•鹿城区二模）小郑在一次拼图游戏中，发现了一个很神奇的现象：（1）他先用图形①②③④拼出矩形ABCD．（2）接着拿出图形⑤．（3）通过平移的方法，用①②③④⑤拼出了矩形ABMN．已知AE：EO＝2：3，图形④的面积为15，则增加的图形⑤的面积为：，当CO=31 2，EH＝4时，tan∠BAO＝．18．（2022•义乌市模拟）图1是某折叠式躺椅的实物图，图2是靠背垂直地面时的侧面展开图，此时四边形ABCD 是矩形，AB ＝20cm ，AD ＝30√5cm ，DE ＝60cm ，BF ＝30cm ．点H 在BC 上，椅子的支撑杆AF 、BG 、CE 分别绕B 、H 、D 转动并带动AI 转动，支撑杆LK 、JM 不动．躺椅在转动时：（1）若直线EF 过点J ，当∠ADE ＝120°时，△AFJ 的面积是 cm 2．（2）若12＜tan ∠EDI ＜2，EF 与地面的夹角为α，则tan α的取值范围是 ．19．（2022•衢州一模）三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”（标号1）沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕“转动副”（标号2﹣9）转动；图2是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形CDEF 和四边形DGMN 都是平行四边形，AC ＝BC ＝13cm ，DE ＝2cm ，DN ＝1cm ．（1）若关闭折伞后，点A 、E 、H 三点重合，点B 与点M 重合，则BN ＝ cm ．（2）在（1）的条件下，折伞完全撑开时，∠BAC ＝75°，则点H 到伞柄AB 距离是 cm ．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，结果精确到0.1cm ）20．（2022•金华）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，EF为吸热塔，在地平线EG上的点B，B′处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，A'）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知AB＝A'B'＝1m，EB＝8m，EB'＝8√3m，在点A观测点F的仰角为45°．（1）点F的高度EF为m．（2）设∠DAB＝α，∠D'A'B'＝β，则α与β的数量关系是．三．解答题（共11小题）21．（2022•宁波模拟）21、由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点c处有生命迹象．在废墟一侧地面上探测点A，B相距2m，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C的深度．（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，结果精确到0.1米）22．（2022•婺城区模拟）大跳台滑雪比赛的某段赛道如图所示，中国选手谷爱凌从离水平地面100米高的A点出发（AB＝100米），沿俯角为30°的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为60°的方向滑行到地面的C处，求：（1）若AD＝140米，则她滑行的水平距离BC为多少米？（2）若她滑行的两段路线AD与CD的长度比为4：√3，求路线AD的长．23．（2022•北仑区校级三模）图1是淘宝上常见的“懒人桌”，其主体由一张桌面以及两根长度相等的支架组成，支架可以通过旋转收拢或打开，图2是其打开示意图，经操作发现，当∠ADC＝∠BCD≥90°时，可稳定放置在水平地面上，经测量，AD＝BC＝30cm，CD＝40cm．（1）当其完全打开且置于水平地面上时，测得∠ADC＝140°，求AB距离；（2）在（1）的基础上，若要在该桌上办公，已知眼睛与桌面的垂直距离以30cm为佳，实际办公时，眼睛与桌面的垂直距离为34.8cm，若保持身体不动，通过旋转支架AD以及BC抬高桌面，则A点应向内移动多少厘米，才能达到最佳距离？（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）24．（2022•嘉兴一模）图1是小明家电动单人沙发的实物图，图2是该沙发主要功能介绍，其侧面示意图如图3所示．沙发通过开关控制，靠背AB和脚托CD可分别绕点B，C旋转调整角度．“n°某某”模式时，表示∠ABC＝n°，如“140°看电视”模式时∠ABC ＝140°．已知沙发靠背AB长为50cm，坐深BC长为54cm，BC与地面水平线平行，脚托CD长为40cm，∠DCD'＝∠ABC﹣80°，初始状态时CD⊥BC．（1）求“125°阅读”模式下∠DCD'的度数．（2）求当该沙发从初始位置调至“125°阅读”模式时，点D运动的路径长．（3）小明将该沙发调至“150°听音乐”模式时，求点A，D′之间的水平距离（精确到个位）．（参考数据：√3≈ 1.7，sin70°≈0.9，cos70°≈0.3）25．（2022•嘉兴二模）如图1是学生常用的一种圆规，其手柄AB＝8mm，两脚BC＝BD＝56mm，如图2所示，当∠CBD＝74°时．（1）求A离纸面CD的距离．（2）用该圆规作如图3所示正六边形，求该正六边形的周长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，结果精确到0.1）26．（2022•金东区三模）如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点D在书架底部，顶点F靠在书架右侧，顶点C靠在档案盒上，若书架内侧长为60cm，∠CDE＝53°，档案盒长度AB＝35cm．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）（1）求点C到书架底部距离CE的长度；（2）求ED的长度；（3）求出该书架中最多能放几个这样的档案盒．27．（2022•奉化区二模）图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图，其中支杆AB＝BC＝20cm，可绕支点C，B调节角度，DE为手机的支撑面，DE ＝18cm，支点A为DE的中点，且DE⊥AB．（1）若支杆BC与桌面的夹角∠BCM＝70°，求支点B到桌面的距离；（2）在（1）的条件下，若支杆BC与AB的夹角∠ABC＝110°，求支撑面下端E到桌面的距离．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.78，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）28．（2022•台州）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2．梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）29．（2022•绍兴）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC 垂直圭BC ，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC ）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC ）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为4米．（1）求∠BAD 的度数．（2）求表AC 的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，tan84°≈192） 30．（2022•绍兴）（1）计算：6tan30°+（π+1）0−√12． （2）解方程组：{2x −y =4x +y =2．31．（2022•舟山）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD ＝BE ＝10cm ，CD ＝CE ＝5cm ，AD ⊥CD ，BE ⊥CE ，∠DCE ＝40°．（1）连结DE ，求线段DE 的长． （2）求点A ，B 之间的距离．（结果精确到0.1cm ．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：15锐角三角函数参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2022•椒江区校级二模）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形顶点上，则图中∠ACB 的正切值为（ ）A ．23B ．13C ．√22D ．√1010【解答】解：由勾股定理 可求出：BC ＝2√2，AC ＝2√5，DF =√10，DE =√2， ∴FD AC =√22FE BC =√22，ED AB =√22， ∴FD AC=ED AB=EF BC，∴△FDE ∽△CAB ， ∴∠DFE ＝∠ACB ， ∴tan ∠DFE ＝tan ∠ACB =13， 故选：B ．2．（2022•鹿城区校级模拟）某滑梯示意图及部分数据如图所示．若AE ＝1m ，则DF 的长为（ ）A ．tanαtanβB ．tanβtanαC ．sinβsinαD ．sinαsinβ【解答】解：∵tanα=BEAE ，AE ＝1m ， ∴BE ＝tan α，∵BE＝CF，∴BE＝CF＝tanα，∴tanβ=CF DF，∴DF=CFtanβ=tanαtanβ．故选：A．3．（2022•鹿城区校级二模）如图，梯子AB＝AC＝l，∠ACB＝α，两梯脚之间的距离BC的长为d．则d与l的关系式为（）A．d＝l•sinαB．d＝2l•cosαC．d＝2l•sinαD．d＝l•cosα【解答】解：作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝l，BC＝d，∴CD=12d，∵∠ACB＝α，cos∠ACD=CD AC，∴cosα=12d l，∴d＝2l cosα，故选：B．4．（2022•婺城区模拟）如图，小华在课外时间利用仪器测量红旗的高度，从点A处测得旗杆顶部B的仰角为α，并测得到旗杆的距离AC为m米，若AD为h米，则红旗的高度BE为（）A．（m tanα+h）米B．（mtana+h）米C．m tanαD．mtana米【解答】解：如图，DE＝m米，∠BAC＝α，DE＝h米，∵四边形ADEC为矩形，∴DE＝AC＝m米，AD＝CE＝h米，在Rt△ADC中，∵tan∠BAC=BC AC，∴BC＝m tanα，∴BE＝BC+CE＝（m tanα+h）米．故选：A．5．（2022•景宁县模拟）如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB 于点D，下列用线段比表示tanα的值，错误的是（）A．CDBD B．ACBCC．CDACD．ADCD【解答】解：∵AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∴∠B+∠BCD＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠B＝∠ACD＝∠α，∴tan B＝tan∠ACD，∴tan B＝tanα=CDBD=ACBC=ADCD，故选：C．6．（2022•浦江县模拟）某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕点O旋转A′到A′B′的位置，已知OA＝a米，若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆最外点A升高的高度为（）A．a tanα米B．a cosα米C．asina米D．a sinα米【解答】解：过点A′作A′D⊥AB，垂足为D，由旋转得：OA＝OA′＝a米，在Rt△A′DO中，∠AOA′＝α，∴A′D＝A′O•sin∠AOA′＝a sinα（米），∴栏杆最外点A升高的高度为a sinα米，故选：D．7．（2022•鹿城区校级三模）铁路道口的栏杆如图．已知栏杆长为3米，当栏杆末端从水平位置上升到点C处时，栏杆前端从水平位置下降到点A处，下降的垂直距离AD为0.5米（栏杆的粗细忽略不计），上升前后栏杆的夹角为α，则栏杆末端上升的垂直距离CE 的长为（）A．(3tanα−0.5)米B．(3sinα−0.5)米C．（3tanα﹣0.5）米D．（3sinα﹣0.5）米【解答】解：如图：过点A 作AF ∥DE ，交CE 的延长线于点F ， ∵CE ⊥DE ， ∴∠CED ＝90°， ∵AF ∥DE ，∴∠CF A ＝∠CED ＝90°，∠CAF ＝∠CBE ＝α， 由题意可知：EF ＝AD ＝0.5米，AC ＝3米， ∵sin ∠CAF =CFAC ， ∴CF ＝3sin α（米），∴CE ＝CF ﹣EF ＝（3sin α﹣0.5）（米），即栏杆末端上升的垂直距离CE 的长为（3sin α﹣0.5）米． 故选：D ．8．（2022•温州校级模拟）为了疫情防控工作的需要，某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，摄像头到地面的距离DE ＝2.7米，小明身高BF ＝1.5米，他在点A 测得点D 的仰角是在点B 测得点D 仰角的2倍，已知小明在点B 测得的仰角是a ，则体温监测有效识别区域AB 的长为（ ）米．A ．65tan α−65tan2αB ．65tanα−65tan2αC ．65tan2α−65tanαD ．56tanα−56tan2α【解答】解：由题意得： ∠DCA ＝90°，CE ＝BF ＝1.5米，∵DE ＝2.7米，∴DC ＝DE ﹣CE ＝2.7﹣1.5＝1.2（米）， 在Rt △DCB 中，∠DBC ＝α， ∴BC =DCtanα= 1.2tanα=65tanα（米）， 在Rt △DCA 中，∠DAC ＝2∠DBC ＝2α， ∴AC =DCtan2α= 1.2tan2α=65tan2α（米）， ∴AB ＝BC ﹣AC ＝（65tanα−62tan2α）米，故选：B ．9．（2022•西湖区模拟）如图，边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 、E 在格点上，连接AE 、BC ，点D 在BC 上且满足AD ⊥BC ，则∠AED 的正切值是（ ）A ．12B ．2C ．√52D ．√55【解答】解：连接OD ，∵AD ⊥BC ，O 是AB 中点， ∴OD =12AB ＝1， ∴OD ＝OA ＝OE ＝OD ，∴点A 、D 、B 、E 在以O 为圆心，1为半径的同一个圆上， ∴∠ABC ＝∠AED ，∴tan ∠AED ＝tan ∠ABD =12，故选：A．10．（2022•杭州模拟）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC ＝2，∠BOC＝α，则OA2的值为（）A．4tan2α−4B．sin2α﹣4C．4sin2α−4D．tan2α﹣4【解答】解：在Rt△OBC中，BC＝2，∠BOC＝α，∴OB=BCtanα=2tanα，在Rt△ABO中，AB＝2，∴OA2＝OB2﹣AB2＝（2tanα）2﹣22=4tan2α−4，故选：A．11．（2022•乐清市一模）如图，一只正方体箱子沿着斜面CG向上运动，∠C＝α，箱高AB ＝1米，当BC＝2米时，点A离地面CE的距离是（）米．A．1cosα+2sinαB．1cosα+12sinαC．cosα+2sinαD．2cosα+sinα【解答】解：过点B作BM⊥AD，垂足为M，由题意得：BE＝DM，∠ABC＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠C+∠CFD＝90°，∠AFB+∠BAF＝90°，∵∠CFD＝∠AFB，∴∠C＝∠BAF＝α，在Rt△ABM中，AB＝1米，∴AM＝AB•cosα＝cosα（米），在Rt△CBE中，BC＝2米，∴BE＝BC•sinα＝2sinα（米），∴DM＝BE＝2sinα米，∴AD＝AM+DM＝（cosα+2sinα）米，∴点A离地面CE的距离是（cosα+2sinα）米，故选：C．12．（2022•洞头区模拟）如图1是放置在水平地面上的落地式话筒架．图2是其示意图，主杆AB垂直于地面，斜杆CD固定在主杆的点A处，若∠CAB＝α，AB＝120cm，AD＝40cm，则话筒夹点D离地面的高度DE为（）cmA．120+40sinαB．120+40cosαC．120+40sinαD．120+40cosα【解答】解：过点A作AF⊥DE，垂足为F，∵AB⊥BE，DE⊥BE，∴∠AFE＝∠ABE＝∠BEF＝90°，∴四边形AFEB是矩形，∴AB＝FE＝120cm，AB∥EF，∴∠D＝∠CAB＝α，在Rt△ADF中，AD＝40cm，∴DF＝AD•cosα＝40cosα（cm），∴DE＝DF+EF＝（40cosα+120）cm，∴话筒夹点D离地面的高度DE为（40cosα+120）cm，故选：B．13．（2022•金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，∠ABC ＝α，则房顶A离地面EF的高度为（）A．（4+3sinα）m B．（4+3tanα）m C．（4+3sinα）m D．（4+3tanα）m【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图，∵它是一个轴对称图形，∴AB＝AC，∵AD⊥BC，∴BD=12BC＝3m，在Rt△ADB中，∵tan∠ABC=AD BD，∴AD＝BD•tanα＝3tanαm．∴房顶A离地面EF的高度＝AD+BE＝（4+3tanα）m，故选：B．二．填空题（共7小题）14．（2022•婺城区校级模拟）金华新金婺大桥是华东第一的独塔斜拉桥，如图1是新金婺大桥的效果图．2022年4月13日开始主塔吊装作业．如图2，我们把吊装过程抽象成如下数学问题：线段OP为主塔，在离塔顶10米处有一个固定点Q（PQ＝10米）．在东西各拉一根钢索QN和QM，已知MO等于214米．吊装时，通过钢索MQ牵拉，主塔OP由平躺桥面的位置，绕点O旋转到与桥面垂直的位置．中午休息时∠PON＝60°，此时一名工作人员在离M6.4米的B处，在位于B点正上方的钢索上A点处挂彩旗．AB正好是他的身高1.6米．（1）主塔OP的高度为82米，（精确到整数米）（2）吊装过程中，钢索QN也始终处于拉直状态，因受场地限制和安全需要，QN与水平桥面的最大张角在37°到53°之间（即37°≤∠QNM≤53°），ON的取值范围是90≤ON≤120．（注：tan37°≈0.75，√3≈1.73）．【解答】解：（1）过点Q作QG⊥MN交于G点，∵MB ＝6.4米，AB ＝1.6米， ∴tan ∠AMB =14， ∴MG ＝4QG ， ∵∠PON ＝60°，∴QG ＝OG •tan60°=√3OG ， ∵MO ＝214米， ∴214+√33OG ＝4OG ， 解得OG =64212−√3米， ∴OQ =QGsin60°≈72米， ∵QP ＝10米， ∴OP ≈82米， 故答案为：82；（2）在Rt △QNG 中，GN ＝QG •tan ∠NQG ， 在Rt △OGQ 中，OG =64212−√3米，QG =64212−√3×√3米， ∴GN =12−√3×√3•tan ∠NQG ，∴ON =12−√312−√3√3•tan ∠NQG ，∵37°≤∠QNM ≤53°， ∴37°≤∠NQG ≤53°， ∵tan37°≈0.75， ∴tan53°≈43， ∴34≤tan ∠NQG ≤43，∴90≤ON ≤120， 故答案为：90≤ON ≤120．15．（2022•丽水模拟）如图，图1是图2推窗的左视图，AF为窗的一边，窗框边AB＝1米，EF是可移动的支架，点C是AB的中点，点E可以在线段BC上移动．若AF＝2EF＝1米．（1）当E与B重合时，则∠AFE＝76°．（2）当E从点C到点B的移动过程中，点F移动的路径长为8π45米．（结果保留π，参考数据：若sinα＝0.25，则α取14°）【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥EF，交EF于点D，则∠ADF＝90°，∵AF＝AE＝1米，AF＝2EF，∴EF＝0.5米，DF＝DE＝0.25米，在Rt△ADE中，sin∠EAD=DEAE=0.251=0.25，∴∠EAD＝14°，∴∠AFE＝∠AEF＝90°﹣∠EAD＝90°﹣14°＝76°；故答案为：76°；（2）点E 从点C 到点B 的移动过程中，当EF 垂直于AB 时， ∵AF ＝2EF ， ∴∠EF A ＝30°，即此时∠EAF 取得最大值， 当点E 与点B 重合时，由（1）知，∠EAD ＝14°，AF ＝AE ，AD ⊥EF ， ∴∠EAF ＝28°， 当E 与B 重合时， 此时AF 和AB 重合，∴当E 从点C 到点B 的移动过程中，点F 的移动路径是以点A 为圆心，1米长为半径，圆心角为32°的弧， 路径长为：32π×1180=8π45（米）．故答案为：8π45．16．（2022•鹿城区校级三模）图1是一款摆臂遮阳蓬的实物图，图2是其侧面示意图，点A ，O 为墙壁上的固定点，摆臂OB 绕点O 旋转过程中，遮阳蓬AB 可自由伸缩，蓬面始终保持平整．如图2，∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝1.5米，光线l 与水平地面的夹角约为tan α＝3，此时身高为1米的小朋友（MN ＝1米）站在遮阳蓬下距离墙角1.2米（QN ＝1.2米）处，刚好不被阳光照射到，此时小朋友的头顶M 距离遮阳蓬的竖直高度（MP ）为 0.3 米；同一时刻下，旋转摆臂OB ，点B 的对应点B '恰好位于小朋友头顶M 的正上方，当小朋友后退至刚好不被阳光照射到时，其头顶距离遮阳蓬的竖直高度为 1.3 米．【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝45°，∴MP＝MB，∵OM＝QN＝1.2m，OB＝1.5m，∴MP＝MB＝1.5﹣1.2＝0.3（m），过点B′作B′C∥BN，与QN交于点C，过B′作B′F⊥AQ于F，过C作CD⊥B′F 于点D，与AB′交于点E，则B′F＝OM＝QN＝1.2（m），∴FO＝B′M=√OB′2−OM2=√1．52−1．22=0.9（m），∴B′N＝B′M+MN＝1.9（m），AF＝OA﹣FO＝0.6（m），∵B′C∥BN，∴∠B′CN＝∠α，∴tan∠B′CN=B′NCN=3，∴B′D＝CN=1.93=1930（m），∵DE ∥AF ， ∴B′D B′F=DEAF ，即19301.2=DE0.6∴DE =1915≈1.3（m ），即当小朋友后退至刚好不被阳光照射到时，其头顶距离遮阳蓬的竖直高度约为1.3m ． 故答案为：0.3；1.3．17．（2022•鹿城区二模）小郑在一次拼图游戏中，发现了一个很神奇的现象： （1）他先用图形①②③④拼出矩形ABCD ． （2）接着拿出图形⑤．（3）通过平移的方法，用①②③④⑤拼出了矩形ABMN ． 已知AE ：EO ＝2：3，图形④的面积为15，则增加的图形⑤的面积为： 152，当CO =312，EH ＝4时，tan ∠BAO ＝ 13．【解答】解：（1）如图，在平移后的图形中分别标记O ′，O ″，F ′，H ′，E ′和G ′，由题意可知，AE ：EO ＝2：3 G ′H ′＝FC ＝NF ′ ∴DF ：FC ＝2：3，NO ′：O ′F ′＝1：2 又∵图⑤和图④的高相等， ∴图⑤和图④的面积比为1：2， ∴图⑤的面积为152．故答案为：152．（3）由题意可知，S 四边形AOCD =12×(CO +AD)×CD ， S 四边形AOMN =12×(MO +AN)×NF ， S 四边形AOCD +152=S 四边形AOMN 设DF ＝2a ，DG ＝x ，则CF ＝G ′H ′＝3a ，CO ＝H ′E ′=312，CD ＝NF ＝5a ， EF ＝AG ′＝4+x ，AG ＝E ′F ′=312+x ， ∴AD ＝x +312+x =312+2x ， AN ＝4+x +x ＝4+2x ， 又∵ax =152，综上解得：a ＝3，x =52， ∵OB ＝2x ＝5，AB ＝5a ＝15， ∴tan ∠BAO =OB AB =515=13， 故答案为：13．18．（2022•义乌市模拟）图1是某折叠式躺椅的实物图，图2是靠背垂直地面时的侧面展开图，此时四边形ABCD 是矩形，AB ＝20cm ，AD ＝30√5cm ，DE ＝60cm ，BF ＝30cm ．点H 在BC 上，椅子的支撑杆AF 、BG 、CE 分别绕B 、H 、D 转动并带动AI 转动，支撑杆LK 、JM 不动．躺椅在转动时：（1）若直线EF 过点J ，当∠ADE ＝120°时，△AFJ 的面积是1875√1511cm 2． （2）若12＜tan ∠EDI ＜2，EF 与地面的夹角为α，则tan α的取值范围是 1137＜tan α＜1113 ．【解答】解：（1）若直线EF过点J，当∠ADE＝120°时，如图1所示，由题意可知，AB∥CD，∴∠F＝∠E，∠F AJ＝∠ADE＝120°，∴△F AJ∽△EDJ，∴AFDE =AJDJ，∵AF＝AB+BF＝50cm，DE＝60cm，∴AFDE =AJDJ=5060=56，∴AJ=511AD=150√511cm，过点F作FN⊥DA交DA的延长线于点N，则∠ANF＝90°，在Rt△AFN中，∠F AN＝180°﹣∠F AJ＝60°，AF＝50cm，∴FN＝AF sin∠F AN＝50×sin60°＝25√3，∴△AFJ的面积=12×AJ×FN=1875√1511cm2；（2）当tan∠EDI=12时，如图2所示，作EP⊥DI于点P，则∠EPD＝90°，设EF交AD于点Q，由题意可知，AB∥CD，∴∠F＝∠QED，∠F AQ＝∠QDE，∴△F AQ∽△EDQ，∴AFDE =AQDQ，∵AF＝AB+BF＝50cm，DE＝60cm，∴AFDE =AQDQ=5060=56，∴DQ=611AD=180√511cm，设EP＝x，则DP＝2x，由勾股定理得：EP2+DP2＝DE2，∴x2+（2x）2＝602，解得x＝12√5cm，∴EP＝12√5cm，DP＝24√5cm，PQ＝DP+DQ=444√511cm，∴tanα＝tan∠EQP=EPPQ=√5444√511=1137；当tan∠EDI＝2时，如图所示，同理可求得DQ=180√511cm，DP＝12√5cm，EP＝24√5cm，∴PQ＝DP+DQ=312√511cm，∴tanα＝tan∠EQP=EPPQ=24√5312√511=1113；∵EF与地面的夹角α随着∠EDI的增大而增大，∴当12＜tan ∠EDI ＜2时，tan α的取值范围是1137＜tan α＜1113． 故答案为：1875√1511cm 2；1137＜tan α＜1113． 19．（2022•衢州一模）三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”（标号1）沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕“转动副”（标号2﹣9）转动；图2是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形CDEF 和四边形DGMN 都是平行四边形，AC ＝BC ＝13cm ，DE ＝2cm ，DN ＝1cm ．（1）若关闭折伞后，点A 、E 、H 三点重合，点B 与点M 重合，则BN ＝ 23 cm ．（2）在（1）的条件下，折伞完全撑开时，∠BAC ＝75°，则点H 到伞柄AB 距离是 69.8 cm ．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，结果精确到0.1cm ）【解答】解：（1）∵关闭折伞后，点A 、E 、H 三点重合，∴AC ＝CD +DE ，∴CD ＝13﹣2＝11，∴CN ＝CD ﹣DN ＝11﹣1＝10，∴BN ＝BC +CN ＝13+10＝23（cm ），故答案为：23；（2）如图2，A 、E 、H 三点共线并且AH ⊥AB ，过点F 作FK ⊥AE 于点K ，过点G 作GJ ⊥EH 于点J ，∵∠BAC ＝75°，AC ＝BC ＝13cm ，∴∠ACB＝30°，∵AC∥DE，DG∥MN，∴∠AFE＝∠EGH＝150°，∵AF＝EF，FK⊥AE，∴∠AFK＝∠EFK＝75°，AK＝EK，∵DE＝2cm，∴FC＝DE＝2cm，∴AF＝EF＝AC﹣FC＝13﹣2＝11cm，∴AK＝AF•sin75°＝11×0.97≈10.67，∴AE＝21.34，∵关闭折伞后，点A、E、H三点重合，点B与点M重合，∴BN＝MN＝23cm，EG＝GH，∴EG＝MN+DE＝23+2＝25cm，同理，EJ＝EG•sin75°＝25×0.97＝24.25，∴EH＝2EJ＝2×24.25＝48.5，∵∠BAC＝75°，∠F AE＝15°，∴AH＝AE+EH＝21.34+48.5≈69.8．∴AE⊥AB，∴点H到伞柄AB距离为69.8cm．故答案为：69.8．20．（2022•金华）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，EF为吸热塔，在地平线EG上的点B，B′处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，A'）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知AB＝A'B'＝1m，EB＝8m，EB'＝8√3m，在点A观测点F的仰角为45°．（1）点F的高度EF为9m．（2）设∠DAB＝α，∠D'A'B'＝β，则α与β的数量关系是α﹣β＝7.5°．【解答】解：（1）连接A′A并延长交EF于点H，如图，则四边形HEB′A′，HEBA，ABB′A′均为矩形，∴HE＝AB＝A′B′＝1m，HD＝EB＝8m，HA′＝EB′＝8√3m，∵在点A观测点F的仰角为45°，∴∠HAF＝45°，∴∠HF A＝45°，∴HF＝HD＝8，∴EF＝8+1＝9（m），故答案为：9；（2）作DC的法线AK，D′C′的法线A′R，如图所示：则∠F AM＝2∠F AK，∠F A′N＝2∠F A′R，∵HF＝8m，HA′＝8√3m，∴tan∠HF A′=√3，∴∠HF A′＝60°，∴∠AF A′＝60°﹣45°＝15°，∵太阳光线是平行光线，∴A′N∥AM，∴∠NA′M＝∠AMA′，∵∠AMA′＝∠AFM+∠F AM，∴∠NA′M＝∠AFM+∠F AM，∴2∠F A′R＝15°+2∠F AK，∴∠F A′R＝7.5°+∠F AK，∵AB∥EF，A′B′∥EF，∴∠BAF＝180°﹣45°＝135°，∠B′A′F＝180°﹣60°＝120°，∴∠DAB＝∠BAF+∠F AK﹣∠DAK＝135°+∠F AK﹣90°＝45°+∠F AK，同理，∠D′A′B′＝120°+∠F A′R﹣90°＝30°+∠F A′R＝30°+7.5°+∠F AK＝37.5+F AK，∴∠DAB﹣∠D′A′B′＝45°﹣37.5°＝7.5°，故答案为：α﹣β＝7.5°．三．解答题（共11小题）21．（2022•宁波模拟）21、由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点c处有生命迹象．在废墟一侧地面上探测点A，B相距2m，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C的深度．（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，结果精确到0.1米）【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，由题意可知，∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，设CD＝x米，则BD=xtan60°，AD=xtan30°，∵AB＝2米，AD＝AB+BD，∴AD＝2+BD，∴2+xtan60°=xtan30°，解得x≈1.7，即生命所在点C的深度是1.7米．22．（2022•婺城区模拟）大跳台滑雪比赛的某段赛道如图所示，中国选手谷爱凌从离水平地面100米高的A点出发（AB＝100米），沿俯角为30°的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为60°的方向滑行到地面的C处，求：（1）若AD＝140米，则她滑行的水平距离BC为多少米？（2）若她滑行的两段路线AD与CD的长度比为4：√3，求路线AD的长．【解答】解：（1）如图：过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F，由题意得：DE＝BF，BE＝DF，AG∥DE，DH∥BC，∴∠GAD＝∠ADE＝30°，∠HDC＝∠DCF＝60°，在Rt△ADE中，AD＝140米，∴AE ＝AD •sin30°＝140×12=70（米）， DE ＝AD •cos30°＝140×√32=70√3（米），∴DE ＝BF ＝70√3米，∵AB ＝100米，∴BE ＝AB ﹣AE ＝30（米），∴BE ＝DF ＝30米，在Rt △DFC 中，CF =DF tan60°=√3=10√3（米）， ∴BC ＝BF +CF ＝80√3（米），∴她滑行的水平距离BC 为80√3米；（2）∵AD 与CD 的长度比为4：√3，∴设AD ＝4x 米，则CD =√3x 米，在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°，∴AE =12AD ＝2x （米），在Rt △DFC 中，∠DCF ＝60°，∴DF ＝CD •sin60°=√3x •√32=32x （米）， ∴BE ＝DF =32x 米，∵AB ＝100米，∴AE +BE ＝100，∴2x +32x ＝100，解得：x =2007， ∴AD ＝4x =8007（米）， ∴路线AD 的长为8007米．23．（2022•北仑区校级三模）图1是淘宝上常见的“懒人桌”，其主体由一张桌面以及两根长度相等的支架组成，支架可以通过旋转收拢或打开，图2是其打开示意图，经操作发现，当∠ADC ＝∠BCD ≥90°时，可稳定放置在水平地面上，经测量，AD ＝BC ＝30cm ，CD ＝40cm ．（1）当其完全打开且置于水平地面上时，测得∠ADC＝140°，求AB距离；（2）在（1）的基础上，若要在该桌上办公，已知眼睛与桌面的垂直距离以30cm为佳，实际办公时，眼睛与桌面的垂直距离为34.8cm，若保持身体不动，通过旋转支架AD以及BC抬高桌面，则A点应向内移动多少厘米，才能达到最佳距离？（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【解答】解：（1）过点D作DM⊥AB，垂足为M，过点C作CN⊥AB，垂足为N，则CD ＝MN＝40cm，AM＝BN＝cos∠DAB•AD≈0.77×30＝23.1（cm），∴AB＝23.1×2+40＝86.2（cm），答：AB的距离约为86.2cm；（2）由题意得，桌子要抬高34.8﹣30＝4.8（cm），即DM要变为sin∠DAB×30+4.8＝24（cm），∴AM=√AD2−DM2=√302−242＝18cm，即点A要向内移动23.1﹣18＝5.1（cm），答：向内移动5.1cm．24．（2022•嘉兴一模）图1是小明家电动单人沙发的实物图，图2是该沙发主要功能介绍，其侧面示意图如图3所示．沙发通过开关控制，靠背AB和脚托CD可分别绕点B，C旋转调整角度．“n°某某”模式时，表示∠ABC＝n°，如“140°看电视”模式时∠ABC ＝140°．已知沙发靠背AB长为50cm，坐深BC长为54cm，BC与地面水平线平行，脚托CD长为40cm，∠DCD'＝∠ABC﹣80°，初始状态时CD⊥BC．（1）求“125°阅读”模式下∠DCD'的度数．（2）求当该沙发从初始位置调至“125°阅读”模式时，点D运动的路径长．（3）小明将该沙发调至“150°听音乐”模式时，求点A ，D ′之间的水平距离（精确到个位）．（参考数据：√3≈ 1.7，sin70°≈0.9，cos70°≈0.3）【解答】解：（1）∵“125°阅读”模式下∠ABC ＝125°，∴∠DCD '＝∠ABC ﹣80°＝125°﹣80°＝45°；（2）∵∠DCD ′＝45°，CD ＝40cm ，∴点D 运动的路径长为：45π×40180=10π（cm 2）；（3）如图，过点作AN ⊥BC ，交CB 的延长线于点N ，过点D ′M ⊥CD 于点M ，∵“150°听音乐”模式时∠ABC ＝150°，∴∠DCD '＝∠ABC ﹣80°＝150°﹣80°＝70°，∠ABN ＝30°，在Rt △ABN 中，BN ＝AB •cos30°＝50×√32=25√3≈43，在Rt △CMD ′中，MD ′＝CD ′•sin70°≈40×0.9＝36，∴点A ，D ′之间的水平距离为：BN +BC +MD ′＝43+54+36＝133（cm ）．25．（2022•嘉兴二模）如图1是学生常用的一种圆规，其手柄AB ＝8mm ，两脚BC ＝BD ＝56mm ，如图2所示，当∠CBD ＝74°时．（1）求A 离纸面CD 的距离．（2）用该圆规作如图3所示正六边形，求该正六边形的周长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，结果精确到0.1）【解答】解：（1）连接CD，延长AB交CD于点E，则AE⊥CD，∵BC＝BD＝56mm，∴∠CBE=12∠CBD＝37°，CD＝2CE，在Rt△BCE中，BE＝BC•cos37°≈56×0.8＝44.8（mm），∵AB＝8mm，∴AE＝AB+BE＝8+44.8＝52.8（mm），∴A离纸面CD的距离约为52.8mm；（2）在Rt△BCE中，∠CBE＝37°，BC＝56mm，∴CE＝BC•sin37°≈56×0.6＝33.6（mm），∴CD＝2CE＝67.2（mm），∴正六边形的边长为67.2mm，∴正六边形的周长＝6×67.2＝403.2（mm），∴正六边形的周长约为403.2mm．26．（2022•金东区三模）如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点D在书架底部，顶点F靠在书架右侧，顶点C靠在档案盒上，若书架内侧长为60cm，∠CDE＝53°，档案盒长度AB＝35cm．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）。

考点16 锐角三角函数及其应用【命题趋势】中考数学中，对锐角三角函数的考察主要以特殊角的三角函数值及其有关计算、解直角三角形、解直角三角形的应用三个方面为主。

其中，锐角三角函数的性质及解直角三角形多以选择填空题为主，解直角三角形的应用多以解答题为主。

整体难度不大，但是所占分值有3~12分，还是需要考生对这块易拿分的考点多加重视。

【中考考查重点】一、锐角三角函数的定义及其性质 二、特殊角的三角函数值 三、解直角三角形 四、解直角三角形的应用考向一：锐角三角函数的定义及其性质 一．锐角三角函数的定义：在Rt △AABC 中，∠C=90°，AB=c ，BC=a ，AC=b 则：∠A 正弦：caA A =∠=斜边的对边sin ；∠A 余弦：c bA ==斜边的邻边cos ；∠A 正切：baA A A =∠∠=的邻边的对边tan ；二．锐角三角函数的函数关系当∠A ＋∠B=90°时，有以下两种关系：（1）.同角三角函数的关系：AA A cos sin tan =； 1cos sin 22=+A A （2）互余两角的三角函数的关系：B A B A sin cos ;cos sin ==; )90(1tan tan ︒=∠+∠=•B A B A【同步练习】1．（2021•句容市模拟）在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，则（ ）ACBabcA．c＝b sin B B．b＝c sin B C．a＝b tan B D．b＝c tan B【分析】根据正弦、正切的定义计算，判断即可．【解答】解：A、sin B＝，则b＝c sin B，本选项说法错误；B、b＝c sin B，本选项说法正确；C、tan B＝，则b＝a tan B，本选项说法错误；D、b＝a tan B，本选项说法错误；故选：B．2．（2021•饶平县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝m，∠B＝β，那么AB＝（）A．m⋅sin βB．C．m⋅cosβD．【分析】根据余弦的概念解答即可．【解答】解：∵∠C＝90°，m，∠B＝β，∴cosβ＝，∴AB＝，故选：D．3．（2021•张湾区模拟）如图，小正方形的边长均为1，有格点△ABC，则sin C＝（）A．B．C．D．【分析】连接BD，根据正方形的性质得到，∠CDB＝90°，BD＝，BC＝，根据正弦的定义计算即可．【解答】解：如图，连接BD，由正方形的性质可知，∠CDB＝90°，BD＝，BC＝，则sin C＝＝，故选：B．4．（2021•商河县校级模拟）当A为锐角，且＜cos∠A＜时，∠A的范围是（）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜60°C．60°＜∠A＜90°D．30°＜∠A＜45°【分析】根据锐角的余弦值随着角度的增大而减小进行解答．【解答】解：∵cos60°＝，cos30°＝，∴30°＜∠A＜60°．故选：B．5．（2021•桓台县一模）在Rt△ABC中，若∠ACB＝90°，tan A＝，则sin B＝（）A．B．C．D．【分析】作出草图，根据∠A的正切值设出两直角边分别为k，2k，然后利用勾股定理求出斜边，则∠B 的正弦值即可求出．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，∴设AC＝2k，BC＝k，则AB＝＝k，∴sin B＝＝＝．故选：D．6．（2021•蒙阴县模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ADC＝90°，若sin A＝，则cos∠BCD的值为．【分析】设BC＝3x，AB＝5x，由勾股定理求出AC＝4x，求出cos A＝，证出∠BCD＝∠A，即可得出答案．【解答】解：∵在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝＝，∴设BC ＝3x ，AB ＝5x ， 由勾股定理得：AC ＝4x ， ∴cos A ＝＝＝，∵∠ACB ＝∠ADC ＝90°， ∴∠A +∠B ＝∠B +∠BCD ＝90°， ∴∠A ＝∠BCD ， ∴cos ∠BCD ＝cos A ＝， 故答案为：．考向二：特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值表α sin αcos αtan α30°21 23 33 45°22 22 160°23 21 3【同步练习】1．（2021•宜兴市模拟）已知cos α＝，且α是锐角，则α＝（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案． 【解答】解：∵cos α＝，且α是锐角，∴α＝30°． 故选：A ．2．（2022•龙岗区一模）Rt△ABC中∠C＝90°，sin A＝，则tan A的值是（）A．B．C．D．【分析】由sin A＝，得出∠A＝30°，再根据正切＝对边÷邻边求得即可．【解答】解：∵∠C＝90°，sin A＝，∴∠A＝30°，∴tan30°＝．故选：C．3．（2021•邵阳模拟）在△ABC中，若|sin A﹣|+（cos B﹣）2＝0，则∠C的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及偶次方和绝对值的性质得出∠A和∠B的度数进而求出即可．【解答】解：∵|sin A﹣|+（cos B﹣）2＝0，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝60°，∠B＝30°，∴∠C的度数是90°．故选：D．4．（2022•无为市校级一模）计算：（1）sin60°•cos30°﹣1；（2）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°．【分析】（1）（2）把特殊角的三角函数值代入计算即可．【解答】解：（1）原式＝×﹣1＝﹣1＝﹣；（2）原式＝2×+3×﹣4×1＝1+﹣4＝﹣．考向三：解直角三角形解直角三角形相关：在Rt△ABC中，∠C=90°AB=c，BC=a ，AC=b三边关系：222cba=+两锐角关系：︒=∠∠90BA＋边与角关系：caBA==cossin，cbBA==sincos，baanA=t，abanB=t锐角α是a、b的夹角面积：αsin21abS=【方法提炼】与三角函数有关的倍半角问题倍半角模型①知“半角”求“倍角”→知θ，截取使相等（或中垂线），得2θ②知“倍角”求“半角”→知2θ，延长使相等(或做角平分线），得θ（等腰出，半角现）解题主要思想特别记忆：1.“倍半角”模型也可用于“角平分线”类问题相等角倍角半角常构造（或选择）Rt△延长直角边=作斜边的中垂线，得2可构造K型相似，得矩形当有特殊tanα值时，可转化为主要变“求点的坐标”为“求直线与函数图象交点”抓本质——对称全等＋l1⊥l2此处k型相似比已知，矩形对边相等是列方程的等量关系2.“倍半角模型”常常转化为“θ”的正切值来计算3.☆【同步练习】1．（2021•樊城区一模）如图，A 、B 、C 是3×1的正方形网格的三个格点，则tan ∠ABC 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】把∠ABC 放在Rt △ABD 中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：如图：在Rt △ABD 中，AD ＝1，BD ＝2， ∴tan ∠ABC ＝＝，故选：A ．2．（2021•滨江区校级三模）如图，点A 为∠B 边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示tan B 的值，错误的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【分析】证明∠B ＝∠ACD ，推出tan B ＝tan ∠ACD ，可得tan B ＝＝＝，由此即可判断．【解答】解：∵AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ， ∴∠ACB ＝∠CDB ＝90°，∴∠B +∠BCD ＝90°，∠BCD +∠ACD ＝90°， ∴∠B ＝∠ACD ，和角公式：αααβαβαβαβαβαβα2tan -12tan 2tan tan tan 1tan -tan -tan ;tan tan 1tan tan tan =•+=•-+=+；）（）（ ；时，③当；时，②当；时，①当7242tan 43tan 432tan 31tan 342tan 21tan ======θθθθθθ∴tan B＝tan∠ACD，∴tan B＝＝＝，故选：A．3．（2021•榆阳区模拟）如图，点A，B是以CD为直径的⊙O上的两点，分别在直径的两侧，其中点A是的中点，若tan∠ACB＝2，AC＝，则BC的长为（）A．B．2C．1D．2【分析】连接AB，连接AO，延长AO交BC于T．由点A是的中点得AT⊥BC，由tan∠ACT＝＝2，设CT＝k，AT＝2k，在Rt△ACT中，AC2＝CT2+AT2，可得（）2＝k2+（2k）2，推出k＝1，根据垂径定理即可解决问题．【解答】解：连接AB，连接AO，延长AO交BC于T．∵点A是的中点，∴AT⊥BC，∵tan∠ACT＝＝2，∴设CT＝k，AT＝2k，在Rt△ACT中，AC2＝CT2+AT2，∴（）2＝k2+（2k）2，∴k＝1，∵AT⊥BC，AT过圆心O，∴BC＝2CT＝2，故选：D．4．（2021•阿城区模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，设∠CAB＝α，CD ＝h，那么BC的长度为（）A ．B ．C ．D ．h •cos α【分析】根据余角性质得∠BCD ＝∠CAD ＝α，然后利用余弦的定义可得答案． 【解答】解：∵CD ⊥AB ， ∴∠CAD +∠DCA ＝90°， ∵∠ACB ＝∠ACD +∠BCD ＝90°， ∴∠BCD ＝∠CAD ＝α， 在Rt △BCD 中， ∵cos ∠BCD ＝，CD ＝h ，∴BC ＝．故选：B ．考向四：解直角三角形的应用 解直角三角形的应用：仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角. 俯角：视线在水平线下方的叫俯角坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作lhi = 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，αtan =i 坡度越大，坡角越大，坡面越陡【方法提炼】1. 在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合平面几何知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题，常见的构造的基本图形有如下几种： （1）不同地点看同一点，如图① （2）同一地点看不同点，如图② （3）利用反射构造相似，如图③2. 常用结论：【同步练习】1．（2022•鹿城区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，点A，B分别在墙面ED和地面FD上，且斜边BC∥ED，若AC＝1，∠CBA＝α，则AD的长为（）A．cosα×tanαB．C．D．【分析】先利用平行线的性质说明∠1与∠3的关系，在Rt△ABC中用AC、∠1的正切表示出AB，在Rt△ABD中用∠3、AB表示出AD．【解答】解：由题意，得DE⊥DF，∴∠EDF＝90°．∵BC∥ED，∴∠1＝∠3＝α．在Rt△ABC中，∵tan∠1＝，∴AB＝＝．在Rt△ABD中，∵cos∠3＝，∴AD＝AB•cosα＝•cosα＝．故选：C．2．（2022•无为市校级一模）如图，给出了一种机器零件的示意图，其中CE＝1米，BF＝米，则AB＝（）A．（1+）米B．（﹣1）米C．（2﹣）米D．（2+）米【分析】作AH⊥EF于H，利用三角函数求出EF，再根据AB＝HF＝CF﹣CH得出AB的长即可．【解答】解：作AH⊥EF于H，由图知，BE与水平方向呈30°夹角，BF＝米，∴EF＝BF•tan30°＝×＝1（米），∵AC与水平方向呈45°夹角，∴△ACH是等腰直角三角形，∴CH＝AH＝FB＝米，∵CE＝1米，∴AB＝HF＝CF﹣CH＝CE+EF﹣CH＝1+1﹣＝（2﹣）（米），故选：C．3．（2020•秦皇岛一模）如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼上钩的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（）A．3m B．m C．m D．4m【分析】因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求出∠CAB，进而得出∠C′AB′的度数，然后可以求出鱼线B'C'长度．【解答】解：∵sin∠CAB＝＝＝，∴∠CAB＝45°．∵∠C′AC＝15°，∴∠C′AB′＝60°．∴sin60°＝＝，解得：B′C′＝3．故选：B．1．在直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，则sin A的值为（）A．B．C．D．【分析】如图，根据勾股定理，得BC＝＝．再根据锐角的正弦值的定义，求得sin A．【解答】解：如图．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴BC＝＝．∴sin A＝．故选：A．2．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin B的值为（）A．B．C．D．1【分析】根据勾股定理列式求出AB，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝3，所以，sin B＝＝．故选：B．3．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°【分析】先由特殊角的三角函数值及余弦函数随锐角的增大而减小，得出45°＜α＜90°；再由特殊角的三角函数值及正切函数随锐角的增大而增大，得出0＜α＜60°；从而得出45°＜α＜60°．【解答】解：∵α是锐角，∴cosα＞0，∵cosα＜，∴0＜cosα＜，又∵cos90°＝0，cos45°＝，∴45°＜α＜90°；∵α是锐角，∴tanα＞0，∵tanα＜，∴0＜tanα＜，又∵tan0°＝0，tan60°＝，0＜α＜60°；故45°＜α＜60°．故选：B．4．下列计算错误的个数是（）①sin60°﹣sin30°＝sin30°；②sin245°+cos245°＝1；③；④．A．1B．2C．3D．4【分析】根据特殊锐角三角函数值以及同角三角函数之间的关系逐个进行进行判断即可．【解答】解：sin60°﹣sin30°＝﹣＝，而sin30°＝，因此①是错误的；sin245°+cos245°＝（）2+（）2＝1，因此②是正确的；（tan60°）2＝（）2＝3，因此③是错误的；tan30°＝，＝＝，因此④是错误的；综上所述，错误的有①③④，共3个，故选：C．5．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在交点处，则∠ABC的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】利用网格求出AC和AB的长，根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，最后根据三角函数的意义求解即可．【解答】解：如图，取BC的中点D，连接AD，由网格可得，AC＝AB＝＝2，∴AD⊥BC，Rt△ABD中，∵AD＝＝3，∴sin∠ABC＝＝＝．故选：D．6．把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示的方式放置于桌面上，AB与螺母相切，D为螺母与桌面的切点，∠CAB＝60°．若量出AD＝6cm，则圆形螺母的外直径是（）A．cm B．12cm C．cm D．cm【分析】设圆形螺母的圆心为O，与AB切于E，连接OD，OE，OA，然后利用三角函数求出OD的长度即可得出直径．【解答】解：设圆形螺母的圆心为O，与AB切于E，连接OD，OE，OA，如下图所示：∵AD，AB分别为圆的切线，∴AO为∠DAB的平分线，OD⊥AC，OE⊥AB，又∵∠CAB＝60°，∴∠OAE＝∠OAD＝∠DAB＝60°，在Rt△AOD中，∠OAD＝60°，AD＝6cm，∴tan∠OAD＝tan60°＝，即，∴OD＝6cm，则圆形螺母的直径为12，故选：A．7．计算tan30°•sin60°的结果是．【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答．【解答】解：tan30°•sin60°＝×＝，故答案为：．8．如图所示，在一次数学活动课上，初三1班的同学们利用长杆来测量某段城墙的倾斜角α，把一根长为6.6米的长杆AC斜靠在城墙旁，量出杆长2米处在地面投影AE的长约为1米，长杆的底端与墙角的距离AB约为2.7米，则倾斜角α的正切值约为．（结果精确到0.01，参考数据≈1.73）【分析】过点C作CF⊥AB于点F，先利用Rt△ADE求出∠A＝60°，再利用Rt△ACF求出AF、CF，BF，即可判断出tanα．【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ADE中，AD＝2，AE＝1，∴cos A＝，∴∠A＝60°，在Rt△ACF中，∠ACF＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴AF＝＝3.3，CF＝∴BF＝3.3﹣2.7＝0.6∴tanα＝＝≈9.52．故倾斜角α的正切值约为9.52．故答案为9.52．9．如图1是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD，BC与桌面构成如图2，已知OA＝OB＝OC＝OD＝20cm，∠COD＝60°，则点A到地面（CD所在的平面）的距离是cm．【分析】连接CD，过点A作AE⊥CD，垂足为E，先证明△COD是等边三角形，从而求出∠ODC＝60°，然后在Rt△AED中，利用锐角三角函数进行计算即可解答．【解答】解：连接CD，过点A作AE⊥CD，垂足为E，∵OC＝OD，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，在Rt△AED中，AD＝OA+OD＝40cm，∴AE＝AD sin60°＝40×60（cm），∴点A到地面（CD所在的平面）的距离是60cm，故答案为：60．10．计算：tan30°sin60°﹣cos245°+tan45°．【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答．【解答】解：tan30°sin60°﹣cos245°+tan45°＝+1＝＝1．11．计算：（1）sin60°•cos30°﹣1；（2）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°．【分析】（1）（2）把特殊角的三角函数值代入计算即可．【解答】解：（1）原式＝×﹣1＝﹣1＝﹣；（2）原式＝2×+3×﹣4×1＝1+﹣4＝﹣．12．如图，在△ABC中，BC＝4，∠B＝45°，∠A＝30°，求AB．【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，先在Rt△CDB中，利用锐角三角函数求出CD，BD，再在Rt △ACD中，求出AD，然后进行计算即可解答．【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△CDB中，∠B＝45°，BC＝4，∴CD＝BC sin45°＝4×＝4，BD＝BC cos45°＝4×＝4，在Rt△ACD中，∠A＝30°，∴tan30°＝＝，∴AD＝＝4，∴AB＝AD+BD＝4+4，∴AB的值为4+4．13．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知支架AB与支架AC所成的角∠BAC＝15°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为0.5米，HF段的长为1.50米，篮板底部水平支架HE的长为0.75米，篮板顶端F到地面的距离为4.4米．（1）则篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为；（2）求底座BC的长（结果精确到0.1米；参考数据：sin15°≈026，cos15°≈097，tan15°≈027，≈1.732，≈1.414）．【分析】（1）在Rt△HFE中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；（2）延长FE交CB的延长线于点M，过点A作AG⊥FM，垂足为G，先在Rt△AFG中求出FG，从而求出GM，最后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：（1）在Rt△HFE中，cos∠FHE＝＝＝，∴∠FHE＝60°，故答案为：60°；（2）延长FE交CB的延长线于点M，过点A作AG⊥FM，垂足为G，∴AG∥HE，∴∠FHE＝∠F AG＝60°，∵AH＝0.5，HF＝1.5，∴AF＝AH+HF＝2（米），∴FG＝AF sin60°＝2×＝≈1.73（米），∵FM＝4.4，∴GM＝FM﹣FG＝4.4﹣1.73＝2.67（米），∴AB＝GM＝2.67（米），在Rt△ABC中，∠BAC＝15°，∴BC＝AB tan15°＝2.67×0.27≈0.7（米），∴底座BC的长为0.7米．1.（2021·浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sin B的值是．【分析】根据在直角三角形中sin B＝，代值计算即可得出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，∴sin B＝＝．故答案为：．2.（2021·浙江金华）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（）A．4cosα米B．4sinα米C．4tanα米D．米【分析】直接利用等腰三角形的性质得出BD＝DC，再利用锐角三角函数关系得出DC的长，即可得出答案．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝2米，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴cosα＝＝，∴DC＝2cosα（米），∴BC＝2DC＝2×2cosα＝4cosα（米）．故选：A．3.（2021·浙江丽水）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连结OC，OD．若⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，则下列结论一定成立的是（）A．OE＝m•tanαB．CD＝2m•sinαC．AE＝m•cosαD．S△COD＝m2•sinα【分析】根据垂径定理和锐角三角函数计算则可进行判断．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，∴DE＝CD，在Rt△EDO中，OD＝m，∠AOD＝∠α，∴tanα＝，∴OE＝＝，故选项A不符合题意；∵AB是⊙O的直径，CD⊥OA，∴CD＝2DE，∵⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，∴DE＝OD•sinα＝m•sinα，∴CD＝2DE＝2m•sinα，故选项B正确，符合题意；∵cosα＝，∴OE＝OD•cosα＝m•cosα，∵AO＝DO＝m，∴AE＝AO﹣OE＝m﹣m•cosα，故选项C不符合题意；∵CD＝2m•sinα，OE＝m•cosα，∴S△COD＝CD×OE＝×2m•sinα×m•cosα＝m2sinα•cosα，故选项D不符合题意；故选：B．4.（2021·浙江温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（）A．+1B．sin2α+1C．+1D．cos2α+1【分析】在Rt△OAB中，sinα＝，可得OB的长度，在Rt△OBC中，根据勾股定理OB2+BC2＝OC2，代入即可得出答案．【解答】解：∵AB＝BC＝1，在Rt△OAB中，sinα＝，∴OB＝，在Rt△OBC中，OB2+BC2＝OC2，∴OC2＝（）2+12＝．故选：A．5.（2021·浙江绍兴）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cos B＝，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（）A．B．C．D．2【分析】设DE交AC于T,过点E作EH⊥CD于H.首先证明EA＝ED＝EC,再证明∠B＝∠ECD,可得结论。

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．2．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20【解析】试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC=90°，∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠BCP=∠CAN，∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，∵点D在⊙O上，∴直线CP是⊙O的切线；（2）如图，作BF⊥AC∵AB=AC，∠ANC=90°，∴CN=CB=，∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，∴sin∠CAN=，∴∴AC=5，∴AB=AC=5，设AF=x，则CF=5﹣x，在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，∴x=3，∴BF2=25﹣32=16，∴BF=4，即点B到AC的距离为4．考点：切线的判定3．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）求x的值；（3）求cos36°-cos72°的值．【答案】(1)证明见解析；（215-+；（3758+【解析】试题分析：（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．试题解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°， ∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C ， ∴△ABC ∽△BCD ； （2）∵∠A=∠ABD=36°， ∴AD=BD ， ∵BD=BC ， ∴AD=BD=CD=1，设CD=x ，则有AB=AC=x+1， ∵△ABC ∽△BCD ，∴AB BC BD CD =，即111x x +=， 整理得：x 2+x-1=0，解得：x 1=15-+，x 2=15--（负值，舍去），则x=15-+； （3）过B 作BE ⊥AC ，交AC 于点E ，∵BD=CD ，∴E 为CD 中点，即DE=CE=154-+， 在Rt △ABE 中，cosA=cos36°=151514151AE AB -+++==-++ 在Rt △BCE 中，cosC=cos72°=1515414EC BC -+-+==， 则cos36°-cos72°=51+=15-+=12． 【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形．4．如图，PB为☉O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交☉O于点A，连接PA，AO.并延长AO交☉O于点E，与PB的延长线交于点D．(1)求证：PA是☉O的切线；(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=.【解析】试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；（2）连接BE，∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，∴AE=2OA=4，OB=OA=2，在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.易证，所以,解得，则，在中，.考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．5．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm．（1）AE的长为 cm；（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；（3）求点D′到BC的距离．【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．【解析】试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴（cm）．∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=cm．（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC 于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．试题解析：解：（1）．（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°．∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′．∴点E，D′关于直线AC对称．如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′．∵△ADE是等边三角形，AD=AE=，∴，即DP+EP最小值为12cm．（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，∵AE=EC，∴AD′=CD′=．在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB．设D′G长为xcm，则CG长为cm，在Rt△GD′C中，由勾股定理得，解得：（不合题意舍去）．∴点D′到BC边的距离为cm．考点：1．翻折和单动点问题；2．勾股定理；3．直角三角形斜边上的中线性质；4．等边三角形三角形的判定和性质；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．全等三角形的判定和性质；7．方程思想的应用．6．在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．BE【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）3【解析】【分析】（1）①补全图形即可，②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝2FG＝DG＝2GH＝6，得出DF2DG＝3Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝3得出结果．【详解】解：（1）①补全图形如图1所示，②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下，连接BG，如图2所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∵EG⊥AC，∴∠EGC ＝90°，∴△CEG 是等腰直角三角形，EG ＝GC ， ∴∠GEC ＝∠GCE ＝45°， ∴∠BEG ＝∠GCF ＝135°， 由平移的性质得：BE ＝CF ，在△BEG 和△GCF 中，BE CF BEG GCF EG CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEG ≌△GCF （SAS ）， ∴BG ＝GF ，∵G 在正方形ABCD 对角线上， ∴BG ＝DG ， ∴FG ＝DG ，∵∠CGF ＝∠BGE ，∠BGE+∠AGB ＝90°， ∴∠CGF+∠AGB ＝90°， ∴∠AGD+∠CGF ＝90°， ∴∠DGF ＝90°， ∴FG ⊥DG.（2）过点D 作DH ⊥AC ，交AC 于点H ．如图3所示, 在Rt △ADG 中， ∵∠DAC ＝45°， ∴DH ＝AH ＝2在Rt △DHG 中，∵∠AGD ＝60°， ∴GH 33236，∴DG ＝2GH ＝6， ∴DF 2DG ＝3 在Rt △DCF 中，CF ()22436-3∴BE ＝CF ＝3．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=7，AC=2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C(点A，B的对应点分别为A'，B′)，射线CA′，CB′分別交直线m于点P，Q．(1)如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；(2)如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；(3)在旋转过程中，当点P，Q分别在C A′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）60°；（2）PQ＝72；（3）存在，S四边形PA'B′Q＝33【解析】【分析】（1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到BC3=∠A'BC=90°，可得cos∠A'CB3'BCA C==∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；（2）根据M为A'B'的中点，即可得出∠A=∠A'CM，进而得到PB3=32=，依据tan∠Q=tan∠A32=BQ=BC3=2，进而得出PQ=PB+BQ72=；（3）依据S四边形PA'B'Q=S△PCQ﹣S△A'CB'=S△PCQ3-S四边形PA'B'Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQ12=PQ×BC3=，利用几何法即可得到S△PCQ的最小值=3，即可得到结论．【详解】（1）由旋转可得：AC =A 'C =2．∵∠ACB =90°，AB 7=，AC =2，∴BC 3=． ∵∠ACB =90°，m ∥AC ，∴∠A 'BC =90°，∴cos ∠A 'CB 3'BC A C ==，∴∠A 'CB =30°，∴∠ACA '=60°；（2）∵M 为A 'B '的中点，∴∠A 'CM =∠MA 'C ，由旋转可得：∠MA 'C =∠A ，∴∠A =∠A 'CM ，∴tan ∠PCB =tan ∠A 3=，∴PB 3=BC 32=． ∵∠BQC =∠BCP =∠A ，∴tan ∠BQC =tan ∠A 3=，∴BQ =BC 3⨯=2，∴PQ =PB +BQ 72=； （3）∵S 四边形PA 'B 'Q =S △PCQ ﹣S △A 'CB '=S △PCQ 3-，∴S 四边形PA 'B 'Q 最小，即S △PCQ 最小，∴S △PCQ 12=PQ ×BC 3=PQ ， 取PQ 的中点G ． ∵∠PCQ =90°，∴CG 12=PQ ，即PQ =2CG ，当CG 最小时，PQ 最小，∴CG ⊥PQ ，即CG 与CB 重合时，CG 最小，∴CG min 3=，PQ min =23，∴S △PCQ 的最小值=3，S 四边形PA 'B 'Q =33-；【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．8．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边的中线，DE ⊥BC 于E ，连结CD ，点P 在射线CB 上（与B ，C 不重合）（1）如果∠A ＝30°，①如图1，∠DCB 等于多少度；②如图2，点P 在线段CB 上，连结DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连结BF ，补全图2猜想CP 、BF 之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3，若点P 在线段CB 的延长线上，且∠A ＝α（0°＜α＜90°），连结DP ，将线段DP绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）【答案】（1）①∠DCB＝60°．②结论：CP＝BF．理由见解析；（2）结论：BF﹣BP＝2DE•tanα．理由见解析．【解析】【分析】（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合∠A＝30°，只要证明△CDB是等边三角形即可；②根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP＝BF，（2）求出DC＝DB＝AD，DE∥AC，求出∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，DP＝DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP＝BF，推出BF﹣BP＝BC，解直角三角形求出CE＝DEtanα即可．【详解】（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵AD＝DB，∴CD＝AD＝DB，∴△CDB是等边三角形，∴∠DCB＝60°．②如图1，结论：CP＝BF．理由如下：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠DCB＝60°，∴△CDB为等边三角形.∴∠CDB＝60°∵线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，∵∠PDF＝60°，DP＝DF，∴∠FDB＝∠CDP，在△DCP和△DBF中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCP ≌△DBF ，∴CP ＝BF.（2）结论：BF ﹣BP ＝2DEtanα．理由：∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠A ＝α，∴DC ＝DB ＝AD ，DE ∥AC ，∴∠A ＝∠ACD ＝α，∠EDB ＝∠A ＝α，BC ＝2CE ，∴∠BDC ＝∠A+∠ACD ＝2α，∵∠PDF ＝2α，∴∠FDB ＝∠CDP ＝2α+∠PDB ，∵线段DP 绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF ，∴DP ＝DF ，在△DCP 和△DBF 中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCP ≌△DBF ，∴CP ＝BF ，而 CP ＝BC+BP ，∴BF ﹣BP ＝BC ，在Rt △CDE 中，∠DEC ＝90°，∴tan ∠CDE ＝CE DE， ∴CE ＝DEtanα， ∴BC ＝2CE ＝2DEtanα，即BF ﹣BP ＝2DEtanα．【点睛】本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP ≌△DBF 是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．9．如图，正方形ABCD+1，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAC 分别交BC 、BD 于E 、F ，（1）求证：△ABF ∽△ACE ；（2）求tan ∠BAE 的值；（3）在线段AC 上找一点P ，使得PE+PF 最小，求出最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠EAB＝2﹣1；（3）PE+PF的最小值为 ．22【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图1中，作EH⊥AC于H．首先证明BE=EH=HC，设BE=EH=HC=x，构建方程求出x 即可解决问题；（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小，最小值为线段EH的长；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACE＝∠ABF＝∠CAB＝45°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠BAF＝22.5°，∴△ABF∽△ACE．（2）解：如图1中，作EH⊥AC于H．∵EA平分∠CAB，EH⊥AC，EB⊥AB，∴BE＝EB，∵∠HCE＝45°，∠CHE＝90°，∴∠HCE＝∠HEC＝45°，∴HC＝EH，∴BE＝EH＝HC，设BE＝HE＝HC＝x，则EC2，∵BC2+1，∴x+x2+1，∴x＝1，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝90°，∴tan ∠EAB ＝1221BE AB ＝＝+﹣1． （3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小．作EM ⊥BD 于M ．BM ＝EM ＝22， ∵AC ＝22AB BC +＝2+2，∴OA ＝OC ＝OB ＝12AC ＝22+ ， ∴OH ＝OF ＝OA•tan ∠OAF ＝OA•tan ∠EAB ＝222+ •（2﹣1）＝22， ∴HM ＝OH+OM ＝222+， 在Rt △EHM 中，EH ＝2222222EM HM 22⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ ＝22+．． ∴PE+PF 的最小值为22+．．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．10．小明坐于堤边垂钓，如图①，河堤AC 的坡角为30°，AC 长米，钓竿AO 的倾斜角是60°，其长为3米，若AO 与钓鱼线OB 的夹角为60°，求浮漂B 与河堤下端C 之间的距离(如图②)．【答案】1．5米．【解析】试题分析：延长OA交BC于点D．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出在Rt△ACD中,米，CD=2AD=3米，再证明△BOD是等边三角形，得到米，然后根据BC=BD−CD即可求出浮漂B与河堤下端C之间的距离．试题解析：延长OA交BC于点D.∵AO的倾斜角是，∴∵在Rt△ACD中, (米)，∴CD=2AD=3米，又∴△BOD是等边三角形，∴(米)，∴BC=BD−CD=4.5−3=1.5(米).答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米.。

中考数学锐角三角函数(大题培优易错难题)附详细答案一、锐角三角函数1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．【答案】553【解析】【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【详解】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∠COD＝30°，∴∠COP＝12∴QM＝OP＝OC•cos30°＝3∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝1OA＝5（分米），2∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝23（分米），在Rt△PKE中，EK＝22-＝26（分米），EF FK∴BE＝10−2−26＝（8−26）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝22-（2）＝26，63∴B′E′＝10−（26−2）＝12−26，∴B′E′−BE＝4．故答案为：5＋53，4．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP6223.【解析】【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，∵△EFK是直角三角形，∴OF=12EK=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，∵|CF ﹣AE|=2，EF=23，AE=CK ，∴FK=2， 在Rt △EFK 中，tan ∠FEK=33，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°， ∴EK=2FK=4，OF=12EK=2， ∵△OPF 是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2， 在Rt △PHF 中，PH=12PF=1，HF=3，OH=2﹣3， ∴OP=()2212362+-=-.如图4中，点P 在线段OC 上，当PO=PF 时，∠POF=∠PFO=30°， ∴∠BOP=90°， ∴OP=33OE=233， 综上所述：OP 的长为62-或23. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.3．如图，在⊙O 的内接三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为E.设P 是上异于A ，C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G.(1)求证：△PAC∽△PDF；(2)若AB＝5，，求PD的长；(3)在点P运动过程中，设＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．(不要求写出x的取值范围)【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可证明结论.（2）由AC=2BC，设，应用勾股定理即可求得BC，AC的长，则由AC=2BC得，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的长，由可知△APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求得DF的长，由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的长.（3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得，由角的转换可得，由△AGP∽△DGB可得，由△AGD∽△PGB可得，两式相乘可得结果.试题解析：（1）由APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B，又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC.∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF.（2）连接BP，设，∵∠ACB=90°，AB=5，∴.∴.∵△ACE∽△ABC，∴，即. ∴.∵AB⊥CD，∴.如图，连接BP，∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，.∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.由（1）△PAC∽△PDF得，即.∴PD的长为.（3）如图，连接BP，BD，AD，∵AC=2BC，∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即.∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD.∵，∴.∵△AGP∽△DGB，∴.∵△AGD∽△PGB，∴.∴，即.∵，∴.∴与之间的函数关系式为.考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.4．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F点．若AB=6cm．（1）AE的长为 cm；（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；（3）求点D′到BC的距离．【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．【解析】试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴（cm）．∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=cm．（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC 于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．试题解析：解：（1）．（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°．∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′．∴点E，D′关于直线AC对称．如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′．∵△ADE是等边三角形，AD=AE=，∴，即DP+EP最小值为12cm．（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，∵AE=EC，∴AD′=CD′=．在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB．设D′G长为xcm，则CG长为cm，在Rt△GD′C中，由勾股定理得，解得：（不合题意舍去）．∴点D′到BC边的距离为cm．考点：1．翻折和单动点问题；2．勾股定理；3．直角三角形斜边上的中线性质；4．等边三角形三角形的判定和性质；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．全等三角形的判定和性质；7．方程思想的应用．5．（2013年四川攀枝花12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB=22．动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．（1）点A的坐标为，直线l的解析式为；（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．【答案】解：（1）（﹣4，0）；y=x+4．（2）在点P、Q运动的过程中：①当0＜t≤1时，如图1，过点C作CF⊥x轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．过点Q作QE⊥x轴于点E，则BE=BQ•cos∠CBF=5t•35=3t．∴PE=PB﹣BE=（14﹣2t）﹣3t=14﹣5t，S=12PM•PE=12×2t×（14﹣5t）=﹣5t2+14t．②当1＜t≤2时，如图2，过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ=5t﹣5，PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣（5t﹣5）=16﹣7t．S=12PM•PE=12×2t×（16﹣7t）=﹣7t2+16t．③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，即（2t﹣4）+（5t﹣5）=7，解得t=167．当2＜t＜167时，如图3，MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，S=12PM•MQ=12×4×（16﹣7t）=﹣14t+32．综上所述，点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为()()225t14t0<t1S{7t16t1<t21614t322<t<7-+≤=-+≤⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．（3）①当0＜t≤1时，22749S5t14t5t55⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭，∵a=﹣5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=75，∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大．∴当t=1时，S有最大值，最大值为9．②当1＜t≤2时，22864S7t16t7t77⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭，∵a=﹣7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=87，∴当t=87时，S有最大值，最大值为647．③当2＜t＜167时，S=﹣14t+32∵k=﹣14＜0，∴S随t的增大而减小．又∵当t=2时，S=4；当t=167时，S=0，∴0＜S＜4．综上所述，当t=87时，S有最大值，最大值为647．（4）t=209或t=125时，△QMN为等腰三角形．【解析】（1）利用梯形性质确定点D的坐标，由sin∠DAB=22，利用特殊三角函数值，得到△AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标；由点A、点D的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式：∵C（7，4），AB∥CD，∴D（0，4）．∵sin∠DAB=22，∴∠DAB=45°．∴OA=OD=4．∴A（﹣4，0）．设直线l的解析式为：y=kx+b，则有4k b0{b4-+==，解得：k1{b4==．∴y=x+4．∴点A坐标为（﹣4，0），直线l的解析式为：y=x+4．（2）弄清动点的运动过程分别求解：①当0＜t≤1时，如图1；②当1＜t≤2时，如图2；③当2＜t＜167时，如图3．（3）根据（2）中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值．（4）△QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论：①如图4，点M在线段CD上，MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，MN=DM=2t﹣4，由MN=MQ，得16﹣7t=2t﹣4，解得t=209．②如图5，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，此时△QMN为等腰三角形，t=125．∴当t=209或t=125时，△QMN为等腰三角形．考点：一次函数综合题，双动点问题，梯形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，由实际问题列函数关系式，一次函数和二次函数的性质，等腰三角形的性质，分类思想的应用．6．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC＝80，BD＝60．动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿A→O→D和D→A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．(1)求菱形ABCD的周长；(2)记△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；(3)当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO=∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）在菱形ABCD中，∵AC⊥BD，AC=80，BD=60，∴。

2023年中考数学一轮专题练习 ——锐角三角函数一、单选题（本大题共10小题）1. （天津市2022年）tan 45︒的值等于（ ）A ．2B ．1C D 2. （陕西省2022年（A 卷））如图，AD 是ABC 的高，若26BD CD ==，tan 2C ∠=，则边AB 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．3. （吉林省长春市2022年）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A ，变幅索的底端记为点B ，AD 垂直地面，垂足为点D ，BC AD ⊥，垂足为点C ．设ABC α∠=，下列关系式正确的是（ ）A ．sin ABBCα=B ．sin BCABα=C ．sin ABACα=D ．sin ACABα=4. （湖北省荆州市2022年）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴负半轴和y 轴正半轴上，点C 在OB 上，:1:2OC BC =，连接AC ，过点O 作OP AB ∥交AC 的延长线于P ．若()1,1P ，则tan OAP ∠的值是（ ）A B ．C ．13D ．35. （四川省广元市2022年）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A 、B 、C 、D 都在格点处，AB 与CD 相交于点P ，则cos ∠APC 的值为（ ）A B ．C ．25D 6. （湖北省江汉油田、潜江、天门、仙桃2022年）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A ，B ，C 都在格点上，∠O =60°，则tan ∠ABC =（ ）A ．13B ．12C D 7. （贵州省黔东南州2022年）如图，PA 、PB 分别与O 相切于点A 、B ，连接PO 并延长与O 交于点C 、D ，若12CD =，8PA =，则sin ADB ∠的值为（ ）A ．45 B ．35C ．34D ．438. （云南省2022年）如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是OO 的弦，AB ⟂CD ．垂足为E ．若AB =26，CD =24，则∠OCE 的余弦值为（ ）A ．713B ．1213C ．712D ．13129. （湖南省湘潭市2022年）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tan α=（ ）A ．2B ．32C ．12D 10. （黑龙江省省龙东地区2022年）如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点F 是CD 上一点，OE OF ⊥交BC 于点E ，连接AE ，BF 交于点P ，连接OP ．则下列结论：①AE BF ⊥；②45OPA ∠=︒；③AP BP -；④若:2:3BE CE =，则4tan 7CAE ∠=；⑤四边形OECF 的面积是正方形ABCD 面积的14．其中正确的结论是（ ）A ．①②④⑤B ．①②③⑤C ．①②③④D ．①③④⑤二、填空题（本大题共12小题） 11. （广东省2022年）sin30°的值为 ．12. （山东省滨州市2022年）在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =5，BC =12，则sin A = . 13. （江苏省扬州市2022年）在ABC ∆中，90C ∠=︒，a b c 、、分别为A B C ∠∠∠、、的对边，若2b ac =，则sin A 的值为 ．14. （湖南省益阳市2022年）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝45，则cos B ＝_____．15. （江苏省常州市2022年）如图，在四边形ABCD 中，90A ABC ∠=∠=︒，DB 平分ADC ∠．若1AD =，3CD =，则sin ABD ∠= ．16. （四川省凉山州2022年）如图，CD 是平面镜，光线从A 点出发经CD 上点O 反射后照射到B 点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC ⊥CD 于点C ，BD ⊥CD 于点D ，且AC ＝3，BD ＝6，CD ＝12，则tanα的值为 ．17. （黑龙江省绥化市2022年）定义一种运算；sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-．例如：当45α=︒，30β=︒时，()sin 4530︒+︒=12=，则sin15︒的值为 ． 18. （江苏省连云港市2022年）如图，在66⨯正方形网格中，ABC 的顶点A 、B 、C 都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sin A = ．19. （山东省泰安市肥城市汶阳镇初级中学2021-2022学年）如图，矩形ABCD 中，点G ，E 分别在边,BC DC 上，连接,,AG EG AE ，将ABG 和ECG 分别沿,AG EG 折叠，使点B ，C 恰好落在AE 上的同一点，记为点F ．若3,4CE CG ==，则sin DAE ∠= ．20. （广西河池市2022年）如图，把边长为1：2的矩形ABCD 沿长边BC ，AD 的中点E ，F 对折，得到四边形ABEF ，点G ，H 分别在BE ，EF 上，且BG ＝EH ＝25BE ＝2，AG 与BH 交于点O ，N 为AF 的中点，连接ON ，作OM ⊥ON 交AB 于点M ，连接MN ，则tan ∠AMN ＝ ．21. （四川省凉山州2022年）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O 是△ABC 的外接圆，点A ，B ，O 在格点上，则cos ∠ACB 的值是 ．22. （湖南省湘西州2022年中考数学试卷）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍． 用公式可描述为：a 2＝b 2＋c 2﹣2bc cos A b 2＝a 2＋c 2﹣2ac cos B c 2＝a 2＋b 2﹣2ab cos C现已知在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，∠A ＝60°，则BC ＝_____． 三、解答题（本大题共9小题）23. （湖南省湘西州20222tan45°+|﹣3|+（π﹣2022）0．24. （2022年西藏中考数学真题试卷）计算：01|()tan 452+︒．25. （湖南省岳阳市2022年）计算：2022032tan 45(1))π--︒+--．26. （湖南省株洲市2022年）计算：()202212sin 30-︒．27. （2022年四川省乐山市中考数学真题）1sin 302-︒28. （湖南省常德市2022年中考数学试题）计算：213sin 30452-︒︒⎛⎫- ⎪⎝⎭29. （浙江省湖州市2022年）如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3．求AC 的长和sin A 的值．30. （黑龙江省哈尔滨市2022年）先化简，再求代数式21321211x x x x x -⎛⎫-÷⎪--+-⎝⎭的值，其中2cos451x =︒+．31. （黑龙江省哈尔滨市2021年）先化简，再求代数式2323111a a a a a +⎛⎫-÷⎪---⎝⎭的值，其中2sin 451a =︒-．参考答案1. 【答案】B 【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解． 【详解】作一个直角三角形，∠C =90°，∠A =45°，如图：∴∠B =90°-45°=45°，∴△ABC 是等腰三角形，AC =BC ， ∴根据正切定义，tan 1BCA AC∠==， ∵∠A =45°， ∴tan 451︒=， 故选 B ． 2. 【答案】D 【分析】先解直角ABC 求出AD ，再在直角ABD △中应用勾股定理即可求出AB ． 【详解】解：∵26BD CD ==， ∴3CD =，∵直角ADC 中，tan 2C ∠=， ∴tan 326AD CD C =⋅∠=⨯=，∴直角ABD △中，由勾股定理可得，AB === 故选D ． 3. 【答案】D 【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可． 【详解】∵BC ⊥AC ，∴△ABC 是直角三角形， ∵∠ABC =α， ∴sin ACABα=， 故选：D ． 4. 【答案】C 【分析】由()1,1P 可知，OP 与x 轴的夹角为45°，又因为OP AB ∥，则OAB 为等腰直角形，设OC =x ，OB =2x ，用勾股定理求其他线段进而求解． 【详解】∵P 点坐标为（1，1），则OP 与x 轴正方向的夹角为45°， 又∵OP AB ∥，则∠BAO =45°，OAB 为等腰直角形， ∴OA =OB ，设OC =x ，则OB =2OC =2x ， 则OB =OA =3x ， ∴tan 133OC x OAP OA x ∠===． 5. 【答案】B 【分析】把AB 向上平移一个单位到DE ，连接CE ，则DE ∥AB ，由勾股定理逆定理可以证明△DCE 为直角三角形，所以cos ∠APC ＝cos ∠EDC 即可得答案． 【详解】解：把AB 向上平移一个单位到DE ，连接CE ，如图．则DE ∥AB ， ∴∠APC ＝∠EDC ．在△DCE 中，有EC DC 5DE ==， ∴22252025EC DC DE +=+==， ∴DCE ∆是直角三角形，且90DCE ∠=︒，∴cos ∠APC ＝cos ∠EDC＝DC DE =故选：B ． 6. 【答案】C 【分析】证明四边形ADBC 为菱形，求得∠ABC =30°，利用特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：连接AD ，如图：∵网格是有一个角60°为菱形，∴△AOD 、△BCE 、△BCD 、△ACD 都是等边三角形， ∴AD = BD = BC = AC ，∴四边形ADBC 为菱形，且∠DBC =60°， ∴∠ABD =∠ABC =30°， ∴tan ∠ABC = tan30°= 故选：C ． 7. 【答案】A 【分析】连结OA ，根据切线长的性质得出PA =PB ，OP 平分∠APB ，OP ⊥AP ，再证△APD ≌△BPD （SAS ），然后证明∠AOP =∠ADP +∠OAD =∠ADP +∠BDP =∠ADB ， 利用勾股定理求出OP=10=，最后利用三角函数定义计算即可． 【详解】 解：连结OA∵PA 、PB 分别与O 相切于点A 、B ， ∴PA =PB ，OP 平分∠APB ，OP ⊥AP ， ∴∠APD =∠BPD ， 在△APD 和△BPD 中， AP BPAPD BPD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APD≌△BPD（SAS）∴∠ADP=∠BDP，∵OA=OD=6，∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，在Rt△AOP中，OP10=，∴sin∠ADB=84105 APOP==．故选A．8. 【答案】B 【分析】先根据垂径定理求出12CE CD=，再根据余弦的定义进行解答即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，AB⟂CD．∴112,902CE CD OEC==∠=︒，OC=12AB=13，∴12 cos13CEOCEOC∠==．故选：B．9. 【答案】A【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，再接着利用勾股定理得到关于a的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出tanα的值即可．【详解】∵小正方形与每个直角三角形面积均为1，∴大正方形的面积为5，∴小正方形的边长为1设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，其中a>0，∴a2+(a+1)2=5，其中a>0，解得：a1=1，a2=-2(不符合题意，舍去)，tan α=1a a +=111+=2， 故选：A ．10. 【答案】B【分析】分别对每个选项进行证明后进行判断：①通过证明()DOF COE ASA ≌得到EC =FD ，再证明()EAC FBD SAS ≌得到∠EAC =∠FBD ，从而证明∠BPQ =∠AOQ =90°，即AE BF ⊥；②通过等弦对等角可证明45OPA OBA ∠=∠=︒；③通过正切定义得tan BE BP BAE AB AP ∠==，利用合比性质变形得到CE BP AP BP BE ⋅-=，再通过证明AOP AEC ∽得到OP AE CE AO ⋅=，代入前式得OP AE BP AP BP AO BE⋅⋅-=⋅，最后根据三角形面积公式得到AE BP AB BE ⋅=⋅，整体代入即可证得结论正确；④作EG ⊥AC 于点G 可得EG ∥BO ，根据tan EG EG CAE AG AC CG∠==-，设正方形边长为5a ，分别求出EG 、AC 、CG 的长，可求出3tan 7CAE ∠=，结论错误；⑤将四边形OECF 的面积分割成两个三角形面积，利用()DOF COE ASA ≌，可证明S 四边形OECF =S △COE +S △COF = S △DOF +S △COF =S △COD 即可证明结论正确．【详解】①∵四边形ABCD 是正方形，O 是对角线AC 、BD 的交点，∴OC =OD ，OC ⊥OD ，∠ODF =∠OCE =45°∵OE OF ⊥∴∠DOF +∠FOC =∠FOC +∠EOC =90°∴∠DOF =∠EOC在△DOF 与△COE 中ODF OCE OC ODDOF EOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()DOF COE ASA ≌∴EC =FD∵在△EAC 与△FBD 中45EC FD ECA FDB AC BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()EAC FBD SAS ≌∴∠EAC =∠FBD又∵∠BQP =∠AQO∴∠BPQ =∠AOQ =90°∴AE ⊥BF所以①正确；②∵∠AOB =∠APB =90°∴点P 、O 在以AB 为直径的圆上∴AO 是该圆的弦∴45OPA OBA ∠=∠=︒所以②正确； ③∵tan BE BP BAE AB AP ∠== ∴AB AP BE BP = ∴AB BE AP BP BE BP --= ∴AP BP CE BP BE-= ∴CE BP AP BP BE ⋅-=∵,45EAC OAP OPA ACE ∠=∠∠=∠=︒∴AOP AEC ∽ ∴OP AO CE AE= ∴OP AE CE AO⋅= ∴OP AE BP AP BP AO BE⋅⋅-=⋅ ∵1122ABE AE BP AB BE S⋅=⋅= ∴AE BP AB BE ⋅=⋅∴OP AB BE AB AP BP OP AO BE AO⋅⋅-==⋅ 所以③正确；④作EG ⊥AC 于点G ，则EG ∥BO ， ∴EG CE CG OB BC OC==设正方形边长为5a ，则BC =5a ，OB =OC ， 若:2:3BE CE =，则23BE CE =， ∴233BE CE CE ++= ∴35CE BC =∴35CE EG OB BC =⋅== ∵EG ⊥AC ，∠ACB =45°，∴∠GEC =45°∴CG =EG∴3tan 7EG EG CAE AG AC CG ∠===- 所以④错误；⑤∵()DOF COE ASA ≌，S 四边形OECF =S △COE +S △COF∴S 四边形OECF = S △DOF +S △COF = S △COD∵S △COD =14ABCD S 正方形∴S 四边形OECF =14ABCD S 正方形所以⑤正确；综上，①②③⑤正确，④错误，故选 B11. 【答案】12【详解】根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°=12． 故答案为：1212. 【答案】1213 【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB 的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．【详解】解：如图所示：∵∠C =90°，AC =5，BC =12，∴AB=13，∴sin A =1213BC AB =．故答案为：1213．13. 【详解】 解：如图所示：在Rt ABC 中，由勾股定理可知：222+=a b c ，2ac b =，22a ac c ∴+=，0a >， 0b >，0c >，2222a ac c c c +∴=，即：21a a c c⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求出a c =或a c =∴在Rt ABC 中：in s a c A ==，故答案为： 14. 【答案】45 【分析】根据三角函数的定义即可得到cos B ＝sin A ＝45． 【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∵sin A ＝BC AB ＝45， ∴cos B ＝BC AB ＝45． 故答案为：45． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，由定义可推出互余两角的三角函数的关系：若∠A +∠B ＝90°，则sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B ．熟知相关定义是解题关键．15. 【分析】 过点D 作BC 的垂线交于E ，证明出四边形ABED 为矩形，BCD △为等腰三角形，由勾股定理算出DE BD =【详解】解：过点D 作BC 的垂线交于E ，90DEB ∴∠=︒90A ABC ∠=∠=︒，∴四边形ABED 为矩形，//,1DE AB AD BE ∴==，ABD BDE ∴∠=∠， BD 平分ADC ∠，ADB CDB ∴∠=∠，//AD BE ，ADB CBD ∴∠=∠，∴∠CDB =∠CBD3CD CB ∴==，1AD BE ==，2CE =∴，DE ∴BD ∴sinBE BDE BD ∴∠==，sin ABD ∴∠=故答案为：16. 【答案】43【分析】如图（见解析），先根据平行线的判定与性质可得,A B αβ∠=∠=，从而可得A B ∠=∠，再根据相似三角形的判定证出AOC BOD △△，根据相似三角形的性质可得OC 的长，然后根据正切的定义即可得．【详解】解：如图，由题意得：OP CD ⊥，AC CD ⊥，AC OP ∴，A α∴∠=，同理可得：B β∠=，αβ=，A B ∴∠=∠，在AOC △和BOD 中，90A B ACO BDO ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩， AOCBOD ∴， OC AC OD BD∴=， 3,6,12,AC BD CD OD CD OC ====-，1236OC OC ∴-=， 解得4OC =，经检验，4OC =是所列分式方程的解， 则4tan tan 3OC A AC α===， 故答案为：43．17. 【分析】根据sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-代入进行计算即可．【详解】解：sin15sin(4530)︒=︒-︒=sin 45cos30cos45sin30︒︒︒︒-=12==故答案为： 18. 【答案】45 【分析】如图所示，过点C 作CE ⊥AB 于E ，先求出CE ，AE 的长，从而利用勾股定理求出AC 的长，由此求解即可．【详解】解：如图所示，过点C 作CE ⊥AB 于E ，由题意得43CE AE ==，，∴5AC =， ∴4sin =5CE A AC =， 故答案为：45．19. 【答案】725【分析】根据折叠的性质结合勾股定理求得GE 5=，BC=AD=8，证得Rt △EGF ~Rt △EAG ，求得253EA =，再利用勾股定理得到DE 的长，即可求解． 【详解】矩形ABCD 中，GC=4，CE =3，∠C=90︒，∴5==，根据折叠的性质：BG=GF，GF=GC=4，CE=EF=3，∠AGB=∠AGF，∠EGC=∠EGF，∠GFE =∠C=90︒，∴BG=GF=GC=4，∴BC=AD=8，∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180︒，∴∠AGE=90︒，∴Rt△EGF~Rt△EAG，∴EG EFEA EG=，即535EA=，∴253 EA=，∴73 =，∴773sin DAE25253DEAE∠===，故答案为：725．20. 【答案】58##0.625【分析】先判断出四边形ABEF是正方形，进而判断出△ABG≌△BEH，得出∠BAG=∠EBH，进而求出∠AOB=90°，再判断出△AOB~△ABG，求出OA OB=△OBM～△OAN，求出BM=1，即可求出答案．【详解】解：∵点E，F分别是BC，AD的中点，∴11,22AF AD BE BC==，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥BC，AD=BC，∴12AF BE AD==，∴四边形ABEF是矩形，由题意知，AD=2AB，∴AF =AB ，∴矩形ABEF 是正方形，∴AB =BE ，∠ABE =∠BEF =90°，∵BG =EH ，∴△ABG ≌△BEH （SAS ），∴∠BAG =∠EBH ，∴∠BAG +∠ABO =∠EBH +∠ABO =∠ABG =90°， ∴∠AOB =90°，∵BG ＝EH ＝25BE ＝2， ∴BE =5，∴AF =5，∴AG =∵∠OAB =∠BAG ，∠AOB =∠ABG ， ∴△AOB ∽△ABG ， ∴OA OB AB AB BG AG ==，即52OA OB ==∴OA OB ==， ∵OM ⊥ON ，∴∠MON =90°=∠AOB ，∴∠BOM =∠AON ，∵∠BAG +∠FAG =90°，∠ABO +∠EBH =90°，∠BAG =∠EBH ， ∴∠OBM =∠OAN ，∴△OBM ～△OAN ， ∴OB BM OA AN=， ∵点N 是AF 的中点， ∴1522AN AF ==，∴52BM =，解得：BM =1， ∴AM =AB -BM =4， ∴552tan 48AN AMN AM ∠===． 故答案为：5821. 【分析】 取AB 中点D ，由图可知，AB =6，AD =BD =3，OD =2，由垂径定理得OD ⊥AB ，则OB ==cos ∠DOB =13OD OB ==，再证∠ACB =∠DOB ，即可解．【详解】解：取AB 中点D ，如图，由图可知，AB =6，AD =BD =3，OD =2，∴OD ⊥AB ，∴∠ODB =90°，∴OB ==cos ∠DOB =13OD OB ==， ∵OA =OB ，∴∠BOD =12∠AOB ，∵∠ACB =12∠AOB ，∴∠ACB =∠DOB ，∴cos ∠ACB = cos ∠DOB =故答案为：22. 【分析】从阅读可得：BC 2＝AB 2＋AC 2﹣2AB AC cos A ，将数值代入求得结果．【详解】解：由题意可得，BC 2＝AB 2＋AC 2﹣2AB •AC •cos A＝32＋42﹣2×3×4cos60°＝13，∴BC故答案为：【点睛】本题考查了阅读理解能力，特殊角锐角三角函数值等知识，解决问题的关键是公式的具体情景运用．23. 【答案】6【分析】先计算算术平方根、绝对值、零指数幂、特殊角三角函数值，再合并即可．【详解】解：原式＝4﹣2×1+3+1＝4﹣2+3+1＝6【点睛】此题考查的是算术平方根、绝对值、零指数幂、特殊角三角函数值，掌握其运算法则是解决此题的关键．24. 【答案】2【分析】根据绝对值的意义，零指数幂的定义，数的开方法则以及特殊角的三角函数的值代入计算即可．【详解】解：01|()tan 452+︒11-2=【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则和方法是解本题的关键． 25. 【答案】1【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值等计算法则求解即可．【详解】解：2022032tan 45(1))π--︒+--32111=-⨯+-3211=-+-1=．26. 【答案】3【分析】分别计算负数的偶次幂、二次根式、特殊角的正弦值，再进行加减即可．【详解】解：()2022112sin 3013213132-︒=+-⨯=+-=． 27. 【答案】3【分析】根据特殊角三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂求解即可．【详解】 解：原式113322=+-=． 28. 【答案】1【分析】根据零次幂，负整指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质进行计算即可求解．【详解】解：原式＝1142-⨯+1=．29. 【答案】AC =4，sin A =35 【分析】根据勾股定理求出AC ，根据正弦的定义计算，得到答案．【详解】解：∵∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，∴4AC ．3sin 5BC A AB ==．30. 【答案】11x -，2【分析】 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据特殊角三角函数值求出x ，继而代入计算可得．【详解】 解：原式22131(1)(1)2x x x x x ⎡⎤---=-⋅⎢⎥--⎣⎦ 2(1)(3)1(1)2x x x x ----=⋅- 221(1)2x x -=⋅-11x =-∵2112x =⨯+=∴原式==31. 【答案】11a +，【分析】先算分式的减法，再把除法化为乘法进行约分化简，最后代入求值，即可求解．【详解】解：原式=223(1)23111a a a a a a ++-⎛⎫-⋅ ⎪--⎝⎭=33231(1)(1)a a a a a a +---⋅+- =1(1)(1)a a a a a -⋅+- =11a +，当2sin 451a =︒-=21=1时，原时。

中考数学：锐角三角函数试卷解析一、选择题1.(2021四川巴中，第8题3分)在Rt△ABC中，C=90，sinA=1/2，则t anB的值为()A.1B.3C.1/2D.2考点：锐角三角函数.分析：依照题意作出直角△ABC，然后依照sinA=，设一条直角边BC 为5x，斜边AB为13x，依照勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后依照三角函数的定义可求出tanB.解答：∵sinA=，设BC=5x，AB=13x，则AC==12x，故tanB==.故选D.点评：本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是把握三角函数的定义和勾股定理的运用.2.(2021山东威海，第8题3分)如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则AOB的正弦值是()A.1B.1/2C.3/5D.2/3考点：锐角三角函数的定义;三角形的面积;勾股定理分析：作ACOB于点C，利用勾股定理求得AC和AB的长，依照正弦的定义即可求解.解答：解：作ACOB于点C.则AC=AB===2，则sinAOB===.故选D.点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.3.(2021四川凉山州，第10题，4分)在△ABC中，若|cosA﹣|+(1﹣tanB)2=0，则C的度数是()A.45B.60C.75D.105考点：专门角的三角函数值;非负数的性质：绝对值;非负数的性质：偶次方;三角形内角和定理分析：依照非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，依照三角形的内角和定理可得出C的度数.解答：解：由题意，得cosA=，tanB=1，A=60，B=45，C=180﹣A﹣B=180﹣60﹣45=75.故选：C.点评：此题考查了专门角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些专门角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理.4.(2021甘肃兰州,第5题4分)如图，在Rt△ABC中，C=90，BC=3，A C=4，那么cosA的值等于()A.1/2B.3/5C.2D.1/5考点：锐角三角函数的定义;勾股定理.分析：第一运用勾股定理求出斜边的长度，再利用锐角三角函数的定义求解.解答：解：∵在Rt△ABC中，C=90，AC=4，BC=3，AB=.cosA=，故选：D.点评：本题要紧考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边.5.(2021广州,第3题3分)如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则().(A)(B)(C)(D)【考点】正切的定义.【分析】.【答案】D6.(2021浙江金华，第6题4分)如图，点A(t，3)在第一象限，OA与x 轴所夹的锐角为，则t的值是【】A.1B.1.5C.2D.3【答案】C.【解析】7.(2021滨州，第11题3分)在Rt△ACB中，C=90，AB=10，sinA=，c osA=，tanA=，则BC的长为()A.6B.7.5C.8D.12.5考点：解直角三角形分析：依照三角函数的定义来解决，由sinA==，得到BC==.解答：解：∵C=90AB=10，sinA=，BC=AB=10=6.故选A.点评：本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，注意：在Rt△AC B中，C=90，则sinA=，cosA=，tanA=.8.(2021扬州，第7题，3分)如图，已知AOB=60，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=()A.3B.4C.5D.6(第1题图)考点：含30度角的直角三角形;等腰三角形的性质分析：过P作PDOB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN 中点，依照MN求出MD的长，由OD﹣MD即可求出OM的长.解答：解：过P作PDOB，交OB于点D，在Rt△OPD中，cos60==，OP=12，OD=6，∵PM=PN，PDMN，MN=2，MD=ND=MN=1，OM=OD﹣MD=6﹣1=5.故选C.点评：此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练把握直角三角形的性质是解本题的关键.9.(2021四川自贡，第10题4分)如图，在半径为1的⊙O中，AOB=4 5，则sinC的值为()A.1B.1/2C.2D.3考点：圆周角定理;勾股定理;锐角三角函数的定义专题：压轴题.分析：第一过点A作ADOB于点D，由在Rt△AOD中，AOB=45，可求得AD与OD的长，继而可得BD的长，然后由勾股定理求得AB的长，继而可求得sinC的值.解答：解：过点A作ADOB于点D，∵在Rt△AOD中，AOB=45，OD=AD=OAcos45=1=，BD=OB﹣OD=1﹣，AB==，∵AC是⊙O的直径，ABC=90，AC=2，sinC=.故选B.点评：此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理.此题难度适中，注意把握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.10.(2021浙江湖州，第6题3分)如图，已知Rt△ABC中，C=90，AC =4，tanA=，则BC的长是()A.2B.8C.2D.4分析：依照锐角三角函数定义得出tanA=，代入求出即可.解：∵tanA==，AC=4，BC=2，故选A.点评：本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，C=90，sinA=，cosA=，tanA=.11.(2021广西来宾，第17题3分)如图，Rt△ABC中，C=90，B=30，BC=6，则AB的长为4考点：解直角三角形.分析：依照cosB=及专门角的三角函数值解题.解答：解：∵cosB=，即cos30=，AB===4.故答案为：4.点评：本题考查了三角函数的定义及专门角的三角函数值，是基础知识，需要熟练把握.12.(2021年贵州安顺，第9题3分)如图，在Rt△ABC中，C=90，A= 30，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EFAC于F，连接FB，则tanCFB的值等于()A.30B.45C.60D.15考点：锐角三角函数的定义..分析：tanCFB的值确实是直角△BCF中，BC与CF的比值，设BC=x，则BC与CF就能够用x表示出来.就能够求解.解答：解：依照题意：在Rt△ABC中，C=90，A=30，∵EFAC，EF∥BC，∵AE：EB=4：1，=5，设AB=2x，则BC=x，AC=x.在Rt△CFB中有CF=x，BC=x.则tanCFB==.故选C.点评：本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜;余弦等于邻边比斜边;正切等于对边比邻边.13.(2021年广东汕尾，第7题4分)在Rt△ABC中，C=90，若sinA=，则cosB的值是()A.1B.3C.2D.-1分析：依照互余两角的三角函数关系进行解答.解：∵C=90，B=90，cosB=sinA，∵sinA=，cosB=.故选B.点评：本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键.14.(2021毕节地区，第15题3分)如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CDAB交AB于D.已知cosACD=，BC =4，则AC的长为()A.1B.4C.3D.2考点：圆周角定理;解直角三角形分析：由以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CDAB交AB于D.易得ACD=B，又由cosACD=，BC=4，即可求得答案.解答：解：∵AB为直径，ACB=90，ACD+BCD=90，∵CDAB，BCD+B=90，ACD，∵cosACD=，cosB=，tanB=，∵BC=4，tanB===，AC=.故选D.点评：此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质.此题难度适中，注意把握数形结合思想的应用.15.(2021年天津市，第2题3分)cos60的值等于()A.1/2B.1C.3D.5点：专门角的三角函数值.分析：依照专门角的三角函数值解题即可.解答：解：cos60=.故选A.点评：本题考查专门角的三角函数值，准确把握专门角的函数值是解题关键.二、填空题1.(2021年贵州黔东南11.(4分))cos60=.考点：专门角的三角函数值.分析：依照专门角的三角函数值运算.解答：解：cos60=.点评：本题考查专门角三角函数值的运算，专门角三角函数值运算在中考中经常显现，要把握专门角度的三角函数值.2.(2021江苏苏州,第15题3分)如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8.若BPC=BAC，则tanBPC=.考点：锐角三角函数的定义;等腰三角形的性质;勾股定理分析：先过点A作AEBC于点E，求得BAE=BAC，故BPC=BAE.再在Rt△BAE中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tanBPC=tanBAE=.解答：解：过点A作AEBC于点E，∵AB=AC=5，BE=BC=8=4，BAE=BAC，∵BPC=BAC，BPC=BAE.在Rt△BAE中，由勾股定理得AE=，tanBPC=tanBAE=.故答案为：.点评：求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角(或余角)的三角函数关系式求三角函数值.3.(2021四川内江，第23题，6分)如图，AOB=30，OP平分AOB，P COB于点C.若OC=2，则PC的长是.考点：含30度角的直角三角形;勾股定理;矩形的判定与性质.专题：运算题.分析：延长CP，与OA交于点Q，过P作PDOA，利用角平分线定理得到PD=PC，在直角三角形OQC中，利用锐角三角函数定义求出QC的长，在直角三角形QDP中，利用锐角三角函数定义表示出PQ，由QP+PC=QC，求出PC的长即可.解答：解：延长CP，与OA交于点Q，过P作PDOA，∵OP平分AOB，PDOA，PCOB，PD=PC，在Rt△QOC中，AOB=30，OC=2，QC=OCtan30=2=，APD=30，在Rt△QPD中，cos30==，即PQ=DP=PC，QC=PQ+PC，即PC+PC=，解得：PC=.故答案为：点评：此题考查了含30度直角三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练把握直角三角形的性质是解本题的关键.4.(2021四川宜宾，第16题，3分)规定：sin(﹣x)=﹣sinx，cos(﹣x)=co sx，sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny.据此判定下列等式成立的是②③④(写出所有正确的序号)①cos(﹣60②sin75③sin2x=2sinx④sin(x﹣y)=sinxcosy﹣cosxsiny.考点：锐角三角函数的定义;专门角的三角函数值.专题：新定义.分析：依照已知中的定义以及专门角的三角函数值即可判定.解答：解：①cos(﹣60)=cos60=，命题错误;②sin75=sin(30+45)=sin30cos45+cos30sin45=+=+=，命题正确;③sin2x=sinxcosx+cosxsinx═2sinxcosx，故命题正确;④sin(x﹣y)=sinxcos(﹣y)+cosxsin(﹣y)=sinxcosy﹣cosxsiny，命题正确.故答案是：②③④.点评：本题考查锐角三角函数以及专门角的三角函数值，正确明白得题目中的定义是关键.5.(2021甘肃白银、临夏,第15题4分)△ABC中，A、B差不多上锐角，若sinA=，cosB=，则C=.考点：专门角的三角函数值;三角形内角和定理.分析：先依照专门角的三角函数值求出A、B的度数，再依照三角形内角和定理求出C即可作出判定.解答：解：∵△ABC中，A、B差不多上锐角sinA=，cosB=，B=60.C=180﹣A﹣B=180﹣60﹣60=60.故答案为：60.点评：本题考查的是专门角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单.6.(2021广西贺州，第18题3分)网格中的每个小正方形的边长差不多上1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=.考点：锐角三角函数的定义;三角形的面积;勾股定理.分析：依照正弦是角的对边比斜边，可得答案.解答：解：如图，作ADBC于D，CEAB于E，由勾股定理得AB=AC=2，BC=2，AD=3，由BCAD=ABCE，观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。

中考数学：锐角三角函数讲解锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数。

正弦等于对边比斜边余弦等于邻边比斜边正切等于对边比邻边余切等于邻边比对边正割等于斜边比邻边余割等于斜边比对边正切与余切互为倒数它的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。

另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。

现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

它有六种差不多函数(初等差不多表示)：函数名正弦余弦正切余切正割余割在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP,设旋转角为θ，设OP=r,P点的坐标为（x,y）有正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y（斜边为r,对边为y,邻边为x.）死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。

但随着素养教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力进展的教学方式,慢慢为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。

事实上,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素养并不矛盾。

相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。

以及两个不常用，已趋于被剔除的函数：那个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。

要求学生抽空抄录同时阅读成诵。

其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,因此内容要尽量广泛一些,能够分为人一辈子、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探究、环保等多方面。

如此下去,除假期外,一年便能够积存40多则材料。

假如学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?正矢函数versinθ=1-cosθ“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。