江苏省高考数学复习知识点按难度与题型归纳(应试笔记) (1)
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江苏省高考数学复习知识点A1.集合性质与运算：不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想A2.命题的否定与否命题A3.复数运算1.运算律：⑴m n m n z z z +⋅=； ⑵()m n mn z z =； ⑶1212()(,)m m m z z z z m n N ⋅=∈. 【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围.2.模的性质：⑴1212||||||z z z z =； ⑵1122||||||z z z z =； ⑶n nz z =.3.重要结论：⑴2222121212||||2||||()z z z z z z -++=+； ⑵2212z z z z ⋅==； ⑶()212i i ±=±； ⑷11ii i-=-+，11i i i +=-；⑸i 性质：T=4；.【拓展】：1 , ,1,4342414=-=-==+++n n n n i i i i i i ()()3211101ωωωωω=⇔-++=⇔=或1i 22ω=-±.A4.幂函数的的性质及图像变化规律：(1)所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图像都过点(1,1)；(2)当0a >时，幂函数的图像通过原点，并且在区间[0,)+∞上是增函数．特别地， 当1a >时，幂函数的图像下凸； 当01a <<时，幂函数的图像上凸；(3)0a <时，幂函数的图像在区间(0,)+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图像在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图像在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 【说明】：对于幂函数我们只要求掌握111,2,3,,23a =的这5类，它们的图像都经过一个定点(0,0)和(0,1)，并且1-=x 时图像都经过(1,1)，把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了.A5.统计1.抽样方法：2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.①频率=样本容量频数.②小长方形面积=组距×组距频率=频率. ③所有小长方形面积的和=各组频率和=1. 【提醒】：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率.3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；样本平均数： 12111()nn ii x x x x x nn ==+++=∑1x4.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差). (1)一组数据123,,,,n x x x x ⋯①样本方差2222121[()()()]n S x x x x x x n =-+-+⋅⋅⋅+-222111111()()()n n n i i i i i i x x x x n n n ====-=-∑∑∑ ；②样本标准差σ==(2)两组数据123,,,,n x x x x ⋯与123,,,,n y y y y ⋯,其中i y ax b =+,1,2,3,,i n =⋯.则y ax b =+,它们的方差为222y x S a S =,标准差为||y x a σσ=③若12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则12,,,n ax b ax b ax b +++的平均数为ax b +，方差为22a s .样本数据做如此变换：'i i x ax b =+，则'x ax b =+，222()S a S '=.B 、(5～9，中档题，易丢分，防漏/多解) B1.线性规划1、二元一次不等式表示的平面区域：（1）当0A >时，若0Ax By C ++>表示直线l 的右边，若0Ax By C ++<则表示直线l 的左边. （2）当0B >时，若0Ax By C ++>表示直线l 的上方，若0Ax By C ++<则表示直线l 的下方.2、设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域：两直线1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=所成的对顶角区域（上下或左右两部分）.3、点000(,)P x y 与曲线(),f x y 的位置关系：若曲线(,)f x y 为封闭曲线（圆、椭圆、曲线||||x a y b m +++=等），则00(),0f x y >，称点在曲线外部； 若(,)f x y 为开放曲线（抛物线、双曲线等），则00(),0f x y >，称点亦在曲线“外部”.4、已知直线:0l Ax By C ++=，目标函数z Ax By =+.①当0B >时，将直线l 向上平移，则z 的值越来越大；直线l 向下平移，则z 的值越来越小； ②当0B <时，将直线l 向上平移，则z 的值越来越小；直线l 向下平移，则z 的值越来越大；5、明确线性规划中的几个目标函数（方程）的几何意义：（1）z ax by =+，若0b >，直线在y 轴上的截距越大，z 越大，若0b <，直线在y 轴上的截距越大，z 越小. （2）y m x n--表示过两点()(),,,x y n m 的直线的斜率，特别y x表示过原点和(),n m 的直线的斜率.（3）()()22t x m y n =-+-表示圆心固定，半径变化的动圆，也可以认为是二元方程的覆盖问题. （4）y =(),x y 到点()0,0的距离.（5）(cos ,sin )F θθ； （6）d =；（7）22a ab b ±+；【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x 2+y 2=1上的点)sin ,(cos θθ及余弦定理进行转化达到解题目的。
B 2.三角变换：（1）角的“配”与“凑”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变形技巧，如下：2=+ααα，22αα=⨯；22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---；()()2222=+-=-+==+-+-+-ααββαββαβαββαβα；22[()]2[()]()()()()=+-=-+=++-=+--ααββαββαβαββαβα； 2()+=++αβαβα，2()-=-+αβαβα；154530,754530︒=︒-︒︒=︒+︒；()424ππααπ+=--等.（2）“降幂”与“升幂”（次的变化）2222cos 2cos sin 2cos 12sin 1=-=-=-ααααα2cos 2sin 12=-αα，2sin 2cos 12=+αα，（3）切割化弦（名的变化）利用同角三角函数的基本关系经常用的手段是“切化弦”和“弦化切”. （4）常值变换常值12.此外，对常值 “1”可作如下代换：22221sin cos sec tan tan cot 2sin30tan sin cos042x x x x x x ππ=+=-=⋅=︒====等.（5）引入辅助角一般的，sin cos )sin()a b +==+αααααϕ，期中cos tan b a===ϕϕϕ.特别的，sin cos )4A A A +=+π;sin 2sin()3x x x +=+π，cos 2sin()6x x x +=+π等.（6）特殊结构的构造 构造对偶式，化繁为简.举例：22sin 20cos 50sin 20cos50A =︒+︒+︒︒，22cos 20sin 50cos 20sin50B =︒+︒+︒︒ 可以通过两式和，作进一步化简. （7）整体代换举例：sin cos x x m +=22sin cos 1x x m ⇒=-sin()m +=αβ，12sin 70,sin 702A B A B +=+︒-=--︒sin()n -=αβ，可求出sin cos ,cos sin αβαβ整体值，作为代换之用.B 3.三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点． (1)角的变换因为在ABC ∆中，A B C π++=（三内角和定理），所以 任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形：①三内角都是锐角；②三内角的余弦值为正值； ③任两角和都是钝角；④任意两边的平方和大于第三边的平方.即，sin sin()A B C =+；cos cos()A B C =-+；tan tan()A B C =-+．22sincosA B C +=；22cossinA B C +=；22tancotA B C +=.(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理．面积公式：11sin 22a S sh ab C r p ===⋅=其中r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半．tan tan tan tan tan tan 1222222A B B C C A++=(3)对任意ABC ∆，；在非直角ABC ∆中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=． (4)在ABC ∆中，熟记并会证明：*1.,,A B C ∠∠∠成等差数列的充分必要条件是60B ∠=︒．*2.ABC ∆是正三角形的充分必要条件是,,A B C ∠∠∠成等差数列且,,,a b c 成等比数列． *3.三边,,a b c 成等差数列⇔2b a c =+⇔2sin sin sin A B C =+⇔1tan tan 223A C =；3≤B π.*4.三边,,,a b c 成等比数列⇔2b ac =⇔2sin sin sin A B C =,3≤B π.(5)锐角ABC ∆中,2A B π+>⇔sin cos ,sin cos ,sin cos A B B C C A >>> ，222a b c +>；sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++.(6)两内角与其正弦值：在ABC ∆中，sin sin a b A B A B >⇔>⇔>⇔cos 2cos 2B A >，…(7)若π=++C B A ，则2222cos 2cos 2cos x y z yz A xz B xy C ++++≥.B 4.三角恒等与不等式 组一33sin 33sin 4sin ,cos34cos 3cos αααααα=-=-()()2222sin sin sin sin cos cos αβαβαββα-=+-=- 323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-组二tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=sin sin sin 4cos cos cos 222A B CA B C ++=cos cos cos 14sin sin sin 222A B CA B C ++=+222sin sin sin 22cos cos cos A B C A B C ++=+……组三 常见三角不等式 (1)若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<；(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+(3) |sin ||cos |1x x +≥；(4)xxx f sin )(=在),0(π上是减函数；B5.概率的计算公式： ⑴古典概型：()A P A =包含的基本事件的个数基本事件的总数；①等可能事件的概率计算公式：()()()m card A p A n card I ==；②互斥事件的概率计算公式：P (A +B )＝P (A )+P (B )； ③对立事件的概率计算公式是：P (A )=1－P (A )；⑵几何概型：若记事件A={任取一个样本点，它落在区域g ⊂Ω}，则A 的概率定义为()g A P A Ω==的测度构成事件的区域长度（面积或体积等）的测度试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）B6.最值定理①,0,x y x y >+≥由()xy P =定值，则当x y =时和x y +有最小值②,0,x y x y >+≥由()x y S +=定值，则当x y =是积xy 有最大值214s . 【推广】：已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+. 若积xy 是定值，则当||y x -最大时，||y x +最大； 当||y x -最小时，||y x +最小.若和||y x +是定值，则当||y x -最大时，||xy 最小；当||y x -最小时，||xy 最大. ③已知,,,R a x b y +∈，若1ax by +=，则有：21111()()by ax ax by a b a b xy x y x y +=++=+++++=≥ ④,,,R a x b y +∈，若1a b xy+=则有：()2()ay bx x y x y a b x y+=++=++=B7.求函数值域的常用方法：①配方法： ②逆求法：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围，型如,(,)ax b y x m n cx d+=∈+的函数值域；④换元法：⑤三角有界法：如转化为只含正弦、余弦的函数，再运用其有界性来求值域； ⑥不等式法：利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值，有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧； ⑦单调性法： ⑧数形结合法： ⑨分离常数法： 【说明】：对分式函数一般先考虑分子分母次数，齐次的话则先分离出常数，若次数不一样且两倍的化则将次数低的整体换元：1.2by k x=+型，可直接用不等式性质； 2.2bxy x mx n =++型，先化简，再用均值不等式；3.2x m x n y mx n ''++=+型，可先换元转化为类似于2型4.22x m x n y x mx n ''++=++型，通常先分离出常数再转换为3型⑪导数法：一般适用于高次多项式函数求值域.……B8.函数值域的题型(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段.(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域. 解题步骤：(1)换元变形；(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围； (3)画图像，定区间，截段。
