方法专题-整式与绝对值的化简.ppt

＝5 ab2－[2 a2 b －(3 ab2－4 ab2＋2 a2 b )]
＝5 ab2－(2 a2 b －3 ab2＋4 ab2－2 a2 b )
＝5 ab2－2 a2 b ＋3 ab2－4 ab2＋2 a2 b
＝4 ab2.

当 a ＝－3， b ＝ 时，

原式＝4×(－3)×


＝4×(－3)× ＝－3.
冀教版 七年级上册
第四章 整式的加减
集训课堂
练素养 1.整式化简求值的六大技
法
名师点金
整式加减需要注意的两个事项：(1)几个多项式相加，可
以省略括号，直接写成相加的形式，如3 a ＋2 b 与－2 a ＋ b
的和可直接写成3 a ＋2 b －2 a ＋ b 的形式.(2)两个多项式相
减，被减数可不加括号，但减数一定要加上括号，如3 a ＋2
xy ＋7 y )＋[9 x －(5 xy － y ＋7 x )]的值.
【解】原式＝6 xy ＋7 y ＋9 x －5 xy ＋ y －7 x
＝ xy ＋8 y ＋2 x
＝ xy ＋2( x ＋4 y ).
当 x ＋4 y ＝－1， xy ＝－5时，
原式＝－5＋2×(－1)＝－7.
1
2
3
4
5
6
技法4 挖掘“缺项”信息，再求值
6. 已知 k 为常数，化简关于 x 的式子(2 x2＋ x )－[ kx2－( x2－
x ＋1)]，并求出当 k 为何值时，此式子的值为定值，定值
是多少.
【解】原式＝2 x2＋ x － kx2＋ x2－ x ＋1
＝(3－ k ) x2＋1.
当 k ＝3时，原式＝1.

＝－2x2y＋7xy，当 x＝－12 ，y＝2 时，原式＝－2×(－12 )2×2＋7×(－12 ) ×2＝－8
类型二 化简后整体代入求值 2．先化简，再求值：(4a2－5ab＋b2)－(2a2－3ab＋3b2)，其中a2－b2＝5， ab＝2. 解：原式＝2a2－2b2－2ab＝2(a2－b2)－2ab，当a2－b2＝5，ab＝2时， 原式＝6
(2)5ab－2[3ab－(4ab2＋12 ab)]－5ab2，其中 a＝12 ，b＝－23 ； 解：原式＝5ab－6ab＋8ab2＋ab－5ab2＝3ab2， 当 a＝12 ，b＝－23 时，原式＝23
(3)3x2y－[2x2y－3(2xy－x2y)－xy]，其中 x＝－12 ，y＝2. 解：原式＝3x2y－[2x2y－6xy＋3x2y－xy]＝3x2y－2x2y＋6xy－3x2y＋xy
12．已知A＝2x2＋3xy－2x－1，B＝－x2＋xy－1. (1)求3A＋6B的值； (2)若3A＋6B的值与x无关，求y的值． 解：(1)3A＋6B＝3(2x2＋3xy－2x－1)＋6(－x2＋xy－1)＝6x2＋9xy－6x －3－6x2＋6xy－6＝15xy－6x－9
(2)原式＝(15y－6)x－9，因为其值与 x 无关，
＋5－(3x2y2＋23 x2y－3x2y2＋5xy2＋2)＝23 x2y＋5xy2＋5－3x2y2－23 x2y＋3x2y2
－5xy2－2＝(23 x2y－23 x2y)＋(5xy2－5xy2)＋(－3x2y2＋3x2y2)＋(5－2)＝3，所以 结果总是定值，与 x，y 的取值无关
10．老师布置了这样一道题：化简求值：3(x2－2x2y)－[3x2－y2＋2(－ 4x2y＋y2)]，其中x＝－4，y＝2.在计算过程中，小马虎把x＝－4抄成了x＝ 4，结果也是对的，请你解释其中的原因并算出结果．

a+b=9,ab=20,
求
2 3
(-15a+3ab)+
1 5
(2ab-
10a)-4(ab+3b)的值.
解:原式=-10a+2ab+25ab-2a-4ab-12b =-12a-85ab-12b =-12(a+b)-85ab. 当a+b=9,ab=20时, 原式=-12×9-85×20=-108-32=-140.
原式去括号合并得到最简结果,然后把条件整体代入计算即 可求值.
变式训练 (1)已知a2+a=1,则2a2+2a+2020= 2022 . (2)已知a-b=-3,求5(a-b)-7a+7b+11的值.
解:因为a-b=-3, 所以原式=5(a-b)-7(a-b)+11 =-2(a-b)+11=-2×(-3)+11=17.
4. 先 化 简 , 再 求 值 :(x2-2x+1)-(-x2+4)-(x2+4x+3), 其 中 x2-6x2025=0.
解:原式=x2-2x+1+x2-4-x2-4x-3=x2-6x-6. 因为x2-6x-2025=0,所以x2-6x=2025, 所以当x2-6x=2025时,原式=2025-6=2019.
化简后,直接代入求值 例1 先化简,再求值:3x2y-[ 2xy2-2 (xy-32x2y) +xy] +3xy2, 其中x=-13,y=3.
解:原式=3x2y-(2xy2-2xy+3x2y+xy)+3xy2 =3x2y-2xy2+2xy-3x2y-xy+3xy2 =xy2+xy. 当x=-13,y=3时, 原式=-13×9-13×3=-3-1=-4.

6．若x2＋ax－2y＋7－(bx2－2x＋9y－1)的值与x无关，求－a－b的值． 解：原式＝x2＋ax－2y＋7－bx2＋2x－9y＋1＝(1－b)x2＋(a＋2)x－11y＋8. 因为该整式的值与x无关，所以1－b＝0，a＋2＝0，解得b＝1，a＝－2.所以 －a－b＝－(－2)－1＝1.
2．先化简，再求值：3x2y－[2x2－(xy2－3x2y)－4xy2]， 其中|x|＝2，y＝12 ，且 xy＜0. 解：原式＝3x2y－2x2＋xy2－3x2y＋4xy2＝5xy2－2x2， 因为|x|＝2，y＝12 ，且 xy＜0，所以 x＝－2，y＝12 ， 所以原式＝5×(－2)×(12 )2－2×(－2)2＝－52 －8＝－221 .
3．已知x2－2y－5＝0，求3(x2－2xy)－(x2－6xy)－4y的值． 解：原式＝3x2－6xy－x2＋6xy－4y＝2x2－4y. 因为x2－2y－5＝0，所以x2－2y＝5，所以原式＝2(x2－2y)＝2×5＝10.
4．已知x＋4y＝－1，xy＝－5，求(6xy＋7y)＋[8x－(5xy－y＋6x)]的值． 解：原式＝6xy＋7y＋(8x－5xy＋y－6x)＝ 6xy＋7y＋8x－5xy＋y－6x＝xy＋2x＋8y. 当x＋4y＝－1，xy＝－5时，原式＝xy＋2(x＋4y)＝－5＋2×(－1)＝－7.

5．已知 A＝2x2＋4xy－2x－3，B＝－x2＋xy＋2，且 3A＋6B 的值与 x 无关， 求 y 的值．
解：3A＋6B＝3(2x2＋4xy－2x－3)＋6(－x2＋xy＋2)＝ 6x2＋12xy－6x－9－6x2＋6xy＋12＝18xy－6x＋3＝(18y－6)x＋3. 因为 3A＋6B 的值与 x 无关，所以 18y－6＝0，解得 y＝13 .

，
①当 ， ， 都是正数时，
②当 ， ， 都是负数时，
③当 ， ， 有一个负数时，
④当 ， ， 有两个负数时，
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
例题5
若
，求
的值．
答案 -3或1
解析 当

中有三个负数或一个负数 中有三个负数时，
当 中有一个负数时，
； ；
； ．
或． 考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
例题1
、 、 在数轴上的位置如图所示，化简
．
答案 ． 解析 略 考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
设 ， ， 为非零实数，且
，
，
．化简
．
答案 解析
，
，；
，
；
，
，
所以可以得到 ， ， ；
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
模块二 绝对值的无条件化简
考点 零点分段法
知识导航
时，
．
答案
解析 由题：
，
，
∴ 、 、 两正一负，
∴
，
原式
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
作业8
已知 是非 有理数，求
．
答案
解析 若 是非 有理数，则 或 ； 当 时，
当 时，
∴
．
； ；
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
教师备选
若 、 、 为整数，且
，试计算
答案
解析 ， ， 均为整数，则 ， 也应为整数，且

解：由数轴知c－a－b >0，a＋c－d < 0，c－b > 0， |c－a－b|－ |a＋c－d | － |c－b|.
∵原式＝(c－a－b)－[－(a＋c－d)]－(c－b) ＝ c－a－b＋ a＋c－d－c＋b
∴＝c－d. ∵|c|＝|d|－7，所以c＝d－7， ∴原式＝c－d＝－7.
总之，绝对值的化简问题学生学习时有困 难，它会用到数形结合思想、分类讨论思想 和整体的思想，希望学习时让学生密切结合 这些思想去解决问题
口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。
4.对于绝对值符号前有正、负号的运算
• 根据数轴很容易知道：每一个绝对值里边整体的正
负性，同时去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。 前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记加括号就惨
了，差之毫厘失之千里也！
5.经典例题举例
（1）有理数x，y在数轴上的位置如图所示， 化简： |x－y＋1|－2|y－x－3|＋|y－x|＋5
2.对于形如︱a+b︱的一类问题
首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝 对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。 ① 当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a+b
(性质1: 正数的绝对值是它本身) ∵a+b>0也就是 a+b是正数∴︱a+b︱=(a+b) =a+b ②当a+b=0时，︱a+b︱=(a+b) =0 (性质2: 0的绝对值是0 ) ∵a+b=0也就是 a+b是0∴︱a+b︱=(a+b) =a+b =0 ③当a+b<0时，︱a+b︱= –(a+b) = –a-b (性质3: 负数的绝对值是它的相反数) ∵a+b<0也就是 a+b是负数∴︱a+b︱=－(a+b) =－a－b

第二章 整式的加减
培优专题(二) 绝对值的化简
方法管理
归类探究
方法管理
1．绝对值的代数意义 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是 根据性质去掉绝对值符号． ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相 反数；(0 的绝对值是 0)．
变形 3 答图 解法二：由图知，a>0，b<0，c<0，且|a|＝|c|<|b|， ∴－b>a＝－c>－a＝c>b.
(2)∵a>0，b<0，c<0，且|a|＝|c|<|b|， ∴a＋b<0，a－b>0，b－c<0，a＋c＝0， ∴|a＋b|－|a－b|＋|b－c|＋|a＋c| ＝－(a＋b)－(a－b)－(b－c)＋0 ＝－a－b－a＋b－b＋c ＝－2a－b＋c.
(2)∵x＝－1，y＝2，
1 ∴x－3＋(xy－1)2 1 ＝－1－3＋(－1×2－1)2
4 ＝ ＋9 3 1 ＝10 . 3
a b c 如果 a，b，c 是非零有理数，求 ＋ ＋ 的值． |a| |b| |c|
解：对 a，b，c 的取值情况分类讨论如下： a b c ①当 a，b，c 都是正数时， ＋ ＋ ＝3； |a| |b| |c| a b c ②当 a，b，c 都是负数时， ＝ ＝ ＝－1， |a| |b| |c| ∴和为－3；
【点悟】
此类问题运用了数形结合思想，结合数轴确定绝对值符号内个式
子的正负，再去绝对值符号，去括号，合并同类项．
已知 xy<0，x<y，且|x|＝1，|y|＝2. (1)求 x 和 y 的值；

(1)判断正负，用“＜”或“＞”填空：b－c____0 ＜ ，a＋b____0 ＜ ，c－a____0. ＞
(2)化简：|b－c|＋|a＋b|－|c－a|.
解：原式＝－b＋c－a－b－c＋a＝－2b
5．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式：|a－c|－|b|－|b －a|＋|b＋a|.
解：因为a－c＜0，b＞0，b－a＞0，a＋b＜0，所以原式＝c－a－b－b＋a－ b－a＝－a－3b＋c
6．(阿凡题：1069940)已知a，b，c，d为有理数，若a，b，c，d在数轴上的
位置如图所示，且|c|＝|d|－7，先化简下式并求其值：|c－a－b|－|a＋c－d|
－|c－b|.
解：由数轴知c－a－b＞0，a＋c－d＜0，c－b＞0.原式＝(c－a－b)－[－(a＋ c－d)]－(c－b)＝c－a－b＋a＋c－d－c＋b＝c－d.因为|c|＝|d|－7，所以c＝d －7，所以原式＝c－d＝－7
3．已知a，b，c是不为0的有理数，|－a|＋a＝0，|ab|＝ab，|c|－c＝0，化简：
|a＋b|－|c－b|＋|a－c|.
解：因为a＜0，b＜0，c＞0，所以a＋b＜0，c－b＞0，a－c＜0.原式＝－a －b－c＋b－a＋c＝－2a
二、借用数轴确定字母的取值范围 源自．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
七年级数学上册（人教版）
第二章 整式的加减
专题(六)
整式与绝对值的化简
1．已知有理数a＜0，b＞0，化简：|2a－b|＋|b－a|. 解：因为a＜0，b＞0，所以2a－b＜0，b－a＞0，原式＝－(2a－b)＋(b－a) ＝－2a＋b＋b－a＝－3a＋2b 2．若x，y为非零有理数，且x＝|y|，y＜0，化简：|y|＋|－2y|－|3y－2x|. 解：因为x＝|y|且y＜0，所以x＞0，－2y＞0，3y－2x＜0，原式＝－y＋(－ 2y)－(－3y＋2x)＝－2x或2y

变形后整体代入求值 例：已知当x=2时，多项式ax3-bx+1的值是-17，那么当x=-1时，多项式12ax-3bx3-5的值 是多少？
解： 当x=2时， ax3-bx+1
=8a-2b+1 =-17
8a-2b =2(4a-b)=-18 得4a-b=-9
当x=-1时， 12ax-3bx3-5 = -12a+3b-5 =-3(4a-b)-5 =-3×(-9)-5 =27-5 =22
例：若a2＋2b2＝5，求多项式(3a2－2ab＋b2)－(a2－2ab－3b2)的 值．
解：
原式 =3a2－2ab＋b2－a2＋2ab＋
注意符号变化
3b2 =（3-1）a2+（-2+2）ab+（1+3）b² =2a2＋4b2.
当a2＋2b2＝5 原时式，＝2(a2＋2b2)＝10
总结： 1.去括号注意括号里的各项符号变化， 合并同类项注意系数的符号 2.本题需要有整体思想，将（a2＋
当a=-1，b=
1 2
时，
4（A-B）+3（B-A）
总结：
= -4a2+2ab-5b2
= 4 12 2 1 1 5 ( 1)2
= 25
2
2
4
1.根据代数式的值与字母x的取值无关求出a，b的值
2.对原式进行化简，然后代入计算
总结
整式的化简求值
直接代入求 值
整体代入求 值
直接代入 化简后直接代入
2b2）看做一个整体
化简后整体代入求值
例：已知 m n 2 mn 32 0 ，求2(m＋n)－2[mn＋(m＋n)]－3[2(m＋n)－3mn]的
值 分析：

当m＝1，n＝－1时，原式＝－8×1×(－1)＝8； 当m＝1，n＝3时，原式＝－8×1×3＝－24．
类型四：利用整体思想化简求值
6．已知－xm－2nym＋n与－3x5y6的和是单项式， 求(m－2n)2－5(m＋n)－2(m－2n)2＋(m＋n)的值．
解：(m－2n)2－5(m＋n)－2(m－2n)2＋(m＋n) ＝(1－2)(m－2n)2＋(1－5)(m＋n) ＝－(m－2n)2－4(m＋n)．
归纳
当已知整式中的字母的值时，可以直接把字母的值代入 化简后的整式中，注意化简整式时去括号的顺序．
解后反思
去括号时，要注意两点：一是括号内各项的符号是否变化； 二是当括号前有数字因数时，括号内各项不可漏乘．
类型二：先求值，再化简，最后代入求值
2．先化简，再求值：2
3
y－12
－x＋13
y2
＋6
－
解：原式＝ 5m2－(5m2－2m2＋mn－7mn－5) ＝ 5m2－(3m2－6mn－5) ＝ 5m2－3m2＋6mn＋5 ＝ 2m2＋6mn＋5 ＝2(m2＋3mn)＋5．
因为m2＋3mn－5＝0，即m2＋3mn＝5， 所以原式＝2(m2＋3mn)＋5＝2×5＋5＝15．
类型五：“新定义”中的化简求值
5．已知，数轴上点M与点N的距离是2，点M表示的数是m，点 N表示的数是n．若m＝1，
（1）求n的值； （2）先化简，再求值：3(m2－2mn)－[3m2－2n＋2(mn＋n)]．
解：（2）3(m2－2mn)－[3m2－2n＋2(mn＋n)] ＝(3m2－6mn)－(3m2－2n＋2mn＋2n) ＝3m2－6mn－3m2－2mn ＝－8mn．
谢谢
祝你学业有成
2024年5月2日星期四2时17分40秒