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数学-梁丰高级中学2013届高三数学周日试卷1

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数学-梁丰高级中学2013届高三数学周日试卷120120909 江苏省梁丰高级中学2013届高三数学周日试卷一1.已知集合{}a A ,1-=，{}b B a ,2=，若{}1=B A ， 则=B A ．2．函数)82ln()(2++-=x x x f 的单调增区间是 ．3．已知i 是虚数单位，复数2(1)1i z i+=-，则z 等于 ．4．右图程序运行结果是 ．5．同时掷两枚质地均匀的骰子，所得的点数之和为5的概率是 ．6．已知12321,21,21,,21n x x x x ++++的方差是3，则123,,,,n x x x x 的标准差为 ．7. 已知α为锐角，cos α=，则tan()4απ+= ． 8．若当1[,2]2x ∈时，函数2()f x x px q =++与函数212)(xx x g +=在同一点处取得相同的最小值，则函数)(x f 在1[,2]2上的最大值是 ．9．函数()()sin f x x x x R ωω=∈，又()2f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值等于π2，则正数ω的值为 ．10．ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ，且2=++，||||=， 则CA CB ⋅= ．11．设函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是 ．12.设曲线()x e ax y 1-=在点()10,y x A 处的切线为1l ,曲线()xex y --=1在点()20,y x B 处的切线为2l .若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,00x ,使得21l l ⊥,则实数a 的取值范围为 ．13. 数列{}n a 满足(]10,1a a =∈，且11,12,1n n nn nn a a a aa a +-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩. 若对于任意的n N *∈，总有3n n a a +=成立，则a 的值为 ．14．若实数,,a b c 成等差数列，点(1,0)P -在动直线0ax by c ++=上的射影为M ，点(3,3)N ，a ←1b ←1 i ←4 WHILE i ≤6 a ←a +b则线段MN 长度的最大值是 ．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1,sin 23C A B π-==. （1）求sin A 的值；（2）设AC =求ABC ∆的面积．16．如图，已知三棱锥P —ABC 中，AP ⊥PC ， AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．（1）求证：DM ∥平面APC ；（2）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（3）若BC =4，AB =20，求三棱锥D -BCM的体积．17．某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD 的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形QPRE （线段EQ 和RP 为两个底边），已知2,6,4,AB km BC km AE BF km ====其中AF 是以A 为顶点、AD 为对称轴的抛物线段．试求该高科技工业园区的最大面积．第16题PA MBC D18．如图，,A B 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，M 是椭圆上异于,A B 的任意一点，已知椭圆的离心率为e（1）若12e =，4m =，求椭圆C 的方程；（2）设直线AM 交l 于点P ，以MP 为直径的圆交于Q ，若直线PQ 恰过原点，求e .19．设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知()*121111n nn N S S S n ++⋅⋅⋅+=∈+. （1）求1S ,2S 及n S ；（2）设1,2n an b ⎛⎫= ⎪⎝⎭若对一切*n N ∈均有21116,63nk k b m m m =⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭∑，求实数m 的取值范围.第18题20．设()ln af x x x x=+， 32()3g x x x =--． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）如果存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数M ；（3）如果对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围的取值范围.20120909 江苏省梁丰高级中学2013届高三数学周日试卷一附加题21．B．选修4—2矩阵与变换已知矩阵M221a⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中Ra∈，若点(1,2)P-在矩阵M的变换下得到点(4,0)P'-．（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．C．选修4—4参数方程与极坐标已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2222（t 是参数）．若l 与C 相交于AB两点，且AB =（1）求圆的普通方程，并求出圆心与半径；（2）求实数m 的值．22．必做题（本小题满分10分）如图，已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC AB AC ===⊥，，M 是1CC 的中点，N 是BC 的中点，点P 在直线11B A 上，且满足111B A P A λ=．（1）当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？（2）若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为 45，试确定点P 的位置．1A 1B P N M A B C1C23. 必做题（本小题满分10分）已知n 是不小于3的正整数，1C nkn nk a k ==∑，21C nkn n k b k ==∑．（1）求n a ，n b ；(2) 设nn n a c b =，求证：()112nk k k c c +=<∑ 答案：1.已知集合{}a A ,1-=，{}b B a ,2=，若{}1=B A ，则=B A ▲ ． {}1,1,2-【解答】由{}1=B A 知，1a b == ，{}{}{}1,1,2,11,1,2A B A B =-==-。

2．函数)82ln()(2++-=x x x f 的单调增区间是 ▲ ．(2,1)- 3．已知i 是虚数单位，复数2(1)1i z i+=-，则z 等于 ▲ ． a ←1 b ←1z =2(1)22(1)2(1)(1)111(1)(1)2i i i i i i i i i i i i i +++====+=----+,则1z i =--． 4．右图程序运行结果是 ▲ ．21；5．同时掷两枚质地均匀的骰子，所得的点数之和为5的概率是 ▲ ．19；6．已知12321,21,21,,21n x x x x ++++的方差是3，则123,,,,n x x x x 的标准差为▲ ． 设123,,,,n x x x x 的方差为2s ，则12321,21,21,,21n x x x x ++++的方差为42s =3，则标准差s =2.7.已知α为锐角，cos α=，则tan()4απ+= ▲ ．3-；由cos α=，α为锐角，可得sin α=，则tan 2α=， 所以1tan tan()341tan πααα++==--8．若当1[,2]2x ∈时，函数2()f x x px q =++与函数212)(xx x g +=在同一点处取得相同的最小值，则函数)(x f 在1[,2]2上的最大值是 ▲ ．考查函数的性质，导数. 最大值是49．函数()()sin f x x x x R ωω=+∈，又()2f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值等于π2，则正数ω的值为 ▲ ． 【答案】1【解析】()22sin 3f x x T ππϖϖ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ 122124T T πππϖϖ=∴==∴=10．ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ，且2=++，||||=， 则CA CB ⋅= ▲ ． 答案：311．设函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是▲ ．()()101,,-+∞；若0a >，则212log log a a >，即22log 0a >，所以1a >，若0a <则()()122log log a a ->-，即()22log 0a -<，所以01a <-<，10a -<<。

所以实数a 的取值范围是1a >或10a -<<，即()()101a ,,∈-+∞．12.设曲线()xe ax y 1-=在点()10,y x A 处的切线为1l ,曲线()xex y --=1在点()20,y x B 处的切线为2l .若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,00x ,使得21l l ⊥,则实数a 的取值范围为▲ ．函数()xe ax y 1-=的导数为()x e a ax y1/-+=,1l ∴的斜率为()0101xe a ax k -+=,函数()xex y --=1的导数为()x e x y--=2/2l ∴的斜率为()0202xe x k --=, 由题设有121-=⋅k k 从而有()()12100-=-⋅-+-xx e x e a ax()320020-=--∴x x x a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,00x问题转化为求230200---=x x x a 的值域, 312a ∴≤≤.13. 数列{}n a 满足(]10,1a a =∈，且11,12,1n n n n nn a a a a a a +-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩. 若对于任意的n N *∈，总有3n n a a +=成立，则a 的值为 ▲ ． ∵(]10,1a a =∈，∴22(0,2]a a =∈，（1）当102a <≤时，3224a a a ==，若104a <≤，则43128a a a a ==≠，不合适； 若1142a <≤，则3431114a a a a -==-，∴114a a -=，∴12a =。

（2）当112a <≤时，23211110,22a a a a -⎛⎤==-∈ ⎥⎝⎦，∴431122(1)22a a a a==-=-， ∴12a a-=，∴a=1. 综上得，12或1。

14．若实数,,a b c 成等差数列，点(1,0)P -在动直线0ax by c ++=上的射影为M ，点(3,3)N ，则线段MN 长度的最大值是 ．答案：5+解析：由题可知动直线0ax by c ++=过定点(1,2)A -．设点(,)M x y ，由MP MA ⊥可求得点M 的轨迹方程为圆:Q 22(1)2x y ++=，故线段MN长度的最大值为5QN r +=+二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1,sin 23C A B π-==. （1）求sin A 的值；（2）设AC =求ABC ∆的面积．（1）3；（2）16．如图，已知三棱锥P —ABC 中，AP ⊥PC ， AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．（1）求证：DM ∥平面APC ；（2）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（3）若BC =4，AB =20，求三棱锥D -BCM 的体积．16．证明：（1）由已知得，MD 是∆ABP 的中位线 ∴AP MD ∥APC AP APC MD 面面⊂⊄,∴APC MD 面∥ ………4分（2）PMB ∆ 为正三角形，D 为PB 的中点∴PB MD ⊥，∴PB AP ⊥又,AP PC PB PC P ⊥= ∴PBC AP 面⊥PBC BC 面⊂ ∴BC AP ⊥又,BC AC AC AP A ⊥=APC BC 面⊥∴ABC BC 面⊂ ∴平面ABC ⊥平面APC ……………9分（3）由题意可知，PBC MD 面⊥，∴MD 是三棱锥D -BCM 的高，∴71031==-Sh V DBC M …………14分第16题PAMBCD17．（本小题满分14分）某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD 的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形QPRE （线段EQ 和RP 为两个底边），已知2,6,4,AB km BC km AE BF km ====其中AF 是以A 为顶点、AD 为对称轴的抛物线段．试求该高科技工业园区的最大面积．解：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系如图，则(0,0),(2,4)A F ，…………（2分）由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为2(0)y ax a =>，由242a =⨯得，1a =，∴AF 所在抛物线的方程为2y x =，…………（5分）又(0,4),(2,6)E C ，∴EC 所在直线的方程为4y x =+，……（7分） 设()(02)P x x x <<2，，则22,4,4PQ x QE x PR x x ==-=+-， …………（9分）∴工业园区的面积223211(44)422S x x x x x x x =-++-⋅=-++(02)x <<，…………（12分）∴234,S x x '=-++令0S '=得43x =或1x =-（舍去负值），…………（13分）当x 变化时，S '和S 的变化情况如下表：2)由表格可知，当3x =时，S 取得最大值10427．…………（15分）答：该高科技工业园区的最大面积10427． …………（16分）18．（本小题满分16分）如图，,A B 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，M 是椭圆上异于,A B 的任意一点，已知椭圆的离心率为e ，右准线l（1）若12e =，4m =，求椭圆C 的方程； （2）设直线AM 交l 于点P ，以MP 为直径的圆交于Q ，若直线PQ 恰过原点，求e .18．解：（1）由题意：2222124c a a ca b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………………………6分(2)设2(,),(,)a M x y P cβ，因为,,A M P 三点共线，第18题所以22(),a y a y c ax a x aa cββ+=⇒=+++……………………………9分 22222()()1()()OP BMa cy a y y a c c k k a x a x a a x a ++∴-==⋅=+--2222233()()()0b a c a c a c c ac a a a+-+==⇒+-=-- 210e e ∴+-=,解得12e =.……………………………16分 19．(本小题满分16分)设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知()*121111n nn N S S S n ++⋅⋅⋅+=∈+. ⑴求1S ,2S 及n S ；⑵设1,2n an b ⎛⎫= ⎪⎝⎭若对一切*n N ∈均有21116,63nk k b m m m =⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭∑，求实数m 的取值范围.19. 解：依题意，1n =时，12S =;2n =时，26S =.………………2分 因为()*121111n nn N S S S n ++⋅⋅⋅+=∈+， 2n ≥时1211111,n n S S S n--++⋅⋅⋅+= 所以()11,1.1n n n n S n n S n n-=-=++………………5分 上式对1n =也成立，所以()()*1.n S n n n N =+∈………………6分 （2）当1n =时，12a =,当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=, 所以2n a n =()*.n N ∈………………8分14nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，114n n b b -=，数列{}n b 是等比数列，则11111144113414nn k n k b =⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-∑.………………12分 因为11134n⎛⎫- ⎪⎝⎭随n 的增大而增大，所以11143n k k b =≤<∑， 由2114161633m m m ⎧<⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩得0415m m m m <>⎧⎨≤≥⎩或或，所以0m <或 5.m ≥………………16分20．(本小题满分16分)设()ln af x x x x=+， 32()3g x x x =--． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）如果存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数M ；（3）如果对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围的取值范围.20．解：（1）当2a =时，2()ln f x x x x =+，22'()ln 1f x x x=-++， (1)2f =，'(1)1f =-，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为3y x =-+；…………………………5分（2）存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立等价于：12max [()()]g x g x M -≥，考察32()3g x x x =--，22'()323()3g x x x x x =-=-，由上表可知：min max 285()(),()(2)1327g x g g x g ==-==，12max max min 112[()()]()()27g x g x g x g x -=-=， 所以满足条件的最大整数4M =；………………………………10分（3）当1[,2]2x ∈时，()ln 1af x x x x=+≥恒成立等价于2ln a x x x ≥-恒成立，记2()ln h x x x x =-，'()12ln h x x x x =--， '(1)0h =。

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江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学高三数学模拟试卷(01)(含解析)新人教A版

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一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）.1．集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=m2+1，m∈R}，则A∩B=__________．2．设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），z的共轭复数为，则|（1﹣z）|=__________．3．图所示的流程图中，输出的结果是__________．4．为了抗震救灾，现要在学生人数比例为2：3：5的A、B、C三所高校中，用分层抽样方法抽取n名志愿者，若在A高校恰好抽出了6名志愿者，那么n=__________．5．若的值为__________．6．已知直线l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，则l1∥l2的充要条件是a=__________．7．已知平面区域U={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤4，y≥0，x﹣2y≥0}，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为__________．8．若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数k的值是__________．9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=2DB，则的值为__________．10．设函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线为l，则圆2x2+2y2﹣8x﹣8y+15=0上的点到直线l的最短距离为__________．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为椭圆E：+=1 （a＞b＞0）的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=30°，则椭圆E的离心率等于__________．12．设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a=__________．13．设数列{a n}的前n项的和为S n，已知，设若对一切n∈N*均有，则实数m的取值范围为__________．14．已知点G是斜△ABC的重心，且AG⊥BG，+=，则实数λ的值为__________．二、解答题.15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若，且，求a+c的值；（2）若存在实数m，使得2sinA﹣sinC=m成立，求实数m的取值范围．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，且A C⊥CD，PA=AD，M，Q分别是PD，BC的中点．（1）求证：MQ∥平面PAB；（2）若AN⊥PC，垂足为N，求证：MN⊥PD．17．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点．已知AB=3米，AD=2米．（I）设AN=x（单位：米），要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围；（Ⅱ）若x∈[3，4）（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．18．（16分）已知椭圆的离心率为，且过点，记椭圆的左顶点为A．（1）求椭圆的方程；（2）设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k2=2，求证：直线DE 恒过一个定点．19．（16分）已知函数（1）求证：函数f（x）在点（e，f（e））处的切线横过定点，并求出定点的坐标；（2）若f（x）＜f2（x）在区间（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）当时，求证：在区间（1，+∞）上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个．20．（16分）已知数列{a n}是首项，公比的等比数列，设b n+15log3a n=t，常数t∈N*，数列{c n}满足c n=a n b n．（1）求证：{b n}是等差数列；（2）若{c n}是递减数列，求t的最小值；（3）是否存在正整数k，使c k，c k+1，c k+2重新排列后成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，说明理由．三、附加卷（A）（选修4-2：矩阵与变换）解答题（共1小题，满分10分）21．已知矩阵，若矩阵AB对应的变换把直线l：x+y﹣2=0变为直线l'，求直线l'的方程．四、（A）（选修4-4：坐标系与参数方程）22．在极坐标系中，圆C的方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l 被⊙C截得的弦AB的长度．23．如图所示，在棱长为2的正方体AC1中，点P、Q分别在棱BC、CD上，满足B1Q⊥D1P，且．（1）试确定P、Q两点的位置．（2）求二面角C1﹣PQ﹣A大小的余弦值．24．设二项展开式C n=（+1）2n﹣1（n∈N*）的整数部分为A n，小数部分为B n．（1）计算C1B1，C2B2的值；（2）求C n B n．江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（01）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）.1．集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=m2+1，m∈R}，则A∩B={1}．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得集合B={x|x≥1}，结合交集的定义，计算可得A∩B，即可得答案．解答：解：根据题意，集合B={x|x=m2+1，m∈R}={x|x≥1}，又由集合A={﹣1，0，1}，则A∩B={1}，故答案为{1}．点评：本题考查集合的交集运算，关键是正确求出集合B．2．设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），z的共轭复数为，则|（1﹣z）|=．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．解答：解：∵复数z=﹣1﹣i，∴=﹣1+i．∴（1﹣z）=（1+1+i）•（﹣1+i）=﹣3+i．∴|（1﹣z）|=|﹣3+i|=．故答案为：．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数、复数的模的计算公式，属于基础题．3．图所示的流程图中，输出的结果是120．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，a的值，当a=1时，不满足条件a≥2，输出S的值为120．解答：解：执行程序框图，有a=5，S=1S=5，a=4满足条件a≥2，有S=20，a=3满足条件a≥2，有S=60，a=2满足条件a≥2，有S=120，a=1不满足条件a≥2，输出S的值为120．故答案为：120．点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查．4．为了抗震救灾，现要在学生人数比例为2：3：5的A、B、C三所高校中，用分层抽样方法抽取n名志愿者，若在A高校恰好抽出了6名志愿者，那么n=30．考点：分层抽样方法．分析：学生人数比例为2：3：5，用分层抽样方法抽取n名志愿者，每个个体被抽到的概率相等，A高校恰好抽出了6名志愿者，则每份有3人，10份共有30人解答：解：∵学生人数比例为2：3：5，A高校恰好抽出了6名志愿者，∴n==30，故答案为：30．点评：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本．这样使得样本更具有代表性．5．若的值为．考点：二倍角的余弦；角的变换、收缩变换．专题：计算题．分析：利用二倍角的余弦公式把要求的式子化为2﹣1，再利用诱导公式化为2﹣1，将条件代入运算求得结果．解答：解：∵=cos2（+α）=2﹣1=2﹣1=2×﹣1=，故答案为：．点评：本题考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，把要求的式子化为2﹣1=2﹣1，是解题的关键．6．已知直线l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，则l1∥l2的充要条件是a=﹣1．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：由已知中，两条直线的方程，l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，我们易求出他们的斜率，再根据两直线平行的充要条件，即斜率相等，截距不相等，我们即可得到答案．解答：解：∵直线l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，∴k1=，k2=若l1∥l2，则k1=k2即=解得：a=3或a=﹣1又∵a=3时，两条直线重合故答案为﹣1点评：本题考查的知识点是直线的一般式方程与直线的平行关系，其中两个直线平行的充要条件，易忽略截距不相等的限制，而错解为﹣1或3．7．已知平面区域U={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤4，y≥0，x﹣2y≥0}，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为．考点：几何概型．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出A={（x，y）|x≤4，y≥0，x﹣2y≥0}对应面积的大小，然后将其代入几何概型的计算公式进行求解．在解题过程中，注意三角形面积的应用．解答：解：依题意可在平面直角坐标系中作出集合U与A所表示的平面区域（如图），由图可知S U=18，S A=4，则点P落入区域A的概率为．故答案为：．点评：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出A={（x，y）|x≤4，y≥0，x﹣2y≥0}对应面积的大小，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．8．若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数k的值是8．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：先分别求双曲线的渐近线方程，焦点坐标，再利用焦点到渐近线的距离为，可求实数k的值解答：解：双曲线的渐近线方程为；焦点坐标是．由焦点到渐近线的距离为，不妨．解得k=8．故答案为8．点评：本题主要考查双曲线的几何形状，考查解方程，考查学生分析解决问题的能力9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=2DB，则的值为24．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：用表示，利用=0，再根据=•（+），运算求得结果．解答：解：∵由题意可得=+=+=+（）=+，=0，∴=•（+）=+=0+×36=24，故答案为：24．点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，两个向量数量积的运算，属于中档题．10．设函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线为l，则圆2x2+2y2﹣8x﹣8y+15=0上的点到直线l的最短距离为．考点：同角三角函数基本关系的运用；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：利用求导法则得到f（x）的导函数，由函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线为l，将x=1代入导函数解析式中求出导函数值，即为切线l的斜率，将x=1代入函数解析式中f（1）的值，得到切点坐标，确定出切线l的方程，将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到切线l的距离d，用d﹣r即可求出圆2x2+2y2﹣8x﹣8y+15=0上的点到直线l的最短距离．解答：解：求导得：f′（x）=3x2+4，∴切线l的斜率k=f′（1）=3+4=7，且x=1时，f（1）=1+4+5=10，∴切线l的方程为y﹣10=7（x﹣1），即7x﹣y+3=0，将圆2x2+2y2﹣8x﹣8y+15=0化为标准方程得：（x﹣2）2+（y﹣2）2=，∴圆心（2，2）到切线l的距离d==，则圆2x2+2y2﹣8x﹣8y+15=0上的点到直线l的最短距离为d﹣r=﹣=．故答案为：点评：此题考查了直线与圆的位置关系，曲线上某点切线方程的斜率，圆的标准方程，直线的点斜式方程，以及点到直线的距离公式，其中直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为椭圆E：+=1 （a＞b＞0）的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=30°，则椭圆E的离心率等于．考点：椭圆的简单性质．分析：首先利用椭圆的对称性和OABC为平行四边形，可以得出B、C两点是关于Y轴对称，进而得到BC=OA=a；设B（﹣，y）C（，y），从而求出|y|，然后由∠OAB=∠COD=30°，利用tan30°=b/=，求得a=3b，最后根据a2=c2+b2得出离心率．解答：解：∵AO是与X轴重合的，且四边形OABC为平行四边形∴BC∥OA，B、C两点的纵坐标相等，B、C的横坐标互为相反数∴B、C两点是关于Y轴对称的．由题知：OA=a四边形OABC为平行四边形，所以BC=OA=a可设B（﹣，y）C（，y）代入椭圆方程解得：|y|=b，设D为椭圆的右顶点，因为∠OAB=30°，四边形OABC为平行四边形所以∠COD=30°对C点：tan30°==解得：a=3b根据：a2=c2+b2得：a2=c2+e2=e=故答案为：．点评：本题考查了椭圆的对称性以及简单性质，由椭圆的对称性求出B、C两点的纵坐标进而得到a=3b是解题的关键，属于中档题．12．设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a=．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用．分析：分类讨论，（1）a=1；（2）a≠1，在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间，在各自的区间内恒正或恒负，即可得到结论．解答：解：（1）a=1时，代入题中不等式明显不成立．（2）a≠1，构造函数y1=（a﹣1）x﹣1，y2=x 2﹣ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．考查函数y1=（a﹣1）x﹣1：令y=0，得M（，0），∴a＞1；考查函数y2=x2﹣ax﹣1，∵x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，∴y2=x2﹣ax﹣1过点M（，0），代入得：，解之得：a=，或a=0（舍去）．故答案为：．点评：本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是构造函数，利用函数的性质求解．13．设数列{a n}的前n项的和为S n，已知，设若对一切n∈N*均有，则实数m的取值范围为m＜0或m≥5．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：依题意，可求得a n与b n，从而可求得b k=∈[，），利用[，）⊆（，m2﹣6m+）即可求得实数m的取值范围．解答：解：∵++…+=，①∴当n≥2时，++…+=，②∴①﹣②得：=﹣=，∴S n=n（n+1）（n≥2）．当n=1时，==，∴a1=2，符合S n=n（n+1）（n≥2）．∴S n=n（n+1）．∴可求得a n=2n．∴b n===．∵=，b1=，∴{b n}是以为首项，为公比的等比数列．∴b k==∈[，），∵b k∈（，m2﹣6m+），∴[，）⊆（，m2﹣6m+），即，解得：m＜0或m≥5．故答案为：m＜0或m≥5．点评：本题考查求数列的通项与数列求和，突出考查集合间的包含关系与解不等式组的能力，综合性强，难度大，属于难题．14．已知点G是斜△ABC的重心，且AG⊥BG，+=，则实数λ的值为．考点：正弦定理；余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：首先根据三角形的重心性质及直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到CD=AB，再应用余弦定理推出AC2+BC2=5AB2，将+=应用三角恒等变换公式化简得λ=，然后运用正弦定理和余弦定理，结合前面的结论，即可求出实数λ的值．解答：解：如图，连接CG，延长交AB于D，由于G为重心，故D为中点，∵AG⊥BG，∴DG=AB，由重心的性质得，CD=3DG，即CD=AB，由余弦定理得，AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC，BC2=BD2+CD2﹣2BD•CD•cos∠BDC，∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，∴AC2+BC2=2AD2+2CD2，∴AC2+BC2=AB2+AB2=5AB2，又∵+=，∴+=，则λ===== ==．故答案为：点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的重心性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．二、解答题.15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若，且，求a+c的值；（2）若存在实数m，使得2sinA﹣sinC=m成立，求实数m的取值范围．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）根据A、B、C成等差数列得到，从而将化简得到ac=3．再由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB的式子，整理得到3=a2+c2﹣ac，两式联解即可得到；（2）根据C=﹣A，将等式左边展开，化简得到2sinA﹣sinC=，结合A的取值范围并利用正弦函数的图象与性质，算出2sinA﹣sinC∈（），由此即可得到实数m的取值范围．解答：解：（1）∵A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，结合A+B+C=π，可得，∵，得，∴ac=3．①由余弦定理，得，∴3=a2+c2﹣ac，可得a2+c2=3+ac=6．由此联解①、②，得．（2）2sinA﹣sinC===，∵，∴，由此可得2sinA﹣sinC的取值范围为，即m的取值范围为（）点评：本题给出三角形的边角关系式和向量数量积的值，求三角形角B的大小和a+c的值，着重考查了平面向量数量积运算公式、运用正余弦定理解三角形和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥CD，PA=AD，M，Q分别是PD，BC的中点．（1）求证：MQ∥平面PAB；（2）若AN⊥PC，垂足为N，求证：MN⊥PD．考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）取PA的中点E，连结EM、BE，根据三角形的中位线定理证出ME∥AD且ME=AD，平行四边形中Q是BC的中点，可得BQ∥AD且BQ=AD，因此四边形MQBE是平行四边形，可得MQ∥BE，再结合线面平行的判定定理可得MQ∥平面PAB；（2）由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥CD，结合AC⊥CD可得CD⊥平面PAC，从而有AN⊥CD．又因为AN⊥PC，结合PC、CD是平面PCD内的相交直线，可得AN⊥平面PCD，从而得到AN⊥PD．等腰△PAD中利用“三线合一”，证出AM⊥PD，结合AM、AN是平面AMN内的相交直线，得到PD⊥平面AMN，从而得到MN⊥PD．解答：解：（1）取PA的中点E，连结EM、BE，∵M是PD的中点，∴ME∥AD且ME=AD，又∵Q是BC中点，∴BQ=BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD且BC=AD，可得BQ∥ME且BQ=ME，∴四边形MQBE是平行四边形，可得MQ∥BE，…∵BE⊂平面PAB，MQ⊄平面PAB，∴MQ∥平面PAB；…（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，PA、AC是平面PAC内的相交直线，∴CD⊥平面PAC，结合AN⊂平面PAC，得AN⊥CD．…又∵AN⊥PC，PC、CD是平面PCD内的相交直线，∴AN⊥平面PCD，结合PD⊂平面PCD，可得AN⊥PD，…∵PA=AD，M是PD的中点，∴AM⊥PD，…又∵AM、AN是平面AMN内的相交直线，∴PD⊥平面AMN，∵MN⊂平面AMN，∴MN⊥PD．…点评：本题在四棱锥中证明线面平行、线线垂直．着重考查了三角形中位线定理、空间直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．17．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点．已知AB=3米，AD=2米．（I）设AN=x（单位：米），要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围；（Ⅱ）若x∈[3，4）（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：先由相似性表示AM，建立四边形AMPN的面积模型，（I）解关于x的不等式；（II）先对面积函数模型求导，用导数法求最值．解答：解：由于，则AM=故S AMPN=AN•AM=（1）由S AMPN＞32得＞32，因为x＞2，所以3x2﹣32x+64＞0，即（3x﹣8）（x﹣8）＞0从而即AN长的取值范围是（2）令y=，则y′=因为当x∈[3，4）时，y′＜0，所以函数y=在[3，4）上为单调递减函数，从而当x=3时y=取得最大值，即花坛AMPN的面积最大27平方米，此时AN=3米，AM=9米点评：本题主要考查用相似性构建边的关系，建立平面图形面积函数模型及导数法解模求最值的能力．18．（16分）已知椭圆的离心率为，且过点，记椭圆的左顶点为A．（1）求椭圆的方程；（2）设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k2=2，求证：直线DE 恒过一个定点．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点P（），建立方程，求出几何量，从而可得椭圆C的方程；（2）设B（m，n），C（﹣m，n），则S△ABC=×2|m|×|n|=|m|•|n|，利用基本不等式可求△ABC面积的最大值；（3）设AB、AC的方程，代入椭圆方程可求B、C的坐标，从而可得直线BC的方程，整理并令y=0，即可证得直线BC恒过定点．解答：（1）解：∵椭圆的离心率为，且过点，∴，解得，所以椭圆C的方程为x2+2y2=1…4分（2）解：设B（m，n），C（﹣m，n），则S△ABC=×2|m|×|n|=|m|•|n|，…6分又|m|•|n|，所以|m|•|n|，当且仅当时取等号…8分从而S△ABC≤，即△ABC面积的最大值为…9分（3）证明：因为A（﹣1，0），所以AD：y=k1（x+1），AE：y=k2（x+1），由，消去y，得，解得x=﹣1或x=，∴同理E（）∵k1k2=2，∴…12分∴直线DE的方程为，即y﹣，即y=…14分所以2k12y+4y﹣（3x+5）k1=0则由，得直线DE恒过定点…16分．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，考查直线恒过定点，属于中档题．19．（16分）已知函数（1）求证：函数f（x）在点（e，f（e））处的切线横过定点，并求出定点的坐标；（2）若f（x）＜f2（x）在区间（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）当时，求证：在区间（1，+∞）上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题．分析：（1）先求出导数，根据导数的几何意义得出f（x）在点（e，f（e））处的切线的斜率为，从而写出切线方程得出切线恒过定点；（2）先令＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，利用导数求出p（x）在区间（1，+∞）上是减函数，从而得出：要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，由此解得a的范围即可．（3）当时，．记．利用导数研究它的单调性，得出y=f2（x）﹣f1（x）在（1，+∞）上为增函数，最后得到满足f1（x）＜g（x）＜f2（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个．解答：解：（1）因为，所以f（x）在点（e，f（e））处的切线的斜率为，所以f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为，整理得，所以切线恒过定点．（2）令＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，因为（*）令p'（x）=0，得极值点x1=1，，①当时，有x2＞x1=1，即时，在（x2，+∞）上有p'（x）＞0，此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；②当a≥1时，有x2＜x1=1，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；③当时，有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p'（x）＜0，从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，所以．综上可知a的范围是．（3）当时，记．因为，所以y=f2（x）﹣f1（x）在（1，+∞）上为增函数，所以，设，则f1（x）＜R（x）＜f2（x），所以在区间（1，+∞）上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个．点评：本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、导函数的正负与原函数的单调性之间的关系等，注意应用导数的性质：当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．20．（16分）已知数列{a n}是首项，公比的等比数列，设b n+15log3a n=t，常数t∈N*，数列{c n}满足c n=a n b n．（1）求证：{b n}是等差数列；（2）若{c n}是递减数列，求t的最小值；（3）是否存在正整数k，使c k，c k+1，c k+2重新排列后成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，说明理由．考点：数列递推式；数列的函数特性；等差关系的确定；等比数列的性质．专题：综合题；压轴题．分析：（1）由题意知，，再由，得b1=﹣15log3a1+t=t+5，由此能够证明{b n}是等差数列．（2）由b n=5n+t，知，恒成立，再由是递减函数，知当n=1时取最大值，，由此能求出t的最小值．（3）记5k+t=x，，，，再分情况讨论进行求解．解答：解：（1）由题意知，，因为，b1=﹣15log3a1+t=t+5∴数列b n是首项为b1=t+5，公差d=5的等差数列．（2）由（1）知，b n=5n+t，，恒成立，即恒成立，因为是递减函数，所以，当n=1时取最大值，，因而t＞6.3，因为t∈N，所以t=7．（3）记5k+t=x，，，．①若c k是等比中项，则由c k+1•c k+2=c k2得化简得2x2﹣15x﹣50=0，解得x=10或（舍），所以5n+t=10，因而及．又由常数t∈N*，则舍去，②若c k+1是等比中项，则由c k•c k+2=c k+12得化简得x（x+10）=（x+5）2，显然不成立．（16分）③若c k+2是等比中项，则由c k•c k+1=c k+22得化简得2x2﹣5x﹣100=0，因为△=52+4×2×100=25×33不是完全不方数，因而x的值是无理数，显然不成立．则符合条件的k、t的值为．（18分）点评：本题考查等差数列的证明方法、以递减数列为载体求参数的最小值和利用分类讨论思想在等比数列中的运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．三、附加卷（A）（选修4-2：矩阵与变换）解答题（共1小题，满分10分）21．已知矩阵，若矩阵AB对应的变换把直线l：x+y﹣2=0变为直线l'，求直线l'的方程．考点：逆矩阵与投影变换；矩阵与矩阵的乘法的意义．专题：计算题．分析：先计算矩阵AB对应的变换，再求出在变换下点的坐标之间的对应关系，从而可求直线l'的方程．解答：解：∵，∴=…，在直线l上任取一点P（x′，y′），经矩阵AB变换为点Q（x，y），则，∴，即…代入x′+y′﹣2=0中得，∴直线l′的方程为4x+y﹣8=0…点评：本题重点考查矩阵变换，考查矩阵变换的运用，解题的关键是求出矩阵AB对应的变换四、（A）（选修4-4：坐标系与参数方程）22．在极坐标系中，圆C的方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l 被⊙C截得的弦AB的长度．考点：直线的参数方程；直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先两边同乘以ρ，利用公式即可得到圆的圆心和半径，再将参数方程化为普通方程，结合直角坐标系下的点到直线的距离公式求解即得．解答：解：⊙C的方程化为ρ=4cosθ+4sinθ，两边同乘以ρ，得ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，得x2+y2﹣4x﹣4y=0…其圆心C坐标为（2，2），半径，又直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0，∴圆心C到直线l的距离，∴弦长…点评：考查圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式．要求学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．属于中等题．23．如图所示，在棱长为2的正方体AC1中，点P、Q分别在棱BC、CD上，满足B1Q⊥D1P，且．（1）试确定P、Q两点的位置．（2）求二面角C1﹣PQ﹣A大小的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角．专题：综合题．分析：（1）以为正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，设，利用，得出关于a的方程并求解即可．（2）分别求出平面C1PQ、面APQ的一个法向量，利用两向量夹角求二面角C1﹣PQ﹣A大小．解答：解：（1）以为正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，设，则，B1（2，0，2），D1（0，2，2），，，∵B1Q⊥D1P，∴，∴，解得a=1…∴PC=1，CQ=1，即P、Q分别为BCCD中点…（2）设平面C1PQ的法向量为，∵，又，∴，令c=﹣1，则a=b=2，…∵为面APQ的一个法向量，∴，而二面角为钝角故余弦值为…点评：本题考查空间直线、平面位置关系的判断，二面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．利用向量这一工具，解决空间几何体问题，能够降低思维难度．24．设二项展开式C n=（+1）2n﹣1（n∈N*）的整数部分为A n，小数部分为B n．（1）计算C1B1，C2B2的值；（2）求C n B n．考点：二项式定理．专题：计算题；压轴题．分析：（1）将n分别用1，2 代替求出C1，C2，利用多项式的乘法展开，求出C1，C2的小数部分B1，B2，求出C1B1，C2B2的值．（2）利用二项式定理表示出C n，再利用二项式定理表示出，两个式子相减得到展开式的整数部分和小数部分，求出C n B n的值．解答：解：（1）因为，所以，A 1=2，，所以C1B1=2；又，其整数部分A2=20，小数部分，所以C2B2=8．（2）因为①而②①﹣②得：=2（）而，所以，所以．点评：解决二项式的有关问题一般利用二项式定理；解决二项展开式的通项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式．。

2017届江苏省梁丰高级中学高三第一学期周日检测数学试卷10.13及答案

2017届江苏省梁丰高级中学高三第一学期周日检测数学试卷10.13及答案

2014届江苏省梁丰高级中学高三第一学期周日检测数学试卷10.132013.10.13姓名 学号一．填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 1．已知集合{}234,A x x x x R =<+∈，则A Z I 中元素的个数为 ．2．命题“等腰三角形的两个底角相等”的否定是 ． 3. 已知2)4tan(=+απ，则=αtan ．4. “1x y +≤”是“221x y +≤”的 条件．（请在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个合适的填空）5．在平面直角坐标系xoy 中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若•=0，=λ，则实数λ的值为__________．6．已知f (x )是偶函数，且在[0，+∞)上是减函数，若(lg )(1)f x f >，则x 的取值范围是______．7．过点()1,0-与函数()x f x e =（e 是自然对数的底数）图像相切的直线方程是 ．8.设0ω>，函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的 最小值是 ．9.若关于x 的方程23(37)40tx t x +-+=的两个根,αβ满足012αβ<<<<则实数t 的取值范围是 ．10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为()21,n S a n a =++某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大角为_____________.11．函数2()22f x mx x =-+有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是 ．12. 对于函数()y f x =定义域为R 而言，下列说法中正确的是 ．（填序号）①函数(1)y f x =+的图像和函数(1)y f x =-的图像关于1x =对称; ②若恒有(1)(1)f x f x +=-，则函数()y f x =的图像关于1x =对称; ③函数(21)y f x =+的图像可以由(2)y f x =向左移一个单位得到; ④函数()y f x =和函数()y f x =--图像关于原点对称．13． 已知直线(0)2x a a π=<<与函数()sin f x x =和函数()cos g x x =的图象分别交于M ，N 两点，若MN ＝15，则线段MN 的中点纵坐标为 ．14．已知函数f （x ）=||x ﹣1|﹣1|，若关于x 的方程f （x ）=m （m ∈R ）恰有四个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是 ．二．解答题：（本大题共6小题，计90分）15．已知集合{}0822≤--=x x x A ，{}R m m m x m x x B ∈≤-+--=,03)32(22 （1）若]4,2[=⋂B A ，求实数m 的值；（2）若“非p ”是“非q ”成立的充分但不必要条件，求实数m 的取值范围．16．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且(1) 求角B 的大小； (2)设向量(cos ,cos2),(12,5)m A A n ==-u r r，求当m n ⋅u r r 取最大值时，tan C的值．17．如图，已知直四棱柱1111D C B A ABCD -，底面ABCD 为菱形，︒=∠120DAB ，E 为线段1CC 的中点，F 为线段1BD 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABCD ； （2）当1D DAD的比值为多少时，⊥DF 平面EB D 1，并说明理由．18．如图，某纸箱厂用矩形硬纸板（PQST ）割去四个矩形角，设计为按虚线折叠成的长方体纸箱．其中矩形ABCD 为长方体的下底面，两全等矩形EFNM 、HGNM 拼成长方体纸箱盖，设纸箱长AB 为x ． （Ⅰ）若长方体纸箱的长、宽、高分别为80cm 、50cm 、40cm 、则硬D1B F1A1D E1C ABC纸板PQST 的长、宽应为多大？（Ⅱ）若硬纸板PQST 的长PT =240cm ，宽TS =150cm ，按此设计，当纸箱的长AB 为何值时，纸箱体积最大？并计算最大体积．C A B DE H M 1N 1 Q TS H 1 E 1 G 1 G F F 1P MNE G H A BM N F19 ．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n s ，数列2{}n a 的前n 项和为n T ，满足11a =，241()33n n T p s =--． （1）求p 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）问是否存在正整数,,()n m k n m k <<，使得,,n m k a a a 成等差数列？若存在，指出,,n m k 的关系；若不存在，请说明理由．20．已知函数()x f x e ax =-,其中0a >．（1）若对一切x R ∈，()1f x ≥恒成立，求a 的取值集合；（2）在函数()f x 的图象上有定点112212(,()),(,())()A x f x B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在012(,)x x x ∈，使'0()f x k =恒成立．附加题（2013.10.13） 姓名 学号21．已知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－22－2，β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤45，试计算9M β．22．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ＋2，y ＝3t (t 为参数)相交于两点A 、B ，求A 、B 的坐标．23．将编号为1，2，3,4的四个小球，分别放入编号为1 ,2,3,4的四个盒子，每个盒子中有且仅有一个小球．若小球的编号与盒子的编号相同，得1分，否则得0分．记ξ为四个小球得分总和． （1)求ξ=2时的概率；(2)求ξ的概率分布及数学期望．24．数列{21}n -的前n 项组成集合*{1,3,7,,21}()n n A n N =⋅⋅⋅-∈，从集合n A 中任取k （1k =，2，3，…，n ）个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =++⋅⋅⋅+．例如：当1n =时，A 1={1}，T 1=1，S 1=1；当n=2时，A 2={1，3}，T 1=1+3，T 2=1×3，S 2=1+3+1×3=7． （1）求3S ；（2）猜想n S ，并用数学归纳法证明．1． 42．存在等腰三角形的两个底角不相等 ．3. 31 4.充分不必要5．2 6． 1(,10)10．7． 1+=x y 8．239. 754t << 10． 12011． (]1,02⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭．12.②④ 13．710 14．（﹣3，0）15． (1)m=5 (2) 14m ≤≤ 16.17．（Ⅱ）当1D DAD=时，1DF D EB ⊥平面． ………………………………………７分18. （Ⅰ）由题意：PQ =AB +2H 1A =80+2×40=160（cm ）， PT =AD +2AH +2HM =2AD +2AH =2×50+2×40=180（cm ）． ………4分（Ⅱ）∵PT =240，PQ =150，AB 为x （0＜x ＜150）， ∴AH =AH 1=12（TS －AB ）=12（150－x ）．∵AD = M 1H +EM ，AH =DE ，∴AD =12（MM 1－2AH ）=12（PT －2AH ）=12[240－（150－x ）]=45+12x ， ………7分∴纸箱体积V （x ）=12 x （150－x ）（45+12x ）=－14x 3+15x 2+3375x ．………8分V ′(x )=－34x 2+30 x +3375．令V ′(x )=0，x 2－40x －4500=0，解得：x 1=90，x 2=－50（不合题意，舍去）．………10分当x ∈（0，90）时，V ′(x )＞0，V （x ）是增函数；当x ∈（90，150）时，V ′(x )＜0，V （x ）是减函数，∴当x =90时，V （x ）取到极大值V （90）=243000． …………12分∵V （x ）在（0，150）上只有一个极值，所以它是最大值．∴当纸箱的长AB =90时，纸箱体积最大，最大体积为243000（cm 3）．……14分 19.见苏大答案223页20．（1） {1} （2）见苏大P44页．21解：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－32－2λ＋2＝(λ－3)(λ＋2)＋4＝λ2－λ－2＝0，得λ1＝2，λ2＝－1.(4分)当λ1＝2时，对应的特征向量为α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21； 当λ1＝－1时，对应的特征向量为α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤45＝α1＋2α2，(8分)所以M 9β＝29⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21＋(－1)92⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 022 508.(10分) 22. (2,0)和⎝⎛⎭⎪⎫1，32(10分)23. （1）14﹣1=猜想时）]（）（）（﹣1=时*﹣。

2017届江苏省梁丰高级中学高三第一学期周日检测数学试卷10.20及答案

2017届江苏省梁丰高级中学高三第一学期周日检测数学试卷10.20及答案

2014届江苏省梁丰高级中学高三第一学期周日检测数学试卷10.20（2013.10.20）姓名 学号 一．填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1.已知集合}2,1{=M ，},12{M a a x x N ∈-==，则=N M ____________.2.已知角α的终边经过点(),6P x -，且3tan 5α=-，则x 的值为 ．3.已知2＋3i i ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则ab ＝ ．4.设1sin()43πθ+=，则sin 2θ= .5.已知平面向量(1,2)a = ，(1,3)b =- ，则a 与b夹角的余弦值为 .6.数列{}n a 是等差数列，且0n a ≠,23711220a a a -+=；数列{}n b 是等比数列，且77a b =，则68b b = ． 7.若函数2()1ax f x x -=-的图象关于点（1，1）对称，则实数a = ．8.已知tan 2A =，则()2πcos 42sin 2sin cos 1222AA A A -+-=___________. 9.设)1(lg )(23+++=x x x x f ，则对任意实数”“0,,≥+b a b a 是“0)()(≥+b f a f ”的 条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一） 10.在△ABC 中，角,,ABC 所对的边分别为,,a b c ，若tan 21tan A cB b+=，则角A 的大小为 ．11.若函数()2sin()f x x m ωϕ=++，对任意实数t ，都有()()88f t f t ππ+=-，且()38f π=-，则实数m 的值等于 ．12.已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =，()1f x '<，则不等式()221f x x <+解集为 ．13．若)(x f y =是定义在R 上周期为2的周期函数，且)(x f 是偶函数，当[]1,0∈x 时，12)(-=x x f ，则函数x x f x g 3log )()(-=的零点个数为 ． 14．若函数()2211(0)a f x a a a x+=->的定义域和值域都是[]m n ，（0m n <<），则常数a 的取值范围是 ．二．解答题：（本大题共6小题，计90分）15．已知集合[]{}|2,2,3x A y y x ==-∈，{}22|330B x x x a a =+-->， （1）当4a =时，求A B ；（2）若A B ⊆,求实数a 的取值范围.16.如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，060=∠DAB ,平面⊥PCD 底面ABCD ，F E ,分别是CD 、AB 的中点。

江苏省梁丰高级中学2013届高三9月数学周日试卷2

江苏省梁丰高级中学2013届高三9月数学周日试卷2

所以直线AM为：y＝(x＋2)，得P(4，3)，
所以＝(－1，)，＝(2，3)．…………………8分
因为·＝≠0，所以点B不在以PM为直径的圆上．…………………10分
（3）因为MN垂直于x轴，由椭圆对称性可设M(x1，y1)，N(x1，－y1)．
直线AM的方程为：y＝(x＋2)，所以yp＝，
直线BN的方程为：y＝(x－2)，所以yp＝，…………………12分
因为DC1平面BCC1B1，所以AD⊥DC1．…………………7分
（2）(证法一)
连结A1C，交AC1于点O，连结OD，则O为A1C的中点．
因为D为BC的中点，所以OD//A1B．…………………11分
因为OD平面ADC1，A1B平面ADC1，
所以A1B//平面ADC1．…………………14分
(证法二)
取B1C1的中点D1，连结A1D1，D1D，D1B．则D1C1BD．
11．已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数k的取值范围是．[，1)
12．已知α，β为平面，m，n为直线，下列命题：
①若m∥n，n∥α，则m∥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若α∩β＝n，m∥α，m∥β，则m∥n；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．
其中是真命题的有▲．(填写所有正确命题的序号)②③④
所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B//C1D．
因为C1D平面ADC1，D1B平面ADC1，
所以D1B//平面ADC1．
同理可证A1D1//平面ADC1．
因为A1D1平面A1BD1，D1B平面A1BD1，A1D1∩D1B＝D1，
所以平面A1BD1//平面ADC1．…………………11分
因为A1B平面A1BD1， 所以A1B//平面ADC1．…………………14分