平行四边形单元易错题难题测试综合卷检测试题
一、选择题
1．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E，F分别在边BC、CD上，
EF=时，AEF的面积是（）．
∠=?．当8
45
EAF
A．8 B．16 C．24 D．32
2．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，正方形ABCD的周长是16，P是对角线AC上的个动点，E是CD的中点，则PE+PD的最小值为( )
A．25B．23C．22D．4
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F，若四边形DCFE的周长为18cm，AC的长6cm，则AD的长为（）
A．13cm B．12cm C．5cm D．8cm
AB=，点E在BC边上，点F在CD边上，连接AE、5．如图，正方形ABCD中，4
EF 、AF ，下列说法：①若E 为BC 中点，1CF =，则90AEF ∠=?；②若E 为BC 中点，90AEF ∠=?，则1CF =；③若90AEF ∠=?，1CF =，则点E 为BC 中点，正确的
有（ ）个
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．下列命题：①一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；②一组邻角相等的平行四边形是矩形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形．其中真命题个数是（ ） A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
7．如图，四边形ABCD 是正方形，直线L 1、L 2、L 3，若L 1与L 2的距离为5，L 2与L 3的距离7，则正方形ABCD 的面积等于（ ）
A ．70
B ．74
C ．144
D ．148
8．如图所示，在周长是10cm 的ABCD 中，AB AD ≠，AC 、BD 相交于点O ，点E 在AD 边上，且OE BD ⊥，是ABE △的周长是( )
A ．2cm
B ．3cm
C ．4cm
D ．5cm
9．如图，ABCD 的对角线AC 、BD 相较于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，∠ADC ＝60°，AB ＝1
2
BC ，连接OE ，下列结论：①∠CAD ＝30°；②·ABCD
A S A
B
C =；③OA ＝
OB ；④OE ＝
1
4
B C ．其中成立的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，2BD AD =，点E ，
F ，
G 分别是OA ，OB ，CD 的中点，EG 交FD 于点
H ，下列4个结论中说法正确的有（ ）
①ED CA ⊥；②EF EG =；③1
2FH FD =；④12
EFD ACD S S =△△．
A ．①②
B ．①②③
C ．①③④
D ．①②③④
二、填空题
11．在平行四边形ABCD 中，30,23,2A AD BD ∠=?==，则平行四边形ABCD 的面积等于_____．
12．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD 中，3AB =，2AC =，则BD 的长为_______________．
13．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，对角线长为1cm ，过点O 任作一条直线分别交AD ，BC 于E ，F ，则阴影部分的面积是_____．
14．如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将△ABE 沿 AE 对折至△AFE ，延长 EF 交 CD 于 G ，接 CF ，AG ．下列结论：① AE ∥FC ; ②∠EAG = 45°，且BE + DG = EG ；③
ABCD 1
9
CEF S S ?=正方形；④ AD = 3DG ，正确是_______ (填序号)．
15．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在边AD 、BC 上．将该纸片沿EF 折叠，使点A 的对应点G 落在边DC 上，折痕EF 与AG 交于点Q ，点K 为GH 的中点，则随着折痕EF 位置的变化，△GQK 周长的最小值为____．
16．如图，正方形ABCD 面积为1，延长DA 至点G ，使得AG AD =，以DG 为边在正方形另一侧作菱形DGFE ，其中45EFG ?∠=，依次延长, , AB BC CD 类似以上操作再作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点, , , ,F H M N 则四边形
FHMN 的面积为___________．
17．如图，菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，若将菱形绕点O 以每秒
45?的速度逆时针旋转，则第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为__________．
18．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若点D 是斜边AB 的中点，则CD ＝
1
2
AB ，运用：如图2，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED 连接BE ，CE ，DE ，则
CE 的长为_____．
19．如图，有一张长方形纸片ABCD ，4AB =，3AD =．先将长方形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ?沿EF 翻折，
AF 与BC 相交于点G ，则FG 的长为___________．
20．如图，在平行四边形ABCD 中，5
3AB AD ==，，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点E ，连接BE ，若BAD BEC ∠=∠，则平行四边形ABCD 的面积为__________．
三、解答题
21．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上． （1）若1n =，
①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；
②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若
AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．
（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM
FN
的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；
（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CF
BF
的值为_______（结果用含n 的式子表示）．
22．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ． （1）求证：AE ＝DF ；
（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由； （3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．
23．如图，在Rt ABC ?中，90ABC ∠=?，30C ∠=?，12AC cm =，点E 从点A 出发沿AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动，同时点D 从点C 出发沿CA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运动时间为t 秒（06t <<），过点D 作DF BC ⊥于点F ．
（1）试用含t 的式子表示AE 、AD 、DF 的长；
（2）如图①，连接EF ，求证四边形AEFD 是平行四边形；
（3）如图②，连接DE ，当t 为何值时，四边形EBFD 是矩形？并说明理由． 24．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连
BE ，取BE 中点O ．
（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ?∠=；
（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段
DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；
（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且
135PCQ ?∠=，则PC
．（直接写出结果）
25．在正方形ABCD 中，点E 是CD 边上任意一点，连接,AE 过点B 作BF AE ⊥于
F ，交AD 于H .
()1如图1，过点D 作DG AE ⊥于G .求证:BF DG FG -=；
()2如图2，点E 为CD 的中点，连接DF ，试判断,,DF FH EF 存在什么数量关系并说
明理由；
()3如图3，1AB =，连接EH ，点Р为EH 的中点，在点E 从点D 运动到点C 的过程
中，点Р随之运动，请直接写出点Р运动的路径长.
26．感知：如图①，在正方形ABCD 中，E 是AB 一点，F 是AD 延长线上一点，且
DF BE ＝，求证：CE CF ＝；
拓展：在图①中，若G 在AD ，且45GCE ∠?＝，则GE BE GD +＝成立吗？为什么？ 运用：如图②在四边形ABCD 中，()//AD BC BC AD ＞，90A B ∠∠?＝＝，
16AB BC ＝＝，E 是AB 上一点，且45DCE ∠?＝，4BE ＝，求DE 的长．
27．如图，锐角ABC ?，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ?，使
AE AD =，EAD BAC ∠=∠．
（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）
①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系； ②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；
（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．
28．已知：如下图，ABC 和BCD 中，90BAC BDC ∠=∠=，E 为BC 的中点，连接DE AE 、.若DC
AE ，在DC 上取一点F ，使得DF DE =，连接EF 交AD 于O .
（1）求证：EF DA ⊥.
（2）若4,3BC AD ==EF 的长.
29．问题背景
若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点． 如图1，四边形ABCD 中，BC 是一条对角线，AB AC =，DB DC =，则点A 与点D 关于BC 互为顶针点；若再满足180A D +=?∠∠，则点A 与点D 关于BC 互为勾股顶针点．
初步思考
(1)如图2，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠=?，D 、E 为ABC 外两点，
EB EC =，45EBC ∠=?，DBC △为等边三角形． ①点A 与点______关于BC 互为顶针点；
②点D 与点______关于BC 互为勾股顶针点，并说明理由． 实践操作
(2)在长方形ABCD 中，8AB =，10AD =．
①如图3，点E 在AB 边上，点F 在AD 边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E 、F ，使得点E 与点C 关于BF 互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹) 思维探究
②如图4，点E是直线AB上的动点，点P是平面内一点，点E与点C关于BP互为勾股顶针点，直线CP与直线AD交于点F．在点E运动过程中，线段BE与线段AF的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE的长；若不相等，请说明理由．
30．点E在正方形ABCD的边BC上，点F在AE上，连接FB，FD，∠ABF=∠AFB．
（1）如图1，求证：∠AFD=∠ADF；
（2）如图2，过点F作垂线交AB于G，交DC的延长线于H，求证：DH=2 AG；
（3）在（2）的条件下，若EF=2，CH=3，求EC的长．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
如图：△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，可得AH=AF，∠BAH=∠DAF，进一步求出∠EAH=∠EAF=45°，再利用"边角边"证明△AEF和△AEH全等，再根据全等三角形的面积相等，即可解答.
【详解】
解：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，
根据旋转的性质可得：AH=AF，∠BAH=∠DAF，
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°
∴∠EAH=∠EAF=45°
在△AEF和△AEH中
AF=Aн∠EAH=∠EAF=45°，AE=AE ∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EH=EF=8，
∴SAFE=S△A EH=-1
2
×8×8=32.
故选：D.
【点睛】
本题考查了正方形和全等三角形的判定与性质，熟记并灵活应用它们的性质并利用旋转作辅助线、构造出全等三角形是解题的关键.
2．D
解析：D
【分析】
连接AC、CE，CE交BD于P，此时AP+PE的值最小，求出CE长，即可求出答案．
【详解】
解：连接AC、CE，CE交BD于P，连接AP、PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC，AC⊥BD，即A和C关于BD对称，
∴AP＝CP，
即AP+PE＝CE，此时AP+PE的值最小，
所以此时△PAE周长的值最小，
∵正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，
∴∠ABC＝90°，BE＝4﹣1＝3，
由勾股定理得：CE＝5，
∴△PAE的周长的最小值是AP+PE+AE＝CE+AE＝5+1＝6，
故选D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质与轴对称——最短路径问题，知识点比较综合，属于较难题型. 3．A
解析：A
【解析】
【分析】
由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点.此时PE+PD=BE最小，而BE是直角△CBE的斜边，利用勾股定理即可得出结果.
【详解】
解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P'，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于AC对称，
∴P'D=P'B，
∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小.
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，即为BE的长度.
∴直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=4，CE=1
2
CD=2，
∴22
4225
BE=+=
故选：A.
【点睛】
本题题考查了轴对称中的最短路线问题，要灵活运用正方形的性质、对称性是解决此类问题的重要方法，找出P点位置是解题的关键
4．C
解析：C
【分析】
由三角形中位线定理推知ED∥FC，2DE=BC，然后结合已知条件“EF∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC，即可得出四边形DCFE的周长=AB+BC，故BC=18-AB，然后根据勾股定理即可求得．
【详解】
∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，
∴ED是Rt△ABC的中位线，
∴ED∥FC．BC＝2DE，
又EF∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形；
∴DC＝EF，
∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴AB ＝2DC ，
∴四边形DCFE 的周长＝AB +BC ，
∵四边形DCFE 的周长为18cm ，AC 的长6cm ， ∴BC ＝18﹣AB ，
∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，
∴AB 2＝BC 2+AC 2，即AB 2＝（18﹣AB ）2+62， 解得：AB ＝10cm ， ∴AD ＝5cm ， 故选C ． 【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
正方形的边长相等，因为AB=4，所以其他三边也为4，正方形的四个角都是直角，①若
E 为BC 中点，1C
F =，则能求出AE 2+EF 2=AF 2，用勾股定理可得90AEF ∠=?．②若E 为BC 中点，90AEF ∠=?，用勾股定理列方程可求得CF ，
③若90AEF ∠=?，1CF =，用勾股定理列方程可求得BE ， 【详解】
解：①若E 为BC 中点，1CF =， ∵AB=4， ∴BE=CE=2，DF=3，
∴AE 2=42+22=20，EF 2=22+12=5，AF 2=42+32=25，
∴AE 2+ EF 2=AF 2，
∴90AEF ∠=?； 故①正确，
②若E 为BC 中点，90AEF ∠=?， 设CF x =；则DF=4-x.
∴AE 2=42+22=20，EF 2=4+x 2，AF 2=42+（4-x ）2， ∵90AEF ∠=?∴ ∴AE 2+ EF 2=AF 2， ∴20+4+ x 2=42+（4-x ）2 解得x=1；即CF=1.
③若90AEF ∠=?，1CF =，则DF=3,设BE=x ， ∴AE 2+ EF 2=AF 2， 即42+x 2+1+（4-x ）2=42+32 解得x=2，即BE=2，E 为BC 的中点.
故①②③正确，答案选D. 【点睛】
本题考查了正方形的性质及勾股定理及勾股定理逆定理的应用，解题关键是应用勾股定理列方程并求解.
6．B
解析：B 【分析】
根据平行四边形的判定方法对①进行判断；根据矩形的判定方法对②进行判断即可；根据三角形中位线性质和菱形的判定方法对③进行判断；根据正方形的判定方法对④进行判断． 【详解】
解：①错误，反例为等腰梯形；②正确，理由一组邻角相等，且根据平行四边形的性质，可得它们都为直角，从而推得矩形；③正确，理由：得到的四边形的边长都等于矩形对角线的一半；④正确． 故答案为B ． 【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．判定一个命题的真假关键在于对基本知识的掌握．
7．B
解析：B 【分析】
先作出1l 与2l ，2l 与的3l 距离AE 、CF ，证明△ABE ≌△BCF ，得到BF=AE ，再利用勾股定理即可得到答案. 【详解】
过点A 作AE ⊥2l ,过点C 作CF⊥2l , ∴∠AEB=∠CFB=90°， ∴∠ABE+∠BAE=90°， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=BC,∠ABC=90°， ∴∠ABE+∠CBF=90°， ∴∠BAE=∠CBF, 在△ABE 和△BCF 中，
BAE CBF AEB BFC AB BC ∠=∠??
∠=∠??=?
, ∴△ABE ≌△BCF ， ∴BF=AE=5，
在Rt △BCF 中，CF=7，BF=5，
∴222225774BC BF CF =+=+=, ∴正方形ABCD 的面积=274BC =, 故选：B.
【点睛】
此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质定理，平行线之间的距离处处相等，题中证明两个三角形全等是解题的关键，由此将两个距离5和7变化到一个直角三角形中，由此利用勾股定理解决问题.
8．D
解析：D 【分析】
根据平行四边形的性质求出AB+AD=5cm,根据线段的垂直平分线求出BE=DE,求出ABE ?的周长等于AB+AD ，代入求出即可． 【详解】 ∵10ABCD
C
cm =
∴=5AB AD cm +
∵在ABCD 中，OB=OD ，OE BD ⊥ ∴EB=ED ∴AEB C AB AE BE AB AE BE AB AD =++=++=+ ∴5AEB
C
cm =
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查的知识点是平行四边形对边相等的这条性质，结合线段的垂直平分线的性质来进行计算是解题的关键．
9．C
解析：C 【分析】
①先根据平行四边形的性质可得120,60,BAD ABC OA OC ∠=?∠=?=，再根据角平分线的定义可得60=?∠BAE ，然后根据等边三角形的判定与性质可得AB AE BE ==，
60AEB ∠=?，又根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得
30ACE CAE ∠=∠=?，最后根据角的和差即可得；②由①已推得90BAC ∠=?，再根据
2ABCD
ABC
S
S
=即可得；③在Rt AOB 中，根据直角边小于斜边即可得；④在ABC
中，利用三角形中位线定理可得12
OE AB =，再根据1
2AB BC =即可得．
【详解】
四边形ABCD 是平行四边形，60ADC ∠=?，
120,60,BAD ABC OA OC ∴∠=?∠=?=，
AE ∵平分BAD ∠，
1
602
BAE BAD ∴∠=
∠=?， ABE ∴是等边三角形，
,60AB AE BE AEB ∴==∠=?， 1
2
AB BC =
， AB AE BE CE ∴===， ACE CAE ∴∠=∠，
60AEB ACE CAE ∠=∠+∠=?， 30ACE CAE ∴∠=∠=?，
90,30BAC BAE CAE CAD BAD BAC ∴∠=∠+∠=?∠=∠-∠=?，则结论①成立，
AB AC ∴⊥，
1
22··2
ABCD ABC
AB AC AB AC S
S
==?
=∴，则结论②成立， 在Rt AOB 中，OA 是直角边，OB 是斜边，
OA OB ∴<，则结论③不成立，
,OA OC BE CE ==，
OE ∴是ABC 的中位线，
1111
2224
OE AB BC BC ∴==?=，则结论④成立，
综上，结论成立的个数是3个， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握并灵活运用各判定定理与性质是解题关键．
10．B
解析：B 【分析】
由等腰三角形“三线合一”得ED ⊥CA ，根据三角形中位线定理可得EF=1
2
AB ；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得EG=
1
2
CD ，即可得EF=EG ；连接FG ，可证四边形DEFG 是
平行四边形，即可得FH=1
2
FD，由三角形中位线定理可证得S△OEF=
1
4
S△AOB，进而可得
S△EFD=S△OEF+S△ODE=
3
16
S?ABCD，而S△ACD=
1
2
S?ABCD，推出S△EFD
1
2
S△ACD，即可得出结论．
【详解】
连接FG，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD=BC，AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，∵BD=2AD，
∴OD=AD，
∵点E为OA中点，
∴ED⊥CA，故①正确；
∵E、F、G分别是OA、OB、CD的中点，
∴EF∥AB，EF=1
2 AB，
∵∠CED=90°，G是CD的中点，
∴EG=1
2 CD，
∴EF=EG，故②正确；
∵EF∥AB，AB∥CD，
∴EF∥CD，EF=EG=DG，
∴四边形DEFG是平行四边形，∴FH=DH，
即FH=1
2
FD，故③正确；
∵△OEF∽△OAB，
∴S△OEF=1
4
S△AOB，
∵S△AOB=S△AOD=1
4
S?ABCD，S△ACD=
1
2
S?ABCD，
∴S△OEF=
1
16
S?ABCD，
∵AE=OE，
∴S △ODE =
12S △AOD =1
8
S ?ABCD ， ∴S △EFD =S △OEF +S △ODE =116S ?ABCD +18S ?ABCD 3
16
=S ?ABCD ， ∵
12S △ACD 1
4
=S ?ABCD ， ∴S △EFD 1
2
≠
S △ACD ，故④错误； 综上，①②③正确； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质等知识；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题关键．
二、填空题
11．43或23 【分析】
分情况讨论作出图形，通过解直角三角形得到平行四边形的底和高的长度，根据平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】
解：过D 作DE AB ⊥于E ， 在Rt ADE △中，30A ∠=?，23AD =，
132DE AD ∴=
=，33AE AD ==， 在Rt BDE △中，2BD =，
22222(3)1BE BD DE ∴=-=-=， 如图1，
4AB ∴=，
∴平行四边形ABCD 的面积4343AB DE ===，
如图2，
2AB =，
∴平行四边形ABCD 的面积2323AB DE ==?=，
如图3，过B 作BE AD ⊥于E ，
在Rt ABE △中，设AE x =，则23DE x =-，
30A ∠=?，3
3
BE x =
， 在Rt BDE △中，2BD =，
22
232(
)(23)x x ∴=+-， 3x ∴=，23x =（不合题意舍去），
1BE ∴=，
∴平行四边形ABCD 的面积12323AD BE ==?=，
如图4，
当AD BD ⊥时，平行四边形ABCD 的面积43AD BD ==， 故答案为：323 【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用、30度角的直角三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键． 12．2 【分析】
首先由对边分别平行可判断四边形ABCD 为平行四边形，连接AC 和BD ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，通过证明△ADF ≌△ABC 来证明四边形ABCD 为菱形，从而得到AC 与BD 相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD 长度. 【详解】
解：连接AC 和BD ，其交点为O ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，
∵AB ∥CD ，AD ∥BC ， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴∠ADF=∠ABE ， ∵两纸条宽度相同， ∴AF=AE ，
∵90ADF ABE AFD AEB AF AE ∠=∠??
∠=∠=???=?
∴△ADF ≌△ABE ， ∴AD=AB ，
∴四边形ABCD 为菱形， ∴AC 与BD 相互垂直平分， ∴BD=2224
2AB AO -= 故本题答案为：42 【点睛】
本题考察了菱形的相关性质，综合运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定要从相关条件以及可运用的证明工具入手，不要盲目作辅助线.
13．21
8
cm
【分析】
根据正方形的性质可以证明△AEO ≌CFO ，就可以得出S △AEO =S △CFO ，就可以求出△AOD 面积等于正方形面积的1
4
，根据正方形的面积就可以求出结论． 【详解】 解：如图：
∵正方形ABCD 的对角线相交于点O ，