云南省德宏州潞西市芒市中学高中数学教案：任意角一 必修四

云南省德宏州潞西市芒市中学2014高中数学 1.6 三角函数模型的简单应用教学案 新人教A 版必修4一、教学目标1.掌握三角函数模型应用基本步骤 (1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象;(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. 教学重点: 三角函数性质的应用 教学难点: 三角函数周期性的应用 二、预习导学 （一）知识梳理1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型.2、|sin |y x =是以____________为周期的波浪型曲线.3、已知如图是函数y ＝2sin(ωx ＋ϕ)(｜ϕ｜＜π2)的图象，那么ω= ，ϕ= 。

（二）预习交流如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y(米)与时间x (秒)满足函数关系,2)sin(++=ϕωx A y 则有ω= ，A = 。

三、问题引领，知识探究1、一根为Lcm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是),0[,6sin 3+∞∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t l g s π，（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s 2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l 应当是多少？练习内化1：方程sin lg x x =的实根个数是 个。

练习内化2：如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)＋b (1) 求这一天6~14时的最大温差； (2) 写出这段曲线的函数解析式.四、目标检测1、某人的血压满足函数式f (t )=24sin 160πt+110,其中f (t )为血压,t 为时间,则此人每分钟心跳的次数为( ) A.60 B.70 C.80 D.902、若函数f (x )=sin ωx (ω>0)在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在区间ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则ω=( )A.3B.2C.32D.233、如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过12周期后,乙点的位置将移至( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁4. . .据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f (x )=A sin(ωx+φ)+B π0,0,||2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的模型波动(x 为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f (x )的解析式为 . 5. 1、如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处（点P 与摩天轮中心Ｏ高度相同）时开始计时，（1） 求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；（2） 在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米 。

云南省德宏州潞西市芒市中学2014高中数学 1.4 同角三角函数的基本关系式教学案 新人教A 版必修4一、教学目标（1）理解并掌握同角三角函数的基本关系式；（2）能运用同角三角函数的基本关系解决求值等有关问题； （3）熟练运用同角三角函数关系化简三角函数式； （4）活用同角三角函数关系证明三角恒等式。

教学重点: 理解并掌握同角三角函数的基本关系式 教学难点: 会运用同角三角函数的基本关系解决求值 二、预习导学 （一）知识梳理1.同角三角函数的基本关系式有哪些？2.你能运用同角三角函数的基本关系解决求值吗？ （二）预习交流 1、sin csc αα⋅=？ 2、已知4sin 5α=-，求cos α的值。

三、问题引领，知识探究问题1、设α是任意角，α的终边上任意一点P(出端点外)的坐标是(x ，y)，它与原点的距离是 r2222(0)r x y x y =+=+>，则：sin y r α=；cos x r α=；tan yxα=；cot x y α=；sec rxα=；csc r y α=。

那么同角三角函数的基本关系式有哪些呢？问题2、能不能运用同角三角函数的基本关系解决求值呢？练习内化1：已知4sin 5α=，且α是第二象限角，求cos ,tan ,cot ααα的值。

练习内化2：已知8cos 17α=-，求sin ,tan αα的值。

练习内化3：1sin cos sin cos tan .5αααααα+=已知是三角形的内角，且，求，，的值练习内化4： 已知5sin 5α=，则44sin cos αα-的值为（ ）。

A. 35-B. 15- C. 15 D. 35四、目标检测1. α是第四象限的角，5tan 12α=-，则sin α等于（ ）。

A.15 B. 15- C. 513 D. 513- 2. 已知sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则sin cos θθ的值为（ ）。

云南省德宏州潞西市芒市中学2014高中数学 1.2 同角三角函数的基本关系式教学案 新人教A 版必修4一、教学目标：掌握同角三角函数的基本关系式sin 2α+cos 2α=1,ααcos sin =tan α,并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。

教学重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.教学难点： 所在根据角α终边象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.二、预习导学 （一）知识梳理1、同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系： sin 2α+cos 2α=1（2）商数关系：tan α=sin cos αα ,其中α≠k π+π2(k ∈Z )（二）预习交流同角三角函数的基本关系式有哪些变形形式?提示:除了掌握两个基本公式外,还要熟练掌握其等价形式: sin 2α+cos 2α=1⇔sin 2α=1-cos 2α, cos 2α=1-sin 2α;tan α=sin cos αα⇔sin α=tan α·cos απ,k Z 2k πα⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭; (sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α. 三、问题引领，知识探究1、先请学生回忆任意角的三角函数定义,然后引导学生先计算后观察以下各题的结果,并鼓励学生大胆进行猜想,教师点拨学生能否用定义给予证明,由此展开新课.计算下列各式的值(1)sin 290°+cos 290°; (2)sin 230°+cos 230°; （3) 60cos 60sin ; (4)135cos 135sin . 2、提出问题、（1）:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗?图1如图1,以正弦线MP 、余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且OP=1.由勾股定理有OM 2+MP 2=1.因此x 2+y 2=1,即sin 2α+cos 2α=1(等式1).显然,当α的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立. 根据三角函数的定义,当α≠k π+2π,k ∈Z 时,有 aacos sin =tan α(等式2). 这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切. （2）上述两个等式中,是不是所有的角都可以是任意角？在上述两个等式中,不是所有的角都可以是任意角,在第一个等式中,α可以是任意角,在第二个等式中α≠k π+2π,k ∈Z . （3）对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值.？在上述两个等式中,只要知道其中任意一个,就可以求出其余的两个.知道正弦(余弦),就可以先求出余弦(正弦),用等式1;进而用第二个等式2求出正切. 例1：已知sin α=54,并且α是第二象限的角,求cos α,tan α的值. 活动:同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握,先让学生接触比较简单的应用问题,明确和正确地应用同角三角函数关系.可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是sin 2α+cos 2α=1,故cos α的值最容易求得,在求cos α时需要进行开平方运算,因此应根据角α所 在的象限确定cos α的符号,在此基础上教师指导学生独立地完成此题.解:因为sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=1-sin 2α=1-(54)2=259.又因为α是第二象限角,所以cos α<0.于是cos α=259-=53-,从而tan α=a a cos sin =54×(35-)=34-. 点评:本题是直接应用关系求解三角函数值的问题,属于比较简单和直接的问题,让学生体会关系式的用法.应使学生清楚tan α=34-中的负号来自α是第二象限角,这也是根据商数关系直接运算后的结果,它不同于在选用平方关系式的三角函数符号的确定例2求证：ααααcos sin 1sin 1cos +=-分析：思路1．把左边分子分母同乘以x cos ，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx ）先满足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零；思路4：用作商法，但先要确定一边不为零；思路5：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果；思路6：由乘积式转化为比例式；思路7：用综合法．证法1：左边==+=⋅--=-⋅xxx x x x x x x cos sin 1cos )sin 1(sin 1cos )sin 1(cos cos 2右边，∴原等式成立 证法2：左边=)sin 1)(sin 1(cos )sin 1(x x xx -+⋅+＝x x x 2sin 1cos )sin 1(-⋅+x x x 2cos cos )sin 1(⋅+=＝=+xxcos sin 1右边 证法3：∵0cos )sin 1(cos cos cos )sin 1()sin 1(cos cos sin 1sin 1cos 2222=⋅--=⋅---=+--xx xx x x x x x x x x ， ∴xxx x cos sin 1sin 1cos +=-证法4：∵cosx ≠0，∴1+sinx ≠0，∴xxcos sin 1+≠0，∴x x x xcos sin 1sin 1cos +-＝()()x x x sin 1sin 1cos 2-+＝x x 22sin 1cos -＝1，∴xxx x cos sin 1sin 1cos +=-．,cos )sin 1(cos )sin 1(cos sin 1sin 1sin 1cos sin 1,cos )sin 1(cos cos cos sin 1cos :5222xx xx x x x x x x xx xx x x x -=--=--⋅+=⋅-=⋅-=右边左边证法∴左边=右边 ∴原等式成立．四、目标检测1.已知α是第四象限角,cos α=1213,则sin α等于( )A .513B .-513C .512D .-512答案:B解析:∵α是第四象限角,∴sin α=-513. 2.已知tan α=-12,则222sincos sin αcos ααα-的值是( )A .43B .3C .-43D .-3答案:解析:原式=22122tan 42tan α13112α⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭.五、配餐分层A 组1、已知,2tan =α求ααααcos sin cos sin -+的值。

第一章三角函数本章教材分析1.本章知识结构如下:2.本章学习的内容主要是:三角函数的定义、图象、性质及应用.三角函数是高中教材中的一种重要函数，与其他的函数相比，具有许多重要的特征:它以角为自变量，是周期函数.三角函数是解决其他问题的重要工具，是高中阶段学习的最后一个基本初等函数，是深化函数性质的极好素材.本章的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识，特别强调了单位圆的直观作用，借助单位圆直观地认识任意角、任意角的三角函数.3.本章教学的重点是三角函数的定义，同角三角函数的基本关系式，正弦函数的图象及基本性质.难点是弧度制和图象变换的准确理解和掌握.关键是学好三角函数定义.从实际教学情况来看，教学中应重视学生的画图.“五点画图”虽然简单，但却易学难掌握.在本章教学中，教师应根据学生的生活经验和已有的数学知识，通过列举熟知的实例，创设丰富的情境，使学生体会三角函数模型的意义.教学时，可结合本章引言的章头图，让学生围绕这些问题展开讨论，通过思考，让学生知道三角函数可以刻画这些周期变化规律，从而激发学生的求知欲.4.三角函数的内容一直是高考的重要内容，特别是三角函数的图象和性质，及结合三角形的基础知识为背景的三角函数知识，频频在各省高考试题中出现，难度虽有降低，却是经久不衰的高考考查内容.5.本章教学时间约需16课时，具体分配如下(仅供参考):标题课时1.1任意角和弧度制约2课时1.2任意角的三角函数约3课时1.3三角函数的诱导公式约2课时1.4三角函数的图象与性质约4课时1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象约2课时1.6三角函数模型的简单应用约2课时本章复习约1课时1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角整体设计教学分析教材首先通过实际问题的展示，引发学生的认知冲突，然后通过具体例子，将初中学过的角的概念推广到任意角，在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上，更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.让学生体会到把角推广到任意角的必要性，引出角的概念的推广问题.本节充分结合角和平面直角坐标系的关系，建立了象限角的概念.使得任意角的讨论有一个统一的载体.教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法，引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角.能熟练写出与已知角终边相同的角的集合，是本节的一个重要任务.学生的活动过程决定着课堂教学的成败，教学中应反复挖掘“探究”栏目及“探究”示图的过程功能，在这个过程上要不惜多花些时间，让学生进行操作与思考，自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式.也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}的含义.如能借助信息技术，则可以动态表现角的终边旋转的过程，更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系，让学生在动态的过程中体会，既要知道旋转量，又要知道旋转方向，才能准确刻画角的形成过程的道理，更好地了解任意角的深刻涵义.三维目标1.通过实例的展示，使学生理解角的概念推广的必要性，理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示，树立运动变化的观点，并由此深刻理解推广之后的角的概念.2.通过自主探究、合作学习，认识集合S中k、α的准确含义，明确终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无限多个，它们相差360°的整数倍.这对学生的终身发展，形成科学的世界观、价值观具有重要意义.3.通过类比正、负数的规定，让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用，为今后的学习与发展打下良好的基础.重点难点教学重点:将0°—360°范围的角推广到任意角，终边相同的角的集合.教学难点:用集合来表示终边相同的角.课时安排1课时教学过程导入新课图1思路1.(情境导入)如图1，在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机，只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转，旋转多少度才能赢?还有我们所熟悉的体操运动员旋转的角度，自行车车轮旋转的角度，螺丝扳手的旋转角度，这些角度都怎样解释?在学生急切想知道的渴望中引入角的概念的推广.进而引入角的概念的推广的问题.思路2.(复习导入)回忆初中我们是如何定义一个角的?所学的角的范围是什么?用这些角怎样解释现实生活的一些现象，比如你原地转体一周的角度，应怎样修正角的定义才能解释这些现象?由此让学生展开讨论，进而引入角的概念的推广问题.推进新课新知探究提出问题①你的手表慢了5分钟，你将怎样把它调整准确?假如你的手表快了1.25小时，你应当怎样将它调整准确?当时间调整准确后，分针转过了多少度角?②体操运动中有转体两周，在这个动作中，运动员转体多少度?③请两名男生(或女生、或多名男女学生)起立，做由“面向黑板转体背向黑板”的动作.在这个过程中，他们各转体了多少度?活动:让学生到讲台利用准备好的教具——钟表，实地演示拨表的过程.让学生站立原地做转体动作.教师强调学生观察旋转方向和旋转量，并思考怎样表示旋转方向.对回答正确的学生及时给予鼓励、表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，设一条射线的端点是O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB，则形成了一个角α，点O是角的顶点，射线OA、OB分别是角α的始边和终边.我们规定:一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角，为了简便起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记作“α”.如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角，零角的始边和终边重合，如果α是零角，那么α=0°.讨论结果:①顺时针方向旋转了30°;逆时针方向旋转了450°.②顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°.③-180°或+180°或-540°或+540°或900°或1 080°……提出问题①能否以同一条射线为始边作出下列角:210°，-45°，-150°.②如何在坐标系中作出这些角，象限角是什么意思? 0°角又是什么意思?活动:先让学生看书、思考、并讨论这些问题，教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生，教师提示、引导考虑问题的思路.学生作这样的角，使用一条射线作为始边，没有固定的参照，所以会作出很多形式不同的角.教师可以适时地提醒学生:如果将角放到平面直角坐标系中，问题会怎样呢?并让学生思考讨论在直角坐标系内讨论角的好处:使角的讨论得到简化，还能有效地表现出角的终边“周而复始”的现象.今后我们在坐标系中研究和讨论角，为了讨论问题的方便，我们使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.要特别强调角与直角坐标系的关系——角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.讨论结果:①能.②使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.这样:210°角是第三象限角;-45°角是第四象限角;-150°角是第三象限角.特别地，终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限，比如0°角.可以借此进一步设问:锐角是第几象限角?钝角是第几象限角?直角是第几象限角?反之如何?将角按照上述方法放在直角坐标系中，给定一个角，就有唯一一条终边与之对应，反之，对于直角坐标系中的任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一?如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系?提出问题①在直角坐标系中标出210°，-150°的角的终边，你有什么发现?它们有怎样的数量关系?328°，-32°，-392°角的终边及数量关系是怎样的?终边相同的角有什么关系?②所有与α终边相同的角，连同角α在内，怎样用一个式子表示出来?活动:让学生从具体问题入手，探索终边相同的角的关系，再用所准备的教具或是多媒体给学生演示:演示象限角、终边相同的角，并及时地引导:终边相同的一系列角与0°到360°间的某一角有什么关系，从而为终边相同的角的表示作好准备.为了使学生明确终边相同的角的表示方法，还可以用教具作一个32°角，放在直角坐标系内，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，形成-32°角后提问学生这是第几象限角?是多少度角?学生对后者的回答是多种多样的.至此，教师因势利导，予以启发，学生对问题探究的结果已经水到渠成，本节难点得以突破.同时学生也在这一学习过程中，体会到了探索的乐趣，激发起了极大的学习热情，这是比学习知识本身更重要的.讨论结果:①210°与-150°角的终边相同;328°，-32°，-392°角的终边相同.终边相同的角相差360°的整数倍.设S={β｜β=-32°+k·360°，k∈Z}，则328°，-392°角都是S的元素，-32°角也是S 的元素(此时k=0).因此，所有与-32°角的终边相同的角，连同-32°在内，都是集合S的元素;反过来，集合S的任何一个元素显然与-32°角终边相同.②所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合S={β｜β=k·360°+α，k∈Z}.即任一与角α终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和.适时引导学生认识:①k∈Z;②α是任意角;③终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.应用示例例1 在0°—360°范围内，找出与-950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角. 解:-950°12′=129°48′-3×360°，所以在0°—360°的范围内，与-950°12′角终边相同的角是129°48′，它是第二象限的角.点评:教师可引导学生先估计-950°12′大致是360°的几倍，然后再具体求解.例2 写出终边在y轴上的角的集合.活动:终边落在y轴上，应分y轴的正方向与y轴的负方向两个.学生很容易分别写出所有与90°，270°的终边相同的角构成集合，这时应启发引导学生进一步思考:能否化简这两个式子，用一个式子表示出来.让学生观察、讨论、思考，并逐渐形成共识，教师再规范地板书出来.并强调数学的简捷性.在数学表达式子不唯一的情况下，注意采用简约的形式.图2解:在0°—360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°和270°角，如图2.因此，所有与90°的终边相同的角构成集合S1={β｜β=90°+k·360°，k∈Z}.而所有与270°角的终边相同的角构成集合S2={β｜β=270°+k·360°，k∈Z}.于是，终边在y轴上的角的集合S=S1∪S2={β｜β=90°+2k·180°，k∈Z}∪{β｜β=90°+180°+2k·180°，k∈Z}={β｜β=90°+2k·180°，k∈Z}∪{β｜β=90°+(2k+1)·180°，k∈Z}={β｜β=90°+n·180°，n∈Z}.点评:本例是让学生理解终边在坐标轴上的角的表示.教学中，应引导学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方法不唯一，要注意采用简约的形式.变式训练①写出终边在x轴上的角的集合.②写出终边在坐标轴上的角的集合.答案:①S={β｜β=(2n+1)·180°，n∈Z}.②S={β｜β=n·90°，n∈Z}.例3 写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来.图3解:如图3，在直角坐标系中画出直线y=x，可以发现它与x轴夹角是45°，在0°—360°范围内，终边在直线y=x上的角有两个:45°和225°，因此，终边在直线y=x上的角的集合S={β｜β=45°+k·360°，k∈Z}∪{β｜β=225°+k·360°，k∈Z}.S中适合-360°≤β<720°的元素是:45°-2×180°=-315°，45°-1×180°=-135°，45°+0×180°=45°，45°+1×180°=225°，45°+2×180°=405°，45°+3×180°=585°.点评:本例是让学生表示终边在已知直线的角，并找出某一范围的所有的角，即按一定顺序取k的值，应训练学生掌握这一方法.例4 写出在下列象限的角的集合:①第一象限; ②第二象限;③第三象限; ④第四象限.活动:本题关键是写出第一象限的角的集合，其他象限的角的集合依此类推即可，如果学生阅读例题后没有解题思路，或者把①中的范围写成0°—90°，可引导学生分析360°—450°范围的角是不是第一象限的角呢?进而引导学生写出所有终边相同的角.解:①终边在第一象限的角的集合:{β｜n·360°<β<n·360°+90°，n∈Z}.②终边在第二象限的角的集合:{β｜n·360°+90°<β<n·360°+180°，n∈Z}.③终边在第三象限的角的集合:{β｜n·360°+180°<β<n·360°+270°，n∈Z}.④终边在第四象限的角的集合:{β｜n·360°+270°<β<n·360°+360°，n∈Z}.点评:教师给出以上解答后可进一步提问:以上的解答形式是唯一的吗?充分让学生思考、讨论后形成共识，并进一步深刻理解终边相同角的意义.知能训练课本本节练习.解答:1.锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角;直角不属于任何一个象限，不属于任何一个象限的角不一定是直角;钝角是第二象限角，但是第二象限角不一定是钝角.点评:要深刻认识锐角、直角、钝角和象限角的区别与联系，并理解记忆.为弄清概念的本质属性，还可以再进一步启发设问:锐角一定小于90°吗?小于90°的角一定是锐角吗?钝角一定大于90°吗?大于90°的角一定是钝角吗?答案当然是:不一定.让学生展开讨论，在争论中，将对问题的认识进一步升华，并牢牢的记忆这些基础知识.2.三、三、五.点评:本题的目的是将终边相同的角的符号表示应用到其他周期性问题上.题目联系实际，把教科书中除数360换成每个星期的天数7，利用了“同余”来确定7k天后、7k天前也是星期三，这样的练习难度不大，可以口答.3.(1)第一象限角.(2)第四象限角.(3)第二象限角.(4)第三象限角.点评:能作出给定的角，并判断是第几象限的角.4.(1)305°42′，第四象限角.(2)35°8′，第一象限角.(3)249°30′，第三象限角.点评:能在给定的范围内找出与指定角终边相同的角，并判断是第几象限的角.5.(1){β｜β=1 303°8′+k·360°，k∈Z}，-496°42′，-136°42′，223°18′. (2){β｜β=-225°+k·360°，k∈Z}，-585°，-225°，135°.点评:用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定的范围内找出与指定的角的终边相同的角.课堂小结以提问的方式与学生一起回顾本节所学内容并简要总结:让学生自己回忆:本节课都学习了哪些新知识?你是怎样获得这些新知识的?你从本节课上都学到了哪些数学方法?让学生自己得到以下结论:本节课推广了角的概念，学习了正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法，零角是射线没有作任何旋转.一个角是第几象限的角，关键是看这个角的终边落在第几象限，终边相同的角的表示有两方面的内容:(1)与角α终边相同的角，这些角的集合为S={β｜β=k·360°+α，k∈Z};(2)在0°—360°内找与已知角终边相同的角α，其方法是用所给的角除以360°，所得的商为k，余数为α(α必须是正数)，α即为所找的角.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.作业①课本习题1.1 A组1、3、5.②预习下一节:弧度制.设计感想1.本节课设计的容量较大，学生的活动量也较大，若用信息技术辅助教学效果会很好.教师可充分利用多媒体做好课件，在课堂上演示给学生;有条件的学校，可以让学生利用计算机或计算器进行探究，让学生在动态中掌握知识、提炼方法.2.本节设计的指导思想是加强直观.利用几何直观有利于对抽象概念的理解.在学生得出象限角的概念后，可以充分让学生讨论在直角坐标系中研究角的好处.前瞻性地引导学生体会:在直角坐标系中角的“周而复始”的变化规律，为研究三角函数的周期性奠定基础.3.几点说明:(1)列举不在0°—360°的角时，应注意所有的角在同一个平面内，且终边在旋转的过程中，角的顶点不动.(2)在研究终边相同的两个角的关系时，k的正确取值是关键，应让学生独立思考领悟.(3)在写出终边相同的角的集合时，可根据具体问题，对相应的集合内容进行复习.。

1.1.1 任意角【课题】：任意角 【学情分析】：教学对象是高一的学生，首先通过实际问题（拨手表、体操中的转体、齿轮旋转等）引出角的概念的推广，引发学生的认知，然后用具体例子，将初中学过的过0360︒︒~之间的角的概念推广到任意角，在此基础上引出终边相同的角的集合.使学生可以在自己已有经验（生活经验、数学学习经验）的基础上，更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念。

【教学三维目标】： 一、知识与技能1、推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义；2、象限角的概念；3、终边相同的角的表示方法； 二、过程与方法1、理解并掌握正角、负角、零角的定义；2、掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法； 三、情感态度与价值观树立运动变化观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。

【教学重点】：理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 【教学难点】：终边相同的角的表示. 【课前准备】：几何画板课件。

【教学过程设计】： 教学环节 教学活动设计意图 一、课程引入教师提问：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？教师讲解：[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.创设问题情景，让学生在问题解决的过程中感知任意角.二、探究新知教师提问：1．过去我们是如何定义的？角的范围是什么？[展示投影] 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1-1-1，教师讲解：一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点. 角的范围是0360︒︒~。

云南省德宏州潞西市芒市中学2021高中数学 1.3 任意角的三角函数教学案教学案新人教A 版必修4一、教学目标（1）把握任意角的正弦、余弦、正切、概念； （2）学会利用三角函数的概念求函数值； （3）明白得三角函数是以实数为自变量的函数；（4）了解三角函数线的意义，会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦、正切 教学重点: 利用三角函数的概念求函数值教学难点: 会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦、正切 二、预习导学 （一）知识梳理1.任意角的正弦如何概念？2.如何利用三角函数的概念求函数值?4.三角函数线的意义是?你会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦、正切吗? （二）预习交流1：求角32π的六个三角函数值。

2：作出角32π的正弦线、余弦线、正切线三、问题引领，知识探讨问题1：关于确信的角α，这三个比值的大小和P 点在角α的终边上的位置是不是有关呢？ 练习内化1：已知角α的终边通过点 P(-2，-3)，求α的六个三角函数值． 问题2：假设将()23P --，改成()23(0)P a a a --≠，，如何求α的六个三角函数值呢？练习内化2：求以下各角的 六个三角函数值练习内化3：做出以下各角的正弦线、余弦线、正切线1. 已知角α的终边通过点()31P -，，求α的六个三角函数值．2.填表： 角度α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 270° 360° 角α的弧度sin αcos αtan α3．.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线（1）4π； （2）6π-；（3）34π-； （4）143π五、配 餐 作 业A 组题1. 已知角α的终边通过点()31P --，，求α的六个三角函数值．2. 已知角α的终边通过点()23(0)P a a a --≠，，求α的六个三角函数值． B 组题1．.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线2.以5cm 为单位长度作单位圆，别离作出225°，330°角的正弦线、余弦线、正切线，量出它们的长度，从而写出这些角的正弦值、余弦值、正切值。

云南省德宏州潞西市芒市中学2014高中数学 1.5 正弦、弦的诱导公式教学案新人教A版必修4一、、教学目标（1）理解正弦、余弦诱导公式的意义及推导方法；（2）掌握诱导公式并运用它进行三角函数式的求值、化简等相关问题。

教学重点: 理解并掌握同角三角函数的基本关系式教学难点: 会运用同角三角函数的基本关系解决求值二、预习导学（一）知识梳理1.你知道正弦、余弦诱导公式的意义及推导方法吗?请说出正弦、余弦诱导公式的推导过程？2.你能不能运用诱导公式进行三角函数式的求值、化简等相关问题?（二）预习交流1：求cos225°的值。

三、问题引领，知识探究问题1：90°到360°的角β能否与0°到90°的角α相联系？问题2：（1）锐角α的终边与180 °+α角的终边，位置关系如何？（2）任意角α与180 °+α呢？练习内化1：求下列三角函数值：（1）cos225°；（2）sin(1290)-；17(3)cos(24012')4sin().3π-︒-；（）练习内化2：化简：cos(180)sin(360) sin(180)cos(180)αααα+⋅+--⋅--四、目标检测1. 4cos()3π-的值为（ ）。

A. 12-B. 12C. 2.n 为整数，化简sin()cos()n n παπα++所得的结果为（ ）。

A. tan n αB.- tan n αC. tan αD.- tan α 3.已知4cos(),5πθθ+=-是第一象限角，则sin()πθ+和tan θ的值分别为（ ）。

A. 33,54-B. 33,54-C. 33,54--D. 34,53-- 4.已知3sin(),5παα+=是第四象限的角，则cos(2)απ-的值为 。

5.若13cos(),222ππααπ+=-<<，则sin(3)πα+= 。

是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．按照上述方法，在平面直角坐标系中，角的终边绕原点旋转360°后回到原来的位置．终边相同的角相差360°的整数倍．因此，所有与角α终边相同的角(连同角α在内)的集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
根据终边相同的角的概念，回答下列问题：
问题1已知集合S＝{θ|θ＝k·360°＋60°，k∈Z}，则－240°
S,300°S，－1 020°S.(用符号：∈或∉填空)．
问题2集合S＝{α|α＝k·360°－30°，k∈Z}表示与角终边
相同的角，其中最小的正角是.
问题3已知集合S＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}，则角α的终
边落在上．
探究点三象限角与终边落在坐标轴上的角
问题1写出终边落在x轴上的角的集合S.
答S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{α|α＝n·180°，n∈Z}．。