二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程

二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程
胡圣团
【期刊名称】《《中等数学》》
【年(卷),期】2009(000)008
【摘要】1 知识简介记G（x,y）=Ax^2＋Bxy＋Cy^2＋Dx＋Ey＋F.1.1
【总页数】6页(P7-12)
【作者】胡圣团
【作者单位】湖南省澧县一中 415500
【正文语种】中文
【中图分类】O182.1
【相关文献】
1.过二次曲线上点P（xo，yo）的切线方程的统一形式 [J], 熊绍英;杨富利
2.圆的切线方程与切点弦方程关系探究 [J], 杨福海
3.一点定直线形同意不同--对二次曲线切线和切点弦所在直线方程的推广与研究[J], 汪志强
4.探讨二次曲线定点弦与切点弦的相关性 [J], 袁利江
5.二次曲线中点弦方程和弦中点的轨迹方程 [J], 彭京鹏;
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二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程
作者：胡圣团， HU Sheng-tuan
作者单位：湖南省澧县一中,415500
刊名：
中等数学
英文刊名：HIGH-SCHOOL MATHEMATICS
年，卷(期)：2009(8)
被引用次数：1次
1.徐敏亚.徐卫祥对一道复习题的思考——略谈二次曲线的中点弦问题[期刊论文]-中学数学月刊2009(8)
2.关忠二次曲线中点弦方程的求法及其应用[期刊论文]-中学数学研究2006(11)
3.邱家富二次曲线存在中点弦的一个充要条件[期刊论文]-中学数学杂志（高中版）2008(4)
4.李宏凌中点弦公式及其应用[期刊论文]-考试周刊2007(18)
5.孙志祥关于二次曲线的中点弦问题的探究[期刊论文]-河北理科教学研究2005(4)
6.张志强圆锥曲线的中点弦方程及应用[期刊论文]-数学教学研究2001(8)
7.周华生.Zhou Hua-Sheng二次曲线中点弦理论的简化和推广[期刊论文]-河北理科教学研究2006(2)
8.圆锥曲线中点弦方程的求法及应用[期刊论文]-中学数学研究2002(11)
9.梁鹤成"点差法"巧解弦中点问题[期刊论文]-中学生数理化（高二版）2008(11)
10.郝宝铭中点弦问题的解法探究[期刊论文]-中学数学月刊2007(4)
1.薛志坚从切线方程看高师解析几何对中学数学的指导作用[期刊论文]-数学教学研究 2011(04)
引用本文格式：胡圣团.HU Sheng-tuan二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程[期刊论文]-中等数学2009(8)。

§5.3 二次曲线的切线一、概念1. 定义1：如果直线与二次曲线交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这个重合的交点叫做切点；如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每一个点都可以看作切点.2.定义2：二次曲线F(x, y)=0上满足条件F1(x0, y0)=F2(x0, y0)=0的点(x0, y0)叫做二次曲线的奇异点，简称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点. 奇点是中心，但中心不一定是奇点.注：(1) 二次曲线有奇点的充要条件是I3= 0，(2) 二次曲线的奇点一定是二次曲线的中心，但反之不然.二、切线求法1.已知切点求切线：设点(x0, y0)是二次曲线F(x, y)=0上的点, 则通过点(x0, y0)的直线方程总可以写成那么此直线成为二次曲线切线的条件，当Φ(X, Y)≠0时∆=[F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y]2-Φ(X, Y)⋅F(x0, y0)=0.因为点 (x0, y0) 在二次曲线上，所以F(x0, y0)=0；因而上式可化为F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y=0.当Φ(X, Y)= 0时除了F(x0, y0)=0外，唯一的条件仍然是F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y=0.(1)如果点(x0, y0)是二次曲线F (x, y)=0的正常点：那么由以上条件得X:Y = F2(x0, y0)：(-F1(x0, y0))，因此切线方程为或写成，或 (x-x0)F1(x0, y0)+(y-y0)F2(x0, y0)=0，其中 (x0, y0) 是它的切点；(2)如果点 (x0, y0) 是二次曲线F (x, y)=0的奇异点，即F1(x0, y0)=F2(x0, y0)=0，则切线方向X:Y不能唯一地被确定，从而通过点 (x0, y0)的切线不确定,这时通过点 (x0, y0) 的任何直线都和二次曲线F (x, y)=0相交于相互重合的两点，我们把这样的直线也看成是二次曲线的切线.这样我们就得到定理1：如果点(x0, y0) 是二次曲线F (x, y)= 0的正常点，则通过点(x0, y0)的切线方程是 (x-x0)F1(x0, y0)+(y-y0)F2(x0, y0)=0，(x0, y0)是它的切点.如果点 (x0, y0) 是二次曲线F (x, y)=0的奇异点，则通过点 (x0, y0) 的每一条直线都是二次曲线F (x, y)=0的切线.推论：如果点 (x0, y0) 是二次曲线F (x, y) = 0的正常点，则通过点 (x0, y0) 的切线方程是a11x0x + a12(x0y+xy0)+a22y0y+a13(x+x0)＋a23(y+y0)+a33=0.证明：过点(x0, y0) 的切线方程可改写成xF1(x0, y0)+yF2(x0, y0)-[x0F1(x0, y0)+y0F2(x0, y0)]=0,那么xF1(x0, y0)+yF2(x0, y0)+ F3(x0, y0)-[x0F1(x0, y0)+y0F2(x0, y0)+ F3(x0, y0)]=0,则有xF1(x0, y0)+yF2(x0, y0)+ F3(x0, y0)=0,即 x(a11x + a12y+a13)+y(a12x + a22y+a23)+( a13x + a23y+a33)=0,从而得a11x0x + a12(x0y+xy0)+a22y0y+a13(x+x0)＋a23(y+y0)+a33=0.2.已知二次曲线外一点，求过此点的切线：设点(x0 , y0)不是二次曲线上的点，即F(x0 , y0)≠0, 则过点(x0 , y0)的直线方程为此直线成为二次曲线上切线唯一条件是Φ(X, Y)≠0且∆=[F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y]2-Φ(X, Y)⋅F(x0, y0)=0.由此解出X:Y，从而得(两条)切线的方程.例1. 求以下二次曲线在所给点或通过所给点的切线方程.（1）曲线3x2+4xy+5y2-7x-8y-3=0, 在点 (2, 1)；（2）曲线x2+xy+y2＋x＋4y+3=0, 经过点 (-2, -1).解：（1）F (x, y)= 3x2+4xy+5y2-7x-8y-3, F1(x, y)=3x+2y-, F2(x, y)=2x+5y-4,因为 F (2, 1)=12+8+5-14-8-3+=0，且F1(2, 1)=≠0, F2(2, 1)=5≠0,所以点(2, 1)是二次曲线上的正常点.因此切线方程为(x-2)+5(y-1)=0，化简得 9x+10y-28=0.（2）F (x, y)= x2+xy+y2+x+4y+3, F1(x, y)=x+, F2(x, y)=, 因为F(-2, -1)=4≠0, 所以点 (-2, -1) 不在曲线上，而F1(-2, -1)= -2, F2(-2, -1)=0,设所求切线方程为，由 (-2X)2-4(X2+XY+Y2)=0 得X1:Y1=-1:1, X2:Y2=1:0,所以两条切线方程为与，即x+y+3=0 与y+1=0.例3. 已知曲线x2+4xy+3y2-5x-6y+3=0的切线平行于x+4y=0，求切线方程和切点坐标.解：设切点为(x0, y0)，则切线方程为x0x+2(x0y+xy0)+3y0y-(x+x0)-3(y+y0)+3=0,即 (x0+2y0-)x+(2x0+3y0-3)y-x0-3y0+3=0,由已知条件有即 4(x0+2y0-)=2x0+3y0-3,或 2x0+5y0-7=0, ①又切点在曲线上，从而+4x0y0+3-5x0-6y0+3=0, ②由①, ②解得切点为 (1, 1)，(-4, 3), 故所求切线方程为x+4y-5=0 和x+4y-8=0.例4. 试求经过原点且切直线4x+3y+2=0于点 (1,-2) 及切直线x-y-1=0于点 (0, -1) 的二次曲线方程.解：因为二次曲线过原点 (0, 0)，所以设二次曲线为a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y=0,切线方程为 (x-x0)F1(x0, y0)+(y-y0)F2(x0, y0)=0,还可写为F1(x0, y0)x+F2(x0, y0)y+F3(x0, y0)=0.从而过点 (1, -2) 及 (0, -1) 的切线分别为(a11-2a12+a13)x+(a12-2a22+a23)y+a13-2a23=0,(-a12+a13)x+(-a22+a23)y-a23=0,由题设它们应分别为4x+3y+2=0及x-y-1=0，故有,解得λ: μ = 1: -,从而a11=6, a12 = , a22 = -1, a13= 1, a23= -,故所求二次曲线为6x2+3xy-y2+2x-y=0.作业题：1. 求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程.(1) 曲线 5x2+7xy+y2-x+2y=0 在原点；(2) 曲线 5x2+6xy+5y2=8经过点 (0, 2).2. 已知曲线x2+xy+y2=3 的切线平行于x轴，求切线方程和切点坐标.。

二次曲线的切线方程及应用[摘要] 本文主要利用隐函数求导的方法推导常见二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）上某点处的切线方程，并得出一般二次曲线的切线方程及切点弦方程，再将相应结论进行应用。

[关键词] 二次曲线切线方程切点弦方程有关二次曲线的切线方程及其应用问题，近年来在各类考试中出现的频率颇高，为更好地解决此专题的问题，笔者将常见二次曲线的切线方程及切点弦方程的有关结论及推导过程整理一遍，并简述其应用，以供广大教师及学生参考．1几个常见结论及推导1．在圆上一点处的切线方程为：．（注：为与求其它二次曲线的切线方程所用方法一致，这里利用涉及隐函数求导的方法来推导．）将圆的方程中的y视为关于x的函数（即y是x的隐函数），那么就可以在上式两边分别对x求导数．隐函数求导法则，实际与复合函数求导法则一致，将y看作中间变量，外函数是，内函数为，故．于是有：在两边分别对x求导，得，若，则有．由导数的几何意义知，曲线上某点处切线的斜率是该点的导数值．故对于圆上点，若，则有，此即为在点M处切线的斜率，故所求切线方程为．又，① 为所求．若，由图象可知，此时所求切线方程为：或．又，故所求切线方程为：或．也满足①式．故在圆上一点处的切线方程可统一写为：．2．在椭圆上一点处的切线方程为：．推导过程如下：在两边分别对x求导得：，对于点，若，则有，此即为在点M处切线的斜率．故所求切线方程为，又，故②为所求．若，此时所求切线方程为：或，也满足②式．故在椭圆上一点处的切线方程为：．3．在双曲线上一点处的切线方程为：③．注：推导过程与结论1和结论2的推导过程类似，可让学生动手推导，体会其中的思想．4．在抛物线上一点处的切线方程为：．在两边对x求导，得．对于点，若，则有，此即为在点M处的切线的斜率．故所求切线方程为，即，又在抛物线上，故，因此所求切线方程为：④．若，此时所求切线方程为：也满足④式．故在抛物线上一点处的切线方程为：．结论4的切线方程形式与前3个结论有些不同，引导学生从抛物线的方程的形式观察，得到结论：抛物线的切线方程实际上可写为，进而得到一般性的结论5．将以上四个结论推广，可得到以下结论：5．设是二次曲线上一点，则此曲线在点M处的切线方程为：⑤．注：二次曲线的方程中不含项．此结论推导过程可仿照上述结论的推导过程来完成，这里不再赘述．从结论5出发，进一步思考，若点在二次曲线外，则过点M可作曲线的两条切线，设切点分别为，那么由切点在曲线上及结论5可知，曲线在点A处的切线方程为，曲线在点B处的切线方程为，因点在切线上，故⑥，同理，⑦，综合⑥⑦得，点，的坐标都满足方程．因为经过点的直线是唯一的，故过点A,B的直线方程为：．由此，我们可以得到另一个结论：6．设是二次曲线外一点，则过点M可作曲线的两条切线，设切点分别为，则直线AB的方程（即切点弦方程）为：．由结论6，将曲线方程特殊化为高中常见的二次曲线方程，即可得到关于圆、椭圆、双曲线和抛物线的切点弦方程的相应结论．2应用有关切线方程及切点弦方程的考题，近几年均是热点，比如广州市2013届普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）（简称“广州市一模”）第20题，2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科/理科）第20题，2014年清华等七校自主招生考试（简称“华约卷”）第5题等．2013年广东高考的解析几何题虽和当年广州市一模的解析几何题有较大相似度，但考试结果仍不理想，文[1]指出，2013年的解析几何题“不仅加大了计算量，而且对计算的技巧性的要求大大增强，与压轴题的难度接近（第20题得分2.85分，第21题得分2.13）．”因此，有必要对切线方程及切点弦方程这一专题内容做一个梳理．现将2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学第20题展示如下：已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线 :的距离为 .设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线 ,其中为切点.(Ⅰ) 求抛物线的方程；(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程；(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.略解：(Ⅰ)易得所求抛物线方程是：．(Ⅱ)利用第1部分的结论6，即得所求直线的方程（即切点弦方程）为：，即．（注：高考需将结论6的过程在答卷上推演一遍，因其不是高中课本内的结论.第(Ⅲ)小题解答略．）从此题的解答看，熟知第1部分的几个结论虽可立即得正解，但在高考题的作答中仍要将推导过程再演算一遍，似乎不太便捷，这是因为此题直接考查结论（求切点弦方程），若考查的是利用切点弦方程再求其它问题，那熟知结论的优越性立刻体现．请看2014年华约卷第5题：过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，设直线与轴、轴分别交于点，求的面积的最小值．解析：法一：设，由结论6知，直线的方程为：，，，故的面积．又点在椭圆上，故．由基本不等式得：，即（当且仅当时，等号成立），．，即的面积的最小值为．法二：（利用椭圆的参数方程求解）因点在椭圆上，故可设，由结论6知，直线的方程为：，故，的面积（当且仅当，即或时，等号成立），故的面积最小值为．解法一与解法二虽具体利用的知识不同，但其求解思路是一致的，关键的一步在于写出直线PQ的方程，而在自主招生或竞赛类考试中，直接写出二次曲线的切线方程或切点弦方程是允许的．因此，教师可将有关二次曲线的切线方程及切点弦方程问题形成一个小专题，根据学生水平及实际需要，适当讲解以上结论作为拓展，为学生获得更佳成绩打好基础．3小结由于高中阶段没有涉及到隐函数求导的内容，因此高考题在考纲范围内只能考查形如的抛物线的切点弦方程，对于一般水平的学生，教师只需讲透高中常见的解法即可．而第1部分的结论是常见二次曲线的有关切线方程和切点弦方程的结论，结论5、结论6将常见二次曲线的切线方程、切点弦方程统一起来，得到一般二次曲线的切线方程、切点弦方程．实践表明，对于能力较强的学生，是可以理解第1部分的几个结论的推导，并且利用这些结论对于他们应对自主招生或竞赛类考试有一定的帮助．参考文献[1] 彭建开.于平凡处见“真功夫”——2013年高考广东理科试题第20题解析[J].广东教育(高中版), 2013(7·8): 59-60．。

高中数学备课教案二次曲线的参数方程与切线高中数学备课教案：二次曲线的参数方程与切线一、引言二次曲线是高中数学中重要的内容，掌握二次曲线的参数方程及其与切线的关系对于解题和理解曲线的性质具有重要意义。

本教案将详细介绍二次曲线的参数方程的推导过程以及如何求解与二次曲线相切的切线方程。

二、二次曲线的参数方程二次曲线的一般方程为：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E、F为常数。

为了方便研究二次曲线的性质，可以使用参数方程来表示二次曲线。

1. 推导过程设二次曲线上的任意一点为P(x, y)，则有：x = αt² + βt + γy = δt² + εt + ζ其中α、β、γ、δ、ε、ζ为待定参数，t为一个实数。

将x和y的表达式代入二次曲线的一般方程，得到：A(αt² + βt + γ)² + B(αt² + βt + γ)(δt² + εt + ζ) + C(δt² + εt + ζ)² + D(αt² + βt + γ) + E(δt² + εt + ζ) + F = 0整理后可得：(α²A + Bδα)t⁴ + (2αβA +B(εα + δβ) + 2Cδε)t³ + (2αγA + B(εβ + ζα +δγ) + 2C(δζ + εγ) + Dα + Eδ)t²+ (2βγA + B(ζβ + εγ) + Cζ² + Dβ + Eε)t + (γ²A + Cε² + 2ζγC + Dγ + Eζ+ F) = 0由于上述方程的每一项都是t的多项式，所以该方程为t的一个参数方程。

2. 参数方程的使用二次曲线的参数方程可以通过求解方程组得到参数α、β、γ、δ、ε、ζ的具体值。

(完整版)二次曲线知识点归纳总结一、二次曲线的定义与特点二次曲线是由二次项和一次项组成的方程，通常具有以下特点：- 方程的最高次数为2；- 方程的二次项系数不为0；- 方程在坐标系中的图像可以表示为一条弯曲的曲线。

二、二次曲线的标准方程二次曲线的标准方程为：$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F =0$，其中$A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$为常数。

根据方程中$B^2 - 4AC$ 的取值，可以将二次曲线分为三种情况：1. 当 $B^2 - 4AC > 0$ 时，二次曲线为椭圆；2. 当 $B^2 - 4AC = 0$ 时，二次曲线为抛物线；3. 当 $B^2 - 4AC < 0$ 时，二次曲线为双曲线。

三、二次曲线的图像与性质1. 椭圆：常见于求解平面几何问题，具有两个对称轴和中心点，对称轴互相垂直，以中心点为焦点的椭圆正好满足椭圆方程的定义。

2. 抛物线：常见于物体抛射运动的描述，具有一个对称轴和一个顶点，对称轴垂直于抛物线的轨迹，抛物线方程的开口方向和参数决定了抛物线的形状。

3. 双曲线：常见于电磁波传播、双曲线函数的图像等领域，具有两个对称轴和两个焦点，对称轴互相垂直，以两个焦点为焦点的双曲线正好满足双曲线方程的定义。

四、二次曲线的应用1. 数学领域：- 二次曲线是数学分析和几何学的基础，广泛应用于数学定理的证明和推导。

- 抛物线的研究在牛顿力学、光学和电磁学等领域有重要意义。

- 双曲线在微分方程、概率论和复变函数等数学领域发挥重要作用。

2. 物理领域：- 二次曲线在物体运动、力学系统和信号处理等问题中有着广泛的应用。

- 抛物线的轨迹描述了物体在重力作用下的运动规律，是研究机械能转化和守恒的重要工具。

- 双曲线函数可以描述电磁波的传播特性，对于无线通信、光学和电路设计等有重要影响。

3. 工程领域：- 二次曲线在建筑设计中用于确定弧形建筑物的结构参数。

二次曲线的切线问题洪江摘要：本文针对历年来的二次曲线的切线这个高考热点问题进行探讨。

其中主要介绍椭圆、双曲线、抛物线这三种二次曲线。

文中概述了切点在曲线上和曲线外时切线的求法，并以高考题目作为例子进行论述。

随后本文还讨论了切点所带来的切点弦问题、切点弦方程的求法及应用的关键。

最后还提出和总结了几种二次曲线中与切线相关的小性质，并且说明了其来源。

关键词：二次曲线；椭圆；双曲线；抛物线；切线；切点弦；性质An Study on Tangent Lines of ConicHongjiangAbstract: This study intends to discuss tangent lines of conic which has been a hot topic in National College Entrance Examination since these years. Firstly, it mainly exam Three parts of conic—Ellipse, Hyperbola, Parabola. This study summarizes ways to get tangent pains either on the curve or out of it and it also uses questions from NCEE to support it. Secondly, in this study, we discuss chord of contact which follows the tangent point, methods to work out equation of the cut point and how to use well. Finally, it also finds and summarizes some qualities of conic and shows their origins.Key words: Conic, Ellipse, Hyperbola, Parabola, Tangent, Quality二次曲线在高考中占着很重要的地位，往往是作为压轴题出场，特别是近年来其切线问题的应用的综合性问题更是一个热点。

双曲线中点弦问题是指给定一个双曲线，求通过该双曲线的弦的中点的坐标。

双曲线是二次曲线的一种，它的定义方程为：
((x-h)^2/a^2) - ((y-k)^2/b^2) = 1
其中，(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。

要解决这个问题，我们可以先找到双曲线上的两个点，然后求出它们的中点坐标。

首先，找到双曲线上的两个点。

可以将双曲线方程改写成y的形式：
y = k ± (b/a) * sqrt((x-h)^2/a^2 - 1)
然后选择一个x坐标值，代入方程中，求出对应的y坐标值。

这样就得到了两个点的坐标。

接下来，求出这两个点的中点坐标。

中点坐标的x坐标可以通过将两个点的x坐标相加再除以2得到，y坐标可以通过将两个点的y坐标相加再除以2得到。

这样就得到了弦的中点坐标。

需要注意的是，双曲线方程可能有多个解，因此可能存在多个弦的中点。

二次曲线切点弦方程二次曲线和直线的切点是指直线与二次曲线在某一点上相切的现象。

直线与二次曲线在切点处有相同的斜率，也就是说它们在这一点上有相同的切线。

切点的存在与否取决于直线与二次曲线的位置和方向。

要求二次曲线和直线的切点的弦方程，首先要确定二次曲线和直线的方程，然后找到它们的切点坐标，最后建立切点的弦方程。

下面我将详细介绍如何求解二次曲线和直线的切点弦方程。

1. 求二次曲线和直线的方程假设给定的二次曲线方程为$y=ax^2+bx+c$，直线方程为$y=mx+n$。

我们首先要找到二次曲线和直线的交点坐标，即联立这两个方程求解$x$和$y$的值。

将直线方程代入二次曲线方程，得到：$ax^2+bx+c=mx+n$移项整理得到：$ax^2+ (b-m)x +(c-n)=0$这是一个二次方程，求解得到$x$的两个解，即二次曲线和直线的交点的横坐标。

将$x$的值代入直线方程或二次曲线方程，即可得到对应的纵坐标。

2. 计算切点的坐标找到二次曲线和直线的交点坐标后，我们需要进一步计算这个交点处的切点坐标。

切点是指直线与二次曲线在该点上相切的点，也就是说它们在这一点上有相同的切线。

切线的斜率是直线和曲线在切点处的斜率，我们可以通过导数的方法来求解。

求二次曲线$y=ax^2+bx+c$的导数得到$y'=2ax+b$，直线$y=mx+n$的斜率为$m$。

因为在切点处切线的斜率应该相等，所以我们有：$2ax+b=m$将切点坐标代入上式，可以解出切线的斜率。

然后代入切点坐标和切线斜率，求解出切点的坐标。

3. 建立切点的弦方程求解出切点的坐标后，我们可以建立切点的弦方程。

弦是连接两个点的直线，我们可以利用两点式来建立弦方程。

设切点坐标为$(x_1,y_1)$，且经过另一个点$(x_2,y_2)$，则弦方程为：$\frac{y-y_1}{x-x_1} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$将切点坐标和另一个点的坐标代入上式，即可得到切点的弦方程。