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14《运筹学》(第四版)动态规划基本概念

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动态规划(运筹学)

动态规划(运筹学)

k阶段的允许决策集合
四、状态转移方程 sk+1与sk,xk之间必须能够建立一种明确的数量对应关系，记为
Tk(sk,xk), 即有 sk+1 = Tk(sk,xk)
这种明确的数量关系称为状态转移方程。
五、策略
由各阶段决策xk构成的决策序列,称为全过程策略,简称策略,记为
p1(s1),有
p1(s1) = { x1(s1),x2(s2),… ,xn(sn)} ∈P1
xk∈Xk
f*n+1(sn+1) = 1 积 f*k(sk)xk=∈Xok pt {vk(sk,xk) ×fk+1*(sk+1)}
k = n, n-1, …, 2, 1 k = n, n-1, …, 2, 1
11
三、基本步骤
1°建立模型
(1) 划分阶段，设定 k (2) 设定状态变量 sk
(3) 设定决策变量 xk
3） 阶段指标函数。第k阶段装载 件货物时所创的利润 。 vk xk
4） 函数的基本方程为
fk
sk
opt
xk Dk sk
vk xk fk1 sk wk xk k 1, 2,3
sk 0,1, ,6
f4
s4
0
k=3时
w3 4, v3 18
s3 0,1, , 6
x3
0,1,
六、运输时间须控制在合理范围之内（如集装箱干线船的班期）。
ZH物流公司是一家大型的集装箱多式联运经营企业，在成都设有内 陆集装箱货运站（CFS），经营成都——上海间集装箱货物运输服务，其多式 联运通道的主要节点城市为南京与郑州。现有一个货主需要将2个20英尺的集装 箱从成都运往上海，运输路线为成都-郑州-南京-上海，要求在货物起运后2530小时之内到达目的地。

14《运筹学》(第四版)动态规划基本概念

14《运筹学》(第四版)动态规划基本概念
(0) (1)确定允许误差 ε1 0 ε 2 0，选初始近似点 X R，并令 k: 0
(2)确定起作用约束指标集
J ( X ( k ) ) j g j ( X ( k ) ) 0,1 j l
①若 J ( X
(k )
2


X (k )
(k ) ) ，而且 f ( X ) ε1 ，停止迭代，得点
第三章 动态规划(Dynamic Programming)
主讲人：莫 莉
moli@
2015 年 6 月
水电与数字化工程学院 莫 莉
前节回顾
温
罚函数法
故
加入时间维度
知
引例
新
可行方向法
动态规划基本概念
离散动态规划
水电与数字化工程学院
莫 莉
前节回顾
可行方向法的迭代步骤如下：
②若 J ( X
(k )
(k ) ) ，但 f ( X ) ε1 ，则取搜索方向
2
D( k ) f ( X ( k ) ) ，然后转向第(5)步。
③若J ( X ( k ) ) ，转下一步。
水电与数字化工程学院
莫 莉
前节回顾
(3) 求解线性规划
min (k ) T f ( X ) D (k ) T (k ) g ( X ) D , j J ( X ) j 1 di 1, i 1, 2, ,n
水电与数字化工中障碍函数的构造

仿照外点法，通过函数叠加的办法来改造原目标函数，使得改 造后的目标函数(称为障碍函数)具有这种性质：在可行域R的 内部与其边界面较远的地方，障碍函数与原来的目标函数f(X)

管理运筹学第5章动态规划

管理运筹学第5章动态规划
递推关系的建立
根据阶段划分、状态转移方程和最优解的性质，建立递推关系。
递推关系的求解
通过递推关系求解各阶段的最优解，最终得到整个问题的最优解。
03
动态规划的求解方法
逆推法
总结词
逆推法是从目标状态出发，逆向推算出达到目标状态的最优决策，逐步推算出初始状态的最优决策。
详细描述
逆推法的基本思想是将问题分解为若干个相互联系的阶段，从最后阶段开始，依次向前推算出每个阶 段的最优决策，直到达到初始状态。这种方法适用于具有重叠子问题和最优子结构的问题，可以避免 重复计算，提高求解效率。
详细描述
资源分配问题通常需要考虑资源的约束条件、 各部门或个体的需求和优先级，以及如何平 衡各方利益。动态规划通过将问题分解为一 系列子问题，逐一求解最优解，最终得到整 体最优解。
生产与存储问题
总结词
生产与存储问题主要研究在生产过程 中如何平衡生产与库存的关系，以最 小化生产成本和库存成本。
详细描述
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最优子结构特性的问题，通过将原问题分解 为子问题，逐个求解并存储子问题的解，避免了重复计算，提高了求解效率。
动态规划的重要性
解决复杂问题
动态规划能够解决一些复杂的问题，如资源分配、生产计 划、物流调度等，这些问题通常难以通过传统方法求解。
提高计算效率
通过避免重复计算，动态规划能够显著提高计算效率，尤 其在处理大规模问题时，能够大大减少计算时间和资源消 耗。
05
动态规划的优化策略
多阶段决策优化
01
02
03
阶段划分
将问题划分为若干个相互 关联的阶段，每个阶段都 有自己的决策变量和状态 转移方程。
状态转移

运筹学课件 第六章 动态规划

运筹学课件 第六章 动态规划

求解规划问题可从最终阶段逐步推至最初阶段或从 最初阶段逐步推至最终阶段，我们称前者为逆序解 法，称后者为顺序解法。
动态规划的基本方程（逆序法）：
fk (sk) = opt { wk(sk,uk )⊙ f k+1(sk+1) }
fn+1(sn+1) = φ(sn+1) f k ( sk) — 从第k阶段状态sk到终点的最优效益值
fk (sk+1)=max { vk(xk ) + f k-1(sk) }
f0(x1)=0
0
0
0
0
0
17 14
1
0
3
14
4
01
5
15
01
8
12
7
11
4
8
5
0 10 2 0
20
29
4
4
7
13
7
5
11
8
6
16 3 0
4
30
5
3
0 18
40
40
4
连续型动态规划问题的求解
例:某公司有资金10万元，若投资于项目i的投资额 为xi（i = 1 , 2 , 3)时，其收益分别为 g 1(x1)=2 x12, g 2 ( x 2 ) = 9 x2 , g 3 ( x 3 ) = 4 x3, 问应如何分配投资
第六章 动态规划
6.1 引言 6.2 最优化原理及基本概念 6.3 应用举例
例 6.1
多阶段决策过程最优化
多阶段决策过程，是指一类特殊的过程，它们可以按 时间顺序分解成若干个相互联系的阶段，称为“时段”， 在每个时段都要做决策，全部过程的决策是一个决策序列。 多阶段决策问题也称为序贯决策问题。

运筹学——动态规划

运筹学——动态规划

优子策略。该原理的具体解释是，若某一全过程
最优策略为：
p1
(s1 )
{u1
(s1 ),
u 2
(s2
),
,
u
k
(sk
),
u
n
(sn
)}
则对上述策略中所隐含的任一状态而言，
第k子过程上对应于该状态的最优策略必然包
含在上述全过程最优策略p1*中，即为
pk
(sk
)
{u
k
(sk
),
u
k 1
(sk
1
),
2．正确地定义状态变量sk，使它既能正确地描述过 程的状态，又能满足无后效性．动态规划中的状 态与一般控制系统中和通常所说的状态的概念是 有所不同的，动态规划中的状态变量必须具备以 下三个特征：
20
2021/7/26
(1)要能够正确地描述受控过程的变化特征。 (2)要满足无后效性。即如果在某个阶段状态已经给定，那么在
sk 1 Tk (sk ,uk (sk ))
上式称为多阶段决策过程的状态转移方程。有些问题的 状态转移方程不一定存在数学表达式，但是它们的状态 转移，还是有一定规律可循的。
12
2021/7/26
(六) 指标函数 用来衡量策略或子策略或决策的效果的某种数量
指标，就称为指标函数。它是定义在全过程或各 子过程或各阶段上的确定数量函数。对不同问题 ，指标函数可以是诸如费用、成本、产值、利润 、产量、耗量、距离、时间、效用，等等。
7
2021/7/26
（二）状态、状态变量和可能状态集 1.状态与状态变量。用以描述事物(或系统)在某特 定的时间与空间域中所处位置及运动特征的量，称 为状态。反映状态变化的量叫做状态变量。状态变 量必须包含在给定的阶段上确定全部允许决策所需 要的信息。按照过程进行的先后，每个阶段的状态 可分为初始状态和终止状态，或称输入状态和输出 状态，阶段k的初始状态记作sk，终止状态记为sk+1 。但为了清楚起见，通常定义阶段的状态即指其初 始状态。

运筹学教案动态规划

运筹学教案动态规划

运筹学教案动态规划一、引言1.1 课程背景本课程旨在帮助学生掌握运筹学中的动态规划方法，培养学生解决实际问题的能力。

1.2 课程目标通过本课程的学习，学生将能够：（1）理解动态规划的基本概念和原理；（2）掌握动态规划解决问题的方法和步骤；（3）能够应用动态规划解决实际问题。

二、动态规划基本概念2.1 定义动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种求解最优化问题的方法，它将复杂问题分解为简单子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。

2.2 特点（1）最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解；（2）重叠子问题：问题中含有重复子问题；（3）无后效性：一旦某个给定子问题的解确定了，就不会再改变；（4）子问题划分：问题可以分解为若干个子问题，且子问题之间是相互独立的。

三、动态规划解决问题步骤3.1 定义状态状态是指某一阶段问题的一个描述，可以用一组变量来表示。

3.2 建立状态转移方程状态转移方程是描述从一个状态到另一个状态的转换关系。

3.3 确定边界条件边界条件是指初始状态和最终状态的取值。

3.4 求解最优解根据状态转移方程和边界条件，求解最优解。

四、动态规划应用实例4.1 0-1背包问题问题描述：给定n个物品，每个物品有一个重量和一个价值，背包的最大容量为W，如何选择装入背包的物品，使得背包内物品的总价值最大。

4.2 最长公共子序列问题描述：给定两个序列，求它们的最长公共子序列。

4.3 最短路径问题问题描述：给定一个加权无向图，求从源点到其他各顶点的最短路径。

5.1 动态规划的基本概念和原理5.2 动态规划解决问题的步骤5.3 动态规划在实际问题中的应用教学方法：本课程采用讲授、案例分析、上机实践相结合的教学方法，帮助学生深入理解和掌握动态规划方法。

教学评估：课程结束后，通过课堂讨论、上机考试等方式对学生的学习情况进行评估。

六、动态规划算法设计6.1 动态规划算法框架介绍动态规划算法的基本框架，包括状态定义、状态转移方程、边界条件、计算顺序等。

运筹学教材课件(第四章动态规划)

运筹学教材课件(第四章动态规划)

最优解的存在性
对于多阶段决策问题，如果每个 阶段的决策空间是有限的，则存 在最优解。
最优解的唯一性
对于某些多阶段决策问题，可能 存在多个最优解。在这种情况下， 我们需要进一步分析问题的性质 和约束条件，以确定最优解的个 数和性质。
最优解的稳定性
在某些情况下，最优解可能受到 参数变化的影响。我们需要分析 最优解的稳定性，以确保最优解 在参数变化时仍然保持最优。
VS
详细描述
排序问题可以分为多种类型，如冒泡排序 、快速排序、归并排序等。动态规划可以 通过将问题分解为子问题，逐一求解最优 解，最终得到全局最优解。在排序问题中 ，动态规划可以应用于求解最小化总成本 、最大化总效益等问题。
04
动态规划的求解方法
逆推法
逆推法
从问题的目标状态出发，逆向推算出达到目标状态的 最优决策，直到达到初始状态为止。
案例二：投资组合优化问题
要点一
总结词
要点二
详细描述
投资组合优化问题是动态规划在金融领域的重要应用，通 过合理配置资产，降低投资风险并提高投资收益。
投资组合优化问题需要考虑市场走势、资产特性、风险偏 好等多种因素，通过动态规划的方法，可以确定最优的投 资组合，使得投资者在风险可控的前提下，实现收益最大 化。
详细描述
在背包问题中，给定一组物品，每个物品都有一定的重量和价值，要求在不超过背包容量的限制下， 选择总价值最大的物品组合。通过动态规划的方法，可以将背包问题分解为一系列子问题，逐一求解 最优解。
排序问题
总结词
排序问题是动态规划应用的另一个重要 领域，主要涉及到将一组元素按照一定 的顺序排列，以达到最优的目标。
本最小化和效率最大化。
感谢您的观看

运筹学课件第七章_动态规划

运筹学课件第七章_动态规划
略称为最优策略。
全过程策略：U1(S1), U2(S2),…, Un(Sn) P1n={Ui(Si)}, i=1,…,n
子过程策略：Uk(Sk), Uk+1(Sk+1),…, Un(Sn) Pkn={Ui(Si)}, i=k,…,n
6、阶段指标：Vk(Sk, Uk),k阶段，Sk状态下，作出Uk决 策带来的效果。在不同的问题中，指标的含义是不同的，它
运筹学
练习： 求从A到E的最短路径
2
12
B1
10
14
C1 3
9
D1 5
A
5
B2 6 10
1
4
13
6
C2
5
8
E
2
D2
B3
12 11
C3 10
路线为A→B2→C1 →D1 →E ，最短路径为19
2019/10/11
运筹学
二、资源分配问题 1、一维资源分配运筹学源自 二、动态规划的基本思想和基本方程
1、Bellman最优性定理
一个过程的最优策略具有这样的性质：即无论初始状 态及初始决策如何，对于先前决策所形成的状态而言， 其以后所有的决策应构成最优策略。
换句话说，最优策略只能由最优子策略构成。
2、思想方法：在求解过程中，各阶段的状态和决策， 对其后面的阶段来说，只影响其初始状态，而不影响 后面的最优策略。——无后效性
根据k 阶段状态变量和决策变量，写出k+1阶段状 态变量，状态转移方程应当具有递推关系。
5、确定阶段指标函数和最优指标函数，建立动态规 划基本方程
阶段指标函数是指第k 阶段的收益，最优指标函 数是指从第k 阶段状态出发到第n 阶段末所获得收益的
最优值，最后写出动态规划基本方程。

运筹学04动态规划1

运筹学04动态规划1
S3
0 1 2
f3(S 3)
d
*
3
S3
3 4 5
f3(S 3)
d
*
3
0 4 7
0 1 2
9 10 11
3 4 5
店 数 0 1 2
2
区 1 0 3 7 2 0 5 10 3 0 4 7
店 数 3 4 5
区 1 12 14 15 2 14 16 16 3 9 10 11
k=2 时， 计算如下：
d
S3=S2-d2
4 E1 2 D1
动态规划的基本概念
阶段；
状态； 决策和策略；
状态转移；
指标函数。
1 阶段（Stage）
将所给问题的过程，按时间或 空间特征分解成若干个相互联系的 阶段，以便按次序去求每阶段的解。 用以描述阶段的变量叫作阶段变量， 一般以k表示阶段变量。
2 状态（State）
各阶段开始时的客观条件叫做 状态。描述各阶段状态的变量称为 状态变量，常用sk表示第k阶段的 状态变量，状态变量的取值集合称 为状态集合，用Sk表示。状态集合 可以是一离散取值的集合，也可以 为一连续的取值区间，视具体问题 而定。
动态规划是现代企业管理 中的一种重要决策方法，可用 于最优路径问题、资源分配问 题、生产计划和库存问题、投 资问题、装载问题、排序问题 及生产过程的最优控制等。
动态规划的基本原理
多阶段决策过程最优化 多阶段决策过程是指这样一类 特殊的活动过程，他们可以按时间 顺序分解成若干相互联系的阶段， 在每个阶段都要做出决策，全部过 程的决策是一个决策序列，所以多 阶段决策问题也称为序贯决策问题。
动态规划数学模型由最优指标函数递推表达式、边界 条件及状态转移方程构成。

运筹学动态规划

运筹学动态规划
许多问题用动态规划的方法去处理，常比 线性规划或非线性规划方法更有效。特别对于 离散性的问题。
特别注意：动态规划是求解某类问题的一种 方法，是考察问题的一种途径，而不是一种算法 （如线性规划是一种算法）。
因而，动态规划没有标准的数学表达式和明 确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体 分析处理．
动态规划
8.1 多阶段决策过程及实例 8.2 动态规划的基本概念和
基本方程 8.3 动态规划的最优性定理 8.4 动态规划与静态规划关系
综述
动态规划是运筹学的一个分支，是解决多 阶段决策过程最优化问题的一种数学方法。
该方法是由美国数学家贝尔曼(R.Bellman)等 人在本世纪50年代初提出的。
他们针对多阶段决策问题的特点，把多阶段 决策问题变换为一系列互相联系单阶段问题，然 后逐个加以解决。
1
2
3
始点
5
B1
6 3
A
4 B2 4 6
2
5
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
3
C3
3
4 终点
D1 2
D2 3
E
4
D3
2、状态
5
B1
6 3
A 4 B246
25
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
C3 3 3
D1 2
D2 3 E 4
D3
各个阶段开始时所处的自然状况和客观条件称为
状态,描述了研究问题过程的状况(称不可控因素).
一些与时间没有关系的静态规划（如线性 规划，非线性规划）问题，只要人为地引进 “时间”因素，也可把它视为多阶段决策问题， 用动态规划方法去处理。

动态规划的基本概念和基本思想_实用运筹学：案例、方法及应用_[共6页]

动态规划的基本概念和基本思想_实用运筹学：案例、方法及应用_[共6页]

实用运筹学：案例、方法及应用以把它当作多阶段动态模型，用动态规划方法处理。

动态规划对于解决多阶段决策问题效果明显，但也有一定的局限性。

首先，它没有统一的处理方法，必须根据问题的各种性质并结合一定技巧来处理；另外，当变量维数增大时，总计算量及存贮量急剧增大。

由于计算机的存贮量及计算速度的限制，目前计算机仍不能用动态规划方法来解决较大规模的问题，这就是所谓“维数障碍”。

5.1 动态规划的基本概念和基本思想1．多阶段决策问题（1）多阶段决策的效果动态规划是把多阶段决策问题作为研究对象。

所谓多阶段决策问题，是根据问题本身的特点，将求解全过程划分为若干个相互联系的阶段（即将问题划分为许多个相互联系的子问题），在它的每一阶段都需要做出决策，并且在一个阶段的决策确定以后才转移到下一个阶段。

往往前一个阶段的决策会影响到后一个阶段的决策，从而影响整个过程。

人们把这样的决策过程称作多阶段决策过程。

各个阶段确定的决策就构成了一个决策序列，称为一个策略。

一般来说，由于每一阶段可供选择的决策往往不止一个，因此，对于整个过程，就会有许多可供选择的策略。

若对应一个策略，可以由一个量化指标来确定这个策略所对应的活动过程的效果，那么，不同的策略就有各自的效果。

在所有可供选择的策略中，对应效果最好的策略称为最优策略。

把一个决策问题划分成若干个相互联系的阶段选取其最优策略的解决过程就是多阶段决策问题。

多阶段决策过程最优化的目标是要达到整个活动过程的总体效果最优。

由于各段决策间有机联系，本阶段决策的执行结果将影响到下一阶段的决策，以至于影响总体效果，所以决策者在每段决策时不应只考虑本阶段最优，还应考虑对最终目标的影响，从而做出对全局来讲最优的决策。

动态规划就是符合这种要求的一种决策方法。

由上述可知，动态规划方法与“时间”关系很密切，随着时间过程的发展而决定各时段的决策，产生一个决策序列，这就是“动态”的意思。

然而它也可以处理与时间无关的静态问题，只要在问题中人为引入“时段”因素，就可以将其转化为一个多阶段决策问题。

动态规划的基本概念和基本原理

动态规划的基本概念和基本原理

史的一个完整总结。只有具有无后效性的多阶段决策过程
才适合于用动态规划方法求解。
2 A1
3
5 B1 4
7
6
B2
5
3
2
C1 2 5 6
C2 3
2
C3 1
D3
1
E 5 D
2
B3 2
3.决策（decision）
C4 7
当各阶段的状态选定以后可以做出不同的决定（或选择）从
而确定下一个阶段的状态，这种决定（或选择）称为决策。
5.状态转移方程（state transfer equation） 设第k阶段状态为sk，做出的决策为uk（sk），则第k+1阶段 的状态sk+1随之确定，他们之间的关系可以表示为：
sk+1=Tk（sk，uk） 表示从第k阶段到第k+1阶段状态转移规律的方程称为状态 转移方程，它反映了系统状态转移的递推规律。
f3
(C3
)
min
d d
3 3
(C3 (C3
, ,
D1) D2 )
f4 (D1) f4 (D2 )
2 3
min1
5
5
u3（C3）=D1
f3（C4）= d3（C4，D2）+ f4（D2）=7+5=12
u3（C4）=D2
5
C1 2
2
A
1
3
B1 4
7
6
B2
5
3
2
5 6 C2 3 2
C3 1
D1 3
4.策略（policy）
当各个阶段的决策确定以后，各阶段的决策形成一个决策序 列，称此决策序列为一个策略。

运筹学(第四版)：第8章 动态规划的基本方法

运筹学(第四版)：第8章 动态规划的基本方法
第89章动态规划的基本方法和应用在生产和科学实验中有一类活动的过程由于它的特殊性可将过程分为若干个互相联系的阶段在它的每一个阶段都需要作出决策从而使整个过程达到最好的活动效果
五 动态规划
第8章 动态规划的基本方法 第9章 动态规划应用举例
1
动态规划
什么是动态规划
解决多阶段决策过程最优化的一种数学方法。
f6 (F1)
f6 (F2 )
min
3 5
4
3
7
其相应的决策为 us (E1) F1
这说明，由E1至终点G的最短距离为7，其最短路线是
E1 F1 G16 Nhomakorabea第2节 动态规划的基本思想和基本方程
同理，从E2和E3出发，则有
f5
(E2
)
min
d5 d5
(E2 (E2
, ,
F1 ) F2 )
(2) 过程和它的任一子过程的指标是它所包含的各阶段的指标的乘积。即
n
这时就可写成
Vk,n (sk , uk ,, sn1) v j (s j , u j )
jk
Vk,n (sk , uk ,, sn1) vk (sk , uk )Vk1,n (sk1, uk1,, sn1)
指标函数的最优值，称为最优值函数，记为
18
第2节 动态规划的基本思想和基本方程
为了找出最短路线，再按计算的顺序反推之，可求出最优决策函数序列
uk ，即由
u1( A) B1, u2 (B1) C2 , u3 (C2 ) D1, u4 (D1) E2 , u5 (E2 ) F2 , u6 (F2 ) G
组成一个最优策略。因而，找出相应的最短路线为
23
第2节 动态规划的基本思想和基本方程

运筹学课件(动态规划)

运筹学课件(动态规划)

（二）、动态规划的基本思想 1、动态规划方法的关键在于正确地写出基本的递推 关系式和恰当的边界条件（简称基本方程）。要做到 这一点，就必须将问题的过程分成几个相互联系的阶 段，恰当的选取状态变量和决策变量及定义最优值函 数，从而把一个大问题转化成一组同类型的子问题， 然后逐个求解。即从边界条件开始，逐段递推寻优， 在每一个子问题的求解中，均利用了它前面的子问题 的最优化结果，依次进行，最后一个子问题所得的最 优解，就是整个问题的最优解。
d( B1,C1 ) + f1 (C1 ) 3+1 f2 ( B1 ) = min d( B1,C2 ) + f1 (C2 ) = min 3+3 d( B1,C3 ) + f1 (C3 ) 1+4 4 = min 6 = 4 (最短路线为B1→C1 →D) 5
3
2 A 4 B2 B1 2 1 3
最优策略为（30，20），此时最大利润为105万元。
f 2 ( 40)
g2 ( y) y 0 ,10 ,, 40
max
f1 ( 40 y )
90
最优策略为（20，20），此时最大利润为90万元。
f 2 (30)
g2 ( y) y 0 ,10 , 20 , 30
max
f1 (30 y )
70
最优策略为（20，10），此时最大利润为70万元。
f 2 ( 20) ma 0 ,10 , 20
50
最优策略为（20，0），此时最大利润为50万元。
f 2 (10) maxg 2 ( y ) f1 (10 y )
3 2 A 4 B2 B1 2 3 1 3 1
C1 C2 4 3

运筹学动态规划的概念

运筹学动态规划的概念

运筹学动态规划的概念运筹学中的动态规划是一种解决多阶段决策问题的数学方法。

它适用于需要做出一系列决策才能获得最优解的情况。

在这种情况下，每个决策都会对接下来的决策产生影响，因此需要考虑整个过程的影响。

动态规划的实质是将多阶段决策过程拆解成一系列子问题，每个子问题都可以用一个状态来描述。

通过求解每个子问题的最优解，就可以逐步得到整个过程的最优解。

动态规划的基本思想是以最优子结构为基础，避免重复计算已经求解过的子问题的过程。

也就是说，如果我们已经知道了子问题的最优解，那么整个问题的最优解就可以通过这些子问题的最优解推导出来。

通常情况下，动态规划问题需要满足以下几个条件：1.具有最优子结构特征：问题的最优解是由子问题的最优解组合而成的。

2.无后效性：子问题的解一旦确定，就不会被改变。

3.子问题重复性：不同的子问题可能会对应相同的状态。

4.边界性：即为问题的较小的子问题需要单独处理。

通过以上条件，我们就可以将动态规划问题分解为一个个子问题，并求解每个子问题所对应的最优值。

动态规划的基本流程分为三个步骤：1.定义状态：构建状态转移方程需要定义状态，状态通常用一个或多个变量来表示，变量的取值代表状态。

2.写出状态转移方程：根据定义好的状态，写出各个状态之间的转移方程。

3.确定边界条件：对较小的子问题需要单独处理，因此当状态变量为边界值时，需要特殊处理。

动态规划的应用广泛，它可以用于解决大量的问题。

例如，求解最长公共子序列问题、背包问题、最短路问题、字符串编辑距离问题等等。

它在图像处理、自然语言处理、生物信息学等领域中也有广泛的应用，如图像去噪、序列比对、DNA 序列匹配等。

总之，动态规划是运筹学中一种解决多阶段决策问题的重要方法，它通过将问题分解成子问题，并求解每个子问题的最优解，得出整个问题的最优解。

在实际应用中，我们需要根据具体问题特点，定义好状态，写出好的状态转移方程，才能有效地解决问题。

运筹学――动态规划课件

运筹学――动态规划课件
当k=1时F1(s1)就是从初始状态到全过程的整体最优函 数.
8
指标函数的常见形式：
（1）过程和它的任一子过程的指标是它所包n 含的各阶段
（2的）指过标程的和和它。的Vk任,n(一sk子, u过k程, s的k+指1,标… 是sn它+1所)＝包含jk 的v j (各s j阶,u段j) 的1
指标的乘积。Vk,n(sk,
23
1、动态规划模型的建立
建立动态模型的6个要素： 1）阶段k 2）状态SK 3)决策uk(sk) 4）状态转移方程 5）阶段指标函数 6）指标递推方程
24
2、动态规划模型的解法
动态规划的求解方法有两种： 逆序解法与顺序解法
1、在已知初始状态S1下，采用逆序解法：（反向递归） 2、在已知终止状态Sn下，采用顺序解法（正向递归）
fk (Sk )
dk Dk
OPt{vk (Sk , dk ) fk1( Sk1 )} fk (sk ) 0Pt Uk (sk , dk )
(k n, n 1,1)
dk Dk (k 1,2,n)
fk1(sk1 )
fn1( Sn1 ) 1
f0 (s0 ) 1
26
计 k 算 顺1如 序时下 解，： 法按解kuff（ （ （ 111例0BsB1， 2） 11） ） ：f的 （ 0 4A定 sA1）义45有f（ 0： uf（ （ A11BB） B1B2222） ） 538077，5A这C是 CCC1234边 845835界 44 条DDD件123156。 323
13
二、动态规划的基本思想和基本方程
最短路线有一个重要特性：如果由起点A经P点和H点 最终到达F点是一条最短路线，则由P点出发经过H点 最终到达F点的这条路线必定也是从P点到F点的最短路 。

运筹学第四章动态规划

运筹学第四章动态规划
B2
7
7
5
8
4
3
B1
4
C1
8
C4
4
D1
3
5 E1
4
6
D2 2
F
3
1
3 E2
D3
解：（逆序解法）
（1）从k＝5开始，到终点的路长
f 5 ( E1 ) 4, f 5 ( E2 ) 3
（2）k=4, 状态有3个D1,D2,D3，到终点的最短路长
d ( D1 , E1 ) f5 ( E1 )
资数额才能使总收益最大？
解：求x1,x2,x3，使
max z 4 x1 9 x2 2 x
2
3
x1 x2 x3 10
s.t.
xi 0 (i 1,2,3)
本例可转化为3阶段的决策问题。
4.2 动态规划的基本概念和基本原理
一、动态规划的基本概念
（1）阶段：将问题按时间或空间特征分解成若干相互联系
ቊ
∗2 (1 ) = 1
(1 , 2 ) + 1 (1 )
3+4
2 (2 ) = min
= min
=7
(2 , 2 ) + 1 (2 )
൞
8+5
∗2 (2 ) = 1
(1 , 3 ) + 1 (1 )
6+4
2 (3 ) = min
= min
= 10
uk

f 0 ( s1 ) 0
顺序解法与逆序解法在本质上没有区别。
当问题给定了一个初始状态和一个终止状态时
，两种方法都可以用。
4.3 动态规划模型的建立与求解

动态规划(运筹学讲义).

动态规划(运筹学讲义).

)

min
d d
( (
E2 E2
, ,
F1) F2 )
f6 (F1) f6 (F2 )

min
5 2

4 3

5
u*5 (E2 )= F2
f5
(E3
)

min
d d
( (
E3 E3
, ,
F1) F2 )

f6 (F1) f6 (F2 )


min


fk
(sk
)

opt
uk Dk ( sk
)
vk (sk ,uk ) fk1(sk1)
fn1(sn1) 0
k=n, n 1, ,1
(8.4a) (8.4b)
Opt 可根据题意取 min 或 max
11
动态规划的基本思想如下：
（1）动态规划方法的关键在于正确写出基本递推关系式和恰当的边界条 件，因此必须将多阶段决策过程划分为n个相互联系的阶段，恰当地选取 状态变量、决策变量及定义最优指标函数，从而把问题化为一族同类型 的子问题，然后逐个求解 （2）求解时从边界条件开始，逆（或顺）过程逐段递推寻优。在每一个 子问题求解中，均利用了它前面子问题的最优结果，最后一个子问题的 最优解，就是这个问题的最优解。 （3）动态规划方法既把当前阶段与未来阶段分开，又把当前效益和未来 效率结合，因此每段的最优决策选取是从全局来考虑。 （4）在求这个问题的最优解时，由于初始状态是已知，而每阶段的决策 都是该段状态的函数，故最优策略所经过的各各阶段状态可逐次变换得 到，从而确定最优路线。
量最高。
决策
决策
决策

动态规划的基本概念

动态规划的基本概念

动态规划的基本概念动态规划的发展及研究内容动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。

20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。

1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。

动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。

例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。

虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。

多阶段决策问题多阶段决策过程，是指这样的一类特殊的活动过程，问题可以按时间顺序分解成若干相互联系的阶段，在每一个阶段都要做出决策，全部过程的决策是一个决策序列。

要使整个活动的总体效果达到最优的问题，称为多阶段决策问题。

例1是一个多阶段决策问题的例子，下面是另一个多阶段决策问题的例子：[例2]生产计划问题工厂生产某种产品，每单位(千件)的成本为1(千元)，每次开工的固定成本为3(千元)，工厂每季度的最大生产能力为6(千件)。

经调查，市场对该产品的需求量第一、二、三、四季度分别为2，3，2，4(千件)。

如果工厂在第一、二季度将全年的需求都生产出来，自然可以降低成本(少付固定成本费)，但是对于第三、四季度才能上市的产品需付存储费，每季每千件的存储费为0.5(千元)。

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设它的最优解是 ( D( k ) ,k ) (4) 检验是否满足
k ε 2
若满足则停止迭代，得到点X(k) ；否则，以D(k)为搜索方向，并转下
一步。
水电与数字化工程学院 莫 莉
前节回顾
(5) 解下述一维极值问题
λ k :min f ( X ( k ) λD( k ) )
0 λ λ
其中 P ( X ( k ) , rk ) 见(7-32)式或(7-33)式。
水电与数字化工程学院
（7-35）
莫 莉
前节回顾
(5) 检验是否满足收敛准则
rk
j 1
l
l
1 ε (k ) g j (X )
或
rk log( g j ( X ( k ) )) ε
j 1
如满足上述准则，则以 X ( k ) 为原问题的近似极小解 X min ；否则，取
并在可行域R内部使其极小化，虽然R是一个闭集，但因极小点
不在闭集的边界上，因而实际上是具有无约束性质的极值问题 ，可借助于无约束最优化的方法进行计算。
水电与数字化工程学院 莫 莉
前节回顾
内点法的迭代步骤： (1) 取 r1 0 (例如取 r1 1)，允许误差 ε 0 (2) 找出一可行内点 X (0) R0 ，并令 k : 1
莫 莉
1.1 引例
1）动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学 方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶 段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优性原理，把多阶 段过程转化为一系列单阶段规划。1957年出版了他的名著 《Dynamic Programming》，这是该领域的第一本著作。 2）动态规划问世以来，在经济管理生产调度工程技术和最优控制 等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分 配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其他 方法求解更为方便。 3）虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化 问题，但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划、非线性 规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策 莫 莉 水电与数字化工程学院 过程，也可以用动态规划方法方便地求解。
第三章 动态规划(Dynamic Programming)
主讲人：莫 莉
moli@
2015 年 6 月
水电与数字化工程学院 莫 莉
前节回顾
温
罚函数法
故
加入时间维度
知
引例
新
可行方向法
动态规划基本概念
离散动态规划
水电与数字化工程学院
莫 莉
前节回顾
可行方向法的迭代步骤如下：
水电与数字化工程学院
C4
4
莫 莉
1.1 引例
实例2 生产计划问题
工厂生产某种产品，每单位（千件）的成本1（千元），每次开工 的固定成本为3（千元），工厂每季度的最大生产能力为6（千 件）。经调查，市场对该产品的需求量第一﹑二﹑三﹑四季度分 别为2，3，2，4（千件）。如果工厂在第一﹑二季度将全年的需 求都生产出来，自然可以降低成本（少付固定成本费），但是对
则本阶段最优决策必然是D1→E，
B3
5 1 5
6 3 3
E
4
C3
距离 d (D1,E)=3，记 f (D1)=3。 f (D1)表示某阶段初从D1出发到终 点的最短距离。 如果旅行者的上一站起点为D2，则本阶段最优决策必然是D2→E， 距离 d (D2,E)=4，记 f (D2)=4。
水电与数字化工程学院 莫 莉
7 5
C1
1
D1
D2
3
E
4
d (C2 , D1 ) f ( D1 ) 6 3 min min 7 3 4 d (C2 , D2 ) f ( D2 )
如果从C3出发， 则最优选择为从C3到E的最短路线C3→D1→E，并记 f (C3)=6
d (C3 , D1 ) f ( D1 ) 3 3 min min 6 水电与数字化工程学院 d (C3 , D2 ) f ( D2 ) 3 4
此处
λ max λ g j ( X ( k ) λD( k ) ) 0, j 1, 2,

,l

(6) 令
X ( k 1) X ( k ) λ k D ( k ) k : k 1
转回第(2)步。
水电与数字化工程学院 莫 莉
前节回顾
罚函数法
本节介绍求解非线性规划问题的制约函数法。使用这 种方法，可将非线性规划问题的求解，转化为求解一系列 无约束极值问题，因而也称这种方法为序列无约束极小化 技术，简记为SUMT(sequential unconstrained minimization technique)。常用的制约函数基本上有两类： •惩罚函数(或称外罚函数(penalty function))：外点法
(3) 构造障碍函数，障碍项可采用倒数函数((7-32)式)，也可采用对数
函数(例如(7-33)式)。 (4) 以 X ( k 1) R0 为初始点，对障碍函数进行无约束极小化:
min P( X , rk ) P( X ( k ) , rk ) xR0 (k ) X X (rk ) R0
莫 莉
1. f (D1)=3。 f (D2)=4。
B1
2 6 4 2. 联合考虑两个阶段的最优 3 2 5 C2 6 B2 选择。 A 从C1出发到E的最短路程(即 3 4 3 从C1到E的最短路线)为: 3 5 1 3 C1→D1→E，并记 f (C1)=4 B3 C 3 5 如果旅行者从C2出发， 则最优选择为从C2到E的最短路线C2→D2→E，并记 f (C2)=7
B1
2
6 5 B 32 A 2 4 3 5 1 水电与数字化工程学院 B3 5
7 5
C1
4
1
6 3 3 3
D1 D2
3
C2
E
4
莫 莉
C3
1.1 引例
1.考虑一个阶段的最优选择。
B1
2
5 3
旅行者到达E点前，上一 站必然到达D1或D2。
A
B26 3 2 4Fra bibliotek7 5
C1
4
1
D1 D2
3
3
C2
如果上一站的起点为D1，
rk 1 rk (例如取 rk 1 rk /10 或 rk / 5 )，令 k : k 1，转向第（3）步。
根据情况，收敛准则也可采用不同形式，如：
X ( k ) X ( k 1) ε
水电与数字化工程学院
或
f ( X ( k ) ) f ( X ( k 1) ) ε
1 增广目标函数为： Fd k ( x ) x ln( x 1), x 1 k 用解析法求 Fd ( x ) 0 得无约束优化问题 min Fd ( x )
的最优解为：
当k无限增大时，x 从可行域内部趋于最优 解x * 1
2 k k 2k k x , 2k k
k
于第三﹑四季度才能上市的产品需付存储费，每季度每千件的存
储费为0.5（千元）。还规定年初和年末这种产品均无库存。试制
定一个生产计划，即安排每个季度的产量，使一年的总费用（生
产成本和存储费）最少。 水电与数字化工程学院
莫 莉
1.1 引例
二.动态规划问题的解题思路
动态规划问题的解题思路是：将一个多阶段决策问题转化为依次求解多个单阶 段的决策问题，从而简化计算过程。这种转化的实现是从终点开始一步步进行 反推，这种算法称为反向算 法（动态规划问题的计算中大多采用反向算法）。 下面通过一个例题对该算法加以说明。 例：设有一个旅行者从A点出发，途中要经过B、C、D等处，最后到达终点E。 从A到E有很多条路线可以选择，各点之间的距离如图中所示，问该旅行者应该 选择哪一条路线，使从A到达E的总的路程为最短。
•障碍函数(或称内罚函数(barrier function))：内点法
水电与数字化工程学院 莫 莉
前节回顾
P( X ,M ) f ( X ) M min(0, g j ( X ))
j 1
l j 1
l
2
函数P(X,M)称为惩罚函数，其中的第二项 M ( g j ( X )) 称惩罚项。
莫 莉
前节回顾
例 用障碍函数法求解极小化问题
min x 2 s .t . 1 x 0
1 取d k ，k 1,2,..., 采用对数形式的障碍函 数 k 1 解 取 Bd k ( x ) d k ln( x 1) k ln( x 1), x 1
2
B1
2
D1 6 4 3 5 B 32 C2 6 E A 2 1. f (D1)=3。 f (D2)=4。 3 4 4 D 2 2. 联合考虑两个阶段的最优 3 3 5 1 3 选择。 B3 C3 5 旅行者离终点E还剩两站时，他必然位于C1、C2或C3的某一点。
如果旅行者位于C1，则从C1到终点E的路线可能有两条： C1→D1→E或C1→D2→E 旅行者从这两条路线中选取最短的一条:
若对于某一个(惩)罚因子M，例如 M1 , X ( M1 ) ，就加大罚因子的值； R
随着M值的增加，惩罚函数中的惩罚项所起的作用随之增大， min P( X , M ) 的解X ( M ) 与约束集R的“距离”就越来越近。当
0 M1 M 2 Mk
趋于无穷大时，点列 X ( M k ) 从可行域R外趋于原问题(7-3)的极小点 X min
莫 莉
B1
2 1. f (D1)=3， f (D2)=4 2. C1→D1→E， f (C1)=4 C2→D2→E， f (C2)=7 C3→D1→E， f (C3)=6 3. 联合考虑三个阶段的最优选择。 从B1到E的最优选择为： B1→C1→D1→E，记 f (B1)=11