浙教版2022-2023学年八下数学第二章 一元二次方程 尖子生测试卷

浙教版下学期八年级数学(下册)第2章一元二次方程测试题(时间：100分钟 满分：120分)1、下列方程是一元二次方程的是( )A ．ax 2+bx +c =0 B ．2x 2=0 C ．xx 3=1 D ．x 2+y =02、方程3x (x -4)=5(1-2x )的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( ) A ．3，-2，5 B ．3，-2，-5 C ．-3，-2，5 D ．3， 2，53、关于x 的一元二次方程x 2-3px +p 2-2p +8=0的一个根为2，则实数p 的值是( ). A ．2 B ．6 C ．2或6 D ．-2或-64、若整式x 2-2x -15能分解成 (x -5)与 (x +3)，则一元二次方程x 2-2x -15=0的根为( ).A ．x 1=5，x 2=-3B ．x 1=-5，x 2=-3C ．x 1=5，x 2=3D ．x 1=-5，x 2=3 5、已知方程3x (2x +5)= (2x +5)，则其根为( ) A ．31 B ．0 C ． 25- D ．31，25- 6、如果一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 有两个相等的实数根，且满足a +b +c =0，则下列结论正确的是( )A ．a =bB ．c =bC ．c =aD ．a +b =c7、关于x 的一元二次方程x 2-(2m -3)x +m 2-6=0有两个不相等的实数根，那么m 的最大值是( ). A ．-1 B ．0 C ．1 D ．28、使用一面9m 墙为一边，再用17m 长的铁丝网围成三边，使其成一个面积为35m 2的长方形，求这个长方形的边长，设墙的对边长为x m ，可得方程为( )A 、x (17-x )=35B 、x ·217x-=35 C 、x (17-21x )=35 D 、x ·2217x -=35 9、有一个两位数它的十位上数与个位数之和是7，如把十位上数字和个位上数字调换所得两位数乘以原来的两位数就的1462求原来的两位数?( )A ．34B ．43C ．34或43D ．5210、若2b-为方程2x 2+ax +b =0的根(b ≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是( ) A ．a b B ．ba C ．2(a +b ) D ．b -a二、填空题(共10小题 每题3分 共30分)11、若关于x 的一元二次方程(k -3)x 2-6x -2=0 有实数根，则k 的取值范围是 ． 12、方程(m -2)mmx -2+(m -3)x -2=0是一个一元二次方程，则m 的值是 .13、已知方程x 2-5kx -25=k 2的一个根是2，则k 的值是 ，方程的另一个根是 ． 14、已知m ，n 是方程x 2+x -2019=0的两个根，则m 3-3mn +2020n 的值为 . 15、若方程x 2+(2k -1)x +k 2+2=0无实数根，则方程x 2-(3k +1)x +49k 2-3=0的根的情况为 ． 16、如果两个不同的方程x 2+ax +b =0与x 2+bx +a =0只有一个公共根，那么a ，b 满足的关系式为 . 17、某校去年投资2万元购买实验器材，预计今明2年的投资总额为8万元．若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为xm ，n19、设a ，b 是一个直角三角形的两条直角边的长，且(a 2+b 2)(a 2+b 2-2)=63，则这个三角形的斜边长为 .20、若m 为实数，方程x 2-2x +m =0的一个根的相反数是方程x 2+2x -2=0的一个根，则x 2-2x +m =0的根是 ．三、解答题(共6题 共60分) 21、(满分9分)解方程 (1)(2x +3)2=4(3x -4)2；(2) (3x -1)(x -2)=8；(4)2x 2-3x -1=0；22、(满分10分)已知关于x 的一元二次方程x 2+bx +a =0有两个相等的实数根，求4)2(4222-+-b a ab 的值.23、(满分10分)先阅读理解下面的材料，再按要求解答问题：解方程x 4-13x 2+36=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2-13y+36=0 ①，解得y1=4，y2=9．当y=4时，x2=4，∴x=±2；当y=9时，x2=9，∴x=±3；∴原方程有四个根：x1=2，x2=-2，x3=3，x4=-3．(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用______法达到______的目的，体现了数学的转化思想．(2)解方程(x2-2x)2-6(x2-2x) -16=0．24、(满分10分)关于x的一元二次方程为(m-2)x2-2mx+m+2=0.(1)求出方程的根；(2)m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？25、(满分9分)将进货单价为50元的商品按60元售出时，就能卖出600个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少15个．为了赚得9000元的利润，每个商品售价应定为多少元？这时应进货多少个？26、(满分12分)已知关于x的一元二次方程2x2－3(k+1)x+k2+3k=0.(1)求证：无论k取何值，方程总有实数根．(2)若等腰三角形ABC的一边长a=2，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．参考答案一、选择题(共10小题 每3分 共30分)11、k ≥23-且 k ≠3 12、-1 13、-3，-7；-17，-37 14、2018 15、有两个不相等的实数根 16、a +b +1=0 17、2(1+x )+2(1+x )2=8 18、x 2-x -30=0 19、3 三、解答题(共6题 共60分)21、(1)(2x +3)2=4(3x -4)2；解：将原方程化为(2x +3)2-4(3x -4)2=0分解因式，得 [][])43(2)32()43(2)32(--+-++x x x x =0则(8x -5)( -4x +11)=0 则8x -5=0，或-4x +11=0解得x (2) (3x -1)(x -2)=8；解：将原方程化为3x 2-7x -6=0 分解因式，得(3x +2)(x -3)=0 则3x +2=0，或x -3=0 解得x x 2=3解：将原方程化为x 2-2x =3方程两边同加1，得x 2-2x +1=3+1，即(x -1)2=4. 则x -1=2，或x -1=-2， 解得x 1=3，x 2=-1 (4)2x 2-3x -1=0；解：∵a =2，b =-3，c =-1， ∴△=b 2-4ac =(-3)2-4×2×(-1)=17 ∴x解得x 22、解：∵x 2+bx +a =0有两个相等的实数根，∴△=b 2-4a =0， b 2=4a ，∵4)2(3222-+-b a ab =4443222-++-b a a ab =44441222-++-a a a a =121222=aa . 23、解：(1)换元，降次(2)设x 2-2x =y ，原方程可化为y 2-6y -16=0， 解得y 1=8，y 2=-2．由x 2-2x =8，得x 1=-2，x 2=4． 由x 2-2x =-2，得方程x 2-2x +2=0， b 2-4ac =4-4×2=-4＜0，此时方程无实根． 所以原方程的解为x 1=-2，x 2=4． 24、解：(1)根据题意得m ≠2， △=(-2m )2-4(m -2)(m +2)=16， ∴x 1=)2(242-+m m =22-+m m ，x 2=)2(242--m m =1.(2)由(1)知x 1=22-+m m =1+22-m ， ∵方程的两个根都是正整数， ∴22-m 是正整数， ∴m -2是整数， ∴m -2=1或2， ∴m =3或4.25、解：设涨价x 元能赚得9000元的利润， 即售价定为每个(x +60)元，应进货(600-10x )个， 依题意得：(60-50+x ) (600-10x )=9000，解得x 1=10 ，x 2=20，当x =10时，x +60=70，600-10x =500； 当x =20时，x +60=80，600-10x =400答：售价定为每个60元时应进货500个，或售价定为每个80元时应进货400个.26、【解】 (1)∵△=b 2-4ac =9(k +1)2-8(k 2+3k)=(k -3)2≥0， ∴无论k 取何值，方程总有实数根． (2)分两种情况： ①若b =c ，则方程2x 2-3(k +1)x +k 2+3k =0有两个相等的实数根， ∴△=b 2-4ac =(k -3)2=0， 解得k =3，此时方程为x 2-6x +9=0，解得x 1=x 2=3. ∴△ABC 的周长为8.②若b ≠c ，则b =a =2或c =a =2，即方程有一个根为2， 把x =2代入方程2x 2-3(k +1)x +k 2+3k =0，得 8-6(k +1)+k 2+3k =0， 解得k 1=1，k 2=2，当k =1时，方程为x 2-3x +2=0，解得x 1=1，x 2=2. ∴方程的另一个根为1. ∴△ABC 的周长为5.当k =2时，方程为2x 2-9x +10=0，解得x 1=2，x 2=25. ∴方程的另一个根为25. ∴△ABC 的周长为213. 综上所述，所求△ABC 的周长为8或5或213.。

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题2.3一元二次方程的解法：配方法（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•双滦区校级期末）用配方法解方程，x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）A．（x+1）2＝6B．（x﹣1）2＝6C．（x+2）2＝9D．（x﹣2）2＝92．（2022秋•东城区校级期末）用配方法解方程x2﹣4x＝1，变形后结果正确的是（ ）A．（x+2）2＝5B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝23．（2022秋•武昌区校级月考）用配方法解一元二次方程x2+2x＝3时，将其化为（x+m）2＝n的形式，则m，n的值分别是（ ）A．m＝1，n＝2B．m＝1，n＝3C．m＝1，n＝4D．m＝﹣1，n＝34．（2022秋•鄱阳县月考）将一元二次方程x2+6x+3＝0化为（x+h）2＝k的形式，则k的值为（ ）A．3B．6C．9D．125．（2022•杭州模拟）将方程x2﹣6x+1＝0化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）A．2B．3C．4D．56．（2021秋•东明县期末）用配方法解方程2x2﹣12x＝5时，先把二次项系数化为1，然后方程的两边都应加上（ ）A．4B．9C．25D．367．（2022秋•襄都区期中）用配方法解一元二次方程x2﹣2x＝35时，步骤如下：①x2﹣2x+1＝36；②（x﹣1）2＝36；③x﹣1＝±6；④x＝±7，即x1＝7，x2＝﹣7．其中开始出现错误的步骤是（ ）A．①B．②C．③D．④8．（2021秋•安平县期末）如表，在解方程2x2+4x+1＝0时，对方程进行配方，表①中是嘉嘉做的，表②中是琪琪做的，对于两人的做法，下列说法正确的是（ ）①2x2+4x＝﹣1，4x2+8x＝﹣2，4x 2+8x +4＝2，（2x +2）2＝2．②2x 2+4x ＝﹣1，x 2+2x =−12x 2+2x +1=−12+1，（x +1）2=12A ．两人都正确B ．嘉嘉正确，琪琪不正确C ．嘉嘉不正确，琪琪正确D ．两人都不正确9．（2021秋•安义县月考）在解方程2x 2+4x +1＝0时，对方程进行配方，文本框①中是小贤做的，文本框②中是小淇做的，对于两人的做法，下列说法正确的是（ ）A ．两人都正确B ．小贤正确，小淇不正确C ．小贤不正确，小淇正确D ．两人都不正确10．（2022•宁远县模拟）基本不等式的性质：一般地，对于a ＞0，b ＞0，我们有a +b ≥a ＝b 时等号成立．例如：若a ＞0，则a +9a ≥6，当且仅当a ＝3时取等号，a +9a的最小值等于6．根据上述性质和运算过程，若x ＞1，则4x +1x−1的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•仪征市期中）新定义，若关于x 的一元二次方程：m （x ﹣a ）2+b ＝0与n （x ﹣a ）2+b ＝0，称为“同类方程”．如2（x ﹣1）2+3＝0与6（x ﹣1）2+3＝0是“同类方程”．现有关于x 的一元二次方程：2（x ﹣1）2+1＝0与（a +6）x 2﹣（b +8）x +6＝0是“同类方程”．那么代数式ax 2+bx +2022能取得最大值是 ．12．（2022•青神县模拟）将一元二次方程x 2﹣8x ﹣5＝0化成（x +a ）2＝b （a 、b 为常数）的形式，则a 、b的值分别是 ．13．（2021春•霍邱县期末）把x2+2x﹣2＝0化为（x+m）2＝k的形式（m，k为常数），则m+k＝ ．14．（2019秋•相城区期中）用配方法解方程x2﹣6x＝2时，方程的两边同时加上 ，使得方程左边配成一个完全平方式．15．（2018春•松滋市期末）把一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0用配方法配成2（x﹣h）2+k＝0的形式（h，k均为常数），则h和k的值分别为 16．（2022秋•新蔡县校级月考）若定义如果存在一个数i，使（±i）2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：方程x2﹣2x+5＝0的两根为 （根用i表示）．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解一元二次方程：（1）3（x﹣2）2﹣27＝0；（2）2x2﹣4x﹣12＝0．18．用配方法解方程：（1）（2x﹣1）2＝5；（2）x2+6x+9＝2；（3）x2﹣2x+4＝﹣1．19．用配方法解下列方程：（1）x2﹣5x＝2；（2）x2+8x＝9；（3）x2+12x﹣15＝0；（4）x2−14x﹣4＝0．20．（2017•滨州）根据要求，解答下列问题：①方程x2﹣2x+1＝0的解为 ；②方程x2﹣3x+2＝0的解为 ；③方程x2﹣4x+3＝0的解为 ；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8＝0的解为 ；②关于x的方程 的解为x1＝1，x2＝n．（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8＝0，以验证猜想结论的正确性．21．（2022秋•新野县期中）阅读材料：若m2﹣2m+17＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2m+1+n2﹣8n+16＝0∴（m2﹣2m+1）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣1）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣1）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴m＝1，n＝4．根据你的观察，解答下面的问题：（1）已知x2﹣4x+y2+6y+13＝0，求xy的值；（2）已知a、b、c为△ABC三边，且2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，判断△ABC的形状．22．（2022秋•辉县市期中）阅读理解题．先阅读下面的例题，再按要求解答下面的问题：（例题）说明代数式m2+2m+4的值一定是正数．解：m2+2m+4＝m2+2m+1﹣1+4＝（m+1）2+3∵（m+1）2≥0∴（m+1）2+3≥3∴m2+2m+4的值一定是正数（1）说明代数式﹣a2+6a﹣10的值一定是负数（2）设正方形面积为S1，长方形的面积为S2，正方形的边长为a，如果长方形的一边长为4，另一边长比正方形的边长少了3．请你比较S1与S2的大小关系．并说明理由．23．（2022秋•绥宁县期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式x2+4x+5最小值．解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1，即x2+4x+5的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）已知y＝x2﹣6x+12，求y的最小值．（2）比较代数式3x2﹣x+2与2x2+3x﹣6的大小，并说明理由．知识迁移：（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P在AC边上以2cm/s的速度从点A 向C移动，点Q在CB边上以1cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形APQB的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最小值．。

浙教版2022-2023学年八下数学第二章 一元二次方程 尖子生测试卷（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．某电影上映第一天票房收入约 3 亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到 10 亿元.若增长率为 x ，则下列方程正确的是（ ）A ．3(1+x)=10B ．3(1+x)2=10C ．3+3(1+x)2=10D ．3+3(1+x)+3(1+x)2=10【答案】D【解析】设增长率为 x ，依题意，得： 3+3(1+x)+3(1+x)2=10 .故答案为：D.2．已知关于x 的方程mx 2+x ﹣m+1＝0，给出以下结论，其中错误的是（ ）A ．当m ＝0时，方程只有一个实数根B ．若x =34 是方程的根，则方程的另一根为x ＝﹣1C ．无论m 取何值，方程都有一个负数根D ．当m≠0时，方程有两个不相等的实数根【答案】D【解析】A 、当m=0时，方程化为x+1=0，解得x=-1，故A 不符合题意；B 、把x=34代入方程，得916m +34−m +1=0，解得m=4， ∴34+x=-14，解得x=-1， ∴方程的另一根为x=-1，故B 不符合题意；C 、∵mx 2+x ﹣m+1＝0， ∴（x+1）（x-m+1）=0，∴x=-1或x=m-1，故C 不符合题意；D 、∵△=1-4m （-m+1）=（2m-1）2≥0，∴当m≠0时，方程有两个实数根，故D 符合题意.故答案为：D.3．某景点的门票价格为220元，日接待游客5000人．当门票价格每提高10元，日游客数减少50人．若想每天的门票收入达到138万元，问门票价格需提高多少元？设门票价格提高x 元，则可列方程为（ ）A ．(220+x)(5000−5x)=1380000B ．(220+x)(5000−5x)=138C ．(220+x)(5000−50x)=138D ．(220+x)(5000−50x)=1380000【答案】A【解析】根据题意得：(220+x)(5000−5x)=1380000．故答案为：A.4．已知关于x 的一元二次方程ax 2+2x ﹣12＝0的两根分别为x 1，x 2，而x 2+2ax ﹣12＝0的两根分别为x 1，x 3，其中x 1≠x 2≠x 3，则a 的值是（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．2【答案】D【解析】由题意可得： {ax 12+2x 1−12=0①x 12+2ax 1−12=0② ， ∴用① -②得 (a −1)x 12−(a −1)x 1=0 ，∴(a −1)(x 1−22x 1)=0 ，∴a −1=0 或 x 12−2x 1=0 ，∴a =1 或 x 1=2 或 x 1=0 （不合题意），当 a =1 时，原方程为 x 2+2x −12=0 和 x 2+2x −12=0 ，此时 x 1=x 2=x 3 不符合题意， ∴x 1=2 ，∴4a +4−12=0 ，解得 a =2 ，故答案为：D ．5．若关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx +c =0(a ≠0) 有两个相等的实数根，且满足 4a −2b +c =0 ，则（ ）A ．b=aB ．c=2aC ．a(x+2)2=0D ．-a(x-2)2=0【答案】C【解析】∵ 一元二次方程 ax 2+bx +c =0(a ≠0) 满足 4a −2b +c =0 ，∴x =−2 是方程 ax 2+bx +c =0 的解，又 ∵ 有两个相等的实数根，∴a(x +2)2=0(a ≠0) .故答案为：C.6．已知关于x 的一元二次方程 x 2−x +14m =0 有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b ，令 y =4b 2−4b −3m +3 ，则（ ）A ．y >−1B ．y ≥−1C ．y ≤1D ．y <1【答案】A【解析】∵一元二次方程 x 2−x +14m =0 有两个不相等的实数根， ∴△=1-m ＞0，∴m ＜1，∵b 是方程的一个实数根，∴b 2−b +14m =0 ， ∴4b 2-4b+m=0，∴y=4b 2-4b-3m+3=3-4m ， ∴m= 3−y 4 ， ∴3−y 4 ＜1， ∴y ＞-1，故答案为：A.7．已知：关于 x 的一元二次方程 ax 2−2(a −1)x +a −2=0(a >0) ，设方程的两个实数根分别为 x 1 ， x 2( 其中 x 1>x 2) ，若 y 是关于 a 的函数，且 y =x 1−ax 2 ，若 y >0 ，则（ ）A ．a <3B ．a >3C ．0<a <1D ．3>a >0【答案】D【解析】ax 2−2(a −1)x +a −2=0(a >0) 是关于 x 的一元二次方程，△=[−2(a −1)]2−4a(a −2)=4 ，由求根公式，得 x =2(a−1)±22a . ∴x =1 或 x =1−2a . ∵a >0 ， x 1>x 2 ， ∴x 1=1 ， x 2=1−2a . ∴y =x 1−ax 2=1−a(1−2a )=1−a +2>0 ，解得 a <3 ，∴3>a >0 .故答案为：D.8．已知关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx +c =0 与 cx 2+bx +a =0 ，且 ac ≠0 ， a ≠c. 下列说法正确的是（ ）A ．若方程 ax 2+bx +c =0 有两个相等的实数根，则方程 cx 2+bx +a =0 没有实数根B ．若方程 ax 2+bx +c =0 的两根符号相同，则方程 cx 2+bx +a =0 的两根符号也相同C ．若 5 是方程 ax 2+bx +c =0 的一个根，则 5 也是方程 cx 2+bx +a =0 的一个根D ．若方程 ax 2+bx +c =0 和方程 cx 2+bx +a =0 有一个相同的根，则这个根必是 x =1【答案】B【解析】A 、若方程程 ax 2+bx +c =0 有两个相等的实数根，则有 b 2−4ac =0 ，可得方程 cx 2+bx +a =0 也有两个相等的实数根，不符合题意； B 、若方程 ax 2+bx +c =0 的两根符号相同，即 c a >0 ，则方程 cx 2+bx +a =0 的两根符号也相同，符合题意；C 、把 x =5 代入方程得： 25a +5b +c =0 ，而 25c +5b +a 不一定为 0 ，即 x =5 不一定是方程 cx 2+bx +a =0 的一个根，不符合题意；D 、若方程 ax 2+bx +c =0 和方程 cx 2+bx +a =0 有一个相同的根，则有 ax 2+bx +c =cx 2+bx +a ，即 (a −c)x 2=a −c ，由 a ≠c ，得到 x 2=1 ，即 x =±1 ，不符合题意.故答案为：B.9．关于 x 的一元二次方程 x 2+2mx +2n =0 有两个整数根且乘积为正，关于 y 的一元二次方程 y 2+2ny +2m =0 同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②(m −1)2+(n −1)2≥2 ；③−1≤2m −2n ≤1 ，其中正确结论的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】D【解析】设方程 x 2+2mx +2n =0 的两根为x 1、x 2，方程 y 2+2ny +2m =0 同的两根为y 1、y 2．①∵关于x 的一元二次方程x 2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，∴x 1•x 2=2n ＞0，y 1•y 2=2m ＞0，∵x 1+x 2=-2m ，y 1+y 2=-2n ，∴这两个方程的根都是负根，①符合题意；②∵关于x 的一元二次方程x 2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，∴4m 2-8n≥0，4n 2-8m≥0，∴m 2-2n≥0，n 2-2m≥0，∴（m-1）2+（n-1）2=m 2-2n+1+n 2-2m+1≥2，②符合题意；③∵y 1•y 2=2m ，y 1+y 2=-2n ，∴2m-2n=y 1•y 2+y 1+y 2=（y 1+1）（y 2+1）-1，∵y 1、y 2均为负整数，∴（y 1+1）（y 2+1）≥0，∴2m-2n≥-1．∵x 1•x 2=2n ，x 1+x 2=-2m ，∴2n-2m=x 1•x2+x 1+x 2=（x 1+1）（x 2+1）-1，∵x 1、x 2均为负整数，∴（x 1+1）（x 2+1）≥0，∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．∴-1≤2m -2n≤1，③成立．综上所述：成立的结论有①②③．故答案为：D ．10．若 x 为任意实数，且 M =(7−x)(3−x)(4−x 2) ，则 M 的最大值为（ ）A ．10B ．84C ．100D ．121【答案】C【解析】M =(7−x)(3−x)(2+x)(2−x)=[(7−x)(2+x)]⋅[(3−x)(2−x)]=(−x 2+5x +14)(x 2−5x +6)=−(x 2−5x)2+8(x 2−5x)+84=−[(x 2−5x)−4]2+100 ，∵−1<0 ，∴M 的最大值为100.故答案为：C.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．对于实数m，n，定义一种运算∗为：m∗n=mn+n.如果关于x的方程x∗(a∗x)=−1 4有两个相等的实数根，则a=.【答案】0【解析】由x∗(a∗x)=−14得(a+1)x2+(a+1)x+14=0，依题意有a+1≠0，△=(a+1)2−(a+1)=0，解得，a=0，或a=−1(舍去).故答案为：0.12．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为468m2，那么小道进出口的宽度应为m.【答案】2【解析】设小道进出口的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，依题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝468，整理得：x2﹣35x+300＝0，解得：x1＝2，x2＝35.当x＝2时，30﹣2x＝26，符合题意；当x＝35时，30﹣2x＝﹣40＜0，不合题意，舍去.故答案为：2.13．已知关于x的方程x2－(k+2)x+2k=0，若等腰三角形ABC的一边长a=1，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为．【答案】5【解析】当b＝c时，Δ＝（k+2）2-8k＝0，解之：k＝2，方程化为x2−4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2，∴△ABC的周长＝2＋2＋1＝5；当b＝a＝1或c＝a＝1时，把x＝1代入方程得1−（k＋2）＋2k＝0，解之：k＝1，∴x2−3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，不符合三角形三边的关系，此情况舍去，∴△ABC的周长为5.故答案为：5.14．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0（a≠0）有一根为x=2021，则一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）=-2（a≠0）必有一根为【答案】2022【解析】∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0（a≠0）有一根为x=2021，∴一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）=-2（a≠0）即a（x-1）2+b（x-1）+2=0的根为∴x-1=2021解之：x=2022.故答案为：2022.15．如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=7cm，∠ABC=30°，点P从A点出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线BC方向以2cm/s的速度移动.如果 P 、 Q 两点同时出发，问：经过 秒后 △PBQ 的面积等于 4cm 2 .【答案】2【解析】如图，过点Q 作QE ⊥PB 于点E ，则 ∠QEB =90° ，∵∠ABC =30° ，∴2QE =QB ，设经过t 秒后△PBQ 的面积等于 4cm 2 ，则 PB =(6−t)cm ， QB =2t(cm) ， QE =t(cm) ，根据题意可得： 12×(6−t)⋅t =4 ∴t 1=2 ， t 2=4 ，当 t =4 时， 2t =8>7 ，不合题意；∴t =2 .∴ 经过2秒后△PBQ 的面积等于 4cm 2 .故答案为：2.16．若方程 x 2+2(1+a)x +3a 2+4ab +4b 2+2=0 有实根，则 b a = 【答案】−12 【解析】∵ 方程有实根，∴△≥0 ，即 △=4(1+a)2−4(3a 2+4ab +4b 2+2)≥0 ，化简得： 2a 2+4ab +4b 2−2a +1≤0 ，∴(a +2b)2+(a −1)2≤0 ，而 (a +2b)2+(a −1)2≥0 ， ∴a +2b =0 ， a −1=0 ，解得 a =1 ， b =−12， 所以 b a =−12 . 故答案为 ：−12 . 三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（m+3）x+m+2=0.（1）求证：无论实数m 取何值，方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根的平方等于4，求m 的值.【答案】（1）证明：∵△=[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）=（m+1）2≥0，∴无论实数 m 取何值，方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有一个根的平方等于 4，∴x=±2 是原方程的根， 当 x=2 时，4﹣2（m+3）+m+2=0.解得m=0；当 x=﹣2 时，4+2（m+3）+m+2=0，解得m=﹣4.综上所述，m 的值为0 或﹣4.18．已知关于x的一元二次方程x2-（m+5）x+5m=0．（1）若此方程的一个根是x=2，求方程的另一根；（2）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；（3）设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长求m的值．【答案】（1）解：∵此方程的一个根是x=2，∴4-2（m+5）+5m=0、解之：m=2∴原方程为：x2-7x+10=0∴（x-2）（x-5）=0∴x-2=0或x-5=0解之：x1=2，x2=5，答：方程的另一个根为5.（2）∵△=[-（m+5）]2-20m=（m-5）2，无论m取何值时（m-5）2≥0即△≥0∴这个一元二次方程一定有两个实数根.（3）解：x2-（m+5）x+5m=0，∴（x-5）（x-m）=0解之：x1=5，x2=m，∵该一元二次方程的两根为a，b，∴a=5，b=m或a=m，b=5，∵ 2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，∵5＞2当22+m2=52，解之：m1=√21，m2=−√21（舍去）；当22+52=m2，解之：m1=√29，m2=−√29（舍去）；答：m的值为√21或√29.19．已知关于x的一元二次方程x2−2kx+12k2−2=0.（1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x1，x2是方程的两个根，且x12−2kx1+2x1x2=2，求k的值.【答案】（1）证明：∵b2−4ac=(−2k)2−4×1×(12k2−2)=4k2−2k2+8=2k2+8>0∴不论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）解：∵x2−2kx+12k2−2=0∴x12−2kx1=2−12k2，x1x2=12k2−2∴x12−2kx1+2x1x2=2−12k2+2(12k2−2)=2解得k=±2√2.20．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间的销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价a元，则平均每天的销售数量为件（用含a的代数式表示）．（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元？（3）该商店每天的销售利润可能达到1450元吗？请说明理由．【答案】（1）（20+2a）（2）解：设每件商品降价 a 元，则每件盈利（40-a）元，售出件数为（20+2a）件则（20+2a）（40-a）=1200a2−30a+200=0（a-20）（a-10）=0∴a1=20，a2=10当a=20时，40-a =20＜25∴a =20舍去答：当每件商品降价10 元时，该商店每天销售利润为1200 元.（3）解：设每件商品降价 a 元，则每件盈利（40-a）元，售出件数为（20+2a）件则(20 +2a)(40-a)=1450a2−30a+325=0Δ=900−4×325<0∴此方程无解.∴不可能达到利润1450元.【解析】（1）∵销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，∴降价a元，平均每天可多售出2a件，∴降价a元，平均每天的销售数量为（20+2a）件，故答案为：（20+2a）；21．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件.（1）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元.（2）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由【答案】（1）解：设降价x元，由题意得(20+2x)(40−x)=1200，x1=20，x2=10，答：每件童装降价20元或10元.（2）解：设降价x元，由题意得(20+2x)(40−x)=2000，x2-30x+600=0，∆=900-2400=-1500<0，此方程无解，故不可能做到平均每天盈利2000元.22．定义，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1，x2（x1≤x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M(x1，x2)，则称点M为该一元二次方程的的衍生点.（1）若方程为x2−3x=0，写出该方程的的衍生点M的坐标.（2）若关于x的一元二次方程x2−(5m+1)x+5m=1的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值.（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c=0的衍生点M 始终在直线y=kx+2(k+3)的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由.【答案】（1）解：∵x2−3x=0，∴x（x-3）=0，解得：x1=0，x2=3，故方程x2-3x=0的衍生点为M（0，3）.（2）解：∵x2−(5m+1)x+5m=1整理得：x2−(5m+1)x+5m−1=0，设方程的两根分别为x1、x2，且x1≤x2，由于过点M向两坐标轴作垂线，两条垂线与x轴y轴恰好围成一个正方形，当x1=x2时，∴△=b2−4ac=[−(5m+1)]2−4×1×(5m−1)=0，整理得：5m2−2m+1=0，此时方程无解，当x1<x2时，则x1+x2=0，∴5m+1=0，解得m=−15.（3）解：存在. 理由如下：∵直线y=kx+2(k+3)=k(x+2)+6∴ 直线过定点 M(−2，6) ，∴x 2+bx+c=0两个根为 x 1=−2，x 2=6 ，∴∴−2+6=−b ， −2×6=c ，∴b =−4 ， c =−12 .23．某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面(粗线A-B-C 表示墙面)建饲养场，已知AB ⊥BC ，AB=3米，BC=15米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF ，并在每个区域开一个宽2米的门，如图(细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH 隔开)，点F 可能在线段BC 上，也可能在线段BC 的延长线上．（1）如图1，当点F 在线段BC 上时，①设EF 的长为x 米，则DE= ▲ 米；(用含 x 的代数式表示)②若围成的饲养场BDEF 的面积为132平方米，求饲养场的宽EF 的长；（2）如图2，当点F 在线段BC 延长线上，所围成的饲养场BDEF 的面积能否为156平方米？如果能达到，求出EF 的长；如果不能，请说明理由．【答案】（1）解：①45-3x ；②由题意得：x(45-3x)= 132，解得：x 1=4，x 2=11当x 1=4时，BF=33> BC ，∴x 1=4舍去；当x 2=11时，BF=12< BC ，答：若围成的饲养场BDEF 的面积为132 平方米，饲养场的宽EF 的长为11米（2）解：设EF 的长为x 米，则DE= 60−3x 2 则x·60−3x 2=15.6 整理得：x 2-20x+104=0，此方程无实根，∴不能达到【解析】（1）①∵BD=EF=x ，AB=3，∴AD=x-3，∴DE-4=38-（x-3）-x-x ，∴DE=（45-3x ）米，故答案为：45-3x ；24．某水果微商九月中旬购进了榴莲和江安李共600千克，榴莲和江安李的进价均为每千克24元，榴莲以售价每千克45元，江安李以售价每千克36元的价格很快销售完.（1）若水果微商九月中旬获利不低于10440元，求购进榴莲至少多少千克？（2）为了增加销售量，获得更大利润，根据销售情况和“国庆中秋双节”即将来临的市场分析，在进价不变的情况下该水果微商九月下旬决定调整售价，将榴莲的售价在九月中旬的基础上下调a%（降价后售价不低于进价），江安李的售价在九月中旬的基础上上涨53a%；同时，与（1）中获得最低利润时的销售量相比，榴莲的销售量下降了56a%，而江安李的销售量上升了25%，结果九月下旬的销售额比九月中旬增加了360元，求a 的值.【答案】（1）解：设购进榴莲x 千克，则购进江安李（600﹣x ）千克，根据题意可得：（45﹣24）x+（600﹣x ）（36﹣24）≥10440解得：x≥360，答：购进榴莲至少360千克；（2）解：九月份下旬的销售额＝45×360+36×240+360＝25200（元），45（1﹣a%）×360（1﹣56a%）+36（1+53a%）×240（1+25%）＝25200， 令a%＝t ，整理得：15t 2﹣13t+2＝0，解得：t 1＝23，t 2＝15，当t ＝23时，售价＝75×（1﹣23）＝25＜40，不合题意舍去； 当t ＝15时，售价＝75×（1﹣15）＝60＞40， 故a ＝20.。

2022—2023年学年度（浙教版）八年级数学下册章节练习第2单元一元二次方程单元检测学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(共30分)1．(本题3分)将一元二次方程2670x x -+=通过配方转化为2()x a b +=的形式，下列结果中正确的是（ ） A ．2(3)2x -=B ．2(6)2x -=C ．2(3)2x -=-D ．2(6)4x -=2．(本题3分)在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ） A ．9人B ．10人C ．11人D ．12人3．(本题3分)已知关于x 的一元二次方程x2+2x+m ﹣2=0有两个实数根，m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m 的和为（ ） A ．6B ．5C ．4D ．34．(本题3分)一元二次方程(1)(3)25x x x +-=-根的情况是（ ） A ．无实数根B ．有一个正根，一个负根C ．有两个正根，且都小于3D ．有两个正根，且有一根大于35．(本题3分)某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ） A ．2%B ．4.4%C ．20%D ．44%6．(本题3分)若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1B ．m ≤1C ．m ＞1D ．m ＜17．(本题3分)欧几里得的《原本》记载，形如22x ax b +=的方程的图解法是：画Rt ABC ∆，使90ACB ∠=︒，2aBC =，AC b =，再在斜边AB 上截取2a BD =．则该方程的一个正根是（ ）A ．AC 的长B ．AD 的长C ．BC 的长D ．CD 的长8．(本题3分)若α，β是一元二次方程3x 2+2x －9=0的两根，则βααβ+的值是（ ）. A ．427B ．－427C ．－5827D ．58279．(本题3分)一个等腰三角形的两条边长分别是方程27100x x -+=的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A ．12B ．9C ．13D ．12或910．(本题3分)宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价180元增加x 元，则有（ ） A ．180(20)501089010x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭B ．1805050201089010x x -⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭C ．(18020)501089010x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭D ．(180)5050201089010x x ⎛⎫+--⨯= ⎪⎝⎭ 二、填空题(共24分)11．(本题4分)若m 是方程2x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，则6m 2﹣9m +2016的值为_____． 12．(本题4分)已知x =2是关于x 的一元二次方程kx 2+（k 2﹣2）x +2k +4=0的一个根，则k 的值为_____．13．(本题4分)一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x 2-10x +21=0的根，则三角形的周长为______________.14．(本题4分)为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x 个球队参赛，根据题意，可列方程为_____．15．(本题4分)已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，且关于x 的方程(c －b )x 2＋2(b －a )x ＋(a －b )＝0有两个相等的实数根，那么这个三角形是________三角形．16．(本题4分)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN 最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m 长的墙的材料，当矩形花园的面积为300 m 2时，则____AB =三、解答题(共66分) 17．(本题6分)解下列方程：（1）2313140x x -+= （2）25310x x --= 18．(本题6分)已知关于x 的方程220x ax a ++-=（1）当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．19．(本题8分)已知关于x 的方程x 2﹣2kx+k ﹣14=0的一个根大于1，另一个根小于1，求实数k 的取值范围．20．(本题10分)某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测4月份该公司的生产成本．21．(本题10分)关于x 的一元二次方程()()220c a x bx c a +++-=，其中a 、b 、c 分别为ABC 三边的长．()1如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状，并说明理由；()2已知::3:4:5a b c =，求该一元二次方程的根．22．(本题12分)在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍． (1)按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？(2)到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a %，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a %，5a %，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a %，8a %，求a 的值．23．(本题14分)如图，已知在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，8AC =，16BC =，D 是AC 上的一点，3CD =，点P 从B 点出发沿射线BC 方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P 的运动时间为t ，连接AP ．t=秒时，求AP的长度（结果保留根号）；(1)当3(2)当ABP为等腰三角形时，求t的值；(3)过点D作DE AP⊥于点E，连接DP．在点P的运动过程中，当t为何值时，PD平∠？分APC参考答案：1．A2．C3．B4．D5．C6．D7．B8．C9．A10．C 11．2019． 12．﹣3 13．1614．12x （x ﹣1）=21 15．等腰 16．15m17．解：（1）原方程可化为：()()2370x x --=，∴1272,3x x == 解： （2）∵92029∆=+=，∴x =∴12x x ==18．解：（1）设方程的另一根为x 1， ∵该方程的一个根为1， ∴1111211a x a x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪⋅=⎪⎩， 解得13212x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴a 的值为12，该方程的另一根为32-．（2）∵()()222241248444240a a a a a a a ∆=-⨯⨯-=-+=-++=-+>， ∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 19．解：设两根为x 1＞1，x 2＜1． 那么x 1﹣1＞0，x 2﹣1＜0． ∴（x 1﹣1）（x 2﹣1）＜0． x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1＜0． ∴k ﹣0.25﹣2k+1＜0． 解得k ＞34．由判别式△＞0，（2k ﹣1）2＞0；k ≠12综上：k 的取值范围为k ＞3420．（1）设每个月生产成本的下降率为x ， 根据题意得：400（1﹣x ）2=361，解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95（不合题意，舍去）． 答：每个月生产成本的下降率为5%； （2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元． 21．解：()1直角三角形，理由如下：∵方程()()220c a x bx c a +++-=有两个相等的实数根，∴()()2440b c a c a =-+-=，即222c a b =+，∵a 、b 、c 分别为ABC 三边的长， ∴ABC 为直角三角形．()2∵::3:4:5a b c =，∴设3a t =，4b t =，5c t =， ∴原方程可变为：24410x x ++=， 解得：12x =-．22．（1）设2018年前5个月要修建x 个沼气池，则2018年前5个月要修建（50﹣x ）个垃圾集中处理点，根据题意得：x ≥4（50﹣x ）， 解得：x ≥40．答：按计划，2018年前5个月至少要修建40个沼气池．（2）修建每个沼气池的平均费用为78÷[40+（50﹣40）×2]=1.3（万元）， 修建每个垃圾处理点的平均费用为1.3×2=2.6（万元）．根据题意得：1.3×（1+a %）×40×（1+5a %）+2.6×（1+5a %）×10×（1+8a %）=78×（1+10a %）， 设y =a %，整理得：50y 2﹣5y =0， 解得：y 1=0（不合题意，舍去），y 2=0.1，∴a 的值为10．23．（1）解：根据题意，得2BP t =，162162310PC t =-=-⨯=，8AC =，在Rt APC △中，根据勾股定理，得AP = （2）解：在Rt ABC △中，8AC =，16BC =，根据勾股定理，得AB = 若BA BP =，则2t =t =若AB AP =，则232BP BC ==，即232t =，解得16t =； 若PA PB =，则222(2)(162)8t t =-+，解得5t =．∴当ABP 为等腰三角形时，t 的值为16或5． （3）解：①当点P 在线段BC 上时，如图1所示：∵DE AP ⊥，∴90PED ACB ∠=∠=︒， ∵PD 平分APC ∠， ∴APD CPD ∠=∠， 又∵PD PD =，∴(AAS)PDE PDC △≌△，∴3ED CD ==，162PE PC t ==-， ∵835AD AC CD =-=-=，∴4AE ，∴4162202AP AE PE t t =+=+-=-，在Rt APC △中，由勾股定理得：2228(162)(202)t t +-=-， ∴5t =；②当点P 在线段BC 的延长线上时，如图2所示：同①得：(AAS)PDE PDC △≌△， ∴3ED CD ==，216PE PC t ==-， ∵835AD AC CD =-=-=，∴4AE ，∴4216212AP AE PE t t =+=+-=-， 在Rt APC △中，由勾股定理得：2228(216)(212)t t +-=-，∴11t =．综上所述，在点P 的运动过程中，当t 的值为5或11时，PD 平分APC ∠．。

第二章 一元二次方程测试（120分）（附答案）班级 学号 姓名 得分（A ）()()12132+=+x x （B)02112=-+x x（C ）02=++c bx ax （D ） 1222-=+x x x 2、已知3是关于x 的方程012342=+-a x 的一个解,则2a 的值是( ） (A ）11 （B)12 (C ）13 （D ）143、关于x 的一元二次方程02=+k x 有实数根，则（ ）(A ）k ＜0 （B ）k ＞0 （C ）k ≥0 （D ）k ≤0 4、已知x 、y 是实数，若0=xy ，则下列说法正确的是（ ）（A)x 一定是0 （B ）y 一定是0 （C)0=x 或0=y （D ）0=x 且0=y 5、若12+x 与12-x 互为倒数，则实数x 为（ ) (A)±21(B ）±1 （C ）±22 （D)±26、若方程02=++c bx ax )0(≠a 中，c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ，则方程的根是（ )(A ）1，0 （B ）—1，0 (C ）1，—1 （D ）无法确定 7、用配方法解关于x 的方程x 2+ px + q = 0时，此方程可变形为（ )（A ） 22()24p p x +=（B ） 224()24p p qx -+=（C ） 224()24p p qx +-=（D ） 224()24p q p x --=8、使分式2561x x x --+ 的值等于零的x 是 ( ）（A ）6 （B ）-1或6 (C ）—1 （D ）—6 9、方程0)2)(1(=-+x x x 的解是（ ）(A ）-1,2 （B)1，-2 （C ）、0,—1，2 （D ）0，1，-210、某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为 ( ) （A)x(x ＋1）＝1035 （B)x （x －1）＝1035×2 （C)x(x －1)＝1035 （D)2x （x ＋1）＝1035二、填空题（每格2分，共36分)11、把一元二次方程4)3(2=-x 化为一般形式为： ,二次项为: ，一次项系数为： ，常数项为： 。

2022—2023年学年度（浙教版）八年级数学下册章节练习2.4一元二次方程根与系数之间的关系学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(共30分)1．(本题3分)已知2230x x --=的两个根为12x x ，，则12x x +的值为（ ） A ．2-B ．2C ．5-D ．52．(本题3分)若1x ，2x 是一元二次方程2350x x +-=的两个实根，则2212x x +的值是（ ）A ．1B ．11C ．19D ．293．(本题3分)若m ，n 是一元二次方程2490x x +-=的两个根，则25m m n ++的值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．124．(本题3分)设α、β是方程2201920x x +-=的两根，则()()222022120221ααββ+-+-的值为（ ） A ．6076 B ．－6074 C ．6040D ．－60405．(本题3分)已知αβ、是一元二次方程2520x x --=的两个不相等的实数根，则αβαβ++的值为（ ）A ．1-B ．5C ．3D ．2-6．(本题3分)若关于x 的一元二次方程22120x x m ++-=的两个实数根之积为负数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0m >B ．12m >C ．12m <D ．0m <7．(本题3分)已知1x ，2x 是一元二次方程220x x -=的两个实数根，下列结论正确的是（ ） A ．12=2x x +-B ．120x x ⋅=C ．120x x +=D ．12=2x x ⋅-8．(本题3分)若关于x 的一元二次方程()2220x k x k +++=的两根互为倒数，则k =（ ）A ．3B ．1C ．1-D ．1±9．(本题3分)已知m ，n 是方程210x +=的两个根.记11111S m n=+++，2221111S m n =+++，…，1111tt tS m n =+++（t 为正整数）．若21256t S S S t +++=-，则t 的值为（ ）10．(本题3分)已知a ，b 是方程210x x --=的两根，则代数式3325331a a b b ++++的值是（ ） A ．19B ．20C ．14D ．15二、填空题(共32分)11．(本题4分)已知关于x 的方程230x x a +-=有一个根是11x =，则方程的另一个根2x =_____．12．(本题4分)已知12x x ，是一元二次方程2240x x --＝的两个根，则121222x x x x +-的值为______．13．(本题4分)已知1x 、2x 是关于x 的方程250x x m -+=的两个实数根，且12123x x x x --=-，则m =_____．14．(本题4分)260x -=的两个实数根分别为12,x x ，且12x x 的值为菱形ABCD 的棱长，则菱形ABCD 的周长为______．15．(本题4分)已知1x ，2x 为方程2310x x --=的两根．则()()1222x x ++=_____________．16．(本题4分)已知实数a 、b （a b ），且2310a a -+=，2310b b -+=；则221111a b +++的值是___________；17．(本题4分)已知一元二次方程()200ax bx c a ++=≠中，下列说法： ①若0a b c ++=，则2-4>0b ac ； ①若方程两根为-1和2，则20a c +=；①若方程2+=0ax c 有两个不相等的实数根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实数根；①若2b a c =+，则方程有两个不相等的实数根． 其中正确的有______．（填序号）18．(本题4分)若关于x 的一元二次方程2220x x m m +--= (0)m >，当1,2,3,,2022m =时，相应的一元二次方程的两根分别记为112220222022,;,;;,,αβαβαβ则112220222022111111αβαβαβ+++++的值为________________________．三、解答题(共58分)19．(本题8分)已知关于x 的一元二次方程()23260x m x +--=的两根互为相反数，求m的值20．(本题8分)已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=． (1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若12x x ，是原方程的两根，且12x x -=m 的值．21．(本题8分)已知关于x 的一元二次方程24250x x m --+=有两个实数根． (1)求实数m 的取值范围：(2)若1x ，2x 是该方程的两个根，且满足212126x x x x m ++=+，求m 的值． 22．(本题10分)若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12x x ，则12b x x a+=-，12cx x a⋅=，我们把这个命题叫做韦达定理．设m ，n 是方程2520x x -+=的两根，请根据韦达定理求下列各式的值： (1)m n += ；mn = ； (2)(1)(1)m n ++； (3)235m mn n -+．23．(本题12分)阅读材料：材料1：若关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个根为1x ，2x ，则12bx x a+=-，12c x x a=． 材料2：已知一元二次方程210x x --=的两个实数根分别为m ，n ，求22m n mn +的值． 解：①一元二次方程210x x --=的两个实数根分别为m ，n ，①1m n +=，1mn =-，则()22111m n mn mn m n +=+=-⨯=-根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程22310x x --=的两个根为12,x x ，则1212x x x x --=___________；(2)类比应用：已知一元二次方程22310x x --=的两根分别为m 、n ，求n mm n+的值． (3)思维拓展：已知实数s 、t 满足22310s s -=-，22310t t -=-，且s t ≠，求11s t-的值．24．(本题12分)观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：2320x x -+=，方程的两个根分别是11x =，22x =；第2个方程：2560x x -+=，方程的两个根分别是12x =，23x =； 第3个方程：27120x x -+=；方程的两个根分别是13x =，24x =；第4个方程：29200x x -+=；方程的两个根分别是14x =，25x =； ……(1)请按照此规律写出两个根分别是18x =，29x =的一元二次方程 ．(2)如果关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程210x +=是否是“邻根方程”；(3)已知关于x 的方程()2330x m x m -++=（m 是常数）是“邻根方程”，且这两个根是某个直角三角形的两条边，求此三角形第三边的长是多少．参考答案：1．B2．C3．B4．B5．C6．B7．B8．B9．B10．D 11．4- 12．8 13．2 14．4 15．9 16．1 17．①①①． 18． 4044=202319．解：①关于x 的一元二次方程()23260x m x +--=的两根互为相反数，①120x x +=， 即()320m --= 解得：23m =20．（1）解：原方程总有两个不相等的实数根，2(3)10x m x m ++++=中1a =，3b m =+，1c m =+，①2224(3)41(1)25b ac m m m m ∆=-=+-⨯⨯+=++， ①()2Δ140m =++>，①无论m 取何值，原方程的判别式恒大于零， ①无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根．（2）解：2(3)10x m x m ++++=中1a =，3b m =+，1c m =+，且12x x ，是原方程的两根，12x x -= ①12(3)bx x m a +=-=-+，121c x x m a•==+， ①2222121122()2(3)x x x x x x m +=++=+，则22212(3)2(1)x x m m +=+-+，①12x x -=(2212()x x -=， ①221212220x x x x +-=，①2(3)2(1)2(1)20m m m +-+-+=， 整理得，22150m m +-=， 解方程得，13m =，25m =-， ①m 的值3或5-．21．（1）解：①方程有两个实数根， ①()()2441250m --⨯⨯-+≥， ①12m ≥； （2）①1x ，2x 是该方程的两个根， ①124x x +=，1225x x m =-+， ①212126x x x x m ++=+， ①22546m m -++=+， 解得：3m =-或1m =， ①12m ≥， ①1m =． 22．（1）解：m ，n 是方程2520x x -+=的两根，5m n ∴+=，2mn =， 故答案为：5，2； （2）解：(1)(1)m n ++()1mn m n =+++251=++8=；（3）解：m ，n 是方程2520x x -+=的两根，2520m m ∴-+=，得252m m =-，235m mn n ∴-+5235m mn n =--+5()32m n mn =+--55322=⨯-⨯-2562=--17=．23．（1）解：一元二次方程22310x x --=的两个根为12,x x ，123322x x -∴+=-=，121122x x -==-， ()1212121213222x x x x x x x x ∴--=-+=--=-，故答案为：2-；（2）解：一元二次方程22310x x --=的两根分别为m 、n ，32m n ∴+=，12mn =-， ∴n m m n+ 22n m mn+=2()2m n mnmn+-=231()2()2212-⨯-=- 132=-； （3）解：实数s 、t 满足22310s s -=-，22310t t -=-， s ∴与t 看作是方程22310x x --=的两个实数根，32s t ∴+=，12st =-， 22()()4s t s t st ∴-=+-，2231()()4()22s t -=-⨯-，217()4s t -=，s t ∴-=∴11s t- t sst-=()s t st --=212=-=24．（1）由题意可知： ①方程的一次项系数为：891b +=-， ①17b =-，①方程的常数项为：891c ⨯=，①72c =，所以18x =，29x =对应的一元二次方程为：217720x x -+=． （2）①210x +=①1x =，2x =①121x x -==①210x +=是“邻根方程”． （3）①2(3)30x m x m -++=， ①(3)()0x x m --=， ①13x =，2x m =，①关于x 的方程2(3)30x m x m -++=（m 是常数）是“邻根方程”， ①31m -=或31m -=， ①解得：m =2或4，又①方程两根为直角三角形的两条边， 当方程两根为2和3时：若2和3=若2为直角边，3=；当方程两根为3和4时：若3和45；若3为直角边，4；5．。

浙教版2022-2023学年八下数学第二章 一元二次方程 培优测试卷（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）A ．2x −1=0B ．3x +x 2=7C ．x 2−2x −3=0D ．x +y =6 【答案】C【解析】A 、方程是一元一次方程，故此选项不符合题意；B 、不是整式方程，故此选项不符合题意；C 、方程是只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为2（即“次”）的整式方程，符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意；B 、方程是二元一次方程，故此选项不符合题意.故答案为：C.2．若关于x 的方程x 2+2x +a =0有两个不相等的实数根，则a 的值可以是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】D【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2+2x +a =0有两个不相等的实数根，∴△=4−4×1×a =4−4a ，当a=3时，4−4a =4−4×3=−8＜0，方程没有实数根，A 不符合题意；当a=2时，4−4a =4−4×2=−4＜0，方程没有实数根，B 不符合题意；当a=1时，4−4a =4−4×1=0，方程由两个相等的实根，C 不符合题意；当a=0时，4−4a =4−4×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，D 符合题意．故答案为：D ．3．用配方法解一元二次方程y 2−y −12=0时，下列变形正确的是（ ） A ．(y +12)2=1 B ．(y −12)2=34 C ．(y +12)2=34 D ．(y −12)2=1 【答案】B【解析】y 2−y −12=0， 移项得：y 2−y =12， 配方得：y 2−y +(12)2=12+(12)2， 即(y −12)2=34． 故答案为：B ．4．一元二次方程x （x ﹣2）＝2﹣x 的根是（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝2C ．x 1＝1，x 2＝2D ．x 1＝﹣1，x 2＝2【答案】D【解析】x （x ﹣2）+（x ﹣2）＝0，（x ﹣2）（x+1）＝0，x ﹣2＝0或x+1＝0，所以x 1＝2，x 2＝﹣1．故答案为：D ．5．关于x 的一元二次方程x 2+4x+（1-m ）（m-3）=0，下列选项正确的是（ ）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．根的个数与m 的取值有关【答案】C【解析】 x 2+4x+（1-m ）（m-3）=0b 2-4ac=16-4（1-m ）（m-3）=4（m 2-4m+7）=4（m-2）2+12无论m取何值时4（m-2）2+12＞0即b2-4ac＞0∴此方程有两个不相等的实数根.故答案为：C.6．已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程x2−7x+12=0的一个根，则这个三角形的周长是（）A．12B．13C．12或13D．15【答案】B【解析】∵x2−7x+12=0，即（x﹣3）（x﹣4）=0，∴x﹣3=0或x﹣4=0，解得：x=3或x=4，当x=3时，则三角形的三边3+3=6，无法构成三角形，舍去；当x=4时，这个三角形的周长为3+4+6=13，故答案为：B．7．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约2亿元，第三天票房收入约达到4亿元，设票房收入每天平均增长率为x，下面所列方程正确的是（）A．2(1+x)2=4B．2(1+2x)=4C．2(1−x)2=4D．2+2(1+x)+2(1+x)2=4【答案】A【解析】设平均每天票房的增长率为x，根据题意得：2(1+x)2=4．故答案为：A．8．如图，在一块长为20m，宽为12m的矩形ABCD空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路.四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为40m2.设道路宽为xm，则以下方程正确的是（）A．32x+4x2=40B．32x+8x2=40C．64x−4x2=40D．64x−8x2=40【答案】B【解析】设道路宽为x m，则中间正方形的边长为4x m，依题意，得：x（20+4x+12+4x）=40，即32x+8x2=40.故答案为：B.9．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第n行有n个点……，前n行的点数和不能是以下哪个结果（）A．741B．600C．465D．300【答案】B【解析】前n行的点数之和为1+2+3+⋯…+n=12n(n+1)，若前n行的点数之和为741，则12n(n+1)=741，解得n=38或n=−39(舍)，即前38行的点数之和为741，故此选项不符合题意；若前n 行的点数之和为600，则 12n(n +1)=600 ，解得 n =−12±√48012 ， n 不是整数，即不存在前 n 行的点数之和为600，故此选项符合题意；若前n 行的点数之和为465，则 12n(n +1)=465 ，解得 n =30 或 n =−31( 舍 ) ，即前30行的点数之和为465，故此选项不符合题意；若前n 行的点数之和为300，则 12n(n +1)=300 ，解得 n =24 或 n =−25( 舍 ) ，即前24行的点数之和为300，故此选项不符合题意.故答案为：B.10．下列关于一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的命题中：真命题有（ ）①若a ﹣b+c ＝0则b 2﹣4ac≥0；②若方程ax 2+bx+c ＝0两根为1和2，则2a ﹣c ＝0；③若方程ax 2+c ＝0有两个不相等的实根，则方程ax 2+bx+c ＝0必有实根A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①③【答案】A【解析】a ﹣b+c ＝0，则b ＝a+c ，△＝（a+c ）2﹣4ac ＝（a ﹣c ）2≥0，所以①正确；∵方程ax 2+bx+c ＝0两根为1和2， ∴1×2＝ c a ，则c ＝2a ， ∴2a ﹣c ＝2a ﹣2a ＝0，所以②正确；∵方程ax 2+c ＝0有两个不相等的实根，∴ac ＜0，∴Δ＝b 2﹣4ac ＞0，∴方程ax 2+bx+c ＝0必有两个实根，所以③正确.故答案为：A.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx −1=0的一个解是x =1，则2023-a-b= ．【答案】2022【解析】∵一元二次方程ax 2+bx −1=0的一个解是x =1，∴a +b −1=0，∴a +b =1，∴−(a +b)=−a −b =−1，∴2023−a −b =2023−1=2022．故答案为：202212．若a 是方程2x 2-x-5=0的一个根，则代数式2a-4a 2+1的值是【答案】-9【解析】∵a 是方程2x 2-x-5=0的一个根，∴2a 2-a-5=0，∴2a 2-a=5，∴2a-4a 2+1=-2(2a 2-a) +1=-2×5+1=-9. 故答案为：-9.13．若方程x 2−(a −3)x −3a −b 2=0有两个相等的根，则方程x 2+ax +b =0的根分别是 ．【答案】x 1=0，x 2=3或x 1=3，x 2=0【解析】∵关于x 的方程x 2﹣（a ﹣3）x ﹣3a ﹣b 2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝[﹣（a ﹣3）]2﹣4（﹣3a ﹣b 2）＝a 2+6a +9+4b 2＝（a+3）2+4b 2＝0，∴a ＝﹣3，b ＝0，把a ＝﹣3，b ＝0代入x 2+ax+b ＝0得：x 2﹣3x ＝0，解得：x 1＝0，x 2＝3．故答案为：x 1＝0，x 2＝3．14．若关于x 的一元二次方程a(x －h)2+k=0的解是x 1=－2，x 2=1，则关于x 的一元二次方程a(x －h+3)2+k=0的解是 ．【答案】x 1=－5，x 2=－2【解析】∵ 关于x 的一元二次方程a(x －h)2+k=0的解是x 1=－2，x 2=1，∴关于x 的一元二次方程a(x －h+3)2+k=0的解为x+3=-2或x+3=1解之：x 1=－5，x 2=－2.故答案为：x 1=－5，x 2=－2.15．已知关于x 的方程x 2－(k+2)x+2k=0，若等腰三角形ABC 的一边长a=1，另外两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，则△ABC 的周长为 ．【答案】5【解析】当b ＝c 时，Δ＝（k+2）2-8k ＝0，解之：k ＝2，方程化为x 2−4x ＋4＝0，解得x 1＝x 2＝2，∴△ABC 的周长＝2＋2＋1＝5；当b ＝a ＝1或c ＝a ＝1时，把x ＝1代入方程得1−（k ＋2）＋2k ＝0，解之：k ＝1，∴x 2−3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2，不符合三角形三边的关系，此情况舍去，∴△ABC 的周长为5.故答案为：5.16．设一元二次方程 ax 2+bx +c =0 的两根为 x 1，x 2 ，则两根分别与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=c a . 根据该材料选择：已知 a ，b 是方程 x 2+(m +2)x +1=0 的两根，则(a 2+ma +1)(b 2+mb +1) 的值为 .【答案】4【解析】∵a ，b 是方程x 2+（m+2）x+1＝0的两根，∴a 2+（m+2）a+1＝0，b 2+（m+2）b+1＝0，ab ＝1，∴原式＝[a 2+（m+2）a+1﹣2a][b 2+（m+2）b+1﹣2b]＝（0﹣2a ）（0﹣2b ）＝4ab＝4．故答案为：4.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．按照指定方法解下列方程：（1）16x 2+8x =3（公式法）；（2）2x 2+5x −1=0（配方法）；（3）6−2y =(y −3)2（因式分解法）．【答案】（1）解：16x 2+8x =3，16x 2+8x −3=0，b 2−4ac =82−4×16×(−3)=256>0，x =−8±√2562×16，x 1=14，x 2=−34； （2）解：方程整理得：x 2+52x =12，配方得：x 2+52x +2516=12+2516，即(x +54)2=3316，开方得：x +54=±√334，解得：x 1=−54+√334，x 2=−54−√334；（3）解：方程整理得：(y −3)2+2(y −3)=0，分解因式得：(y −3)(y −3+2)=0，可得y −3=0或y −1=0，解得：y 1=3，y 2=1．18．如图，要在墙边围一个矩形花圃．花圃的一边靠墙（墙的长度不限），另三边用篱笆围成．如果矩形花圃的面积为50平方米，篱笆长20米，求矩形花圃的长和宽各是多少米？【答案】解：设围成的矩形花圃的宽为x 米，则长为(20−2x)米．根据题意列方程：x(20−2x)=50解得：x 1=x 2=5则20−2x =10．答：矩形花圃的长10米、宽5米．19．小芳家今年添置了新电器已知今年5月份的用电量是120千瓦时，根据去年5至7月用电量的增长趋势，预计今年7月份的用电量将达到240千瓦时.假设今年5至6月用电量月增长率是6至7月用电量月增长率的1.5倍，预计小芳家今年6月份的用电量是多少千瓦时.【答案】.解：设今年6至7月用电量月增长率为x ，则今年5至6月用电量月增长率为1.5x ，根据题意得120（1+1.5x ）（1+x ）=240，解得x 1= 13 ，x 2=-2（不合题意，舍去）， ∴小芳家6月份的用电量为12×（1+1.5x ）=120×（1+1.5× 13 ）=180（千瓦时） 答：预计小芳家6月份用电量为180千瓦时.20．已知关于x 的一元二次方程：x 2+（k-5）x+4-k=0（1）求证：无论k 为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求另一个根及k 的值．【答案】（1）解：∵△=（k-5）2-4×1×（4-k ）=k 2-2k+1=（k-3）2≥0，∴无论k 取任何值，方程总有实数根．（2）解：∵x=2是方程x 2+（k-5）x+4-k=0的一个根，∴22+（k-5）×2+4-k=0， 解得：k=2，设方程的另一个根为x 1，则x•x 1=4-k ，即2×x 1=2， x 1=1，则方程的另一个根为1．21．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，关于x 的一元二次方程(a +c)x 2+2bx +a −c =0有两个相等的实数根．（1）请判断△ABC 的形状；（2）当a =5，b =3时，求一元二次方程的解．【答案】（1）解：∵关于x 的一元二次方程(a +c)x 2+2bx +a −c =0有两个相等的实数根， ∴Δ=(2b)2−4(a +c)(a −c)=0，∴b 2+c 2=a 2，∴△ABC 为直角三角形；（2）解：∵b 2+c 2=a 2，a =5，b =3，∴c =√a 2−b 2=4，∴a +c =9=2b =6=a −c =1，∴原方程为9x 2+6x +1=0， 解得：x 1=x 2=−13． 22．已知关于x 的方程x 2+2mx+n=0（m 、n 是常数）有两个相等的实数根．（1）求证：m 2=n ； （2）求证：m +n ≥−14． 【答案】（1）证明：∵关于x 的方程x 2+2mx+n=0有两个相等的实数根，∴Δ=（2m ）2-4n=0，∴m 2=n ；（2）证明：∵n=m2，∴m+n=m+m2=(m+12)2-14，∵(m+12)2≥0，∴m+n≥-14．23．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件.为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润.据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件.设每件童装降价x元.（1）每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含x的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元.（3）平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由.【答案】（1）解：由题意，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40-x）元；（2）解：由题意，（40-x）（20+2x）=1200，整理，得：x2-30x+200=0，解得：x1=10，x2=20，∵适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，∴x=20，答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元.（3）解：平均每天盈利不能达到2000元，理由为：由（40-x）（20+2x）=2000，整理，得：x2-30x+600=0，∵△=（-30）2-4×1×600=-1500＜0，∴所列方程无实数根，故平均每天盈利不能达到2000元.24．已知关于x的方程x2+(m−2)x−9=0.（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根.（2）若这个方程的两个实根α，β，满足2α+β=m+1，求m的值.【答案】（1）证明：∵b2−4ac=(m−2)2−4×1−(−9)=(m−2)2+36，无论m取何实数，b2−4ac的值都大于零.∴这个方程总有两个不相等的实数根.（2）解：∵α，β是方程的两个实数根，∴α+β=2−m.又∵2α+β=m+1，∴α+2−m=m+1.∴α=2m−1，代入原方程得：(2m−1)2+(m−2)(2m−1)−9=0，化简得：2m2−3m−2=0.解得：m1=2，m2=−12.。

浙教版2022-2023学年八下数学第二章一元二次方程尖子生测试卷1（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．已知关于x的方程kx2+(1−k)x−1=0，下列说法正确的是（）A．当k=0时，方程无解B．当k=1时，方程有一个实数解C．当k=−1时，方程有两个相等的实数解D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解【答案】C【解析】当k=0时，方程为一元一次方程x−1=0有唯一解。

当k≠0时，方程为一元二次方程，的情况由根的判别式确定：∵Δ=(1−k)2−4⋅k⋅(−1)=(k+1)2，∴当k=−1时，方程有两个相等的实数解，当k≠0且k≠−1时，方程有两个不相等的实数解。

综上所述，说法C符合题意。

故答案为：C。

2．若关于x的一元二次方程ax2−2x+1=0有实数根，则a应满足（）A．a≤1B．a≥1C．a≥−1且a≠0D．a≤1且a≠0【答案】D【解析】∵原方程为一元二次方程，且有实数根，∴a≠0，b2−4ac≥0时，方程有实数根；∴(−2)2−4a≥0，解得：a≤1，∴a≤1且a≠0，故答案为：D3．关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=−2，x2=1(a，m，b均为常数，a≠0)，则方程a(x+m+2)2+b=0的解是（）A．x1=0，x2=3B．x1=−4，x2=−1C．x1=−4，x2=2D．x1=4，x2=1【答案】B【解析】∵关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=−2，x2=1，(a，m，b均为常数，a≠0)，∴把x+2当做第一个方程中的x，则方程a(x+2+m)2+b=0可变形为a[(x+2)+m]2+b=0则x+2=−2或x+2=1，解得x1=−2−2=−4，x2=1−2=−1.∴方程a(x+2+m)2+b=0的解是x1=−4，x2=−1，故答案为：B.4．如图1，有一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒，纸盒盖面积为72cm2，则该有盖纸盒的高为（）cmA．4B．3C．2D．1【答案】D【解析】设该有盖纸盒的高为xcm根据题意，得纸盒盖面积为：(20−2x 2)×(10−2x)=(10−x)(10−2x)=2x 2−30x +100 ∵纸盒盖面积为72cm 2∴2x 2−30x +100=72∴x 2−15x +14=0∴(x −1)(x −14)=0∴x =1或x =14（舍去）∴该有盖纸盒的高为1cm故答案为：D.5．已知方程甲：ax 2+2bx+a=0，方程乙：bx 2+2ax+b=0都是一元二次方程，其中a≠b ．则以下说法中错误的是（ ）A ．若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙没有实数解B ．若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解C ．若x=1是方程甲的解，则x=1也是方程乙的解D ．若x=n 既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n 可以取1取-1【答案】D【解析】A 、∵方程甲有两个不相等的实数解，a≠b∴△=4b 2-4a 2＞0∴4b 2＞4a 2；∵ 方程乙：bx 2+2ax+b=0都是一元二次方程，∴△=4a 2-4b 2＜0，∴方程乙没有实数解 ，故A 不符合题意；B 、∵方程甲有两个相等的实数解，a≠b ，∴△=4b 2-4a 2=0∴4b 2=4a 2；方程乙：bx 2+2ax+b=0都是一元二次方程 ，∴△=4a 2-4b 2=0，∴方程乙有两个相等的实数根，∴若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解，故B 不符合题意；C 、∵若x=1是方程甲的解，∴a+2b+a=0，∴a+b=0即a=-b ；∴方程乙： bx 2-2bx+b=0∵b≠0∴x 1=x 2=1，∴x=1也是方程乙的解，∴若x=1是方程甲的解，则x=1也是方程乙的解，故C 不符合题意；D 、∵x=n 既是方程甲的解，又是方程乙的解，∴{an 2+2bn +a =0①bn 2+2an +b =0②由①-②得（a-b ）n 2-2（a-b ）n+a-b=0∵a≠b∴n 2-2n+1=0解之：n 1=n 2=1，∴n 的值可以取1，故D 错误，符合题意；故答案为：D.6．《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x(x +5)=24的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x +5，宽为x 的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：24×4+25=121，边长为11，故得x(x +5)=24的正数解为x =11−52=3.小明按此方法解关于x 的方程x 2+mx −n =0时，构造出同样的图形.已知大正方形的面积为10，小正方形的面积为4，则（ ）A ．m =2，n =32B ．m =√10，n =2C ．m =52，n =2D ．m =7，n =32 【答案】A【解析】方程x 2+mx −n =0可变形为x(x +m)=n ，将四个长为x +m ，宽为x 的长方形纸片（面积均为n ）拼成一个大正方形，由题意可知大正方形的面积=4n+m 2，小正方形的面积= m 2， ∵大正方形的面积为10，小正方形的面积为4，∴10=4n+m 2，4= m 2，根据题意m 、n 为正数，解得，m =2，n =32. 故答案为：A.7．设|x 2+ax|＝4只有3个不相等的实数根，则a 的值和方程的某一个根可能是（ ） A ．a ＝4，x ＝2+2 √2 B ．a ＝4，x ＝2C ．a ＝﹣4，x ＝2﹣2 √2D ．a ＝﹣4，x ＝﹣2【答案】C【解析】∵|x 2+ax|＝4，∴x 2+ax ﹣4＝0①或x 2+ax+4＝0②，方程①②不可能有相同的根，而原方程有3个不相等的实数根，∴方程①②中有一个有等根，而Δ1＝a 2+16＞0，∴△2＝a 2﹣16＝0，∴a ＝±4， 当a ＝4时，原方程为x 2+4x ﹣4＝0或x 2+4x+4＝0，原方程的解为：x ＝﹣2或﹣2±2 √2 ； 当a ＝﹣4时，原方程为x 2﹣4x ﹣4＝0或x 2﹣4x+4＝0，原方程的解为：x ＝2或2±2 √2 ； 故答案为：C. 8．已知x>y>0，且1x +2y =3x−y ，则x y =( )A ．√6+22B ．√3+12C ．√2+22D ．2−√22 【答案】A 【解析】∵1x +2y =3x−y ，∴2x 2-4xy-y 2=0，∴2(x y )2−4(x y )−1=0， 设x y =m ，∴2m 2-4m-1=0，∴（m-1）2=32， ∴m=√6+22或m=−√6+22（不符合题意，舍去）， ∴x y =√6+22， 故答案为：A.9．定义：cx 2+bx +a =0是一元二次方程ax 2+bx +c =0的倒方程.则下列四个结论：①如果x ＝2是x 2+2x +c =0的倒方程的解，则c =−54； ②如果ac <0，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；③如果一元二次方程ax 2−2x +c =0无实数根，则它的倒方程也无实数根；④如果一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根.其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】①x 2+2x +c ＝0的倒方程为cx 2+2x+1＝0，将x=2代入cx 2+2x+1＝0中，得4c+5=0， 解得：c =−54，故①正确； ②∵ac ＜0，∴两个方程都是一元二次方程，它们的判别式都是b 2−4ac ，当ac ＜0时，b 2−4ac ＞0，故这两个方程都有两个不相等的实数根，故②正确；③如果一元二次方程ax 2﹣2x+c ＝0无实数根时，则b 2−4ac =4−4ac <0，即ac ＞1，那么它的倒方程cx 2－2x+a ＝0也是一元二次方程，判别式为b 2−4ac =4−4ac <0，∴它的倒方程也无解，故③正确；④如果一元二次方程ax 2+bx+c ＝0有两个不相等的实数根，则b 2−4ac ＞0，它的倒方程cx 2+bx+a ＝0，当b≠0，c=0时是一元一次方程，只有一个实数解，所以如果一元二次方程ax 2+bx+c ＝0有两个不相等的实数根，则它的倒方程不一定也有两个不相等的实数根，故④错误，综上，正确的有①②③，共3个，故答案为：C.10．对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)，下列说法：①若a +b +c =0，则b 2−4ac ≥0；②若方程ax 2+c =0有两个不相等的实根，则方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根； ③若c 是方程ax 2+bx +c =0的一个根，则一定有ac +b +1=0成立；②若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c =0的根，则b 2−4ac =(2ax 0+b)2其中正确的（ ） A ．只有①②④ B ．只有①②③ C ．①②③④ D ．只有①②【答案】A【解析】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b 2-4ac≥0成立，那么①一定符合题意．②方程ax 2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac ＞0，那么b 2-4ac ＞0，故方程ax 2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②符合题意．③由c 是方程ax 2+bx+c=0的一个根，得ac 2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定符合题意．④（2ax 0+b ）2＝4a2x 02+b2+4abx 0，由b 2-4ac=4a2x 02+b2+4abx 0，得ax 02+bx 0+c ＝0．由x 0是一元二次方程ax 2+bx+c=0的根，则ax 02+bx 0+c ＝0成立，那么④符合题意．综上：正确的有①②④，共3个．故答案为：A ．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．关于 x 的一元二次方程 (1−2k)x 2−2√k +1x −1=0 有两个不相等的实数根，则常数k 的取值范围是 .【答案】−1≤k <2 且 k ≠12 【解析】由题意得：1−2k≠0即k≠ 12 ， k+1≥0，即k≥−1，△=b 2−4ac=(−2 √k +1 )2−4×(1−2k)×(−1)=8−4k>0，∴k<2，故答案为： −1≤k <2 且 k ≠12. 12．对于实数m ，n ，先定义一种断运算“ ⊗ ”如下： m ⊗n ={m 2+m +n ，当m ≥n 时n 2+m +n ，当m <n 时，若 x ⊗(−2)=10 ，则实数x 的值为 .【答案】3【解析】当x≥－2时，x 2+x －2=10，解得：x 1=3，x 2=－4（不合题意，舍去）；当x ＜－2时，（－2）2+x －2=10，解得：x=8（不合题意，舍去）；∴x=3.故答案为：3.13．已知关于x 的方程ax 2-bx-c=0(a≠0)的系数满足a-b-c=0，且4a+2b-c=0，则该方程的根是【答案】x 1=1，x 2=-2【解析】把x=1代入方程ax 2-bx-c=0，得出a-b-c=0，把x=-2代入方程ax 2-bx-c=0，得出4a+2b-c=0，∴该方程的根是x 1=1，x 2=-2.故答案为：x 1=1，x 2=-2.14．等腰三角形ABC 的三条边长分别为4，a ，b ，若关于x 的一元二次方程x 2+(a+2)x+6-a=0有两个相等的实数根，则△ABC 的周长是【答案】10【解析】∵一元二次方程x 2+（a+2）x+6-a=0有两个相等的实数根，∴△=（a+2）2-4（6-a ）=0，∴a 2+8a-20=0，∴（a-2）（a+10）=0，∴a=2或a=-10（不符合题意，舍去），∵△ABC 是等腰三角形， 三条边长分别为4，a ，b ，∴b=4或b=2（不能构成三角形，舍去） ，∴△ABC 的周长=4+4+2=10.故答案为：10.15．已知方程 (x 2+y 2)2−2(x 2+y 2)−3=0 ，则 x 2+y 2 的值为 ．【答案】3【解析】∵(x 2+y 2)2−2(x 2+y 2)−3=0 ，∴[(x 2+y 2)−3][(x 2+y 2)+1]=0，∴x 2+y 2−3=0 或x 2+y 2+1=0，∴x 2+y 2=3 或x 2+y 2=−1（舍去），∴x 2+y 2=3.故答案为：3.16．如图，将长方形沿图中虚线剪成四块图形(图中的x ，y ，x-y 是相应线段的长度)，用这四块图形恰能拼成一个正方形，若y=2，则正方形的面积为【答案】2√5+6【解析】根据题意得正方形的边长为（x-y+y ）=x ，∴x 2=y （x+y ），∵y=2，∴x 2-2x=4，∴x 2-2x+1=4+1，∴（x-1）2=5，∴x=√5+1或x=-√5+1（不符合题意，舍去），∴x=√5+1，∴正方形的面积为（√5+1） 2=2√5+6.故答案为：2√5+6.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+k ＝0有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+m ﹣3＝0与方程x 2﹣3x+k ＝0有一个相同的根，求此时m 的值．【答案】（1）解：根据题意得△=（-3）2-4k≥0，解得k≤ 94 （2）解：满足条件的k 的最大整数为2，此时方程变形为方程x 2-3x+2=0，解得x 1=1，x 2=2， 当相同的解为x=1时，把x=1代入方程得m-1+1+m-3=0，解得m= 32 当相同的解为x=2时，把x=2代入方程得4（m-1）+2+m-3=0，解得m=1，而m-1≠0，不符合题意，舍去，所以m 的值为 32 18．关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx +1=0 .（1）当 b =a +2 时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，且 a =b ，求方程的根.【答案】（1）解：由 a ≠0 ，Δ=b 2−4ac =(a +2)2−4a ×1=a 2+4a +4−4a =a 2+4>0 ， ∴ 方程有两个不相等的实数根；（2）解： ∵ 方程有两个相等的实数根，且 a =b ，∴Δ=b 2−4ac =a 2−4a =0 .解得 a 1=4 ， a 2=0( 舍去 ) .∴ 方程为 4x 2+4x +1=0 ，解得 x 1=x 2=−12 .19．已知一元二次方程 mx 2+nx −(m +n)=0 .（1）试判断方程根的情况；（2）若方程的两根 x 1 ， x 2 满足 x 1⋅x 2>1 ， n =1 ，求 m 的取值范围.【答案】（1）解：∵一元二次方程 mx 2+nx −(m +n)=0 ，∴△=n 2−4m ×[−(m +n)]=(n +2m)2≥0 ，∴ 该方程有两个实数根；（2）解：将 n =1 代入方程 mx 2+nx −(m +n)=0 ，得mx 2+x −(m +1)=0 ，∵ 方程的两根 x 1 ， x 2 满足 x 1⋅x 2>1 ，∴x 1⋅x 2=−(m+1)m >1 ， 解得 −12<m <0 ， 即 m 的取值范围是 −12<m <0 . 20．如图所示，在 △ABC 中， ∠C =90∘ ， AC =6cm ， BC =8cm ，点P 从点A 出发沿边 AC 向点C 以 1cm/s 的速度移动，点Q 从C 点出发沿 CB 边向点B 以 2cm/s 的速度移动．（1）如果P 、Q 同时出发，几秒钟后，可使 △PCQ 的面积为8平方厘米？（2）点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得 △PCQ 的面积等于 △ABC 的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.【答案】（1）解：设经过x 秒后，则 12(6−x)⋅2x =8 x(6−x)=8−x 2+6x =8x 2−6x +8=0x 1=2x 2=4（2）解： 12(6−x)⋅2x =12×12×6×8 x(6−x)=12x 2−6x +12=0b 2−4ac =36−48=−12<0∴不存在21．今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/件．（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率．（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？【答案】（1）解：设平均每年下降的百分率为 x根据题意有： 200(1−x)2=162（1−x)2=0.811−x =±0.9即 1−x =0.9 或 1−x =−0.9解得： x 1=0.1=10％ ， x 2=1.9>1 （舍）答：平均每年下降的百分率为 10％ ．（2）解：设单价应降低 a 元 据题意有： (200−a −162)(20+10×a 5)=1150a 2−28a +195=0(a −13)(a −15)=0即 a −13=0 或 a −15=0解得： a 1=13，a 2=15∵为了减少库存∴a 1=13 （舍）∴a =15答：如果每天盈利1150元，单价应降低15元22．如图，在足够大的空地上有一段长为50米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD≤MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏.（1）若BC 的长不小于20米，当所围成的矩形菜园的面积为1200平方米，求AB 的长；（2）①所围成的矩形菜园的面积能否到达1300平方米？如果能，请求出AB 的长；如果不能，请说明理由；②设这个矩形菜园的面积为S ，利用配方法求这个矩形菜园的面积S 的最大值.【答案】（1）解：设AB =x ，则BC =100−2x由题意得，x(100−2x)=1200，∴x 2−50x +600=0，∴x 1=20，x 2=30，∵20≤100−2x ≤50，∴25≤x ≤40，∴x 1=20（舍去），∴x =30.∴AB 的长为30米.（2）解：①∵x(100−2x)=1300，∴x 2−50x +650=0，∴b 2−4ac =2500−2600=−100<0∴方程没有实数解，即不能达到1300平方米.②S =x(100−2x)=−2x 2+100x =−2(x −25)2+1250当x =25时，S 的最大值为1250.23．“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，某葡萄种植基地2018年种植“阳光玫瑰”100亩，到2020年“阳光玫瑰”的种植面积达到256亩.（1）求该基地这两年“阳光攻瑰”种植面积的平均年增长率，（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出45千克.①若降价x （0≤x≤20）元，每天能售出多少千克？（用x 的代数式表示）②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为10元/千克，若要销售“阳光玫瑰”每天获利2125元，则售价应降低多少元？【答案】（1）解：设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为y ，依题意，得：100（1+y ）2==256，解得：y 1=0.6=60%，y 2=-2.6（不合题意，舍去）．答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为60%．（2）解：①②依题意，得：（20-10-x ）（200+45x ）=2125，．整理，得：9x 2-50x+25=0，解得：x 1=5，x 2= 59 ∵要尽量减少库存，∴x=5．答：售价应降低5元．24．阅读材料：两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点 A(x 1，y 1) 、 B(x 2，y 2) ，那么 A 、 B 两点的距离AB=√(x1−x2)2+(y1−y2)2.则AB2=(x1−x2)2+(y1−y2)2.例如：若点A(4，1)，B(2，3)，则AB=√(4−2)2+(1−3)2=√8=2√2，根据上面材料完成下列各题：（1）若点A(−2，3)，B(1，−3)，则A、B两点间的距离是.（2）若点A(−2，3)，点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标.（3）若点A(x，3)，B(3，x+1)，且A、B两点间的距离是5，求x的值.【答案】（1）3√5（2）解：当B点在x轴上，设B(t，0)，而点A(−2，3)，A、B两点间的距离是5，∴(−2−t)2+(0−3)2=52，解得t=2或-6，此时B点坐标为(2，0)或(−6，0)；当B点在y轴上，设B(0，m)，而点A(−2，3)，A、B两点间的距离是5，∴(0+2)2+(m−3)2=52，解得m=3+√21或3−√21，此时B点坐标为(0，3+√21)或(0，3−√21)；综上所述，B点坐标为(2，0)或(−6，0)或(0，3+√21)或(0，3−√21)；（3）解：∵点A(x，3)，B(3，x+1)，且A、B两点间的距离是5，∴(x−3)2+(3−x−1)2=52，整理得x2−5x−6=0，解得x1=−1，x2=6，即x的值为-1或6.【解析】（1）∵点A(−2，3)，B(1，−3)，∴AB=√(−2−1)2+(3+3)2=3√5；故答案为：3√5；。