山东省青岛市2015届高三上学期期末考试数学(理)试题

理科答案一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． D A B C D A C A B C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 4028 12. 132 13.24- 14．(4,2)- 15．②④三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）解：（Ⅰ） sin()sin sin a b a c A B A B +-=+- ∴a b a cc a b+-=- …………………………2分 222a b ac c ∴-=-2221cos 222a c b ac B ac ac +-∴=== ………………………………5分 (0,)B π∈，3B π∴= ………………………………………………………6分（Ⅱ）由3b =，sin A =，sin sin a b A B =，得2a = ……………………………7分 由a b <得A B <，从而cos A = …………………………………………9分故sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+= …………………10分所以ABC ∆的面积为1sin 2S ab C ==. ……………………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为320C ，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为111111111111464466446646C C C C C C C C C C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ……………………4分 所以111111111111464466446646320819C C C C C C C C C C C C P C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅== …………………6分 （Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2,33211616433202057162881548(0),(1),32019573201919C C C P P C C ξξ⨯⨯⨯⨯========⨯⨯⨯⨯1231644332020166841(2),(3)320199532019285C C C P P C C ξξ⨯========⨯⨯⨯⨯…………10分 所以ξ的分布列为所以2888157()012357199528595E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=……………………………………12分 18．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连结1A D 交1AD 于G ， 因为1111ABCD A B C D -为四棱柱， 所以四边形11ADD A 为平行四边形， 所以G 为1A D 的中点，又1E 为11 A B 中点，所以1E G 为11A B D ∆的中位线， 从而11//B D E G ……………………………………4分 又因为1B D ⊄平面11AD E ，1E G ⊂平面11AD E ，所以1//B D 平面11AD E ． …………………………5分（Ⅱ）因为1AA ⊥底面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，所以11,,AA A B A A AD ⊥⊥又090BAD ∠=，所以1,,AB AD AA 两两垂直. ……………6分如图，以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 设AB t =，则()0,0,0A ，(),0,0B t ，(),1,0C t ，()0,3,0D ，()1,1,3C t ，()10,3,3D .从而(,1,0)AC t =，(,)3,0BD t -=.因为AC BD ⊥，所以2300ACBD t ⋅=-+=+，解得t = ……………………8分所以1(0,3,3)AD =，(3,1,0)AC =.设1111,,()n x y z =是平面1ACD 的一个法向量，则1110,0.AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11110330y y z +=+=⎪⎩令11x =，则1(13,),3n =-. …………………………………………………………9分又1(0,0,3)CC =，(CD =-.设2222,,()n x y z =是平面11CDD C 的一个法向量，则1220, n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222020z y =⎧⎪⎨+=⎪⎩令21x =，则2(1,)n =. ………………………………………………………10分∴121212|11(0|1cos ,7n n n n n n ⨯+⋅<>===⋅ ∴平面1ACD 和平面11CDD C 所成角（锐角）的余弦值17. ……………………………12分19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则101919,a a d =+=101109101002S a d ⨯=+⨯= 解得11,2a d ==，所以21n a n =- ………………………………………………………3分所以123121n n b b b b b n -⋅⋅⋅=+ …… ①当11,3n b ==时2,n ≥当时123121n b b b b n -⋅⋅=-……②①②两式相除得21(2)21n n b n n +=≥- 因为当11,3n b ==时适合上式，所以21(N )21n n b n n *+=∈-………………………………6分 （Ⅱ）由已知24(1)(21)nnn n b c n ⋅=-+， 得411(1)(1)()(21)(21)2121nn n n c n n n n =-=-+-+-+则123n n T c c c c =++++1111111(1)()()(1)()335572121n n n =-+++-+++-+-+ ………………………7分当n 为偶数时，1111111(1)()()(1)()335572121n n T n n =-+++-+++-+-+1111111(1)()()()335572121n n =--+++--+++-+1212121nn n =-+=-++ ………………………………………………………………9分当n 为奇数时，1111111(1)()()(1)()335572121n n T n n =-+++-+++-+-+1111111(1)()()()335572121n n =--+++--++---+12212121n n n +=--=-++ ……………………………………………………………11分综上：2,2122,21n n n n T n n n ⎧-⎪⎪+=⎨+⎪-⎪+⎩为偶数为奇数… ………………………………………………………12分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为直线l 与圆O 相切 所以圆2223x y +=的圆心到直线l的距离d ==，从而222(1)3m k =+…2分 由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得：222(12)4220k x kmx m +++-= 设11(,)E x y ，22(,)F x y则122412km x x k +=-+，21222212m x x k-=+ …………………………………………………4分 所以12121212()()OE OF x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++2222222121222222222224(1)()(1)12123222(1)2201212m k m k x x km x x m k m k km k k k k k--=++++=+++++--+--===++ 所以OE OF ⊥ ………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）直线l 与圆O 相切于W ，222212121,1,22x x y y +=+=∴EWFWλ====………………………………8分 由（Ⅰ）知12120x x y y +=，∴1212x x y y =-，即22221212x x y y = 从而22221212(1)(1)22x x x x =--，即2212214223x x x -=+∴21234x λ+==……………………………………………………………12分因为1x ≤≤，所以1[,2]2λ∈ ………………………………………………13分21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）原函数定义域为(1,)-+∞，()ln(1)1g x x '=++，则(0)0g =，(0)1g '=，:l y x ∴= ………………………………………………………2分由22112(1)202y x kx x k x y x ⎧=++⎪⇒+-+=⎨⎪=⎩l 与函数()f x的图象相切，24(1)801k k ∴∆=--=⇒=4分（Ⅱ）由题21()1ln(1)12h x x kx x =+++++,1()1h x x k x '=+++ 令1()1x x k x ϕ=+++,因为221(2)()10(1)(1)x x x x x ϕ+'=-=>++对[0,2]x ∈恒成立， 所以1()1x x k x ϕ=+++，即()h x '在[0,2]上为增函数 ………………………………6分max 7()(2)3h x h k ''∴==+()h x 在[0,2]上单调递减()0h x '∴≤对[0,2]x ∈恒成立，即max 7()03h x k '=+≤73k ∴≤- …………………………………………………………………………………8分（Ⅲ）当1]x ∈时，()ln(1)10g x x '=++> ()(1)ln(1)g x x x ∴=++在区间1]上为增函数，∴1]x ∈时，0()g x ≤≤ …………………………………………………………………………10分21()12f x x kx =++的对称轴为：x k =-，∴为满足题意，必须14k -<-<……11分此时2min 1()()12f x f k k =-=-，()f x 的值恒小于(1)f -和(4)f 中最大的一个对于1]t ∀∈，总存在12,(1,4)x x ∈-，且12x x ≠满足()()i f x g t =(1,2)i =，min ((),min{(1),(4)})f x f f ∴⊆-2min 41141()0102(4)493(1)2k k f x k f k f k -<<⎧-<-<⎧⎪⎪⎪<-<⎪⎪⎪∴⇒⎨<+⎪⎪<-⎪<-⎪⎩ …………………………………………………13分94k <<……………………………………………………………………14分。

2015-2016学年山东省青岛市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设集合，则A∩（∁R B）等于（）A．（﹣∞，1）B．（0，4）C．（0，1）D．（1，4）2．（5分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．3B．﹣3C．0D．3．（5分）平面向量与的夹角为，=（2，0），||=1，则|﹣2|=（）A．B．0C．D．24．（5分）已知圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0上有且仅有一个点到直线3x﹣4y﹣15=0的距离为1，则实数a的取值情况为（）A．（﹣∞，5）B．﹣4C．﹣4或20D．﹣115．（5分）阅读如图的算法框图，输出的结果S的值为（）A．B．0C．D．6．（5分）设a＞0，b＞0，若2是2a与2b的等比中项，则的最小值为（）A．8B．4C．2D．17．（5分）已知双曲线的一个实轴端点与恰与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2+c2=a2+bc，•=4，则△ABC的面积等于（）A．B．4C．4D．29．（5分）不等式|x+3|+|x﹣1|＜a2﹣3a有解的实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）B．（﹣1，4）C．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）D．（﹣4，1）10．（5分）若a，b在区间上取值，则函数在R 上有两个相异极值点的概率是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．12．（5分）若，则a，b，c三者的大小关系为．（用＜表示）．13．（5分）设，则二项式的展开式的常数项是．14．（5分）双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x﹣y+3=0垂直，则双曲线的离心率是．15．（5分）已知O是坐标原点，点A的坐标为（2，1），若点B（x，y）为平面区域上的一个动点，则z=•的最大值是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数（其中ω＞0），若f （x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为．（I）求y=f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2b﹣a）cosC=c•cosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断△ABC的形状．17．（12分）某精密仪器生产有两道相互独立的先后工序，每道工序都要经过相互独立的工序检查，且当第一道工序检查合格后才能进入第二道工序，两道工序都合格，产品才完全合格，．经长期监测发现，该仪器第一道工序检查合格的概率为，第二道工序检查合格的概率为，已知该厂三个生产小组分别每月负责生产一台这种仪器．（I）求本月恰有两台仪器完全合格的概率；（Ⅱ）若生产一台仪器合格可盈利5万元，不合格则要亏损1万元，记该厂每月的赢利额为ξ，求ξ的分布列和每月的盈利期望．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为．（I）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得？若存在，求出n值；若不存在，说明理由．19．（12分）四棱锥P﹣ABCD，PD⊥平面ABCD，2AD=BC=2a（a＞0），，∠DAB=θ（I）如图1，若θ=60°，AB=2a，Q为PB的中点，求证：DQ⊥PC；（Ⅱ）如图2，若θ=90°，AB=a，求平面PAD与平面PBC所成二面角的大小．（若非特殊角，求出所成角余弦即可）20．（13分）已知A（x0，0），B（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P（x，y）满足．（I）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；（Ⅱ）一条纵截距为2的直线l1与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程；（Ⅲ）直线l2：x=ty+1与曲线C交于A、B两点，E（1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l2，使△ABE的面积为？若存在，求出直线l2的方程；若不存在，说明理由．21．（14分）已知函数f（x）=alnx+x2+bx（a为实常数）．（I）若a=﹣2，b=﹣3，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若b=0，且a＞﹣2e2，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（Ⅲ）设b=0，若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年山东省青岛市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设集合，则A∩（∁R B）等于（）A．（﹣∞，1）B．（0，4）C．（0，1）D．（1，4）【解答】解：当x＞0时，A中不等式变形得x＜1，此时0＜x＜1；当x＜0时，A中不等式变形得：x＞1，此时无解，∴A=（0，1），由B中y=，得到2x﹣16≥0，即2x≥24，解得：x≥4，即B=[4，+∞），∴∁R B=（﹣∞，4），则A∩（∁R B）=（0，1），故选：C．2．（5分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．3B．﹣3C．0D．【解答】解：∵=是纯虚数，则，解得：a=3．故选：A．3．（5分）平面向量与的夹角为，=（2，0），||=1，则|﹣2|=（）A．B．0C．D．2【解答】解：∵平面向量与的夹角为，=（2，0），||=1，∴||=2，|﹣2|2=||2+4||2﹣4•=4+4﹣4×2×1•cos=4，∴|﹣2|=2，故选：D．4．（5分）已知圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0上有且仅有一个点到直线3x﹣4y﹣15=0的距离为1，则实数a的取值情况为（）A．（﹣∞，5）B．﹣4C．﹣4或20D．﹣11【解答】解：∵圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0上有且仅有一个点到直线3x﹣4y﹣15=0的距离为1，∴圆心（1，2）半径r=，∴圆心（1，2）到直线3x﹣4y﹣15=0的距离d=r+1，∴d==+1，解得a=﹣4．故选：B．5．（5分）阅读如图的算法框图，输出的结果S的值为（）A．B．0C．D．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=sin+sin+sinπ+…+sin的值，由于y=sin的周期为6，且同一周期内各函数值的累加和为0，2015÷6=335…5，故S=sin+sin+sinπ+…+sin=336×0﹣sin=﹣sin672π=sin0=0，故选：B．6．（5分）设a＞0，b＞0，若2是2a与2b的等比中项，则的最小值为（）A．8B．4C．2D．1【解答】解：∵2是2a与2b的等比中项，∴2a•2b=4，∴a+b=2，（a+b）=1，而a＞0，b＞0，∴=（）（+）=1++≥1+2=2，当且仅当a=b=1时取等号．故选：C．7．（5分）已知双曲线的一个实轴端点与恰与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线y2=﹣4x的焦点为（﹣1，0），由题意可得a=1，双曲线的离心率等于2，即有e==2，解得c=2，b==，即有双曲线的方程为x2﹣=1．故选：D．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2+c2=a2+bc，•=4，则△ABC的面积等于（）A．B．4C．4D．2【解答】解：∵△ABC中，b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2﹣bc，可得cosA==，结合A为三角形内角，可得A=∵•=4，∴bccosA=4，得bc=8因此，△ABC的面积S=bcsinA==2故选：D．9．（5分）不等式|x+3|+|x﹣1|＜a2﹣3a有解的实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）B．（﹣1，4）C．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）D．（﹣4，1）【解答】解：令y=|x+3|+|x﹣1|则函数y=|x+3|+|x﹣1|≥|x+3﹣x+1|=4，∴函数的值域为[4，+∞）若不等式|x+3|+|x﹣1|＜a2﹣3a有解，则a2﹣3a＞4，解得：a＞4或a＜﹣1，故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），故选：A．10．（5分）若a，b在区间上取值，则函数在R 上有两个相异极值点的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：易得f′（x）=ax2+2bx+a，函数f（x）在R上有两个相异极值点的充要条件：是a≠0且其导函数的判别式大于0，即a≠0且4b2﹣a2＞0，又a，b在区间[0，]上取值，则a＞0，b＞a，点（a，b）满足的区域如图中阴影部分所示，其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为3﹣=，故所求的概率p==，故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是210（用数字作答）．【解答】解：由题意知本题需要分组解决，∵对于6个台阶上每一个只站一人有A63种；若有一个台阶有2人另一个是1人共有C31A62种，∴根据分类计数原理知共有不同的站法种数是A63+C31A62=210种．故答案为：210．12．（5分）若，则a，b，c三者的大小关系为c ＜a＜b．（用＜表示）．【解答】解：∵，∴0＜a＜b＜1，c＜0，∴c＜a＜b，故答案为：c＜a＜b．13．（5分）设，则二项式的展开式的常数项是24．【解答】解：∵=﹣4cosx=0+4=4，则二项式=的展开式的通项公式为T r=•x4﹣r•=•（﹣2）r•x4﹣2r，+1令4﹣2r=0，求得r=2，可得常数项为•4=24，故答案为：24．14．（5分）双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x﹣y+3=0垂直，则双曲线的离心率是．【解答】解：∵双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x﹣y+3=0垂直，∴k＞0，双曲线的渐近线方程为y=±x，∵与直线2x﹣y+3=0的斜率k=2，∴与直线2x﹣y+3=0垂直的渐近线的斜率k=﹣，即=，得k=，双曲线的方程为﹣y2=1，则a=2，c=，则离心率e==，故答案为：15．（5分）已知O是坐标原点，点A的坐标为（2，1），若点B（x，y）为平面区域上的一个动点，则z=•的最大值是6．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得M（2，2），∵点A的坐标为（2，1），点B（x，y）为可行域内的动点，∴z=•=2x+y，化为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过M时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6．故答案为：6．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数（其中ω＞0），若f （x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为．（I）求y=f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2b﹣a）cosC=c•cosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断△ABC的形状．【解答】解：（Ⅰ）∵，=，∵f（x）的对称轴离最近的对称中心的距离为，∴T=π，∴，∴ω=1，∴．∵得：，∴函数f（x）单调增区间为；（Ⅱ）∵（2b﹣a）cosC=c•cosA，由正弦定理，得（2sinB﹣sinA）cosC=sinC•cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C），∵sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB＞0，2sinBcosC=sinB，∴sinB（2cosC﹣1）=0，∴，∵0＜C＜π，∴，∴，∴．∴，根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值y max=1，此时，即，∴，∴△ABC为等边三角形．17．（12分）某精密仪器生产有两道相互独立的先后工序，每道工序都要经过相互独立的工序检查，且当第一道工序检查合格后才能进入第二道工序，两道工序都合格，产品才完全合格，．经长期监测发现，该仪器第一道工序检查合格的概率为，第二道工序检查合格的概率为，已知该厂三个生产小组分别每月负责生产一台这种仪器．（I）求本月恰有两台仪器完全合格的概率；（Ⅱ）若生产一台仪器合格可盈利5万元，不合格则要亏损1万元，记该厂每月的赢利额为ξ，求ξ的分布列和每月的盈利期望．【解答】解：（Ⅰ）设恰有两台仪器完全合格的事件为A，每台仪器经两道工序检验完全合格的概率为…（2分）所以…（5分）（Ⅱ）每月生产的仪器完全合格的台数可为3，2，1，0四种所以赢利额ξ的数额可以为15，9，3，﹣3…（7分）当ξ=15时，当ξ=9时，当ξ=3时，当ξ=﹣3时，…（10分）每月的盈利期望所以每月的盈利期望值为10.14万元…（12分）18．（12分）设数列{a n}的前n项和为．（I）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得？若存在，求出n值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）S n=na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），=（n﹣1）a n﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2），∴n≥2时，S n﹣1两式相减得：a n=S n﹣S n﹣1=na n﹣（n﹣1）a n﹣1﹣3（n﹣1）[n﹣（n﹣2）]，即（n﹣1）a n=（n﹣1）a n﹣1+6（n﹣1），也即a n﹣a n﹣1=6，∴{a n}为公差为6的等差数列，又a1=1，∴a n=6n﹣5；（Ⅱ），∴，，∴，即5n=4035，∴n=807．即当n=807时，．19．（12分）四棱锥P﹣ABCD，PD⊥平面ABCD，2AD=BC=2a（a＞0），，∠DAB=θ（I）如图1，若θ=60°，AB=2a，Q为PB的中点，求证：DQ⊥PC；（Ⅱ）如图2，若θ=90°，AB=a，求平面PAD与平面PBC所成二面角的大小．（若非特殊角，求出所成角余弦即可）【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连结BD，△ABD中，AD=a，AB=2a，∠DAB=60°，由余弦定理：BD2=DA2+AB2﹣2DA•ABcos60°，解得所以△ABD为直角三角形，BD⊥AD，因为AD∥BC，所以BC⊥BD，又因为PD⊥平面ABCD，所以BC⊥PD，因为PD∩BD=D，所以BC⊥平面PBD，BC⊂平面PBC，所以平面PBD⊥平面PBC，又因为，Q为PB中点，所以DQ⊥PB，因为平面PBD∩平面PBC=PB，所以DQ⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以DQ⊥PC．…（6分）（Ⅱ）∵θ=90°，AB=a，∴，取BC中点M，则ABMD为矩形，以D为坐标原点分别以DA，DM，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，A（a，0，0），B（a，a，0），DM⊥平面PAD，所以面是平面PAD的法向量，，设平面PBC的法向量为，，所以，，令z=1，得，解得：，所以，所以平面PAD与平面PBC所成二面角为．…（12分）20．（13分）已知A（x0，0），B（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P（x，y）满足．（I）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；（Ⅱ）一条纵截距为2的直线l1与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程；（Ⅲ）直线l2：x=ty+1与曲线C交于A、B两点，E（1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l2，使△ABE的面积为？若存在，求出直线l2的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为，即，所以，所以又因为|AB|=1，所以，即：，即，所以椭圆的标准方程为．（Ⅱ）直线l1斜率必存在，且纵截距为2，设直线为y=kx+2联立直线l1和椭圆方程，得：（3+4k2）x2+16kx+4=0，由△＞0，得（*），设P（x1，y1），Q（x2，y2），则（1）以PQ直径的圆恰过原点，所以OP⊥OQ，，即x1x2+y1y2=0，也即x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，将（1）式代入，得﹣+4=0，即4（1+k2）﹣32k2+4（3+4k2）=0，解得，满足（*）式，所以．所以直线方程为y=±x+2（Ⅲ）由方程组，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则所以，因为直线l：x=ty+1过点F（1，0），=|EF|•|y1﹣y2|=×2×=所以S△ABE令==2，则不成立故不存在直线l满足题意．21．（14分）已知函数f（x）=alnx+x2+bx（a为实常数）．（I）若a=﹣2，b=﹣3，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若b=0，且a＞﹣2e2，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（Ⅲ）设b=0，若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a=﹣2，b=﹣3时，f（x）=﹣2lnx+x2﹣3x，定义域为（0，+∞），，在（0，+∞）上，f′（2）=0，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）的单调增区间为（2，+∞）；单调减区间为（0，2）；（Ⅱ）因为b=0，所以f（x）=alnx+x2，x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]，（i）若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1；（ii）若﹣2e2＜a＜﹣2，a+2＜0，a+2e2＞0，，x∈[1，e]，当时，f'（x）=0，，当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．故；（Ⅲ）b=0，f（x）=alnx+x2不等式f（x）≤（a+2）x，即alnx+x2≤（a+2）x可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．因为x∈[1，e]，所以lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]），令（x∈[1，e]），又，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，从而g'（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，故g（x）的最小值为g（1）=﹣1，所以实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．。

山东省青岛市2015届高三上学期期末考试数学（文）试题第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项只有一个是符合题目要求的.1. 已知集合{}()23,,U M y y x x R N x y M C N ⎧⎪==-∈==⋂=⎨⎪⎩，则，A. ()0-∞，B. [)03，C. (]03，D. ∅2.若复数12a ii++是纯虚数，则实数a 的值为 A. 2B. 12- C. 2-D. 1-3.圆()2211x y -+=和圆222440x y x y +++-=的位置关系为A.相交B.相切C.相离D.以上都有可能4.已知函数()ln xf x e =，则函数()1y f x =+的大致图象为5.下列命题：①4k >是方程2224380x y kx y k +++++=表示圆的充要条件；②把sin y x =的图象向右平移3π单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象； ③函数()sin 2036f x x ππ⎛⎫⎡⎤=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在，上为增函数；④椭圆2214x y m +=的焦距为2，则实数m 的值等于5.其中正确命题的序号为A.①③④B.②③④C.②④D.②6.一个几何体的的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 A. 2 B.13 C.23D. 437.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是 A. 2016 B. 2 C.12D. 1-8.函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在的大致区间是 A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,eD. ()3,49.已知2280,02y x x y m m x y>>+>+，若恒成立，则实数m 的取值范围是 A. 42m m ≥≤-或B. 24m m ≥≤-或C. 24m -<<D. 42m -<<10.已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设()()1,2,32a f b f c f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为 A. b a c << B. c b a <<C. b c a <<D. a b c <<第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.设非负实数,x y 满足10330x y x y -+≥+-≤且，则4z x y =+的最大值为_______. 12.观察式子2222221311511171,1,1 (222332344)+<++<+++<则可归纳出关于正整数(),2n n N n *∈≥的式子为__________________.13.椭圆22162x y +=与双曲线22213x y b-=有公共的焦点12F F ，，则双曲线的渐近线方程为________.14.若平面向量()()222log ,1,log ,2log a x b x x =-=+r r ，则0a b <r rg 的实数x 的集合为___.15. ()()22113f x ax x x =-++-∞+∞在，上恒为单调递增函数，则实数a 的取值范围________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分） 已知直线两直线121:cos 10:sin ,26l x y l y x ABC παα⎛⎫+-==+∆ ⎪⎝⎭；中，内角A ，B ，C对边分别为,,4=a b c a c A α==，，且当时，两直线恰好相互垂直； （I ）求A 值；（II ）求b 和ABC ∆的面积 17. （本小题满分12分）右图为某校语言类专业N 名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80~90分数段的学员数为21人（I ）求该专业毕业总人数N 和90~95分数段内的人数n ；（II ）现欲将90~95分数段内的n 名人分配到几所学校，从中安排2人到甲学校去，若n 人中仅有两名男生，求安排结果至少有一名男生的概率； 18. （本小题满分12分）如图，ABCD 为梯形，PD ⊥平面ABCD ，AB//CD ，=ADC=90BAD ∠∠o22,,DC AB a DA PD ===，E 为BC 中点（I ）求证：平面PBC ⊥平面PDE ；（II ）线段PC 上是否存在一点F ，使PA//平面BDF ？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由. 19. （本小题满分12分）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，数列{}n b 是等比数列，151,12b a =-恰为421S b 与的等比中项，圆()(222:22C x n y n -+=，直线:l x y n +=，对任意n N *∈，直线l 都与圆C 相切.（I ）求数列{}{}n n a b ，的通项公式；（II ）若对任意{},,n n n n n N c a b c *∈=求的前n 项和n T 的值.20. （本小题满分13分）已知()()()221,ln 1,1g x bx cx f x x ax x g x x =++=+-+=在处的切线为2y x = （I ）求,b c 的值；（II ）若()1a f x =-，求的极值； （III ）设()()()h x f x g x =-，是否存在实数(],0,,a x e ∈当（ 2.718e ≈，为自然常数）时，函数()h x 的最小值为3. 21. （本小题满分14分）已知抛物线21:2C y px =上一点()03M y ，到其焦点F 的距离为4；椭圆()2222210y x C a b a b +=>>：的离心率2e =，且过抛物线的焦点F .（I ）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（II ）过点F 的直线1l 交抛物线1C 于A 、B 两不同点，交y 轴于点N ，已知NA AF NB BF λμ==u u r u u u r u u u r u u u r ，，求证：λμ+为定值.（III ）直线2l 交椭圆2C 于P ，Q 两不同点，P ，Q 在x 轴的射影分别为P '，Q '，10OP OQ OP OQ ''++=u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，若点S 满足：O S O P O Q =+u u r u u u r u u u r ，。

山东省各地2015高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：数列一、选择题1、（泰安市2015届高三）正项等比数列{}n a 的公比为2，若21016a a =，则9a 的值是 A.8 B.16 C.32D.642、（淄博市六中2015届高三）设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且27320a a +=，则52S S =（ ） A ．11 B ．5 C ．8- D ．11-二、填空题1、（济宁市2015届高三）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，111,2(2)n n a a S n -==≥，则数列{n a }的通项公式n a ＝＿＿2、（青岛市2015届高三） 若数列{}n a 的通项公式为()()()()()()*122111...11n na n N f n a a a n =∈=---+，记,试通过计算()()()1,2,3f f f 的值，推测出()f n =_________.3、（滕州市第三中学2015届高三）在数列{}n a 中，已知24a =， 315a =，且数列{}n a n +是等比数列，则n a =4、（淄博市2015届高三）在等差数列{n a }中，15a ＝33，25a ＝66，则35a ＝＿＿＿＿三、解答题1、（德州市2015届高三）数列 {}n a 中 112a =，前n 项和 22(1),.n n S n a n n n N *=--∈． (I)证明数列 1n n S n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； (Ⅱ)设 21(21)n n b S n n =-，数列 {}n b 的前 n 项和为 n T ，试证明： 1n T <·2、（济宁市2015届高三）已知公比为q 的等比数列{n a }是递减数列，且满足123123131,927a a a a a a ++==学科网。

（I ）求数列{n a }的通项公式；（II ）求数列{(21)n -n a }的前n 项和n T3、（莱州市2015届高三）已知数列{}n a 中，12,a a a t ==（常数0t >），n S 是其前n 项和，且()12n n n a a S -=.（I ）试确定数列{}n a 是否为等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由； （II ）令()*211212,223n n n n n n S S b n b b b n n N S S ++++=+<++⋅⋅⋅+<+∈证明：.4、（临沂市2015届高三）已知数列{}{}n n a b 和满足122nb nn a a a -⋅⋅⋅=，若{}n a 为等比数列，且1211,2a b b ==+.（I ）求n n a b 与； （II ）设()11n n nc n N a b *=-∈，求数列{}n c 的前n 项和n S .5、（青岛市2015届高三）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，数列{}n b 是等比数列，151,12b a =-恰为421S b 与的等比中项，圆()(222:22C x n y n -+=，直线:l x y n +=，对任意n N *∈，直线l 都与圆C 相切.（I ）求数列{}{}n n a b ，的通项公式； （II ）若1n =时，{}111111111,2...,111112n n n n nc n c c b b b b --=+≥=+++++时，的前n 项和为n T ，求证：对任意2n ≥，都有12n n T >+ 6、（泰安市2015届高三）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：()21262n n n S S S n n N*++++=-∈.（I ）若数列{}n a 是等差数列，求{}n a 的通项公式. （II ）若121a a ==，求50S .7、（潍坊市2015届高三）各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知点()()1,n n a a n N *+∈在函数3y x =的图象上，且326.S = （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）在1n n a a +与之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，并求使184055327n n n T -+≤⨯成立的最大正整数.n8、（淄博市六中2015届高三）已知等差数列}{n a ，其前n 项和为n S ，若5S =70，且2272,,a a a 成等比数列，（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n a 是递增数列，设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的前n 项和为n T ，求证：8361<≤nT ．9、（桓台第二中学2015届高三）等差数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =；等比数列{}n b 中，11b =．若3314a S +=，2212b S =（1）求n a 与n b ；（2）设2()n n n c a b n N *=+∈，数列{}n c 的前n 项和为n T ．若对一切n N *∈不等式n T λ≥恒成立，求λ的最大值．10、（滕州市第二中学2015届高三）已知数列{}na 满足：121,2a a ==，且()2(2cos )13,n n a n a n N π*+=+-+∈。

第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分;在每小题给出的四个选项只有一个是符合题目要求的。

1。

已知集合{}21log ,1,,12x A y y x x B y y x B ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>==>⋂=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A A 。

10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. ()0,1 C 。

1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 。

∅【答案】A考点：集合间的基本运算.2。

若复数12a i i ++是纯虚数，则实数a 的值为A. 2B 。

12-C 。

2- D.1- 【答案】C考点:复数的运算。

3。

圆()2211x y -+=和圆222440x y x y +++-=的位置关系为A 。

相交B 。

相切 C.相离 D.以上都有可能【答案】A试题分析：由题意可得：两圆的圆心分别为()0,11O ，()2,12--O ，则两圆心的距离为22，所以4121<<O O 所以应选A 。

考点：圆与圆的位置关系.4.已知函数()ln xf x e =，则函数()1y f x =+的大致图象为 【答案】D考点：函数图像变换。

5.下列命题:①4k >是方程2224380x y kx y k +++++=表示圆的充要条件；②把sin y x =的图象向右平移3π单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的12,得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象; ③函数()sin 2036f x x ππ⎛⎫⎡⎤=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在，上为增函数； ④椭圆2214x y m +=的焦距为2，则实数m 的值等于5.其中正确命题的序号为A 。

①③④B 。

②③④ C.②④ D 。

②考点：命题真假的判断.6.若圆台两底面周长的比是1：4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是A。

1：16 B.39：129 C。

13:129 D.3：27【答案】B考点：空间几何体的体积。

青岛市高三一致质量检测数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共 150 分 .考试时间 120 分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷种类填涂在答题卡规定的地址上．2．第Ⅰ卷每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能够答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必定用0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必定写在答题卡各题目指定地域内相应的地址，不能够写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，尔后再写上新的答案；严禁使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题共 50 分）一、选择题：本大题共10 小题．每题 5 分，共50 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的．1．设i为虚数单位，复数2i等于1 iA ． 1 iB ． 1 i C．1i D ．1i2R ，会集 A { y | y log 2 x,x 2}, B{ x | y x 1} ，则．设全集 IA ． AB B．A B A C．A B D．A (e I B)3．在“魅力青岛中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为7 98 44 46 7 9 3第3 题图A ． 5 和B． 85 和C． 85 和D． 5 和4．“n N*,2 a n 1a n a n 2”是“数列 { a n } 为等差数列”的A ．充分不用要条件B ．必要不充分条件x C．充要条件 D ．既不充分也不用要条件5．某几何体的三视图以下列图，且该几何体的体积是 3 ，则211正视图侧视图第 5 题图正视图中的 x 的值是A ． 2B ．9C ．3D ． 322x2y20, b0) 的一条渐近线平行于直线 l : x 2 y 5 0 ，双曲线的一个焦点6．已知双曲线2b 2 1(aa在直线 l 上，则双曲线方程为A． x 2y 21B． x 2 y 2 1C． 3x 23 y 2 1D． 3x 23y 2 1 2055 2025 100100257．设 m,n 是不同样的直线， ,是不同样的平面，以下命题中正确的选项是A ．若 m / / ,n , m n ，则B ．若 m / / ,n , m n ，则 / /C ．若 m / / ,n ,m / / n ，则D ．若 m / / ,n,m / / n ，则 / /8．函数 y 4cos xe x ( e 为自然对数的底数 )的图象可能是yyyyOOx O xxO xAB C D9．关于函数 y sin(2 x) ，以下说法正确的选项是6A ．函数图象关于点 ( ,0) 对称3B ．函数图象关于直线 x5对称6C ．将它的图象向左平移个单位，获取 y sin 2x 的图象6D ．将它的图象上各点的横坐标减小为原来的1倍，获取y sin( x) 的图象2610．已知点 G 是 ABC 的外心， GA,GB,GC 是三个单位向量， 且 2GA AB AC 0 ，以下列图， ABC的极点 B, C 分别在 x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上搬动，O 是坐标原点，则OA 的最大值为y CO B xA ．2B．3C．2D． 3第Ⅱ卷（非选择题共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25分．开始11．已知函数f ( x)tan x sin x2015 ，若 f (m) 2 ，i12, s1则 f (m);i11?否12．执行以下列图的程序框图，则输出的结果是;是s s s i输出i i1结束13．设a12 (3x22x) dx ，则二项式 ( ax21) 6张开第 12 题图x式中的第 6 项的系数为;2x y 114．若目标函数 z kx 2 y 在拘束条件x y 2 下当且仅当在点(1,1) 处获取最小值，则实数k的取y x2值范围是;15．若X是一个会集，是一个以 X 的某些子集为元素的会集，且满足：①X 属于，空集属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于.则称是会集 X 上的一个拓扑．已知会集X{ a,b,c} ，关于下面给出的四个会集:①{,{ a},{c},{ a, b, c}} ;②{,{ b},{ c},{ b, c},{ a,b,c}};③{,{ a},{a,b},{a,c}} ;④{,{ a,c},{ b,c},{ c},{ a,b, c}} .其中是会集 X 上的一个拓扑的会集的所有序号是.三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12 分）设 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为a b a ca， b，c ，已知B)sin A， b 3 .sin( A sin B（Ⅰ）求角 B ；（Ⅱ）若 sin A3ABC 的面积.，求317．（本小题满分12 分）某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生会商会，拟邀请20 名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数以下表所示：学院机械工程学院海洋学院医学院经济学院人数4646（Ⅰ）从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言，求这 3 名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（Ⅱ）从这20 名学生中随机选出 3 名学生发言，设来自医学院的学生数为，求随机变量的概率分布列和数学希望.18．（本小题满分 12 分）A1D1E1如图，在四棱柱 ABCD A1 B1 C1 D1中，侧棱AA1底面B1C1ABCD ，底面 ABCD 是直角梯形， AD / / BC ，BAD90 ，AD AA1 3 ，BC 1， E1为 A1 B1中点.（Ⅰ）证明：B1 D / / 平面 AD1 E1；A D （Ⅱ）若 AC BD ，求平面ACD1和平面CDD1C1所成角（锐角）B C的余弦值 .19．（本小题满分12 分）已知数列 { a n } 是等差数列，S n为 { a n } 的前n项和，且 a1019 ， S10100 ；数列 { b n } 对任意n N ，总有 b1b2b3bn 1bn a n 2 建立.（Ⅰ）求数列{ a n } 和 { b n } 的通项公式；（Ⅱ）记 c n( 1)n 4n b n，求数列 { c n } 的前n项和 T n.(2 n1)220．（本小题满分13 分）已知椭圆 C : x2y21与直线 l : y kx m 订交于E、两不同样点，且直线 l 与圆O : x2y22 2F3相切于点 W ( O 为坐标原点 ).（Ⅰ）证明： OE OF ；EW的取值范围 .（Ⅱ）设，求实数FW21．（本小题满分14 分）已知函数 f (x)1x2kx 1 ，g( x)( x 1)ln( x 1) ， h( x) f ( x)g ( x) .2（Ⅰ）若函数g( x) 的图象在原点处的切线l 与函数 f ( x)的图象相切，求实数 k 的值；（Ⅱ）若 h( x) 在 [0,2]上单调递减，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若关于t [0,e1] ，总存在 x1 , x2( 1,4) ，且 x1 x2满 f ( x i )g (t) (i 1,2) ，其中 e 为自然对数的底数，求实数k的取值范围 .青岛市高三一致质量检测数学（理科）参照答案及评分标准一、选择题：本大题共10 小题．每题 5 分，共 50 分．D A B C D A C A B C二、填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25分．11. 402812.13213.2414 ．( 4, 2)15 ．②④三、解答题：本大题共 6 小题，共75 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12 分）解：（Ⅰ）a b a c a b a c⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2分sin( A B)sin A sin B c a ba2b2ac c2cos B a2c2b2ac1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2ac2ac2B(0, ) ，B3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（Ⅱ）由 b 3 ，sin A3，a b，得 a2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分3sin Bsin A由 a b 得 A B ，从而 cos A 6⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分，3故 sin C sin( A B)sin Acos B cos Asin B 332⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分6所以ABC 的面 S 1ab sin C 3 32.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分2217 ．（本小分12 分）解：（Ⅰ）从20 名学生随机出 3名的方法数 C203，出 3 人中任意两个均不属于同一学院的方法数 C41C61C41C41 C61 C61C41 C41 C61C61 C41 C61⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分所以 P C41C61C41C41 C61C61C41 C41C61C61 C41 C618⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分C20319（Ⅱ）可能的取 0,1,2,3P(0)C163571628, P(1)C162C4181548 ,C2033201957C2033201919P(2)C161C421668, P(3)C4334191⋯⋯⋯⋯ 10 分C2033201995C20320285所以的分布列0123P28881 571995285所以 E()28081821357⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分5719952859518 ．（本小分12 分）z明：（Ⅰ） A1 D 交 AD1于 G ，A1D1因 ABCDA 1B 1C 1D 1 四棱柱，所以四 形ADD 1 A 1 平行四 形，所以 GA 1 D 的中点，又 E 1 A 1B 1 中点，所以 E 1GA 1 B 1D 的中位 ，从而 B 1D / / E 1G⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分又因 B 1 D 平面 AD 1 E 1 ， E 1G 平面 AD 1E 1 ，所以 B 1D / / 平面 AD 1 E 1 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分（Ⅱ）因 AA 1 底面 ABCD ， AB面 ABCD ， AD 面 ABCD ，所以AA 1AB, AA 1 AD, 又 BAD90AB, AD , AA 1.，所以 两两垂直⋯⋯⋯⋯⋯ 分6如 ，以 A 坐 原点， AB, AD, AA 1 所在直 分 x ， y ， z 建立空 直角坐 系.AB t ， A 0,0,0， Bt ,0,0 ， C t ,1,0 ， D 0,3,0 ， C 1 t ,1,3 ， D 10,3,3 .从而 AC (t,1,0) ， BD (t,3,0) .因 ACBD ，所以 ACBD t 2 30 ，解得 t 3 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分所以 AD 1 (0,3,3) ， AC( 3,1,0) .n 1( x 1 , y 1, z 1 ) 是平面 ACD 1 的一个法向量， AC n 1 0,3x 1 y 1 0AD 1 n 10.即3z 13 y 1令 x 1 1， n 1 (1, 3, 3) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分又 CC 1 (0,0,3) ， CD (3,2,0) .n 2(x 2 , y 2 , z 2 ) 是平面 CDD 1C 1 的一个法向量，CC 1 n 2 0, z 2 0CD n 2即3x 2 2 y 2 00.令 x21 ， n(1,3,0 ) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分22n 1 n 2|1 1 3( 3)3 0 |1 cosn1, n 22n 1 n 2371 3 314平面 ACD 1 和平面 CDD 1C 1 所成角（ 角）的余弦1分12 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯719 ．（本小 分12 分）解：（Ⅰ） { a n }的公差 d ，a 10a 1 9d 19, S 1010 9 10a 1d 1002解得 a 1 1, d2 ，所以 a n 2n 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分所以 b 1 b 2 b 3 b n 1 bn2n 1 ⋯⋯ ①当 n 1时 ,b 1 3当n 2时, b 1 b 2 b 3bn 12n 1 ⋯⋯②①②两式相除得 b n2n 1 2)2n ( n12n 1(n因 当 n1时,b 3 适合上式，所以 b nN ) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分12n 14n bn 2（Ⅱ）由已知 c n( 1)n，(2 n 1)得 c n( 1)n4n( 1)n (1 1 1 )(2n 1)(2 n 1)2n 2n 1T nc 1 c 2 c 3c n(1 1) ( 11) ( 11)( 1)n ( 1 1 ) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分3 3 5 5 72n 1 2n 1 当 n 偶数 ，T n(1 1) (1 1) ( 1 1)( 1)n ( 11 1 1 )3 3 5 572n 2n( 1 1) (1 1) (1 1) ( 1 11 )3 3 5572n 2n 1112n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分2n 12n 1 当 n 奇数 ，T n(11) (1 1 ) ( 1 1) ( 1)n ( 11 1 1 )3 3 5 5 72n 2n( 1 1) ( 1 1) ( 1 1)(1 1 1 ) 3 3 5 5 72n 2n 11 2n 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分112n 12n2n为偶数2n 1 , n上： T n⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分2n 2为奇数2n 1 , n20 ．（本小 分 13 分）解：（Ⅰ）因 直 l 与 O 相切所以 x 2y 22的 心到直 l 的距离 dm2，从而 m 22(1 k 2 ) ⋯ 2 分1k 2333。

山东省青岛二中2015届高三上学期10月段考数学试卷（理科）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知m、n∈R，则＞成立的一个充要条件是（）A．m＞0＞n B．n＞m＞0 C．m n（m﹣n）＜0 D．m＜n＜02．（5分）已知集合M={a，b，c，d}，N={﹣2，0，1}，若f是从M到N的映射，且f（a）=0，f（b）=﹣2，则这样的映射f共有（）A．4个B．6个C．9个D．以上都不对3．（5分）设f（x）=，则f（f（））=（）A．e B．1C．2D．以上都不对4．（5分）若log m n=﹣1，则3n+m的最小值是（）A．2B．2C．2D．5．（5分）函数f（x）=sinx在区间上是增函数，且f（a）=﹣1，f（b）=1，则=（）A．0B．C．﹣1 D．16．（5分）设函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1），若f（x1•x2•x3…x2015）=50，则f（x12）+f （x22）+f（x32）+…+f（x20152）的值等于（）A．10 B．100 C．1000 D．20157．（5分）设函数f（x）=，集合M={x|f（x）＜0}，P={x|f′（x）≥0}，M是P的真子集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（1，+∞）D．时，f（x）=x2﹣2x，则当x∈时，f（x）的最小值是（）A．﹣1 B．C．D．9．（5分）函数y=a|x|与y=sinax（a＞0且a≠1）在同一直角坐标系下的图象可能是（）A．B．C．D．10．（5分）对实数a与b，定义新运算“⊗”：．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）已知cos（x+）=，则sin2x的值为．12．（5分）曲线y=x与y=x2﹣2x围成区域的面积为．13．（5分）已知a，b都是正实数，函数y=2ae x+b的图象过（0，2）点，则+的最小值为．14．（5分）已知偶函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），且当x∈时，f（x）=x2，则函数y=f（x）与y=log7x的图象的交点个数为．15．（5分）设函数f（x）=，对任意x1、x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．已知集合A={y|y=（）x﹣3（）x+1+1，x∈（﹣1，2）}，B={x|x﹣m2|≥}，命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．17．若函数f（x）=lnx，若对所有的x∈上的取值范围．19．已知函数f（x）=，其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（x）在（0，1）内有最大值，求a的取值范围．20．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断函数的单调性并证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．21．已知函数f（x）=lnx+，其中a为大于零的常数．（Ⅰ）若函数f（x）在区间上的最小值；（Ⅲ）求证：对于任意的n≥2，n∈N*，都有lnn＞++…+成立．山东省青岛二中2015届高三上学期10月段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知m、n∈R，则＞成立的一个充要条件是（）A．m＞0＞n B．n＞m＞0 C．m n（m﹣n）＜0 D．m＜n＜0考点：不等关系与不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：由题意m、n∈R，则＞，可将其移项、通分进行等价化简，从而求解．解答：解：∵＞∴﹣＞0∴＞0∴m•n（n﹣m）＞0∴m•n（m﹣n）＜0．故选C．点评：此题主要考查不等关系与不等式之间的关系及必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题．2．（5分）已知集合M={a，b，c，d}，N={﹣2，0，1}，若f是从M到N的映射，且f（a）=0，f（b）=﹣2，则这样的映射f共有（）A．4个B．6个C．9个D．以上都不对考点：映射．专题：函数的性质及应用．分析：根据映射的定义，结合已知可得当f（a）=0，f（b）=﹣2时，集合M中元素c在集合N中的象有三种情况；集合M中元素d在集合N中的象也有三种情况；进而可得答案．解答：解：若f是从M到N的映射，且f（a）=0，f（b）=﹣2，则集合M中元素c在集合N中的象有三种情况；集合M中元素d在集合N中的象也有三种情况；故这样的映射f共有3×3=9种情况，故选：C点评：本题考查的知识点是映射的概念，正确理解映射的概念特别是A中任意元素在B 中都有唯一元素与之对应是解答的关键．3．（5分）设f（x）=，则f（f（））=（）A．e B．1C．2D．以上都不对考点：分段函数的应用；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用分段函数以及所求表达式由里及外逐步求解即可．解答：解：f（x）=，则f（）=log3（）=log39=2，f（f（））=f（2）=e2﹣1=e．故选：A．点评：本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查指数与对数的运算，基本知识的考查．4．（5分）若log m n=﹣1，则3n+m的最小值是（）A．2B．2C．2D．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：利用题设等式求得nm的值，进而利用基本不等式求得3n+m的最小值．解答：解：∵log m n=﹣1，∴m＞0，m≠1，n＞0，mn=1．∴3n+m≥2=2即3n+m的最小值为2．故选B．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．解题的过程中一定要把握住“一正，二定，三相等”的原则．5．（5分）函数f（x）=sinx在区间上是增函数，且f（a）=﹣1，f（b）=1，则=（）A．0B．C．﹣1 D．1考点：正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：根据正弦函数的单调性，且f（a）=﹣1，f（b）=1，可采用特殊值法令a=﹣，b=，代入即可求得答案．解答：解：∵函数f（x）=sinx在区间上单调增，且f（a）=﹣1，f（b）=1∴令a=﹣，b=则=1故选D点评：本题主要考查了正弦函数的单调性．作为选择和填空的题型可采用特殊值法，有时能较快的解决问题．6．（5分）设函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1），若f（x1•x2•x3…x2015）=50，则f（x12）+f （x22）+f（x32）+…+f（x20152）的值等于（）A．10 B．100 C．1000 D．2015考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算法则即可得出．解答：解：∵f（x1•x2•x3…x2015）=50，∴log a（x1x2…x n）=50∵f（x12）+f（x22）+f（x32）+…+f（x20152）==2log a（x1x2…x n）=100．故选：B．点评：本题考查了对数的运算法则，属于基础题．7．（5分）设函数f（x）=，集合M={x|f（x）＜0}，P={x|f′（x）≥0}，M是P的真子集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（1，+∞）D．时，f（x）=x2﹣2x，则当x∈时，f（x）的最小值是（）A．﹣1 B．C．D．考点：函数的最值及其几何意义；函数的周期性．专题：计算题；压轴题；转化思想；配方法．分析：定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），可得出f（x﹣2）=f（x），由此关系求出求出x∈上的解析式，再配方求其最值解答：解：由题意定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），任取x∈，则f（x）=f（x+2）=f（x+4）由于x+4∈，当x∈时，f（x）=x2﹣2x，故f（x）=f（x+2）=f（x+4）===，x∈当x=﹣3时，f（x）的最小值是故选D点评：本题考查函数的最值及其几何意义，解题的关键是正确正解定义在R上的函数f （x）满足f（x+2）=3f（x），且由此关系求出x∈上的解析式，做题时要善于利用恒等式9．（5分）函数y=a|x|与y=sinax（a＞0且a≠1）在同一直角坐标系下的图象可能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：结合函数图象的对折变换法则和正弦型函数的伸缩变换，分当a＞1时和当0＜a＜1时两种情况，分析两个函数的图象，比照后，可得答案．解答：解：当a＞1时，函数y=a|x|与y=sinax（a＞0且a≠1）在同一直角坐标系下的图象为：当0＜a＜1时，函数y=a|x|与y=sinax（a＞0且a≠1）在同一直角坐标系下的图象为：比照后，发现D满足第一种情况，故选D点评：本题考查的知识点是函数的图象，其中熟练掌握函数图象的对折变换及伸缩变换是解答的关键．10．（5分）对实数a与b，定义新运算“⊗”：．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．B．C．D．考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2）的解析式，并求出f （x）的取值范围，函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=c图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围．解答：解：∵，∴函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2）=，由图可知，当c∈函数f（x）与y=c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是，故选B．点评：本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想．属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）已知cos（x+）=，则sin2x的值为．考点：两角和与差的余弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式与二倍角的余弦即可求得sin2x的值．解答：解：∵cos（x+）=，∴﹣sin2x=cos2（x+）=2cos2（x+）﹣1=2×（）2﹣1=﹣，∴sin2x=．故答案为：．点评：本题考查诱导公式与二倍角的余弦，考查转化思想．12．（5分）曲线y=x与y=x2﹣2x围成区域的面积为．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：联立方程组求出积分的上限和下限，结合积分的几何意义即可得到结论．解答：解：由曲线y=x与y=x2﹣2x，得x2﹣3x=0，解得x=0或x=3，则根据积分的几何意义可知所求的几何面积S===（）|=；故答案为：．点评：本题主要考查积分的应用，作出对应的图象，求出积分上限和下限，是解决本题的关键．13．（5分）已知a，b都是正实数，函数y=2ae x+b的图象过（0，2）点，则+的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：函数y=2ae x+b的图象过（0，2）点，可得2=2a+b．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵函数y=2ae x+b的图象过（0，2）点，∴2=2a+b．∵a，b都是正实数，∴+===，当且仅当b=a时取等号．∴+的最小值为．故答案为：．点评：本题考查了指数函数的性质、“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．14．（5分）已知偶函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），且当x∈时，f（x）=x2，则函数y=f（x）与y=log7x的图象的交点个数为6．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意可得函数y=f（x）（x∈R）是以2为周期的周期函数，然后在同一坐标系中画出函数y=f（x）与y=log7x的图象，利用图象法得到答案．解答：解：∵偶函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），∴f（x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），∴函数y=f（x）（x∈R）是以2为周期的周期函数，又∵当x∈时，f（x）=x2，故可以在同一坐标系中画出函数y=f（x）与函数y=log7x的图象，如下图所示：结合图象可得函数y=f（x）与y=log7x的图象的交点个数为6故答案为：6点评：本题考查函数的零点，数形结合是解决问题的关键，属中档题．15．（5分）设函数f（x）=，对任意x1、x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是k≥1．考点：函数恒成立问题．专题：计算题．分析：当x＞0时，=，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，则，可求解答：解：∵当x＞0时，==2e∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e∵∴=当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=e∵恒成立且k＞0，∴∴k≥1故答案为k≥1点评：本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值，导数在函数的单调性，最值求解中的应用是解答本题的另一重要方法，函数的恒成立问题的转化，本题具有一定的难度三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．已知集合A={y|y=（）x﹣3（）x+1+1，x∈（﹣1，2）}，B={x|x﹣m2|≥}，命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：求出集合A，B，根据充分条件和必要条件的定义和关系即可得到结论．解答：解：y=（）x﹣3（）x+1+1=y=2+（）x+1=2+，∵x∈（﹣1，2）}，∴＜（）x＜2，∴＜y＜8，即A=（，8），由B={x|x﹣m2|≥}，得B={x|x≥m2+或x≤m2﹣}，若命题p是命题q的充分条件，∴A⊊B，即m2+，即m2≤，即≤m≤，或者m2﹣≤8，m2，即，综上≤m≤．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求出对应的集合是解决本题的关键．17．若函数f（x）=lnx，若对所有的x∈分析：方法一、由题意得转化为：x∈∴x﹣lnx﹣1≥e﹣lne﹣1=e﹣2＞0，即h′（x）＞0，则h（x）在上的取值范围．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：（Ⅰ）先根据倍角公式和两角和公式，对函数进行化简，再利用T=，进而求得ω（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性进而求得函数f（x）的范围．解答：解：（Ⅰ）==．∵函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，∴，解得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．∵，∴，∴．∴，即f（x）的取值范围为．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象，三角函数式恒等变形，三角函数的值域．公式的记忆，范围的确定，符号的确定是容易出错的地方．19．已知函数f（x）=，其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（x）在（0，1）内有最大值，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）首先求出函数在原点处的切线的斜率，进一步求出切线方程．（Ⅱ）利用分类讨论思想进行具体的操作，分别令①a=0②a≠0，进行讨论，求的单调增区间．（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论直接求出函数在（0，1）内有最大值只需满足：即可解得结果．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=，当a=1时，f（x）=则：则：f′（0）=2曲线y=f（x）在原点处的切线方程为：y=2x（Ⅱ）函数f（x）=则：=﹣（1）当a=0时，，解得：x＞0（2）当a≠0时令f′（x）=0，解得：①当a＜0时，函数的增区间为：（﹣∞，）和（﹣a，+∞）②当a＞0时，函数的增区间为：（﹣a，）（Ⅲ）根据（2）的结论函数在（0，1）内有最大值只需满足：即可解得：a＞1故a的范围是：a＞1点评：本题考查的知识要点：利用导数求函数的切线方程，及函数的单调区间，对参数进行讨论是本题的重点．属于中等题型．20．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断函数的单调性并证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．考点：函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）为R上的奇函数得f（0）=0，f（﹣1）=﹣f（1），解出方程可得a，b值；（2）由（1）知f（x）==﹣，利用单调性定义可作出判断；（3）由f（x）的奇偶性可得，f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），根据单调性可去掉符号“f”，转化为函数最值解决即可；解答：解：（1）因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）=0，即=0，解得b=1，由f（﹣1）=﹣f（1），得，解得a=2，所以a=2，b=1；（2）f（x）为R上的减函数，证明如下：由（1）知f（x）==﹣，设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（﹣）﹣（﹣）=，因为x1＜x2，所以＞0，，+1＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）为减函数；（3）因为f（x）为奇函数，所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0可化为f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），又由（2）知f（x）为减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2，即3t2﹣2t＞k恒成立，而3t2﹣2t=3﹣，所以k＜．点评：本题考查函数单调性的判断及其应用，考查函数恒成立问题，考查学生解决问题的能力．21．已知函数f（x）=lnx+，其中a为大于零的常数．（Ⅰ）若函数f（x）在区间上的最小值；（Ⅲ）求证：对于任意的n≥2，n∈N*，都有lnn＞++…+成立．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；证明题；导数的综合应用；不等式．分析：（Ⅰ）求导，将函数f（x）在区间上的单调性，从而确定函数f（x）在区间上的最小值；（Ⅲ）注意到当a=1时，f（x）=lnx+﹣1在区间++…+（ln3﹣ln2）+（ln2﹣ln1）＞++…+，利用放缩法证明对于任意的n≥2，n∈N*，都有lnn＞++…+成立．解答：解：（Ⅰ）由题意，f′（x）=﹣=，∵a为大于零的常数，若使函数f（x）在区间上单调递增，则f min（x）=f（1）=0；②当0时，f′（x）在区间恒不大于0，f（x）在区间上单调递减，则f min（x）=f（2）=ln2﹣；③当＜a＜1时，令f′（x）=0可解得，x=∈（1，2）；易知f（x）在区间单调递减，在上单调递增，则f min（x）=f（）=ln+1﹣；综上所述，①当a≥1时，f min（x）=0；②当＜a＜1时，f min（x）=ln+1﹣；③当0时，f min（x）=ln2﹣；（Ⅲ）证明：易知当a=1时，f（x）=lnx+﹣1在区间++…+（ln3﹣ln2）+（ln2﹣ln1）＞++…+＞++…+．∴对于任意的n≥2，n∈N*，都有lnn＞++…+成立．点评：本题考查了函数的导数的综合应用，同时考查了不等式的证明，利用到了放缩法，同时考查了分类讨论的数学思想，属于难题．。

青岛市高三统一质量检测数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共 150 分 .考试时间 120 分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题共 50 分）一、选择题：本大题共10 小题．每小题 5 分，共50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i为虚数单位，复数2i等于1 iA ． 1 iB ． 1 i C．1i D ．1i2R ，集合 A { y | y log 2 x,x 2}, B{ x | y x 1} ，则．设全集 IA ． AB B．A B A C．A B D．A (e I B)3．在“魅力青岛中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为7 98 44 46 7 9 3第3 题图A ． 5 和 1.6B． 85 和 1.6C． 85 和 0.4D． 5 和 0.44．“n N*,2 a n 1a n a n 2”是“数列 { a n } 为等差数列”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件x C．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3 ，则211正视图侧视图正视图中的 x 的值是A ． 2B ．9C ．3D ． 322x2y20, b0) 的一条渐近线平行于直线 l : x 2 y 5 0 ，双曲线的一个焦点6．已知双曲线2b 2 1(aa在直线 l 上，则双曲线方程为A． x 2y 21B． x 2 y 2 1C． 3x 23 y 2 1D． 3x 23y 2 1 2055 2025 100100257．设 m,n 是不同的直线，, 是不同的平面，下列命题中正确的是A ．若 m / / ,n , m n ，则B ．若 m / / ,n , m n ，则 / /C ．若 m / / ,n ,m / / n ，则D ．若 m / / ,n,m / / n ，则 / /8．函数 y 4cos xe x ( e 为自然对数的底数 )的图象可能是yyyyOOx O xxO xAB C D9．对于函数 y sin(2 x) ，下列说法正确的是6A ．函数图象关于点 ( ,0) 对称3B ．函数图象关于直线 x5对称6C ．将它的图象向左平移个单位，得到 y sin 2x 的图象6D ．将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的1倍，得到y sin( x) 的图象2610．已知点 G 是 ABC 的外心， GA,GB,GC 是三个单位向量， 且 2GA AB AC 0 ，如图所示， ABC的顶点 B, C 分别在 x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，O 是坐标原点，则OA 的最大值为y CO B xA ．2B．3C．2D． 3第Ⅱ卷（非选择题共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25分．开始11．已知函数f ( x)tan x sin x2015 ，若 f (m) 2 ，i12, s1则 f (m);i11?否12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是;是s s s i输出i i1结束13．设a12 (3x22x) dx ，则二项式 ( ax21) 6展开第 12 题图x式中的第 6 项的系数为;2x y 114．若目标函数 z kx 2 y 在约束条件x y 2 下当且仅当在点(1,1) 处取得最小值，则实数k的取y x2值范围是;15．若X是一个集合，是一个以 X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于，空集属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于.则称是集合 X 上的一个拓扑．已知集合X{ a,b,c} ，对于下面给出的四个集合:①{,{ a},{c},{ a, b, c}} ;②{,{ b},{ c},{ b, c},{ a,b,c}};③{,{ a},{a,b},{a,c}} ;④{,{ a,c},{ b,c},{ c},{ a,b, c}} .其中是集合 X 上的一个拓扑的集合的所有序号是.三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12 分）设 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为a b a ca， b，c ，已知B)sin A， b 3 .sin( A sin B（Ⅰ）求角 B ；（Ⅱ）若 sin A3ABC 的面积.，求317．（本小题满分12 分）某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20 名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：学院机械工程学院海洋学院医学院经济学院人数4646（Ⅰ）从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言，求这 3 名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（Ⅱ）从这20 名学生中随机选出 3 名学生发言，设来自医学院的学生数为，求随机变量的概率分布列和数学期望.18．（本小题满分 12 分）A1D1E1如图，在四棱柱 ABCD A1 B1 C1 D1中，侧棱AA1底面B1C1ABCD ，底面 ABCD 是直角梯形， AD / / BC ，BAD90 ，AD AA1 3 ，BC 1， E1为 A1 B1中点.（Ⅰ）证明：B1 D / / 平面 AD1 E1；A D （Ⅱ）若 AC BD ，求平面ACD1和平面CDD1C1所成角（锐角）B C的余弦值 .19．（本小题满分12 分）已知数列 { a n } 是等差数列，S n为 { a n } 的前n项和，且 a1019 ， S10100 ；数列 { b n } 对任意n N ，总有 b1b2b3bn 1bn a n 2 成立.（Ⅰ）求数列{ a n } 和 { b n } 的通项公式；（Ⅱ）记 c n( 1)n 4nb n ，求数列 {c n } 的前 n 项和 T n .(2 n 1)220．（本小题满分 13 分）已知椭圆 C :x 2y 21 与直线 l : y kxm 相交于E 、 两不同点，且直线 l 与圆O : x 2y222F3相切于点 W ( O 为坐标原点 ).（Ⅰ）证明： OE OF ；EW的取值范围 .（Ⅱ）设，求实数FW21．（本小题满分 14 分）已知函数 f (x)1 x 2kx 1 ，g( x)( x 1)ln( x 1) ， h( x) f ( x)g ( x) .2（Ⅰ）若函数 g( x) 的图象在原点处的切线 l 与函数 f ( x) 的图象相切，求实数 k 的值； （Ⅱ）若 h( x) 在 [0,2] 上单调递减，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若对于t [0,e 1] ，总存在 x 1 , x 2( 1,4) ，且 x 1 x 2 满 f ( x i ) g (t) (i 1,2) ，其中 e 为自然对数的底数，求实数 k 的取值范围 .青岛市高三统一质量检测数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 10 小题．每小题 5 分，共 50 分．D A B C DA C AB C二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．11. 402812. 132 13.24 14 ． ( 4, 2)15 ．②④三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）a b a c a b a c⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2分sin( A B)sin A sin B c a ba2b2ac c2cos B a2c2b2ac1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2ac2ac2B(0, ) ，B3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（Ⅱ）由 b 3 ，sin A3，a b，得 a2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分3sin Bsin A由 a b 得 A B ，从而 cos A 6⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分，3故 sin C sin( A B)sin Acos B cos Asin B 332⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分6所以ABC 的面 S 1ab sin C 3 32.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分2217 ．（本小分12 分）解：（Ⅰ）从20 名学生随机出 3名的方法数 C203，出 3 人中任意两个均不属于同一学院的方法数 C41C61C41C41 C61 C61C41 C41 C61C61 C41 C61⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分所以 P C41C61C41C41 C61C61C41 C41C61C61 C41 C618⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分C20319（Ⅱ）可能的取 0,1,2,3P(0)C163571628, P(1)C162C4181548 ,C2033201957C2033201919P(2)C161C421668, P(3)C4334191⋯⋯⋯⋯ 10 分C2033201995C20320285所以的分布列0123P28881 571995285所以 E()28081821357⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分5719952859518 ．（本小分12 分）z明：（Ⅰ） A1 D 交 AD1于 G ，A1D1因 ABCDA 1B 1C 1D 1 四棱柱，所以四 形ADD 1 A 1 平行四 形，所以 GA 1 D 的中点，又 E 1 A 1B 1 中点，所以 E 1GA 1 B 1D 的中位 ，从而 B 1D / / E 1G⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分又因 B 1 D 平面 AD 1 E 1 ， E 1G 平面 AD 1E 1 ，所以 B 1D / / 平面 AD 1 E 1 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分（Ⅱ）因 AA 1 底面 ABCD ， AB面 ABCD ， AD 面 ABCD ，所以AA 1AB, AA 1 AD, 又 BAD90AB, AD , AA 1.，所以 两两垂直⋯⋯⋯⋯⋯ 分6如 ，以 A 坐 原点， AB, AD, AA 1 所在直 分 x ， y ， z 建立空 直角坐 系.AB t ， A 0,0,0， Bt ,0,0 ， C t ,1,0 ， D 0,3,0 ， C 1 t ,1,3 ， D 10,3,3 .从而 AC (t,1,0) ， BD (t,3,0) .因 ACBD ，所以 ACBD t 2 30 ，解得 t 3 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分所以 AD 1 (0,3,3) ， AC( 3,1,0) .n 1( x 1 , y 1, z 1 ) 是平面 ACD 1 的一个法向量， AC n 1 0,3x 1 y 1 0AD 1 n 10.即3z 13 y 1令 x 1 1， n 1 (1, 3, 3) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分又 CC 1 (0,0,3) ， CD (3,2,0) .n 2(x 2 , y 2 , z 2 ) 是平面 CDD 1C 1 的一个法向量，CC 1 n 2 0, z 2 0CD n 2即3x 2 2 y 2 00.令 x21 ， n(1,3,0 ) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分22n 1 n 2|1 1 3( 3)3 0 |1 cosn1, n 22n 1 n 2371 3 314平面 ACD 1 和平面 CDD 1C 1 所成角（ 角）的余弦1分12 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯719 ．（本小 分12 分）解：（Ⅰ） { a n }的公差 d ，a 10a 1 9d 19, S 1010 9 10a 1d 1002解得 a 1 1, d2 ，所以 a n 2n 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分所以 b 1 b 2 b 3 b n 1 bn2n 1 ⋯⋯ ①当 n 1时 ,b 1 3当n 2时, b 1 b 2 b 3bn 12n 1 ⋯⋯②①②两式相除得 b n2n 1 2)2n ( n12n 1(n因 当 n1时,b 3 适合上式，所以 b nN ) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分12n 14n bn 2（Ⅱ）由已知 c n( 1)n，(2 n 1)得 c n( 1)n4n( 1)n (1 1 1 )(2n 1)(2 n 1)2n 2n 1T nc 1 c 2 c 3c n(1 1) ( 11) ( 11)( 1)n ( 1 1 ) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分3 3 5 5 72n 1 2n 1 当 n 偶数 ，T n(1 1) (1 1) ( 1 1)( 1)n ( 11 1 1 )3 3 5 572n 2n( 1 1) (1 1) (1 1) ( 1 11 )3 3 5572n 2n 1112n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分2n 12n 1 当 n 奇数 ，T n(11) (1 1 ) ( 1 1) ( 1)n ( 11 1 1 )3 3 5 5 72n 2n( 1 1) ( 1 1) ( 1 1)(1 1 1 ) 3 3 5 5 72n 2n 11 2n 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分112n 12n2n为偶数2n 1 , n上： T n⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分2n 2为奇数2n 1 , n20 ．（本小 分 13 分）解：（Ⅰ）因 直 l 与 O 相切所以 x 2y 22的 心到直 l 的距离 dm2，从而 m 22(1 k 2 ) ⋯ 2 分1k 2333。

山东省各地2015高三上学期期末考试数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（青岛市2015届高三）已知函数()32123f x x ax bx c =+++有两个极值点1212,112x x x x -<<<<，且，则直线()130bx a y --+=的斜率的取值范围是 A. 22,53⎛⎫-⎪⎝⎭ B. 23,52⎛⎫-⎪⎝⎭ C. 21,52⎛⎫-⎪⎝⎭ D. 22,,53⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2、（泰安市2015届高三）定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()()1,00,f x f x f f x f x ''>-=是的导函数，则不等式()1xxe f x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为A. ()(),10,-∞-⋃+∞B. ()0,+∞C. ()(),01,-∞⋃+∞D. ()1,-+∞3、（桓台第二中学2015届高三）设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，n ∈N ，则f 2 013(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x 二、解答题1、（德州市2015届高三）已知函数 ()x f x e ax =+，其中e 为自然对数的底数，a 为常数． (I)若函数f(x)存在极小值，且极小值为0，求a 的值； (Ⅱ)若对任意 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式 ()2(1sin )xf x ax e x -≥-恒成立，求a 的取值范围．2、（济宁市2015届高三）设a R ∈，函数2()(21)ln f x ax a x x =-++。

（I ）当a ＝1时，求f （x ）的极值；（II ）设()1xg x e x =--，若对于任意 的12(0,),x x R ∈+∞∈，不等式12()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围。

2014-2015学年山东省青岛二中高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合，则A∩B=( )A．（0，1）B．（0，1]C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，0）∪（0，1）2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z的共轭复数是( )A．2﹣iB．2+iC．1+2iD．1﹣2i3．已知实数﹣1，x，y，z，﹣4成等比数列，则xyz=( )A．﹣8B．±8C．D．4．已知，则sin2α等于( )A．B．C．D．5．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数为( )①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；④若α∩β=m，β∩γ=l，γ∩α=n，且n∥β，则l∥m．B．2C．3D．46．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )A．3B．4C．5D．67．定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，则当x∈[﹣1，0]时，f（x）的最小值为( )A．﹣B．﹣C．0D．8．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式成立的是( )A．f（1）＜f（a）＜f（b）B．f（a）＜f（b）＜f（1）C．f（a）＜f（1）＜f（b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）9．已知不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，则常数a的最小值为( )A．1B．2D．410．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积9π，则p=( )A．2B．4C．3D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）11．如图，某几何体的三视图均为边长为1的正方形，则该几何体的体积是__________．12．已知=（2，1），=（1，﹣3），若=+2，=2﹣x，且⊥，则x=__________．13．已知点P的坐标（x，y）满足过点P的直线l与圆C：x2+y2=14交于M、N 两点，那么|MN|的最小值是__________．14．若函数f（x）=x3+x2﹣ax在区间（1，+∞）上单调递增，且在区间（1，2）上有零点，则实数a的取值范围是__________．15．设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为__________．三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．某市有M，N，S三所高校，其学生会学习部有“干事”人数分别为36，24，12，现采用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取6名进行“大学生学习部活动现状”调查．（Ⅰ）求应从M，N，S这三所高校中分别抽取的“干事”人数；（Ⅱ）若从抽取的6名干事中随机选2，求选出的2名干事来自同一所高校的概率．17．已知函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x，x∈[，]．设x=α时f（x）取到最大值．（1）求f（x）的最大值及α的值；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求b﹣c的值．18．如图1，在四棱锥P﹣ABCD中PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图与侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）证明：AM∥平面PBC；（Ⅲ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．已知数列{a n}中，a1=t（t为非负常数），数列{a n}的前n项和为S n，且S n满足S n+1=3S n （Ⅰ）当t=1时，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．20．（13分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与两个焦点构成的三角形周长为6+4．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点（A，B不是顶点），且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，证明这样的直线l恒过定点，并求出该点坐标．21．（14分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．2014-2015学年山东省青岛二中高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合，则A∩B=( )A．（0，1）B．（0，1]C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，0）∪（0，1）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据对数函数的定义域求出集合A，再根据不等式求出集合B，再利用两个集合的交集的定义求出A∩B．解答：解：集合A={x|y=log2（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}=（﹣∞，1），集合B={x|x2＞0}={x|x≠0}=（﹣∞，0）∪（0，+∞），故集合A∩B=（﹣∞，0）∪（0，1）故选D．点评：本题主要考查对数函数的定义域，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z的共轭复数是( )A．2﹣iB．2+iC．1+2iD．1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数代数形式的除法运算化简复数z，则z的共轭复数可求．解答：解：∵（1+2i）z=4+3i，∴，则z的共轭复数是2+i．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了共轭复数的求法，是基础题．3．已知实数﹣1，x，y，z，﹣4成等比数列，则xyz=( )A．﹣8C．D．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等比数列的性质可得y2=xz=（﹣1）（﹣4），解方程易得答案．解答：解：由等比数列的性质可得y2=xz=（﹣1）（﹣4），解得xz=4，y=﹣2，（y=2时，和x2=﹣y矛盾），∴xyz=﹣8．故选：A点评：本题考查等比数列的性质，属基础题．4．已知，则sin2α等于( )A．B．C．D．考点：二倍角的余弦；诱导公式的作用；两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，整理后求出tanα的值，然后将所求的式子分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化为sin2α+cos2α，分子利用二倍角的正弦函数公式化简，然后分子分母同时除以cos2α，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanα的值代入即可求出值．解答：解：∵tan（α﹣）==，∴tanα=2，则sin2α====．故选C点评：此题考查了二倍角的正弦函数公式，两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．5．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数为( )①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；④若α∩β=m，β∩γ=l，γ∩α=n，且n∥β，则l∥m．A．1C．3D．4考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：①根据两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，判断①；②根据直线与平面平行的判定定理，得出②错误；③根据空间中的线面平行关系，判断③错误；④根据空间中的线面平行关系，得出④正确．解答：解：对于①，当m∥l，m⊥α时，l⊥α，∴①正确；对于②，当m∥l，m∥α时，l∥α，或l⊂α，∴②错误；对于③，当α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n时，l∥m∥n，或l、m、n交于一点，∴③错误；对于④，当α∩β=m，β∩γ=l，γ∩α=n，且n∥β时，l∥m，∴④正确．综上，正确的命题为①④．故选：B．点评：本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的应用问题，是基础性题目．6．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )A．3B．4C．5D．6考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序框图，运行相应的程序，写出每次循环i，a的值，判断a＞50满足时，输出i的值即可．解答：解：运行相应的程序，有a=1，i=0，i=1，a=2，a＞50不成立，有i=2，a=5，a＞50不成立，有i=3，a=16，a＞50不成立，有i=4，a=65，a＞50成立，输出i的值为4．故选：B．点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．7．定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，则当x∈[﹣1，0]时，f（x）的最小值为( )A．﹣B．﹣C．0D．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：设x∈[﹣1，0]，则x+1∈[0，1]，故由已知条件求得f（x）==，再利用二次函数的性质求得函数f（x）的最小值．解答：解：设x∈[﹣1，0]，则x+1∈[0，1]，故由已知条件可得f（x+1）=（x+1）2﹣（x+1）=x2+x=2f（x），∴f（x）==，故当x=﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣，故选：A．点评：本题主要考查求函数的解析式，二次函数的性质应用，属于基础题．8．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式成立的是( )A．f（1）＜f（a）＜f（b）B．f（a）＜f（b）＜f（1）C．f（a）＜f（1）＜f（b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：首先判断两个函数的单调性，再由定义知f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0，从而可判断0＜a＜1＜b；从而再利用单调性判断大小关系．解答：解：易知函数f（x）=e x+x﹣2在R上是增函数，g（x）=lnx+x﹣2在R上也是增函数；又∵f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0，∴0＜a＜1＜b；故f（a）＜f（1）＜f（b）；故选C．点评：本题考查了函数的单调性的判断与应用及函数零点的判定定理的应用，属于基础题．9．已知不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，则常数a的最小值为( )A．1B．2C．3D．4考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：令f（y）=|y+4|﹣|y|，利用绝对值不等式可得|y+4|﹣|y|≤|y+4﹣y|=4，从而将问题转化为2x+≥f（y）max=4，令g（x）=﹣（2x）2+4×2x，则a≥g（x）max=4，从而可得答案．解答：解：令f（y）=|y+4|﹣|y|，则f（y）≤|y+4﹣y|=4，即f（y）max=4．∵不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，∴2x+≥f（y）max=4，∴a≥﹣（2x）2+4×2x=﹣（2x﹣2）2+4恒成立；令g（x）=﹣（2x）2+4×2x，则a≥g（x）max=4，∴常数a的最小值为4，故选：D．点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查化归思想与构造函数思想，突出恒成立问题的考查，属于中档题．10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积9π，则p=( )A．2B．4C．3D．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．解答：解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为9π，∴圆的半径为3又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=3∴p=4故选：B．点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）11．如图，某几何体的三视图均为边长为1的正方形，则该几何体的体积是或．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：先由三视图判断几何体的形状，画出其直观图，再利用正方体的体积减去棱锥的体积求得．解答：解：由三视图知，几何体有两种情况，如图：几何体为边长为1的正方形消去一个三棱锥或消去两个三棱锥，三棱锥的体积V==，∴几何体的体积为或．故答案是或．点评：本题考查由三视图求几何体的体积．12．已知=（2，1），=（1，﹣3），若=+2，=2﹣x，且⊥，则x=．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据平面向量的坐标运算，利用两向量垂直，数量积为0，列出方程，求出x的值．解答：解：∵=（2，1），=（1，﹣3），∴=+2=（4，﹣5），=2﹣x=（4﹣x，2+3x），又⊥，∴•=4（4﹣x）﹣5（2+3x）=0；解得x=．故答案为：．点评：本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了平面向量的数量积的应用问题，是基础题目．13．已知点P的坐标（x，y）满足过点P的直线l与圆C：x2+y2=14交于M、N 两点，那么|MN|的最小值是4．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，欲求|MN|的最小值，只需求出经过可行域的点的直线在圆上所截弦长何时取最大值即可．解答：解：先根据约束条件画出可行域，当直线l过点A（1，3）时，A点离圆心最远，此时截得的弦MN最小，最小值是4，故填4．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14．若函数f（x）=x3+x2﹣ax在区间（1，+∞）上单调递增，且在区间（1，2）上有零点，则实数a的取值范围是＜a≤3．考点：函数零点的判定定理．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：求出f′（x）=x2+2x﹣a，根据函数性质，和零点的判断方法得，f′（1）=3﹣a≥0，f（1）f（2）＜0，求解不等式即可．解答：解：∵函数f（x）=x3+x2﹣ax，∴f′（x）=x2+2x﹣a，∵对称轴x=﹣1，f′（1）=3﹣a≥0，∴a≤3，∵在区间（1，2）上有零点，∴f（1）f（2）＜0，∴＜a＜．∴实数a的取值范围是＜a≤3，故答案为：＜a≤3点评：本题考查了函数的单调性，零点的判断方法，属于中档题．15．设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．解答：解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即4a2=4c2+16a2﹣2c×4a×，∴c2﹣2ca+3a2=0，∴c= a所以e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．某市有M，N，S三所高校，其学生会学习部有“干事”人数分别为36，24，12，现采用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取6名进行“大学生学习部活动现状”调查．（Ⅰ）求应从M，N，S这三所高校中分别抽取的“干事”人数；（Ⅱ）若从抽取的6名干事中随机选2，求选出的2名干事来自同一所高校的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）求出抽样比，即可从M，N，S这三所高校中分别抽取的“干事”人数；（Ⅱ）在抽取到的6名干事中，来自高校M的3名分别记为1、2、3，来自高校N的2名分别记为a、b，来自高校S的1名记为c，写出选出2名干事的所有可能结果，设A={所选2名干事来自同一高校}，写出事件A的所有可能结果，利用古典概型求解即可．解答：解：（Ⅰ）抽样比为：，故应从M，N，S这三所高校抽取的“干事”人数分别为3，2，1；（Ⅱ）在抽取到的6名干事中，来自高校M的3名分别记为1、2、3，来自高校N的2名分别记为a、b，来自高校S的1名记为c，则选出2名干事的所有可能结果为：{1，2}，{1，3}，{1，a }，{1，b }，{1，c}，{2，3}，{2，a}，{2，b}，{2，c}，{3，a}，{3，b }，{3，c }，{ a，b }，{ a，c }，{ b，c}共15种．设A={所选2名干事来自同一高校}，事件A的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{2，3}，{a，b}，共4种，所以．点评：本题考查古典概型的应用，分层抽样，基本知识的考查，是高考文科概率考试类型题目．17．已知函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x，x∈[，]．设x=α时f（x）取到最大值．（1）求f（x）的最大值及α的值；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求b﹣c的值．考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值．分析：（1）利用二倍角公式对函数解析式化简利用x的范围判断出2x﹣的范围，利用正弦函数的性质求得函数的最大值及α的值．（2）利用正弦定理把已知角的正弦等式转化成变化的等式，进而利用余弦定理求得b﹣c的值．解答：解：（1）依题．又，则，故当即时，f（x）max=3．（2）由（1）知，由sinBsinC=sin2A即bc=a2，又a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，则b2+c2﹣bc=bc即（b﹣c）2=0，故b﹣c=0．点评：本题主要考查了余弦定理的应用，三角函数图象与性质．是对三角函数基础知识的综合考查．18．如图1，在四棱锥P﹣ABCD中PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图与侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）证明：AM∥平面PBC；（Ⅲ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）利用俯视图和勾股定理的逆定理可得BC⊥BD，利用线面垂直的性质定理可得BC⊥PD，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（Ⅱ）取PC上一点Q，使PQ：PC=1：4，连接MQ，BQ．利用左视图和平行线分线段成比例的判定和性质即可得出MQ∥CD，MQ=CD．再利用平行四边形的判定和性质定理即可得出AM∥BQ，利用线面平行的判定定理即可证明．（Ⅲ）利用棱锥的体积公式，即可求四棱锥P﹣ABCD的体积．解答：（Ⅰ）证明：由俯视图可得，BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD．又∵PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD，又∵BD∩PD=D，∴BC⊥平面PBD．（Ⅱ）证明：取PC上一点Q，使PQ：PC=1：4，连接MQ，BQ．由左视图知PM：PD=1：4，∴MQ∥CD，MQ=CD．在△BCD中，易得∠CDB=60°，∴∠ADB=30°．又BD=2，∴AB=1，AD=．又∵AB∥CD，AB=CD，∴AB∥MQ，AB=MQ．∴四边形ABQM为平行四边形，∴AM∥BQ．∵AM⊄平面PBC，BQ⊂平面PBC，∴直线AM∥平面PBC．（Ⅲ）解：∵底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AD⊥AB，AB=1，CD=4，AD=，∴S ABCD=，∵PD⊥底面ABCD，PD=4，∴V=•S ABCD•PD==．点评：熟练掌握由三视图得到线面位置关系和数据、线面垂直的判定和性质定理、线面平行的判定和性质定理、求四棱锥P﹣ABCD的体积是解题的关键．19．已知数列{a n}中，a1=t（t为非负常数），数列{a n}的前n项和为S n，且S n满足S n+1=3S n （Ⅰ）当t=1时，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）由S n+1=3S n，可知数列{S n}是首项为1，公比为3的等比数列，即可得出S n．当n≥2时，利用a n=S n﹣S n﹣1即可得出．（II）由（I）可得：b n=．当n=1时，T1=t．当n≥2时，T n=t+2t（2+3×3+4×32+…+n•3n﹣2），再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（I）由S n+1=3S n，可知数列{S n}是首项为1，公比为3的等比数列，∴S n=3n﹣1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n﹣1﹣3n﹣2=2×3n﹣2．∴a n=．（II）由（I）可得：b n=．∴当n=1时，T1=t．当n≥2时，T n=t+2t（2+3×3+4×32+…+n•3n﹣2），3T n=3t+2t[2×3+3×32+…+（n﹣1）•3n﹣2+n•3n﹣1]，∴﹣2T n=﹣2t+2t（2+3+32+…+3n﹣2﹣n•3n﹣1）=﹣2t+2t=t（1﹣2n）•3n﹣1﹣t，∴T n=．当t=1时，上式也成立．∴T n=．点评：本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与两个焦点构成的三角形周长为6+4．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点（A，B不是顶点），且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，证明这样的直线l恒过定点，并求出该点坐标．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）由题意可得：2a+2c=6+4，=，又a2=b2+c2，联立解出即可得出．（II）由题意可得：直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：x=my+n，与椭圆方程联立化为（m2+9）y2+2mny+n2﹣9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由于以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，可得CA⊥CB，=0，即（my1+n﹣3）（my2+n﹣3）+y1y2=0，化简整理代入根与系数的关系即可得出．解答：解：（I）由题意可得：2a+2c=6+4，=，又a2=b2+c2，解得a=3，b=1，c=2，∴椭圆M的方程为+y2=1．（II）由题意可得：直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：x=my+n，联立，化为（m2+9）y2+2mny+n2﹣9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=．∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，∴CA⊥CB．∴=0，∴（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=0，∴（my1+n﹣3）（my2+n﹣3）+y1y2=0，化为（m2+1）y1y2+m（n﹣3）（y1+y2）+（n﹣3）2=0，∴++（n﹣3）2=0，解得n=3或n=，n=3舍去；n=，直线AB经过定点，满足与椭圆有两个交点．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、直线过定点问题、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（14分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（0），由于切点为（0，0），故由点斜式即可得所求切线的方程；（2）先求原函数的导数得：f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna，再对a进行讨论，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）由于f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna 单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．（16分）点评：本题考查了基本函数导数公式，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值．属于中档题．。