2011届高考数学仿真押题卷之福建卷：理1

2011年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(理科)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.i是虚数单位,若集合S={-1,0,1},则( ).A.i∈SB.i2∈SC.i3∈SD.∈S2.若a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的( ).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.若tan α=3,则的值等于( ).A.2B.3C.4D.64.如图,矩形ABCD中,点E为边CD的中点.若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△ABE内部的概率等于( ).A. B. C. D.5.(e x+2x)dx等于( ).A.1B.e-1C.eD.e+16.(1+2x)5的展开式中,x2的系数等于( ).A.80B.40C.20D.107.设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1,F2,若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线Γ的离心率等于( ).A.或B.或2C.或2D.或8.已知O是坐标原点,点A(-1,1),若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则·的取值范围是( ).A.[-1,0]B.[0,1]C.[0,2]D.[-1,2]9.对于函数f(x)=asin x+bx+c(其中a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是( ).A.4和6B.3和1C.2和4D.1和210.已知函数f(x)=e x+x.对于曲线y=f(x)上横坐标成等差数列的三个点A,B,C,给出以下判断:①△ABC一定是钝角三角形;②△ABC可能是直角三角形;③△ABC可能是等腰三角形;④△ABC不可能是等腰三角形.其中,正确的判断是( ).A.①③B.①④C.②③D.②④第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置.11.运行如图所示的程序,输出的结果是.12.三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=3,底面ABC是边长为2的正三角形,则三棱锥P-ABC 的体积等于.13.盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个.若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率等于.14.如图,△ABC中,AB=AC=2,BC=2,点D在BC边上,∠ADC=45°,则AD的长度等于.15.设V是全体平面向量构成的集合.若映射f:V→R满足:对任意向量a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,以及任意λ∈R,均有f(λa+(1-λ)b)=λf(a)+(1-λ)f(b),则称映射f具有性质P.现给出如下映射:①f1:V→R,f1(m)=x-y,m=(x,y)∈V;②f2:V→R,f2(m)=x2+y,m=(x,y)∈V;③f3:V→R,f3(m)=x+y+1,m=(x,y)∈V.其中,具有性质P的映射的序号为.(写出所有具有性质P的映射的序号)三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.已知等比数列{a n}的公比q=3,前3项和S3=.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若函数f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,0<φ<π)在x=处取得最大值,且最大值为a3,求函数f(x)的解析式.17.已知直线l:y=x+m,m∈R.(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P,且点P在y轴上,求该圆的方程;(2)若直线l关于x轴对称的直线为l',问直线l'与抛物线C:x2=4y是否相切?说明理由. 18.(本小题满分13分)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2.其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.19.(本小题满分13分)某产品按行业生产标准分成8个等级,等级系数X依次为1,2, (8)其中X≥5为标准A,X≥3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品,产品的零售价为6元/件;乙厂执行标准B生产该产品,产品的零售价为4元/件.假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示:X1 5 6 7 8P 0.4 a b 0.1且X1的数学期望EX1=6,求a,b的值;(2)为分析乙厂产品的等级系数X2,从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 47 5 3 48 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数X2的数学期望.(3)在(1)、(2)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由.注:(1)产品的“性价比”=;(2)“性价比”大的产品更具可购买性.20.(本小题满分14分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD.四边形ABCD中,AB⊥AD,AB+AD=4,CD=,∠CDA=45°.(1)求证:平面PAB⊥平面PAD;(2)设AB=AP.①若直线PB与平面PCD所成的角为30°,求线段AB的长;②在线段AD上是否存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等?说明理由.21.本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.(1)(本小题满分7分)选修4—2:矩阵与变换设矩阵M=(其中a>0,b>0).①若a=2,b=3,求矩阵M的逆矩阵M-1;②若曲线C:x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C':+y2=1,求a,b的值.(2)(本小题满分7分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为(α为参数).①已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为(4,),判断点P与直线l的位置关系;②设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.(3)(本小题满分7分)选修4—5:不等式选讲设不等式|2x-1|<1的解集为M.①求集合M;②若a,b∈M,试比较ab+1与a+b的大小.福建理答案(数学)1.B ∵i2=-1,而集合S={-1,0,1},∴i2∈S.2.A 由(a-1)(a-2)=0,得a=1或a=2,所以a=2⇒(a-1)(a-2)=0.而由(a-1)(a-2)=0不一定推出a=2,故a=2是(a-1)(a-2)=0的充分而不必要条件.3.D ∵==2·tanα=6,∴的值等于6.4.C 由题意知,该题考查几何概型,故所求概率P===.5.C ∵被积函数e x+2x的原函数为e x+x2,∴(e x+2x)dx=(e x+x2)=(e1+12)-(e0+0)=e.6.B 由二项式定理可知(1+2x)5的展开式的第r+1项为T r+1=15-r(2x)r=·2r·x r,令r=2,得:T3=·22·x2=40x2.∴x2的系数等于40.7.A 由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,故可设|PF1|=4k,|F1F2|=3k,|PF2|=2k,其中|F1F2|=2c=3k,∴c=k.若圆锥曲线Γ为椭圆,则|PF1|+|PF2|=2a=6k,∴a=3k.∴e===;若圆锥曲线Γ为双曲线,则|PF1|-|PF2|=2a=2k,∴a=k.∴e===.综上所述e的取值为或.8.C 由题意不等式组表示的平面区域如图所示:由数量积的坐标运算可得:·=-x+y,令-x+y=z,即:y=x+z,易知目标函数y=x+z过点B(1,1)时,z min=0,目标函数y=x+z 过点C(0,2)时,z max=2,故·的取值范围是[0,2].9.D ∵f(1)=asin1+b+c,f(-1)=-asin1-b+c,∴f(1)+f(-1)=2c.∴c=.又∵c∈Z,∴f(1)和f(-1)的值一定不可能是1和2.10.B 设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3))且x1<x2<x3,则f(x1)<f(x2)<f(x3),由题意知,x1+x3=2x2,=(x1-x2,f(x1)-f(x2)),=(x3-x2,f(x3)-f(x2)),∴·=(x1-x2)·(x3-x2)+[f(x1)-f(x2)]·[f(x3)-f(x2)]=x1x3-x1x2-x2x3++[f(x1)-f(x2)]·[f(x3 )-f(x2)]=x1x3-+[f(x1)-f(x2)]·[f(x3)-f(x2)].∵x1x3-=x1x3-=-<0.又∵[f(x1)-f(x2)]·[f(x3)-f(x2)]<0,∴·<0.故∠ABC为钝角.∴△ABC一定为钝角三角形,故①正确,②不正确,对于③,||2-||2=(x1-x2)2+[f(x1)-f(x2)]2-(x3-x2)2-[f(x3)-f(x2)]2=-2x1x2-+2x2x3+f2(x1)-2f(x1)·f (x2)-f2(x3)+2f(x2)·f(x3)=(x1-x3)(x1+x3-2x2)+[f(x1)-f(x3)][f(x1)+f(x3)-2f(x2)]=[f(x1)-f(x3)]·[+x1++x3-2(+x2)]=[f(x1)-f(x3)]·(+-2),又∵+>2=2,∴+>2.又∵f(x1)≠f(x3),∴||2≠||2,即:||≠||.∴△ABC不可能是等腰三角形,故④正确,③错误.选B.11.3 ∵a=1,b=2,a=a+b,∴a=1+2=3.∴该程序输出的结果是3.12. 由题意,=·S △ABC·PA=××22×3=,故三棱锥P ABC的体积等于.13. 由题意知,从5个球中随机取出2个球共有=10种不同取法,而取出的球颜色不同共有·=6种不同取法,故所取出的2个球颜色不同的概率P===.14. 在△ABC中,由余弦定理得:cosC===,∴∠C=30°.在△ADC中由正弦定理,得:=,∴=.故AD=.15.①③由题意知λa+(1-λ)b=λ(x1,y1)+(1-λ)(x2,y2)=(λx1+(1-λ)x2,λy1+(1-λ)y2),对于①:f1(λa+(1-λ)b)=λx1+(1-λ)x2-λy1-(1-λ)y2,而λf1(a)+(1-λ)f1(b)=λ(x1-y1)+(1-λ)(x2-y2)=λx1+(1-λ)x2-λy1-(1-λ)y2,∴f1(λa+(1-λ)b)=λf1(a)+(1-λ)f1(b),故①中映射具有性质P;对于②:f2(λa+(1-λ)b)=[λx1+(1-λ)x2]2+λy1+(1-λ)y2,而λf2(a)+(1-λ)f2(b)=λ(+y1)+(1-λ)(+y2)=λ+(1-λ)+λy1+(1-λ)y2,∴f2(λa+(1-λ)b)≠λf2(a)+(1-λ)f2(b),故②中映射不具有性质P;对于③:f3(λa+(1-λ)b)=λx1+(1-λ)x2+λy1+(1-λ)y2+1,而λf3(a)+(1-λ)f3(b)=λ(x1+y1+1)+(1-λ)(x2+y2+1)=λx1+(1-λ)x2+λy1+(1-λ)y2+1.∴f3(λa+(1-λ)b)=λf3(a)+(1-λ)f3(b),故③中映射具有性质P,综上可知具有性质P的映射的序号为①③.16.解:(1)由q=3,S3=得=,解得a1=.所以a n=×3n-1=3n-2.(2)由(1)可知a n=3n-2,所以a3=3.因为函数f(x)的最大值为3,所以A=3.因为当x=时,f(x)取得最大值,所以sin(2×+φ)=1.又0<φ<π,故φ=.所以函数f(x)的解析式为f(x)=3sin(2x+).17.解法一:(1)依题意,点P的坐标为(0,m).因为MP⊥l,所以×1=-1.解得m=2,即点P的坐标为(0,2).从而圆的半径r=|MP|==2.故所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.(2)因为直线l的方程为y=x+m,所以直线l'的方程为y=-x-m.由得x2+4x+4m=0.Δ=42-4×4m=16(1-m).①当m=1,即Δ=0时,直线l'与抛物线C相切;②当m≠1,即Δ≠0时,直线l'与抛物线C不相切.综上,当m=1时,直线l'与抛物线C相切;当m≠1时,直线l'与抛物线C不相切.解法二:(1)设所求圆的半径为r,则圆的方程可设为(x-2)2+y2=r2.依题意,所求圆与直线l:x-y+m=0相切于点P(0,m),则解得所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.(2)同解法一.18.解:(1)因为x=5时,y=11,所以+10=11,a=2.(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y=+10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3)[+10(x-6)2]=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6.从而,f'(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6).于是,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x (3,4) 4 (4,6)f'(x) + 0 -f(x) 单调递增极大值42 单调递减由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.答:当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.19.解:(1)因为EX1=6,所以5×0.4+6a+7b+8×0.1=6,即6a+7b=3.2.又由X1的概率分布列得0.4+a+b+0.1=1,即a+b=0.5.由解得(2)由已知得,样本的频率分布表如下:X2 3 4 5 6 7 8f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数X2的概率分布列如下: X2 3 4 5 6 7 8 P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1所以EX2=3P(X2=3)+4P(X2=4)+5P(X2=5)+6P(X2=6)+7P(X2=7)+8P(X2=8)=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性.理由如下:因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件,所以其性价比为=1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8,价格为4元/件,所以其性价比为=1.2.据此,乙厂的产品更具可购买性.20.解法一:(1)因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xyz(如图).在平面ABCD内,作CE∥AB交AD于点E,则CE⊥AD.在Rt△CDE中,DE=CD·cos 45°=1,CE=CD·sin 45°=1.设AB=AP=t,则B(t,0,0),P(0,0,t).由AB+AD=4得AD=4-t,所以E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0),=(-1,1,0),=(0,4-t,-t).①设平面PCD的法向量为n=(x,y,z).由n⊥,n⊥,得取x=t,得平面PCD的一个法向量n=(t,t,4-t).又=(t,0,-t),故由直线PB与平面PCD所成的角为30°得cos 60°=||,即=.解得t=或t=4(舍去,因为AD=4-t>0),所以AB=.②假设在线段AD上存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.设G(0,m,0)(其中0≤m≤4-t),则=(1,3-t-m,0),=(0,4-t-m,0),=(0,-m,t).由||=||得12+(3-t-m)2=(4-t-m)2,即t=3-m;(ⅰ)由||=||得(4-t-m)2=m2+t2.(ⅱ)由(ⅰ)(ⅱ)消去t,化简得m2-3m+4=0.(ⅲ)由于方程(ⅲ)没有实数根,所以在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P,C,D的距离都相等.从而,在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.解法二:(1)同解法一.(2)①以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A xyz(如图).在平面ABCD内,作CE∥AB交AD于点E,则CE⊥AD.在Rt△CDE中,DE=CD·cos 45°=1,CE=CD·sin 45°=1.设AB=AP=t,则B(t,0,0),P(0,0,t).由AB+AD=4,得AD=4-t,所以E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0),=(-1,1,0),=(0,4-t,-t).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),由n⊥,n⊥,得取x=t,得平面PCD的一个法向量n=(t,t,4-t).又=(t,0,-t),故由直线PB与平面PCD所成的角为30°得cos 60°=||,即=,解得t=或t=4(舍去,因为AD=4-t>0).所以AB=.②假设在线段AD上存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.由GC=GD,得∠GCD=∠GDC=45°.从而∠CGD=90°,即CG⊥AD.所以GD=CD·cos 45°=1.设AB=λ,则AD=4-λ,AG=AD-GD=3-λ.在Rt△ABC中,GB===>1,这与GB=GD矛盾.所以在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点B,C,D的距离都相等.从而,在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.21.(1)选修4-2:矩阵与变换解:①设矩阵M的逆矩阵M-1=,则MM-1=.又M=,所以=.所以2x1=1,2y1=0,3x2=0,3y2=1,即x1=,y1=0,x2=0,y2=.故所求的逆矩阵M-1= .②设曲线C上任意一点P(x,y),它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P'(x',y'). 则=,即又点P'(x',y')在曲线C'上,所以+y'2=1.则+b2y2=1为曲线C的方程.又已知曲线C的方程为x2+y2=1,故又a>0,b>0,所以(2)选修4—4:坐标系与参数方程解:①把极坐标系的点P(4,)化为直角坐标,得P(0,4).因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x-y+4=0,所以点P在直线l上.②因为点Q在曲线C上,故可设点Q的坐标为(cos α,sin α),从而点Q到直线l的距离是d===cos(α+)+2,由此得,当cos(α+)=-1时,d取得最小值,且最小值为.(3)选修4-5:不等式选讲解:①由|2x-1|<1得-1<2x-1<1,解得0<x<1.所以M={x|0<x<1}.②由(1)和a,b∈M可知0<a<1,0<b<1.所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0.故ab+1>a+b.。

2011年福建省高考《数学(理)》模拟测试试卷(2) 总分：150分及格：90分考试时间：120分本大题共10小题,每小题5分,共50分.在选项中,只有一个符合题意.(1)(2)A.B.C.D.(3)在AABC中，n、b分别是角A、B所对的边，则“a=b”是“sinA=sinB”的（）(4)(5)(6)设a、β是两个不同的平面，l、m是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（）(7)(8)(9)(10)共5小题,每小题5分.共20分.把答案填在题中横线上.(1)如图2，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图是一个圆，那么该几何体的体积是(2)(3)农科院小李在做某项实验中，计划从花生、大白菜、土豆、玉米、小麦、苹果这6种种子中选出4种．分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种一种作物)，若小李已决定在第一块空地上种玉米或苹果，则不同的种植方案有__________ 种(用数字作答)．(4)(5)本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(1)(2)从某自动包装机包袋的食盐中，随机抽取20袋作为样本，按各袋的质量(单位：g)分成四组，[490,495)，[495，500)，[500，505)，[505，510]，相应的样本频率分布直方图如图4所示．(Ⅰ)估计样本的中位数是多少?落人[500，505)的频数是多少(Ⅱ)现从这台自动包装机包装的大批量食盐中．随机抽取3袋，记ξ表示食盐质量属于[500，505)的袋数，依样本估计总体的统计思想，求ξ的分布列及其期望．(3)(4)(5)(6)(7)(8)答案和解析本大题共10小题,每小题5分,共50分.在选项中,只有一个符合题意.(1) :B【命题立意】本题主要考查集合的运算．(2) :C【命题立意】本题主要考查一次函数图象与对数函数图象．(3) :A【命题立意】本题主要考查充分必要条件及三角函数三角形知识．(4) :B【命题立意】本题主要考查等差数列性质及前n项和公式．(5) :D【命题立意】本题主要考查概率知识．(6) :D【命题立意】本题主要考查空间线线、线面、面面关系．A中1与m也可能异面，故A不正确；B中l也可能在a内，故B不正确；C中l与m可能相交也可能异面，故C不正确．D 正确．【失分警示】空间想象力差．(7) :C【命题立意】本题主要考查向量知识．(8) :B【命题立意】本题主要考查定积分及二项式定理．(9) :A【命题立意】本题主要考查函数与方程．(10) :C【命题立意】本题主要考查直线与圆，直线与椭圆的公共点．共5小题,每小题5分.共20分.把答案填在题中横线上.(1) :【命题立意】本题主要考查三视图及直观图体积的求解．由三视图可知该几何体为圆锥母线长为2，底面半径为1．【失分警示】不能正确识别三视图由此得到几何体直观图的形状．(2) :4【命题立意】本题主要考查复数及二项式定理．(3) :120【命题立意】本题主要考查排列组合知识．(4) :【命题立意】本题主要考查程序框图．(5) : 1【命题立意】本题主要考查函数的单调性．本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (1) :【命题立意】本题主要考查数列及直线．(2) :本题主要考查频率分布直方图，中位数，分布列及期望．(3) :【命题立意】本题主要考查空间线面，面面关系．【思路分析】法一：建立空间坐标系求解．法二：(I)先证明线线平行，再证明线面平行；(Ⅱ)找出二面角的平面角，再求其余弦值．【解题过程】解法一：依条件可知AB、AC，AAl两两垂直，如图，以点A为原点建立空间直角坐标系A-xyz．根据条件容易求出如下各点坐标：(4) : 【命题立意】本题主要考查直线、抛物线、圆.【思路分析】(I)求出P，抛物线方程极易求出；(Ⅱ)先证点丁在以FM为直径的圆上，同理可证S在FM为直径的圆上；(Ⅱ)联立直线AB与抛物线方程，联而不解。

绝密☆启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷第3至6页。

第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题。

满分150分。

注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号，姓名是否一致。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：样本数据x1,x2,…，xa 的标准差锥体体积公式13V Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式 球的表面积，体积公式 V=Sh2344,3S R V R ππ== 其中S 为底面面积，h 为高 其中R为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. i 是虚数单位，若集合S=}{1.0.1-，则A.i S ∈B.2i S ∈C. 3i S ∈D.2S i∈2.若a ∈R ，则a=2是（a-1）（a-2）=0的A.充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C.充要条件 C.既不充分又不必要条件3.若tan α=3，则2sin 2cos a α的值等于 A.2 B.3 C.4 D.64.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A.14 B.13C.12D.235.10⎰（e2+2x ）dx 等于A.1B.e-1C.eD.e+16.(1+2x)3的展开式中，x2的系数等于A.80B.40C.20D.107.设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于 A.1322或B.23或 2C.12或2D.2332或 8.已知O 是坐标原点，点A （-1,1）若点M （x,y ）为平面区域，上的一个动点，则OA ·的取值范围是A.[-1.0]B.[0.1]C.[0.2]D.[-1.2]9.对于函数f （x ）=asinx+bx+c(其中，a,b ∈R,c ∈Z),选取a,b,c的一组值计算f （1）和f （-1），所得出的正确结果一定不可能是A.4和 6B.3和 1C.2和 4D.1和210.已知函数f(x)=e+x ，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形②△ABC 可能是直角三角形③△ABC 可能是等腰三角形④△ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A.①③B.①④C. ②③D.②④2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学(理工农医类)注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写答案，在试题卷上作答，答案无效。

2011年高考模拟试卷高三数学（理科）试卷（考试时间：120分钟 总分150分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设i 为虚数单位，复数(1)z i i =+，则复数z 在复平面上对应的点在 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.已知全集U=}44{≤<-x x ，若集合A=}41{<<-x x ，则C U A=（ ）A ．}44{<<-x xB ．}14{-≤<-x xC ．}414{=-≤<-x x x 或D ．}41{>-≤x x x 或3.2(sin cos )1y x x =+-是（ ） A. 最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为2π的偶函数C. 最小正周期为π的奇函数D. 最小正周期为π的偶函数4. 若m 、n 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则m α⊥的一个充分不必要条件是（ ）A ．m ∥β且α⊥βB ．m ⊂β且α⊥βC ．m n ⊥且n ∥αD ．m ⊥β且α∥β5.读右面的程序：上面的程序在执行时如果输入6，那么输出的结果为（ ） A ．6 B ．720C ．120 D.16.如图所示是直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的三视图，D 、E 分别是棱CC 1和棱B 1C 1的中点，则三棱锥E-ABD 在平面11ACC A 的投影的面积为（ ） A ．2 B ．25C ．3D ．47.函数223,0)=1+ln ,>0x x x f x x x x ⎧--≤⎨-⎩（的零点个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．38.若46ln 2=a ，3ln 2ln ⋅=b ，4ln 2π=c ，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a>b>cB ．c>a>bC ．c>b>aD ．a>c>b9.已知斜率为2的直线l 过抛物线2y ax =的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若 △OAF （O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）A ．24y x = B ．28y x = C ．24y x =或24y x =- D ．28y x =或28y x =-10. 关于x 的方程()011222=+---k x x ，给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中假命题的个数是 （ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 二、填空题： 本大题共5小题，每小题4分，共20分． 11.计算定积分131(3)x x dx -+=⎰.12.若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则123452345a a a a a ++++等于________.13. 已知(43,2)a m m n =--，(,1)b x =-，且()f x a b =⋅，x ∈[0，1]，若f(x)≤2恒成立，则t m n =+的最大值为 .14. 一舰艇在航空母舰的正东方向上，接到紧急任务后，立即出发向 正北方向行驶，行驶到某处后，救起一人，此时位置在航空母舰东偏北15°方向上，而且距离要到达的目的地还有30公里，因此继续行驶.当到达目的地后，测得在航空母舰东偏北45°方向上，若航空母舰一直未变动位置，则舰艇接到任务时与目的地的距离为 公里 .15.设集合D={1，2，3，4，5，6，7，8}，A 是D 的非空子集。

绝密☆启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷第3至6 页。

第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题。

满分150分。

注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号，姓名是否一致。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用0．5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式： 样本数据x 1,x 2,…，x a 的标准差 锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x n S n -++-+-=13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V=Sh 2344,3S R V R ππ==其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．i 是虚数单位，若集合S=}{1.0.1-，则A ．i S ∈B ．2i S ∈ C ． 3i S ∈ D ．2S i∈2．若a ∈R ，则a=2是（a-1）（a-2）=0的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 C ．既不充分又不必要条件3．若tan α=3，则2sin 2cos aα的值等于 A ．2B ．3C ．4D ．64．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于 A ．14 B ．13C ．12D ．235．10⎰（e 2+2x ）dx 等于A ．1B ．e-1C ．eD ．e+1 6．（1+2x ）3的展开式中，x 2的系数等于 A ．80B ．40C ．20D ．107．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于A ．1322或B ．23或2C ．12或2 D ．2332或 8．已知O 是坐标原点，点A （-1,1）若点M （x,y ）为平面区域21y 2x y x +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，上的一个动点，则OA ·OM 的取值范围是 A ．[-1．0] B ．[0．1] C ．[0．2] D ．[-1．2]9．对于函数f （x ）=asinx+bx+c （其中，a,b ∈R,c ∈Z ）,选取a,b,c 的一组值计算f （1）和f （-1），所得出的正确结果一定不可能．．．．．是 A ．4和6 B ．3和1 C ．2和4 D ．1和210．已知函数f （x ）=e+x ，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断： ①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是 A ．①③ B ．①④ C ． ②③ D ．②④2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数 学（理工农医类）注意事项： 用0．5毫米黑色签字笔在答题卡上书写答案，在试题卷上作答，答案无效。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷第3至6页。

第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题。

满分150分。

注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号，姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的标准差 锥体体积公式222121()()()]n s x x x x x x n=-+-- [++ 13V S h =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V S h = 2344,3S R V R ππ==其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. i 是虚数单位，若集合S ={－1,0,1}，则A.i ∈SB. 2i ∈SC. 3i ∈S D.2i∈S2.若a ∈R ，则a =2是(1)(2)0a a --=的A.充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C.充要条件 C.既不充分又不必要条件 3.若tan α=3，则2s in 2c o s αα的值等于A.2B.3C.4D.64.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A.14B.13C.12D.235.1(2)xe x d x +⎰等于A.1B.1e -C.eD.1e +6.5(12)x +的展开式中，2x 的系数等于A.80B.40C.20D.107.设圆锥曲线E 的两个焦点分别为1F ，2F ，若曲线E 上存在点P 满足1||P F :12||F F :2||P F =4:3:2，则曲线E 的离心率等于A. 12或32B.23或2 C. 12或2 D. 23或328.已知O 是坐标原点，点A (-1,1），若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则O A O M ∙的取值范围是A.[-1.0]B.[0.1]C.[0.2]D.[-1.2]9.对于函数()f x =sin a x b x c ++(其中a ,b ∈R ,c ∈Z ),选取a ,b ,c 的一组值计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能．．．．．是 A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2 10.已知函数()f x =x e x +,对于曲线y =()f x 上横坐标成等差数列的三个点A ,B ,C ，给出以下判断：①A B C ∆一定是钝角三角形 ②A B C ∆可能是直角三角形 ③A B C ∆可能是等腰三角形 ④A B C ∆不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是A.①③B.①④C. ②③D.②④ 注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写答案，在试题卷上作答，答案无效。

2011年福建省某校高考考前热身数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1. 设集合M ={x|0≤x <3}，N ={x|x 2−3x −4<0}，则集合M ∩N 等于( ) A {x|0≤x <1} B {x|0≤x ≤1} C {x|0≤x <3} D {x|0≤x ≤3}2. 已知x ∈R ，i 为虚数单位，若(1+i)i =−1+xi ，则x 的值等于 （ ） A 0 B −1 C 1 D 23. 数列{a n }中，a 1=1，对于所有的n ≥2，n ∈N 都有a 1⋅a 2⋅a 3•…•a n =n 2，则a 3+a 5等于（ ）A 6116 B 259 C 2516 D 31154. 已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，下列命题中正确命题是（ ） A 若α⊥β，l ⊥β，则l // α B 若l 上有两个点到α的距离相等，则l // α C 若l ⊥α，l // β，则α⊥β D 若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β5. 已知F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆 上，且满足OA →+OB →=0→（O 为坐标原点），AF 2→⋅F 1F 2→=0，若椭圆的离心率等于√22，则直线AB 的方程是 （ ） A y =√22x B y =−√22x C y =−√32x D y =√32x 6. 函数f(x)＝Asin(ωx +φ)（其中A >0,|φ|<π2）的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin2x 的图象，则只需将f(x)的图象（ ）A 向右平移π6个长度单位 B 向右平移π12个长度单位 C 向左平移π6个长度单位 D 向左平移π12个长度单位7. 天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n+4910元(n ∈N ∗)，使用它直至报废最合算（所谓报废最合算是指使用的这台仪器的日平均耗资最少）为止，一共使用了（ ）A 600天B 800天C 1000天D 1200天8. 已知√2<a <2，则函数f(x)=√a 2−x 2+|x|−2的零点个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 49. 实数a ∈[−1, 1]，b ∈[0, 2]．设函数f(x)=−13x 3+12ax 2+bx 的两个极值点为x 1，x 2，现向点(a, b)所在平面区域投掷一个飞镖，则飞镖恰好落入使x 1≤−1且x 2≥1的区域的概率为 （ ）A 12B 13C 14D 1510. 如图，从双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 引圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO|−|MT|与b −a 的大小关系为（ ）A |MO|−|MT|>b −aB |MO|−|MT|<b −aC |MO|−|MT|=b −aD 以上三种可能都有二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 已知函数f(x)={2x (x >0)f(x +3)(x ≤0)，则f(−8)=________．12. 某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为x 分钟．有1000名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在0∼60分钟内的学生的频率是________． 13. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=a 3⋅∫(202x +12)dx ，则S9S 5=________．14. 已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF // BC ，实数x ，y 满足PA →+xPB →+yPC →=0．设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△PAB 的面积分别为S ，S 1，S 2，S 3，记S1S =λ1，S 2S =λ2，S3S=λ3．则λ2⋅λ3取最大值时，2x +y 的值为________．15. “点动成线，线动成面，面动成体”．如图，x 轴上有一条单位长度的线段AB ，沿着与其垂直的y 轴方向平移一个单位长度，线段扫过的区域形成一个二维方体（正方形ABCD ），再把正方形沿着与其所在的平面垂直的z 轴方向平移一个单位长度，则正方形扫过的区域形成一个三维方体（正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1）．请你设想存在四维空间，将正方体向第四个维度平移得到四维方体，若一个四维方体有m 个顶点，n 条棱，P 个面，则n ，m ，p 的值分别为________．三、解答题（共6小题，满分80分）16. 在锐角△ABC中，A、B、C三内角所对的边分别为a、b、c．设m→=(cosA,sinA)，n→=(cosA,−sinA)，a=√7，且m→⋅n→=−12（1）若b=3，求△ABC的面积；（2）求b+c的最大值．17. 已知圆M：(x+√3)2+y2=225的圆心为M，圆N：(x−√3)2+y2=的圆心为N，一动16圆与圆M内切，与圆N外切．（1）求动圆圆心P的轨迹方程；（2）在（1）所求轨迹上是否存在一点Q，使得∠MQN为钝角？若存在，求出点Q横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．18. 某慈善机构举办一次募捐演出，有一万人参加，每人一张门票，每张100元．在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这一万张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数x，y(x, y∈{1, 2, 3})，随即按如右所示程序框图运行相应程序．若电脑显示“中奖”，则抽奖者获得9000元奖金；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．（1）已知小曹在第一轮抽奖中被抽中，求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率；（2）若小叶参加了此次活动，求小叶参加此次活动收益的期望；（3）若此次募捐除奖品和奖金外，不计其它支出，该机构想获得96万元的慈善款．问该慈善机构此次募捐是否能达到预期目标．19. 某设计部门承接一产品包装盒的设计（如图所示），客户除了要求AB、BE 边的长分别为20cm 和30cm 外，还特别要求包装盒必需满足：①平面ADE ⊥平面ADC ；②平面ADE 与平面ABC 所成的二面角不小于60∘；③包装盒的体积尽可能大．若设计部门设计出的样品满足：∠ACB 与∠ACD 均为直角且AB 长20cm ，矩形DCBE 的一边长为30cm ，请你判断该包装盒的设计是否能符合客户的要求？说明理由． 20. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a nan +1，(n ≥1)，数列{b n }满足b n =lna n ，数列{c n }满足c n =a n +b n ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）S n =a 1+a 2+...+a n ，T n =b 1+b 2+...+b n ，试比较S n −n 与T n 的大小，并证明； （3）我们知道数列{a n }如果是等差数列，则公差d =a n −a m n−m(n ≠m)是一个常数，显然在本题的数列{c n }中c n −c m n−m(n ≠m)不是一个常数，但c n −c m n−m(n ≠m)是否会小于等于一个常数k呢，若会，请求出k 的范围，若不会，请说明理由．21. 本题有(1)、(2)、(3)三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． (1)选修4−2：矩阵与变换已知矩阵M =[7−64−3]，向量ξ→=[65]．(I)求矩阵M 的特征值λ1、λ2和特征向量ξ→1和ξ2→； (II)求M 6ξ→的值．(2)选修4−4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =sinα(α为参数)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=2√2．(I)求直线l 的直角坐标方程；(II)点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值． (3)选修4−5：不等式选讲(I)已知：a 、b 、c ∈R +，求证：a 2+b 2+c 2≥13(a +b +c)2；(II)某长方体从一个顶点出发的三条棱长之和等于3，求其对角线长的最小值．2011年福建省某校高考考前热身数学试卷（理科）答案1. C2. C3. A4. C5. A6. A7. B8. D9. C 10. C 11. 2 12. 0.32 13. 9 14. 3215. 16，32，2416. 解：（1）由m →⋅n →=−12得cos 2A −sin 2A =−12 即cos2A =−12，∵ 0<A <π20<2A <π∴ 2A =2π3，A =π3由a 2=b 2+c 2−2bccosA得c 2−3c +2=0∴ c =1或2∵ c =1时，cosB <0，∴ c =1舍去， ∴ c =2∴ S =12b ⋅c ⋅sinA =12×3×2×sin π3=3√32． （2）a 2=b 2+c 2−2bccosA∴ b 2+c 2−bc =7(b +c)2=3bc +7≤3(b +c 2)2+7∴ (b +c)2≤28b +c ≤2√7 当且仅当时b =c 取等号∴ (b +c)max =2√7． 17. 解：（1）设动圆P 的半径为r ，则|PM|=154−r ，|PN|=r +14两式相加得|PM|+|PN|=4>|MN|由椭圆定义知，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，焦距为2√3，实轴长为4的椭圆 其方程为x 24+y 2=1…（2）假设存在，设Q(x, y)．则因为∠MQN 为钝角，所以QM →⋅QN →<0QM →=(−√3−x,−y)，QN →=(√3−x,−y)，QM →⋅QN →=x 2+y 2−3<0 又因为Q 点在椭圆上，所以x 24+y 21=1联立两式得：x 2+1−x 24−3<0化简得：x 2<83，解得：x ∈(−2√63，2√63)，所以存在．… 18. 解：（1）从1，2，3三个数字中有重复取2个数字，其基本事件有(1, 1)，(1, 2)，(1, 3)，(2, 1)，(2, 2)，(2, 3)，(3, 1)，(3, 2)，(3, 3)共9个，…设“小曹在第二轮抽奖中获奖”为事件A ，且事件A 所包含的基本事件有(3, 1)，(3, 3)共2个， ∴ P(A)=29．…（2）设小叶参加此次活动的收益为ξ，ξ的可能取值为−100，900，9900．… P(ξ=−100)=9991000，P(ξ=900)=11000⋅79=79000，P(ξ=9900)=11000⋅29=29000．∴ ξ的分布列为∴ Eξ=−100×9991000+900×79000+9900×29000=−97． …（3）由（2）可知，购票者每人收益期望为−97． ∵ 有一万人购票，除奖金和奖品外，不计其它支出，∴ 该机构此次收益期望为97×10000=970000元=97万元， ∵ 97>96，∴ 该慈善机构此次募捐能达到预期目标．… 19. 解：该包装盒的样品设计符合客户的要求． 以下证明满足条件①的要求．∵ 四边形DCBE 为矩形，∠ACB 与∠ACD 均为直角， ∴ CB ⊥AC 且CB ⊥DC∴ CB ⊥面ADC ， 在矩形DCBE 中，DE // CB∴ DE ⊥面ADC∴ 面ADE ⊥面ADC… 以下证明满足条件②、③的要求． ∵ 矩形DCBE 的一边长为30cm ，而直角三角形ABC 的斜边AB 长为20cm ，∴ BE =30设BC =t ，则AC =√400−t 2，以C 为原点，CA 、CB 、CD 分别为x 、y 、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系C −xyz ， 则A(√400−t 2，0，0)，B(0, t, 0)，D(0, 0, 30)，E(0, t, 30)， 设面ADE 的一个法向量为n 1=(x, y, z)，DA →=(√400−t 2,0,−30)，DE→=(0,t,0)∵ n 1⋅DA →=0且n 1⋅DE →=0∴ {√400−t 2x −30z =0ty =0，取x =1，则n 1=(1,0,√400−t 230)…而面ABC 的一个法向量为n 2=(0, 0, 1)，设面ADE 与面ABC 所成的二面角为θ，则cosθ≤12，∴ cosθ=|cos <n 1，n 2>|=√400−t 230√1+2900⋅1≤12，∴ t ≥10，即当t ≥10时，面ADE 与面ABC 所成的二面角不小于60∘．…又，由∠ACB 与∠ACD 均为直角知，AC ⊥面DCBE ，该包装盒可视为四棱锥A −BCDE ，∴ V A−BCDE =13S BCDE ⋅AC =13⋅30t ⋅√400−t 2=10√t 2(400−t 2)≤10√(t 2+400−t 22)2=2000当且仅当t 2=400−t 2，即t =10√2cm 时，V A−BCDE 的体积最大，最大值为2000cm 3．… 而t =10√2>10，可以满足面ADE 与面ABC 所成的二面角不小于60∘的要求， 综上，该包装盒的设计符合客户的要求． … 20. 解：（1）根据题意，可得1a n+1=1a n+1，所以{1a n}是等差数列，则其首项1a 1=1，公差d =1，所以1a n=1+(n −1)×1=n ，从而a n =1n ；（2）由（1）得b n =ln 1n ，构造函数f(x)=lnx −x +1，则f′(x)=1x −1=1−x x；当0<x <1时，f′(x)>0，f(x)为增函数， 当x >1时，f′(x)<0，f(x)为减函数， 即当x ≥1时，函数f(x)单调递减，所以f(x)≤f(1)=0，即任意x >0，有lnx ≤x −1成立，当且仅当x =1时取等号； 又由n >0，则1n >0，令x =1n ，可得ln 1n ≤1n −1，即b n ≤a n −1，当且仅当n =1时取等号，所以S n −n =(a 1−1)+(a 2−1)+...+(a n −1)≥b 1+b 2+...+b n =T n ，当且仅当n =1时取等号；即S n −n ≥T n ，n =1时等号成立；（3）由（1）知c n =1n +ln 1n ，不妨设c n −cmn−m ≤k 恒成立，且n >m ≥1，则c n −c m ≤k(n −m)，等价于c n −kn ≤c m −km ， 记f(n)=c n −kn ，则f(n)在N ∗上单调递减，所以f(n +1)−f(n)=c n+1−c n −k ≤0恒成立； 所以k ≥(c n+1−c n )max =−[1n(n+1)+lnn(n +1)]max记t =n(n +1)≥2，g(t)=lnt +1t ，所以g′(t)=1t −1t 2=t−1t 2>0，所以g(t)在[2, +∞)上单调递增，所以g(t)min =g(2)=ln2+12所以k ≥−(ln2+12)为所求范围．21. (1)解：(I)M =[7−64−3]的特征多项式为f(λ)=|λ−76−4λ+3|=λ2−4λ+3令f(λ)=0，得λ1=2，λ2=31，λ1=2，λ2=3…当λ1=2，λ2=31时，得ξ1→=[11]；当λ2=3时，得ξ2→=[32]…(II)由ξ→=mξ1→+nξ2→得{m +3n =6m +2n =5，得m =3，n =1…∴ M 6ξ→=M 6(3ξ1→+ξ2→)=3(λ16ξ1→)+λ26ξ2→=[21901460]… (2)解：(I)ρcos(θ−π4)=2√2化简为ρcosθ+ρsinθ=4， ∴ 直线l 的直角坐标方程为x +y =4； … (II)设点P 的坐标为(2cosα, sinα)， 得P 到直线l 的距离d =√2，…即d =√5sin(α+φ)−4|√2，其中cosφ=√5sinφ=√5．当sin(α+φ)=−1时，d max =2√2+√102． … (3)解：(I)a ，b ，c ∈R +，根据柯西不等式有：(a 2+b 2+c 2)(12+12+12)≥(a ⋅1+b ⋅1+c ⋅1)2，即a 2+b 2+c 2≥13(a +b +c)2，当且a =b =c 时等式成立．… (II)不妨设长方体同一个顶点出发的三条棱长分别等于a 、b 、c ，故有a +b +c =3，其对角线长l =√a 2+b 2+c 2≥√13(a +b +c)2=√3，当且仅当a =b =c =1时对角线长取得最小值√3．…。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷第3至6页。

第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题。

满分150分。

注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号，姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的标准差 锥体体积公式222121()()()]n s x x x x x x n =-+-- [++ 13V Sh = 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh = 2344,3S R V R ππ==其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. i 是虚数单位，若集合S ={－1,0,1}，则A.i ∈SB. 2i ∈SC. 3i ∈SD.2i∈S 2.若a ∈R ，则a =2是(1)(2)0a a --=的A.充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C.充要条件 C.既不充分又不必要条件 3.若tan α=3，则2sin 2cos αα的值等于A.2B.3C.4D.64.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A.14 B.13 C. 12 D.235.1(2)x e x dx +⎰等于A.1B.1e -C.eD.1e +6.5(12)x +的展开式中，2x 的系数等于A.80B.40C.20D.107.设圆锥曲线E 的两个焦点分别为1F ，2F ，若曲线E 上存在点P 满足1||PF :12||F F :2||PF =4:3:2，则曲线E 的离心率等于A.12或32 B.23或2 C. 12或2 D. 23或328.已知O 是坐标原点，点A (-1,1），若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ∙的取值范围是A.[-1.0]B.[0.1]C.[0.2]D.[-1.2]9.对于函数()f x =sin a x bx c ++(其中a ,b ∈R ,c ∈Z ),选取a ,b ,c 的一组值计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能．．．．．是 A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2 10.已知函数()f x =x e x +,对于曲线y =()f x 上横坐标成等差数列的三个点A ,B ,C ，给出以下判断：①ABC ∆一定是钝角三角形 ②ABC ∆可能是直角三角形 ③ABC ∆可能是等腰三角形 ④ABC ∆不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是A.①③B.①④C. ②③D.②④ 注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写答案，在试题卷上作答，答案无效。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷第3至6页。

第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题。

满分150分。

注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号，姓名是否一致。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用0．5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式： 样本数据x 1,x 2,…，x a 的标准差 锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x n S n -++-+-=13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式 球的表面积，体积公式V=Sh 2344,3S R V R ππ==其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．i 是虚数单位，若集合S=}{1.0.1-，则A ．i S ∈B ．2i S ∈C ． 3i S ∈ D ．2S i∈ 2．若a ∈R ，则a=2是（a-1）（a-2）=0的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件C ．既不充分又不必要条件3．若tan α=3，则2sin 2cos aα的值等于A ．2B ．3C ．4D ．64．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于 A ．14 B ．13C ．12D ．235．1⎰（e 2+2x ）dx 等于A ．1B ．e-1C ．eD ．e+1 6．（1+2x ）3的展开式中，x 2的系数等于 A ．80 B ．40C ．20D ．107．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于A ．1322或B ．23或2C ．12或2 D ．2332或 8．已知O 是坐标原点，点A （-1,1）若点M （x,y ）为平面区域21y 2x y x +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，上的一个动点，则OA ·OM的取值范围是A ．[-1．0]B ．[0．1]C ．[0．2]D ．[-1．2]9．对于函数f （x ）=asinx+bx+c （其中，a,b ∈R,c ∈Z ）,选取a,b,c 的一组值计算f （1）和f（-1），所得出的正确结果一定不可能．．．．．是 A ．4和6 B ．3和1 C ．2和4 D ．1和210．已知函数f （x ）=e+x ，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断： ①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是 A ．①③ B ．①④ C ． ②③ D ．②④第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项： 用0．5毫米黑色签字笔在答题卡上书写答案，在试题卷上作答，答案无效。

2011福建理第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，若集合{}1,0,1S =-，则，则（ ） A ．i S Î B ．2i S Î C ． 3i S ÎD ．2iS Î 【测量目标】复数的基本概念、集合的含义．【测量目标】复数的基本概念、集合的含义．【考查方式】给出虚数单位和集合，判断它们之间的关系．【考查方式】给出虚数单位和集合，判断它们之间的关系． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】22i 1S =-Î．故选B ．2．若a ÎR ，则2a =是()()120a a --=的 （ ） A ．充分而不必要条件．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件．必要而不充分条件C ．充要条件．充要条件 C ．既不充分又不必要条件．既不充分又不必要条件 【测量目标】充分、必要条件．【测量目标】充分、必要条件．【考查方式】给出两个命题，判断两个命题的关系．【考查方式】给出两个命题，判断两个命题的关系． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】当2a =时，()()120a a --=，所以2a =是()()120a a --=的充分条件，但是()()120a a --=时，1a =或2a =，所以2a =不是()()120a a --=的必要条件．故选A ．3．若tan 3α=，则2sin 2cos aa的值等于的值等于 （ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．6 【测量目标】同角三角函数的基本关系、二倍角公式．【测量目标】同角三角函数的基本关系、二倍角公式．【考查方式】给出式子和正切函数值，利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式求解． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】22sin 22sin cos 2tan 6cos cos ===aa aa a a．故选D ．4．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABE △内部的概率等于内部的概率等于 （ ） A ．14 B ．13 C ．12D ．23第4题图题图【测量目标】几何概型．【测量目标】几何概型．【考查方式】给出图形，利用几何概型求事件的概率．【考查方式】给出图形，利用几何概型求事件的概率． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】因为12ABE ABCD S S =△，则点Q 取自ABE △内部的概率12ABE ABCD S P S ==△．故选C ． 5．()1e2xx dx +ò等于等于（ ） A ．1 B ．e 1- C ．eD ．e 1+ 【测量目标】定积分．【测量目标】定积分．【考查方式】给出定积分，求解．【考查方式】给出定积分，求解． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】()()11200e 2e e 1e 0e x x x dx x +=+=+--=ò．故选C ． 6．()512x +的展开式中，2x 的系数等于的系数等于 （ ） A ．80 B ．40 C ．20 D ．10 【测量目标】二项式定理．【测量目标】二项式定理．【考查方式】给出二项式根据二项展开式的公式特点计算二项式系数．【考查方式】给出二项式根据二项展开式的公式特点计算二项式系数． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】15C 2rrr r Tx +=，令2r =，则2x 的系数等于225C 240=．故选B ． 7．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为12,F F ，若曲线Γ上存在点P 满足1122::4:3:2P F F F P F =，则曲线Γ的离心率等于的离心率等于 （ ） A ．12或32B ．23或2C ．12或2D ．23或32【测量目标】圆锥曲线的定义．【测量目标】圆锥曲线的定义． 【考查方式】通过给出圆锥曲线上的点与两个交点之间的线段长度比例关系，求圆锥曲线的离心率．离心率．【难易程度】中等【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】因为1122::4:3:2PF F F PF =，所以设14PF λ=，123F F λ=，22PF λ=．若Γ为椭圆，则12122426,23,PF PF a λλλF F c λì+==+=ïí==ïî所以12c e a ==．若Γ为双曲线，则12122422,23,PF PF a λλλF F c λì-==-=ïí==ïî所以32c e a ==．故选A ． 8．已知O 是坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y 为平面区域212x y x y +ìïíïî………上的一个动点，则OA OM的取值范围是的取值范围是（ ） A ．[]1,0- B ．[]0,1 C ．[]0,2 D ．[]1,2- 【测量目标】判断不等式组表示的平面区域、向量的数量积．【测量目标】判断不等式组表示的平面区域、向量的数量积．【考查方式】给出点的坐标和不等式组，判断两向量数量积的取值范围．【考查方式】给出点的坐标和不等式组，判断两向量数量积的取值范围． 【难易程度】中等【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】设()()1,1,z OA OM x y x y ==-=-+ ．作出可行域，如图，直线z x y =-+，即y x z =+经过()1,1B 时，z 最小，min 110z =-+=，y x z =+经过()0,2C 时，z 最大，max 022z =+=，所以OA OM 的取值范围是[]0,2．故选C ．第8题图题图9．对于函数()sin f x a x bx c =++(其中，,a b ÎR ，c ÎZ )，选取,,a b c 的一组值计算()1f 和()1f -，所得出的正确结果一定不可能．．．．．是 （ ） A ．4和6 B ．3和1 C ．2和4D ．1和2 【测量目标】函数的求值．【测量目标】函数的求值．【考查方式】给出函数式，判断两函数之和的结果．【考查方式】给出函数式，判断两函数之和的结果． 【难易程度】中等【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】()()()11sin1sin 12f f a b c a b c c +-=+++--+=，因为c ÎZ ，则()()11f f +-为偶数，四个选项中，只有D ，123+=不是偶数．不是偶数．10．已知函数()e xf x x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点,,A B C ，给出以下判断：给出以下判断：①ABC △一定是钝角三角形②ABC △可能是直角三角形可能是直角三角形 ③ABC △可能是等腰三角形可能是等腰三角形 ④ABC △不可能是等腰三角形不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是其中，正确的判断是（ ） A ．①．①,,③ B ．①．①,,④ C ．②．②,,③ D ．②．②,,④【测量目标】基本不等式、指数函数的性质、函数的单调性、等差数列的性质、函数图象的应用．应用．【考查方式】给出指数函数，判断其图象横坐标上的三个点所成的形状．【考查方式】给出指数函数，判断其图象横坐标上的三个点所成的形状． 【难易程度】较难【难易程度】较难 【参考答案】B【试题解析】设a b <．首先证明()()22f a f ba b f ++æö>ç÷èø．()()22f a f b a b f ++æö-ç÷èø2eee22a baba ba b +++++=--2e e e2a b ab++=-222e e e e e 0a ba ba bab+++-=-= …，（步骤1）当且仅当a b =时等号成立，由于a b <，所以等号不成立，于是，所以等号不成立，于是 ()()022f a f b a b f ++æö->ç÷èø， ()()22f a f b a b f ++æö>ç÷èø． ① （步骤2） 设点(),A A A x y ，(),B B B x y ，(),C C C C x x y y，且,,A B C x x x 成等差数列，A B C x x x <<．由()f x 是R 上的增函数，则A B C y y y <<， ② （步骤3） 如图，D 为AC 的中点，过,,A B C 作x 轴的垂线，垂足依次为,,M N P ． 因为2A CB x x x +=，所以D 在直线BN 上，作AE BN ^交BN 于E ，作B F C P ^交CP 于F ．因为()()22A C A CD f x f x y y y ++==，2A CB x x y f +æö=ç÷èø， 由①式，D B y y >，（步骤4）D A DE y y =-，D B DB y y =-，由②，DE DB >，所以点B 在DE 内部，（步骤5）因而90DBA DEA °Ð>Ð=，又CB A D B A Ð>Ð，所以ABC △一定是钝角三角形．结论①正确．（步骤6）若ABC △是等腰三角形，因为D 为AC 的中点，则BD AC ^，因而AC x 轴，这是不可能的，所以ABC △不是等腰三角形．结论④正确；不是等腰三角形．结论④正确； 所以结论①，④正确．故选B ．（步骤7）第10题图题图二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置． 11．运行如图所示的程序，输出的结果是_______．第11题图题图【测量目标】程序语句．【测量目标】程序语句．【考查方式】给出程序语句，计算求解．【考查方式】给出程序语句，计算求解． 【难易程度】容易【难易程度】容易【参考答案】3【试题解析】123a =+=．所以输出的结果是3．12．三棱锥P ABC -中，PA ABC ^底面，3PA =，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P ABC -的体积等于______． 【测量目标】三棱锥的体积．【测量目标】三棱锥的体积．【考查方式】给出三棱锥的底边边长和高，求其体积．【考查方式】给出三棱锥的底边边长和高，求其体积． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】3【试题解析】2113233334ABCV SPA ==´´´=△． 13．盒子装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______． 【测量目标】随机事件与概率．【测量目标】随机事件与概率．【考查方式】给出条件，利用随机概率求解．【考查方式】给出条件，利用随机概率求解． 【难易程度】中等【难易程度】中等 【参考答案】35【试题解析】所取出的2个球颜色不同的概率113225C C 233C 105P ´===． 14．如图，ABC △中，2AB AC ==，23BC =，点D 在BC 边上，45ADC °Ð=，则AD 的长度等于______．第14题图（1）【测量目标】余弦定理、正弦定理．【测量目标】余弦定理、正弦定理．【考查方式】给出三角形边长及角度，利用余弦定理和正弦定理求长度．【考查方式】给出三角形边长及角度，利用余弦定理和正弦定理求长度． 【难易程度】中等【难易程度】中等【参考答案】2【试题解析】解法一：由余弦定理【试题解析】解法一：由余弦定理22241243c o s 222223AC BC AB C AC BC +-+-===´´ ,（步骤1） 所以30C °=．（步骤2） 再由正弦定理再由正弦定理s i n s i n A D A C C A D C =Ð，即2sin 30sin 45AD °°=，所以2AD =．（步骤3） 解法二：作AE BC ^于E ，因为2AB AC ==，所以E 为BC 的中点，因为23BC =，则3EC =．（步骤1）于是221AE AC EC =-=，（步骤2）因为ADE △为有一角为45°的直角三角形．且1AE =，所以2AD =．（步骤3）第14题图（2） 15．设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V ®R 满足：对任意向量()11,x y V =Îa ，()22,x y V =Îb ，以及任意λÎR ，均有，均有()()()()()11f f f l l l l +-=+-a b a b则称映射f 具有性质P ．先给出如下映射：先给出如下映射：① ()()11:,,,f V f x y x y V®=-=ÎR m m ；② ()()222:,,,f V f x y x y V ®=+=ÎR m m ； ③ ()()33:,1,,f V f x y x y V ®=++=ÎR m m ．其中，具有性质P 的映射的序号为________．（写出所有具有性质P 的映射的序号）． 【测量目标】向量的坐标运算、映射．【测量目标】向量的坐标运算、映射．【考查方式】给出三个映射，利用向量的坐标运算求出与f 具有相同性质的映射．具有相同性质的映射． 【难易程度】较难【难易程度】较难 【参考答案】①，③【参考答案】①，③【试题解析】设()11,x y V =Îa ，()22,x y V =Îb ，则，则()()()()11221,1,x y x y l l l l +-=+-a b()()()12121,1x x y y l l l l =+-+-．（步骤1） 对于①，对于①， ()()()()()()1212111fx x y y l l l l l l +-=+--+-a b()()()11221x y x y =-+--l l ，（步骤2）()()()()()()112211f f x y x y l l l l +-=-+--a b ，所以()()()()()11f f f l l l l +-=+-a b a b 成立，①是具有性质P 的映射；（步骤3）对于②，()()()()()()21212111f x x y y l l l l l l +-=+-++-a b()()()()2121211x x y y =+-++-l l l l()()()22221122121121x y x y x x =++-+-+-l l l l l l ，（步骤4） ()()()()()()22112211f f x y x y l l l l +-=++--a b ， 显然，不是对任意λÎR ，()()()()()11ff f l l l l +-=+-a b a b 成立，成立，所以②不是具有性质P 的映射；（步骤5） 对于③，()()()()()()12121111fx x y y l l l l l l +-=+-++-+a b()()()112211x y x y =++-++l l ，（步骤6）()()()()()()11221111f f x y x y l l l l +-=+++-++a b()()()()112211x y x y =++-+++-l l l l ()()()112211x y x y =++-++l l ． 所以()()()()()11ff f l l l l +-=+-a b a b 成立，③是具有性质P 的映射．的映射．（步骤7）因此，具有性质P 的映射的序号为①，③．（步骤8）三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．已知等比数列{}n a 的公比3q =，前3项和3133S =． （Ⅰ）求数列{{}}n a 的通项公式；的通项公式；（Ⅱ）若函数()sin(2)(0,0π)f x A x A j j =+><<在π6x =处取得最大值，且最大值为3a ，求函数()f x 的解析式．的解析式．【测量目标】等比数列的通项、性质及前n 项和、函数sin()y A x w j =+的图象及性质．的图象及性质． 【考查方式】给出等比数列的公比和前几项的和，给出等比数列的公比和前几项的和，求其通项公式；求其通项公式；求其通项公式；已知函数的最大值为数列已知函数的最大值为数列的一项，求其解析式．的一项，求其解析式． 【难易程度】中等【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）由3q =，3133S =Þ()311313133a -=-，解得113a =．（步骤1）所以11211333n n n n a a q---==´=．（步骤2） （Ⅱ）由（Ⅰ），32333a -==，所以函数()f x 的最大值为3，于是3A =．（步骤3） 又因为函数()f x 在π6x =处取得最大值，处取得最大值， 则πsin 216jæö´+=ç÷èø，因为0πj <<，所以π6j =．（步骤4） 函数()f x 的解析式为π()3sin 26f x x æö=+ç÷èø．（步骤5） 17．已知直线:l y x m =+，m ÎR ．（Ⅰ）若以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；方程；（Ⅱ）若直线l 关于x 轴对称的直线为l ¢，问直线l ¢与抛物线2:4C x y =是否相切？说明理由．明理由．【测量目标】圆的方程、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系．【测量目标】圆的方程、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系．【考查方式】给出直线方程，根据圆与直线的位置关系求圆的方程；根据圆与直线的位置关系求圆的方程；给出抛物线方程和直线给出抛物线方程和直线的条件，判断两者之间的位置关系．的条件，判断两者之间的位置关系． 【难易程度】较难【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）解法一：由题意，点P 的坐标为(())0,m ．因为以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，所以MP l ^．01102MP l m k k -==-- ，所以2m =．（步骤1） 点P 的坐标为()0,2．设圆的方程为()2222x y r -+=， 则()()2202208r MP ==-+-=，（步骤2） 所以，所求的圆的方程为()2228x y -+=．（步骤3）第17题图（1）解法二：设圆的方程为()2222x y r -+=，因为以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点()0,P m ，所以224202m r mr ì+=ï-+í=ïî，解得222m r =ìïí=ïî．（步骤1） 所以，所求的圆的方程为()2228x y -+=．（步骤2）（Ⅱ）解法一：因为直线:l y x m =+，且，且直线l ¢与直线l 关于x 轴对称，则:l y x m ¢=--．（步骤4）由24,,x y y x m ì=í=--î得2440x x m ++=， 2Δ4440m =-´=，解得1m =．（步骤5）所以，当1m =时，Δ0=，直线l ¢与抛物线2:4C x y =相切，当1m ¹时，Δ0¹，直线l ¢与抛物线2:4C x y =不相切．（步骤6）解法二：因为直线:l y x m =+，且直线l ¢与直线l 关于x 轴对称，则:l y x m ¢=--．设直线l ¢与抛物线214y x =相切的切点为()00,x y ， 由214y x =得12y x ¢=，则0112x =-，02x =-， ()022y m m =---=-．（步骤3） 所以切点为()2,2m --，切点在抛物线214y x =上，则21m -=，1m =．（步骤4）所以，当1m =时，直线l ¢与抛物线2:4C x y =相切，当1m ¹时，直线l ¢与抛物线2:4C x y =不相切．（步骤5）第17题图（2）18．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．千克． （Ⅰ）求a 的值；的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．所获得的利润最大．【测量目标】一元二次函数模型，利用倒数求函数的最值．【测量目标】一元二次函数模型，利用倒数求函数的最值．【考查方式】给出函数关系式，根据条件求解，再利用导数求利润最大时的销售价格． 【难易程度】中等【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）因为5x =时，11y =，由函数式，由函数式210(6)3ay x x =+--得 11102a =+，所以2a =．（步骤1） （Ⅱ）因为2a =，所以该商品每日的销售量为2210(6)3y x x =+--，()36x <<．每日销售该商品所获得的利润为每日销售该商品所获得的利润为()()()222310(6)2103(6)3f xx x x x x éù=-+-=+--êú-ëû，()36x <<．（步骤2）()()()()()()21062363064f x x x x x x éù¢=-+--=--ëû．（步骤3） 于是，当x 变化时，()f x ¢，()f x 的变化情况如下表：的变化情况如下表：x()3,44()4,6()f x ¢+-()f x极大值由上表可以看出，4x =是函数在区间()3,6内的极大值点，也是最大值点．（步骤4） 所以，当4x =时，函数()f x 取得最大值42．因此当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．（步骤5） 19．某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2,,8…，其中5X …为标准A ，3X …为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准行标准（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：的概率分布列如下所示：1X 5 6 7 8P0.4 a b0.1且1X 的数字期望16EX =，求,a b 的值；的值；（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 53 8 34 3 4 4 75 67 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望．的数学期望． （Ⅲ）在（Ⅰ），（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．可购买性？说明理由．注：（1）产品的“性价比”=产品的零售价期望产品的等级系数的数学；（2）“性价比”大的产品更具可购买性．“性价比”大的产品更具可购买性． 【测量目标】离散型随机变量的期望和方差．【测量目标】离散型随机变量的期望和方差．【考查方式】给出分布列和期望，求分布列中的未知数；【考查方式】给出分布列和期望，求分布列中的未知数；根据样本数据求期望；给出产品性根据样本数据求期望；给出产品性价比的公式，判断购买性．价比的公式，判断购买性． 【难易程度】中等【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）因为16EX =，所以，所以50.46780.16a b ´+++´=，即67 3.2a b +=，（步骤1）又0.40.11a b +++=， 所以0.5a b +=，解方程组67 3.20.5a b a b +=ìí+=î解得0.3a =，0.2b =．（步骤2）（Ⅱ）由样本的数据，样本的频率分布表如下：（Ⅱ）由样本的数据，样本的频率分布表如下：2X3 45 6 7 8 f0.30.20.20.10.10.1（步骤3）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数2X 的概率分布列如下表：列如下表：2X 345 6 7 8P0.3 0.20.2 0.1 0.1 0.1（步骤4） 所以230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =´+´+´+´+´+´=．（步骤5） （Ⅲ）甲厂的产品的等级系数的数学期望为6，价格为6元/件，所以性价比为616=，（步骤6）甲厂的产品的等级系数的数学期望为4.8，价格为4元/件，所以性价比为4.81.214=>．所以，乙厂的产品更具可购买性．（步骤7）20．如图甲，四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ^底面，四边形ABCD 中，AB AD ^，4AB AD +=，2CD =，45CDA °Ð=．（Ⅰ）求证：PAB ^平面平面P AD ； （Ⅱ）设AB AP =．（i ）若直线PB 与平面PCD 所成的角为30°，求线段AB 的长；的长；（ii ）在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等？说明理由．明理由．第20题图题图【测量目标】面面垂直的判定、线面角、立体几何中的探索性问题．【测量目标】面面垂直的判定、线面角、立体几何中的探索性问题．【考查方式】给出四棱锥及其边角关系和条件，证明面面垂直；根据线面角求解线段长度，探索点的存在性．探索点的存在性． 【难易程度】较难【难易程度】较难 【试题解析】（Ⅰ）因为PA ABCD ^底面，AB ABCD Ì底面，所以PA AB ^．（步骤1）又AB AD ^，PA AD A =∩，所以AB ^平面P AD ，又AB Ì平面P AB ， PAB ^平面平面P AD ．（步骤2）（Ⅱ）以A 为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系A xyz -．在平面ABCD 内，作//CE AB 交AD 于E ． 则CE AD ^．（步骤3）在Rt CDE △中，2cos 45212DE CD °===．（步骤4） 设AB AP t ==，则(),0,0B t ，()0,0,P t ．由4AB AD +=，则4AD t =-，所以()0,3,0E t -，()0,4,0D t -，()1,3,0C t -．()1,1,0CD =- ，()0,4,PD t t =--，（步骤5）（i ）设平面PCD 的法向量为(),,x y z =n ，由CD ^ n ，PD ^ n 得00CDPD ì=ïí=ïîn n , ()040x y t y tz -+=ìí--=î取x t =，则y t =，4z t =-．(),,4n t t t =- ，（步骤6） 又(),0,PB t t =-，由直线PB 与平面PCD 所成的角为30°，得，得22222241cos602(4)2PB t t PBt t t t °-===++- n n ．（步骤7） 解得45t =或4t =（因为40,4AD t t =-><，故舍去），故舍去）所以45AB =．（步骤8）第20题图（1）（ii ）假设线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等，的距离都相等， 设()0,,0G m ，()04mt -剟．则()1,3,0GC t m =-- ，()0,4,0GD t m =-- ，()0,,GP m t =-，（步骤9）则由GC GD = 得()()22134t m t m +--=--，即3t m =-， ①由GP GD =得()2224t m m t --=+， ②（步骤10）从①，②消去t ，并化简得2340m m -+= ③方程③没有实数根，所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等．（步骤11）第20题图（2）解法二：假设线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等，的距离都相等， 由GC GD =得45GCD GDC °Ð=Ð=， 从而90CGD °Ð=，则CG GD ^，（步骤9）设AB λ=，则由4AB AD +=，得4AD λ=-，（步骤10）3AG AD GD λ=-=-．（步骤11） 在Rt ABG △中，()222223932122GB ABAG λλλæö=+=+-=-+>ç÷èø． （步骤12）与1GB GD ==矛盾，矛盾，所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B CD 的距离都相等．的距离都相等． （步骤13）第20题图（3）21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）选修42-：矩阵与变换：矩阵与变换设矩阵设矩阵 00a Mb æö=ç÷èø（其中0a >， 0b >）． （Ⅰ）若2,3a b ==，求矩阵M 的逆矩阵1M -；（Ⅱ）若曲线22:1C x y +=在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线22:14x C y ¢+=，求,a b 的值．的值．【测量目标】矩阵与行列式初步．【测量目标】矩阵与行列式初步．【考查方式】给出矩阵，求其逆矩阵；给出曲线方程及其在矩阵对应的线性变化作用下得到的曲线方程，求未知量．的曲线方程，求未知量． 【难易程度】中等【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）设矩阵M 的逆矩阵11122xy Mx y -æö=ç÷èø，则11001MM -æö=ç÷èø，（步骤1） 因为2003M æö=ç÷èø，所以112220100301x y x y æöæöæö=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，（步骤2） 所以121x =，120y =，230x =，231y =， 即112x =，10y =，20x =．213y =，（步骤3） 所以1102103M -æöç÷=ç÷ç÷ç÷èø．（步骤4） （Ⅱ）设曲线C 上的任意一点为(),P x y ，在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点(),P x y ¢¢¢．则00a x x b y y ¢æöæöæö=ç÷ç÷ç÷¢èøèøèø，即ax x by y ¢=ìí¢=î，（步骤5） 又点(),P x y ¢¢¢在曲线22:14x C y ¢+=上，所以2214x y ¢¢+=，（步骤6） 即222214a xb y +=为曲线22:1C x y +=的方程，则24a =，21b =，（步骤7）又因为0,0a b >>，则2,1a b ==．（步骤8） （2）选修44-：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程在直接坐标系x O y 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为3c o s s i nx θy θì=ïí=ïî（θ为参数）．（Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为π4,2æöç÷èø，判断点P 与直线l 的位置关系；的位置关系； （Ⅱ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.【测量目标】坐标系与参数方程、点与直线的位置关系．【测量目标】坐标系与参数方程、点与直线的位置关系．【考查方式】给出直线方程和点的极坐标，判断点与直线的位置关系；给出曲线的参数方程，求曲线上的动点到直线的最小距离．求曲线上的动点到直线的最小距离． 【难易程度】中等【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）点P 的极坐标为π4,2æöç÷èø，则直角坐标为()0,4，把()0,4P 代入直线l 的方程40x y -+=，（步骤1）因为0440-+=，所以点P 在直线l 上．（步骤2）（Ⅱ）因为点Q 是曲线C 上的一个动点，则点Q 的坐标可设为()3cos ,sin Q αα．点Q 到直线l 的距离为的距离为π2cos 43cos sin 4π62cos 22622αααdαæö++ç÷-+æöèø===++ç÷èø．（步骤3） 所以当πcos 16αæö+=-ç÷èø时，d 取得最小值2．(步骤4) （3）选修45-：不等式选讲：不等式选讲设不等式211x -<的解集为M ． （Ⅰ）求集合M ；（Ⅱ）若,a b M Î，试比较1ab +与a b +的大小．的大小．【测量目标】不等式选讲．【测量目标】不等式选讲．【考查方式】给出不等式，求其解集；给出关于集合两个元素的式子，比较它们的大小． 【难易程度】中等【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）由211x -<得1211x -<-<，解得01x <<， 所以{}01M x x =<<．（步骤1）（Ⅱ）因为,a b M Î，则01a <<，01b <<，（步骤2）()()()()1110ab a b a b +-+=-->，所以1ab a b +>+．（步骤3）。